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Vigueras

4.1 Espacios vectoriales, definición y propiedades En la Física, con frecuencia se usa el término vector para describir magnitudes como la fuerza, la velocidad, la aceleración, y otros fenómenos de la naturaleza, sin embargo el concepto de vector es más amplio abarcando otros campos de las ciencias. Definición. Sean dos conjuntos E y R, ambos no vacíos, y sean x,y ∈ E, λ,μ ∈ R, si x,+ y ∈ E, λ x ∈ E, entonces E es un espacio vectorial real que satisface las siguientes propiedades. Espacio vectorial definido por

Axiomas del espacio vectorial I)

Ley de composición interna

(+)

Ley de composición externa

(∙)

II) III) IV)

Propiedad Cerradura de la suma

Dados x, y, ∈ E, x + y ∈ E x+y=y+x (x + y) + z = x + (y + z) Existe 0 ∈ E, tal que = 0 + x = x

Conmutativa Asociativa Existencia de elemento Neutro

V)

Para todo x ∈ E, existe – x ∈ E, tal que x + (–x) = 0

Opuesto/simétrico

I)

Para todo x ∈ E, λ∈ R, λx ∈ E (λ + µ) x = λ x + µ x λ ( x + y) = λ x + λ y

Cerradura de la multiplicación

II) III) IV) V)

( λ μ )∙x = λ (µ. x)

Distributiva Distributiva Asociativa

Si λ = 1, 1∙x = x

Identidad multiplicativa

Donde a los elementos de E y R se les llama vectores y escalares respectivamente, los segundos como coeficientes de los primeros. Espacio vectorial complejo. Es cuando los elementos de E involucran números complejos Representación de un vector. Dentro de las notaciones más comunes están las siguientes x

y

*Geométricamente una recta con un flecha: 

*Algebraicamente una letra en negrita o con una flecha en la parte superior:

–2u,

y,

 x1  x      x n 



Notación en R2 y R3

Plano cartesiano Espacio cartesiano

Notación punto

(x1, x2)

Notación matricial

(x1, x2, x3)

 x1  x  Un ejemplo de notación de un elemento x de Rn matriz columna n x1, es x =  2  .    xn 

 x1  x   2  x1  x   2  x 3 

en R2 en R3

Vigueras 2

Ejemplo 1. Verifique que el conjunto R , cuyos elementos son matrices de dos renglones y una columna son un espacio vectorial. Con respecto a la Suma: I) x + y ∈ E x  y  x  y  Si x =  1  y y =  1  luego x + y =  1 1  , puesto que los elementos  x2   y2   x2  y2   x  y1  2 x1, x2, y1, y2 ∈ R, entonces  1  ∈R x  y 2  2 II). x + y = y + x x 

y 

x y 

y  x 

y 

x 

x + y =  1    1    1 1  , cambiando el orden; =  1 1  =  1  +  1  = y + x  x 2  y 2   x 2  y 2  y 2  x 2  y 2   x 2  III) (x + y) + z = x + (y + z) x y 

z 

 x  (y  z ) 

x 

y z 

1 1 1 1 1 (x + y) + z =  1 1  +  1  =  1  =  x  + y  z  = x + (y + z) x  y z x  ( y  z ) 2 2 2  2  2  2  2  2  2 



0 



x 

0  x 

x 

1 1 IV ∃ 0 / 0 + x =   +  1  =   = x  0 x 0  x 2    2   2

V. Para todo x ∈ E, existe –x ∈ E, tal que x + (–x ) = 0  x 

x 

 x 

x x 

0 

Para todo x ∈ R2, existe un inverso –x =  1  , tal que, x + (–x ) =  1  +  1  =  1 1  =   = 0  x 2   x 2    x 2   x 2  x 2  0  Escalamiento, para todo λ,μ ∈ R, I).

x, y ∈ R2, se tiene:

λx ∈ E x  λx =  1  ; puesto que λx1, λx2 son reales, entonces   x2 

  x1  2  x  ∈ R  2

II). (λ + μ)∙x = λx + µ x  x1   (   ) x1    x1   x1    x1    x1  (λ + μ)   =  =  = +  = λx + µ x  x2   (   ) x2    x2   x2    x2    x2 

III). λ( x + y) = λx + λy  x1  y1    ( x1  y1 )    x1   y1    x1  =λ  = = = +  x2  y2    ( x2  y2 )    x2   y2    x2 

IV. (λ μ) ∙x = λ (µ. x)  x1  = x 2 

= (λ μ)∙ 

  x1    x  = λ 2 

V). Si λ = 1, 1∙x = x 1x1   x1  =  = x 1x2   x2 

1∙ 

  x1    x  = λ (µ. x)  2

  y1    y  = λx + λy  2

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Ejemplo 2. Sea M22 el conjunto de todas las matrices 2x2, demuestre que M22 es un espacio vectorial real, considerando la suma de matrices y la multiplicación por un escalar. Solución. Sean A22, B22 dos matrices de M22 , y λμ elementos de R. Con respecto a la operación + se tiene: I) A22 + B22 ∈ M22  a11 a12  b11 b12   a11  b1b a12  b12  +  =  , que por ser una matriz 2x2, pertenece a M22 a21 a 22  b 21 b 22  a 21  b 21 a 22  b 22 

A22 + B22 = 

II). A22 + B22 = B22 + A22  a11  b1b a12  b12   b11  a11 b12  a12  b11 b12   a11 a12   = =  +  = B22 + A22 a 21  b 21 a 22  b 22  b 21  a 21 b 21  a 22  b 21 b 22  a21 a 22 

A22 + B22 = 

III) (A22 + B22) + C22 = A22 + (B22 + C22) a

a 

b

b 

c

(A22 + B22) + C22 =  11 12  +  11 12  a21 a 22  b 21 b 22 

c 

+  11 12  c 21 c 22 

 a11  b1b a12  b12   c11 c12   a11  b11  c11 a12  b12  c12   +  =  a 21  b 21 a 22  b 22  c 21 c 22  a 21  b 21  c 21 a 22  b 22  c 22 

=

a

a 

b

c

b

c 

=  11 12  +  11 11 12 12  = A22 + (B22 + C22) a21 a 22  b 21  c 21 b 22  c 22   a11 IV. A22 + 022 =   a21 

a12   0 0  + = a22   0 0

 a11  0 a12  0   a11  a  0 a  0 =  a  21 22   21

a12  a22 

V. Para todo A22, existe – A22 ∈ M22, tal que A22 + (–A22 ) = 0  a11   a21 

a12    a11  + a22    a21

a12   0 0  , que cumple con esta propiedad =  a22   0 0

Con respecto a la operación (∙) tenemos que: I)

Para toda A22 ∈ M22, λA22 ∈ M22  a11 λ∙A22 = λ   a21

a12    a11 = a22    a21

 a12  , la cual es una matriz de 2x2  a22 

II) (λ+μ)∙A = λ∙A + µ∙A  (   ) a11 (   )a12    a11  ua11  a12  ua12  (λ+μ) ∙A22 =  =   (  u ) a21 (  u )a22    a21  ua21  a22  ua22    a11  a12   ua11 ua12  = +   = λ∙A22 + u∙A22   a21  a22   ua21 ua22 

III)

λ (A22 + B22) = λ A22 + λ B22  a11 λ (A22 + B22) = λ∙   a21

a12   b11 b12  + a22   b21 b22 

  a   b11 =  11   a21   b21

IV).

(λμ)∙A22 = ... y V).

 a11  b11 = λ∙   a21  b21

 a12   b12    a11 =  a22   b22   a21

a12  b12  = a22  b22 

 a12    b11 +  a22   b21

  (a11  b11 )  ( a12  b12 )    (a  b )  (a  b )   21 21 22 22 

 b12  = λ∙A22 + λ∙B22  b22 

falta desarrollar demás operaciones de las propiedades .................................

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Conclusión; Los elementos de M22 son vectores ya que M22 cumple con la definición de un espacio vectorial real. Ejemplo 3. Sea Q el conjunto de los números racionales. Verifique si Q es un espacio vectorial real Aplicando la propiedad de cerradura (∙) Sea,

3  Q y λ = 2  R, tenemos que 4

I) Para todo

2

p p  Q , debe cumplirse que λ  Q q q

3 = 1.060660172...  Q, por lo tanto, Q no es un espacio vectorial 4

Ejemplo 4. Sea R2, el conjunto de pares ordenados (x, y) donde x, y  R. Verifique que R2 es un espacio vectorial

Consideremos (x1, y1), (x2, y2) elementos de R2

Propiedad. de cerradura de la suma:

(x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2),

Propiedad de cerradura de la multiplicación por un escalar:

Consideremos a  R, luego a(x, y) = (ax, ay)  R2

Propiedad Idéntico aditivo (elemento neutro):

Vector nulo; 0 = (0, 0), (x, y) + (0, 0) = (x, y).

Propiedad del Opuesto simétrico

Elemento (1, 0), su opuesto, (–1, 0) (1, 0) + (–1, 0) = (0, 0).

Propiedad distributiva

Sean a,b  R (a + b) · (x, y) = a · (x, y) + b · (x, y). Por lo cual R2, es un espacio vectorial.

Ejemplo 5. Sean A, B y C elementos de R2, y c, d escalares cualesquiera, verifique que dichos elementos cumplen con las propiedades señaladas abajo para ser elementos de un espacio vectorial, si A= (3,4), B= (–2,1), C = (5,–3), c = 2 y d = –6 II.

A + (B +C) = (A +B) + C 

III. V. VII. VIII.

2

(ley asociativa)



Existe 0 de R / A + 0 = A (cd)A = c(dA) (c + d)A = cA + dA 1(A) = A

(idéntico aditivo) (ley asociativa) (ley distributiva) (idéntico multiplicativo)

Solución: A + (B +C) = (3, 4) + ( (–2, 1) + (5,–3)) = 〈3, 4) + (3, –2) = (6, 2) (A +B) +C = ((3, 4) + (–2, 1)) + (5,–3) = 〈1, 5) + (5, –3) = (6, 2) por lo tanto A + (B +C) = (A +B) + C se cumple con II 

A + 0 = (3, 4) + (0, 0) = (3, 4) = A (cd)A = [(2)(–6)] (3, 4) = (–12) (3, 4) = (–36,–48) c(dA) = 2 (-6 (3, 4)) = 2 (-18, -24) = (-36, -48)

por tanto también

(c + d)A = [2+(-6)] (3, 4) = [-4] (3, 4) = (-12, -16) cA + dA = 2(3, 4) + (-6) (3, 4) = (6, 8) + (-18, -24) = (-12, -16), 1(A) = (3, 4) = ((1)(3), (1)(4)) = (3, 4) = A

se cumple con III

se cumple con V

se cumple con VII se cumple con VIII

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Ejemplo 6. El conjunto R se define como el conjunto de ternas ordenadas (x, y, z) de números reales. Verifique a través de la propiedad de cerradura si R3 es un espacio vectorial: 1. Suma: (x1, y1, z1) + (x2, y2, z2) = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2 )  R3 2. Producto por un número real: a(x, y, z) = (ax, ay, az)  R3 Con la aplicación de estas propiedades fundamentales se puede concluir que R3 es un espacio vectorial. Ejemplo 7. Sea P el conjunto de todos los polinomios en la variable x con coeficientes reales, P{p(x) = x2 +5x +6, q(x) = x3 +3x2 +3x +1, r(x) = 2x2 +13x +6, ...} y R {2, 4, ...}. Determine si P(x) es un Espacio vectorial. Solución Axioma I Seleccionado los dos primeros polinomios para la propiedad de cerradura bajo la suma: (x2 +5x +6) + (x3 +3x2 +3x +1) = x3 + 4x2 +8x +7 el cual sigue siendo un polinomio con variable real y coeficientes reales, es decir p(x)+q(x)  P. Axioma II de la Conmutatividad de la suma (x3 +3x2 +3x +1)+(x2 +5x +6) = x3 + 4x2 +8x +7, Se cumple que q(x)+p(x)  P. Axioma III. Asociatividad de la suma x2 +5x +6 + ( x3 +5x2 +16x +7) = x3 +4x2 +8x +7 + (2x2 +13x +6) x3 +6x2 +21x +13 = x3 + 6x2 +21x +13 , que indica que p(x) + (q(x)+ r(x)) = (p(x)+q(x)) + r(x)  P. Axioma IV. x2 +5x +6 + 0x2 + 0x +0 = x2 +5x +6, es decir p(x) +0 = p(x), el cual cumple con la existencia del polinomio neutro. Axioma 5. Existencia del polinomio inverso aditivo. x2 +5x +6 +(–x2 –5x –6) = 0x2 +0x +0 = 0 el cual cumple con esta propiedad. p(x) + (–p(x)) = 0 Axioma VI. Sea 2  R y p(x)  P. 2(x2 +5x +6) = 2x2 +10x +12, el cual sigue siendo  P. Axioma VII. Si 2  R y p(x), q(x)  P entonces 2(p(x)+q(x))= 2p(x) + 2q(x) 2(x3 + 4x2 +8x +7) = 2(x2 +5x +6) + 2(x3 +3x2 +3x +1) 2x3 +8x2 +16x +14 = (2x2 +10x +12) + (2x3 +6x2 +6x +2) 2x3 +8x2 +16x +14 = 2x3 +8x2 +16x +14, los polinomios son iguales por lo cual se cumple con este axioma. Axioma VIII . (2 +4)p(x) = 2(p(x)) +4(p(x)) (2+4)(x2 +5x +6) = 2(x2 +5x +6) +4(x2 +5x +6) 6(x2 +5x +6) = (2x2 +10x +12) + (4x2 +20x +24) 6x2 +30x +36 = 6x2 +30x +36, se cumple con la propiedad distributiva del producto por escalares sobre la suma de escalares. Axioma IX. Propiedad asociativa del producto; (2 )(4p(x)) = 2(4)(p(x)) (2)(4(x2 +5x +6) ) = 2(4)(x2 +5x +6) (2)(4x2 +20x +24) = 8(x2 +5x +6) 8x2 +40x +48 = 8x2 +40x +48, propiedad que se cumple! Axioma X. 1p(x) = p(x) (1)(x2 +5x +6) = (1)x2 +(1)5x +(1)6 = x2 +5x +6, cumple Por lo tanto el conjunto de los polinomios con variable x con coeficientes reales son un Espacio Vectorial. Tareas: 1. Demostrar que el conjunto de todas las matrices de 3x3 (M33), con las operaciones usuales entre matrices, forman un espacio vectorial 2. Demostrar que el conjunto de las matrices diagonales, es un espacio vectorial de M33 3. Dados A = (2,–5), B = (3, 1), C = (–4, 2), (a) Encontrar A + (B + C), (b) Encontrar (A + B) + C e ilustrar geométricamente ambos casos.

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4.2 Subespacio vectorial Definición: Sea E un espacio vectorial y S un subconjunto no vacío de E. Si S es un espacio vectorial con respecto a las mismas operaciones de adición y multiplicación definidas en E, se dice que S es un subespacio vectorial de E Es decir se debe cumplir lo siguiente:  

Si x, y son elementos de S, entonces x + y es un elemento de S. 

Si x es un elemento de S y λ  R, entonces λx es un elemento de S

Ejemplo 1. Sea M22 el espacio vectorial de todas las matrices 2x2. Sea S un subconjunto de M22 de las matrices cuyos elementos son cero fuera de la diagonal. Demuestre que S es un subespacio vectorial de M22 1). Sean A y B dos elementos de S. Entonces, 0  a11 0   b11 0   a11  b11  A+B=  + = , que por ser una matriz cuyos elementos fuera de la   a22  b22   0 a22   0 b22   0 diagonal son ceros, entonces A + B pertenecen a S  a11 0    a11 2). Sea λ ∈ R, entonces λ∙A = λ ∙   =  0 a22   0 la misma, λ∙A es un elemento de S

0  , por ser λ∙A una matriz diagonal con ceros fuera de  a22 

Conclusión. Un subespacio vectorial es cualquier subconjunto de un espacio vectorial E, que mantiene las mismas propiedades por sí mismo.