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• AldoCastro

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Ecuaciones Lineales Definición ecuación lineal Una ecuación lineal de primer orden es de la forma

a1

dy +a ( x ) y=g ( x ) (1) dx 0

Se dice que es una ecuación lineal de variable dependiente (y) Se dice que la ecuación lineal 1 es homogénea cuando g(x)=0; si no, es no homogénea. Forma estándar Al dividir ambos lados de la ecuación 1 entre el primer coeficiente a 1(x), se obtiene una forma más útil, la forma estándar de una ecuación lineal.

a1 ( x ) dy a0 ( x ) g(x ) + y= a 1(x ) a1 ( x ) dx a1 ( x ) dy + P ( x ) y=f ( x ) Formaestándar ( 2 ) dx Donde P(x) es el factor de integración. El factor de integración se obtiene de

dy + P ( x ) y=0 dx Le podemos hacer separable

dy − P ( x ) dx =−P ( x ) y y=e ∫ dx dy =−P ( x ) dx y

∫

dy = −P ( x ) dx y ∫

ln | y|=−∫ P ( x ) dx − P ( x ) dx ln ⁡∨ y∨¿=e ∫ ¿ e

Solución de una ecuación lineal de primer orden i) ii)

Ponga la ecuación lineal de la forma (1) en la forma estándar (2) Identifique la identidad de la forma estándar g(x) y después − P ( x ) dx y=e ∫

determine el factor integrante iii)

Multiplique la forma estándar de la ecuación por el factor integrante. El lado izquierdo de la ecuación resultante es automáticamente la derivada del factor integrante i(y)

d ∫ P ( x )dx [ e y ]=f ( x)e∫ P (x )dx dx

iv)

Integre ambos lados de esta última ecuación

Ejemplo Resuelva

dy −3 y =0 dx

dy −3 y =0 donde P ( x )=−3 dx Por lo tanto

e∫

−3 dx

e−3 x

=e−3 x

dy −3 e−3 x y=0 dx

dy −3 x [e y ]=0 dx dy

∫ dx [e−3 x y ]=0 −3 x

e

y =C → y=C e

3x

Solución de una ecuación diferencial lineal No Homogénea Resuelva

dy −3 y =6 dx P(x)=3

e−3 x

dy −3 e−3 x y=6 e−3 x dx

e∫

−3 dx

−3 x

=e

d −3 x [ e y ]=6 e−3 x dx d

∫ dx [e−3 x y ]=∫ 6 e−3 x dx e−3 x y =−2 e−3 x +c −2e−3 x +c 3x y= =−2+c e −3 x e Solución general Resuelva

x

dy 6 x −4 y=x e dx

Solución

dy 4 y − =x 5 e x dx x P ( x )=

−4 ∫ ;e x

−4 dx x

=e−4 ln|x|=e

ln x −4

=x

−4

Multiplicando el factor integrante Por la ecuación en la forma estándar

x−4

dy 4 −4 − x y=x−4 x 5 e x dx x −4

- x

dy −4 x 5 y =x e x dx

d −4 [ x ]=x e x dx d

∫ dx [ x−4 y ]=∫ x e x dx u=x du=dx

du=exdx u=ex

−4

x

x

x

y=x e −∫ e dx

x−4 y=xe x −e x + c y=x 5 e x −x 4 e x +c x 4 y=x 4 (x e x −e x + c) Ejemplo Solución general Determine la solución general de

( x 2+ 9 ) dy + xy=0 dx

Solución 2

( x + 9) dy xy + =0 ( x 2+ 9) dx x2 +9 dy x + 2 y=0 dx x + 9 x

P ( x )=

1

∫ x +9 dx ln ⁡( x +9) x ; e =e 2 =e ln √ x +9=√ x 2+ 9 2 x +9 2

dy x √ x 2 +9 y =0 √ x +9 dx + 2 x +9 2

x x +9 + √2 =0 √ x2 +9 dy dx √( x +9)2 2

+ √ x2 +9 dy dx x 2+ 9 ¿ ¿

x y=0 √ x 2+ 9

1

x ( x 2 +9 ) 2 ¿ d 2 [ x +9 y ]=0 √ dx

2

2

d

∫ dx [ √ x 2+ 9 y ]=c √ x2 +9 y =c −1

c y= 2 =c (x2 + 9) 2 √ x +9

Ejemplo un problema con valor inicial Resuelva

dy + y =x , y ( 0 )=4 dx dy + y =x dx P ( x )=1 ; e∫ =e dx

ex

x

dy x +e y=x e x dx

d x [ e y ]=x e x dx d

∫ dx [ e x y ]=∫ x e x dx x

x

x

e y=x e −∫ e dx e x y=x e x −e x +c y=x−1+ c e−x Aplicando y(0)=4 Para x=0 y y=4

4=0−1+c e

0

5=c Sustituyendo c=5 en la solución

−x

y=x−1+5 e x

dy + 4 y =x3 −x dx

Ejemplo un problema con valores iniciales Resuelva

dy + y =f ( x ) , y ( 0 )=0 donde f ( x )= 1,0 ≤ x ≤ 1 dx 0, x >1

{

Solución En la gráfica 1 se muestra la gráfica de la función discontinua f. Resolviendo la E.D. (Ecuación Diferencial) para y(x) para el intervalo [0,1] y después en el intervalo (1,∞).

dy + y =1 dx P ( x )=1 , e x ex

dy x +e y=e x dx e

d [¿¿ x y ]=e x dx ¿ e x y=e x +c y=1+c e−x Para x=0 y y=0 0

0=1+ c 1 e ∴ c 1=−1 Entonces para x>1

dy + y =0 dx −x

y=c2 e

Ecuaciones diferenciales exactas dy + y =f (x ) 1 , 0≤ x ≤ 1 dx 0, x >1

{

P ( x )=1 e∫ =e x dx

ex

dy x +e y=e x dx

e dy (¿ ¿ x y)=e x dx ¿ e x y=e x +c 1 y=1−e

x

dy + y =0 dx e dy (¿ ¿ x y)=e x dx ¿ e dy (¿ ¿ x y)=0 dx ∫¿ e x y=c 2= y =c 2 e−x

{

−x

y=f ( x) 1−e −x, 0≤ x ≤ 1 c 2 e , x> 1 Es posible determinar C2 así la última función es continua en x=1

lim y ( x )= y (1) x→ 1

Y esto implica que −x

−x

c 2 e =1−e → c2=

1−e−x e−x

c 2=e−x −1 1−e−x , 0≤ x ≤ 1 ¿ e (¿¿−x−1)e−x , x >1 y=f (x )¿

Definición ecuación exacta Una expresión diferencial M(x,y)dx+N(xy)dy es una diferencial exacta en una región R del plano xy si esta corresponde a la diferencial de alguna función f(x,y) definida en R. Una ecuación diferencial de primer orden de la forma M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 se dice que es una ecuación exacta si la expresión del lado izquierdo es una diferencial exacta. Por ejemplo x2y3dx+x3y2dy =0 es una ecuación exacta

1 3 3 2 3 x y =x y dx + x 3 y 2 dy 3 d¿ 3

Observe que si hacemos las identificaciones M(x,y)= x 2y3 N(x,y)= x y

2

∂M ∂N = ∂y ∂x Teorema Criterio para una diferencial exacta Sean M(x,y) y N(x,y) continuas y que tienen primeras derivadas parciales continuas en una región rectangular R definida por

a< x