La Transformada de Laplace
FICHA DE IDENTIFICACIÓN DE TRABAJO DE INVESTIGACIÓN Título: Aplicación de las transformadas de Laplace en Electrónica y
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FICHA DE IDENTIFICACIÓN DE TRABAJO DE INVESTIGACIÓN
Título: Aplicación de las transformadas de Laplace en Electrónica y mecánica Autor: Boris Mamani Pacheco Fecha: 24/11/2016
Código de estudiante:201315855
Carrera: Ingeniería en Gas y petróleo Asignatura: Ecuaciones Diferenciales Grupo:A Docente: Ingeniero Simón Onofre López Periodo Académico: Tercer semestre Subsede: La Paz
Copyright © (2016) por (Boris Mamani Pacheco). Todos los derechos reservados.
Título: Aplicación de la transformada de Laplace en Electrónica y mecánica Autor: Boris Mamani Pacheco __________________________________________________________________________________________________________
RESUMEN: En este proyecto se mostrara la gran utilidad que posee la transformada de Laplace a la hora de resolver problemas de ciencia y tecnología. En este caso se detallara como utilizar las propiedades de dicha transformada para aplicarla en electrónica y mecánica En electrónica se pueden resolver muchos circuitos los cuales son muy difícil de resolver por el dominio del tiempo, como ser los circuitos con múltiples inductancias y condensadores, ya que por cada uno de estos componentes que se agregue, la ecuación resultante es una ecuación diferencial de mayor orden. Al transformar este tipo de circuitos al dominio de Laplace las ecuaciones se simplifican considerablemente y es posible resolverlas en este dominio del tiempo resueltas. En mecánica con oscilaciones repetidas de un material o cuerpo rígido ya que existen muchos dispositivos que tienen movimientos vibracionales que se generan deliberadamente, también movimientos horizontales como los resortes u circulares como péndulo. Para estos cuerpos se ejercen fuerzas recuperadoras que lo devuelven a su posición de equilibrio. Pero cuando llega a esa situación la velocidad es nula, el proceso se vuelve a repetir una y otra vez y el cuerpo pasa de un lado a otro sentido por su posición de equilibrio.
Palabras clave: Laplace, transformar, electrónica, circuitos, mecánica, vibraciones y ecuaciones.
ABSTRACT: This project will show the value that has the Laplace transform to solving problems of science and technology. In this case it will detail how to use the properties of said transformed for application in electronics and mechanics In electronics can solve many circuits which are very difficult to solve by the time domain, such as the circuits with multiple inductors and capacitors, as each one of these components is added, the resulting equation is a differential equation higher order. By transforming this circuit the Laplace domain equations are simplified considerably and may resolve them in this time domain resolved. In repeated mechanical oscillations of a material or rigid body since there are many devices that have vibrational movements generated deliberately, as also horizontal movements or circular springs and pendulum. For these bodies recuperative forces it back to its equilibrium position are exercised. But when it comes to this situation the speed is zero, the process is repeated over and over again and the body goes from one side to another sense by its equilibrium position
Keywords: Laplace transform, electronics, circuits, mechanical, vibration and equations. Asignatura: Ecuaciones Diferenciales Carrera: Ingeniería en gas y petróleo
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Título: Aplicación de la transformada de Laplace en Electrónica y mecánica Autor: Boris Mamani Pacheco __________________________________________________________________________________________________________
TABLA DE CONTENIDO Capítulo 1: Introducción .............................................................................................................. 5 Capítulo 2: Marco teórico ............................................................................................................ 7 2.1
La aplicación de la transformada de Laplace .............................................................. 7
2.2
La aplicación de la transformada de Laplace en la mecánica.................................... 8
2.2.1. Cálculo de vibraciones mecánicas utilizando transformada de laplace................ 8 2.3. La aplicación de la transformada de Laplace en la electrónica................................. 10 2.3.1. Transformación de ecuaciones de redes ............................................................... 10 2.3.2. Impedancia y admitancia ....................................................................................... 11 2.3.3. Conexión serie y paralelo de impedancias ............................................................ 12 2.3.4. Transformación de fuentes..................................................................................... 12 Capítulo 3: Definición del problema ......................................................................................... 14 Capítulo 4: Objetivos de la investigación.................................................................................. 14 4.1. Objetivo general ............................................................................................................. 14 4.2. Objetivos específicos ...................................................................................................... 14 Capítulo 5: Metodología ............................................................................................................. 14 Capítulo 6: Resultado ................................................................................................................. 15 Capítulo 7: Conclusiones ............................................................................................................ 15 Capítulo 8: Recomedaciones ...................................................................................................... 15 Bibliografía y referencias ........................................................................................................... 16 Anexos .......................................................................................................................................... 16
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Título: Aplicación de la transformada de Laplace en Electrónica y mecánica Autor: Boris Mamani Pacheco __________________________________________________________________________________________________________
LISTA DE TABLAS Y CUADROS Tabla 1: lista de transformadas más comunes……………………………………….….….17 Tabla 2: definición formal de la transformada……………………………………….….…18 Tabla 3: teoremas para demostrar la existencia. ……………………………………….….18
LISTA DE GRÁFICOS E IMÁGENES Fig. 1 Circuito de redes. . ………………………………………….. ………………………………………….10 Fig. 2 Resistor. ………………………………………….. …………………………………………………………11 Fig. 3 grafica de impedancias. ………………………………………….. …………………………….……..12 Fig. 4 fuentes de corrientes………………………………………….. …………………………….…………..13
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Título: Aplicación de la transformada de Laplace en Electrónica y mecánica Autor: Boris Mamani Pacheco __________________________________________________________________________________________________________
Capítulo 1: Introducción La transformada de Laplace es una herramienta matemática muy útil en electrónica ya que gracias a ella el comportamiento de sistemas electrónicos complejos puede describirse usando ecuaciones ordinarias en lugar de ecuaciones diferenciales. El ámbito de aplicación de esta transformada no queda reducido a los sistemas electrónicos. El comportamiento de cualquier sistema lineal, muy útil para la resolución de ecuaciones diferenciales sea del tipo que sea, queda completamente descrito mediante las ecuaciones ordinarias, también es muy útil para transformar las ecuaciones lineales NO HOMOGENEAS en ecuaciones algebraicas que pueden resolverse por medios algebraicos.
La transformación propiamente dicha es la siguiente:
Donde X(s) es la transformada de Laplace de x (t). Esta función se define para cualquier número complejo, s. Obsérvese que para el caso particular s = jω, la transformada de Laplace coincide con la transformada de Fourier, y por lo tanto la respuesta en frecuencia de un sistema lineal se obtiene de la transformada de Laplace de su función de transferencia sin más que sustituir s por jω. A continuación se enumeran algunas de las propiedades más interesantes de la transformada de Laplace:
La primera propiedad nos indica que la transformada de Laplace es una transformación lineal. Las siguientes nos van a permitir tratar las ecuaciones diferenciales que rigen a los sistemas Asignatura: Ecuaciones Diferenciales Carrera: Ingeniería en gas y petróleo
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lineales como simples ecuaciones ordinarias en el dominio de la transformada de Laplace (plano complejo ‘s’). Para ello hacemos las siguientes sustituciones en las ecuaciones del sistema:
Y las ecuaciones diferenciales en el dominio del tiempo se convierten en ecuaciones ordinarias (cociente de polinomios de ’s’) en el dominio de la transformada de Laplace.
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Capítulo 2: Marco teórico 2.1 La aplicación de la transformada de Laplace
El concepto de transformada encierra la idea de convertir una función dada
en otra función
.
a.
La derivada D asigna a una función diferenciable
[definida en algún intervalo ( , )]
una nueva función.
b.
La integral asigna a una función continua
(definida en un intervalo [ , ]) una nueva
función.
Consideremos una función
definida para
La transformada de Laplace (unilateral)
.
de es la función
definida por la integral
impropia:
La función original
es una transformada inversa de
y se denota por
Notemos que la transformada de Laplace toma una función de t y devuelve una función de s, y como que la variable t acostumbra a ser el tiempo se denomina así a los dominios de definición de esas funciones:
-
Dominio frecuencia o transformado
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-
Dominio temporal
Recordemos que las integrales impropias sobre regiones no acotadas como
se definen
mediante un límite
2.2
La aplicación de la transformada de Laplace en la mecánica: Una vibración mecánica
es la oscilación repetida de un punto material o de un cuerpo rígido en torno a una posición de equilibrio. En muchos dispositivos conviene que haya movimientos vibratorios y se generan deliberadamente, por ejemplo, el péndulo utilizado para regular un reloj o una cuerda pulsada de una guitarra o de un piano. En cambio, en la maquinaria rotatoria y en las estructuras la mayoría de las vibraciones son nocivas. Las vibraciones pueden resultar molestas para el operario de la máquina y dañar a ésta y a su apoyo. En este último caso se trata de eliminar dicha vibración o reducirla. Cuando aplicando una fuerza adicional, se desplaza un punto material o un cuerpo rígido que estaba en equilibrio estable, aparece una vibración mecánica. Algunos ejemplo:
-
Oscilación horizontal de un cuerpo unido a un resorte cuando se aparta de su posición de
equilibrio y luego se suelta. -
Oscilación circular de un péndulo suspendido por un hilo inextensible de peso
despreciable cuando se desplaza de su posición de equilibrio y luego se suelta.
La característica de estos ejemplos es que sobre el cuerpo se ejercen fuerzas recuperadoras que le hacen volver a su posición de equilibrio. No obstante cuando llega a esta situación tiene velocidad no nula y sobrepasa dicha posición. El proceso se repite cuando la fuerza recuperadora vuelve a actuar para volver el cuerpo a su posición de equilibrio. El movimiento se repite una y otra vez y el cuerpo pasa en uno y otro sentido por su posición de equilibrio
2.2.1. Cálculo de vibraciones mecánicas utilizando transformada de laplace: Los sistemas mecánicos de translación pueden ser usados para modelar muchas situaciones e involucran tres elementos básicos: masas (medida en Kg), resortes (medida en N/m) y amortiguadores (Ns/m). Asignatura: Ecuaciones Diferenciales Carrera: Ingeniería en gas y petróleo
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Las variables asociadas son el desplazamiento x (t) (medido en m) y la fuerza F(t) (medida en N).
Suponiendo que estamos tratando con resortes y amortiguadores ideales (esto es, suponiendo que se comportan linealmente) las relaciones entre las fuerzas y los desplazamientos en el tiempo t son:
-
Según la segunda ley de Newton: El cambio de movimiento es proporcional a la fuerza
motriz impresa y ocurre según la línea recta a lo largo de la cual aquella fuerza se imprime, es decir , F=ma (Fuerza neta es igual a masa por aceleración). De esto de deduce:
-
La Ley de Hooke establece que el alargamiento unitario que experimenta un material
elástico es directamente proporcional a la fuerza aplicada F.
La forma más común de representarla matemáticamente es mediante la ecuación del muelle o resorte, donde se relaciona la fuerza F ejercida sobre el resorte con la elongación o alargamiento producido:
Donde se llama constante elástica del resorte y es su elongación o variación que experimenta su longitud.
Para estudiar los movimientos de los cuerpos se siguen los siguientes pasos: •
Planteo las ecuaciones diferenciales correspondientes al problema.
•
Aplica la transformada a cada uno de sus términos.
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•
Luego de la ecuación que obtengo despejo x.
•
Anti transformo el resultado anterior.
2.3. La aplicación de la transformada de Laplace en la electrónica: La aplicación de la transformada de Laplace nos permitirá también generalizar la excitación de los circuitos, y hallar propiedades que son muy útiles para la solución de numerosos problemas de ingeniería.
Veremos que la transformación de Laplace es una generalización del concepto de fasor: el fasor es el número complejo asociado a la senoide A cos (ω t + ϕ • A A), mientras que la transformada de Laplace asocia una función compleja de la variable s, llamada F(s), con una función dada del tiempo, f (t), definida en el intervalo [0, ∞}. La transformada de Laplace juega un papel muy importante relacionando el comportamiento temporal con el comportamiento frecuencia de los circuitos lineales invariantes en el tiempo.
2.3.1. Transformación de ecuaciones de redes Para ver cómo se aplica el método a la resolución de circuitos, consideremos la red de la fig. 1.
Fig. 1 Circuito de redes.
Por simplicidad, las condiciones iniciales son nulas, y queremos hallar Vo(s). Aplicaremos el método de mallas, y escribiendo las ecuaciones por inspección llegamos a:
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Transformando, y recordando que v (0) = 0, iL (0) = 0, será:
Donde Vi (s) es la
- transformada de vi (t). Ordenando, será:
2.3.2. Impedancia y admitancia: Hemos visto que la impedancia de un resistor es R, y su admitancia G = 1 / R; en un inductor Z(s) = sL, Y(s) = 1/sL, y en un capacitor Z(s) = 1/sC, Y(s) = sC. Generalizaremos ahora estos resultados, definiendo la impedancia transformada. Para ello, consideraremos una red de dos terminales que contiene resistencias, inductancias y capacidades conectadas de cualquier manera, pero que no contiene fuentes de ningún tipo, ni sus elementos poseen condiciones iniciales.
Fig. 2 Resistor
Las variables serán designadas V(s) e I(s). Así, la impedancia y la admitancia en el dominio transformado se definen como:
Y dado que ambas variables son función de s, la impedancia y la admitancia son funciones de la variable s. Asignatura: Ecuaciones Diferenciales Carrera: Ingeniería en gas y petróleo
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2.3.3. Conexión serie y paralelo de impedancias: En la fig. 3 vemos dos impedancias Z1 y Z2 conectadas en serie. La corriente que circula por ambas es la misma, por lo que la tensión en bornes de la combinación Z1 Z2 será:
Es decir, la impedancia equivalente será la suma de las dos impedancias. Así, para el caso mostrado en la fig. 3 (a), la impedancia entre 1 y 2 es:
Fig. 3 grafica de impedancias.
Y en la fig. 3 (b), la impedancia equivalente entre 1 y 2 es:
Con lo cual entre los bornes (1) y (2) vemos una capacidad equivalente Ceq = C1C2/C1 +C2. Si se conectan en serie n impedancias, la impedancia equivalente será:
O sea, la suma de las “n” impedancias individuales.
2.3.4. Transformación de fuentes: Sabemos que una fuente de tensión en serie con una impedancia puede convertirse en una fuente de corriente en paralelo con la misma impedancia, y Asignatura: Ecuaciones Diferenciales Carrera: Ingeniería en gas y petróleo
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viceversa. Esta equivalencia de dipolos es válida también en el dominio de frecuencia tal como veremos a continuación.
Ejemplo: Convertir la fuente de tensión de la figura en fuente de corriente:
Fig. 4 fuentes de corrientes
La corriente de cortocircuito de la fuente mostrada es:
Por lo que la fuente de corriente equivalente será la de la fig. 4(b).
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Capítulo 3: Definición del problema
Para el siguiente proyecto se establece la siguiente pregunta:
¿De qué manera la transformada de Laplace ayudará a la electrónica y mecánica?
Capítulo 4: Objetivos de la investigación
4.1. Objetivo general
Dar a conocer la aplicación de Laplace en la electrónica y mecánica
4.2. Objetivos específicos
Conocer la aplicación de la transformada de Laplace.
Identificar las correctasa cada caso de la transformada de Laplace.
Determinar que transformada se aplica en cada caso.
Capítulo 5: Metodología
Para este proyecto usamos el método científico utilizando libros, pdf, y páginas en internet, que nos ayudó de esa manera a poder conocer la aplicación de la transformada de Laplace en 2 diferentes casos como ser la Electrónica y Mecánica.
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Capítulo 6: Resultado
La principal aplicación de la transformada de Laplace es resolver con rapidez las ecuaciones y sistemas de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes.
Para analizar un circuito RLC usando la transformada de Laplace hay dos métodos: Para analizar un circuito RLC usando la transformada de Laplace hay dos métodos: 1º Escribir las ecuaciones temporales, aplicar la transformada de Laplace, resolver en el dominio de Laplace y finalmente volver al dominio del tiempo usando la transformada inversa. 2º Escribir el circuito equivalente en el dominio de Laplace y resolver directamente en él (con atención a las condiciones iniciales).
Capítulo 7: Conclusiones Al analizar las aplicaciones es sencillo darse cuenta que la transformada deLaplace es una herramienta muy ponderosa para lasolución decircuitos con funciones deexcitación enescalón unitario, las cuales sonun poco complicadas si se analizan losmétodos convencionales.También es importante hacer notar con el uso de la transformadade Laplace se tiene un método generalizado para a la solución de este tipo de problemas, y paralas vibraciones mecánicas pueden ser usadas para modelar muchas situaciones e involucran tres elementos básicos: masa, resortes y amortiguadores. Capítulo 8: Recomendaciones
Para este proyecto se recomienda usar la adecuadas ecuaciones y transformadas adecuadas para cada aplicación, caso contrario no nos saldrá la respuesta que deseamos.
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Bibliografía y referencias
G. James, "Matemáticas avanzadas para ingeniería", Pearson Educación, segunda edición 2002. Spielgel, Munrray, 1996, “La transformada de Laplace”, México, segunda edición. http://lcr.uns.edu.ar/fvc/NotasDeAplicacion/FVCSantiago%20G%C3%B3mez%20Jorge.pdf http://www.academia.edu/8232426/LA_TRANSFORMADA_DE_LAPLACE
http://viviana.meruane.com/me4701_p.pdf
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Anexos Tabla 1: lista de transformadas más comunes
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Tabla 2: definición formal de la transformada
Tabla 3: teoremas para demostrar la existencia.
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EVALUACIÓN DEL DOCENTE
CRITERIO DE EVALUACIÓN
PUNTAJE CALIFICACIÓN
1
Entrega adecuada en plazo y medio.
10
2
Cumplimiento de la estructura del trabajo.
10
3
Uso de bibliografía adecuada.
10
4
Coherencia del documento.
10
5
Profundidad del análisis.
15
6
Redacción y ortografía adecuadas.
10
7
Uso de gráficos e ilustraciones.
10
8
Creatividad y originalidad del trabajo.
15
9
Aporte humano, social y comunitario.
10
Calificación Final:
/100
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