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UNIDA 3 ECUACIONES LINEALES.

Algebra Lineal.

Aldo Ismael González Gutiérrez

En los ejercicios 20 a 22, determine todas las soluciones del sistema lineal dado en cada caso. EJERCICIO 20.-

a) x+ y+ 2 z=−1

x−2 y+ z=−5

[ [ [

1 1 2 ⋮ −1 1 −2 1 ⋮ −5 r 2 (−1 ) 3 1 1⋮ 3

]

[

1

[

1 1

[

1 1

] ]

3 x+ y + z=3

1 1 2 −1 0 −3 −1 −4 r 3 (−3 ) 3 1 1 3 1 1 2 −1 −1 0 −3 −1 −4 r 2 3 0 −2 −5 6

( )

]

1

2 −1 1 4 r 3+r 2(2) 0 1 3 3 0 −2 −5 6

0 1 0 0

0 1 0 0

]

2 −1 1 4 −3 3 3 r3 13 −13 26 3 3

]

2 −1 1 4 r 2+r 3 −1 3 3 3 1 −2

Aula: k-5

3° “B”

10 de diciembre de 2014

UNIDA 3 ECUACIONES LINEALES.

Algebra Lineal.

[ [ [

] ] ]

Aldo Ismael González Gutiérrez

1 1 2 −1 0 1 0 2 r 1+r 2 (−2 ) 0 0 1 −2 1 1 0 3 0 1 0 2 r 1+r 2(−1) 0 0 1 −2 1 0 0 1 0 1 0 2 0 0 1 −2

x=1 y=2 z=−2

∴ Solución única.

b)

(

1 1 3 2 1 0 0 3 6

(

|)

27 4 8 r 2+ r 1 (−2 ) 08

|)

1 1 3 2 7 0 −1 −6 0 −6 r 2 (−1 ) 0 3 6 0 8

|)

(

1 1 3 2 7 r 1+r 2(−1) 0 1 6 06 ( ) 0 3 6 0 8 r 3+ r 2 −3

(

1 0 −3 2 1 −1 0 1 6 0 6 r3 12 0 0 −12 0 −10

(

1 0 −3 2 1 r 1+ r 3 ( 3 ) 0 1 6 0 6 0 0 1 0 5 /6 r 2+ r 3 (−6 )

(

1 0 0 2 7/2 0 1 0 0 1 0 0 1 0 5/6

| )

( )

|)

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|) 3° “B”

10 de diciembre de 2014

UNIDA 3 ECUACIONES LINEALES.

Algebra Lineal.

X + 2W =

Aldo Ismael González Gutiérrez

7 2

Y =1 ∴ ESTA MATRIZ ES DE SOLUCIÓN MULTIMPLE 5 Z= 6 cuando W =r entonces W =0

c) x +2 y−4 z=3 x−2 y+ 3 z =−1 2 x +3 y−z=5 4 x+ 3 y −2 z =7 5 x +2 y−6 z=7

( |) 1 1 2 4 5

2 −2 3 3 2

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−4 3 3 −1 −1 5 −2 7 −6 7

r 2+r 1(−1) r 3+r 1(−2) r 4 +r 1(−4) r 5+r 1 (−5 )

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UNIDA 3 ECUACIONES LINEALES.

Algebra Lineal.

Aldo Ismael González Gutiérrez

( |) 1 0 0 0 0

2 −4 3 −4 7 −4 −1 ) −1 7 −1 r 2( 4 −5 14 −5 −8 14 −8

( |) 1 2 −4 7 3 0 1 1 4 −1 0 −1 7 −5 0 −5 14 −8 0 −8 14

r 1+ r 2(−2) r 3+ r 2(1) r 4 +r 1(5) r 5+r 1 ( 8 )

4 51/¿

( |) 1 0 0 0 0

0 1 0 0 0

−1/2 −7 /4 51 /4 51 /4 0

1 1 0 r 3¿ 0 0 ¿

( |) ( |) 1 0 0 0 0

0 1 0 0 0

−1/2 −7 /4 51 /4 51 /4 0

1 0 0 0 0

0 1 0 0 0

01 01 10 00 00

1 r 1+r 3 ( 1/2 ) 1 r 2+r 3(7 /4) 0 0 r 4 +r 3(51/ 4) ¿ 0

x =1 y=1 ∴ Solución única z=0

d)

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Algebra Lineal.

Aldo Ismael González Gutiérrez

x+ y+ z=0 x+ z =0

2 x + y −2 z=0 x+ 5 y +5 z=0

[ [ [ [ [ [

1 1 2 1

]

1 1 0 0 1 0 ⋮ r 2+ r 1 (−1 ) ; r 3+r 1 (−2 ) ; r 4+ r 1 (−1 ) . 1 −2 0 5 5 0

] ]

1 1 1 0 0 −1 0 ⋮ 0 r 2 (−1 ) 0 −1 −4 0 0 4 4 0 1 1 1 0 0 1 0 ⋮ 0 r 1+r 2 (−1 ) ; r 3+ r 2; r 4 +r 2 (−4 ) . 0 −1 −4 0 0 4 4 0

]()

1 0 0 0

0 1 0 1 0 ⋮ 0 r 3 −1 4 0 −4 0 0 4 0

1 0 0 0

0 1 0 0

1 0 0 0 ⋮ r 1+r 3 (−1 ) ; r 4 +r 3(−4) 1 0 4 0

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 0 0 ⋮ 1 0 0 0

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] ]

x =0 y=0 ∴ Solución trivial z=0

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Algebra Lineal.

Aldo Ismael González Gutiérrez

EJERCICIO 21 a) x+ y+ 2 z +3 w=13 x−2 y+ z+ w=8

3 x+ y + z−w=1

[ [

¿

]

1 1 2 3 ⋮13 r +r (−1) 1 −2 1 1 ⋮ 8 2 1 r 3 1 1 −1 ⋮ 1 3 +¿r (−3 ) 1

1 1 2 3 ⋮ 13 0 −3 −1 −2 ⋮−5 0 −2 −5 −10 ⋮−38

]

r2

( −13 )

1+¿ r 2 (−1)

[ [

] ]

1 1 2 3 ⋮13 0 1 −3 −5 ⋮−8 r ¿ r 3 +r 2( 2) 0 −2 −5 −10 ⋮−38 1 0 5 0 ⋮ 21 −1 ) 0 1 −3 −5 ⋮−8 r 3 ( 11 0 0 −11 −20 ⋮−54

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UNIDA 3 ECUACIONES LINEALES.

Algebra Lineal.

[

Aldo Ismael González Gutiérrez

]

1 0 5 0 ⋮ 21 0 1 −3 −5 ⋮−8 r 1 +r 3 (−5) 20 54 r 2 +r 3 (3) 0 0 1 ⋮ 11 11

[

1 0 0 0 1 0 0

−100 11 5 0 11 20 1 11

−39 11 74 11 54 11

]

100 −39 w= 11 11 5 74 y+ w= 11 11 20 54 z + w= 11 11

−39 100 + w 11 11 74 5 y= − w ∴ Solución múltiple . 11 11 54 20 z= − w 11 11

x−

x=

b)

(

2 3 1 6 5

1 −2 1 0 −1

1 1 −1 1 2

|)

−2 1 −6 −2 1 −1 −1 r 1 2 −9 −1 −8 3

()

r 2+r 1(−3) ¿

( |) 1

3 1 6 5

1 2 −2 1 0 −1

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1 2 1 −1 1 2

1 −1 2 r 3+r 1(−1) −6 ¿ −2 ¿ −1 −1 r 4+ r 1(−6) 5 −9 r 5+ r 1 −1 −8 3

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UNIDA 3 ECUACIONES LINEALES.

Algebra Lineal.

(

|) |) |) |)

Aldo Ismael González Gutiérrez

1 1/2 1/2 −1 1/2 0 −7 /2 −1/2 −3 −7/2 −1 0 1/2 −3/2 0 −3/2 r 2 7 0 −3 −3 −3 −5 0 −7/2 −1/2 −3 1/2

( )

−1 ( 2 ) −1 1/2 6 /7 −1 r 3+ r 2 −1 (2) 0 −3 /2 r 1+ r 2

(

1 0 0 0 0

1/2 1 1/2 −3 −7 /2

( (

1 0 0 0 0

0 3/7 −10/7 1 1 1/7 6/7 −1 −5 0 −11 /7 −3/7 −1 r 3 8 0 −11 /7 −3/7 −8 0 0 0 −3

1/2 1/7 −3/2 −3 −3 −5 −1/2 −3 1/2

r 4 +r 2 (3 ) 7 r 5+r 2 2

()

( ) ( −37 ) ( −17 ) ( 117 )

1 0 3/7 −10/7 1 r 1+r 3 0 1 1/7 6/7 −1 0 0 1 2/7 −5/8 r 2+ r 3 0 0 −11 /7 −3/ 7 −8 0 0 0 0 −3 r 4 +r 3

( |) 1 0 0 0 0

0 1 0 0 0

0 −1 3/4 0 5 /9 −1 1 2 /7 5/8 0 0 −7 0 0 −3

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UNIDA 3 ECUACIONES LINEALES.

Algebra Lineal.

( 149 ) V = 34 5 Y +( )=−1 6 2 5 Z+ ( )= 7 8

Aldo Ismael González Gutiérrez

X−

∴ ESTA MATRIS NO TIENE SOLUCIÓN .

0 X +0 Y +0 Z+ 0 W =−7

c) x+ y+ z=1

x+ y−2 z=3 2 x + y + z=2

[ [ [ [

1 1 1:1 r 2+r 1 (−1 ) 1 1 2:3 r 3+r 1 (−2 ) 2 1 1:2

]

[

1 0 0: 1 0 1 1 : 0 r 2+ r 3 (−1) 0 0 1: 2

] ] ]

1 1 1: 1 0 0 1: 2 r2→r3 0 −1 −1: 0 1 1 1: 1 0 0 1 : 0 r 1+r 2 0 −1 −1: 2 1 0 0: 1 0 −1 −1 : 0 r 2(−1) 0 0 1: 2

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]

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10 de diciembre de 2014

UNIDA 3 ECUACIONES LINEALES.

Algebra Lineal.

[

1 0 0: 1 0 1 0 : −2 0 0 1: 2

x=1 y=−2 z=2

Aldo Ismael González Gutiérrez

]

∴ Soluci ó n ú nica .

d) x+ 2 y +3 z−w=0

2 x + y + z +w=3 x− y + z−2 w=−2

[

1 2 3 1: 0 2 1 1 1: 3 1 1 1 0 : −2

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]

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10 de diciembre de 2014

Algebra Lineal.

UNIDA 3 ECUACIONES LINEALES.

[

1 2 3 1: 0 0 −3 −5 −1 : 3 1 1 1 1 : −2

]

r2+r1 (-2).

[

1 2 3 1: 0 0 −3 −5 −1 : 3 0 −1 −2 −1 −2

]

r3+r1 (-1).

[

1

]

r2 (-1/3).

[

[

2

3

1: 0 1 0 1 5 /3 : −1 3 0 −1 −2 −1 : −2

1

0

−1/ 3

0

1

5/3

0 −1

−2

1 0 −1/3 0 1

5/3

0 0 −1/3

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1 : 2 3 1 : −1 3 −1: −2

1 : 2 3 1 : −1 3 −2 : −3 3

]

]

Aldo Ismael González Gutiérrez

r1+r2 (-2).

r3+r2 (1).

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Algebra Lineal.

[

1 0 −1/3 0 1

5/3

0 0

1

UNIDA 3 ECUACIONES LINEALES.

1 : 2 3 1 : −1 3 2: 9

[

1 0

1: 5 1 : −1 3 2: 9

]

[

1 0 0 1: 5 0 1 0 −3 : −16 0 0 1 2: 9

]

0

0 1 5/3 0 0

1

]

Aldo Ismael González Gutiérrez

r3 (-3).

r1+r3 (1/3).

x+ w=−5 y−3 w=−16 z +2 w=9

x=−5−w y=−16+3 w z=9−2 w

x=−5−r y=−16+3 r z=9−2 w

∴ Solución Múltiple .

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Algebra Lineal.

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EJERCICIO 22. a)

2 x − y+ z=3 x−3 y + z=4

−5 x−2 z=−5

[

2 −1 1 3 1 1 −3 1 ⋮ 4 1 r 2 −5 0 −2 −5

] ()

[

−1 1 3 2 2 ⋮ 2 2 r +1 r (−1 ) ; 3 r +1r (5) 1 −3 1 4 −5 0 −2 −5

]

1

[ ] [ ] [ ]

1 3 2 2 1 ⋮ 2 r −2 1 5 2 5 1 2 2

−1 2 −5 0 2 −5 0 2 1

1

−1 2

0

1

0

−5 2

1 0 0 1 0 0

( )

1 3 2 2 1 5 −1 −2 ⋮ 1 r +2 r ; 3r + 2r 2 2 5 5 1 5 2 2

()

()

13 2 10 5 −2 =0 X +0 Y +0 Z = 5 ∴ El sistema no tiene solucion. −1 ⋮ 2 5 5 5 0 2

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UNIDA 3 ECUACIONES LINEALES.

Algebra Lineal.

Aldo Ismael González Gutiérrez

b) x+ y+ z+ w=6 2 x + y −z=3

3 x+ y +2 w=6

[ [ [ [ [

]

1 1 1 1 6 2 1 −1 0 ⋮ 3 2 r +1 r (−2 ) ; 3 r +1 r (−3 ) 3 1 0 2 6

] ]

1 1 1 1 6 0 −1 −3 −2 ⋮ −9 2 r (−1) 0 −2 −3 −1 −12 1 1 1 1 6 0 1 3 2 ⋮ 9 1 r +2 r (−1 ) ;3 r + 2r (2) 0 −2 −3 −1 −12

] ]

1 0 −2 −1 −3 1 0 1 3 2 ⋮ 9 3r 3 0 0 3 3 6 1 0 −2 −1 −3 0 1 3 2 ⋮ 9 0 0 1 1 2

()

∴

Z=2–W Sustituyendo en 1 X – 2(2 – W) – W = -3 X – 4 +2W – W = -3

1. X -2Z – W = -3 2. Y + 3Z + 2W = 9 3. Z + W = 2 Despejando

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Algebra Lineal.

UNIDA 3 ECUACIONES LINEALES.

X + W – 4 = -3 X = -3 + 4 – W X= 1 – W

Y–W+6=9 Y= 9 – 6 + W Y= 3 + W

Sustituyendo en 2 Y + 3(2 – W) + 2W= 9 Y + 6 – 3W + 2W = 9

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Aldo Ismael González Gutiérrez

∴

3° “B”

W= Cualquier número Real

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c)

[

2 −1 1 3 3 1 −2 ⋮ −2 r 1 1 2 1 5 −7 13 1 −7 −5 12

] ()

[

−1 1 3 2 2 2 3 1 −2 ⋮−2 r 2+ r 1(−3) 1 5 7 13 1 −7 −5 12 1

]

[ ] −1 2 5 0 2 1 5 1 −7 1

1 3 2 2 −7 ⋮ 13 r 3+ r 1 (−1 ) ; r 4 +r 1(−1) 2 −2 7 13 −5 12

[ ] −1 2 5 0 2 11 0 2 0 −13 2 1

1 3 2 2 −7 −13 2 ⋮ 2 r2 2 5 13 28 2 2 −11 21 2 2

()

[ ] [ ] [ ] [ ] 1

−1 2

0

1

11 0 2 0 −13 2

1 0 0 1 0 0 0 0

1 3 2 2 −7 −13 5 ⋮ 5 r 3+ r 2 −11 ; r 4 +r 2 13 ; r 1+r 2 1 2 2 2 13 28 2 2 −11 21 2 2

( )

( )

−1 7 5 4 −7 −13 2 ⋮ 2 r3 5 71 71 129 5 5 78 −32 5 5

( )

7 −1 4 5 −13 −7 0 1 5 r 1+ r 3 1 ; r 1+r 2 7 ; r 1+ r 3 78 5 ⋮ 5 5 5 129 1 0 0 5 −78 0 0 −32 5 5 1 0

1 0 0 0

0 1 0 0

691 100 0 838 0 25 ⋮ 1 129 0 5 9902 25

()

()

( )

()

d)

x+ 2 y −z=0

2 x + y + z=0 5 x+7 y + z=0

[ [ [

1 2 1: 0 2 1 1: 0 5 7 1: 0

]

1 2 1: 0 0 −3 −1 : 0 5 7 1: 0 1 2 1: 0 0 −3 −1: 0 0 −3 −4 : 0

] ]

r2+r1 (-2).

r3+r1 (-5).

[

1

2

1: 0 1 0 1 : 0 3 0 −3 −4 : 0

]

[ ] [ ] [ ] 1 : 0 3 1 0 1 : 0 3 0 −3 −4 : 0 1

r2 (-1/3).

0

1 : 0 3 1 0 1 : 0 3 0 0 −3: 0

r1+r2 (-2).

1 0

1 0 0 1 0 0

1 : 0 3 1 : 0 3 1: 0

[

1 0

[

1 0 0: 0 0 1 0: 0 0 0 1: 0

0: 0 1 0 1 : 0 3 0 0 1: 0

r3+r2 (3).

r3 (-1/3).

]

]

r1+r3 (-1/3).

r2+r3 (-1/3).

x =0 y=0 ∴ Soluci ó n trivial . z=0

En los ejercicios 23 a 26, determine todos los valores de a para que los del sistema lineal resultante a) no tengan solución, b) tenga una solución única, y c) tenga una infinidad de soluciones.

EJERCICIO 23 x+ y−z=2

3 x+2 y + z=3 2

x+ y+(a −5) z=a

[ [ [ [

1 1 −1 2 3 2 1 ⋮ 3 r 2+ r 1 (−3 ) ; r 3+ r 1(−1) 2 1 1 a −5 a

]

[

−1 1 0 3 3 r 1+ r 3 (−3 ) ; r 2+r 3( 4) 0 1 −4 ⋮ 1 0 0 1 a−2

]

1 1 −1 2 0 −1 4 ⋮ −3 r 2(−1) 2 0 0 a −4 a−2

] ]

1 1 −1 2 0 1 −4 ⋮ 3 r 1+r 2(−1) 0 0 a2 −4 a−2 1 0 3 −1 1 0 1 −4 ⋮ 3 r 3 2−4 2 a 0 0 a −4 a−2

( )

]

[ ]

a+ 5 a+5 x= a−2 a−2 1 0 0 3 a−2 3 a−2 a=r (excepto2) y= 0 1 0⋮ a−2 a−2 0 0 1 1 1 z= a−2 a−2

EJERCICIO 24 x+ y+ z=2

2 x +3 y +2 z=5

] ] ] ]

2 x +3 y + ( a 2−1 ) z=a+1

[ [ [ [

1 1 1 ⋮ 2 2 3 2 ⋮ 5 2 r +1 r (−2) 2 2 3 a −1 ⋮ a+1

[ [

1 1 1 ⋮ 0 1 0 ⋮

1 1 1 ⋮ 2 0 1 0 ⋮ 1 3 r +1 r (−2) 2 2 3 a −1 ⋮ a+ 1 1 1 1 ⋮ 2 0 1 0 ⋮ 1 3 r +2 r (−1 ) 2 0 1 a −3 ⋮ a−1

1 1 1 ⋮ 2 1 0 1 0 ⋮ 1 3r 2 2 a −3 0 0 a −3 ⋮ a−2

0 0 1 ⋮

1 0 1 ⋮ 0 1 0 ⋮ 0 0 1 ⋮

] ]

(

2 1 1 r +2 r (−1) −1 a−3 1 1 1 r +3 r (−1) −1 a−3

)

[

][

1 1 0 0 ⋮ 1+ −3 1 0 0 ⋮ a =0 1 0 ⋮ 0 1 0 ⋮ 1 −1 0 0 1 ⋮ 0 0 1 ⋮ a−3

X=

a−2 −1 ; y=1 ; Z= a=r a−3 a−3

EJERCICIO 25 +¿ z ¿2 x +¿ y ¿3 x +¿ 2 y +¿ 2 z 2 x +¿ y +¿( a −5) ¿ a

[ [

1 1 1 : 2 1 2 2 : 3 2 1 1 (a −5) : a

]

r 2+ r 1(−1)

]

1 1 1 :2 0 1 1 : 1 r 3+ r 1(−1) 1 1 ( a2−5) : a 1 1 ¿

1 0 1 1 1 0 2 a −6 ¿ ¿ r 1+ r 2(−1) ¿

[

]

1 0 0 : 1 1 0 1 1 : ) 1 r3( 2 a −6 2 0 0 ( a −6 ) : a−2

]

a−2 a−3 1 =¿ −1 a−3

[

: 1 0 0 : 0 1 1 0 0 1:

[

:

]

1 1 r 2+ r 3 (−1) a−2 2 a −6

1 1 0 0 : 1− a−2 0 1 0 a2−6 0 0 1 a−2 : a2 −6

x=1

y=1−

a−2 2 a −6

] z=

a−2 a=r 2 a −6

EJERCICIO 26. x+ y=3

x+ ( a2−8 )=a 1 1 3 2 1 a −8 a

=

1 1 3 2 0 a −9 a−3

1 1 =

0 1

3 1 a+3

=

1 a+3 1 a+3

1 0 3− 0 1

x=

3 a+ 8 a+3

1 y= a+3

a=r excepto (−3 )

∴ Solución única

En los ejercicios 27 a 30, resuelva el sistema lineal con la matriz aumentada dada. EJERCICIO 27 a)

[

1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 ⋮ 3 (−1 ) → 0 0 −1 ⋮ 3 sin solucion . 0 1 1 1 0 1 1 1

] [

b)

[

1 1 1 1

2 1 1 3

3 1 2 3

]

]

⋮ ⋮ ⋮ ⋮

0 0 2 r +1 r (−1 ) , 3 r+ 1r (−1 ) 0 0

[ [

1 2 3 ⋮ 0 −1 −2 ⋮ 0 −2 −1 ⋮ 1 3 3 ⋮

]

1 0 0 0

2 1 2 1

3 2 1 0

⋮ ⋮ ⋮ ⋮

0 0 3 r +4 r (−2 ) 0 0

[ [

1 0 0 0

2 1 0 1

3 2 1 0

⋮ ⋮ ⋮ ⋮

0 0 1 r +3 r (−3 ) , 2 r+ 3 r (−2 ) 0 0

1 0 0 0

2 1 0 1

0 0 1 0

⋮ ⋮ ⋮ ⋮

0 0 1 r +4 r (−2 ) 0 0

0 0 2 r (−1 ) ,3 r (−1 ) , 4 r +1r (−1 ) 0 0

]

] ]

[ [

] ]

1 0 0 0

0 1 0 1

0 0 1 0

⋮ ⋮ ⋮ ⋮

0 0 4 r +2 (−1 ) 0 0

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

⋮ ⋮ ⋮ ⋮

0 x=0 0 y =0 ∴ Solucióntrivial−¿ 0 z=0 0

EJERCICIO 28 a)

[

[ [

1 2 3 0 1 1 1 ⋮0 5 7 9 0

]

]

1 2 3 0 1 1 1 ⋮ 0 r 2+r 1 (-1), r3+r1 (-5) 5 7 9 0 1 2 3 0 0 1 2 ⋮0 0 −3 −6 0

]

r1+r2 (-2), r3+r2(3)

[

1 0 −1 0 0 1 2 ⋮0 0 0 0 0

]

∴ El sistema no tiene soluci ó n

b)

[ ]

1 2 1:7 2 0 1:4 1 0 2:5 r 2+ r 1 (−2 ) ; r 3+r 1 (−1 ) ; r 4+ r 1 (−1 ) ; r 5+r 1(−2) : 1 2 3 11 : 2 1 5 12 :

[ ] [ ]

1 2 1 : 7 0 −4 −1 : −10 0 −2 1 : −2 −1 r2 : 4 0 0 2 4 : 0 −3 2 −2 : 1

2

0

1

0 −2 0 0 0 −3

( )

1 7 1 5 4 2 ⋮ r 1+r 2 (−2 ) ; 13+r 2 (2 ) ; r 5+r 2 (3 ) 1 −2 2 4 2 −2

[ ] 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0

1 2 2 1 5 4 2 2 3 ⋮ 3 r3 3 2 4 2 11 11 2 4

()

[ ] 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0

1 2 2 5 1 2 −1 −1 −11 4 ⋮ ; r 2+r 3 ; r 4 +r 3 (−2 ) ; r 5+ r 3 2 r 1+ r 3 2 4 4 1 4 2 11 11 2 4

[ ] 1 0 0 0 0

0 1 0 0 0

0 1 0 2 1 ⋮ 2 x=1 0 0 0 0

∴ Solución única. z

( )

y=2 z=2

( )

( )

EJERCICIO 29 a)

[

]

1 2 3 8 1 3 0 ⋮ 7 r 2+r 1 (−1 ) ; r 3+ r 1(−1) 1 0 2 3

[ [

[

]

1 2 3 8 0 1 −3 ⋮ 1 r 1+r 2 (−2 ) ; r 3+ r 2(2) 0 −2 −1 −5

]

1 0 9 6 −1 0 1 −3 ⋮ 1 r 3 7 0 0 −7 −3

( )

]

6 1 0 9 1 r 1+ r 3 (−9 ) ; r 2+ r 3 (3) 0 1 −3 ⋮ −3 0 0 1 7

[ ]

6 6 x= 7 7 1 0 0 −2 −2 ∴ Solución única. y= 0 1 0⋮ 7 7 0 0 1 −3 −3 z= 7 7

b) x−2 y +3 z=4 2 x − y−3 z=5 3 x + z=2 3 x−3 y=7

( ( ( (

|)

1 2 3 3

−2 −1 0 −3

3 −3 1 0

4 R 2+ R 1(−2) 5 R 3+ R 1(−3) 2 R 4+ R 1(−3) 7

1 0 0 0

−2 3 4 3 −9 −3 R 2( 1 ) 3 6 −8 −10 3 −9 −5

1 0 0 0

−2 3 4 R 1+ R 2(2) 1 −3 −1 R 3+ R 2(−6) 6 −8 −10 R 4+ R 2(−3) 3 −9 −5

1 0 0 0

0 −3 2 1 −3 −1 R 3( 1 ) 10 0 10 −4 0 0 −2

|) |) |)

( | ) ( | ) 1 0 0 0

0 −3 2 1 −3 −1 R 1+ R 3(3) 0 1 −2/ 5 R 2+ R 3(3) 0 0 −2

1 0 0 0

0 1 0 0

0 4/ 5 0 −21/5 1 −2 /5 0 −2

EJERCICIO 30 a)

[

]

[

4 2 −1 5 1 1 3 3 6 ⋮1 r 1 4 3 5 1 −8 8 5

[ [

1 2 3 0 2 −3 0 2 1

1

1 2

0

1

0

−3 2

()

] ]

1 2 3 1

]

−1 5 4 ⋮ 4 r 2+ r 1 (−3 ) ; r 3+ r 1(−5) 6 1 −8 8

−1 5 4 4 27 ⋮ −11 r 2 2 3 4 4 −27 7 4 4

()

−1 5 4 4 9 ⋮ −11 r 1+r 2 −1 ; r 3+r 2 3 2 2 2 6 −24 7 4 4

( )

()

[ ] [ ] 1 0 0 1 0 0

1 0 0 1 0 0

89 X= 24

37 −59 8 24 4 9 ⋮ −41 r 3 3 2 6 3 −1 4

()

[ ]

−59 89 37 24 24 8 −37 −9 1 0 0 25 −11 r 1+r 3 ; r 2+ r 3 9 ⋮ 0 1 0⋮ 8 2 6 6 0 0 1 2 −4 −4 1 3 3 y=

( )

25 6

z=

−4 3

b)

[ [

1 1 3 −3 0 0 2 1 −3 ⋮ 3 r 3+r 1 (−1 ) 1 0 2 −1 −1

] ] ()

[

1 1

1 1 3 −3 0 1 0 2 1 −3 ⋮ 3 r 2 2 0 0 −1 2 1

]

3 −3 0 1 −3 3 ⋮ r 1+ r 2 (−1 ) 0 1 2 2 2 0 0 −1 2 1

( )

Sol. Única.

[ [ [

]

5 −3 −3 2 2 2 1 −3 ⋮ 3 r 3(−1) 0 1 2 2 2 0 0 −1 2 −1 1 0

1 0 0 1 0 0

]

5 −3 −3 2 2 2 −5 −1 ; r 2+r 3 1 −3 ⋮ 3 r 1+r 3 2 2 2 2 2 1 −2 −1

7 1 0 0 2 1 0 1 0 −1 ⋮ 2 0 0 1 2 −1 −2

w=r 7 x=1− r 2 1 y=2+ r 2 z=−1+ 2r

]

( )

7 x+ w=1 2 1 y− w=2 2 z−2 w=−1

Sol. Múltiples.

( )

7 x=1− w 2 → 1 y=2+ w 2 z=−1+2 w