LA TRANSFORMADA DE LAPLACE (TL) 1 Funciรณn Seccionalmente Continua (SC) Una funciรณn f es seccionalmente continua en ๐ผ โค
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LA TRANSFORMADA DE LAPLACE (TL)
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Funciรณn Seccionalmente Continua (SC) Una funciรณn f es seccionalmente continua en ๐ผ โค ๐ก โค ๐ฝ si en dicho intervalo es โacotadaโ y โcontinua excepto posiblemente en un nรบmero finito de puntosโ, es decir, sรณlo podrรญan haber discontinuidades por salto.
Teorema (de integrabilidad) ๐ฝ
โSi ๐ es seccionalmente continua en el intervalo ๐ผ โค ๐ก โค ๐ฝ entonces โซ๐ผ ๐(๐ก)๐๐ก existeโ โ Sin embargo, la continuidad por secciones no basta para asegurar la convergencia de: โซ๐ผ ๐(๐ก)๐๐ก . Teorema โ โ Si โซ๐ |โ(๐ก)|๐๐ก converge, โซ๐ โ(๐ก)๐๐ก es convergente absolutamente. Teorema Sea ๐ una funciรณn seccionalmente continua para ๐ก โฅ 0: โ โ i) Si |๐(๐ก)| โค ๐(๐ก) para ๐ก โฅ ๐ tal que ๐ โ [0 , โ) y โซ๐ ๐(๐ก)๐๐ก es convergente, entonces โซ๐ |๐(๐ก)|๐๐ก es convergente. Por lo tanto โ
โซ๐ ๐(๐ก)๐๐ก es convergente. โ โ ii) Si ๐(๐ก) โฅ ๐(๐ก) โฅ 0 para ๐ก โฅ ๐ tal que ๐ โ [0 , โ) y โซ๐ ๐(๐ก)๐๐ก es divergente, entonces โซ๐ ๐(๐ก)๐๐ก es divergente. ๐๐ก โ๐ Las funciones mรกs รบtiles para propรณsitos de comparaciรณn son: ๐(๐ก) = ๐ รณ ๐(๐ก) = ๐ก . Los siguientes grรกficos ilustran el teorema.
Teorema Si 1. ๐ es seccionalmente continua sobre el intervalo โ 0 โค ๐ก โค ๐ฝ tal que ๐ฝ > 0. ๐ผ
2. ๐ es de orden exponencial cuando ๐ก โ โ , esto es |๐(๐ก)| โค ๐๐ โ โ๐๐ก para ๐ก โฅ ๐ donde ๐, ๐ โ โ+ y ๐ โ โ, โ
๐(๐ก)
โ
entonces: โซ0 ๐(๐ก)๐๐ก existe y es finita. Por lo tanto:โซ0 ๐ โ๐๐ก ๐(๐ก)๐๐ก existe y es finita para ๐ > โ๐. โ
๐
โ
Demostraciรณn: Por propiedad de aditividad para intervalos: โซ0 ๐ โ๐๐ก ๐(๐ก)๐๐ก = โซ0 ๐ โ๐๐ก ๐(๐ก)๐๐ก + โซ๐ ๐ โ๐๐ก ๐(๐ก)๐๐ก . ๐
La integral โซ0 ๐ โ๐๐ก ๐(๐ก)๐๐ก existe de acuerdo a la hipรณtesis 1 (๐ โ๐๐ก ๐(๐ก) ๐๐ ๐๐ถ ๐๐ข๐๐ ๐ก๐ ๐๐ข๐ ๐(๐ก) ๐ฆ ๐ โ๐๐ก ๐ ๐๐ ๐๐ถ ). โ
Para la integral โซ๐ ๐ โ๐๐ก ๐(๐ก)๐๐ก , de acuerdo a la hipรณtesis 2: Para ๐ก โฅ ๐: |๐(๐ก)| โค ๐๐ โ๐๐ก โ โ โ |๐ โ๐๐ก ๐(๐ก)| โค ๐๐ โ๐๐ก ๐ โ๐๐ก โ |๐ โ๐๐ก ๐(๐ก)| โค ๐๐ โ(๐+๐)๐ก โ โซ๐ |๐ โ๐๐ก ๐(๐ก)|๐๐ก โค โซ๐ ๐๐ โ(๐+๐)๐ก ๐๐ก โ
โ
La integral โซ๐ ๐๐ โ(๐+๐)๐ก ๐๐ก converge para โ(๐ + ๐) < 0 โก ๐ > โ๐, entoncesโซ๐ |๐ โ๐๐ก ๐(๐ก)|๐๐ก tambiรฉn converge para ๐ > โ๐. Por lo tanto,
โ โซ๐ ๐ โ๐๐ก ๐(๐ก)๐๐ก
tambiรฉn converge para ๐ > โ๐.
โEn este capรญtulo solo se estudian funciones que satisfacen este รบltimo teorema y se las denomina funciones seccionalmente continuas (SC) y de orden exponencial (OE)โ. Definiciรณn y condiciones de existencia de la transformada de Laplace Si ๐(๐ก) una funciรณn seccionalmente continua (SC) y de orden exponencial cuando ๐ก โ โ (OE) definida en el intervalo [0, โ), la โ transformada de Laplace de ๐(๐ก) definida como: ๐น(๐) = ๐ฟ[๐(๐ก)] = โซ0 ๐ โ๐๐ก ๐(๐ก)๐๐ก , existe para algรบn intervalo de valores de ๐. Ademรกs, si ๐(๐ก) satisface las condiciones mencionadas, entonces lim ๐น(๐) = 0. ๐โโ
Lista bรกsica de transformadas de Laplace ๐(๐ก) ๐น(๐) = ๐ฟ[๐(๐ก)] ๐, ๐ โ โ ๐/๐ ; ๐ > 0 ๐ก 1/๐ 2 ; ๐ > 0 ๐ก๐, ๐ โ โ ๐!/๐ ๐+1 ; ๐ > 0
๐(๐ก) ๐ ๐๐ก ๐ ๐๐(๐๐ก) ๐๐๐ (๐๐ก)
๐น(๐) = ๐ฟ[๐(๐ก)] 1/(๐ โ ๐) ; ๐ > ๐ ๐/(๐ 2 + ๐2 ) ; ๐ > 0 ๐/(๐ 2 + ๐2 ) ; ๐ > 0
๐(๐ก) ๐ ๐๐โ(๐๐ก) ๐๐๐ โ(๐๐ก)
๐น(๐) = ๐ฟ[๐(๐ก)] ๐/(๐ 2 โ ๐2 ) ; ๐ > |๐| ๐/(๐ 2 โ ๐2 ) ; ๐ > |๐|
Linealidad de la transformada de Laplace Sean ๐, ๐ โ โ y sean ๐(๐ก) y ๐(๐ก) funciones SC y de OE, entonces ๐ฟ[๐๐(๐ก) + ๐๐(๐ก)] = ๐๐ฟ[๐(๐ก)] + ๐๐ฟ[๐(๐ก)] = ๐๐น(๐) + ๐๐บ(๐). Materia: Ecuaciones Diferenciales
Profesor: Antonio Chong Escobar, Ph.D.
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La funciรณn Gamma โ Se denota por ฮ y se define como: ฮ(๐ + 1) = โซ0 ๐ โ๐ฅ ๐ฅ ๐ ๐๐ฅ. Esta integral impropia converge en el infinito, es decir cuando ๐ฅ โ โ para todo valor de ๐. Para ๐ < 0 no sรณlo es impropia debido al lรญmite de integraciรณn superior infinito sino tambiรฉn debido a que el integrando se vuelve no acotado en ๐ฅ = 0. Sin embargo, es posible demostrar que esta integral tambiรฉn converge cuando ๐ฅ โ 0 siempre que ๐ > โ1. Ademรกs, se puede demostrar que: a) Para ๐ > 0: ฮ(๐ + 1) = ๐ฮ(๐) b) ฮ(1) = 1 c) Si ๐ โ โ : ฮ(๐ + 1) = ๐! d) ฮ(1/2) = โ๐ Transformada de Laplace de ๐(๐) = ๐๐ para ๐ > โ๐ โ
L(๐ก ๐ ) = โซ0 ๐ โ๐๐ก ๐ก ๐ ๐๐ก. Aplicando cambio de variable ๐ฅ = ๐๐ก se tiene que: ๐ก=
Entonces, L(๐ก
๐)
๐ฅ
=
๐๐ฅ
, ๐๐ก =
๐ โ ๐ฅ ๐ ๐๐ฅ โซ0 ๐ โ๐ฅ (๐ ) ๐
Si ๐ > โ1, entonces
๐
, ๐ ๐ ๐ก = 0 โน ๐ฅ = 0 , ๐ ๐ ๐ก โ โ โน ๐ฅ โ โ.
โ 1 โซ ๐ โ๐ฅ ๐ฅ ๐ ๐๐ฅ . Ademรกs: ๐ ๐+1 0 ฮ(๐+1) L(๐ก ๐ ) = ๐+1 ; ๐ > 0. ๐ ๐! ๐
=
Si ๐ โ โ, entonces L(๐ก ) =
๐ ๐+1
; ๐ > 0.
Transformada inversa de Laplace La funciรณn ๐(๐ก) es la transformada inversa de ๐น(๐) y se denota ๐(๐ก) = ๐ฟโ1 [๐น(๐)] si y solo si ๐ฟ[๐(๐ก)] = ๐น(๐). Sean ๐, ๐ โ ๐
entonces: ๐ฟโ1 [๐๐น(๐) + ๐๐บ(๐)] = ๐๐ฟโ1 [๐น(๐)] + ๐๐ฟโ1 [๐บ(๐)] = ๐๐(๐ก) + ๐๐(๐ก). La transformada de Laplace de la derivada Sea ๐(๐ก) una funciรณn SC y de OE, entonces: ๐ฟ[๐ โฒ (๐ก)] = ๐๐ฟ[๐(๐ก)] โ ๐(0) ; ๐ > 0. Demo: โ ๐ ๐ฟ[๐ โฒ (๐ก)] = โซ0 ๐ โ๐๐ก ๐โฒ(๐ก)๐๐ก = lim (โซ0 ๐ โ๐๐ก ๐โฒ(๐ก)๐๐ก ). Realizando integraciรณn por partes: ๐โโ
๐ข = ๐ โ๐๐ก โ ๐๐ข = โ๐๐ โ๐๐ก ๐๐ก
๐๐ฃ = ๐โฒ(๐ก)๐๐ก โ ๐ฃ = โซ ๐ โฒ (๐ก)๐๐ก = ๐(๐ก), ๐ Entonces ๐ฟ[๐ โฒ (๐ก)] = lim ([๐(๐ก)๐ โ๐๐ก โ โซ โ๐๐ โ๐๐ก ๐(๐ก)๐๐ก]๐0 ) = lim ([๐(๐ก)๐ โ๐๐ก ]๐0 + โซ0 ๐๐ โ๐๐ก ๐(๐ก)๐๐ก) ๐โโ
;
๐โโ
๐
โ
๐ฟ[๐ โฒ (๐ก)] = lim ([๐(๐)๐ โ๐๐ โ ๐(0)] + ๐ โซ0 ๐ โ๐๐ก ๐(๐ก)๐๐ก) = [๐(โ)๐ โ๐(โ) โ ๐(0)] + ๐ โซ0 ๐ โ๐๐ก ๐(๐ก)๐๐ก ๐โโ
Puesto que ๐(๐ก) es una funciรณn SC, entonces ๐(โ) es un valor finito; y si ๐ > 0, entonces ๐ โ๐(โ) tiende a 0. Asรญ se obtiene que: ๐ฟ[๐ โฒ (๐ก)] = ๐๐ฟ[๐(๐ก)] โ ๐(0) ; ๐ > 0. Por recursividad se puede demostrar que: a) ๐ฟ[๐ โฒโฒ (๐ก)] = ๐ 2 ๐ฟ[๐(๐ก)] โ ๐๐(0) โ ๐โฒ(0). b) ๐ฟ[๐ (๐) (๐ก)] = ๐ ๐ ๐ฟ[๐(๐ก)] โ ๐ ๐โ1 ๐(0) โ ๐ ๐โ2 ๐ โฒ (0) โ โฏ โ ๐๐ (๐โ2) (0) โ ๐ (๐โ1) (0). La transformada de Laplace de la integral ๐ก
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Sea ๐(๐ก) una funciรณn SC y de OE, ๐ฟ [โซ0 ๐(๐ค)๐๐ค ] = ๐ฟ[๐(๐ก)] ; ๐ > 0. ๐ Demo: ๐ก
โ
๐ก
๐ฟ [โซ0 ๐(๐ค)๐๐ค ] = โซ0 ๐โ๐๐ก (โซ0 ๐(๐ค)๐๐ค ) ๐๐ก. Realizando integraciรณn por partes: ๐ก
๐๐ข
๐ข = โซ0 ๐(๐ค)๐๐ค โ
๐๐ก
=
๐
๐๐ก โ
๐ก
(โซ0 ๐(๐ค)๐๐ค ) = ๐(๐ก)
;
๐ก ๐ก โ 1 1 Entonces ๐ฟ [โซ0 ๐(๐ค)๐๐ค ] = [โ ๐โ๐๐ก โซ0 ๐(๐ค)๐๐ค ] โ โซ0 โ ๐โ๐๐ก ๐(๐ก)๐๐ก ๐ ๐ 0 ๐ก โ 1 1 0 1 โ ๐ฟ [โซ0 ๐(๐ค)๐๐ค ] = [(โ ๐โ๐(โ) โซ0 ๐(๐ค)๐๐ค ) โ (โ โซ0 ๐(๐ค)๐๐ค )] + โซ0 ๐โ๐๐ก ๐(๐ก)๐๐ก ๐ ๐ ๐ โ Debido a que ๐(๐ก) es de OE, entonces โซ0 ๐(๐ค)๐๐ค es convergente; y si ๐ > 0, entonces ๐ โ๐(โ) ๐ก 1 โ 1 Asรญ se obtiene que: ๐ฟ [โซ0 ๐(๐ค)๐๐ค ] = โซ0 ๐โ๐๐ก ๐(๐ก)๐๐ก = ๐ฟ[๐(๐ก)] ; ๐ > 0. ๐ ๐
La derivada de la transformada de Laplace Sea ๐(๐ก) una funciรณn SC y de OE tal que ๐ฟ[๐(๐ก)] = ๐น(๐) para ๐ > ๐ , Demo: ๐๐ (๐ฟ[๐(๐ก)]) = ๐
๐๐
๐๐ ๐๐ ๐
๐ โ๐๐ก
๐๐ฃ = ๐ โ๐๐ก ๐๐ก โ ๐ฃ = โซ ๐ โ๐๐ก ๐๐ก โ ๐ฃ =
โ๐
tiende a 0.
(๐ฟ[๐(๐ก)]) = (โ1)๐ ๐ฟ[๐ก ๐ ๐(๐ก)] , ๐ > ๐.
โ ๐๐ ๐๐ [๐โ๐๐ก ๐(๐ก)]) ๐๐ก = โซ0 (๐(๐ก) ๐ [๐โ๐๐ก ]) ๐๐ก , hallando la derivada n-รฉsima: ๐๐ ๐ ๐๐ ๐ 2 (๐ โ๐๐ก ) ๐ 3 (๐ โ๐๐ก ) ๐ ๐ (๐ โ๐๐ก ) = โ๐ก๐ โ๐๐ก โ = ๐ก 2 ๐ โ๐๐ก โ = โ๐ก 3 ๐ โ๐๐ก โ = (โ1)๐ ๐ก ๐ ๐ โ๐๐ก ๐๐ ๐๐ 2 ๐๐ 3 ๐๐ ๐ ๐ โ โ ๐ (๐ฟ[๐(๐ก)]) = โซ0 ๐(๐ก)(โ1)๐ ๐ก ๐ ๐โ๐๐ก ๐๐ก = (โ1)๐ โซ0 ๐โ๐๐ก ๐ก ๐ ๐(๐ก)๐๐ก = (โ1)๐ ๐ฟ[๐ก ๐ ๐(๐ก)]. ๐๐ ๐ ๐๐ 1: La TL de funciones de la forma ๐ก ๐ ๐(๐ก) tal que ๐ โ โ estรก dada por: ๐ฟ[๐ก ๐ ๐(๐ก)] = (โ1)๐ ๐ (๐ฟ[๐(๐ก)]). ๐๐ ๐๐ ๐ ๐(๐ โ๐๐ก )
๐๐
Entonces Corolario
โ
โ
(โซ0 ๐ โ๐๐ก ๐(๐ก)๐๐ก) = โซ0 (
A partir del corolario se puede deducir que: ๐ฟ[๐ก๐ ๐๐(๐๐ก)] =
2๐๐ (๐ 2 +๐2 )2
๐ 2 โ๐2
, ๐ > 0 ; ๐ฟ[๐ก๐๐๐ (๐๐ก)] = (๐ 2 ๐ฟโ1 [๐น(๐)]
+๐2 )2
, ๐ > 0. ๐๐
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Corolario 2: La TL inversa a partir de la derivada n-รฉsima de la transformada estรก dada por: = ๐ (โ1)๐ ๐ฟโ1 [ ๐ (๐น(๐))]. ๐ก ๐๐ Deducciรณn: ๐๐ ๐๐ ๐๐ (๐ฟ[๐(๐ก)]) = (โ1)๐ ๐ฟ[๐ก ๐ ๐(๐ก)] โ ๐ฟโ1 [ ๐ (๐น(๐))] = ๐ฟโ1 [(โ1)๐ ๐ฟ(๐ก ๐ ๐(๐ก))] โ ๐ฟโ1 [ ๐ (๐น(๐))] = (โ1)๐ ๐ฟโ1 [๐ฟ(๐ก ๐ ๐(๐ก))] ๐ ๐๐
๐๐
๐๐ 1
๐๐
๐ก๐
โ ๐ฟโ1 [
๐ ๐ ๐ (๐น(๐))] = (โ1) ๐ก ๐(๐ก) โ
Materia: Ecuaciones Diferenciales
(โ1)๐ ๐ฟโ1 [
๐๐ ๐๐
๐๐
โ1 [ ๐น(๐)] = ๐ (๐น(๐))] = ๐(๐ก) โ ๐ฟ
1 ๐ก๐
(โ1)๐ ๐ฟโ1 [
๐๐ ๐๐๐
(๐น(๐))].
Profesor: Antonio Chong Escobar, Ph.D.
La integral de la transformada de Laplace Si ๐ฟ[๐(๐ก)] = ๐น(๐) y lim ( ๐กโ0
๐(๐ก) ๐ก
๐(๐ก)
) existe y es finito, entonces ๐ฟ [
๐ก
โ
] = โซ๐ ๐น(๐)๐๐ .
Demo: โ ๐ฟ[๐(๐ก)] = ๐น(๐) = โซ0 ๐ โ๐๐ก ๐(๐ก)๐๐ก, entonces: โ โซ๐ ๐น(๐)๐๐
โ โ โ โ = โซ๐ [โซ0 ๐ โ๐๐ก ๐(๐ก)๐๐ก ]๐๐ = โซ0 [โซ๐ ๐ โ๐๐ก ๐๐]๐(๐ก)๐๐ก โ ๐(๐ก) ๐(๐ก) = โซ0 ๐ โ๐๐ก ๐๐ก = ๐ฟ [ ]. ๐ก ๐ก
=
โ โ 1 โซ0 [โ๐ก ๐ โ๐๐ก ] ๐(๐ก)๐๐ก ๐
Funciรณn escalรณn unitario La funciรณn escalรณn unitario se define como: 0 ; 0โค๐ก 0. โ
๐ โ๐๐
๐
๐
๐ โ๐๐ก ] =
siempre que ๐ > 0.
Se puede expresar funciones por tramos utilizando la funciรณn escalรณn unitario como se muestra a continuaciรณn: ๐(๐ก) ; 0 โค ๐ก < ๐ Para ๐(๐ก) = {โ(๐ก) ; ๐ โค ๐ก < ๐ , se consideran las siguientes funciones en tรฉrminos de la funciรณn escalรณn unitario: ๐(๐ก) ; ๐กโฅ๐
๐ฆ(๐ก) = ๐0 (๐ก) โ ๐๐ (๐ก) = 1 โ ๐๐ (๐ก) ;
๐ฆ(๐ก) = ๐๐ (๐ก) โ ๐๐ (๐ก)
๐ฆ(๐ก) = ๐๐ (๐ก)
;
Entonces: ๐(๐ก) = ๐(๐ก)(1 โ ๐๐ (๐ก)) + โ(๐ก)(๐๐ (๐ก) โ ๐๐ (๐ก)) + ๐(๐ก)(๐๐ (๐ก)) , ๐ก โฅ 0 Primer teorema de traslaciรณn de la transformada de Laplace Sea ๐(๐ก) una funciรณn SC y de OE tal que ๐ฟ[๐(๐ก)] = ๐น(๐) para ๐ > ๐ y sea ๐ โ โ, ๐ฟ[๐ ๐๐ก ๐(๐ก)] = ๐น(๐ โ ๐) ; ๐ > ๐ + ๐. De forma inversa: ๐ฟโ1 [๐น(๐ โ ๐)] = ๐ ๐๐ก ๐(๐ก). Demo: โ โ โ ๐ฟ[๐๐๐ก ๐(๐ก)] = โซ0 ๐โ๐๐ก ๐๐๐ก ๐(๐ก) ๐๐ก = โซ0 ๐โ(๐โ๐)๐ก ๐(๐ก)๐๐ก = ๐น(๐ โ ๐), puesto que: ๐น(๐) = โซ ๐ โ๐๐ก ๐(๐ก)๐๐ก. 0
Ademรกs, puesto que ๐ฟ[๐(๐ก)] = ๐น(๐) para ๐ > ๐, se cumple |๐(๐ก)| โค ๐๐ ๐๐ก para ๐ก โฅ ๐ donde ๐, ๐ โ โ+ y ๐ โ โ. De este modo:
๐ ๐๐ก |๐(๐ก)| โค ๐ ๐๐ก ๐๐ ๐๐ก โ |๐ ๐๐ก ๐(๐ก)| โค ๐๐ (๐+๐)๐ก โ ๐ โ๐๐ก |๐ ๐๐ก ๐(๐ก)| โค ๐ โ๐๐ก ๐๐ (๐+๐)๐ก โ |๐ โ(๐โ๐)๐ก ๐(๐ก)| โค ๐๐ โ(๐โ๐โ๐)๐ก โ โ โ โ โซ0 |๐ โ(๐โ๐)๐ก ๐(๐ก)| ๐๐ก โค โซ0 ๐๐ โ(๐โ๐โ๐)๐ก ๐๐ก . Si ๐ โ ๐ โ ๐ > 0 โก ๐ > ๐ + ๐ , entonces โซ0 ๐๐ โ(๐โ๐โ๐)๐ก ๐๐ก es convergente, โ
โ
con lo cual la integral โซ0 |๐ โ(๐โ๐)๐ก ๐(๐ก)| ๐๐ก es convergente, y por lo tanto โซ0 ๐ โ(๐โ๐)๐ก ๐(๐ก) ๐๐ก tambiรฉn es convergente. Segundo teorema de traslaciรณn de la transformada de Laplace Sea ๐(๐ก) una funciรณn SC y de OE tal que ๐ฟ[๐(๐ก)] = ๐น(๐) para ๐ > ๐ y sea ๐ > 0, ๐ฟ[๐๐ (๐ก)๐(๐ก โ ๐)] = ๐ โ๐๐ ๐น(๐) ; ๐ > ๐. De forma inversa: ๐ฟโ1 [๐ โ๐๐ ๐น(๐)] = ๐๐ (๐ก)๐(๐ก โ ๐). Demo: โ ๐ โ โ ๐ฟ[๐๐ (๐ก)๐(๐ก โ ๐)] = โซ0 ๐โ๐๐ก ๐๐ (๐ก)๐(๐ก โ ๐)๐๐ก = โซ0 ๐โ๐๐ก (0)๐(๐ก โ ๐)๐๐ก + โซ๐ ๐โ๐๐ก (1)๐(๐ก โ ๐)๐๐ก = โซ๐ ๐โ๐๐ก ๐(๐ก โ ๐)๐๐ก. Aplicando el cambio de variable: ๐ฃ = ๐ก โ ๐ , ๐๐ฃ = ๐๐ก , ๐ ๐ ๐ก = ๐ โน ๐ฃ = 0 , ๐ ๐ ๐ก โ โ โน ๐ฃ โ โ. Entonces: โ โ โ โ ๐ฟ[๐๐ (๐ก)๐(๐ก โ ๐)] = โซ0 ๐โ๐(๐ฃ+๐) ๐(๐ฃ)๐๐ฃ = โซ0 ๐โ๐๐ฃ ๐โ๐๐ ๐(๐ฃ)๐๐ฃ = ๐โ๐๐ โซ0 ๐โ๐๐ฃ ๐(๐ฃ)๐๐ฃ = ๐โ๐๐ โซ0 ๐โ๐๐ก ๐(๐ก)๐๐ก = ๐โ๐๐ ๐น(๐). Producto de convoluciรณn ๐ก El producto de convoluciรณn entre dos funciones, ๐(๐ก) y ๐(๐ก), se define como (๐ โ ๐)(๐ก) = โซ0 ๐(๐ก โ ๐ฅ)๐(๐ฅ)๐๐ฅ Propiedades: 1) Conmutativa: ๐ โ ๐ = ๐ โ ๐ 2) Asociativa: ๐ โ (๐ โ โ) = (๐ โ ๐) โ โ 3) Distributiva: ๐ โ (๐ + โ) = (๐ โ ๐) + (๐ โ โ) 4) ๐ โ 0 = 0 Observaciรณn: la proposiciรณn ๐ โ 1 = ๐ no se cumple para toda funciรณn ๐. ๐ก
Demo de la propiedad conmutativa: ๐(๐ก) โ ๐(๐ก) = โซ0 ๐(๐ก โ ๐ฅ)๐(๐ฅ)๐๐ฅ . Aplicando el cambio de variable:
๐ฃ = ๐ก โ ๐ฅ , ๐๐ฃ = โ๐๐ฅ , ๐ ๐ ๐ฅ = 0 โน ๐ฃ = ๐ก , ๐ ๐ ๐ฅ = ๐ก โน ๐ฃ = 0. 0
0
๐ก
๐ก
๐(๐ก) โ ๐(๐ก) = โซ๐ก ๐(๐ฃ)๐(๐ก โ ๐ฃ)(โ๐๐ฃ) = โ โซ๐ก ๐(๐ฃ)๐(๐ก โ ๐ฃ)๐๐ฃ = โซ0 ๐(๐ก โ ๐ฃ)๐(๐ฃ)๐๐ฃ = โซ0 ๐(๐ก โ ๐ฅ)๐(๐ฅ)๐๐ฅ = ๐(๐ก) โ ๐(๐ก) Transformada de Laplace del producto de convoluciรณn Sean ๐(๐ก) y ๐(๐ก) funciones SC y de OE, entonces ๐ฟ[๐(๐ก) โ ๐(๐ก)] = ๐ฟ[๐(๐ก)]๐ฟ[๐(๐ก)] , esto es ๐ฟ[๐(๐ก) โ ๐(๐ก)] = ๐น(๐)๐บ(๐) . De forma inversa: ๐ฟโ1 [๐น(๐)๐บ(๐)] = ๐(๐ก) โ ๐(๐ก). Demo: โ โ ๐น(๐) = ๐ฟ[๐(๐ก)] = โซ0 ๐ โ๐๐ก ๐(๐ก)๐๐ก y ๐บ(๐) = ๐ฟ[๐(๐)] = โซ0 ๐ โ๐๐ ๐(๐)๐๐ , entonces: โ
โ
โ
โ
๐น(๐)๐บ(๐) = (โซ0 ๐ โ๐๐ก ๐(๐ก)๐๐ก )(โซ0 ๐ โ๐๐ ๐(๐)๐๐ ) = โซ0 โซ0 ๐ โ๐(๐ก+๐) ๐(๐ก)๐(๐)๐๐ก ๐๐. Materia: Ecuaciones Diferenciales
Profesor: Antonio Chong Escobar, Ph.D.
El teorema de cambio de variable para integrales dobles establece que: ๐๐ฅ/๐๐ข โฌ๐
๐(๐ฅ, ๐ฆ)๐๐ฅ๐๐ฆ = โฌ๐ ๐(๐ฅ(๐ข, ๐ฃ), ๐ฆ(๐ข, ๐ฃ))|๐ฝ(๐ข, ๐ฃ)|๐๐ข๐๐ฃ , donde ๐ฝ(๐ข, ๐ฃ) es el Jacobiano dado por: ๐ฝ(๐ข, ๐ฃ) = | ๐๐ฆ/๐๐ข
๐๐ฅ/๐๐ฃ |. ๐๐ฆ/๐๐ฃ
Entonces se aplica el siguiente cambio de variable: ๐ = ๐ก + ๐ ; ๐ฅ = ๐, tal que: Variables originales: ๐ก, ๐ Nuevas variables: ๐, ๐ฅ Variables originales en tรฉrminos de las nuevas variables: ๐ = โ ๐ฅ ; ๐ก =๐โ๐ โ ๐ก = โ ๐โ๐ฅ. ๐ก(๐ , ๐ฅ)
๐(๐ , ๐ฅ)
๐๐ก/๐๐ Jacobiano: ๐ฝ(๐, ๐ฅ) = | ๐๐/๐๐
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๐๐ก/๐๐ฅ 1 โ1 |=| |=1 ๐๐/๐๐ฅ 0 1
Regiรณn de integraciรณn de las variables originales (R): 0 โค ๐ < โ ; 0 โค ๐ก < โ Regiรณn de integraciรณn de las nuevas variables (S): 0 โค ๐ฅ โค โ ; 0 โค ๐ โ ๐ฅ < โ 0 โค ๐ฅ โค โ ; ๐ โฅ ๐ฅ ( sobre ๐ = ๐ฅ ) Entonces, la regiรณn de integraciรณn S estรก dada por: ๐ = ๐1 โฉ ๐2 como se muestra a continuaciรณn:
Entonces: โ โ ๐น(๐)๐บ(๐) = โซ0 โซ0 ๐ โ๐๐ ๐(๐ โ ๐ฅ)๐(๐ฅ)|๐ฝ(๐, ๐ฅ)|๐๐ฅ๐๐ Sustituyendo ๐ฝ(๐, ๐ฅ) = 1 y cambiando ๐ por ๐ก, lo cual es vรกlido porque es una variable ficticia, se obtiene: โ โ โ ๐ก โ ๐น(๐)๐บ(๐) = โซ0 โซ0 ๐ โ๐๐ก ๐(๐ก โ ๐ฅ)๐(๐ฅ)๐๐ฅ๐๐ก = โซ0 ๐ โ๐๐ก (โซ0 ๐(๐ก โ ๐ฅ)๐(๐ฅ)๐๐ฅ ) ๐๐ก = โซ0 ๐ โ๐๐ก [๐(๐ก) โ ๐(๐ก)]๐๐ก = ๐ฟ[๐(๐ก) โ ๐(๐ก)]. Funciรณn delta de Dirac ๐น(๐)
1/๐ 0
; ;
Sea la funciรณn ๐ค๐ (๐ก โ ๐) = {
๐ โค๐ก 0.
โ
๐ฟ[๐ฟ๐ (๐ก)] = โซ0 ๐ โ๐๐ก ๐ฟ๐ (๐ก)๐๐ก = โซ0 ๐ โ๐๐ก lim ๐ค๐ (๐ก โ ๐) ๐๐ก = lim (โซ0 ๐ โ๐๐ก ๐ค๐ (๐ก โ ๐)๐๐ก) = lim(๐ฟ[๐ค๐ (๐ก โ ๐)]) = ๐โ0
โ โซ0 ๐ฟ(๐ก)๐๐ก
๐โ0 ๐โ๐๐ (1โ๐โ๐๐) lim ( ) ๐๐ ๐โ0
=
๐โ0 ๐โ๐๐ (โ๐โ๐๐ (โ๐)) lim ( ) ๐ ๐โ0
= lim(๐โ๐๐ ๐โ๐๐ ) = ๐ โ๐๐ ; ๐ > 0. ๐โ0
Ademรกs, = 1 y ๐(๐ก)๐ฟ(๐ก โ ๐) = ๐(๐)๐ฟ(๐ก โ ๐). La funciรณn delta de Dirac se utiliza para representar impulsos unitarios, tales como golpes mecรกnicos instantรกneos o impulsos elรฉctricos instantรกneos. Transformada de Laplace de Funciones Periรณdicas Una funciรณn ๐: [0, โ) โ โ se dice periรณdica de periodo ๐, si ๐(๐ก + ๐๐) = ๐(๐ก), โ๐ โ โ, โ๐ก โฅ 0. Si ๐(๐ก) es una funciรณn periรณdica de periodo P, entonces ๐ฟ[๐(๐ก)] =
๐ 1 โซ ๐ โ๐๐ก ๐(๐ก)๐๐ก 1โ๐ โ๐๐ 0
; ๐ > 0.
Demo: โ
๐
2๐
(๐+1)๐
3๐
๐ฟ[๐(๐ก)] = โซ0 ๐ โ๐๐ก ๐(๐ก)๐๐ก = โซ0 ๐ โ๐๐ก ๐(๐ก)๐๐ก + โซ๐ ๐ โ๐๐ก ๐(๐ก)๐๐ก + โซ2๐ ๐ โ๐๐ก ๐(๐ก)๐๐ก + โฏ = โโ ๐=0 (โซ๐๐
Aplicando el cambio de variable:
๐ โ๐๐ก ๐(๐ก)๐๐ก )
๐ฃ = ๐ก โ ๐๐ , ๐๐ฃ = ๐๐ก , ๐ ๐ ๐ก = ๐๐ โน ๐ฃ = 0 , ๐ ๐ ๐ก = (๐ + 1)๐ โน ๐ฃ = ๐.
๐
๐
๐
โ๐(๐ฃ+๐๐) ๐(๐ฃ + ๐๐)๐๐ฃ) = โโ (โซ ๐ โ๐๐ฃ ๐ โ๐๐๐ ๐(๐ฃ)๐๐ฃ ) = โโ (๐ โ๐๐๐ ๐ฟ[๐(๐ก)] = โโ โซ0 ๐ โ๐๐ฃ ๐(๐ฃ)๐๐ฃ) ๐=0 (โซ0 ๐ ๐=0 0 ๐=0 ๐
๐
โ๐๐ )๐ = (โซ ๐ โ๐๐ก ๐(๐ก)๐๐ก ) ( ๐ฟ[๐(๐ก)] = (โซ0 ๐ โ๐๐ฃ ๐(๐ฃ)๐๐ฃ ) โโ ๐=0(๐ 0
1 1โ๐ โ๐๐
)=
๐ 1 โซ ๐ โ๐๐ก ๐(๐ก)๐๐ก 1โ๐ โ๐๐ 0
; ๐ > 0.
Resoluciรณn de una EDO utilizando la transformada de Laplace Para resolver una EDO utilizando la transformada de Laplace es necesario conocer las condiciones iniciales, es decir, se debe tener un problema de valor inicial. La resoluciรณn consiste en aplicar la transformada de Laplace a cada lado de la EDO para asรญ obtener la transformada de su soluciรณn. A continuaciรณn, se debe aplicar la transformada inversa de Laplace para hallar la soluciรณn de la EDO. Para resolver ecuaciones de coeficientes variables se utiliza el corolario 1 de la derivada de la transformada, con el propรณsito de transformar funciones de la forma ๐ก ๐ ๐(๐ก), esto es: ๐ฟ[๐ก ๐ ๐(๐ก)] = (โ1)๐ Materia: Ecuaciones Diferenciales
๐๐
๐๐ ๐
๐ฟ[๐(๐ก)]. Profesor: Antonio Chong Escobar, Ph.D.
5
Aplicaciones de EDO de 2do orden Un gran nรบmero de fenรณmenos fรญsicos se describen por ecuaciones de la forma ๐
๐ 2 ๐ข(๐ก) ๐๐ก 2
+๐
๐๐ข(๐ก) ๐๐ก
+ ๐๐ข(๐ก) = ๐น๐ธ (๐ก) donde ๐, ๐, ๐
son constantes, ๐ข(๐ก) es la funciรณn incรณgnita y ๐น๐ธ (๐ก) es una funciรณn conocida. Los principales son las oscilaciones mecรกnicas y oscilaciones elรฉctricas, esto es, sistemas masa-resorte-amortiguador y circuitos elรฉctricos resistor-inductor-capacitor. Sistema masa-resorte-amortiguador (con movimiento unidimensional) POSICION DE EQUILIBRIO DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE ๐น๐
: Fuerza de restituciรณn del resorte en la posiciรณn de equilibrio
๐ฟ
๐ฟ + โ๐ฟ ๐ค = ๐๐ Ley de Hooke: ๐น๐
โ โ๐ฟ, esto es, ๐น๐
= ๐โ๐ฟ, tal que ๐ es una constante de restituciรณn.
๐
Entonces, โ ๐๐ข๐๐๐ง๐๐ = 0 โ ๐๐ = ๐น๐
โ ๐๐ = ๐โ๐ฟ โ ๐ =
๐๐ . โ๐ฟ
Si se desplaza el bloque de masa ๐ desde la posiciรณn de equilibrio y se lo suelta o si se aplica una fuerza externa al bloque, entonces el sistema inicia un movimiento oscilatorio mostrado y detallado a continuaciรณn. DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE
๐น๐
๐น๐
๐ฟ + โ๐ฟ ๐น๐ธ
๐ค = ๐๐ Posiciรณn de equilibrio
๐
๐น๐ธ : Fuerza externa ๐น๐ : Fuerza de resistencia del medio (proporcional a la velocidad) ๐น๐
: Fuerza de restituciรณn del resorte en movimiento
Posiciรณn inicial
๐ข(๐ก0 )
Sea ๐ข(๐ก): Posiciรณn del bloque de masa ๐ en el instante ๐ก con respecto a la posiciรณn de equilibrio, considerando signo positivo hacia abajo. ๐๐ข
๐
Entonces, ๐น๐
= ๐(โ๐ฟ + ๐ข(๐ก)) y ๐น๐ = ๐ , ๐, ๐ son constantes de proporcionalidad. ๐๐ก De acuerdo a la 2da ley de Newton: โ ๐น๐ข๐๐๐ง๐๐ = ๐๐ ๐๐ + ๐น๐ธ โ ๐น๐ โ ๐น๐
= ๐
๐2 ๐ข ๐๐ก2
๐๐ข โ ๐(โ๐ฟ + ๐ข(๐ก)) = ๐๐ก ๐๐ข ๐2 ๐ข + ๐น๐ธ โ ๐ โ ๐โ๐ฟ โ โ ๐๐ข(๐ก) = ๐ 2 ๐๐ก ๐๐ก ๐๐ 2
๐๐ + ๐น๐ธ โ ๐
๐๐
๐
๐
๐2 ๐ข ๐๐ก2
๐ ๐ข(๐ก) ๐๐ข(๐ก) +๐ + ๐๐ข(๐ก) = ๐น๐ธ (๐ก) ; ๐ข(๐ก0 ) = ๐ข0 ; ๐ขโฒ(๐ก0 ) = ๐ข0 โฒ ๐๐ก ๐๐ก2
Circuitos elรฉctricos RLC (Resistor, inductor, capacitor ๐
๐ธ(๐ก)
๐(๐ก)
๐ฟ
๐
: Resistencia [ohmios] ๐ฟ : Inductancia [henrios] ๐ถ : Capacitancia [faradios] ๐ธ(๐ก): Fuerza electromotriz [voltios] ๐(๐ก): Intensidad de corriente [amperios] ๐(๐ก): Carga almacenada en el capacitor [coulombs]
๐ถ Ecuaciรณn auxiliar: ๐(๐ก) =
1) ๐ฟ
๐๐(๐ก) ๐๐ก
๐๐ โ โซ ๐(๐ก)๐๐ก = โซ ๐๐ โ ๐(๐ก) = โซ ๐(๐ก)๐๐ก ๐๐ก
๐ก
โ ๐(๐ก) = โซ0 ๐(๐ค)๐๐ค
1
1 ๐ธ(๐ก)โ๐
๐(๐ก)โ๐ถ๐(๐ก)
๐ถ
๐ฟ
+ ๐
๐(๐ก) + ๐(๐ก) = ๐ธ(๐ก) por lo tanto: ๐ โฒ (๐ก) =
โ ๐ โฒ (๐ก0 ) =
1
๐ธ(๐ก0 )โ๐
๐(๐ก0 )โ๐ถ๐(๐ก0 ) ๐ฟ
Las siguientes ecuaciones se deducen de la ecuaciรณn 1:
2) ๐ฟ 3) ๐ฟ 4) ๐ฟ
๐๐(๐ก)
๐๐ก 2 ๐ 2 ๐(๐ก) ๐๐ก 2
๐ก
1
+ ๐
๐(๐ก) + โซ0 ๐(๐ค)๐๐ค = ๐ธ(๐ก) ; ๐(๐ก0 ) = ๐ก0 ๐ถ
๐๐ก ๐ 2 ๐(๐ก)
+๐
+๐
๐๐(๐ก) ๐๐ก ๐๐(๐ก) ๐๐ก
:
ecuaciรณn integro-diferencial
1
+ ๐(๐ก) = ๐ธ(๐ก) ; ๐(๐ก0 ) = ๐0 ; ๐ โฒ (๐ก0 ) = ๐0 ๐ถ
1
1
๐ธ(๐ก0 )โ๐
๐(๐ก0 )โ๐ถ๐(๐ก0 )
๐ถ
๐ฟ
+ ๐(๐ก) = ๐ธ โฒ (๐ก) ; ๐(๐ก0 ) = ๐0 ; ๐ โฒ (๐ก0 ) =
Materia: Ecuaciones Diferenciales
Profesor: Antonio Chong Escobar, Ph.D.