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UNIVERSIDAD ANDINA NESTOR CACERES VELASQUEZ FACULTAD DE INGENIERIAS Y CIENCIAS PURAS CARRERA ACADEMICA PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVÍL

ALGEBRA MATRICIAL Y TENSORIAL ESPACIOS VECTORIALES EN R3

Docente

: Ing. Ruben Condori

Responsable

: Oswaldo Madani

Semestre :Segundo

JULIACA-PERU 2013

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1 ESPACIOS VECTORIALES 1.1 DEFINICIÓN Sea V 6= φ un conjunto, k un campo y dos operaciones una suma (+) y la otra de producto (.), entonces diremos que el objeto (V, +, k, •) es un espacio vectorial si se verifican las siguientes condiciones. 1.1.1 Existe una aplicación suma + : V × V −→ V

(x, y) −→ + (x, y) = x + y Llamado ley de composición interna (la suma de dos vectores es un vector) y cumple los axiomas siguientes: A1 : x + y = y + x, ∀x, y ∈ V axioma conmutativa. A2 : x + (y + z) = (x + y) + z, ∀x, y ∈ V axioma asociativa. A3 : ∀x ∈ V , existe 0 ∈ V tal que x + (−x) = (−x) + x = 0 donde “0” se denomina elemento neutro aditivo o cero A4 : ∀x ∈ V , existe −x ∈ V tal que x + 0 = 0 + x = x donde “−x” se denomina opuesto de x 1.1.2 Existe una aplicación producto • : k × V −→ V

(λ, x) −→ + (λ, x) = λx Llamado Ley de composición externa (el producto de un escalar por un vector es un vector) y cumple con los axiomas siguientes. B1 : α (βx) = (αβ) x, ∀x ∈ V.α, β ∈ k. B2 : (α + β) x = αx + βx, ∀x ∈ V.α, β ∈ k. B3 : α (x + y) = αx + αy, ∀x ∈ V.α, β ∈ k. B4 : ∀x ∈ V , existe 1 ∈ k elemento idéntico multiplicativo tal que 1.x = x

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1.2 ESPACIOS VECTORIALES EN R3
Se expresa R3 o también R3 , +, • tal que: R3 = R × R × R = {(x, y, z) /x ∈ R, y ∈ R, z ∈ R} 1.2.1 Producto de un número real por el vector cero: El producto de un número real cualquiera por el vector cero de R3 es el vector cero Es − − decir: ∀α ∈ R, es α→ o =→ o Demostración Sea α un número real cualquiera − − α→ o = α (0, 0, 0) = (α,0, α,0, α,0) = (0, 0, 0) = → o 1.2.2 Producto del número cero por un vector cualquiera El producto del número cero por cualquier vector de R3 es el vector cero” Es decir: − − − ∀→ u ∈ R3 , es 0→ u =→ o Demostración − Sea → u = (x, y, z) un vector cualquiera del espacio vectorial R3 − − 0→ u = 0 (x, y, z) = (0.x, 0.y, 0.z) = (0, 0, 0) = → o 1.2.3 Producto del número -1 por un vector cualquiera El producto de -1 por un vector cualquiera del espacio vectorial R3 , es igual al opuesto de ese vector. − − − − Es decir: ∀→ u ∈ R3 , se verifica que (−1) → u = −→ u (opuesto de→ u) Demostración − Sea → u = (x, y, z) un vector cualquiera del espacio vectorial R3

− − (−1) → u = (−1) (x, y, z) = ((−1) .x, (−1) .y, (−1) .z) = (−x, −y, −z) = − (x, y, z) = −→ u

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1.2.4 Combinación lineal de vectores de R3 − − − Sean → u y→ v dos vectores del espacio vectorial R3 , que sean distintos de → o. − − Se dice que el vector → u es combinacion lineal del vector → v , si existe un número real → − → − α (α 6= 0) tal que u = α ( v ) Demostración − − − − Si → u es combinación lineal de → v , entonces → v es combinación lineal de . → u. En efecto: − − − − − Supongamos → u y→ v dos vectores distintos de → o tales que → u es combinación lineal de → v → − → − u comb. lineal de v entonces: 1 − 1− − − u = (α→ v)= ∃α ∈ R/→ u = α→ v ⇒ → α α



 1 α− − − − .α → v = → v = 1→ v =→ v α α

Es decir: 1 1− − − → − u (siendo 6= 0) ⇒ → v es combinación lineal de → u v = → α α Ejemplo 1: − − − Sean los vectores → u = (−27, 18, −9) y → v = (−9, 6, −3). ¿Es → u combinación lineal de → − v? Solución → − → − u es combinación lineal de v si y solo si. − − ∃α ∈ R/→ u = α→ v ⇔ (−27, 18, −9) = α (−9, 6, −3) ⇔   −9α = −27 → α = 3 6α = 18 →α=3 ⇔ (−27, 18, −9) = (−9α, 6α, −3α) ⇔  −3α = −9 → α = 3 − − − − por tanto, → u = 3→ v , es decir → u es combinación lineal de → v. − − − − u. tambien → v es combinación lineal de → u ya que → v = 1→ 3

Ejemplo 2: − − − Dados los vectores → u = (−2, 0, 0) , → v = (1, 1, −1) y → w = (0, 0, −1), averigua si alguno de ellos es combinación lineal de los otros dos. Solución

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Consideremos la matriz formada por los tres vectores anteriores situados en columna: 

 −2 1 0 1 0  M = 0 0 −1 −1 Es evidente que Rango M = 1 o 2 o 3 Hallemos el rango de la matriz M: −2 1 M2 = 0 1 −2 1 0 1 0 |M | = 0 0 −1 −1

 → − → − → − = −2 6= 0 ⇒ •El vector u no es c.l. de v ni de w •Rango M = 2 o 3  = 2 6= 0 ⇒ Rango M = 3 ⇒ Ninguna columna es combinación lineal de las otras dos

Por lo tanto ninguno de los tres vectores dados es combinación lineal de los otros dos. 1.2.5 Vectores de R3 linealmente dependientes − − Sean → u y→ v dos vectores de R3 − − Se dice que → u y → v son linealmente dependientes si existen dos números reales α y β − − (alguno de ellos distinto de cero) tales que α→ u + β→ v =0 Demostración − − Si los vectores → u y→ v son linealmente dependientes, uno de ellos es combinación lineal del otro. En efecto: → − − u y→ v son linealmente dependientes entonces. − − − ∃α, β ∈ R3 /α→ u + β→ v =→ o supongamos que α 6= 0, entonces − − − − − − α→ u = −β → v ⇒→ u = − αβ → v ⇒→ u es combinación lineal de → v Si un vector es combinación lineal de otro, entonces ambos son linealmente dependientes. En efecto: → − − − − − − − u comb. lineal de → v ⇒ ∃β ∈ R/→ u = β→ v ⇒→ u − β→ v =→ o ⇒ − − − ⇒ ∃ α, β ∈ R/α→ u + β→ v =→ o |{z} α=16=0

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− − Entonces: → u y→ v son linealmente dependientes Ejemplo: − − Los vectores → u = (2, −3, 8) y → v = (4, −6, 16) ¿son linealmente dependientes? Solución En efecto: − − − 2→ u −→ v = 2 (2, −3, 8) − (4, −6, 16) = (4, −6, 16) − (4, −6, 16) = → o − − − Es decir, ∃α = 2 y β = −1 tal que α→ u + β→ v =→ o si son linealmente dependientes. 1.2.6 Vectores de R3 linealmente independientes − − Sean → u y→ v dos vectores de R3 − − − − Se dice que → u y→ v son linealmente independientes si la relación α→ u + β→ v =0 implica necesariamente que α = β = 0 Ejemplo: − − Sean los vectores de R3 → u = (−3, 1, 5) y → v = (2, 4, −6). Queremos saber si son linealmente dependientes o linealmente independientes. Solución Imaginemos una combinación lineal de ambos que sea igual al vector cero, es decir: − − − α→ u + β→ v =→ o ⇔ α (−3, 1, 5) + β (2, 4, −6) = (0, 0, 0) Entonces (−3α + 2β, α + 4β, 5α − 6β) = (0, 0, 0) igulando componentes −3α + 2β = 0

α + 4β = 0

5α − 6β = 0 de aquí se tiene que α = β = 0 − − Por lo tanto → u y→ v son linealmente independientes

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