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Cap´ıtulo

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Espacios Vectoriales y Transformaciones Lineales 4.1.

Espacios Vectoriales

El objeto principal de estudio del a´lgebra lineal es el Espacio Vectorial. Este nombre surge debido a que un espacio vectorial es un conjunto de vectores abstractos o vectores generalizados. Se generalizar´a el concepto de vector enunciando un conjunto de axiomas que, si un conjunto de objetos hacen que estos axiomas se cumplan, llamaremos a los elementos de este conjunto “vectores”. Los axiomas se eligir´an generalizando las propiedades m´as importantes de los vectores en Rn , en consecuencia los vectores en Rn har´an que se cumplan de manera autom´atica esos axiomas. As´ı, el nuevo concepto de vector abarcar´a a los vectores anteriores y tambi´en a muchos vectores nuevos. Estos “vectores nuevos” incluir´an, entre otras cosas, varios tipos de matrices y funciones. La ventaja de estas generalizaciones se encuentra en el ahorro de trabajo, porque las propiedades de los vectores abstractos se aplican a todos los casos particulares.

4.1.1.

Definiciones y conceptos b´ asicos

Un espacio vectorial es un conjunto de objetos, sobre el que est´an definidas dos ´ operaciones b´asicas. Estas operaciones son llamadas suma y la multiplicaci´on por un escalar. Llamamos “vectores” a los elementos de este conjunto. Definici´ on 4.1 Sea V un conjunto no vac´ıo sobre el que est´an definidas dos operaciones (la suma vectorial y la multiplicaci´ on escalar). Si los siguientes axiomas se cumplen para todo u, v y w en V y todo escalar1 c y d, entonces V se denomina espacio vectorial y sus elementos vectores: 1

En este curso usaremos u ´nicamente n´ umeros reales como escalares, es decir, estudiaremos “Espacios vectoriales reales”.

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4.1. ESPACIOS VECTORIALES

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Axiomas de cerradura � u + v est´a en V � cu est´a en V .

Cerradura bajo la suma Cerradura bajo la multiplicaci´ on escalar

Axiomas de adici´ on � u+v =v+u � u + (v + w) = (u + v) + w

Propiedad conmutativa Propiedad asociativa

� Existe un elemento en V , llamada el vector cero, denotado 0, tal que u + 0 = u. Id´ entico aditivo � Para todo u en V , existe un elemento en V llamado el negativo de u, denotado −u, tal que u + (−u) = 0 Inverso aditivo Axiomas de multiplicaci´ on escalar � c (u + v) = cu + cv

Propiedad distributiva

� (c + d) u = cu + du

Propiedad distributiva

� c (du) = (cd) u � 1 (u) = u

Propiedad asociativa Id´ entico escalar

Debe de tener en mente que la definici´on de espacio vectorial no especifica la naturaleza de los vectores ni las operaciones. Cualquier tipo de objeto puede ser un vector, y es posible que las operaciones de adici´on y multiplicaci´on escalar no guarden relaci´on o semejanza con las operaciones vectoriales est´andar sobre Rn . El u ´nico requisito es que cumplan los 10 axiomas en la definici´on 4.1. Ejemplo 4.1 Consideremos el conjunto con un s´olo elemento V = {1}. Observe que no se cumple el axioma de cerradura bajo la suma. Por ejemplo: 1 + 1 = 2 ∈ / V . Es posible verificar que no cumple otros axiomas, sin embargo, s´olo con demostrar que falla al menos uno de los 10 axiomas queda probado que V no es un espacio vectorial. Ejemplo 4.2 El conjunto de puntos en R2 que est´an en una recta que pasa por el origen constituye un espacio vectorial. Soluci´ on. Considere el conjunto definido de la siguiente manera �� � � V = x, y | y = mx, donde m es un n´ umero fijo y x ∈ R

Es decir, V consiste en todos los puntos que est´an sobre la recta y = mx que pasa por el origen y tiene pendiente m. Para demostrar que V es un espacio vectorial, se puede verificar que se cumple cada uno de los axiomas.

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� � � � � Suponga que x = x1 , y1 y y = x2 , y2 est´an en V . Entonces y1 = mx1 y y2 = mx2 , entonces � � � � x + y = x1 , y 1 + x2 , y 2 � � � � = x1 , mx1 + x2 , mx2 � � = x1 + x2 , mx1 + mx2 � � = x1 + x2 , m (x1 + x2 ) ∈ V Por lo tanto se cumple el axioma de cerradura bajo la suma. � � � Suponga que c ∈ R y x = x1 , y1 entonces � � cx = c x1 , y1 � � = c x1 , mx1 � � = cx1 , cmx1 � � = cx1 , m (cx1 ) ∈ V

Por lo tanto se cumple el axioma de cerradura bajo la multiplicaci´on escalar. � � � � � Suponga que x = x1 , y1 y y = x2 , y2 est´an en V . entonces � � � � x + y = x1 , mx1 + x2 , mx2 � � = x1 + x2 , mx1 + mx2 � � = x2 + x1 , mx2 + mx1 � � � � = x2 , mx2 + x1 , mx1 =y+x Por lo tanto se cumple la propiedad conmutativa. � � � � � � � Suponga que x = x1 , y1 , y = x2 , y2 y z = x3 , y3 est´an en V . entonces � �� � � �� � x + (y + z) = x1 , mx1 + x2 , mx2 + x3 , mx3 � � � � = x1 , mx1 + x2 + x3 , mx2 + mx3 � � = x1 + x2 + x3 , mx1 + mx2 + mx3 � � � � = x1 + x2 , mx1 + mx2 + x3 , mx3 �� � � �� � � = x1 , mx1 + x2 , mx2 + x3 , mx3 = (x + y) + z Por lo tanto se cumple la propiedad asociativa.

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� � � � � Considere al vector 0 = 0, m (0) ∈ V . Entonces tomando a x = x1 , mx1 ∈ V se tiene � � � � x + 0 = x1 , mx1 + 0, m (0) � � = x1 + 0, mx1 + m (0) � � = x1 , mx1 =x Por lo tanto se cumple con el axioma de id´entico aditivo. � � � Suponga que x = x, mx ∈ V . Entonces � � −x = − x, y � � = − x, mx � � = −x, m (−x)

de manera que −x tambi´en pertenece a V y � � � � x + (−x) = x, mx + −x, m (−x) � � = x − x, m (x − x) � � = 0, 0 =0

Por lo tanto se cumple el axioma de inverso aditivo � � � � � Suponga que x = x1 , y1 y y = x2 , y2 est´an en V y c un escalar. Entonces: � � �� �� c (x + y) = c x1 , mx1 + x2 , mx2 � � = c x1 + x2 , mx1 + mx2 � � = c (x1 + x2 ) , c (mx1 + mx2 ) � � � � = cx1 , cmx1 + x2 , mx2 = cx + cy Por lo tanto se cumple la propiedad distributiva de la multiplicaci´on escalar. � � � Suponga que x = x1 , y1 y c, d escalares. Entonces: � � (c + d) x = (c + d) x1 , (c + d) mx1 � � = cx1 + dx1 , cmx1 + dmx1 � � � � = cx1 , cmx1 + dx1 , dmx1 � � � � = c x1 , mx1 + d x1 , mx1 = cx + dx

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� � � Suponga que x = x1 , y1 y c, d escalares. Entonces: � � c (dx) = c dx1 , dmx1 � � = cd x1 , mx1 = (cd) x � � � Suponga que x = x1 , y1 y 1 es un escalar. Entonces: � � 1x = 1x1 , 1mx1 � � = x1 , mx1 =x Despu´es de verificar que se cumplen los 10 axiomas, concluimos que V es un espacio vectorial. Ejemplo 4.3 El conjunto de puntos en R2 que est´an sobre una recta que no pasa por el origen no constituye un espacio vectorial. Sea V = {(x, y) : y = 2x + 1, x ∈ R} Soluci´ on. V no es un espacio vectorial porque no se cumple la cerradura bajo la suma. Suponga que x = (x1 , y1 ) y y = (x2 , y2 ) est´an en V . Entonces x + y = (x1 , y1 ) + (x2 , y2 ) = (x1 + x2 , y1 + y2 ) Si el vector del lado derecho estuviera en V , se tendria y1 + y2 = 2 (x1 + x2 ) + 1 = 2x1 + 2x2 + 1 Pero y1 = 2x1 + 1 y y2 = 2x2 + 1 de manera que y1 + y2 = (2x1 + 1) + (2x2 + 1) = 2x1 + 2x2 + 2 Por lo tanto se concluye que /V (x1 + x2 , y1 + y2 ) ∈ En los ejemplos anteriores hemos visto que Rn y algunos de sus subconjuntos son espacios vectoriales. Sin embargo no son los u ´nicos conjuntos que pueden constituir un espacio vectorial. A continuaci´on veremos que tambi´en conjuntos de matrices o de polinomios pueden ser espacios vectoriales.

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Ejemplo 4.4 Considere el conjunto polinomios con coeficientes reales de grado menor o igual a n. Llamemos a este conjunto Pn . Si p ∈ Pn entonces p (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 donde cada ai es real. Soluci´ on. Ya se ha probado que Rn+1 es un espacio vectorial, por lo que si se establece una forma de representar a los elementos de Pn como elementos de Rn+1 , entonces Pn tambi´en es un espacio vectorial. Para hacer la representaci´on entre Rn+1 y Pn , tomemos a p ∈ Pn , entonces p (x) = an xn + an−1 xn−1 +� · · · + a1 x + a0 ∈ Pn , y construyamos un vector con los coeficientes de � p, quedando v = an , an−1 , · · · , a1 , a0 . Observe que el vector obtenido tiene n+1 componentes y por tanto pertenece a Rn+1 . Se hace el mismo procedimiento para cada polinomio de Pn y de esta forma se muestra que podemos representar cada polinomio de Pn como vector de Rn+1 . De esta manera, concluimos que el conjunto de polinomios de grado menor o igual a n es un espacio vectorial. Ejemplo 4.5 Verificar que el conjunto Mm×n , de matrices de m × n es un espacio vectorial. Soluci´ on. De acuerdo a la definici´on 4.1, el conjunto Mm×n es un espacio vectorial si cumple los diez axiomas. A continuaci´on verificaremos que se cumplen cada uno de los axiomas. � Axiomas de cerradura. Cerradura bajo la suma Suponga que A, B ∈ Mm×n entonces A + B ∈ Mm×n . De la definici´on 1.4 vemos que A + B es una matriz de m × n y de aqui pertenece a Mm×n . Entonces se cumple el axioma de cerradura bajo la suma. Cerradura bajo la multiplicaci´ on escalar De forma an´aloga al axioma anterior se comprueba que si A ∈ Mm×n y c un escalar entonces por la definici´on ?? cA es una matriz de m × n y por tanton pertenece a Mm×n . Con lo cu´al se cumple el axioma de cerradura bajo la multiplicaci´on escalar. � Axiomas de adici´ on Propiedad conmutativa Considere las siguientes matrices A y B de m × n entonces por la propiedad 1 de la proposici´on 1.1 se cumple A+B =B+A

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Propiedad asociativa De la misma forma si A, B, C ∈ Mm×n entonces por la propiedad 2 de la proposici´on 1.1 se cumple que A + (B + C) = (A + B) + C � Id´ entico aditivo El id´entico aditivo en el conjunto Mm×n es la matriz nula de m × n, 0m×n ya que por la propiedad 3 de la proposici´on 1.1 se cumple A + 0m×n = 0m×n + A = A � Inverso aditivo El inverso aditivo de A ∈ Mm×n es la matriz de m × n que se obtiene al multiplicar A por el escalar (−1) llamada −A. Esta matriz −A ∈ Mm×n debido al axioma de cerradura bajo la multiplicaci´on escalar y cumple lo siguiente A + (−A) = 0m×n � Axiomas de multiplicaci´ on escalar Propiedad distributiva Considere las siguientes matrices A y B de m × n y el escalar c, entonces por la propiedad 1 de la proposici´on 1.2 se cumple c (A + B) = cA + cB Propiedad distributiva De la misma forma si c, d son escalares y A ∈ Mm×n entonces por la propiedad 2 de la proposici´on 1.2 se cumple que (c + d) A = cA + dA Propiedad asociativa Considere los escalares c y d y la matriz A ∈ Mm×n , entonces por la propiedad 3 de la proposici´on 1.2 se cumple c (dA) = (cd) A Id´ entico escalar Veamos que si A ∈ Mm×n se cumple el axioma 1 (A) = [1aij ] = [aij ] = A

Ejemplo 4.6 Considere el conjunto S3 de matrices invertibles de 3 × 3. Redefiniendo la operaci´on suma como A ⊕ B = AB y con la multiplicaci´on escalar est´andar. Verificar si S3 es un espacio vectorial.

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Soluci´ on. Como los elementos de S3 son matrices invertibles, entonces usemos la funci´on determinante para determinar si una matriz de 3 × 3 pertenece a S3 . Para verificar los axiomas utilicemos las matrices invertibles de 3 × 3 A,B y C y los escalares c y d. Verificando los axiomas � Axiomas de cerradura. Cerradura bajo la suma Utilizando la operaci´on suma definida para este conjunto tenemos que probar que A ⊕ B = AB ∈ S3 si det (AB) �= 0 entonces AB es invertible. Como A y B son invertibles, entonces det (A) �= 0 y det (B) �= 0 y por el teorema ?? det (AB) = det (A) det (B) �= 0 por lo tanto AB ∈ S3 y se cumple el axioma.

Cerradura bajo la multiplicaci´ on escalar Para que se cumpla este axioma se tiene que cumplir que el producto cA es una matriz invertible para cualquier valor de c, observe que cuando c = 0 el resultado de cA = 03×3 la cual no es una matriz invertible. Por lo tanto no se cumple este axioma En este momento observamos que S3 no es un espacio vectorial, sin embargo contiuaremos con las pruebas de los siguientes axiomas. � Axiomas de adici´ on Propiedad conmutativa En este axioma se tiene que mostrar que AB = BA se usa la observaci´on 1.3 que indica que el producto de matrices no es conmutativo, por lo que este axioma no se cumple. Propiedad asociativa De acuerdo a la suma de este conjunto para verificar este axioma tenemos que ver que A (BC) = (AB) C se cumple debido a la propiedad 1 de la proposici´on ??. � Id´ entico aditivo La matriz invertible que cumple con este axioma es I3 ya que AI3 = A � Inverso aditivo Para este conjunto, observe que para una matriz A ∈ S3 , el inverso aditivo es A−1 debido a AA−1 = I3

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� Axiomas de multiplicaci´ on escalar Propiedad distributiva Para verificar este axioma se tiene que cumplir que c (AB) = cAcB y de acuerdo a la propiedad 4 del teorema ?? vemos que c (AB) = (cA) B = A (cB) por lo que este axioma no se cumple. Propiedad distributiva Para verificar este axioma se debe cumplir lo siguiente (c + d) A = (cA) (dA) lo cual es claro que no se cumple. Propiedad asociativa De acuerdo con la propiedad 3 de la proposici´on 1.2 se cumple c (dA) = (cd) A Id´ entico escalar Veamos que se cumple el axioma 1 (A) = [1aij ( = [aij ] = A

Ejercicio 4.1 Determinar si los siguientes conjuntos son o no espacios vectoriales: � El conjunto V = {(x, y) | y ≥ 0} bajo las operaciones usuales. � El conjunto de matrices diagonales de n × n bajo las siguientes operaciones A ⊕ B = AB αA = αA � � � El conjunto de vectores en R3 de la forma x, x, x bajo las operaciones usuales. � � 1 α � El conjunto de matrices de la forma bajo las operaciones usuales. β 1 � El conjunto de polinomios de grado ≤ n con t´ermino constante cero. Utilizando las operaciones usuales.

4.1. ESPACIOS VECTORIALES

4.1.2.

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Subespacios

Definici´ on 4.2 Sea V un espacio vectorial y U un subconjunto no vac´ıo de V . Si U es un espacio vectorial bajo las operaciones de suma y multiplicaci´on escalar de V , entonces U es un subespacio de V . Teorema 4.1 U es un subespacio si cumple los axiomas de cerradura bajo la suma y multiplicaci´on escalar. 3 por los vectores de la forma �Ejemplo �4.7 Considere el subconjunto W de R formado 3 a, a, b . Determine si W es un subespacio de R .

Soluci´ on. Verificando la cerradura bajo la suma tenemos que � � � � � � a, a, b + c, c, d = a + c, a + c, b + d

es un vector con las dos primeras componentes id´enticas, por lo que podemos concluir que se cumple el axioma de cerradura bajo la suma. Ahora verifiquemos la cerradura bajo la multiplicaci´on escalar. � � � � k a, a, b = ka, ka, kb

como en la suma, las primeras dos componentes son id´enticas por lo que se cumple el axioma. Debido a que se cumplen los dos axiomas de cerradura, entonces W es un subespacio de R3 . 3 4.8 por los vectores de la forma � Considere el subconjunto W de R formado �Ejemplo 2 a, a , b . Determine si W es un subespacio de R3 .

Soluci´ on. Verificando la cerradura bajo la suma tenemos que � � � � � � a, a2 , b + c, c2 , d = a + c, a2 + c2 , b + d

En este conjunto la forma que tiene los vectores es que la segunda componente es el cuadrado de la primera y de esta forma se puede observar que en el resultado de la suma la segunda componente a2 + c2 �= (a + c)2 . Por lo tanto W no es no cumple el axioma de cerradura bajo la suma y no es un subespacio de R3 . Ejemplo 4.9 Pruebe que el conjunto U de matrices diagonales de 2×2 es un subespacio de M2×2 . Soluci´ on. Se tiene que mostrar que U cumple los axiomas de cerradura bajo la suma y bajo la multiplicaci´on escalar. Considere los siguientes dos elementos de U . � � � � p 0 a 0 y v= u= 0 q 0 b

4.1. ESPACIOS VECTORIALES

Entonces

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� � � � � a+p 0 p 0 a 0 = + u+v = 0 b+q 0 q 0 b �

Observe que u + v es una matriz diagonal de 2 × 2, por lo u + v ∈ U y se cumple la cerradura bajo la suma. Sea c un escalar. Entonces � � � ca 0 a 0 = cu = c 0 cb 0 b �

cu es una matriz diagonal de 2 × 2 y entonces se cumple la cerradura bajo la multiplicaci´on escalar. Concluimos que U es un subespacio de M2×2 . Teorema 4.2 Sea U un subespacio de un espacio vectorial V . U contiene al vector cero de V � �� � Ejemplo 4.10 Sea W = w ∈ R3 | w = a, a, a + 2 . Determine si W es un subespacio de R3 . Soluci´ on. De acuerdo al teorema 4.2 si W no contiene al vector cero de R3 entonces no es un subespacio de R3 . Ahora para para determinar si el vector cero pertenece a W es necesario que se cumpla � � � � a, a, a + 2 = 0, 0, 0 entonces

a=0 a=0 a+2=0 Sin embargo el sistema anterior no tiene soluci´on con lo que se concluye que no existe alg´ un valor de a con el que se pueda obtener el vector cero. Por lo tanto W no es un subespacio de R3 Ejemplo 4.11 Considere el espacio vectorial V = P4 determine si H = {p ∈ P4 | p (0) = 1} es un subespacio de P4 Soluci´ on. Para que un polinomio pertenezca a H, tiene que cumplir que al evaluarlo en 0 el resultado es 1, esto es que el t´ermino constante del polinomio es 1. Verificando la cerradura bajo la suma tenemos que si p (x) y q (x) est´an en P4 , entonces � � � � p (x) + q (x) = a4 x4 + a3 x3 + a2 x2 + a1 x + 1 + b4 x4 + b3 x3 + b2 x2 + b1 x + 1 = (a4 + b4 ) x4 + (a3 + b3 ) x3 + (a2 + b2 ) x2 + (a1 + b1 ) x + 2

4.1. ESPACIOS VECTORIALES

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donde podemos observar que el polinomio p (x) + q (x) tiene como t´ermino constante 2 y por tanto no pertenece a H, con lo que conluimos que H no es un subespacio de V . Ejercicio 4.2 Determine si el conjunto dado H del espacio vectorial V es un subespacio de V � V = R2 ; H = {(x, y) | y ≥ 0} � V = Mm×n ; H = {Tn×n ∈ Mm×n | Tn×n es triangular superior} � V = Pn ; H = {p ∈ Pn | p (0) = 0 y p� (0) = 0} � V = Mm×n ; H = {A ∈ Mm×n | aij = 0}

4.1.3.

Combinaci´ on Lineal

En esta secci´on estudiaremos las combinaciones lineales de vectores y los espacios vectoriales generados por un conjunto de vectores. Estos conceptos tambi´en nos servir´an para entender el concepto de Base de un espacio vectorial. Definici´ on 4.3 Sea V un espacio vectorial y tome el vector v ∈ V y tome tambi´en los vectores u1 , u2 , . . . , un ∈ V . Se dice que v es una combinaci´ on lineal de los vectores ui si u puede expresarse como: v = c1 u1 + c2 u2 + · · · + ck uk donde c1 , c2 , · · · , ck son escalares.

� � � � 1, 3, 1 0, 1, 2 Ejemplo 4.12 Considere los vectores v = , v = , y v3 = 1 2 � � 1, 0, −5 . v1 es una combinaci´on lineal de v2 y v3 porque v1 = 3v2 + v3 � � � � = 3 0, 1, 2 + 1, 0, −5 � � = 1, 3, 1

Ejemplo 4.13 Considere los siguientes vectores que � � � � � 0 8 0 2 −1 , v2 = , v3 = v1 = 2 1 1 0 1

pertenecen a M2×2 � � � 3 −2 0 , v4 = 2 1 3

v1 es una combinaci´on lineal de v2 , v3 y v4 porque v1 = v2 + 2v3 − v4 � � � � � � −2 0 −1 3 0 2 − +2 = 1 3 1 2 1 0 � � 0 8 = 2 1

4.1. ESPACIOS VECTORIALES

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En los ejemplos anteriores se proporcionan los escalares para que se observe como se forma la combinanci´on lineal. A continuaci´on se mostrar´a como obtener los escalares, en caso de que existan, para expresar a un vector como combinaci´on lineal de otros. � � 8, 0, 5 Ejemplo� 4.14 Determine si el vector es una combinaci´on lineal de los � � � � � vectores 1, 2, 3 , 0, 1, 4 y 2, −1, 1 ∈ R3 . � � � � � � Soluci´ on. Para � � mostrar que 8, 0, 5 es una combinaci´on lineal 1, 2, 3 , 0, 1, 4 y 2, −1, 1 , entonces deben de existir escalares c1 , c2 y c3 tales que se cumpla � � � � � � � � 8, 0, 5 = c1 1, 2, 3 + c2 0, 1, 4 + c3 2, −1, 1 � � � � � � = c1 , 2c1 , 3c1 + 0, c2 , 4c2 + 2c3 , −c3 , c3 � � = c1 + 2c3 , 2c1 + c2 − c3, 3c1 + 4c2 + c3 por lo que para encontrar los valores de c1 , c2 y c3 resolvemos el siguiente sistema de ecuaciones. c1 + 2c3 = 8 2c1 + c2 − c3 = 0 3c1 + 4c2 + c3 = 5 � � cuya soluci´on es c1 = 2, c2 = −1 �y c3 = 3. �Por� lo que nos que el �vector 8, 0, 5 � queda � si es una combinaci´on lineal de 1, 2, 3 , 0, 1, 4 y 2, −1, 1 � � � � � � � � 8, 0, 5 = 2 1, 2, 3 − 1 0, 1, 4 + 3 2, −1, 1

En caso de que el sistema no hubiera tenido soluci´on, no hubiera sido posible expresar al vector como una combinaci´on lineal de los otros vectores. � � � � � � −1 7 1 0 2 −3 Ejemplo 4.15 Determine si la matriz es una combinaci´on lineal de , 8 −1 2 1 0 2 � � 0 1 y ∈ M2×2 . 2 0 Soluci´ on. Si es posible encontrar escalares c1 , c2 y c3 tales que identidad � � � � � � � −1 7 1 0 2 −3 0 = c1 + c2 + c3 8 −1 2 1 0 2 2

se cumpla la siguiente � 1 0

entonces se dice que la matriz es combinaci´on lineal de las otras matrices. Entonces � � � � c1 + 2c2 −3c2 + c3 −1 7 = 8 −1 2c1 + 2c3 c1 + 2c2

4.1. ESPACIOS VECTORIALES

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y para hallar los valores de c1 , c2 y c3 se tiene que resolver el sistema c1 + 2c2 −3c2 + c3 2c1 + 2c3 c1 + 2c2

= −1 =7 =8 = −1

Resolviendo � tenemos que c1 = 3, c2 = −2 y c3 = 1 por lo que se cumple que � el sistema −1 7 es una combinaci´on lineal de las otras matrices quedando la matriz 8 −1 � � � � � � � � 0 1 2 −3 1 0 −1 7 + −2 =3 2 0 0 2 2 1 8 −1 Ejemplo 4.16 Determine si el polinomio p (x) = 2x2 + 6x + 7 es una combinaci´ on 2 lineal de q (x) = x − 1 y r (x) = 2x + 3. Soluci´ on. Para determinar si p (x) es combinaci´on lineal de q (x) y r (x) se tiene que cumplir la siguiente identidad p (x) = c1 q (x) + c2 r (x) � � 2x + 6x + 7 = c1 x2 − 1 + c2 (2x + 3) 2x2 + 6x + 7 = c1 x2 + 2c2 x − c1 + 3c2 2

Los polinomios son iguales s´olo cuando los coeficientes correspondientes son iguales. Comparando los coeficientes de x2 , x y el t´ermino constante queda el siguiente sistema de ecuaciones c1 = 2 2c2 = 6 −c1 + 3c2 = 7 Resolviendo el sistema obtenemos que la soluci´on es c1 = 2, c2 = 3, por lo que p (x) es combinaci´on lineal de q (x) y r (x) quedando p (x) = 2q (x) + 3r (x)

Ejercicio 4.3 Determina si el primer vector es combinaci´on lineal de los otros vectores. � � �� � � 2, −1, 3 5, 0, 4 ; , � 8, − 14 , 27 4

4.1. ESPACIOS VECTORIALES

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� � � �� � � � � −3, 15, 18 ; 2, 0, 7 , 2, 4, 5 , 2, −12, 13 � � � �� � � � � 0, 10, 8 ; −1, 2, 3 , 1, 3, 1 , 1, 8, 5

� 5 7 es combinaci´on lineal de las matrices Ejercicio 4.4 Determina si la matriz 5 −10 � � � � � � 1 2 0 3 1 2 , y 3 −4 1 2 0 0 �

Ejercicio 4.5 Determina si el polinomio p (x) = x2 + 4x + 5 es una combinaci´on lineal de los polinomios q (x) = x2 + x − 1 y r (x) = x2 + 2x + 1

4.1.4.

Espacio generado

En la secci´on anterior se mostr´o que un vector de un espacio vectorial puede representarse como la combinaci´on lineal de otros vectores en el mismo espacio vectorial. A continuaci´on se mostrar´a que todos los vectores de un espacio vectorial se pueden representar como una combinaci´on lineal de un conjunto de vectores. Definici´ on 4.4 Sean v1 , . . . , vm vectores en un espacio vectorial V . Estos vectores generan a V si cada vector en V puede ser expresado como una combinaci´on lineal de ellos. A este conjunto se le llama conjunto generador de V . �� � � � � �� 1, �0, 0 , 0, 1, 0 , 0, 0, 1 genera a R3 ya que Ejemplo 4.17 El conjunto � cualquier vector u = u1 , u2 , u3 en R3 puede escribirse como � � � � � � u = u1 1, 0, 0 + u2 0, 1, 0 + u3 0, 0, 1

Ejemplo 4.18 El conjunto {1, x, x2 } genera a P2 ya que cualquier polinomio p (x) = a + bx + cx2 en P2 puede escribirse como � � p (x) = a (1) + b (x) + c x2

Los conjuntos generadores proporcionados en los ejemplos anteriores se les denominan conjuntos generadores est´ andar de R3 y P2 , respectivamente. A continuaci´on se mostrar´an algunos ejemplos de conjuntos generadores no est´andar. �� � � � � �� Ejemplo 4.19 Determine si el conjunto S = 1, 2, 3 , 0, 1, 2 , −2, 0, 1 genera a R3 � � Soluci´ on. S genera a R3 si cualquier vector x = x1 , x2 , x3 en R3 puede representarse como combinaci´on lineal de los vectores de S, es decir, si existen escalares c 1 , c2 y c3 tales que � � � � � � � � x1 , x2 , x3 = c1 1, 2, 3 + c2 0, 1, 2 + c3 −2, 0, 1

4.1. ESPACIOS VECTORIALES

101

simplificando la ecuaci´on anterior tenemos el siguiente sistema de ecuaciones c1 − 2c3 = x1 2c1 + c2 = x2 3c1 + 2c2 + c3 = x3 los escalares existen si el sistema anterior tiene al menos una soluci´on. Calculando el determinante de la matriz de coeficientes se observa que ´este es diferente de cero y por lo tanto el sistema tiene soluci´on u ´nica. Se concluye que como cualquier vector en 3 R puede expresarse como combinaci´on lineal de los vectores de S, entonces S es un conjunto generador de R3 . �� � � � � �� Ejemplo 4.20 Determine si el conjunto S = 1, 2, 3 , 0, 1, 2 , −1, 0, 1 genera a R3 � � Soluci´ on. S genera a R3 si cualquier vector x = x1 , x2 , x3 en R3 puede representarse como combinaci´on lineal de los vectores de S, es decir, si existen escalares c 1 , c2 y c3 tales que � � � � � � � � x1 , x2 , x3 = c1 1, 2, 3 + c2 0, 1, 2 + c3 −1, 0, 1 simplificando la ecuaci´on anterior tenemos el siguiente sistema de ecuaciones c 1 − c 3 = x1 2c1 + c2 = x2 3c1 + 2c2 + c3 = x3 la forma escalonada reducida de la matriz aumentada del sistema anterior es   1 0 −1 0  0 1 2 0  0 0 0 1

por lo que el sistema anterior no tiene soluci´on y por lo tanto no es posible representar a todos los vectores en R3 como combinaci´on lineal de los vectores de S. Por lo anterior se concluye que S no genera a R3 . En el ejemplo anterior S no genera a R3 , sin embargo genera un subespacio de R3 , que es el plano en donde est´an los tres vectores de S. A este espacio vectorial se le llama espacio generado por el conjunto S Definici´ on 4.5 Sean v1 , . . . , vm vectores en un espacio vectorial V . El espacio generado por {v1 , . . . , vm } es el conjunto de combinaciones lineales de v1 , . . . , vm . Es decir, gen {v1 , . . . , vm } = {v | v = a1 v1 + · · · + am vm } donde a1 , . . . , am son escalares arbitrarios.

4.1. ESPACIOS VECTORIALES

102

Teorema 4.3 Si v1 , v2 , . . . , vk son vectores en un espacio vectorial V , entonces gen {v1 , v2 , . . . , vk } es un subespacio de V . � � � � Ejemplo 4.21 Sean v1 = 2, −1, 4 y v2 = 4, 1, 6 . Entonces H = gen {v1 , v2 } � � � �� � = v | v = a1 2, −1, 4 + a2 4, 1, 6

¿Cu´al es la apariencia de H?

� � Soluci´ on. Para determinar la apariencia de H, tomemos un vector cualquiera x, y, z ∈ H, entonces el vector se puede representar como combinaci´on lineal de v1 y v2 , quedando � � � � � � x, y, z = a1 2, −1, 4 + a2 4, 1, 6 entonces

x = 2a1 + 4a2 y = −a1 + a2 z = 4a1 + 6a2 resolviendo el sistema de ecuaciones, vemos que   1 x − 23 y 1 0 6 1   0 1 x + 13 y 6 5 2 0 0 −3x − 3y + z � � entonces para que el vector x, y, z pertenezca a H, el sistema tiene que tener al menos una soluci´on. Observando la matriz anterior vemos que el sistema s´olo tiene soluci´on cuando − 53 x − 23 y + z = 0, multiplicando por −3 5x + 2y − 3z = 0 que es la ecuaci´on de un plano que pasa por el origen. Por lo que la apariencia de H es la de un plano que pasa por el origen. En general el espacio generado por dos vectores diferentes de cero en R3 que no son paralelos es un plano que pasa por el origen. � � Ejemplo 4.22 Determine si el vector v = 3, −1, 11 pertenece a �� � � �� H = gen −1, 5, 3 , 2, −3, 4 � � � � Soluci´ on. El vector v ∈ H si es una combinaci´on lineal de −1, 5, 3 y 2, −3, 4 , esto es � � � � � � 3, −1, 11 = c1 −1, 5, 3 + c2 2, −3, 4

4.1. ESPACIOS VECTORIALES

103

simplificando la igualdad anterior obtenemos el sistema −c1 + 2c2 = 3 5c1 − 3c2 = −1 3c1 + 4c2 = 11 resolviendo el� sistema vemos �que la soluci´on es c1 = 1, c2 = 2. De esta forma v = � � 1 −1, 5, 3 + 2 2, −3, 4 �� es combinaci´ �on� lineal de los �� vectores que generan a H y por lo tanto pertenece a gen −1, 5, 3 , 2, −3, 4 .

Ejemplo 4.23 Sean p (x) = 2x2 − 5 y q (x) = x + 1. Muestre que el polinomio r (x) = 4x2 + 3x − 7 pertenece a gen {p, q}

Soluci´ on. El polinomio r (x) est´a en gen {p, q} si es una combinaci´on lineal de p (x) y q (x) , esto es � � 4x2 + 3x − 7 = c1 2x2 − 5 + c2 (x + 1) = 2c1 x2 + c2 x − 5c1 + c2 igualando los coeficientes de los polinomios obtenemos 2c1 = 4 c2 = 3 −5c1 + c2 = −7 resolviendo el sistema vemos que la soluci´on es c1 = 2, c2 = 3. De esta forma podemos escribir � � 4x2 + 3x − 7 = 2 2x2 − 5 + 3 (x + 1) por lo que r (x) es combinaci´on lineal de p (x) y q (x) por lo tanto pertenece a gen {p, q}.

Teorema 4.4 Sean v1 , v2 , . . . , vn , vn+1 , n+1 vectores que est´an en un espacio vectorial V . Si v1 , v2 , . . . , vn genera a V , entonces v1 , v2 , . . . , vn , vn+1 tambi´en genera a V . Es decir, si se agregan uno o m´as vectores a un conjunto generador se obtiene otro conjunto generador. Ejercicio 4.6 Determinar si el conjunto dado de vectores genera al espacio vectorial dado � � � � � � � En R2 : 0, 1 ; 3, 4 ; −1, 2 � � � � � � � En R3 : 1, 1, 1 ; 0, 1, 1 ; 0, 0, 1 � En P2 : 1 − x, 3 − x2 � � � � � � � � −2 5 4 −1 1 2 1 0 ; ; ; � En M2×2 : 6 0 3 0 0 0 1 0

4.1. ESPACIOS VECTORIALES

4.1.5.

104

Independencia Lineal

Definici´ on 4.6 Sean v1 , v2 , . . . , vn vectores en un espacio vectorial V . Entonces se dicen que son linealmente dependientes si existen n escalares c1 , c2 , . . . , cn no todos ceros tales que c1 v1 + c2 v2 + . . . + cn vn = 0 Si los vectores no son linealmente dependientes, se dice que son linelamente independientes. NOTA: Se dice que los vectores v1 , v2 , . . . , vn son linealmente independientes (o dependientes), o que el conjunto de vectores {v1 , v2 , . . . , vn } es linealmente independiente (o dependiente). Esto es, las frases son indistintas. Teorema 4.5 Dos vectores en un espacio vectorial son linealmente dependientes si y s´olo si uno es m´ ultiplo escalar del otro. En otras palabras si son paralelos.     2 −6 −1 3    Ejemplo 4.24 Los vectores son v1 =   0  y v2 =  0  son linealmente depen3 −9 dientes porque v2 = −3v .  1   1 2    5  son linealmente independientes. Los vectores v1 = 2 y v2 = 4 −3     2 1    Si fueran dependientes existe c �= 0 tal que 2 = c 5  de donde se tiene el −3 4 sistema 1 = 2c 2 = 5c 4 = −3c El cual claramente no tiene soluci´on. 

     1 2 0      Ejemplo 4.25 Determine si los vectores −2 , −2 y 1 son linealmente de3 0 7 pendientes o independientes. Soluci´ on. Supongamos que 

       1 2 0 0        c1 −2 + c2 −2 + c3 1 = 0 3 0 7 0

4.1. ESPACIOS VECTORIALES

105

De donde obtenemos el sistema c1 + 2c2 = 0 −2c1 − 2c2 + c3 = 0 3c1 + 7c3 = 0 o bien en forma matricial

 1 2 0 0 −2 −2 1 0 3 0 7 0 

cuya forma escalonada reducida es

 1 0 0 0 0 1 0 0  0 0 1 0 

por tanto la soluci´on u ´nica es c1 = c2 = c3 = 0 y los vectores son linealmente independientes.       11 3 1      Ejemplo 4.26 Determine si los vectores −3 , 0 y −6 son linealmente de12 4 0 pendientes o independientes Soluci´ on. Supong´amos que 

       0 1 3 11        c1 −3 + c2 0 + c3 −6 = 0 0 0 4 12

entonces tenemos el sistema

c1 + 3c2 + 11c3 = 0 −3c1 − 6c3 = 0 4c2 + 12c3 = 0 que se puede reducir a c1 + 2c3 = 0 c2 + 3c3 = 0 de donde se tiene c1 = −2c3 y c2 = −3c3 si hacemos c3 = 1 tenemos c1 = −2 c2 = −3 c3 = 1 por lo tanto este conjunto de vectores es linealmente dependiente. NOTA: Tres vectores en R3 son linelamente dependientes si y solo si son coplanares.

4.1. ESPACIOS VECTORIALES

106

Teorema 4.6 Un conjunto de n vectores en Rm siempre es linealmente dependiente si n > m. En otras palabras un conjunto de vectores en Rm es linealmente dependiente si se tienen m´as vectores (n) en el conjunto, que componentes (m) en el vector. Corolario 4.7 Un conjunto de vectores linealmente independientes en Rn contiene a los m´as n vectores. Teorema 4.8 Sean v1 , v2 , . . . , vn , n vectores en Rn y sea A una matriz de n × n cuyas columnas son v1 , v2 , . . . , vn . Entonces v1 , v2 , . . . , vn son linealmente independientes si y solo si la u ´nica soluci´on al sistema homog´eneo Ax = 0 es la soluci´on trivial x = 0. Teorema 4.9 Sea A una matriz de n×n. Entonces det (A) �= 0 si y solo si las columnas de A son linealmente independientes. Teorema 4.10 Sea A una matriz de n × n. Entonces las ocho afirmaciones siguientes son equivalentes (es decir, si una es cierta todas son ciertas) 1. A es invertible 2. La u ´nica soluci´on al sistema homog´eneo Ax = 0 es la soluci´on trivial x = 0. 3. El sistema Ax = b tiene soluci´on u ´nica para todo n vector b. 4. A es equivalente por renglones a la matriz identidad de n × n, In 5. A se puede escribir como el producto de matrices elementales 6. La forma escalonada por renglones de A tiene n pivotes 7. det (A) �= 0 8. Las columnas de A son linealmente independientes. Teorema 4.11 Cualquier conjunto de n vectores linealmente independiente en Rn genera a Rn . � � � � � � Ejemplo 4.27 Determine si los vectores 2, −1, 4 , 1, 0, 2 , y 3, −1, 5 son linealmente dependientes o independientes Soluci´ on. Colocamos los vectores en forma de columnas para construir la matriz   2 1 3 −1 0 −1 4 2 5

que tiene como determinante det (A) = −1, por tanto, los vectores son linealmente independientes.

4.1. ESPACIOS VECTORIALES

107

� � � � � 1 0 2 −1 1 4 −1 0 1 , A2 = y A3 = Ejemplo 4.28 En M2×3 , sean A1 = 3 1 −1 2 3 0 1 2 1 determine si A1 , A2 y A3 son linealmente dependientes o independientes. �

Soluci´ on. Supongamos que c1 A1 + c2 A2 + c3 A3 = 0. Entonces � � � � � � � � 1 0 2 −1 1 4 −1 0 1 0 0 0 + c2 + c3 = c1 3 1 −1 2 3 0 1 2 1 0 0 0 lo que equivale a � � � � 0 0 0 c2 2c1 + 4c2 + c3 c1 − c2 − c3 = 0 0 0 3c1 + 2c2 + c3 c1 + 3c2 + 2c3 −c1 + c3 de aqui es claro que c2 = 0, sustituyendo se tiene el sistema c1 − c3 2c1 + c3 3c1 + c3 c1 + 2c3 −c1 + c3 lo cual se puede escribir como

cuya forma escalonada reducida es

=0 =0 =0 =0 =0

 1 −1 0 2 1 0   3 1 0   1 2 0 −1 1 0 



1 0  0  0 0

0 1 0 0 0

 0 0  0  0 0

por lo tanto, la u ´nica soluci´on es c1 = c2 = c3 = 0 y de esta manera los vectores son linealmente independientes. Ejemplo 4.29 Determine si los polinomios en P3 , 1, x, x2 y x3 son linealmente dependientes o independientes Soluci´ on. Suponga que c1 + c2 x + c3 x2 + c4 x3 = 0. Esto debe cumplirse para toda x, en particular para valores espec´ıficos de x, si tomamos x = 0 se sigue que c1 = 0.

4.1. ESPACIOS VECTORIALES

108

Entonces, haciendo x = 1, x = −1 y x = 2 se obtiene respectivamente c2 + c3 + c4 = 0 −c2 + c3 − c4 = 0 2c2 + 4c3 + 8c4 = 0 el determinante de este sistema es

� � �1 1 1� � � �−1 1 −1� = 12 � � �2 4 8�

por lo tanto, estos vectores son linealmente independientes. Ejemplo 4.30 Determine si los polinomios en P2 , x − 2x2 , x2 − 4x y −7x + 8x2 son linealmente dependientes o independientes. Soluci´ on. Escribiendo los polinomios como combinaci´on lineal e igualandolos al polinomio cero, tenemos � � � � � � c1 x − 2x2 + c2 x2 − 4x + c3 −7x + 8x2 = 0x2 + 0x + 0 reduciendo la ecuacin anterior entonces

(−2c1 + c2 + 8c3 ) x2 + (c1 − 4c2 − 7c3 ) = 0x2 + 0x + 0 y de aqui se obtiene el sistema homog´eneo de ecuaciones −2c1 + c2 + 8c3 = 0 c1 − 4c2 − 7c3 = 0 el cual, al tener m´as variables que ecuaciones tiene infinitas soluciones y por tanto, se concluye que los polinomios son linealmente dependientes. Ejercicio 4.7 Determine si el conjunto S de vectores dado es linealmente dependiente o independiente �� � � �� −1 1 , � S= −3 2 �� � � � � �� 4 1 −3 , � S= , −5 10 2          4 −2 7   1        −1 , 0 , 3 , 1 � S=   2 0 5 2 � En P2 : S = {1 − x, x} �� � � � � � � � � �� 2 3 4 −1 8 −5 2 3 −1 0 , , , , � En M22 : S = −1 4 2 3 7 6 7 −4 1 2

4.1. ESPACIOS VECTORIALES

4.1.6.

109

Base

Definici´ on 4.7 Un conjunto finito de vectores {v1 , v2 , . . . , vn } es una base para un espacio vectorial V si 1. {v1 , v2 , . . . , vn } es linealmente independiente. 2. {v1 , v2 , . . . , vn } genera a V Nota. Todo conjunto de n vectores linealmente independiente en Rn es una base en Rn . Esta afirmaci´on es consecuencia del teorema que indica que todo conjunto de n vectores linealmente independiente en Rn genera a Rn . En Rn se define         1 0 0 0 0  1  0  0         0  0  1    e1 =   , e2 =   , e3 =   , . . . , en = 0  ..   ..   ..   ..  . . . . 0 0 0 1

Puesto que los vectores en ei son las columnas de una matriz identidad (que tiene determinante 1), {e1 , e2 , . . . , en } es un conjunto linealmente independiente y, por tanto, constituye una base en Rn . Esta base especial se denomina base can´ onica en Rn . Ahora se encontraran bases para algunos otros espacios. Ejemplo 4.31 (Base can´ onica para Pn ) Los polinomios {1, x, x2 , x3 , . . . , xn } constituyen una base para Pn . Ejemplo 4.32 (Base can´ onica para M2×2 ) Anteriormente se vio que los vectores � � � � � � � � 0 0 0 0 0 1 1 0 y , , 0 1 1 0 0 0 0 0 generan a M2×2 . Para probar que dichos vectores forman una base para M2×2 , s´olo falta probar que son linealmente independientes, es decir � � � � � � � � � � 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 c1 + c2 + c3 + c4 = 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 de donde observamos que c1 = c2 = c3 = c4 = 0. As´ı, estos cuatro vectores son linealmente independientes y por lo tanto constituyen una base para M2×2 . Ejemplo 4.33 (Una base para un subespacio de R3 ) Encuentre una base para el conjunto de vectores que se encuentran en el plano �� � � π = x, y, z | 2x − y + 3z = 0

4.1. ESPACIOS VECTORIALES

110

Soluci´ on. Para trariamente y si forma

�encontrar �una base, primero se observa que si x y z se escogen arbix, y, z ∈ π, entonces y = 2x + 3z. As´ı, los vectores en π tienen la           x x 0 1 0 2x + 3z  = 2x + 3z  = x 2 + z 3 z 0 z 0 1 � � � � Lo cual muestra que 1, 2, 0 y 0, 3, 1 generan a π. Como estos vectores son linealmente independientes ya que uno no es m´ ultiplo del otro, forman una base para π. Teorema 4.12 Si {v1 , v2 , . . . , vn } es una base para V y si v ∈V , entonces existe un conjunto u ´nico de escalares c1 , c2 , . . . , cn tales que v =c1 v1 + c2 v2 + · · · + cn vn Teorema 4.13 Si {u1 , u2 , . . . , um } y {v1 , v2 , . . . , vn } son bases en un espacio vectorial V , entonces m = n; es decir, cualesquiera dos bases en un espacio vectorial V tienen el mismo n´ umero de vectores. Ejemplo 4.34 Encuentre una base para el espacio de soluci´on del sistema homog´eneo dado x−y =0 −2x + 2y = 0 Soluci´ on. El espacio de soluci´on de un sistema homog´eneo es el conjunto de todas las soluciones del sistema homog´eneo. Entonces para determinar una base para dicho espacio, procedamos a resolver el sistema. � � � � 1 −1 1 −1 ∼ −2 2 0 0 entonces la soluci´on del sistema es x = −y con y arbitraria. Entonces repre� podemos � x sentar todas las soluciones del sistema homog´eneo como el vector . −x Para encontrar una base en el espacio de soluci´on, es necesario encontrar un conjunto de vectores � genere a todas las soluciones del sistema, esto es a todos lo vectores de � que x . Veamos que la forma −x � � � � 1 x =x −1 −x � � 1 ,y por lo que cualquier soluci´on se puede escribir como combinaci´on lineal de −1 por tanto genera al espacio de soluci´on y es linealmente independiente. En conclusi´on el conjunto �� �� 1 −1

es una base para el espacio de soluci´on del sistema homog´eneo.

4.1. ESPACIOS VECTORIALES

111

Ejercicio 4.8 Determine si el conjunto dado S es una base para el espacio vectorial a que se refiere. � En P2 : S = {1 − x2 , x} � En P3 : S = {1 + x, 2 + x2 , 3 + x3 , 1} �� � � � � � � �� 3 1 3 2 −5 1 0 1 , , , � En M2×2 : S = 0 0 0 0 0 6 0 −7 �� � � � � � � �� 0 0 0 0 0 b a 0 , , � En M2×2 : S = , 0 d c 0 0 0 0 0 �� � � �� � H = {(x, y) ∈ R2 | x + y = 0} : S = 1 −1 , −3 3

Ejercicio 4.9 Encuentre una base en R3 para el conjunto de vectores que constituyen el plano 3x − 2y + z = 0 Ejercicio 4.10 Encuentre una base para el espacio de soluci´on del sistema homog´eneo dado 2x + 3y − 4z = 0 x−y+z =0 2x + 8y − 10z = 0

4.1.7.

Dimensi´ on

Definici´ on 4.8 (Dimensi´ on) Si el espacio vectorial V tiene una base con un n´ umero finito de elementos, entonces la dimensi´ on de V es el n´ umero de vectores en todas las bases y V se denomina espacio vectorial de dimensi´ on finita. De otra manera, V se denomina espacio vectorial de dimensi´ on infinita. Si V = {0}, entonces se dice que tiene dimensi´ on cero. Teorema 4.14 Suponga que dim V = n. Si u1 , u2 , . . . , um es un conjunto de m vectores linealmente independientes en V , entonces m ≤ n. Teorema 4.15 Sea H un subespacio de un espacio vectorial de dimensi´on finita V . Entonces H tiene dimensi´on finita y dim H ≤ dim V Ejercicio 4.11 Encuentre una base para D3 , el espacio vectorial de matrices diagonales de 3 × 3. ¿Cu´al es la dimensi´on de D3 ? Ejercicio 4.12 ¿Cu´al es la dimensi´on de Dn , el espacio vectorial de matrices diagonales de n × n?

4.1. ESPACIOS VECTORIALES

4.1.8.

112

Rango,nulidad, espacio de los renglones y espacio de las columnas de una matriz

Definici´ on 4.9 Espacio Nulo. Sea A una matriz de m × n y sea NA = {x ∈ Rn | Ax = 0} al conjunto NA se le denomina espacio nulo de la matriz A Definici´ on 4.10 Nulidad de una matriz. La nulidad de una matriz A, denotada por ν (A), es igual a la dimensi´on del espacio nulo. Esto es: ν (A) = dim NA si NA contiene solo al vector cero, entonces ν (A) = 0. NOTA: El � espacio nulo � de una matriz tambi´en se conoce como kernel. 1 2 −1 Sea A = . Entonces, una base para el espacio de soluci´on o espacio 2 −1 3  −1  1  y por lo tanto nulo de A es el vector 1     −1  NA = gen  1    1 y ν (A) = dim  NA = 1.  2 −1 3 Sea A =  4 −2 6 . Entonces, una base para el espacio de soluci´on o espacio −6 3 −9     0   1    2 , 3 y por lo tanto nulo de A es el conjunto   1 0     0   1 NA = gen 2 , 3   1 0 y ν (A) = dim NA = 2

Teorema 4.16 Sea A una matriz de n×n. Entonces A es invertible si y s´olo si ν (A) = 0. Definici´ on 4.11 (Imagen de una matriz) Sea A una matriz de m × n. Entonces la imagen de A, denotada por Im (A), est´a dada por Im (A) = {y ∈ Rm | Ax = y para alguna x ∈ Rm }

(4.1)

4.1. ESPACIOS VECTORIALES

113

Teorema 4.17 Sea A una matriz de m × n. Entonces la imagen de A Im (A) es un subespacio de Rm Definici´ on 4.12 (Rango de una matriz) Sea A una matriz de m × n. Entonces el rango A, denotado por ρ (A), est´a dado por ρ (A) = dim Im (A) Definici´ on 4.13 Si A es una matriz de m × n, sean {r1 , r2 , . . . , rm } los renglones de A y {c1 , c2 , . . . , cn } las columnas de A. Entonces se define RA = espacio de los renglones de A = gen {r1 , r2 , . . . , rm }

(4.2)

CA = espacio de las columnas de A = gen {c1 , c2 , . . . , cn }

(4.3)

y

Teorema 4.18 Para cualquier matriz A, CA = Im (A) . Es decir, la imagen de una matriz es igual al espacio de sus columnas. Ejemplo 4.35 C´alculo de NA , ν (A), Im (A) , ρ (A) , RA y CA para una matriz de 2×3 � � 1 2 −1 una matriz de 2 × 3. Soluci´ on. Sea A = 2 −1 3 El espacionulo A = NA = {x ∈ R3 | Ax = 0}. Como se vio en el ejemplo 1,   de  −1  NA = gen  1    1 La nulidad de A = ν (A) = dim NA = 1

Se sabe que Im (A) = CA . Las primeras dos columnas de A son vectores linealmente independientes en R2 y, por lo tanto, forman una base para R2 . La Im (A) = CA = R2 . ρ (A) = dim Im (A) = dim R2 = 2

�� � � �� El espacio de los renglones de A = RA = gen 1, 2, −1 , 2, −1, 3 . Como estos dos vectores son linealmente independientes, se ve que RA es un subespacio de dimensi´on dos de R3 . Observe que RA es un plano que pasa por el origen.

Teorema 4.19 Si A es una matriz de m × n, entonces dim RA = dim CA = dim Im (A) = ρ (A)

4.1. ESPACIOS VECTORIALES

114

Ejemplo 4.36 (C´ alculo de Im (A) y ρ (A) para  una matriz  de 3 × 3) Encuentre una 2 −1 3 base para Im (A) y determine el rango de A =  4 −2 6 . −6 3 −9

RA = 1. As´ı, toda Soluci´ on. Como r2 = 2r1 y r3 = −3r1 , se ve que ρ (A) =dim 2 columna en CA es una base para CA = Im (A). Por ejemplo,  4  es una base para −6 Im (A). Teorema 4.20 El rango de una matriz es igual al n´ umero de pivotes en su forma escalonada por renglones.   1 2 −4 3 2 5 6 −8  Ejemplo 4.37 Sea A =  0 −1 −14 14 . Calcula lo siguiente: NA , ν (A), Im (A), 3 6 −12 9 ρ (A), RA y CA para una matriz de 4 × 4 Soluci´ on. Reduciendo la matriz a su forma escalonada por renglones queda como sigue:   1 0 −32 31 0 1 14 −14   0 0 0 0  0 0 0 0 de la matriz anterior obtenemos las siguientes ecuaciones: x1 − 32x3 + 31x4 = 0 x2 + 14x3 − 14x4 = 0 o bien x1 = 32x3 − 31x4 x2 = −14x3 + 14x4 de manera que si x ∈ NA , entonces       32x3 − 31x4 32 −31   −14x3 + 14x4     = x3 −14 + x4  14  x=    1   0  x3 0 1 x4

4.1. ESPACIOS VECTORIALES

115

por lo que los vectores de la combinaci´on lineal forman una base para NA y entonces     −31  32       14  −14    NA = gen   1  ,  0       1 0 a continuaci´on podemos ver que

ν (A) = dim NA = 2 debido a que una base para NA tiene dos elementos. Para calcular el rango, podemos observar como qued´o la matriz en su forma escalonada por renglones y de ah´ı, contar el n´ umero de pivotes. De lo anterior ρ (A) = 2 Una vez que tenemos el rango, es m´as f´acil obtener Im (A), debido a que se sabe que dim Im (A) = ρ (A) = 2, lo que nos indica que una base para Im (A) tiene 2 elementos. Por lo que para obtener una base en Im (A) s´olo tenemos que tomar 2 columnas de A que sean linealmente independientes, ya que CA = Im (A). Esto es     2  1        2  5   CA = Im (A) = gen   ,   −1  0      6 3

Para calcular RA , utilizamos el mismo razonamiento que usamos para calcular CA , y el hecho de que dim RA = dim CA = 2. Por lo tanto      2     1   2   5      RA = gen   ,   6  −4      −8 3 Ejercicio 4.13 Encuentra el rango y la nulidad de cada una de las siguientes matrices.     1 4 5 6 9 1 −1 3  3 −2 1 4 −1 � A = 5 −4 −4  � A= −1 0 −1 −2 −1 7 −6 2 2 3 5 7 8

4.1. ESPACIOS VECTORIALES

116

Ejercicio 4.14 Bajo que condiciones de b1 , b2 , b3 , b4 y b5 el siguiente sistema de ecuaciones es consistente. x1 − 3x2 x1 − 2x2 x 1 + x2 x1 − 4x2 x1 + 5x2

= b1 = b2 = b3 = b4 = b5

Ejercicio 4.15 De los vectores dados a, u, v, w cu´ales est´an en el espacio de las columnas de la matriz A.       � � 1 −4 3 −2      a= , u = 2 , v = −8 , w = −1 4 0 1 0   −2 1 4 −6 1 4 −5 0 2 A= 0 0 −8 10 0 −4 Ejercicio 4.16 Encuentra todos los posibles valores del rango de A, para todos los valores de a   1 2 a A = −2 4a 2 a −2 1 Ejercicio 4.17 Encuentre una base para el espacio generado el conjunto de vectores       1  2  1      4 , 1 , 3 S=   4 2 −2

Ejercicio 4.18 Encuentre NA , ν (A) , ρ (A) , Im A, CA , RA para la siguientes matrices     1 −1 2 3 −1 −1 0 0 −2 2 −4 −6 0 0 2 3    � A = � A=  2 −2 4 4 6 0 −2 1 3 −3 6 9 3 −1 0 4

Ejercicio 4.19 Contesta correctamente y justifica tu respuesta   1 2 3 4 � El rango de la matriz 0 2 −1 5 es 0 0 3 7 (a). 1

(b). 2

(c). 3

(d). 4

4.2. TRANSFORMACIONES LINEALES

117

� La nulidad de la matriz del inciso anterior es (a). 1

(b). 2

(c). 3

(d). 4

� Si un matriz de 5 × 7 tiene nulidad 2, entonces su rango es (a). 5 (b). 3 (c). 2 (d). 7 (e). No se puede determinar sin m´as informaci´on  1 2 � El rango de la matriz −2 −4 es 3 6 

(a). 1

(b). 2

(c). 3

� La nulidad de la matriz en la pregunta 4 es (a). 0

(b). 1

(c). 2

(d). 3

� Si A es una matriz de 4 × 4 y det A = 0, entonces el valor m´aximo posible para ρ (A) es (a). 1 (b). 2 (c). 3 (d). 4

4.2.

Transformaciones Lineales

4.2.1.

Definici´ on

Definici´ on 4.14 (Transformaci´ on Lineal) Sean V y W espacios vectoriales reales. Una transformaci´on lineal T de V en W es una funci´on que asigna a cada vector en v ∈ V un vector u ´nico T v ∈ W y que satisface, para cada u y v en V y cada escalar α, T (u + v) = T u+T v T (αv) = αT v Dos observaciones sobre la notaci´on: 1. Se escribe T : V −→ W para indicar que T toma el espacio vectorial real V y lo lleva al espacio vectorial real W. 2. Se escriben indistintamente T v y T (v). Denotan lo mismo y las dos se leen “T de v”.

4.2. TRANSFORMACIONES LINEALES

118

Ejemplo 4.38 (Una transformaci´ on lineal de R2 en R3 ) Sea T : R2 −→ R3 definida por   � � x+y x T = x − y  y 3y

Soluci´ on. Para verificar que sea una transformaci´on lineal debe de cumplir las dos propiedades de la definici´on. Examinemos la primera propiedad: � � �� � � �� x2 x 1 + x2 x1 + =T T y1 y2 y1 + y2 evaluando en la funci´on definida para el ejemplo nos queda:   � � x 1 + x2 + y 1 + y 2 x 1 + x2 = x 1 + x 2 − y 1 − y 2  T y1 + y2 3y1 + 3y2     x2 + y 2 x1 + y 1 = x 1 − y 1  + x 2 − y 2  3y1 3y2 pero como:

entonces

De manera similar

    � � � � x1 + y 1 x2 + y 2 x1 x2 = x 1 − y 1  y T = x 2 − y 2  T y2 y1 3y1 3y2 �

x 1 + x2 T y1 + y2

�

� � � � x1 x2 =T +T y1 y2

� � � � �� αx x =T T α αy y   αx + αy = αx − αy  3αy   x+y = α x − y  3y � � x = αT y as´ı, T es una transformaci´on lineal.

4.2. TRANSFORMACIONES LINEALES

119

Ejemplo 4.39 (La trasnformaci´ on cero) Sean V y W espacios vectoriales y defina T : V −→ W por T v = 0 para todo v ∈ V . Entonces T (v1 + v2 ) = 0 = 0 + 0 = T v1 + T v2 T (αv) = 0 = α0 =αT v

en este caso, T se denomina la transformaci´on cero. Ejemplo 4.40 (La transformaci´ on identidad) Sea V un espacio vectorial y defina T : V −→ V por T v = v para todo v ∈V . Soluci´ on. Tomemos x, y ∈ V , entonces

T (x + y) = x + y = T x + T y

de la misma forma se verifica la otra propiedad de linealidad T (αx) = αx = αT x por lo que T v = v, la transformaci´on identidad, es una transformaci´on lineal. Ejemplo 4.41�(Transformaci´ on de reflexi´ on) Sea T : R2 −→ R2 definida por � � � −x x . = T y y � � � � x1 x Soluci´ on. Sean , 2 vectores en R2 entonces y1 y2 �� � � �� � � � � x1 x2 x 1 + x2 −x1 − x2 T + =T = y1 y2 y1 + y2 y1 + y2 � � � � −x2 −x1 + = y1 y2 � � � � x2 x1 +T =T y1 y2 de manera similar probamos para la otra propiedad � � � � � � � � � � �� x −x −αx αx x = αT =α = =T T α y y αy αy y

por lo anterior se concluye que la funci´on T es una transformaci´on lineal. Ejemplo 4.42 Sea A una matriz de m × n y defina T : Rn −→ Rm por T x =Ax. ¿Es T una transformaci´on lineal? Soluci´ on. Verificando las propiedades de linealidad tenemos T (x + y) = A (x + y) = Ax + Ay = T x + T y y por otro lado T (αx) = A (αx) = α (Ax) = αT x de lo anterior se observa que T es una transformaci´on lineal. Entonces toda matriz A de m × n se puede utilizar para definir una transformaci´on lineal de Rn en Rm .

4.2. TRANSFORMACIONES LINEALES

4.2.2.

120

Propiedades

En esta secci´on se desarrollan algunas propiedades b´asicas de las transformaciones lineales. Teorema 4.21 Sea T : V −→ W una transformaci´on lineal. entonces para todos los vectores u, v, v1 , v2 , . . . , vn en V y todos los escalares α1 , α2 , . . . , αn : 1. T (0) = 0 2. T (u − v) = T (u) − T (v) 3. T (α1 v1 + α2 v2 + · · · + αn vn ) = α1 T v1 + α2 T v2 + · · · + αn T vn Teorema 4.22 Sea V un espacio vectorial de dimensi´on finita con base B = {v1 , v2 , . . . , vn }. Sean w1 , w2 , . . . , wn vectores en W . Suponga que T1 y T2 son dos transformaciones lineales de V en W tales que T1 vi = T2 vi = wi para i = 1, 2, . . . , n. Entonces para cualquier vector v ∈ V , T1 v = T2 v; es decir T1 = T2 . El teorema anterior indica que dos transformaciones lineales T1 y T2 , ambas de V → W , son iguales si al evaluar los elementos de una base de V en las transformaciones T1 y T2 , para cada elemento evaluado el resultado de las dos transformaciones es el mismo. Ejemplo 4.43 Sea T una transformaci´on lineal de R3 en R2 y suponga que       � � � � � � 1 0 0 2 −1 5       T 0 = ,T 1 = yT 0 = 3 4 −3 0 0 1   3  Calcule T −4. 5 Soluci´ on. Se tiene

       0 0 1 3 −4 = 3 0 − 4 1 + 5 0 1 0 0 5 

4.2. TRANSFORMACIONES LINEALES

121

entonces         0 0 1 3         T −4 = T 3 0 − 4 1 + 5 0 1 0 0 5       1 0 0      = 3T 0 − 4T 1 + 5T 0 0 0 1 � � � � � � 5 −1 2 +5 −4 =3 −3 4 3 � � � � � � 25 4 6 + + = −15 −16 9 � � 35 = −22 

Teorema 4.23 Sea V un espacio vectorial de dimensi´on finita con base B = {v1 , v2 , . . . , vn }. Sea W un espacio vectorial que contiene los vectores w1 , w2 , . . . , wn . Entonces existe una transformaci´on lineal u ´nica T : V −→ W tal que T vi = wi para i = 1, 2, . . . , n. Ejemplo 4.44 (Definici´ on de una transformaci´ on lineal de R2 en un subespacio de R3 ) Encuentre una transformaci´on lineal de R2 en el plano      x   y | 2x − y + 3z W =   z 3 Soluci´  Se sabe Wes un subespacio de R de dimensi´on 2 con vectores b´asicos on. � � � � 1 0 1 0 2     y v2 = se w1 = 2 y w2 = 3 . Utilizando la base est´andar en R , v1 = 0 1 0 1 define la transformaci´on lineal por     � � � � 0 1 0 1    = 3 = 2 yT T 1 0 1 0

Entonces, como se ve en 4.21 T

�

5 −7

�

      � � � � � �� � � � 5 0 1 0 1 0 1 = 5 2 − 7 3 = −11 − 7T = 5T −7 =T 5 1 0 1 0 −7 1 0

de manera m´as general

4.2. TRANSFORMACIONES LINEALES

122

  � � x x T = 2x + 3y  y y

4.2.3.

Imagen y N´ ucleo

Definici´ on 4.15 (N´ ucleo e Imagen de una transformaci´ on lineal) Sean V y W dos espacios vectoriales y sea T : V −→ W una transformaci´on lineal. Entonces 1. El n´ ucleo de T , denotado por nu T , est´a dado por nu T = {v ∈ V : T v = 0} 2. La imagen de T , denotado por Im T , est´a dado por Im T = {w ∈ W : w =T v para alguna v ∈ V } Teorema 4.24 Si T : V −→ W es una transformaci´on lineal, entonces 1. nu T es un subespacio de V 2. Im T es un subespacio de W Ejemplo 4.45 (N´ ucleo e imagen de la transformaci´ on cero.) Sea T v = 0 para todo v ∈ V . Entonces nu T = V e Im T = {0}

4.2.4.

Representaci´ on Matricial

Teorema 4.25 Sea T : Rn → Rm una transformaci´on lineal. Entonces existe una matriz u ´nica de m × n, AT tal que T x = AT x para toda x ∈ Rn Definici´ on 4.16 (Matriz de transformaci´ on) La matriz AT en el teorema 4.25 se llama matriz de transformaci´on correspondiente a T o representaci´on matricial de T . Teorema 4.26 Sea AT la matriz de transformaci´on correspondiente a la transformaci´on lineal T . Entonces Im T = Im AT = CAT ρ (T ) = ρ (AT ) nu T = NAT

4.2. TRANSFORMACIONES LINEALES

123

ν (T ) = ν (AT ) Ejemplo 4.46 Encuentre la matriz de transformaci´on AT correspondiente     a la proyecx x 3    ci´on de un vector en R sobre el plano xy. Definida como T y = y  z 0

    x x    Soluci´ on. Aqu´ı T y = y . En particular, z 0             0 1 1 0 0 0            T 0 = 0 , T 1 = 1 y T 0 = 0 0 0 1 0 0 0 As´ı,

Observe que



 1 0 0 A T = 0 1 0  0 0 0

         x x 1 0 0 x x          y = y T y = AT y = 0 1 0 0 z 0 0 0 z z

Ejemplo 4.47 Defina T : R3 → R4 por

    x−y x   y+z  T y  =   2x − y − z  z −x + y + 2z

Encuentre AT , nu T , Im T , ν (T ) y ρ (T ).

4.2. TRANSFORMACIONES LINEALES

124

Soluci´ on. Evaluando los elementos de la base can´onica de R3 en la transformaci´on, tenemos que       1 1−0 1  0  0 + 0    T 0  =   2 (1) − 0 − 0  =  2  0 −1 − (1) + 0 + 2 (0)       −1 0−1 0     1+0 = 1  T 1  =   2 (0) − 1 − 0  −1 0 1 − (0) + 1 + 2 (0)       0 0−0 0     0+1 = 1  T 0  =   2 (0) − 0 − 1  −1 1 2 − (0) + 0 + 2 (1)

por lo que la matriz de transformacion AT queda como sigue:   1 −1 0 0 1 1  AT =   2 −1 −1 −1 1 2

Ahora se calculan el n´ ucleo y la imagen de AT . La forma escalonada por renglones de AT es     1 −1 0 1 −1 0   0 1 1  0 1 1    2 −1 −1 ∼ 0 0 1 0 0 0 −1 1 2 Esta forma tiene tres pivotes, de manera que

ρ (AT ) = 3 y ν (AT ) = 3 − 3 = 0 El c´alculo de la nulidad se debe a que se cumple ρ (AT ) + ν (AT ) = n, donde n es el n´ umero de columnas de AT . Esto significa que       0  −1 1          0 1 1  nu T = {0} , Im T = gen   ,   ,   , ν (T ) = 0 y ρ (T ) = 3 −1  −1 2      2 1 −1 Ejemplo 4.48 Defina T : R3 → R3 por     x 2x − y + 3z T y  =  4x − 2y + 6z  z −6x + 3y − 9z

4.2. TRANSFORMACIONES LINEALES

125

Encuentre AT , nu T, Im T, ν (T ) y ρ (T ).             3 0 −1 0 2 1 Soluci´ on. Como T 0 =  4  , T 1 = −2 y T 0 =  6  se tiene −9 1 3 0 −6 0   2 −1 3 AT =  4 −2 6  −6 3 −9

Para encontrar NA = nu T , se reduce por renglones para �    1 −1 2 −1 3 �� 0 2  4 −2 6 � 0  ∼  0 0 � −6 3 −9 � 0 0 0   x por lo que un vector y  ∈ NA si x − 12 y + 32 z = 0, es z una base B para NA es:  1   3   2 2  B = 1 , 0   0 1 y por lo tanto

resolver el sistema Ax = 0 �  3 � 0 2 � � 0 � 0  0 � 0

decir, x = 21 y + 32 z. Entonces

  1   3   2 2     1 , 0 nu T = NA = gen   0 1

Entonces ν (T ) = dim nu T = 2. Como solo existe pivote para AT se tiene que  un   2  ρ (T ) = ρ (AT ) = 1. y por lo tanto Im T = gen  4  .   −6 Ejercicio 4.20 Determina si la transformaci´on de T : V → W dada es lineal � � � � x x 2 2 = � T : R → R ;T 0 y   � � x 1 � T : R 3 → R2 ; T  y  = z z � � x 2 = xy � T : R → R; T y � T : Mnn → Mnn ; T (A) = AB, donde B es una matriz fija de n × n

4.2. TRANSFORMACIONES LINEALES

126

� T : P2 → P1 ; T (a0 + a1 x + a2 x2 ) = a0 + a1 x � T : R → Pn ; T (a) = a0 + ax + ax2 + · · · + axn Ejercicio 4.21 Para cada transformaci´on lineal T determine la representaci´on matricial AT de la transformaci´on lineal T , nu T, Im T, ν (T ) , ρ (T )   x � �  y x+z 4 2   � T : R → R ;T   = z y+w w � T : R → P3 ; T (a) = a0 + ax + ax2 + ax3     x − y + 2z x � T : R3 → R2 ; T y  = 3x + y + 4z  5x − y + 8z z � � � � a b a+b+c+d a+b+c � T : M22 → M22 ; T = c d a+b a