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Ecuaciones Lineales Una ecuación está formada por un signo de igualdad colocado entre dos expresiones, las cuales contienen números o variables. El resultado de una ecuación se conoce como solución o raíz. Si se quiere comprobar que el valor de la raíz esta correcto, simplemente se sustituye la variable por el número (valor) de la raíz. Ejemplo: X+8=3 X=3-8 X = -5 Comprobación: X+8=3 (-5) + 8 = 3 3=3 Una ecuación que está en la forma , donde a y b son constantes y , es una ecuación lineal de la variable x. La solución de una ecuación como esta es

.

Dos ecuaciones son equivalentes si tienen el mismo conjunto solución. Por ejemplo: X - 2 = 10 X = 10 + 2 X= 12 X-6=6 X=6+6 X = 12 Ambas ecuaciones son equivalentes, porque su única solución es 12. Para resolver una ecuación, usualmente se trata de cambiar o transformar ésta en una ecuación equivalente. Esta transformación se puede hacer de la siguiente forma: sumando la misma cantidad a cada lado de la ecuación dada. restando la misma cantidad a cada lado de la ecuación dada. multiplicando o dividiendo a ambos lados de la ecuación por cualquier cantidad no igual a cero. • • •

Por ejemplo: Sumando la misma cantidad a cada lado de la ecuación:

Restando la misma cantidad a cada lado de la ecuación:

Multiplicando a ambos lados de la ecuación por cualquier cantidad no igual a cero:

Aplicaciones de Ecuaciones Lineales Para resolver problemas verbales, puede dejarse llevar por las siguientes guías: Leer el problema cuidadosamente para determinar exactamente lo que se está buscando. • Asignar variables a las cantidades que se desea encontrar. Usualmente se utilizan las variables x y n. • Utilizar los datos dados para establecer una ecuación involviendo las variables de los valores desconocidos. • Resolver la ecuación y cotejar la respuesta. •

Ejemplos:

Aplicaciones de Ecuaciones Lineales Para resolver problemas verbales, puede dejarse llevar por las siguientes guías: Leer el problema cuidadosamente para determinar exactamente lo que se está buscando. • Asignar variables a las cantidades que se desea encontrar. Usualmente se utilizan las variables x y n. • Utilizar los datos dados para establecer una ecuación involviendo las variables de los valores desconocidos. • Resolver la ecuación y cotejar la respuesta. •

Ejemplos:

Ecuaciones Cuadráticas Una ecuación cuadrática es una ecuación de tipo donde a, b y c son constantes.

, donde a > 0, y en

Solución de Ecuaciones Cuadráticas Mediante Factorización Si una ecuación cuadrática puede ser factorizada en una multiplicación de factores lineales, entonces puede decirse que es una ecuación factorizable. Por ejemplo, es una ecuación factorizable porque puede ser factorizada por los factores lineales (3x - 4) y (x + 2). O sea, = (3x - 4)(x + 2). Para resolver una ecuación mediante este método primero se escribe la ecuación en la forma . Luego se factoriza la expresión en factores lineales. Y por último se determina el valor de x . Como por ejemplo:

Solución de Ecuaciones Cuadráticas Mediante Fórmula Cuadrática Cuando la ecuación cuadrática está en su forma estándar ( ) y se nos hace difícil encontrar sus raíces mediante factorización, podemos utilizar el método de la fórmula cuadrática, el cual usamos para parear los coeficientes de con a, el coeficiente de x con b y la constante con c. La fórmula cuadrática es: .

Pasos para Buscar las Raíces de una Ecuación Usando la Fórmula Cuadrática: 1. Primero verificar que la ecuación esté en su forma estándar y determinar los valores de las variables a, b y c. 2. Luego utilizar la fórmula cuadrática sustituyendo los valores por las variables. Por ejemplo:

Ecuaciones en Forma Cuadrática Algunas ecuaciones que no son necesariamente cuadráticas, pueden resolverse por los métodos de factorización o por la fórmula cuadrática, si primero se utiliza una sustitución apropiada. Como por ejemplo:

Desigualdades Lineales; Intérvalos Desigualdades Lineales Una inecuación o desigualdad lineal es lo mismo que una ecuación lineal pero cambiando el signo de igualdad por signo(s) de desigualdad. Los signos de desigualdad son . Para resolver una desigualdad lineal se utilizan los mismos pasos que se usan para resolver una ecuación lineal. Como ejemplo, vamos a resolver la desigualdad 3 > x - 8. Sumando la misma cantidad a ambos lados: 3>x-8 3+8>x-8+8 11 > x Una regla importante en las desigualdades es que cuando se divide por un número negativo, el signo de desigualdad cambia. Ejemplo:

Intérvalos Un intérvalo es el conjunto de todos los números reales entre dos números reales dados. Para representar los intérvalos se utilizan los siguientes simbolos: 1. 2.

Intérvalo abierto (a, b) = {x/a x b}. Intérvalo cerrado [a, b] = {x/a x b}

En una gráfica, los puntos finales de un intérvalo abierto se representan con un punto abierto ( ) y los de un intérvalo cerrado se representan con un punto cerrado ( ). Por ejemplo, observemos las siguientes figuras:

Según vimos anteriormente los paréntesis se utilizan para los intérvalos abiertos y los corchetes para los intérvalos cerrados. Veamos ahora cuando se utilizan ambas denotaciones a la misma vez. Por ejemplo: Si tenemos (a, b], la gráfica sería:

Si tenemos [a, b), la gráfica sería:

Cuando hablamos de infinito nos referimos al conjunto de todos los números reales mayores que a y se representan con la notación de intérvalo (a, ). El conjunto de todos los números reales menores que a se representan con la notación de intérvalo (- , a).

Desigualdades que Envuelven Dos Posibles Soluciones Hay desigualdades que envuelven dos posibles soluciones, una positiva y otra negativa. Por ejemplo: | 10x - 2| 9 10x - 2 -9 10x -9 +2 10x -7 10x/10 -7/10 x -7/10 •

10x - 2 9 10x 9 + 2 10x 11 10x/10 11/10 x 11/10 •