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• Alexis Bernal Muñoz

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Espacios vectoriales

Elaborado por Ing. Francisco Barrera Del Rayo

Espacio vectorial Se requiere de: 1.

Un conjunto V cuyos elementos llamaremos “vectores”

2.

Un campo K cuyos elementos llamaremos “escalares”

3.

Dos operaciones: a)

Adición de vectores 𝑣 1 + 𝑣 2 , ∀ 𝑣 1 , 𝑣 2 ∈ 𝑉

b)

Multiplicación de un vector por un escalar ∝ 𝑢 ; ∀ 𝑢 ∈ 𝑉 𝑦 ∀ ∝, ∈ 𝐾

Definición Sea V un conjunto no vacío y sea k un campo, donde se definen las operaciones de adición de vectores y la multiplicación de un vector por un escalar. Se dice que V es un espacio vectorial sobre k si los elementos de V satisfacen los siguientes 10 axiomas:

Axiomas de espacio vectorial ∀ 𝑢, 𝑣, 𝑤 ∈ 𝑉 𝑦 ∀ ∝, 𝛽 ∈ 𝐾

1. ( 𝑢 + 𝑣 ) ∈ 𝑉 2. (𝑢 + 𝑣 ) + 𝑤 = 𝑢 + ( 𝑣 + 𝑤 ) 3. ∃ 0 ∈ 𝑉 | ∀ 𝑢 ∈ 𝑉 ; 0 + 𝑢 = 𝑢 + 0 = 𝑢 4. ∀ 𝑢 ∈ 𝑉 ; ∃ − 𝑢 ∈ 𝑉 6 𝑢 + − 𝑢 = − 𝑢 + 𝑢 = 0 5. 𝑢 + 𝑣 = 𝑣 + 𝑢 6. ( ∝ 𝑢 ) ∈ 𝑉 7. ∝ 𝑢 + 𝑣 = ∝ 𝑢 + ∝ 𝑣 8. ( ∝ + 𝛽 ) 𝑢 = 𝛼 𝑢 + 𝛽 𝑢 9. ∝ 𝛽 𝑢 = ( 𝛼 𝛽 ) 𝑢 10. 𝑆 𝑖 1 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝐾, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 1𝑢 = 𝑢 ; ∀ 𝑢 ∈ 𝑉

Otros ejemplos E

F

G

ℝ , ℝ , … , ℝ Son un espacio vectorial sobre ℝ E

F

G

ℂ , ℂ , … , ℂ Son un espacio vectorial sobre ℂ 𝑦 ℝ

Subespacio vectorial Sea W un subconjunto de un espacio vectorial V. Si W es a su vez un espacio vectorial con respecto a las operaciones de adición y multiplicación definidas en V, se dice entonces que W es un subespacio de V.

Teorema Sea V un espacio vectorial sobre un campo K. Si W es un subconjunto no vacío de V, entonces W será un subespacio de V, si y sólo si, se cumplen las condiciones siguientes:

1. ∀ 𝑢, 𝑣 ∈ 𝑊, (𝑢 + 𝑣 ) ∈ 𝑊 2. ∀ 𝑢 ∈ 𝑊 𝑦 ∀ ∝ ∈ 𝐾, (∝ 𝑣 ) ∈ 𝑊

Otros ejemplos

ℂ, +,J

Es un espacio vectorial sobre ℝ

ℝ, +,J Es un subespacio de ℂ

Combinación lineal Un vector 𝑤 es una combinación lineal de los vectores 𝑣̅1, 𝑣̅2, … , 𝑣̅n si puede ser expresado en la forma: ∝ K 𝑣 K + ∝ E 𝑣 E +∝ F 𝑣 F + … +∝ G 𝑣 G = 𝑤 Donde ∝ K , ∝ E , ∝ F ,…,∝ G son escalares. Entonces decimos que 𝑤 se obtuvo a partir de una combinación lineal de los vectores 𝑣̅1, 𝑣̅2, … , 𝑣̅n .

Dependencia lineal Sea el conjunto de vectores: V={𝑣̅1, 𝑣̅2, 𝑣̅3, … , 𝑣̅n } , Se dice que V es linealmente independiente si la ecuación: ∝ K 𝑣 K + ∝ E 𝑣 E +∝ F 𝑣 F + … +∝ G 𝑣 G = 0 sólo se satisface cuando ∝ K = ∝ E = ∝ F =…=∝ G =0. En caso contrario, es decir, si existen escalares ∝ K , ∝ E , ∝ F ,…,∝ G no todos nulos, para los cuales se satisface dicha ecuación, entonces se dice que el conjunto V es linealmente dependiente.

Conjunto generador Sea V un espacio vectorial sobre K, y sea W={𝑣̅1, 𝑣̅2, 𝑣̅3, … , 𝑣̅n } un subconjunto de vectores de V. Se dice que W es generador de V si todo vector de V puede expresarse como una combinación lineal de los vectores de W.

Base Se define como base de un espacio vectorial V, a cualquier subconjunto B de vectores de V , tal que: 1)

Cualquier vector de V puede expresarse como una combinación lineal de los vectores de B.

2)

B es linealmente independiente.

Base canónica para ℝG El concepto de base canónica lo aplicaremos solamente a los espacios ℝG . ℝG = { (𝑥 K , 𝑥 E ,…, 𝑥 G )| 𝑥 N ∈ ℝ} Entonces la base canónica es el conjunto B={(1,0,…,0),(0,1,0,…,0),…,(0,0,…,1)}

Para ℝE la base canónica es el siguiente conjunto {(1,0),(0,1)}

Dimensión La dimensión de un espacio vectorial V, se define como la cantidad de elementos de cualquiera de sus bases y se denota como: Dim V Sea T una base del espacio vectorial G. Si T={𝑣̅1, 𝑣̅2, 𝑣̅3} entonces Dim G = 3 El conjunto E={0 } es el único espacio vectorial que no tiene dimensión asociada.

Isomorfismo Sean U y V dos espacios vectoriales de dimensión finita, definidos sobre un campo K. Se dice que la función f : U ->V es un isomorfismo de U a V , si f es biyectiva y además cumple con las condiciones siguientes:

1. 𝑓 𝑢 + 𝑣 = 𝑓 𝑢 ) + 𝑓 ( 𝑣 ; ∀ 𝑢, 𝑣 ∈ 𝑈 2. 𝑓 ∝ 𝑣 = ∝ 𝑓 𝑣 ; ∀ 𝑢 ∈ 𝑈 𝑦 ∀ ∝ ∈ 𝐾 Los espacios vectoriales isomorfos sólo difieren en la naturaleza de sus elementos, sus propiedades algebraicas son idénticas.

Teoremas de Isomorfismo u

Si V es un espacio vectorial real de dimensión n , entonces V es isomorfo a ℝG.

u

Todo espacio vectorial es isomorfo a sí mismo.

u

Si un espacio vectorial V es isomorfo a otro espacio W, entonces W es isomorfo a V.

u

Si un espacio vectorial U es isomorfo a un espacio V y V es a su vez isomorfo a un espacio W, entonces U es isomorfo a W.

u

Dos espacios vectoriales de igual dimensión son isomorfos.

Vector de coordenadas Sea B={𝑣̅1, 𝑣̅2, 𝑣̅ 3, … , 𝑣̅n } una base del espacio vectorial V y sea 𝑣 un vector cualquiera de V, tal que: 𝑣 = ∝ K 𝑣 K + ∝ E 𝑣 E +∝ F 𝑣 F + … +∝ G 𝑣 G A los escalares ∝ K , ∝ E , ∝ F ,…,∝ G se les llama coordenadas de 𝑣 en la base B y al vector: ( 𝑣 ) Q = ( ∝ K , ∝ E , ∝ F ,…, ∝ G ) se le llama vector de coordenadas de 𝑣 en la base B.

Matriz de transición Sea A={𝑣̅1, 𝑣̅2, 𝑣̅3 , … , 𝑣̅n } y B={w̅1, w̅ 2, w̅3 , … , w̅n } dos base de un espacio vectorial V. La matriz de transición 𝑀QS tiene por columnas los vectores de coordenadas de los elementos de la base A con respecto a la base B , esto es: 𝑀QS = [ ( 𝑣U K ) Q ( 𝑣U E ) Q ( 𝑣U F ) Q … ( 𝑣UG ) Q ] Esta matriz 𝑀QS conocida también como matriz de cambio de base, es tal que, si conocemos (𝑣 U) S donde 𝑣 U ∈ V y deseamos obtener el vector de coordenadas de 𝑣 Uen la base B , esto es (𝑣 U) Q , entonces es suficiente con efectuar el producto: 𝑀QS (𝑣 U) S = (𝑣 U) Q Toda matriz de transicion tiene inversa. (𝑀QS )

− 1=

𝑀SQ

Espacio renglón, Espacio columna Dada una matriz A de orden mxn, se tiene que tanto sus renglones como sus columnas pueden definir espacios vectoriales, los llamados “espacios renglón” y “espacios columna”. Estos espacios vectoriales se forman através de todas las combinaciones lineales de los renglones o las columnas de la matriz, considerándolos como vectores de ℝG. Para obtener una base y la dimensión de este tipo de espacios vectoriales, es suficiente como llevar a la matriz dada a su forma escalonada y los renglones distintos de cero, constituyen una base del espacio vectorial. La notación usual para estos espacios vectoriales es: Sea A una matriz de orden mxn. L(AR) -> espacio renglón L(AC) -> espacio renglón

Espacio renglón, Espacio columna A pesar de que los espacios renglón y columna generalmente son espacios distintos, la relacion que existe entre ellos, es que su dimensión siempre es igual, cuando son generados a partir de la misma matriz, esto es:

Dim L(AR) = Dim L(AC)

Rango de una matriz Se define como rango de una matriz A, y se denota como R(A), al número de renglones distintos de cero una vez terminado el escalonamiento en dicha matriz. R(A) = Dim L(AR) = Dim L(AC)

Espacio vectorial de funciones El análisis que se hará de las funciones será desde el punto de vista algebraico y éste se limitará al caso de las funciones reales de variable real. Este tipo de funciones constituyen un espacio vectorial para las operaciones de adición y multiplicación por un escalar: 𝑓 + 𝑔 ( 𝑥 ) = 𝑓 𝑥) + 𝑔 ( 𝑥 ∝ 𝑓 ( 𝑥 ) = ∝ 𝑓(𝑥) ∀ 𝑥 ∈ 𝑅 Este espacio tiene un especial interés por tratarse de un espacio de dimensión infinita..

Wronskiano Dado un conjunto de funciones {𝑓K 𝑥 , 𝑓E 𝑥 , … , 𝑓G 𝑥 } se define como wronskiano al determinante: W(x) =

𝑓K 𝑥 𝑓K´ 𝑥 ⋮

𝑓KG_K 𝑥

𝑓E 𝑥 𝑓E´ 𝑥 ⋮ 𝑓EG_K 𝑥

… 𝑓G 𝑥 ´ 𝑥 … 𝑓 G ⋮ ⋮ … 𝑓GG_K 𝑥

Se tiene que las funciones 𝑓K 𝑥 , 𝑓E 𝑥 , … , 𝑓G 𝑥 son linealmente independientes si existe un valor x0 en el intervalo, donde están definidas las funciones; para el cual el W(x0)≠ 0. En caso de que el W(x)=0, entonces el criterio no decide, y se tiene que recurrir a la ecuación de dependencia lineal.