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• Sergio Zaleta

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FACULTAD DE ESTUDIOS SUPERIORES ARAGÓN .UNAM.

ÁLGEBRA LINEAL. ESPACIOS VECTORIALES ING. FORTUNATO CERECEDO H.

ENERO 2015

CONCEPTOS BÁSICOS DE UN ESPACIO VECTORIAL

ÁLGEBRA LINEAL. Contenido Espacio vectorial. .................................................................................................. 2 Subespacio. ........................................................................................................... 3 Combinación lineal. .............................................................................................. 9 Dependencia lineal. ............................................................................................... 9 Transformaciones elementales. ......................................................................... 11 Espacio generado. .............................................................................................. 15 Base. ..................................................................................................................... 16 Dimensión. ........................................................................................................... 16 Coordenadas de un vector respecto a una base ordenada. ............................ 16 Espacio fila y espacio columna de una matriz. ................................................ 17 Rango de una matriz. .......................................................................................... 18 Espacios lineales. ............................................................................................... 21 Espacio de matrices. ....................................................................................... 21 Espacio de polinomios. ................................................................................... 23 Espacio de funciones. ..................................................................................... 24 Dependencia lineal de una función. ............................................................... 25

ING. FORTUNATO CERECEDO H.

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ÁLGEBRA LINEAL. Espacio vectorial. Definición 1. Un espacio vectorial 𝐕 sobre el campo 𝐑 es un conjunto de vectores que se pueden sumar y que se pueden multiplicar por elementos de 𝐑 , de tal manera que la suma de dos elementos de 𝐕 es de nuevo un elemento de 𝐕, el producto de un elemento de 𝐕 por un elemento de 𝐑 es un elemento de 𝐕 y además se satisfacen las siguientes propiedades:

⃗ , 𝐯⃗, 𝐰 ⃗⃗ ∈ 𝐕 y 𝐚, 𝐛, 𝐜 ∈ 𝐑 Si 𝐮 1.

⃗ + 𝐯⃗ = 𝐯⃗ + 𝐮 ⃗ 𝐮

Conmutativa

2.

⃗ + (𝐯⃗ + 𝐰 ⃗⃗ ) = (𝐮 ⃗ + 𝐯⃗) + 𝐰 ⃗⃗ 𝐮

Asociativa

3.

⃗ ∈ 𝐕 tal que: ∃𝐨 ⃗ +𝐮 ⃗ =𝐮 ⃗ =𝐮 ⃗ +𝐨 ⃗ 𝐨

4.

⃗ ∈ 𝐕 tal que: ∃−𝐮 ⃗ + (−𝐮 ⃗ ) = ⃗𝐨 𝐮

5.

Elemento idéntico en la adición

Elemento inverso en la adición

∃ 𝟏 ∈ 𝐑 tal que: ⃗ 𝟏=𝐮 ⃗ 𝟏 ⃗⃗⃗𝐮 = 𝐮

Elemento idéntico del producto

6.

(𝐚 𝐛) 𝐮 ⃗ = 𝐚 (𝐛 𝐮 ⃗ )

Asociativa

7.

⃗ + 𝐯⃗ ) = 𝐚 𝐮 ⃗ + 𝐚 𝐯⃗ 𝐚 (𝐮

Distributiva

8.

(𝐚 + 𝐛) 𝐮 ⃗ =𝐚𝐮 ⃗ +𝐛𝐮 ⃗

Distributiva

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ÁLGEBRA LINEAL. La suma entre vectores resulta ser una operación binaria interna mientras, que la multiplicación de un escalar por un vector viene siendo una operación binaria externa.

Subespacio. Si W es un subconjunto de un espacio vectorial V sobre un cuerpo R, entonces W se llama un sub-espacio de V si W es a su vez un espacio vectorial sobre R con respecto a las operaciones de adición de vectores y multiplicación de un escalar por un vector.

Teorema 1 W es un subespacio de V si y solamente si: 1) W no es un conjunto vacío. 2) W es cerrado para la adición de vectores.

⃗ , 𝐯⃗ ∈ 𝐖 → (𝐮 ⃗ + 𝐯⃗ ) ∈ 𝐖 Si 𝐮 3) W es cerrado para la multiplicación de un escalar por un vector.

⃗ ∈ 𝐖 → (𝐚 𝐮 ⃗ )∈𝐖 Si 𝐚 ∈ 𝐑 y 𝐮 La condición necesaria y suficiente para que un subconjunto sea un sub-espacio es: 1)

⃗ ∈ 𝐖 (𝐖 ≠ ∅) 𝐨

2)

⃗ , 𝐯⃗ ∈ 𝐖 y 𝐚, 𝐛 ∈ 𝐑 entonces (𝐚 𝐮 ⃗ + 𝐛 𝐯⃗ ) ∈ 𝐖 Si 𝐮

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ÁLGEBRA LINEAL. Ejemplo 1. Analizar el espacio 𝑹𝟐 . Solución. En el espacio de dos dimensiones se presenta un conjunto de vectores, los cuales satisfacen las propiedades correspondientes a un espacio vectorial en relación a las operaciones de suma entre vectores y multiplicación de un vector por un escalar. La figura 1, nos muestra algunos vectores del conjunto.

Cualquier vector del conjunto, se puede expresar como un par ordenado.

𝑣 = (𝑥, 𝑦) Así, el conjunto de vectores en 𝑹𝟐 , representa un espacio vectorial. El cual se expresa como:

𝑹𝟐 = {(𝑥, 𝑦) | 𝑥 ∈ 𝑅 ; 𝑦 ∈ 𝑅}

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ÁLGEBRA LINEAL. Ejemplo 2 Analizar el conjunto 𝑨 = {(𝑥, 𝑦)| 2𝑥 − 𝑦 = 0 ; 𝑥 ∈ 𝑅 ; 𝑦 ∈ 𝑅} Indicar si representa un espacio vectorial. Solución. Se observa que el conjunto dado corresponde a todas los pares ordenados que deben cumplir con una condición expresada como;

2𝑥 − 𝑦 = 0 La gráfica de la ecuación anterior corresponde con una recta en el espacio 𝑹𝟐 , como aparece en la figura siguiente.

Es evidente, que todos los pares ordenados sobre la recta, son elementos de

𝑹𝟐 , pero existe una infinidad de pares ordenados que no están en la recta y son elementos de 𝑹𝟐 . Por lo anterior, podemos establecer que el conjunto dado, es un subconjunto del espacio 𝑹𝟐 .

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ÁLGEBRA LINEAL. Usando el Teorema 1, relacionado con sub-espacios;

1. El conjunto “A”, no es vacío pues: (0,0) ∈ 𝐴 2. Propiedad de cerradura para la suma.  (𝑥1 , 𝑦1 ) ∈ 𝐴 𝑠𝑖

2𝑥1 − 𝑦1 = 0 ⋯ ⋯ (𝑎)

 (𝑥2 , 𝑦2 ) ∈ 𝐴 𝑠𝑖

2𝑥2 − 𝑦2 = 0 ⋯ ⋯ (𝑏)

Sumando los pares ordenados, resulta;

(𝑥1 , 𝑦1 ) + (𝑥2 , 𝑦2 ) = (𝑥1 + 𝑥2 , 𝑦1 + 𝑦2 ) Entonces;

(𝑥1 + 𝑥2 , 𝑦1 + 𝑦2 ) ∈ 𝐴 𝑠𝑖 2(𝑥1 + 𝑥2 ) − (𝑦1 + 𝑦2 ) = 0 ⋯ ⋯ (𝑐) Para verificar la expresión (𝑐) sumaremos (𝑎) 𝑦 (𝑏)

Quedando;

2𝑥1 + 2𝑥2 − 𝑦1 − 𝑦2 = 2(𝑥1 + 𝑥2 ) − (𝑦1 + 𝑦2 ) = 0

El resultado es idéntico a la expresión (𝑐) concluimos que, la propiedad de cerradura para la suma si se cumple. 3. Propiedad de cerradura para la multiplicación por un escalar.  (𝑥1 , 𝑦1 ) ∈ 𝐴

𝑠𝑖

2𝑥1 − 𝑦1 = 0 ⋯ ⋯ (𝑎)

 Si 𝑘 ∈ 𝑅 ; 𝑘(𝑥1 , 𝑦1 ) = (𝑘𝑥1 , 𝑘𝑦1 )

(𝑘𝑥1 , 𝑘𝑦1 ) ∈ 𝐴 𝑠𝑖 2𝑘𝑥1 − 𝑘𝑦1 = 0 ⋯ ⋯ (𝑏) La verificación de (𝑏) se realiza usando (𝑎), quedando:

𝑘(2𝑥1 − 𝑦1 ) = 0 → 2𝑘𝑥1 − 𝑘𝑦1 = 0

Resultado idéntico al de la

expresión (𝑏), la propiedad de cerradura para la multiplicación por un escalar también se cumple.

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ÁLGEBRA LINEAL. Conclusión. El conjunto 𝑨 ; Es un Sub-espacio; por lo tanto también es un Espacio Vectorial.

Ejemplo 3 Analizar el conjunto 𝑩 = {(𝑥, 𝑦)| 2𝑥 − 𝑦 = −2 ; 𝑥 ∈ 𝑅 ; 𝑦 ∈ 𝑅} Indicar si representa un espacio vectorial. Solución. Se observa que el conjunto dado corresponde a todas los pares ordenados que deben cumplir con la condición;

2𝑥 − 𝑦 = −2 La gráfica de ésta ecuación corresponde con una recta en el espacio 𝑹𝟐 , como aparece en la figura 3.

El conjunto B, es subconjunto de 𝑅 2 .

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ÁLGEBRA LINEAL. Usando el Teorema aplicado al ejercicio anterior, se tiene: 1. El conjunto “B”, no es vacío pues: (0,2) ∈ 𝐵 2. Propiedad de cerradura para la suma.

 (𝑥1 , 𝑦1 ) ∈ 𝐵 𝑠𝑖

2𝑥1 − 𝑦1 = −2 ⋯ ⋯ (𝑎)

 (𝑥2 , 𝑦2 ) ∈ 𝐵 𝑠𝑖

2𝑥2 − 𝑦2 = −2 ⋯ ⋯ (𝑏)

Sumando los pares ordenados, resulta;

(𝑥1 , 𝑦1 ) + (𝑥2 , 𝑦2 ) = (𝑥1 + 𝑥2 , 𝑦1 + 𝑦2 ) Entonces;

(𝑥1 + 𝑥2 , 𝑦1 + 𝑦2 ) ∈ 𝐴 𝑠𝑖 2(𝑥1 + 𝑥2 ) − (𝑦1 + 𝑦2 ) = −2 ⋯ ⋯ (𝑐) Para verificar la expresión (𝑐) sumaremos miembro a miembro (𝑎) 𝑦 (𝑏)

Quedando;

2𝑥1 + 2𝑥2 − 𝑦1 − 𝑦2 = 2(𝑥1 + 𝑥2 ) − (𝑦1 + 𝑦2 ) = −4

El resultado no corresponde con la expresión (𝑐) concluimos que, la propiedad de cerradura para la suma no se cumple.

Conclusión. El conjunto 𝑩; No es un Sub-espacio por lo tanto no representa un Espacio Vectorial.

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ÁLGEBRA LINEAL. Combinación lineal. Definición 2. Sean ⃗⃗⃗⃗ 𝐯𝟏 , ⃗⃗⃗⃗ 𝐯𝟐 , … … . , ⃗⃗⃗⃗ 𝐯𝐧 ∈ 𝐕 entonces se dice que una expresión de la forma

k1 ⃗⃗⃗⃗ 𝐯𝟏 + k 2 ⃗⃗⃗⃗ 𝐯𝟐 + … … . +k n ⃗⃗⃗⃗ 𝐯𝐧

Es una combinación lineal.

Donde k1 , k 2 , … … … , k n ∈ 𝐑

Dependencia lineal. Definición 3. Sea V un espacio vectorial sobre un campo R, se dice que los vectores

⃗⃗⃗⃗ 𝐯𝟏 , ⃗⃗⃗⃗ 𝐯𝟐 , … … . , ⃗⃗⃗⃗ 𝐯𝐧 ∈ 𝐕 son Linealmente Dependientes (LD) si existen escalares k1 , k 2 , … … , k n ∈ 𝐑

no todos cero, tal que:

⃗ k1 ⃗⃗⃗⃗ 𝐯𝟏 + k 2 ⃗⃗⃗⃗ 𝐯𝟐 + … … . . + k n ⃗⃗⃗⃗ 𝐯𝐧 = 𝐨 En caso contrario se dice que los vectores son Linealmente Independientes (LI). Observaciones sobre dependencia lineal. 1) Los vectores ⃗⃗⃗⃗ 𝐯𝟏 , ⃗⃗⃗⃗ 𝐯𝟐 , … … . , ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐯𝐦

son Linealmente Dependientes (LD) si y

solo si uno de ellos es una combinación lineal de los otros. 2) El conjunto

⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐯𝟏 , ⃗⃗⃗⃗ 𝐯𝟐 , … … . , ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐯𝐦

se llama conjunto Dependiente o

Independiente según sean los vectores ⃗⃗⃗⃗ 𝐯𝟏 , ⃗⃗⃗⃗ 𝐯𝟐 , … … . , ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐯𝐦 Dependientes o Independientes. El conjunto vacío; ∅ = {

} se define como Linealmente Independiente.

3) Si dos vectores del conjunto

{ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐯𝟏 , ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐯𝟐 , … … . , ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐯𝐦 }

son iguales; esto es

⃗⃗𝐯𝐣 = ⃗⃗⃗⃗ 𝐯𝐤 entonces los vectores son dependientes. 4) Dos vectores ⃗⃗⃗⃗ 𝐯𝟏 = ⃗⃗⃗⃗ 𝐯𝟐 son dependientes si y solo si uno de ellos es múltiplo del otro. ING. FORTUNATO CERECEDO H.

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ÁLGEBRA LINEAL. 5) Si el conjunto

⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐯𝟏 , ⃗⃗⃗⃗ 𝐯𝟐 , … … . , ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐯𝐦

es independiente, entonces cualquier

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐯𝐣𝟏 , ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐯𝐣𝟐 , … … . , ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐯𝐣𝐦

reordenación de los vectores

también es

independiente. 6) En el espacio 𝐑𝟑 se puede describir geométricamente la dependencia de vectores de la manera siguiente: Dos vectores ⃗⃗⃗⃗ 𝐯𝟏 y ⃗⃗⃗⃗ 𝐯𝟐 son dependientes si y solo si están situados sobre una misma recta que pasa por el origen. Tres vectores ⃗⃗⃗⃗ 𝐯𝟏 , ⃗⃗⃗⃗ 𝐯𝟐 , ⃗⃗⃗⃗ 𝐯𝟑 son dependientes si y solo si están situados sobre un mismo plano que pasa por el origen.

Ejemplo 4. Indicar la dependencia lineal del conjunto, {(3,2), (−1,4)} Solución. Tomando la combinación lineal e igualando con el vector nulo;

𝑘1 (3,2) + 𝑘2 (−1,4) = (0,0) (3𝑘1 , 2𝑘1 ) + (−𝑘2 , 4𝑘2 ) = (3𝑘1 − 𝑘2 , 2𝑘1 + 4𝑘2 ) = (0,0) Igualando componente a componente,

3𝑘1 − 𝑘2 = 0 2𝑘1 + 4𝑘2 = 0 Se tiene un sistema homogéneo de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. La

solución

del

sistema,

se

determinará

mediante

la

aplicación

de

transformaciones elementales, lo cual conduce a un sistema de ecuaciones equivalente en forma escalonada, como se indica en el Teorema 2. Teorema 2 Dos sistemas lineales son equivalentes, si uno se obtiene del otro aplicando una sucesión finita de transformaciones elementales.

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ÁLGEBRA LINEAL. El sistema que resulta de aplicar transformaciones elementales tiene forma escalonada. En un sistema de forma escalonada las incógnitas 𝐱 𝐢 que no aparecen al principio de ninguna ecuación se llaman variables libres. El proceso que aplica transformaciones para eliminar una incógnita en las ecuaciones siguientes se conoce como: Método de eliminación de Gauss El método de eliminación de Gauss nos da información acerca del sistema, y nos ayuda a encontrar su solución si es que este la tiene.

Transformaciones elementales. Normalmente es de esperar que “m” ecuaciones que relacionan “n” variables puedan resolverse (m = n) para obtener un conjunto de valores numéricos para las “n” variables. Suponer un sistema m = n

a11 x1 + a12 x2+ a13 x3 . . . + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2+ a23 x3 . . . +a1n xn = b2 .

.

.

.

.

.

an1 x1 + an2 x2+ an3 x3 . . . + ann xn = bn Deseamos resolver el sistema, es decir encontrar los valores x1, x2, . . ., xn que satisfagan la ecuación, es decir la solución: (x1, x2, . . ., xn)  Transformación elemental del tipo I Si a11 = 0 intercambiamos de lugar la 1er ecuación y cualquier otra j-ésima tal que; a11  0

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ÁLGEBRA LINEAL.  Ejemplo 0 ∙ x1 + x2 + 3∙ x3 = 4 0 ∙ x1 - 3 ∙ x2 + x 3 = 1 1∙ x1 - 5 ∙ x2 - 2 ∙ x3 = 7

x 1 - 5 ∙ x 2 - 2 ∙ x3 = 7 - 3 ∙ x2 + x3 = 1 x 2 + 3 ∙ x3 = 4

~

a11 = 1  0

 Transformación elemental del tipo II Para cada i > 1, aplicamos la operación Li

a11 L i + (- a i1 ) L1

Es decir remplazamos la i-ésima ecuación lineal Li por la ecuación que se obtiene multiplicando la i-ésima ecuación Li por a11 y multiplicando la 1er ecuación L1 por (-a i1) y luego sumamos.  Ejemplo L1 L2 L3

x1 - 5 x2 - 2 x3 = 7 - 3 x2 +

x3 = 1

x2 + 3 x3 = 4

Se puede notar que x1 no aparece en la 2da ecuación, por lo cual no es necesario aplicar ninguna transformación. Aplicaremos una transformación tipo II para eliminar x2 en la 3er ecuación ( L3 ) L3

a22 L 3 + (-a 31 ) L2 - 3 (x2 + 3 x3 - 4) + (-1) (-3x2 + x3 - 1) - 3x2 - 9 x3 +12 + 3 x2 - x3 +1 -10 x3 + 13

Con esta transformación tenemos:

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ÁLGEBRA LINEAL. Observar la forma escalonada del sistema resultante. De la 3er ecuación 𝐱 𝟑 =

𝟏𝟑 𝟏𝟎

sustituyendo este resultado en la 2da ecuación

- 3 x2 + (13/10) = 1 - 3 x2 = 1-(13/10) = (10/10) – (13/10) = -3/10 - 3 x2 = -3/10

𝐱𝟐 =

𝟏 𝟏𝟎

Sustituyendo x2 y x3 en la 1° ecuación: x1 - 5 (1/10) - 2 ( 13/10) = 7 → x1 = 7+ (5/10) + (26/10)= 7 + (31/10) → x1 = (70/10) + (31/10)= (101/10) →

x1= (101/10)

Por lo anterior la solución del sistema será: (x1 , x2 , x3 ) =

(

𝟏𝟎𝟏 𝟏𝟎

,

𝟏 𝟏𝟎

,

𝟏𝟑 𝟏𝟎

)

Ejemplo 5. Diga si el conjunto del ejemplo 4, es LI o LD. Solución. Al usar el concepto de la dependencia lineal, se encontró un sistema de ecuaciones lineales:

3𝑘1 − 𝑘2 = 0 2𝑘1 + 4𝑘2 = 0

Resolviendo el sistema, mediante el uso de transformaciones elementales.

3𝑘1 − 𝑘2 = 0 2𝑘1 + 4𝑘2 = 0

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~

3𝑘1 − 𝑘2 = 0 −14𝑘2 = 0

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ÁLGEBRA LINEAL. Un sistema equivalente presenta “r” ecuaciones con “n” incógnitas. Si en un sistema equivalente homogéneo en forma escalonada existen tantas ecuaciones como incógnitas (𝑟 = 𝑛) el sistema presenta solución única y esta es:

(0,0,0, … … . . ,0) 𝑙𝑙𝑎𝑚𝑎𝑑𝑎 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 𝑡𝑟𝑖𝑣𝑖𝑎𝑙. Entonces el sistema resultante del ejercicio presenta dos ecuaciones y dos incógnitas por lo tanto tiene solución única, y concluimos que el conjunto es linealmente independiente.

Ejemplo 6. Determine si el conjunto {(3,2), (−1,4), (1,0)} es L.I. o L.D. Solución. Formando la combinación lineal:

𝑘1 (3,2) + 𝑘2 (−1,4) + 𝑘3 (1,0) = (0,0)

Si en un sistema equivalente homogéneo en forma escalonada existe menor número de ecuaciones que de incógnitas (𝑟 < 𝑛) el sistema presenta múltiples soluciones y por lo tanto existen soluciones distintas de: (0,0,0, … … . . ,0). El sistema equivalente presenta dos ecuaciones y tres incógnitas. Considerando lo anterior, determinamos que el conjunto dado es linealmente dependiente.

Un sistema con múltiples soluciones contiene variables libres. La solución general del sistema se expresa en términos de éstas variables libres. Al dar valores a la variable libre, se encuentran soluciones particulares.

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ÁLGEBRA LINEAL. Espacio generado. Definición 4. Se dice que los vectores ⃗⃗⃗⃗ 𝒗𝟏 , ⃗⃗⃗⃗ 𝒗𝟐 , … … . , ⃗⃗⃗⃗ 𝒗𝒏 ∈ 𝑽 generan a V si cualquier vector en V puede ser escrito como una combinación lineal de ellos.

⃗ ∈ 𝑽 existen escalares 𝒌𝟏 , 𝒌𝟐 , … … … , 𝒌𝒏 ∈ 𝑹 tales que Esto es, ∀ 𝒗 ⃗ = 𝒌𝟏 ⃗⃗⃗⃗ 𝒗 𝒗𝟏 + 𝒌𝟐 ⃗⃗⃗⃗ 𝒗𝟐 + … … . . + 𝒌𝒏 ⃗⃗⃗⃗ 𝒗𝒏 Ejemplo 7. Diga si el conjunto; {(2, −1), (−3, −2)} genera a cualquier vector, 𝑢 ⃗ = (𝑎, 𝑏) Donde, 𝑢 ⃗ ∈ 𝑅2. Solución. Tomando la combinación lineal 𝑘1 (2, −1) + 𝑘2 (−3, −2) = (𝑎, 𝑏) Resulta un sistema de ecuaciones no- homogéneo.

2𝑘1 − 3𝑘2 = 𝑎 −𝑘1 − 2𝑘2 = 𝑏 La ecuación matricial del sistema es:

[

𝑎 2 −3 𝑘1 ][ ] = [ ] 𝑏 −1 −2 𝑘2

El determinante de la matriz de coeficientes viene dado como: |𝐴| = | 2 −3| = −4 − 3 = −7 ≠ 0 −1 −2 Si el determinante es distinto de cero la ecuación matricial tiene solución, y por lo tanto es posible encontrar 𝑘1 𝑦 𝑘2 . El conjunto dado si genera a cualquier vector del espacio 𝑅 2 .

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ÁLGEBRA LINEAL. Base. Definición 5. Un conjunto de vectores { ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝒗𝟏 , ⃗⃗⃗⃗ 𝒗𝟐 , … … . , ⃗⃗⃗⃗ 𝒗𝒏 } constituye una base para V sí: 1) { ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝒗𝟏 , ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝒗𝟐 , … … . , ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝒗𝒏 }

Es Linealmente Independiente

2) { ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝒗𝟏 , ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝒗𝟐 , … … . , ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝒗𝒏 } Genera a V.

Dimensión. Definición 6. La dimensión de un espacio vectorial V es el número de vectores en una base de V. Si este número es finito V se llama un espacio vectorial de dimensión finita, en caso contrario se llama espacio vectorial de dimensión infinita. ⃗ } Si 𝑽 = { ⃗𝒐

entonces se dice que V es de dimensión cero.

Coordenadas de un vector respecto a una base ordenada. Sea V un espacio vectorial y sea

{ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐯𝟏 , ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐯𝟐 , … … . , ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐯𝐧 }

una base de V. Los

elementos de V se pueden representar por n–uplas relativas a esta base. Definición 7.

⃗ ∈ 𝑽 se expresa como una combinación lineal Si 𝒗 ⃗ = 𝒌𝟏 ⃗⃗⃗⃗ 𝒗 𝒗𝟏 + 𝒌𝟐 ⃗⃗⃗⃗ 𝒗𝟐 + … … . . + 𝒌𝒏 ⃗⃗⃗⃗ 𝒗𝒏 De los elementos de la base, entonces se dice que (𝒌𝟏 , 𝒌𝟐 , … . . , 𝒌𝒏 ) son las

⃗ con respecto a la base y que 𝒌𝒊 es la i-ésima coordenada. coordenadas de 𝒗 Ejemplo 8. Determinar las coordenadas del vector, 𝑤 ⃗⃗ = (−4,3) respecto a la base vectorial;

{(2, −1), (−3, −2)}

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ÁLGEBRA LINEAL. Solución. Tomando la combinación lineal,

𝑘1 (2, −1) + 𝑘2 (−3, −2) = (−4,3) Formamos el sistema;

2𝑘1 − 3𝑘2 = −4

−𝑘1 − 2𝑘2 = 3 Usando transformaciones elementales obtenemos el sistema equivalente,

2𝑘1 − 3𝑘2 = −4 −7𝑘2 = 2 Resolviendo el sistema, determinamos las coordenadas del vector.

(𝑘1 , 𝑘2 ) = (−

17 2 ,− ) 7 7

Espacio fila y espacio columna de una matriz. Sea A una matriz arbitraria mxn sobre un campo R a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n A= am1 am2 . . . amn Las filas de A consideradas como vectores en Rn, generan un sub-espacio de Rn llamado espacio fila de A.

⃗ 𝟏 = (𝐚𝟏𝟏 𝐚𝟏𝟐 . . . 𝐚𝟏𝐧) 𝒗 ⃗ 𝟐 = (𝐚𝟐𝟏 𝐚𝟐𝟐 . . . 𝐚𝟐𝐧) 𝒗 ⋮

⋮

⃗ 𝒎 = (𝐚𝐦𝟏 𝐚𝐦𝟐 . . . 𝐚𝐦𝐧) 𝒗 Espacio fila:

{𝒗 ⃗ 𝟏, 𝒗 ⃗ 𝟐, ⋯ ⋯ , 𝒗 ⃗𝒎 }

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ÁLGEBRA LINEAL. Análogamente las columnas de A consideradas como vectores en Rm, generan un sub-espacio de Rm llamado el espacio columna de A.

⃗ 𝟏, 𝒖 ⃗ 𝟐, ⋯ ⋯ , 𝒖 ⃗ 𝒏} Espacio columna: {𝒖 Las dimensiones del espacio fila y el espacio columna de A, se llaman el rango fila y el rango columna de A respectivamente.

Rango de una matriz. Definición 7. El rango de la matriz “A” denotado por rang (A); es el valor común de su rango fila y su rango columna. Así, el rango de una matriz es el máximo número de filas independientes y también el máximo número de columnas independientes.

Consideremos un sistema de ecuaciones lineales.

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ÁLGEBRA LINEAL. a11 a12. . . a1n a21 a22. . . a2n . . . . am1 am2. . . amn

Matriz de coeficientes A =

mxn

Matriz de coeficientes Aumentada

a11 a12. . . a1n a21 a22. . . a2n . . . . am1 am2. . . amn

b1 b2

bm

m x (n + 1)

Observaciones. i)

Las

ecuaciones

lineales

anteriores

se

dicen

dependientes

o

independientes si lo son los vectores correspondientes; esto es, si las filas de la matriz aumentada son dependientes o independientes.

ii)

Dos sistemas de ecuaciones lineales son equivalentes si y solo si las matrices aumentadas correspondientes son equivalentes por filas; esto es, tienen el mismo espacio fila.

iii)

Podemos remplazar siempre un sistema de ecuaciones por un sistema de ecuaciones independientes, tal como un sistema en forma escalonada. El número de ecuaciones linealmente independientes es siempre igual al rango de la matriz aumentada.

iv)

El sistema de ecuaciones en forma matricial es: AX = B

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ÁLGEBRA LINEAL. Este sistema de ecuaciones es equivalente a:

a11 a21 . .

x1

a12 a22 . .

+ x2

.

. am1

am2

+ x3

a13 a23 . . . am3

a1n a2n . .

+. . . + xn

=

. amn

b1 b2 . .

=B

. bm

Se observa que el sistema AX = B tiene una solución si y solo si el vector columna B es una combinación lineal de las columnas de la matriz A; esto es, pertenece al espacio columna de A. Teorema. El sistema de ecuaciones lineales AX = B tiene una solución si y solo si la matriz de los coeficientes de A y la matriz aumentada tiene el mismo rango. Ejemplo 9. Determinar el rango de la matriz,

1 −2 [4 −5 7 −8

3 6] 9

Solución. Aplicando operaciones elementales entre filas.

Observando la tercer fila se tienen puros “ceros”, entonces se tienen dos filas independientes y el rango fila es 2. De forma análoga aplicando operaciones elementales a las columnas.

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ÁLGEBRA LINEAL.

Los elementos de la tercera columna son todos “cero” resultando dos columnas independientes, así el rango columna es 2. Conforme a los resultados anteriores: El rango de la matriz es 2

Espacios lineales. En forma

general, un Espacio Vectorial es un Espacio Lineal, otros tipos de

espacio lineal son: a) Espacio de Matrices. b) Espacio de Polinomios. c) Espacio de Funciones.

Espacio de matrices. Definición 8. Un espacio 𝑴 sobre el campo 𝑹 es un conjunto de matrices que se pueden sumar y que se pueden multiplicar por elementos de 𝑹; de tal forma que la suma de dos matrices es de nuevo un elemento de 𝑴 y el producto de una matriz por un escalar es un elemento de 𝑴 y además se satisfacen las propiedades de un espacio lineal. Ejemplo 10. El conjunto de matrices 1 {[ 1

1 1 1 1 0 0 ],[ ],[ ],[ 0 0 1 1 1 1

1 ]} 1

Genera el Espacio de matrices 𝑴𝟐𝒙𝟐 .

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ÁLGEBRA LINEAL. Solución. Debemos probar que;

𝐾1 [

1 1 1 ] + 𝐾2 [ 1 0 0

1 1 0 0 1 𝑎 ] + 𝐾3 [ ] + 𝐾4 [ ]=[ 1 1 1 1 1 𝑐 𝐾 + 𝐾2 + 𝐾3 [ 1 𝐾1 + 𝐾3 + 𝐾4

𝑏 ] 𝑑

𝐾1 + 𝐾 2 + 𝐾4 𝒂 𝒃 ]=[ ] 𝐾2 + 𝐾 3 + 𝐾4 𝒄 𝒅

Tomando la igualdad matricial resulta el sistema;

𝐾1 + 𝐾2 + 𝐾3 = 𝑎 𝐾1 + 𝐾2 + 𝐾4 = 𝑏 𝐾1 + 𝐾3 + 𝐾4 = 𝑐 𝐾2 + 𝐾3 + 𝐾4 = 𝑑 La ecuación matricial del sistema es: 𝟏 [𝟏 𝟏 𝟎

𝟏 𝟏 𝟎 𝟏

𝟏 𝟎 𝟏 𝟏

𝟎 𝑲𝟏 𝒂 𝟏] [𝑲𝟐 ] = [𝒃] 𝒄 𝟏 𝑲𝟑 𝒅 𝟏 𝑲𝟒

Tomando el determinante de la matriz de coeficientes, 1 |1 1 0

1 1 0 1

1 0 1 1

0 1| = −3 ≠ 0 ∴ 𝑠𝑖 𝑔𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎 𝑎𝑙 𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑖𝑜 𝑴 𝟐𝒙𝟐 1 1

𝑎 |𝑏 𝑐 𝐾1 = 𝑑

1 1 1 0 0 1 1 1 −3

0 1| 1 1 = 1 (𝑎 + 𝑏 + 𝑐 − 2𝑑) 3

1 𝑎 1 |1 𝑏 0 1 𝑐 1 𝐾2 = 0 𝑑 1 −3

0 1| 1 1 = 1 (𝑎 + 𝑏 − 2𝑐 + 𝑑) 3

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ÁLGEBRA LINEAL. 1 |1 1 𝐾3 = 0

1 𝑎 1 𝑏 0 𝑐 1 𝑑 −3

0 1| 1 1 = 1 (𝑎 − 2𝑏 + 𝑐 + 𝑑) 3

1 1 𝑎 1 0 𝑏| 0 1 𝑐 1 1 𝑑 = 1 (−2𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑) −3 3

1 |1 1 𝐾4 = 0

Si 𝑲𝟏 , 𝑲𝟐 , 𝑲𝟑 𝒚 𝑲𝟒 existen, cualquier matriz [

𝒂 𝒃 ] se puede expresar 𝒄 𝒅 𝟐𝒙𝟐

como una combinación lineal del conjunto de matrices dado.

Espacio de polinomios. Definición 9. Un espacio 𝑷(𝒙) sobre el campo 𝑹 es un conjunto de Polinomios que se pueden sumar y que se pueden multiplicar por elementos de 𝑹; de tal forma que la suma de dos polinomios es de nuevo un elemento de 𝑷(𝒙) y el producto de un polinomio por un escalar es un elemento de 𝑷(𝒙) y además se satisfacen las propiedades de un espacio lineal. Ejemplo 11. Los polinomios,

𝑥 2 + 3𝑥 − 2, 2𝑥 2 + 5𝑥 − 3 𝑦 −𝑥 2 − 4𝑥 + 4 Generan al espacio 𝑷𝟐 (𝒙). Solución. Debemos probar que; 𝑲𝟏 (𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 − 𝟐) + 𝑲𝟐 (𝟐𝒙𝟐 + 𝟓𝒙 − 𝟑) + 𝑲𝟑 (−𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟒) = 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 Desarrollando algebraicamente, 𝒌𝟏 𝒙𝟐 + 𝟐𝑲𝟐 𝒙𝟐 − 𝑲𝟑 𝒙𝟐 = 𝒂𝒙𝟐 𝟑𝒌𝟏 𝒙 + 𝟓𝑲𝟐 𝒙 − 𝟒𝑲𝟑 𝒙 = 𝒃𝒙 −𝟐𝒌𝟏 − 𝟑𝑲𝟐 + 𝟒𝑲𝟑 = 𝒄 ING. FORTUNATO CERECEDO H.

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ÁLGEBRA LINEAL. Se tiene el siguiente sistema, 𝒌𝟏 + 𝟐𝑲𝟐 − 𝑲𝟑 = 𝒂 𝟑𝒌𝟏 + 𝟓𝑲𝟐 − 𝟒𝑲𝟑 = 𝒃 −𝟐𝒌𝟏 − 𝟑𝑲𝟐 + 𝟒𝑲𝟑 = 𝒄

La ecuación matricial del sistema es; 𝑎 1 2 −1 𝐾1 𝐾 [3 5 −4] [ 2 ] = [𝑏 ] 𝑐 −2 −3 4 𝐾3 Tomando el determinante de la matriz de coeficientes, 1 |3 −2

2 −1 5 −4| = −1 ≠ 0 ∴ 𝑠𝑖 𝑔𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎 𝑎𝑙 𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑖𝑜 𝑷𝟐 (𝒙) −3 4

Resumiendo, 𝑺𝒊 𝑲𝟏 , 𝑲𝟐 𝒚 𝑲𝟑 𝒆𝒙𝒊𝒔𝒕𝒆𝒏,

𝒆𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔 𝒆𝒍 𝒑𝒐𝒍𝒊𝒏𝒐𝒎𝒊𝒐 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄

𝑺𝒊 𝒆𝒔 𝒖𝒏𝒂 𝒄𝒐𝒎𝒃𝒊𝒏𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝒍𝒊𝒏𝒆𝒂𝒍 𝒅𝒆𝒍 𝒄𝒐𝒏𝒋𝒖𝒏𝒕𝒐 𝒅𝒆 𝒑𝒐𝒍𝒊𝒏𝒐𝒎𝒊𝒐𝒔 𝒅𝒂𝒅𝒐.

Espacio de funciones. Definición 10. Un espacio 𝑭(𝒕) sobre el campo 𝑹 es un conjunto de funciones que se pueden sumar y que se pueden multiplicar por elementos de 𝑹; de tal forma que la suma de dos funciones es de nuevo un elemento de 𝑭(𝒕) y el producto de una función por un escalar es un elemento de 𝑭(𝒕) y además se satisfacen las propiedades de un espacio lineal. Sea el conjunto {𝑓1 (𝑥), 𝑓2 (𝑥), ⋯ ⋯ , 𝑓𝑛 (𝑥)} un espacio de funciones. Una combinación lineal entre funciones será:

𝑐1 𝑓1 (𝑥) + 𝑐2 𝑓2 (𝑥) + ⋯ ⋯ + 𝑐𝑛 𝑓𝑛 (𝑥) Dónde:

𝑐1 , 𝑐2 , ⋯ ⋯ , 𝑐𝑛 𝑠𝑜𝑛 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑒𝑠.

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ÁLGEBRA LINEAL. Dependencia lineal de una función. Definición 11. Se dice que un conjunto de funciones {𝑓1 (𝑥), 𝑓2 (𝑥), ⋯ ⋯ , 𝑓𝑛 (𝑥)} es linealmente dependiente en un intervalo 𝐈 si existen constantes 𝑐1 , 𝑐2 , ⋯ ⋯ , 𝑐𝑛 no todas nulas, tales que:

𝑐1 𝑓1 (𝑥) + 𝑐2 𝑓2 (𝑥) + ⋯ ⋯ + 𝑐𝑛 𝑓𝑛 (𝑥) = 0 ∀ 𝑥 ∈ I En caso contrario se dice que son linealmente independientes.  Observación. Si dos funciones son L.D. entonces una es simplemente un múltiplo constante de la otra;

𝑐1 𝑓1 (𝑥) + 𝑐2 𝑓2 (𝑥) = 0 → 𝑓1 (𝑥) = −(𝑐2 ⁄𝑐1 )𝑓2 (𝑥)

Para establecer la dependencia lineal de un conjunto de funciones, se tiene:

𝑐1 𝑓1 (𝑥) + 𝑐2 𝑓2 (𝑥) + ⋯ ⋯ + 𝑐𝑛 𝑓𝑛 (𝑥) = 0 Si derivamos la expresión anterior miembro a miembro.

𝑐1

𝑑𝑓1 𝑑𝑓2 𝑑𝑓𝑛 + 𝑐2 + ⋯ ⋯ + 𝑐𝑛 =0 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥

Como se tienen “n” funciones volvemos a derivar hasta (n-1) derivadas quedando;

𝑐1 𝑓1𝑛−1 + 𝑐2 𝑓2𝑛−1 + ⋯ ⋯ + 𝑐𝑛 𝑓𝑛𝑛−1 = 0 Con las ecuaciones anteriores formamos un sistema.

𝑐1 𝑓1 (𝑥) + 𝑐2 𝑓2 (𝑥) + ⋯ ⋯ + 𝑐𝑛 𝑓𝑛 (𝑥) = 0 𝑐1

𝑑𝑓1 𝑑𝑓2 𝑑𝑓𝑛 + 𝑐2 + ⋯ ⋯ ⋯ + 𝑐𝑛 =0 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 ⋮

⋮

𝑐1 𝑓1𝑛−1 + 𝑐2 𝑓2𝑛−1 + ⋯ ⋯ + 𝑐𝑛 𝑓𝑛𝑛−1 = 0 La ecuación matricial del sistema resulta como:

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ÁLGEBRA LINEAL. 𝑓1 (𝑥 ) 𝑑𝑓1 𝑑𝑥 ⋮ 𝑛−1 ( 𝑓1

𝑓2 (𝑥 ) 𝑓𝑛 (𝑥 ) 𝑐1 0 𝑑𝑓2 𝑑𝑓𝑛 𝑐2 0 (⋮)=( ) 𝑑𝑥 ⋯ 𝑑𝑥 ⋮ ⋮ ⋮ 𝑐𝑛 0 𝑛−1 𝑛−1 𝑓2 𝑓𝑛 )

La solución del sistema nos indicará acerca de la dependencia lineal del conjunto de funciones. El siguiente teorema proporciona una condición suficiente para la independencia lineal de ‘𝑛’ funciones en un intervalo I. Cada función se supone diferenciable por lo menos (𝑛 − 1) veces. TEOREMA. Supóngase que 𝑓1 (𝑥), 𝑓2 (𝑥), ⋯ ⋯ , 𝑓𝑛 (𝑥) tienen al menos (𝑛 − 1) derivadas. Si el determinante:

𝑓1 (𝑥) 𝑓2 (𝑥) 𝑓𝑛 (𝑥) 𝑑𝑓 𝑑𝑓2 𝑑𝑓𝑛 | 1 | ⋯ 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 | | ⋮ ⋮ ⋮ 𝑓1𝑛−1 𝑓2𝑛−1 𝑓𝑛𝑛−1 No es cero por lo menos en un punto del intervalo I, entonces las funciones

𝑓1 (𝑥), 𝑓2 (𝑥), ⋯ ⋯ , 𝑓𝑛 (𝑥) son linealmente independientes en el intervalo. El determinante anterior se designa por:

𝑾 y se llama Wronskiano de las funciones. Si 𝑓1 (𝑥), 𝑓2 (𝑥), ⋯ ⋯ , 𝑓𝑛 (𝑥) son linealmente independientes;

𝑬𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔 𝑾 ≠ 𝟎

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ÁLGEBRA LINEAL. Ejemplo 12. Determinar si el conjunto de funciones {2𝑡 − 4, 3 + 𝑡 2 , −4𝑡} es linealmente dependiente. Solución. Tomando el Wronskiano de las funciones.

2𝑡 − 4 | 2 0

3 + 𝑡2 2𝑡 2

−4𝑡 −4 | 0

Realizando un desarrollo por cofactores en el tercer renglón.

2𝑡 − 4 −4𝑡 −2 | | = −2[(−4)(2𝑡 − 4) + 8𝑡] = −2(−8𝑡 + 16 + 8𝑡) = −32 2 −4 𝑊 = −32 ≠ 0 𝐸𝑙 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑒𝑠 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒.

Ejemplo 13. Determinar el valor de 𝐾 para el cual el conjunto de funciones es Linealmente Dependiente.

{−2𝑡 2 , 𝑡 2 + 2 − 𝐾} Solución. Tomando el Wronskiano, 2

|−2𝑡 −4𝑡

𝑡2 + 2 − 𝐾| = −4𝑡 3 + 4𝑡(𝑡2 + 2 − 𝐾) = 0 2𝑡

−4𝑡 3 + 4𝑡 3 + 8𝑡 − 4𝐾𝑡 = 0

→ 4 − 2𝐾 = 0

𝑲=𝟐

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