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CIENCIAS BÁSICAS

ÁLGEBRA LINEAL ESPACIOS VECTORIALES

ADRIÁN RUEDA GONZÁLEZ #CONTROL 17111728

Prof. López Benavides Francisco Javier

Ciudad Juárez. Chihuahua. 30/Abril /2018

OBJETIVO: El objetivo de este trabajo es que los alumnos puedan entender la definición de los espacios vectoriales, sus propiedades utilizando ejemplos para dar una mejor explicación y se obtenga un mayor entendimiento del tema. DEFINICIÓN: Un espacio vectorial es una terna (V, +, ·), donde V es un conjunto no vacío y +, · son dos operaciones del tipo + : V × V → R, · : R × V → V a las que llamaremos ’suma de vectores’ y ’producto por escalares respectivamente y con las siguientes propiedades: denotando +(u, v) = u + v y ·(λ, v) = λv, 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

u + (v + w)=(u + v) + w, ∀u, v, w ∈ V (asociativa). u + v = v + u, ∀u, v ∈ V (conmutativa). Existe e ∈ V tal que e + v = v + e = v, ∀v ∈ V (elemento neutro). Para cada v ∈ V existe w tal que v + w = w + v = e (elemento opuesto). λ(µv)=(λµ)v, ∀v ∈ V , ∀λ, µ ∈ R (Pseudo-asociativa). λ(u+v) = λu+λv y (λ+µ)v = λv +µv, ∀u, v ∈ V y ∀λ, µ ∈ R (distributiva). 1v = v,∀v ∈ V (unimodular). De forma abreviada, diremos que V es un espacio vectorial. A los elementos de V lo llamamos vectores y a los de R, escalares.

En un espacio vectorial V 1. El elemento neutro es único. Se denotará por 0. 2. El elemento opuesto de un vector es único. Si v es un vector, su opuesto lo denotamos por −v. En un espacio vectorial se tiene las siguientes propiedades: 1. λ0=0, λ ∈ R. 2. 0v = 0, v ∈ V . 3. (−λ)v = −(λv), λ ∈ R, v ∈ V . 4. Si λv = 0, entonces λ = 0 o v = 0.

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EJEMPLOS DE ESPACIOS VECTORIALES 1. Si n es un número natural, se considera el espacio euclídeo Rn = {(x1,...,xn); xi ∈ R} con la suma y producto por escalares siguientes: (x1 ...,xn)+(y1,...,yn)0(x1 + y1,...,xn + yn). λ(x1,...,xn)=(λx1, . . . , λxn). Siempre se supondrá que Rn tiene esta estructura vectorial y que llamaremos usual. 2. Sea V = {(x, y) ∈ R2 ; x − y = 0} con la suma y producto por escalares como antes. 3. Sea V = {p} un conjunto con un único elemento y con p + p = p y λp = p. 4. Sea V = {f : R → R; f es aplicación} y (f + g)(x) = f(x) + g(x), (λf)(x) = λf(x), x ∈ R. 5. W = {f : R → R; f es una función diferenciable} y la suma y el producto por escalares está definido de forma análoga a la del ejemplo anterior. 6. Se considera el conjunto de los polinomios de grado n ∈ N: un polinomio de grado n ∈ N es una expresión del tipo p(X) = a0 + a1X + ... + anXn; abreviaremos p(X) = ∑n i=1 aiXi, donde por convenio X0 = 1 y en vez de escribir a01 = a0. Dos polinomios p(X) = ∑n i=1 aiXi y q(X) = ∑n i=1 biXi se dirán iguales si ai = bi para cada i. El conjunto de polinomios de grado n lo denotamos por Pn[X]. Definimos la siguiente suma de polinomios y de un escalar por un polinomio:

Sean V1 y V2 dos espacios vectoriales. Se define en V1 × V2 = {(v1, v2); vi ∈ Vi} las siguientes operaciones:

(v1, v2)+(u1, u2)=(v1 + u1, v2 + u2) λ(v1, v2)=(λv1, λv2). Con esta suma y producto por escalares, V1 × V2 es un espacio vectorial y se llama espacio producto.

Como caso particular, se tiene R2 = R × R (¡comprobad que ambos espacios vectoriales coinciden!). De la misma forma, se puede definir el espacio vectorial Rn ×Rm

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SUBESPACIO VECTORIAL Definición: Sea V un espacio vectorial y U un subconjunto suyo. Se dice que U es un subespacio vectorial de V si satisface las siguientes propiedades: 1. Si u, v ∈ U, entonces u + v ∈ U. 2. Si λ ∈ R y u ∈ U, entonces λu ∈ U. 3. Con la suma y producto por escalares de V , U es un espacio vectorial.

Sea U un subconjunto de un espacio vectorial V . Entonces U es un subespacio vectorial si y solo si 1. Si u, v ∈ U, entonces u + v ∈ U. 2. Si λ ∈ R y u ∈ U, entonces λu ∈ U.

Demostración: Supongamos que U satisface las propiedades 1 y 2. Veamos que con estas son suficientes para probar todas las propiedades de espacio vectorial. Todas estas son ciertas de forma trivial, excepto dos: la existencia de elemento neutro y opuesto. Pero para ello basta con probar que el elemento neutro de V se encuentra en U y lo mismo sucede con el elemento opuesto de un vector de U. Por hipótesis, si u ∈ U, 0u = 0 ∈ U. De la misma forma, si u ∈ U, −1u = −(1u) = −u ∈ U. Sean U y W subespacios vectoriales de V . Se define la suma de U con W como el conjunto U + W = {u + w; u ∈ U, w ∈ W}. Entonces U+W es un subespacio vectorial. Además, se tienen las siguientes propiedades: 1. U + W = W + U. 2. U + U = U. 3. U ⊂ U + W. 4. U + W es el menor subespacio (con respecto a la inclusión de conjuntos) que contiene a U y a W Un espacio vectorial V es suma directa de dos subespacios vectoriales U y W suyo, y se denota por V = U ⊕ W, si V = U + W y U ∩ W = {0}. Con el concepto de subespacio vectorial podemos definir una estructura de espacio vectorial en un conjunto cociente. Sea U un subespacio vectorial de V . En V se define la siguiente relación binaria R: vRw si v − w ∈ U. Entonces R es una relación de equivalencia en V . Al conjunto cociente se denota por V/U. Es evidente que la clase de equivalencia de un vector v es [v] = v + U = {v + u; u ∈ U}. En V/U se define la siguiente suma y producto por escalares: (v + U)+(w + U)=(v + w) + U. λ(v + U)=(λv) + U. Estas operaciones están bien definidas: por ejemplo, si v + U = v + U y w + U = w + U, v − v ∈ U, w − w ∈ U y por tanto, (v + w) + U = (v + w ) + U.

Entre las aplicaciones de los espacios vectoriales se encuentran ciertas funciones de compresión de sonido e imágenes, que se basan en las series de Fourier y otros métodos, y la resolución de ecuaciones en derivadas parciales (relacionar una función matemática con diversas variables independientes y las derivadas parciales de la misma respecto de dichas variables). Por otro lado, sirven para el tratamiento de objetos físicos y geométricos, como ser los tensores.

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CONCLUSIÓN A través de lo que se ha investigado se puede llegar a la conclusión que la noción de espacio vectorial se utiliza para nombrar a la estructura matemática que se crea a partir de un conjunto no vacío y que cumple con diversos requisitos y propiedades iniciales. Esta estructura surge mediante una operación de suma y una operación de producto entre dicho conjunto y un cuerpo. Es importante tener en cuenta que todo espacio vectorial dispone de una base y que todas las bases de un espacio vectorial, a su vez, presentan la misma cardinalidad.

REFERENCIAS Espacios y subespacios vectoriales Autor: SABEL PUSTILNIK Y FE DERICO

GÓMEZ

AÑO: 8 NOVIEMBRE, 2017

https://aga.frba.utn.edu.ar/espacios-y-subespacios-vectoriales/ ESPACIOS VECTORIALES Prof. Rafael López Camino Departamento de Geometría y Topología Universidad de Granada Geometría I. Curso 2003/04

http://www.ugr.es/~rcamino/docencia/geo1-03/g1tema1.pdf Espacios vectoriales Guerra, N.; López, B.; Quintana, M.P.; Suárez, A.

http://www.dma.ulpgc.es/profesores/blopez/archivos/algebra/teoria_ejercicios/CAPITULO4%20Esp%20Vecto rialesc.pdf

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