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UNIVERSIDAD POLITECNICA SALESIANA LA TRANSFORMADA DE LAPLACE TEORIA DE CONTROL 2016 Ingeniería Mecánica

LA TRANSFORMADA DE LAPLACE. INTRODUCCION. La transformada de Laplace es un método para resolver ecuaciones diferenciales lineales. Este método presenta ventajas frente al método clásico para la resolución de ecuaciones diferenciales. En CONTROL las ventajas podrían ser:  La transformada de Laplace permite convertir una ecuación integro-diferencial en una ecuación algebraica. Esta ecuación algebraica se resuelve en el dominio s.  La respuesta original o la solución final, se encuentra tomando la transformada inversa de Laplace (utilizando el método de expansión por fracciones parciales y

por tablas).  Permite utilizar técnicas gráficas (ubicación de raíces en el plano complejo) para predecir el funcionamiento del sistema sin obtener la solución del mismo. (análisis de estabilidad, por ejemplo).

Transformada de Laplace: La Transformada de Laplace de una función f(t) definida para todos los números reales t ≥ 0 es la función F(s), definida por:

siempre y cuando la integral esté definida. La Transformada de Laplace: propiedades y ejemplos (tablas): 1.

Linealidad

2.

Potencia n-ésima

3.

Seno:

3.

Coseno:

4.

Seno hiperbólico:

5.

Coseno hiperbólico:

6.

Logaritmo neperiano:

7.

Raíz n-ésima:

8.

Derivación

9.

Integración

La variable s, se denomina operador de Laplace, que es una variable compleja 𝑠 = 𝜎 + 𝑗𝜔

Ejemplo 1: Determine la trasformada de Laplace de la función escalón unitario f(t) definida como

Utilizando la formula general

Ejemplo 2: Hallar la Transformada de Laplace de la siguiente función f(t) por medio del uso de tabla: 𝑓 𝑡 =

3𝑒 −4𝑡

1 3 3 + 𝑐𝑜𝑠5𝑡 + 𝑡 + 8 2 4

Aplico Transformada de Laplace: 1 3 𝐿{𝑓 𝑡 } = 𝐿{3𝑒 −4𝑡 + 𝑐𝑜𝑠5𝑡 + 𝑡 3 + 8 } 2 4 La Transformada de Laplace de una suma es igual a la suma de las Transformadas de Laplace de cada término 𝐿 𝑓 𝑡

1 1 𝑠 3 3! 8 = 𝐹 𝑠 = 3( )+ ( 2 ) + ( 4) + 𝑠+4 2 𝑠 + 25 4 𝑠 𝑠

3 𝑠 9 8 𝐹 𝑠 =( )+ ( 2 ) + ( 4) + 𝑠+4 2(𝑠 + 25) 2𝑠 𝑠

La Transformada de Laplace inversa (L-1)

Partiendo de una ecuación en el dominio de “s” se trata ahora de hallar una ecuación en el dominio de “t”, aplicando la transformada inversa de Laplace. (fracciones parciales, tablas...). Ejemplos:

La Transformada de Laplace inversa (L-1)

La Transformada de Laplace de una Ecuación Diferencial. Es uno de los procesos más utilizados para resolver ecuaciones diferenciales en el dominio del tiempo y en control para determinar funciones de transferencia, transformándolas a una ecuación algebraica en dominio de s o de Laplace. (Teorema de diferenciación real)

FUNCION DE TRANSFERENCIA G(s) . Es la relación existente entre la transformada de Laplace de la variable de salida sobre la transformada de Laplace de la variable de entrada, suponiendo que todas las condiciones iniciales se hacen iguales a cero. La función de transferencia de un sistema representa la relación que describe la dinámica del sistema considerado. ES DECIR ES UN MODELADO DEL SISTEMA. R(s)

G(s) G

Y(s)

G(s) = Y(s)/R(s)

Por ejemplo: MODELAR un sistema masa resorte amortiguador:

Utilizando las leyes de Newton, se obtiene:

d2y dy m 2  b  ky(t )  R(t ) dt dt Donde m es la masa, b es el coeficiente de fricción, k es la constante del resorte, Y(t) es el desplazamiento, y R(t) es la fuerza aplicada

La transformada de Laplace de la ecuación diferencial será:



 



M s 2Y (s)  sy(0 )  y ' (0 )  b sY (s)  y(0 )  KY (s)  R(s) considerando:

y ' (0 )  0, y(0 )  0,

Ms2Y (s)  bsY (s)  KY (s)  R(s) 𝑌(𝑠)

𝑅(𝑠) = 𝑀𝑠 2 + 𝑏𝑠 + 𝑘

La función de transferencia será igual a (respuesta al impulso):

Salida Y ( s) 1   Entrada R( s) Ms 2  bs  K

Bloque resultante: El sistema masa –resorte- amortiguación

-3

10

3

x 10

8

2

6

4

1 2

0

0

-2

-1 -4

-2

-6

-8

-3 -10

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

10000

-4

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3 4

x 10

Trabajo. a) Dar valores M,b,k a la función de transferencia masaresorte-amortiguador, para obtener cada tipo de sistema: sobreamortiguado, subamortiguado, amortiguamiento critico. Realice una síntesis teórica para establecer de que depende cada uno de estos tipos (formulas). Además, en cada caso: • Halle la transformada inversa de Laplace en respuesta al escalón (lazo abierto). (a mano y con matlab) • Halle la respuesta al escalón utilizando el comando tf y step de matlab para cada caso. Presente e Interprete y(t).

Conclusiones. (realice un informe)