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• Manolo Damasco

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UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DEL CENTRO INGENIERÍA MECATRÓNICA ALGEBRA LINEAL

PROF. JOSÉ GUADALUPE AGUILAR HERNÁNDEZ

ESPACIOS VECTORIALES ALUMNOS: JORGE TALAVERA MÉNDEZ MANUEL ANTONIO MUÑOZ DAMASCO LUIS ANDRÉS GARCÍA DÍAZ JESÚS EDUARDO SÁNCHEZ CRUZ RUBICEL SÁNCHEZ MARÍN ENRIQUE SERRANO HUERTA

ESPACIOS VECTORIALES Espacios vectoriales para poder entender con una mayor facilidad este tema hay que tener previa experiencia en el uso de matrices, en lugar de columnas individuales, nos fijamos en los "espacios" de los vectores. Sin ver espacios vectorial y sobre todo sus subespacios, no has entendido todo lo relacionado con Ax = b. Comenzamos con los espacios vectoriales más importantes. Ellos se denotan por R1, R2, R3, R4, cada espacio R se compone de toda una colección de vectores. R 5 contiene todas las columnas vectores con cinco componentes. Esto se llama "5-dimensiones del espacio". DEFINICIÓN El espacio Rn se compone de todos los vectores de la columna V con n componentes. Los componentes de V son números reales, que es la razón de la letra R. Un vector cuyos n componentes son números complejos se encuentra en el espacio Cn. El espacio vectorial R2 está representada por el plano “x,y” habitual. Cada vector V en R2 tiene dos componentes. La palabra "espacio" nos invita a pensar en todos los vectores, todo el plano. Cada vector ofrece la coordenadas X e Y de un punto en el plano: V = (x, y). Del mismo modo los vectores en R3 corresponden a las letras x, y, z) en el espacio tridimensional. R1 = espacio unidimensional, línea recta real. R2 = espacio bidimensional, pares ordenados. R3 = espacio tridimensional, terna ordenadas. Rn = espacio n-dimensional, n-adas ordenadas. El Espacio unidimensional R1 es una línea (como el eje x). Al igual que antes, es la impresión de vectores como columna entre paréntesis, o a lo largo de una línea utilizando comas y paréntesis: Para multiplicar V por 7, se multiplican todos los componentes por 7. Aquí 7 es un "escalar". Para añadir vectores en R5, añadir un componente cada uno de ellos a la vez. Las dos operaciones esenciales de vectores van en el interior el espacio vectorial, y producen combinaciones lineales: Suma de vectores y multiplicación por un escalar: Siendo X y Y dos vectores y H un escalar se dice que: X + Y = (x1 , x2) + (y1 , y2) = (y1 , y2) + (x1 , x2) y la multiplicación por un escalar se define H(x1 , x2)=(Hx1 , Hx2).

Las propiedades que cumple la suma de vectores son las misma que cumplían las estructuras algebraica de una operación que son: la de cierre, la conmutativa, la asociativa, elemento neutro e identidad y la distributiva.

Podemos añadir los vectores en R, y podemos multiplicar cualquier vector V por cualquier escalar C. Las leyes que cumple la multiplicación por un escalar son: La de cierre bajo la multiplicación Hx, La distributiva (H+I)x = Hx + Ix ; H(x + y) = Hx + Hy, La asociativa (HI)x = H(Ix), y el elemento neutro de la multiplicación 1x = x. Operaciones Básicas con Vectores en Rn: Las operaciones básicas con vectores en Rn son las mismas que las operaciones básicas que vimos anteriormente, o sea, la suma de vectores y la multiplicación por un escalar la diferencia sería que en estos serian n-esimos elementos y n-esimos vectores ejemplo: Para suma de vectores X + Y = (x1 , x2, ... , xn) + (y1 , y2, ... , yn). Para multiplicación de un vector por un escalar H(x1 , x2, ... , xn) = (Hx1 , Hx2, ... , Hxn). Las propiedades que cumplen son las mismas que vimos en operaciones básicas con vectores en R2. El vector cero “0” es el vector neutro o identidad de la suma de vectores en Rn: 0 = (0, 0, 0, ..., 0n), este vector tiene como propiedad de que es único, es decir, U + 0 = 0, 0U = 0, a0 = 0, aU = 0 si a = 0 o U = 0, donde “U” es un vector y “a” un escalar. Un espacio vectorial real es un conjunto de "vectores", junto con reglas para la suma de vectores y para la multiplicación por números reales. La adición y la multiplicación deben producir vectores que están en el espacio. Y las ocho condiciones deben ser satisfechas (que por lo general no hay problema). Aquí hay tres espacios vectoriales distintos de Rn.

M El espacio vectorial de todos reales 2 por 2 matrices. F El espacio vectorial de todas las funciones reales f (x). Z El espacio vectorial que consta sólo de un vector cero.

Un espacio vectorial cumple con cuatro partes que son: un conjunto de vectores, un conjunto de escalares, y dos operaciones. Estos forman un cuerpo que es igual a las estructuras algebraicas de dos operaciones (un cuerpo). Para comprobar que determinado conjunto es un espacio vectorial es preciso definir o especificar las propiedades de suma multiplicación por un escalar como vimos anteriormente tenemos que definir el elemento que actúa como cero (0) y el negado de cada elemento. Cuerpo: Es el conjunto de números y operaciones cualquiera que deben obedecer las diez propiedades algebraicas que mencionamos en operaciones básicas de espacios vectoriales. Sub cuerpo: Si se operan escalares en forma de sub cuerpo C y se operan bajo la suma y la multiplicación por un escalar estos escalares no deben salirse del sub espacio determinado y las operaciones de prueba son las mismas que se han mencionado con anterioridad. Sub espacio vectorial: Esto dice que si W es un sub conjunto del espacio vectorial V entonces este es un sub espacio de V. Si W es un espacio vectorial bajo las operaciones de suma y multiplicación por un escalar definidas en V. Para que W sea un sub espacio de V debe cumplir las propiedades de cierre de la suma y la multiplicación por un escalar también debe cumplir la ley del elemento neutro bajo la suma, el inverso bajo la suma y el neutro bajo la multiplicación por un escalar. Combinación Lineal: Se denomina combinación lineal a u vector V en un espacio vectorial U un cuerpo h. Si los vectores v1, v2, v3, ..., vn en u si V puede expresarse como: V = c1v1 + c2v2 + c3v3 +... + cnvn donde c son escalares del cuerpo h. Envolvente Lineal: Este es el conjunto de todas las combinaciones lineales semejantes denotado por Lin(v1, v2, ..., vn) y se denomina envolvente lineal de u1, u2, ...,un. Siendo S un sub conjunto de un espacio vectorial V entonces Lin S es un sub conjunto de un espacio vectorial V y si W es un subconjunto de V que contiene a S, necesariamente Lin S es complemento de W.

Sistemas de generadores y bases de un espacio vectorial

Sistema generador Un sistema generador de un espacio vectorial es un conjunto de vectores que tienen la propiedad de que cualquier vector del espacio vectorial es combinación lineal de los vectores del sistema generador. Ejemplo En

, los vectores

Forman un sistema generador ya que cualquier vector como combinación lineal de y :

en

se puede poner

BASES Y DIMENSIÓN Definición: Base. Se llama base de un espacio (o subespacio) vectorial a un sistema generador de dicho espacio o subespacio, que sea a la vez linealmente independiente. Propiedades de las bases. 1. Una base de S es un sistema generador minimal de S (lo más pequeño posible). 2. Además es un conjunto independiente maximal dentro de S (lo más grande posible). 3. Una base de S permite expresar todos los vectores de S como combinación lineal de ella, de manera única para cada vector. Ejemplos de bases. 1. La base canónica (o base natural, o base estándar) de ℜn:e1 = (1,0,. . . ,0) e2 = (0,1,. . . ,0) ........ en = (0,0,. . . ,1) - Son linealmente independientes porque forman un determinante no nulo. - Son sistema generador de ℜn porque todo vector (a1,a2,. . . ,an)∈ ℜn se puede expresar

como combinación lineal de ellos: (a1,a2,. . . ,an)= a1(1,0,. . . ,0)+ a2(0,1,. . . ,0)+ . . . + an(0,0,. . . ,1) 2. Otra base de ℜ3 distinta de la canónica: (1,0,0), (1,1,0), (0,2,-3). - Son linealmente independientes porque forman un determinante no nulo. - Son sistema generador de ℜ3 porque cualquier vector (a,b,c) se puede poner como combinación lineal de ellos. En efecto, dado (a,b,c), buscamos α , , β γ que satisfagan (a,b,c)= α (1,0,0)+ β (1,1,0)+γ (0,2,-3) Se obtiene un sistema: α + β = a β +2γ =b -3γ = c en las incógnitas α , , β γ , que es compatible determinado para cualesquiera a,b,c. 3. (1,2,3), (4,5,6), (7,8,9) en ℜ3 no forman base porque no son linealmente independientes (su determinante es nulo). 4. Base de un subespacio. En ℜ3, consideremos el subespacio S= plano XY. Veamos que los vectores (3,2,0) , (1,–1,0) forman una base de S. - Son linealmente independientes, porque uno no es múltiplo del otro. - Son un sistema generador de S: Dado un vector genérico de S, de la forma (a,b,0), lo podemos poner como combinación lineal de (3,2,0), (1,–1,0). Para ello, buscamos α, b que cumplan:β