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FACULTAD DE INGENIERIA Y CIENCIAS APLICADAS ESCUELA DE CIENCIAS APLICADAS ÁREA DE CIENCIAS Y MATEMATICA

TEMA:LA TRANSFORMADA DE LAPLACE ASIGNATURA: MATEMATICAS III

SAN SALVADOR, 17 DE SEPTIEMBRE DE 2019.

Índice 1.Introduccion.......................................................................................................................................1 2. Objetivo General..............................................................................................................................2 3. Objetivos Específicos......................................................................................................................2 4. Marco Teórico..................................................................................................................................3 5. Definición de la transformada de Laplace........................................................................................4 6. Existencia y Funciones.....................................................................................................................4 6.1 Función continua a trozos.......................................................................................................4 6.2 Función de orden exponencial................................................................................................4 6.3 Función de Existencia............................................................................................................5 7. Propiedades de la transformación de Laplace..................................................................................5 7.1 Linealidad...............................................................................................................................5 7.2 Traslación en el dominio de s.................................................................................................6 7.3 Traslación en el dominio de t.................................................................................................7 7.4 Escalar....................................................................................................................................9 7.5 Transformada LaPlace de una potencia..................................................................................9 7.6 Transformada de la derivada de orden superior...................................................................10 Esta propiedad se obtiene utilizando inducción matemática. Como se sabe................10 7.7 Transformada de la integral..................................................................................................10 8. La transformada inversa de Laplace...............................................................................................11 8.1 Definición Transformada inversa de Laplace.......................................................................12 8.1 Comportamiento de F (s) en infinito....................................................................................13 9. Teoremas de traslación...................................................................................................................14 9.1 Primer teorema de traslación................................................................................................14 10. Función escalón............................................................................................................................15 10.1 Función de Heaviside.........................................................................................................15 10.2 Transformada de la función Heaviside...............................................................................16 10.3 Segundo teorema de traslación...........................................................................................16 11. Convolución y transformadas.......................................................................................................18 11.1 Propiedades de la convolución...........................................................................................18 12. Funciones por Integral..................................................................................................................20 12.1 Función Gama....................................................................................................................20 12.2 Función Escalón Unitario...................................................................................................20 12.3 Función Periódica...............................................................................................................20 13. Conclusiones................................................................................................................................21 14. Infografía......................................................................................................................................21

1.Introduccion La transformada de Laplace ha sido en los últimos años de gran importancia en los estudios de ingeniería, matemática, física, entre otras áreas científica, ya que además de ser de gran interés en lo teórico, proporciona una forma sencilla de resolver problemas que vienen de las ciencias e ingenierías. El método de la transformada de Laplace es un método operacional que puede usarse para resolver ecuaciones diferenciales lineales, ya que su uso hace posible que diversas funciones sinusoidales, sinusoidales amortiguadas y exponenciales, se puedan convertir en funciones algebraicas de una variable compleja, y reemplazar operaciones como la diferenciación y la integración, por operaciones algebraicas en de funciones compleja equivalentes. Este procedimiento que implica la transformada inversa de Laplace de la variable dependiente, se realiza empleando una tabla de transformadas de Laplace, o mediante la técnica de expansión en fracciones parciales. La Transformada de Laplace es un caso especial se le denomina Transformación Integral. Su utilidad para resolver problemas físicos hace que sea una de las herramientas más útiles para estos efectos. Este método se puede ilustrar con el siguiente esquema. Ecuación Diferencial Ordinaria con valores iniciales

Transformada de Laplace

Problema Algebraico

Muy fácil

difícil

Solución a la Ecuación Diferencial Ordinaria

Transformada Inversa

Solución al Problema Algebraico

La ventaja más significativa radica en que la integración y derivación se convierte en multiplicación y división. Transformando las ecuaciones diferenciales e integrales en ecuaciones polinómicas, mucho más fácil de resolver. El objetivo de este método es modificar el problema usando la transformada de Laplace y posteriormente usar la Transformación Inversa, sea más fácil que resolver la ecuación diferencial por métodos directos. Esto resulta particularmente útil cuando las funciones involucradas no son continuas. Posteriormente para utilizar la transformada de Laplace en la resolución de ecuaciones diferenciales, estudiaremos diversos teoremas relacionados con la derivada y la integral de funciones 1

2. Objetivo General  Comprender la teoría de la transformada inversa de Laplace, así como también encontrar y entender la relación que entre cada una de las propiedades para resolver ejercicios.

3. Objetivos Específicos.  Saber comprobar si una función verifica las condiciones suficientes para que exista su transformada de Laplace.  Resolver ejemplos en los cuales se aplique la transformada de Laplace y sus propiedades

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4. Marco Teórico La transformada de Laplace es una técnica matemática la cual está definida por medio de una integral impropia y cambia una función en una variable de entrada en otra función en otra variable. Ésta puede ser usada para resolver ecuaciones diferenciales lineales y ecuaciones integrales, en general se aplica a problemas con coeficientes constantes. Un requisito adicional es el conocimiento de las condiciones iniciales de la función. Se define a dicha transformada mediante la siguiente expresión:

Siendo: f (t ) = Es la función que se desea transformar y que está en el dominio del tiempo t, al que f (t ) = 0 para t < 0 s=

Representa una nueva variable, que para el proceso de integración se considera constante

F ( s ) = Es la transformada de Laplace de f (t ) L=

Símbolo operacional que indica que la cantidad a la que precede debe transformarse por la integral de Laplace

El proceso inverso de hallar f (t) a partir de la transformada de Laplace F(s), se denomina transformación inversa de Laplace . La Integral que resuelve este problema es la siguiente

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CUERPO DEL TRABAJO 5. Definición de la transformada de Laplace Consideremos una función medible f: [0, +∞) → C que para algún w ∈ R cumple que límite

superior t↑∞ |f(t)|e −wt < ∞. Se define la transformada de Laplace de f, denotada por L o L[f], como una función de una variable real que viene dada por:

definida donde la integral exista, y entendiendo la integral en el sentido impropio, es decir:

La hipòtesis que le pedimos a la función f en la definición anterior es equivalente a la definición de función de orden exponencial w que mostramos en la sección siguiente.

6. Existencia y Funciones La transformada de Laplace está definida como una integral impropia, así que la primera pregunta que surge es si existe siempre. Efectivamente, hay funciones para las que no converge esta integral para todos los puntos, pero nos encontramos con que hay una gran variedad de funciones, que veremos a continuación, que surgen en las aplicaciones de ecuaciones diferenciales lineales, para las que sí converge dicha integral impropia.

6.1 Función continua a trozos Una función f de una variable real es continua a trozos en el intervalo [a, b], con a, b ∈ R, si f es continua en cada punto del intervalo excepto en un número finito de puntos,

donde tiene una discontinuidad de salto. Además, f es continua a trozos en [0, +∞) si lo es para cada [0, N], con N > 0.

6.2 Función de orden exponencial Se dice que una función f de una variable real es de orden exponencial α, con α > 0, si existen T y M constantes no negativas tales que:

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6.3 Función de Existencia Si f es una función continua a trozos en [0, +∞) y de orden exponencial α, entonces la transformada de Laplace de la función f, L [f] (t), existe para todo t > α. Hay que demostrar que

ds converge para todo t > α. Para ello, dividamos

primero la integral en dos partes:

donde T se toma para que se verifique |f(s)| ≤

para todos > T.

7. Propiedades de la transformación de Laplace Vamos a describir ahora algunas de las propiedades más importantes de la transformación de Laplace. ´Estas nos permitirán construir nuevas parejas f(t)↔ F(s) sin necesidad de calcular directamente las integrales impropias. En muchos casos mostraremos la demostración por su simplicidad y para mostrar que es más sencillo reproducir la prueba que recordar de memoria la demostración. En esta sección, supondremos siempre que las funciones cuyas transformadas calculamos son continuas a trozos.

7.1 Linealidad

5

7.2 Traslación en el dominio de s

6

7.3 Traslación en el dominio de t

7

7.4 Escalar

8

7.5 Transformada LaPlace de una potencia

7.6 Transformada de la derivada de orden superior Esta propiedad se obtiene utilizando inducción matemática. Como se sabe.

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7.7 Transformada de la integral

8. La transformada inversa de Laplace

8.1 Definición Transformada inversa de Laplace

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11

8.1 Comportamiento de F (s) en infinito

9. Teoremas de traslación

9.1 Primer teorema de traslación

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10. Función escalón En ingeniería es común encontrar funciones que corresponden a estados de sí o no, o bien activo o inactivo. Por ejemplo, una fuerza externa que actúa sobre un sistema mecánico o una tensión eléctrica aplicada a un circuito, puede tener que suspenderse después de cierto tiempo. Para tratar de forma efectiva con estas funciones discontinuas conviene introducir una función especial llamada función escalón unitario.

10.1 Función de Heaviside

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10.2 Transformada de la función Heaviside

14

10.3 Segundo teorema de traslación

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11. Convolución y transformadas Como hemos visto, la transformada de Laplace es lineal, es decir, la transformada de una suma es la suma de las transformadas, entonces cabe preguntarse si se tiene algo similar para el producto, la respuesta es no. En general la transformada no conmuta con la multiplicación ordinaria, o sea, la transformada de un producto no es el producto de las transformadas, pero podemos definir un nuevo producto generalizado bajo el cual esto es cierto.

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11.1 Propiedades de la convolución

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12. Funciones por Integral A continuación, vamos a describir algunas de las funciones básicas y trataremos de detallar cual es el resultado de la transformada de Laplace.

12.1 Función Gama

12.2 Función Escalón Unitario

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12.3 Función Periódica

13. Conclusiones 

La transformada de Laplace es un método operacional que puede usarse para resolver ecuaciones diferenciales lineales.



Esta transformada es útil para reemplazar operaciones como derivación e integración por operaciones algebraicas en el plano complejo de la variable S



Se han calculado ciertos tipos de integrales usando la transformada de Laplace

14. Infografía

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http://cmap.upb.edu.co/servlet/SBReadResourceServlet? rid=1160670630734_1963166453_281 https://prezi.com/2_4ffschzzwd/transformada-de-laplace/ http://www.ehu.eus/juancarlos.gorostizaga/apoyo/transform_lapl.htm https://www.ecured.cu/Transformada_de_Laplace https://elisa.dyndns-web.com/teaching/sys/control/laplace.pdf https://studylib.es/doc/414060/transformada-de-laplace

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