• Author / Uploaded
• Germán Bresciano

• Categories
• Transformada de Laplace
• Ecuaciones
• Ecuaciones diferenciales
• Linealidad
• Integral

Citation preview

Universidad Tecnológica Nacional Facultad Regional Delta

Teórico de CÁLCULO AVANZADO 2016 Tema: Transformada de Laplace

Objetivos de aprendizaje 

Germán BRESCIANO

13

TRANSFORMADA DE LAPLACE ........................................................................................13-1

13.1 INTRODUCCIÓN ........................................................................................................................13-1 13.1.1 Antecedentes ....................................................................................................................13-1 13.1.2 Transformadas .................................................................................................................13-1 13.1.3 Características de la transformada de Laplace...............................................................13-1 13.2 LA TRANSFORMADA DE LAPLACE.............................................................................................13-2 13.2.1 Definición ........................................................................................................................13-2 13.2.2 Continuidad seccional. ....................................................................................................13-3 13.2.3 Orden exponencial. ..........................................................................................................13-3 13.2.4 Abscisa de convergencia..................................................................................................13-3 13.2.5 Existencia de la transformada de Laplace ......................................................................13-3 13.2.6 Unicidad de la transformada de Laplace ........................................................................13-4 13.2.7 Teorema ...........................................................................................................................13-4 13.2.8 Propiedades .....................................................................................................................13-5 13.2.9 Tabla de transformadas ...................................................................................................13-7 13.3 ANTITRANSFORMADA DE LAPLACE ..........................................................................................13-8 13.3.1 Definición ........................................................................................................................13-8 13.3.2 Evaluación de la antitransformada .................................................................................13-9 13.4 RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES .........................................................................13-9 13.4.1 Ecuaciones diferenciales lineales a coeficientes constantes ...........................................13-9 13.4.2 Sistemas de ecuaciones lineales a coeficientes constantes ............................................13-10 13.4.3 Ecuaciones diferenciales lineales a coeficientes variables ...........................................13-10 13.4.4 Aplicaciones ..................................................................................................................13-11 13.5 FUNCIÓNES ESCALÓN E IMPULSO ............................................................................................13-13 13.5.1 Escalón unitario de Heaviside .......................................................................................13-13 13.5.2 Función impulso ............................................................................................................13-15 13.6 FUNCIONES DE TRANSFERENCIA .............................................................................................13-19 13.6.1 Álgebra de diagramas de bloques .................................................................................13-19 13.6.2 Ceros y polos de la función de transferencia.................................................................13-20 13.6.3 Estabilidad .....................................................................................................................13-21 13.6.4 Definición de sistema estable ........................................................................................13-22 13.7 TEOREMAS DEL VALOR INICIAL Y FINAL .................................................................................13-24 13.7.1 Teorema del valor inicial...............................................................................................13-24 13.7.2 Teorema del valor final .................................................................................................13-24 13.8 APLICACIONES .......................................................................................................................13-24 13.8.1 Respuesta a perturbaciones ...........................................................................................13-24 13.8.2 Control automático ........................................................................................................13-27

Transformada de Laplace

13-1

13 Transformada de Laplace 13.1 Introducción 13.1.1 Antecedentes La transformada de Laplace es muy importante en el análisis de sistemas en ingeniería. El ingeniero eléctrico Oliver Heaviside (1850–1925), desarrolló un método para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias con coeficientes constantes que es el antecesor del método de la transformada de Laplace. A Heaviside le interesaba la resolución de problemas y su método era intuitivo y con poco rigor matemático, no le interesaban las demostraciones. Con su método pudo resolver problemas que no podían resolverse por métodos clásicos. Debido a su practicidad, el método fue aceptado rápidamente por los ingenieros y atrajo la atención de matemáticos que trataron de darle rigurosidad. Luego de muchos años se vio que la transformación integral que había planteado el matemático francés Pierre Simon de Laplace (1749–1827) casi un siglo antes era el sustento teórico para el trabajo de Heaviside y una alternativa más sistemática para resolver ecuaciones diferenciales que el método original de Heaviside.

13.1.2 Transformadas En algunos métodos matemáticos se usa una transformación para simplificar la resolución de un problema. Por ejemplo, los logaritmos se usan para simplificar problemas de multiplicación y división. Para multiplicar o dividir dos números, los transformamos en sus logaritmos, sumamos o restamos estos y luego realizamos la transformación inversa, el antilogaritmo, para obtener el producto o cociente de los números originales. El propósito de usar esta transformación es plantear el problema en un nuevo dominio en el cual sea más fácil de resolver. Una vez resuelto en el nuevo dominio, la solución se puede transformar inversamente para obtener los resultados deseados en el dominio original. Algo similar ocurre cuando para hallar una primitiva realizamos un cambio de variable para obtener un nuevo problema más sencillo que el original y, una vez resuelto el problema en la nueva variable, volvemos a la variable original.

13.1.3 Características de la transformada de Laplace La transformada de Laplace es una transformación integral, que toma una función f(t) de una variable real t (que llamaremos tiempo) y la transforma (mediante el cálculo de una integral) en una función F(s) de otra variable s (que llamaremos frecuencia compleja). La principal ventaja de la transformada de Laplace es que convierte ecuaciones diferenciales en el dominio de t (tiempo) en ecuaciones algebraicas en el dominio de s (frecuencia). Por tanto, la resolución de ecuaciones diferenciales en el dominio de t se reduce a resolver ecuaciones algebraicas en el dominio de s y luego aplicar la antitransformada para volver al dominio de t. Además, como las condiciones iniciales intervienen en el proceso de transformación, la solución que se obtiene las incorpora automáticamente, obteniéndose directamente la solución particular deseada, por lo que resulta ideal para problemas de valor inicial como los que suelen presentarse en circuitos eléctricos y vibraciones mecánicas. La Transformada de Laplace es muy útil en el análisis de sistemas lineales. Si a un sistema le aplicamos una excitación dependiente del tiempo (entrada), produce una respuesta también dependiente del tiempo (salida). El problema es determinar la salida x(t) cuando el sistema se somete a una determinada entrada u(t), aplicada en un instante de tiempo que suele definirse como t=0.

Figura 13-1 Diagrama de bloque se un sistema

Transformada de Laplace

13-2

La relación entre la salida y la entrada depende de las leyes que gobiernan el comportamiento del sistema. Si el sistema es lineal e invariante en el tiempo, entonces la salida está dada por una ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes, que es un problema de valor inicial fácil de resolver usando la transformada de Laplace. La entrada puede ser una función discontinua, incluso un pulso, y en esos casos el método de la transformada de Laplace tiene grandes ventajas en comparación con la resolución tradicional de la ecuación diferencial. Otra aplicación importante es el estudio de estabilidad de un sistema. Para ello se define la función de transferencia como el cociente entra la transformada de salida y la transformada de entrada. Un sistema estable es aquel que, frente a una entrada acotada, nos da una salida acotada. Además, cuando a un sistema estable se le suprime la entrada, su salida tiende a cero. Para determinar la estabilidad de un sistema se analizan los polos de la función transferencia en el dominio de las frecuencias complejas.

13.2 La transformada de Laplace Vamos a generalizar las series de potencias.

∞

𝑔(𝑧) = ∑ 𝑎𝑛 𝑧 𝑛 𝑛=0

Vamos a hacer algo parecido, pero sumaremos no sólo sobre los naturales sino sobre los reales, reemplazaremos n por t y an por f(t). En vez de sumar vamos a integrar. Queda: +∞

∫ Donde pondremos z=e-s (1)

𝑓(𝑡)𝑧 𝑡 𝑑𝑡

0

13.2.1 Definición Dada una función f:R→R, definimos transformada de Laplace de F como una función f tal que +∞

𝐹(𝑠) = ∫

𝑓(𝑡)𝑒 −𝑠𝑡 𝑑𝑡

0

Y se anota

𝐹(𝑠) = ℒ{𝑓(𝑡)}

𝑜

𝑓(𝑡) → 𝐹(𝑠)

Figura 13-2 Transformada de Laplace entre dominios t y s 

L es el operador transformada de Laplace y decimos que transforma a la función f en el dominio de t en la función F en el dominio de s.

1



Más adelante veremos en qué condiciones podemos asegurar que la integral converge.



Como el límite inferior de integración es cero, al aplicar la transformada de Laplace no se toma en cuenta el comportamiento de f para valores de t negativos. Generalmente en ingeniería esto no es un inconveniente ya que generalmente la variable t es el tiempo y los sistemas que estudiamos son no anticipantes sino causales, es decir que no hay una respuesta hasta que no se aplica una excitación. Consideraremos que la

Si bien la variable s en el caso general es compleja, haremos las demostraciones para s real. Las demostraciones para s compleja son básicamente iguales, teniendo en cuenta que el módulo de la exponencial no cambia si se sustituye s por su parte real.

Transformada de Laplace

13-3

excitación es nula para t0. Estas funciones que son nulas para t 0 0 = 𝑠 𝑠 𝑠 (a−𝑠)𝑡 +∞ +∞ +∞ 𝑒 1 ⇒ 𝐹(𝑠) = ∫ 𝑒 a𝑡 𝑒 −𝑠𝑡 𝑑𝑡 = ∫ 𝑒 (a−𝑠)𝑡 𝑑𝑡 = | = ∀𝑠 > 𝑎 𝑎−𝑠 0 𝑠−𝑎 0 0

𝑓(𝑡) = 1 ∀𝑡 ≥ 0 ⇒ 𝐹(𝑠) = ∫

𝑓(𝑡) = 𝑒 a𝑡

13.2.2 Continuidad seccional. Una función f:R→R es seccionalmente continua en un intervalo IR si tiene en ese intervalo a lo sumo una cantidad finita de discontinuidades y son de salto finito.

13.2.3 Orden exponencial. Se dice que una función f:R→R es de orden exponencial ebt (t→+∞) si existe M y t0 tales que

|𝑓(𝑡)| ≤ 𝑀𝑒 𝑏𝑡 ∀𝑡 ≥ 𝑡0 (2) 13.2.4 Abscisa de convergencia La abscisa de convergencia de una función es el menor b para el cual la función es de orden exponencial ebt (t→+∞).

13.2.5 Existencia de la transformada de Laplace Sea f:R→R de orden exponencial ebt (t→+∞) y seccionalmente continua en [0,h] ∀ h>0 entonces i)

+∞

𝑓(𝑡)𝑒 −𝑠𝑡 𝑑𝑡 converge absolutamente ∀ s>b

+∞

𝑓(𝑡)𝑒 −𝑠𝑡 𝑑𝑡 converge uniformemente en [s0, +∞) ∀ s0>b

∫0

ii) ∫0

Demostración i) |𝑓(𝑡)𝑒 −𝑠𝑡 |

s>b

y si +∞

∫0

entonces

s-b>0

por tanto

+∞

∫0

𝑀𝑒 −(𝑠−𝑏)𝑡 𝑑𝑡 converge y, por comparación,

𝑓(𝑡)𝑒 −𝑠𝑡 𝑑𝑡 converge absolutamente

ii) 2

≤ 𝑀𝑒 𝑏𝑡 𝑒 −𝑠𝑡 = 𝑀𝑒 −(𝑠−𝑏)𝑡 ∀𝑡 ≥ 𝑡0

+∞

∫0

𝑓(𝑡)𝑒 −𝑠𝑡 𝑑𝑡 converge uniformemente en [s0, +∞) si y solo si ∀>0 ∃H() tal que

b no es único, si una función es de orden exponencial para un b0, también lo será para todo b> b0

Transformada de Laplace

13-4

ℎ"

|∫ 𝑓(𝑡)𝑒 −𝑠𝑡 𝑑𝑡| < 𝜀 ∀ℎ′ , ℎ" > 𝐻(𝜀) 𝑦 ∀𝑠 ∈ [𝑠0 , +∞) ℎ′

ℎ"

⟺

|∫ 𝑓(𝑡)𝑒 −𝑠𝑡 𝑑𝑡| < 𝜀 ∀ℎ′ , ℎ" > 𝐻(𝜀)

sup 𝑠∈[𝑠0 ,+∞)

ℎ′

pero ℎ"

ℎ"

|∫ 𝑓(𝑡)𝑒 −𝑠𝑡 𝑑𝑡| ≤

sup 𝑠∈[𝑠0 ,+∞)

ℎ′

=

sup

∫

sup

∫ |𝑓(𝑡)𝑒 −𝑠𝑡 |𝑑𝑡 =

𝑠∈[𝑠0 ,+∞) ℎ′ ℎ" |𝑓(𝑡)|𝑒 −𝑠𝑡

ℎ"

𝑑𝑡 ≤

sup

𝑠∈[𝑠0 ,+∞) ℎ′

(basta con tomar 𝐻(𝜖)

∫ 𝑀𝑒 𝑏𝑡 𝑒 −𝑠𝑡 𝑑𝑡 ≤

𝑠∈[𝑠0 ,+∞) ℎ′

> 𝑡0 )

ℎ"

ℎ"

≤ ∫ 𝑀𝑒 𝑏𝑡 𝑒 −𝑠0𝑡 𝑑𝑡 ≤ 𝑀 ∫ 𝑒 −(𝑠0 −𝑏)𝑡 𝑑𝑡 ℎ′ +∞ −(𝑠 −𝑏)𝑡 𝑒 0 𝑑𝑡 0

ℎ′

𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒 𝑠𝑖 𝑠0 > 𝑏 entonces ∀ >0 ∃ H() tal que 𝜀 ∫ 𝑒 −(𝑠0 −𝑏)𝑡 𝑑𝑡 < ∀ℎ′ , ℎ" > 𝐻(𝜖) 𝑀 ′ ℎ

Pero como ∫

ℎ"

13.2.6 Unicidad de la transformada de Laplace La transformada de La place es única pues se define como +∞

𝐹(𝑠) = ∫

𝑓(𝑡)𝑒

𝑥 −𝑠𝑡

𝑑𝑡 = lim ∫ 𝑓(𝑡)𝑒 −𝑠𝑡 𝑑𝑡 𝑥→+∞ 0

0

y un límite si existe es único.

13.2.7 Teorema f seccionalmente continua en [0,h] ∀h>0 y de orden exponencial ebt (t→+∞) Entonces si F(s) es su transformada: i) lim 𝐹(𝑠) = 0 𝑥→+∞

sF(s) acotada cuando t→+∞

ii)

iii) si F no es nula no puede ser periódica Demostración i) +∞

+∞

0 ≤ |𝐹(𝑠)| = |∫

𝑓(𝑡)𝑒 −𝑠𝑡 𝑑𝑡| ≤ ∫

0

0

+∞

|𝑓(𝑡)𝑒 −𝑠𝑡 |𝑑𝑡 = ∫

|𝑓(𝑡)|𝑒 −𝑠𝑡 𝑑𝑡 =

0

𝑡0

+∞

= ∫ |𝑓(𝑡)|𝑒 −𝑠𝑡 𝑑𝑡 + ∫ 0

|𝑓(𝑡)|𝑒 −𝑠𝑡 𝑑𝑡 ≤

𝑡0

Como f es seccionalmente continua, entonces |f(t)| acotada en [0, t0] 𝑡0

+∞

≤ 𝐾 ∫ 𝑒 −𝑠𝑡 𝑑𝑡 + ∫ 0

𝑡0

𝑡0

+∞

|𝑓(𝑡)|𝑒 −𝑠𝑡 𝑑𝑡 ≤ 𝐾 ∫ 𝑒 −𝑠𝑡 𝑑𝑡 + 𝑀 ∫ 0

𝑡0

𝑒 −(𝑠−𝑏)𝑡 𝑑𝑡 =

−1 −𝑠𝑡 𝑡0 −1 𝑒 −𝑠𝑡0 − 1 0 − 𝑒 −(𝑠−𝑏)𝑡0 +∞ −(𝑠−𝑏)𝑡 = 𝐾 ( ) 𝑒 |0 + 𝑀 ( )𝑒 |𝑡 = −𝐾 −𝑀( )= 0 𝑠 𝑠−𝑏 𝑠 𝑠−𝑏 𝐾 𝑀 −(𝑠−𝑏)𝑡 0 → = (1 − 𝑒 −𝑠𝑡0 ) + 𝑒 0 𝑠→+∞ 𝑠 𝑠−𝑏 Entonces lim 𝐹(𝑠) = 0 𝑥→+∞

Transformada de Laplace

13-5

ii) +∞

0 < |𝑠𝐹(𝑠)| = |𝑠||𝐹(𝑠)| ≤ |𝑠| |∫

𝑓(𝑡)𝑒 −𝑠𝑡 𝑑𝑡| ≤

0

+∞

+∞

|𝑓(𝑡)|𝑒 −𝑠𝑡 𝑑𝑡 ≤ |𝑠|𝑀 ∫

≤ |𝑠| ∫ 0

𝑒 𝑏𝑡 𝑒 −𝑠𝑡 𝑑𝑡 =

0

+∞

|𝑠| |𝑠| +∞ = |𝑠|𝑀 ∫ 𝑒 −(𝑠−𝑏)𝑡 𝑑𝑡 = 𝑀𝑒 −(𝑠−𝑏)𝑡 |0 = 𝑀→ 𝑀 𝑠−𝑏 𝑠 − 𝑏 𝑠→+∞ 0 Entonces ∃ 𝑀 ⁄|𝑠𝐹(𝑠)| < 𝑀 ∀𝑠 > 𝑠0 y por tanto sF(s) acotada cuando s→+∞ iii) Si F(s) fuera periódica, no podría ser

lim 𝐹(𝑠) = 0 a menos que fuera nula.

𝑥→+∞

13.2.8 Propiedades 13.2.8.1 Linealidad

𝛼𝑓1 (𝑡) + 𝛽𝑓2 (𝑡) → 𝛼𝐹1 (𝑠) + 𝛽𝐹2 (𝑠) Demostración f1 y f2 seccionalmente continuas y de orden exponencial +∞

(𝛼𝑓1 (𝑡) + 𝛽𝑓2 (𝑡))𝑒 −𝑠𝑡 𝑑𝑡 =

𝛼𝑓1 (𝑡) + 𝛽𝑓2 (𝑡) → ∫ 0

+∞

+∞

= 𝛼∫

𝑓1 (𝑡)𝑒 −𝑠𝑡 𝑑𝑡 + 𝛽 ∫

0

0

𝑓2 (𝑡)𝑒 −𝑠𝑡 𝑑𝑡 = 𝛼𝐹1 (𝑠) + 𝛽𝐹2 (𝑠)

Para los s para los cuales las transformadas existen (las integrales correspondientes convergen).

13.2.8.2 Convolución 𝑡

(𝑓1 ∗ 𝑓2 )(𝑡) ≡ ∫ 𝑓1 (𝑥)𝑓2 (𝑡 − 𝑥)𝑑𝑥 → 𝐹1 (𝑠)𝐹2 (𝑠) 0

Demostración f1 y f2 seccionalmente continuas y de orden exponencial +∞

(𝑓1 ∗ 𝑓2 )(𝑡) → ∫

(𝑓1 ∗ 𝑓2 )(𝑡)𝑒 −𝑠𝑡 𝑑𝑡 =

0 +∞

=∫ 0

𝑡

(∫ 𝑓1 (𝑥)𝑓2 (𝑡 − 𝑥)𝑑𝑥) 𝑒 −𝑠𝑡 𝑑𝑡 = ∬ 𝑓1 (𝑥)𝑓2 (𝑡 − 𝑥)𝑒 −𝑠𝑡 𝑑𝑡𝑑𝑥 0

El dominio de esta integral doble, S, es como se muestra en la figura. Hacemos el cambio de variable

𝛼 𝑥 𝑥𝑡(𝛼, 𝛽) = [ ] = [𝛼 + 𝛽 ] 𝑡 Cuya jacobiana es

1 0 𝐽𝑥𝑦 (𝛼, 𝛽) = [ ] ⟹ 𝑑𝑒𝑡 (𝐽𝑥𝑦 (𝛼, 𝛽)) = 1 1 1 𝑇 −1 (𝑆) = {(𝛼, 𝛽)⁄𝛼 ≥ 0 𝑦 𝛽 ≥ 0} Pues 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑡 ⇔ 0 ≤ 𝛼 ≤ 𝛼 + 𝛽

𝑆

Transformada de Laplace

13-6

Entonces +∞

(𝑓1 ∗ 𝑓2 )(𝑡) →

+∞

∬ 𝑓1 (𝛼)𝑓2 (𝛽)𝑒 −𝑠(𝛼+𝛽) 𝑑𝛼𝑑𝛽 = ∫

(∫

0

0

𝑇 −1 (𝑆)

+∞

+∞

𝑓1 (𝛼)𝑒 −𝑠𝛼 (∫

=∫

𝑓1 (𝛼)𝑓2 (𝛽)𝑒 −𝑠(𝛼+𝛽) 𝑑𝛽) 𝑑𝛼 =

0

𝑓2 (𝛽)𝑒 −𝑠𝛽 𝑑𝛽) 𝑑𝛼 =

0 +∞

+∞

=∫

𝑓1 (𝛼)𝑒 −𝑠𝛼 𝑑𝛼 ∫

0

0

𝑓2 (𝛽)𝑒 −𝑠𝛽 𝑑𝛽 = 𝑓1 (𝑠)𝑓2 (𝑠)

13.2.8.3 Cambio de escala (a>0) 1 𝑠 𝑓(𝑎𝑡) → 𝐹 ( ) 𝑎 𝑎

Demostración f seccionalmente continua y de orden exponencial y a>0 +∞

𝑓(𝑎𝑡)𝑒 −𝑠𝑡 𝑑𝑡 =

ℒ{𝑓(𝑎𝑡)} = ∫ 0

𝑠 𝑠 1 +∞ 1 +∞ 1 𝑠 (𝑎𝑡) ∫ 𝑓(𝑎𝑡)𝑒 −𝑎 𝑎𝑑𝑡 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑒 −𝑎𝑥 𝑑𝑥 = 𝐹 ( ) 𝑎 0 𝑎 0 𝑎 𝑎

la última integral converge cuando s/a>b o sea cuando s>ab, por tanto 𝑠 𝑎

si 𝐷𝑜𝑚(𝐹(𝑠)) = [𝑏, +∞) ⟹ 𝐷𝑜𝑚 (𝐹 ( )) = [𝑎𝑏, +∞) 13.2.8.4 Traslación de la función 0 𝑠𝑖 𝑡 < 𝑎 𝑔(𝑡) = { → 𝑒 −𝑎𝑠 𝐹(𝑠) 𝑓(𝑡 − 𝑎) 𝑠𝑖 𝑡 ≥ 𝑎 Demostración f seccionalmente continua y de orden exponencial +∞

a

+∞

𝑔(𝑡)𝑒 −𝑠𝑡 𝑑𝑡 = ∫ 𝑔(𝑡)𝑒 −𝑠𝑡 𝑑𝑡 + ∫

ℒ{𝑔(𝑎𝑡)} = ∫ 0

0

+∞

=0+∫

a +∞

𝑓(𝑡 − 𝑎)𝑒

a

−𝑠𝑡

=𝑒

∫

𝑓(𝑡 − 𝑎)𝑒 −𝑠(𝑡−𝑎) 𝑒 −𝑠𝑎 𝑑𝑡 =

𝑑𝑡 = ∫

+∞ −𝑠𝑎

𝑔(𝑡)𝑒 −𝑠𝑡 𝑑𝑡 =

𝑓(𝑡 − 𝑎)𝑒

a

+∞

−𝑠(𝑡−𝑎)

𝑑𝑡 = 𝑒

−𝑠𝑎

a

∫

𝑓(𝑥)𝑒 −𝑠𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒 −𝑠𝑎 𝐹(𝑠)

0

13.2.8.5 Traslación de la transformada 𝑒 𝑎𝑡 𝑓(𝑡) → 𝐹(𝑠 − 𝑎) Demostración +∞

+∞

ℒ{𝑒 𝑎𝑡 𝑓(𝑡)} = ∫

𝑒 𝑎𝑡 𝑓(𝑡)𝑒 −𝑠𝑡 𝑑𝑡 = ∫

a

a

𝑓(𝑡)𝑒 −(𝑠−𝑎)𝑡 𝑠𝑑𝑡 = 𝐹(𝑠 − 𝑎)

13.2.8.6 Derivación de la función 𝑓 ′ (𝑡) → 𝑠𝐹(𝑠) − 𝑓(0) 𝑓"(𝑡) → 𝑠 2 𝐹(𝑠) − 𝑠𝑓(0) − 𝑓′(0) ⋮ 𝑓 (𝑛) (𝑡) → 𝑠 𝑛 𝐹(𝑠) − 𝑠 𝑛−1 𝑓(0) − 𝑠 𝑛−2 𝑓 ′(0) ⋯ − 𝑠𝑓 (𝑛−2) (0) − 𝑓 (𝑛−1) (0) Demostración f derivable en [0, +∞) y de orden exponencial ebt (t→+∞). Si s>b +∞

ℒ{𝑓′(𝑡)} = ∫ 0

+∞

𝑓′(𝑡)𝑒 −𝑠𝑡 𝑑𝑡 = 𝑓(𝑡)𝑒 −𝑠𝑡 |+∞ 0 −∫

𝑓(𝑡)(−𝑠𝑒 −𝑠𝑡 )𝑑𝑡 =

0

+∞

= −𝑓(0) + 𝑠 ∫ 0

Si f no es continua en 0 daría

ℒ{𝑓′(𝑡)} = 𝑠𝐹(𝑠) − lim+ 𝑓(𝑡) 𝑡→0

𝑓(𝑡)𝑒 −𝑠𝑡 𝑑𝑡 = 𝑠𝐹(𝑠) − 𝑓(0)

Transformada de Laplace

13-7

Aplicando sucesivamente se obtienen las transformadas de las derivadas superiores.

13.2.8.7 Derivación de la transformada −𝑡𝑓(𝑡) → 𝐹′(𝑠) 𝑡 2 𝑓(𝑡) → 𝐹"(𝑠) ⋮ (−1)𝑛 𝑡 𝑛 𝑓(𝑡) → 𝐹 (𝑛) (𝑠) Demostración f seccionalmente continua y de orden exponencial.

𝐹 ′ (𝑠) =

+∞ +∞ +∞ ∂ ∂ (𝑓(𝑡)𝑒 −𝑠𝑡 )𝑑𝑡 = ∫ (−𝑡𝑓(𝑡))𝑒 −𝑠𝑡 𝑑𝑡 = ℒ{−𝑡𝑓(𝑡)} (∫ 𝑓(𝑡)𝑒 −𝑠𝑡 𝑑𝑡) = ∫ ∂s 0 ∂s 0 0

Aplicando sucesivamente se obtienen las derivadas superiores de la transformadas

13.2.8.8 Integración de la función 𝑡 𝐹(𝑠) ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 → 𝑠 0 Demostración f seccionalmente continua y de orden exponencial Aplicando la propiedad de convolución 𝑡

𝑡

ℒ {∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 } = ℒ {∫ 𝑓(𝑥) ∙ 1𝑑𝑥 } = ℒ{𝑓(𝑡) ∗ 1} = ℒ{𝑓(𝑡)}ℒ{1} = 0

0

𝐹(𝑠) 𝑠

13.2.8.9 Integración de la transformada +∞ 𝑓(𝑡) → ∫ 𝐹(𝑥)𝑑𝑥 𝑡 𝑠 Demostración f seccionalmente continua y de orden exponencial

′

𝑓(𝑡) 𝑓(𝑡) ℒ{𝑓(𝑡)} = −ℒ {−𝑡 } = − (ℒ { }) ⟹ 𝑡 𝑡 ′ +∞ +∞ +∞ 𝑓(𝑡) 𝑓(𝑡) 𝑓(𝑡) 𝑓(𝑡) ∫ 𝐹(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ − (ℒ { = 0+ℒ{ }) 𝑑𝑥 = − ℒ { }| }= ℒ{ } 𝑡 𝑡 𝑡 𝑡 𝑠 𝑠 𝑠

13.2.9 Tabla de transformadas A partir de la definición de transformada de Laplace y usando las propiedades anteriores se pueden calcular las transformadas de funciones usuales (3).

3

Las funciones δ(t) y u(t) se llaman función impulso y función escalón. Más adelante las definiremos.

Transformada de Laplace

13-8

13.3 Antitransformada de Laplace Existe en ciertas condiciones, pero no es única. Por ejemplo, si consideramos las funciones

𝑓(𝑡) = 1 ∀𝑡 ≥ 0 1 ∀𝑡 ≥ 0 𝑡 ≠ 2 𝑔(𝑡) = { 0 𝑠𝑖 𝑡 = 2

Vemos que como ambas funciones difieren sólo en un punto. +∞

+∞

∫

𝑓(𝑡)𝑒 −𝑠𝑡 𝑑𝑡 = ∫

0

0

𝑔(𝑡)𝑒 −𝑠𝑡 𝑑𝑡 ⇒ 𝐹(𝑠) = 𝐺(𝑠)

Sin embargo, una función no puede tener dos antitransformadas causales continuas distintas, o sea que existe la transformación inversa cuando sólo consideramos el espacio de las funciones causales continuas.

13.3.1 Definición La antitransformada de Laplace de una función F es una función causal f cuya transformada de Laplace es F

Figura 13-4 Transformada y antitransformada Con frecuencia veremos expresiones del tipo ℒ −1 {𝐹(𝑠)} = 𝑓(𝑡) donde f(t) no es nula para t 𝑎 ⇒ ℒ −1 { } = 𝑒 𝑎𝑡 ∀𝑡 ≥ 0 𝑠−𝑎 𝑠−𝑎

Pero muchas veces simplemente se pone

ℒ{𝑒 𝑎𝑡 } =

1 1 ⇒ ℒ −1 { } = 𝑒 𝑎𝑡 𝑠−𝑎 𝑠−𝑎

Transformada de Laplace

13-9

13.3.2 Evaluación de la antitransformada Si bien existe una fórmula para calcular la antitransformada de una función, su evaluación implica el cálculo de integrales complicadas, por lo que usualmente lo que se hace es usar las propiedades para relacionar la antitransformada buscada con antitransformdas conocidas.

13.4 Resolución de ecuaciones diferenciales El método de resolución de ecuaciones diferenciales o sistemas de ecuaciones diferenciales que veremos a continuación es ideal para resolver directamente problemas con valor inicial en t=0 (4), pero es menos directo para problemas de valores de frontera. Sin embargo, se puede utilizar indirectamente si se asigna parámetros a una o más de las condiciones iniciales y después se determina sus valores usando las condiciones de frontera dadas.

13.4.1 Ecuaciones diferenciales lineales a coeficientes constantes Este tipo de ecuación diferencial se transforma en una ecuación algebraica de la que se despeja la transformada de la función incógnita. Para resolver una EDO igualamos las transformadas de ambos lados de la ecuación. Consideremos el siguiente problema de valor inicial:

𝑦" + 𝑦 = 𝑡 { 𝑦(0) = 1 𝑦′(0) = −2 Para resolverlo buscamos las transformadas (5)

ℒ{𝑦} = 𝑌(𝑠) ℒ{𝑦"} = 𝑠 2 𝑌(𝑠) − 𝑠𝑦(0) − 𝑦 ′ (0) = 𝑠 2 𝑌(𝑠) − 𝑠 + 2 1 ℒ{𝑡} = 2 𝑠

Por tanto, la EDO se transforma en la ecuación algebraica

𝑌(𝑠) + 𝑠 2 𝑌(𝑠) − 𝑠 + 2 = Despejando

𝑌(𝑠)(1 + 𝑠 2 ) =

1 𝑠2

1 1⁄𝑠 2 + 𝑠 − 2 + 𝑠 − 2 ⇒ 𝑌(𝑠) = 𝑠2 1 + 𝑠2

De donde

𝑌(𝑠) =

1 𝑠 2 (1 +

𝑠2)

+

𝑠 2 − 2 1+𝑠 1 + 𝑠2

El primer término lo podemos descomponer en fracciones simples como

1 𝑠2 (1+𝑠2 )

1

1

= 𝑠2 − 𝑠2 +1

Por tanto

𝑌(𝑠) =

1 𝑠 1 + 2 −3 2 2 𝑠 𝑠 +1 𝑠 +1

Todos estos términos están en la tabla de transformadas

ℒ{𝑡} = Entonces

1 𝑠2

ℒ{𝑠𝑖𝑛(𝑡)} =

1 𝑠2 + 1

ℒ{𝑐𝑜𝑠(𝑡)} =

𝑠 𝑠2 + 1

𝑌(𝑠) = ℒ{𝑡} + ℒ{𝑐𝑜𝑠(𝑡)} − 3ℒ{𝑠𝑖𝑛(𝑡)} = ℒ{𝑡 + 𝑐𝑜𝑠(𝑡) − 3𝑠𝑖𝑛(𝑡)} Por tanto

𝑦(𝑡) = 𝑡 + 𝑐𝑜𝑠(𝑡) − 3𝑠𝑖𝑛(𝑡)

Estrictamente esta igualdad vale para t0 pero es fácil verificar que esta función es solución del problema para todo t. Nótese que la solución verifica los valores iniciales del problema, que fueron incorporados en la transformada de la derivada segunda.

Si las condiciones iniciales fueran en otro valor de t, se puede hacer un cambio de variable para que los valores iniciales correspondan al cero en la nueva variable 5 Nótese cómo las condiciones iniciales en t=0 se incorporan a la transformada de la derivada. 4

Transformada de Laplace

13-10

13.4.2 Sistemas de ecuaciones lineales a coeficientes constantes Este tipo de sistema de ecuaciones diferenciales se transforma en un sistema de ecuaciones algebraicas del que se despejan las transformadas de las funciones incógnitas. Se procede en forma similar, pero habrá varias funciones incógnitas. Consideremos el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales:

𝑥 ′ = 2𝑥 − 3𝑦 { 𝑦 ′ = −2𝑥 + 𝑦 𝑥(0) = 8 𝑦(0) = 3 Las transformadas de las funciones incógnitas serían ℒ{𝑥} = 𝑋(𝑠) y ℒ{𝑦} = 𝑌(𝑠) Por la propiedad de derivada de la función

ℒ{𝑥′} = 𝑠𝑋(𝑠) − 𝑥(0) = 𝑠𝑥(𝑠) − 8 ℒ{𝑦′} = 𝑠𝑌(𝑠) − 𝑦(0) = 𝑠𝑦(𝑠) − 3 El sistema transformado queda (𝑠 − 2)𝑋(𝑠) + 3𝑌(𝑠) = 8 𝑠𝑋(𝑠) − 8 = 2𝑋(𝑠) − 3𝑌(𝑠) ⇒ { 𝑠𝑌(𝑠) − 3 = −2𝑋(𝑠) + 𝑌(𝑠) 2𝑋(𝑠) + (𝑠 − 1)𝑌(𝑠) = 3

{

Resolviendo este sistema de ecuaciones

𝑋(𝑠) =

8𝑠 − 17 (𝑠 − 4)(𝑠 + 1)

𝑌(𝑠) =

3𝑠 − 22 (𝑠 − 4)(𝑠 + 1)

Debemos descomponer ambas expresiones en fracciones simples

3 5 −2 5 + 𝑌(𝑠) = + 𝑠−4 𝑠+1 𝑠−4 𝑠+1 1 Todos estos términos son de la forma ℒ{𝑒 𝑎𝑡 } = 𝑠−𝑎 Entonces 𝑥(𝑡) = 3𝑒 4𝑡 + 5𝑒 −𝑡 𝑦(𝑡) = −2𝑒 4𝑡 + 5𝑒 −𝑡 Nuevamente, aunque esta solución vale para t0 es fácil verificar que es solución del problema 𝑋(𝑠) =

para todo t y que verifica los valores iniciales del problema, que fueron incorporados en las transformadas de las derivadas.

13.4.3 Ecuaciones diferenciales lineales a coeficientes variables En estos casos, al haber coeficientes variables, la ecuación diferencial suele transformarse en otra ecuación diferencial, pues habrá derivadas de la transformada involucradas. Consideremos el problema

𝑡𝑦" + (1 − 2𝑡)𝑦′ − 2𝑦 = 0 𝑦(0) = 1 { 𝑦′(0) = 2 Por propiedad de derivada de la función

ℒ{𝑦"} = 𝑠 2 𝑌(𝑠) − 𝑠𝑦(0) − 𝑦 ′ (0) = 𝑠 2 𝑌(𝑠) − 𝑠 − 2 ℒ{𝑦′} = s𝑌(𝑠) − 𝑦(0) = s𝑌(𝑠) − 1 Y por propiedad de derivada de la transformada

ℒ{𝑡𝑦′} = −(ℒ{𝑦 ′ })′ = −(s𝑌(𝑠) − 1)′ = −s𝑌′(𝑠) − 𝑌(𝑠) ℒ{𝑡𝑦"} = −(ℒ{𝑦"})′ = −(𝑠 2 𝑌(𝑠) − 𝑠 − 2)′ = −𝑠 2 𝑌 ′ (𝑠) − 2𝑠𝑌(𝑠) + 1 Entonces

ℒ{(1 − 2𝑡)𝑦 ′ } = ℒ{𝑦 ′ } − 2ℒ{𝑡𝑦 ′ } = s𝑌(𝑠) − 1 + 2(s𝑌 ′ (𝑠) + 𝑌(𝑠)) = = 2𝑠𝑌´(𝑠) + (s + 2)𝑌(𝑠) − 1 La ecuación transformada queda

−𝑠 2 𝑌 ′ (𝑠) − 2𝑠𝑌(𝑠) + 1 + 2𝑠𝑌 ′ (𝑠) + (s + 2)𝑌(𝑠) − 1 − 2𝑌(𝑠) = 0 (−𝑠 2 + 2𝑠)𝑌 ′ (𝑠) − 𝑠𝑌(𝑠) = 0 ⇒ (−s + 2)𝑌 ′ (𝑠) − 𝑌(𝑠) = 0 ⇒ 𝑌 ′ (𝑠) = Que es una ecuación diferencial a variables separables cuya solución es de la forma

𝑌(𝑠) = Y como

𝑘 ⇒ 𝑦(𝑡) = k𝑒 2𝑡 𝑠−2

𝑦(0) = 1 ⇒ 𝑘 = 1 ⇒ 𝑦(𝑡) = 𝑒 2𝑡

𝑌(𝑠) 2−𝑠

Transformada de Laplace

13-11

13.4.4 Aplicaciones Los sistemas mecánicos de traslación se usan para modelar situaciones que involucran tres elementos básicos, masas (con masa M, medida en Kg), resortes (con rigidez del resorte K, medida en Nm-1) y amortiguadores (con coeficiente de amortiguamiento B, medido en Nsm-1). Las variables asociadas son el desplazamiento x(t) (medido en m) y la fuerza F(t) (medida en N). Los elementos básicos se representan como en la figura

Figura 13-5 Elementos de sistema de traslación Suponiendo que los resortes y amortiguadores son ideales (se comportan linealmente), las relaciones entre las fuerzas y los desplazamientos son Masa: 𝐹 = 𝑀𝑥" (Ley de Newton) Resorte: 𝐹 = 𝐾(𝑥2 − 𝑥1 ) (Ley de Hooke) Amortiguador: 𝐹 = 𝐶(𝑥′2 − 𝑥′1 ) Usando estas relaciones llegamos a las ecuaciones del sistema, que se pueden resolver mediante las técnicas de transformada de Laplace.

13.4.4.1 Sistema oscilatorio de una masa La masa del sistema de la Figura 13-6 (a) está sometida a una fuerza periódica externa F(t)=4sen(t) aplicada a partir del tiempo t=0,

Figura 13-6 Ejemplo de sistema de traslación Determine el desplazamiento resultante x(t) de la masa en el tiempo t, suponiendo que x(0)=x’(0)=0, para los casos  = 2 y  = 5. En el caso  = 5, ¿qué pasaría con la respuesta si no estuviera el amortiguador? Solución Como se ve en la Figura 13-6 (b), las fuerzas que actúan sobre la masa son la fuerza aplicada F(t) y las fuerzas de restauración F1 y F2 debidas al resorte y al amortiguador respectivamente. Haciendo un balance de fuerzas y aplicado la ley de Newton, se llega a

Transformada de Laplace

13-12

𝑥"(𝑡) + 6𝑥′(𝑡) + 25𝑥(𝑡) = 4𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡) Aplicando la transformada de Laplace se obtiene

(𝑠 2 + 6𝑠 + 25)𝑋(𝑠) = 𝑠𝑥(0) + 𝑥 ′ (0) + 6𝑥(0) + donde X(s) es la transformada de x(t). Incorporando las condiciones iniciales llegamos a

𝑋(𝑠) =

𝑠2

4𝜔 + 𝜔2

4𝜔 (𝑠 2 + 𝜔 2 )(𝑠 2 + 6𝑠 + 25)

En el caso  = 2 descomponiendo en fracciones simples

𝑋(𝑠) =

8 (𝑠 2

4 −4𝑠 + 14 2 8𝑠 + 20 + = 2 2 2 + 6𝑠 + 25) 195 𝑠 + 2 195 𝑠 + 6𝑠 + 25 4 2 𝑠 2 𝑠+3 4 = (7 2 −4 2 )+ (8 − ) 2 2 2 2 (𝑠 + 3)2 + 42 195 𝑠 + 2 𝑠 +2 195 (𝑠 + 3) + 4 =

+ 22 )(𝑠 2

Y antitransformando se obtiene

𝑥(𝑡) =

4 2 −3𝑡 𝑒 (8𝑐𝑜𝑠(4𝑡) − 𝑠𝑖𝑛(4𝑡)) (7𝑠𝑖𝑛(2𝑡) − 4𝑐𝑜𝑠(2𝑡)) + 195 195

En el caso  = 5 queda

𝑋(𝑠) =

(𝑠 2

+

20 −2 𝑠 1 𝑠+3 3 4 = + (2 + ) 2 2 2 2 + 6𝑠 + 25) 15 𝑠 + 5 15 (𝑠 + 3) + 4 2 (𝑠 + 3)2 + 42

22 )(𝑠 2

Y antitransformando se obtiene

𝑥(𝑡) =

−2 1 3 𝑐𝑜𝑠(5𝑡) + 𝑒 −3𝑡 (2𝑐𝑜𝑠(4𝑡) + 𝑠𝑖𝑛(4𝑡)) 15 15 2

Si no hubiera amortiguación habría dado

𝑥(𝑠) =

20 10 50 10 𝑠 2 + 52 + 52 − 𝑠 2 = = (𝑠 2 + 52 )2 25 (𝑠 2 + 52 )2 25 (𝑠 2 + 52 )2 2 2 2 10 𝑠 + 5 10 𝑠 − 52 2 5 2 𝑠 2 − 52 = − = − 25 (𝑠 2 + 52 )2 25 (𝑠 2 + 52 )2 25 𝑠 2 + 52 5 (𝑠 2 + 52 )2

Antitransformando

𝑋(𝑡) =

2 2 𝑠𝑖𝑛(5𝑡) − 𝑡 ∙ 𝑐𝑜𝑠(5𝑡) 25 5

Que es no acotada debido a que el sistema está en resonancia y no es amortiguado.

13.4.4.2 Sistema oscilatorio de dos masas Considere el sistema mecánico de la Figura 13-7 (a), que consiste en dos masas M1=1 y M2=2 cada una conectada a una base fija por un resorte, con constantes K1=1 y K3=2 respectivamente, y conectadas entre sí por un tercer resorte con constante K2=2 El sistema es soltado desde el reposo en el tiempo t=0 en una posición en la cual M1 está desplazada una unidad a la izquierda de su posición de equilibrio y M2 está desplazada 2 unidades a la derecha de su posición de equilibrio. Despreciando todos los efectos de fricción, determine las posiciones de las masas en función del tiempo.

Figura 13-7 Sistema oscilatorio de dos masas Sean x1(t) y x2(t) los desplazamientos de las masas M1 y M2 respectivamente desde sus posiciones de equilibrio. Como todos los efectos de fricción son despreciados, las únicas fuerzas que actúan sobre las masas son las fuerzas de restauración debidas a los resortes,

Transformada de Laplace

13-13

como se muestra en la Figura 13-7 (b). Aplicando la ley de Newton se obtiene el sistema de ecuaciones diferenciales que representa el movimiento del sistema

𝑥1 "(𝑡) + 3𝑥1 (𝑡) − 2𝑥2 (𝑡) = 0 2𝑥2 "(𝑡) + 4𝑥2 (𝑡) − 2𝑥1 (𝑡) = 0 Aplicando la transformada de Laplace se obtiene

(𝑠 2 + 3)𝑋1 (𝑠) − 2𝑋2 (𝑠) = 𝑠𝑥1 (0) + 𝑥1 ′ (0) 𝑋1 (𝑠) + (𝑠 2 + 2)𝑋2 (𝑠) = 𝑠𝑥2 (0) + 𝑥2 ′ (0) Dadas las condiciones iniciales x1(0)=-1, x2(0)=2, x1’(0)= x2’(0)=0

(𝑠 2 + 3)𝑋1 (𝑠) − 2𝑋2 (𝑠) = −𝑠 𝑋1 (𝑠) + (𝑠 2 + 2)𝑋2 (𝑠) = 2𝑠 O sea 2 [𝑠 + 3 −1

−2 ] [𝑋1 (𝑠)] = [−𝑠] 2𝑠 𝑠 + 2 𝑋2 (𝑠) 2

Cuya solución es

𝑋1 (𝑠) =

−𝑠 3 + 2𝑠 (𝑠 2 + 4)(𝑠 2 + 1)

𝑋2 (𝑠) =

2𝑠 3 + 5𝑠 (𝑠 2 + 4)(𝑠 2 + 1)

Descomponiendo en fracciones simples

𝑋1 (𝑠) = Antitransformando

𝑠2

𝑠 𝑠 −2 2 +1 𝑠 +4

𝑋2 (𝑠) =

𝑠2

𝑠 𝑠 + 2 +1 𝑠 +4

𝑥1 (𝑡) = 𝑐𝑜𝑠(𝑡) − 2𝑐𝑜𝑠(2𝑡) 𝑥2 (𝑡) = 𝑐𝑜𝑠(𝑡) + 𝑐𝑜𝑠(2𝑡)

13.5 Funciónes escalón e impulso 13.5.1 Escalón unitario de Heaviside En muchas aplicaciones de la ingeniería las funciones de fuerza son diferentes en distintos períodos de tiempo, es decir que están definidas a trozos e inclusive pueden tener discontinuidades de salto entre los trozos. Para manipular estas funciones discontinuas usamos la función de Heaviside (6) H(t), también llamada escalón unitario, definida como

0 𝑠𝑖 𝑡 < 0 𝐻(𝑡) = { 1 𝑠𝑖 𝑡 ≥ 0

Figura 13-8 Función escalón

6

También suele encontrarse como u(t)

Transformada de Laplace

13-14

La función escalón permite describir con una sola fórmula estas funciones definidas a trozos. Por ejemplo, la función

𝑓1 (𝑡) 𝑠𝑖 0 ≤ 𝑡 < 𝑡1 𝑓(𝑡) = { 𝑓2 (𝑡) 𝑠𝑖 𝑡1 ≤ 𝑡 < 𝑡2 𝑓3 (𝑡) 𝑠𝑖 𝑡2 ≤ 𝑡

Figura 13-9 Función definida a trozos Puede formularse como

𝑓(𝑡) = 𝑓1 (𝑡)𝐻(𝑡) + [𝑓2 (𝑡) − 𝑓1 (𝑡)]𝐻(𝑡 − 𝑡1 ) + [𝑓3 (𝑡) − 𝑓2 (𝑡)]𝐻 = = 𝑓1 (𝑡)[𝐻(𝑡) − 𝐻(𝑡 − 𝑡1 )] + 𝑓2 (𝑡)[𝐻(𝑡 − 𝑡1 ) − 𝐻(𝑡 − 𝑡2 )] + 𝑓3 (𝑡)𝐻(𝑡 − 𝑡3 ) 13.5.1.1 Transformada de la función escalón Es fácil demostrar que la transformada de la función de Heaviside es

ℒ{𝐻(𝑡)} = Y por la propiedad de traslación de la función

1 ∀𝑠 > 0 𝑠

𝑒 −𝑎𝑠 ℒ{𝐻(𝑡 − 𝑎)} = ∀𝑠 > 0, 𝑎 ≥ 0 𝑠

13.5.1.2 Traslación de la función La función escalón nos permite expresar la traslación de una función (como se definió en 13.2.8.6) en una sola fórmula 0 𝑠𝑖 𝑡 < 𝑎 𝑓(𝑡 − 𝑎)𝐻(𝑡 − 𝑎) = { 𝑓(𝑡 − 𝑎) 𝑠𝑖 𝑡 ≥ 𝑎 Por lo tanto, la propiedad de traslación de la función puede expresarse como

ℒ{𝑓(𝑡 − 𝑎)𝐻(𝑡 − 𝑎)} = 𝑒 −𝑎𝑠 ℒ{𝑓(𝑡)} 13.5.1.3 Aplicaciones Resolver la ecuación diferencial {

𝑥" + 5𝑥′ + 6𝑥 = 𝑓(𝑡) 𝑥(0) = 0 𝑥′(0) = 2

Siendo f la función pulso 3 𝑠𝑖 0 ≤ 𝑡 < 6 𝑓(𝑡) = { 0 𝑠𝑖 𝑡 ≥ 6 Solución En lugar del enfoque tradicional que sería resolver primero para el intervalo [0,6] y luego de 6 en adelante, lo que haremos es expresar la ecuación como

𝑥" + 5𝑥′ + 6𝑥 = 𝑓(𝑡) = 3[𝐻(𝑡) − 𝐻(𝑡 − 6)] Y transformarla

1 1 (𝑠 2 + 5𝑠 + 6)𝑋(𝑠) = 𝑠𝑥(0) + 𝑥 ′(0) + 5𝑥(0) + ℒ{𝑓(𝑡)} = 2 + 3 ( − 𝑒 −6𝑠 ) 𝑠 𝑠 Entonces

Transformada de Laplace

13-15

2𝑠 + 3 3 − 𝑒 −6𝑠 𝑠(𝑠 + 2)(𝑠 + 3) 𝑠(𝑠 + 2)(𝑠 + 3) Descomponiendo en fracciones simples 1/2 1/2 1 1/2 3/2 1 𝑋(𝑠) = ( + − ) − 𝑒 −6𝑠 ( − + ) 𝑠 𝑠+2 𝑠+3 𝑠 𝑠+2 𝑠+3 Antitransformando 1 1 1 3 𝑥(𝑡) = ( + 𝑒 −2𝑡 − 𝑒 −3𝑡 ) − ( − 𝑒 −2(𝑡−6) + 𝑒 −3(𝑡−6) ) 𝐻(𝑡 − 6) 2 2 2 2 O bien 1 1 −2𝑡 + 𝑒 − 𝑒 −3𝑡 𝑠𝑖 0 ≤ 𝑡 < 6 2 2 𝑥(𝑡) = { 1 3 ( 𝑒 −2𝑡 − 𝑒 −3𝑡 ) + ( 𝑒 −2(𝑡−6) − 𝑒 −3(𝑡−6) ) 𝑠𝑖 6 ≤ 𝑡 2 2 𝑋(𝑠) =

Figura 13-10 Función pulso y solución de la EDO

13.5.2 Función impulso Cuando un martillo golpea un clavo, el martillo está en contacto con el clavo un período muy corto de tiempo, el contacto es casi instantáneo. La fuerza aplicada, durante este corto tiempo, crece rápidamente hasta un valor grande y luego disminuye rápidamente a cero. Tales fuerzas bruscas se llaman fuerzas impulsivas y son importantes en muchas aplicaciones de ingeniería. En la práctica no importa la duración del contacto sino el impulso transmitido, que es la integral la fuerza durante tiempo de aplicación. Matemáticamente estas funciones de fuerza se representan por la función impulso unitario o delta de Dirac. Para formular matemáticamente la función impulso y comprender su interpretación física, consideremos la función de pulso definida por

𝜏 0 𝑠𝑖 0 < 𝑡 < − 2 𝜏 𝜏 ℎ𝜏 (𝑡) = 1/𝜏 𝑠𝑖 − ≤ 𝑡 ≤ 2 2 𝜏 { 0 𝑠𝑖 2 < 𝑡

Figura 13-11 Pulso rectangular unitario

Es evidente que el área bajo el pulso es 1 para cualquier >0 +∞

∫

ℎ𝜏 (𝑡)𝑑𝑡 = 1

−∞

Cuando consideramos el límite de la función pulso cuando su duración tiende a cero obtenemos la función delta de Dirac, que tiene la propiedad

𝛿(𝑡) = 0 ∀𝑡 ≠ 0

Figura 13-12 Impulso instantáneo unitario

Transformada de Laplace

13-16 +∞

∫

𝛿(𝑡)𝑑𝑡 = 1

−∞

Un impulso de magnitud A aplicado en t=a se representa por 𝐴𝛿(𝑡 − 𝑎). La magnitud de la función de pulso está dada por el área bajo el pulso. La forma real del pulso no es importante, mientras el área sea constante cuando su duración tiende a cero. O sea que bien hubiésemos podido usar pulsos como el de esta figura para definir la función impulso.

Figura 13-13 Pulso triangular unitario

13.5.2.1 Propiedad de filtrado Una propiedad importante de la función impulso unitario es la propiedad de filtrado, que dice que si f es continua en t=a entonces +∞

∫

𝑓(𝑡)𝛿(𝑡 − 𝑎)𝑑𝑡 = 𝑓(𝑎)

−∞

13.5.2.2 Transformada de la función impulso Usando la definición y las propiedades de la función impulso: +∞

ℒ{𝛿(𝑡)} = ∫

𝛿(𝑡)𝑒 −𝑠𝑡 𝑑𝑡 = 𝑒 −𝑠0 = 1

0

Ejemplo

ℒ −1 {

Encontrar

𝑠2

}

𝑠2 +4

ℒ −1 {

𝑠2 𝑠2 + 4 − 4 4 −1 = ℒ } { } = ℒ −1 {1 − 2 } = 𝛿(𝑡) − 2𝑠𝑖𝑛(2𝑡) 2 2 𝑠 +4 𝑠 +4 𝑠 +4

13.5.2.3 Relación entre las funciones escalón e impulso De las definiciones de ambas funciones puede deducirse que 𝑡

𝐻(𝑡) = ∫ 𝛿(𝑡)𝑑𝑡 𝑦 𝛿(𝑡) = −∞

𝑑𝐻(𝑡) = 𝐻′(𝑡) 𝑑𝑡

13.5.2.4 Aplicaciones Consideremos una viga uniforme de longitud l y sea y(x) el desplazamiento vertical.

Figura 13-14 Viga cargada

Transformada de Laplace

13-17

Si la viga es sometida a una carga distribuida w(x) (7) entonces

𝑑4 𝑦

𝐸𝐼 𝑑𝑥 4 = 𝑤(𝑥)

Siendo E el módulo de Young del material e I el momento de inercia de la viga. Transformando esta EDO obtenemos

𝐸𝐼[𝑠 4 𝑌(𝑠) − 𝑠 3 𝑦(0)-s 2 y'(0) − 𝑠𝑦"(0) − 𝑦"′(0)] = 𝑊(𝑠) Despejando

𝑌(𝑠) =

𝑊(𝑠) 𝑦(0) y'(0) 𝑦"(0) 𝑦"′(0) + + 2 + 3 + 𝐸𝐼𝑠 4 𝑠 s 𝑠 𝑠4

Se necesitan cuatro condiciones iniciales para determinar la solución, que idealmente serían 𝐸𝐼𝑦"′(0) el esfuerzo cortante en x=0 𝐸𝐼𝑦"(0) el momento de torsión cortante en x=0 𝑦′(0) la pendiente de la viga en x=0 𝑦(0) el desplazamiento de la viga en x=0 Pero usualmente no se dispone de todas pues, dependiendo del tipo de soporte que se tenga en cada extremo, algunas condiciones están especificadas en el otro extremo de la viga. Supongamos que se desea conocer el desplazamiento de la viga soportada libremente en ambos extremos, sometida a su propio peso W N distribuido uniformemente y una carga concentrada P N en x=l/3.

Figura 13-15 Diagrama de fuerzas R1 y R2 se pueden determinar por las condiciones de equilibrio de la viga, resultando

𝑅1 =

𝑊 2𝑃 𝑊 𝑃 + 𝑦 𝑅2 = + 2 3 2 3

Por tanto, la distribución de carga será

𝑤(𝑥) = −

𝑊 𝑙 𝑊 2𝑃 𝑊 𝑃 [𝐻(𝑥) − 𝐻(𝑥 − 𝑙)] − 𝑃𝛿 (𝑥 − ) + ( + ) 𝛿(𝑥) + ( + ) 𝛿(𝑥 − 𝑙) 𝑙 3 2 3 2 3

Transformando

𝑊(𝑠) = −

𝑙𝑠 𝑊 𝑊 −𝑙𝑠 𝑊 2𝑃 𝑊 𝑃 + 𝑒 − 𝑃𝑒 − 3 + ( + ) + ( + ) 𝑒 −𝑙𝑠 𝑙𝑠 𝑙𝑠 2 3 2 3

De donde

𝑌(𝑠) =

7

−

𝑙𝑠 𝑊 𝑊 −𝑙𝑠 𝑊 2𝑃 𝑊 𝑃 + 𝑒 − 𝑃𝑒 − 3 + ( 2 + 3 ) + ( 2 + 3 ) 𝑒 −𝑙𝑠 𝑙𝑠 𝑙𝑠 + 𝐸𝐼𝑠 4 𝑦(0) y'(0) 𝑦"(0) 𝑦"′(0) + + 2 + 3 + = 𝑠 s 𝑠 𝑠4

w(x) es la densidad de carga, es decir la carga por unidad de longitud en el punto x.

Transformada de Laplace

13-18

𝑙𝑠 𝑊 2𝑃 𝑊 𝑃 −𝑙𝑠 1 𝑊 𝑊 −𝑙𝑠 𝑃𝑒 − 3 ( 2 + 3 ) ( 2 + 3 ) 𝑒 = [− 5 + 5 𝑒 − 4 + + ]+ 𝐸𝐼 𝑙𝑠 𝑙𝑠 𝑠 𝑠4 𝑠4

+

𝑦(0) y'(0) 𝑦"(0) 𝑦"′(0) + 2 + 3 + 𝑠 s 𝑠 𝑠4

Como la viga está soportada libremente

𝑦(0) = 𝑦(𝑙) = 0 𝑦 𝑦"(0) = 𝑦"(𝑙) = 0 Entonces 𝑙𝑠 𝑊 2𝑃 𝑊 𝑃 −𝑙𝑠 1 𝑊 𝑊 −𝑙𝑠 𝑃𝑒 − 3 ( 2 + 3 ) ( 2 + 3 ) 𝑒 y'(0) 𝑦"′(0) 𝑌(𝑠) = [− 5 + 5 𝑒 − 4 + + ]+ 2 + 4 4 𝐸𝐼 𝑙𝑠 𝑙𝑠 𝑠 𝑠 𝑠 s 𝑠4

Y antitransformando

1 1 𝑊 4 1 𝑊 1 𝑙 3 𝑙 1 𝑊 2𝑃 4 (𝑥 − 𝑙) 𝐻(𝑥 − 𝑙) − 𝑃 (𝑥 − ) 𝐻 (𝑥 − ) + ( + ) 𝑥 3 𝑦(𝑥) = [− 𝑥 + 𝐸𝐼 24 𝑙 24 𝑙 6 3 3 6 2 3 1 𝑊 𝑃 1 + ( + ) (𝑥 − 𝑙)3 𝐻(𝑥 − 𝑙)] + y'(0)𝑥 + 𝑦"′(0)𝑥 3 6 2 3 6 Derivando dos veces

𝑦"(𝑥) =

1 1𝑊 2 1𝑊 𝑙 𝑙 𝑊 2𝑃 (𝑥 − 𝑙)2 𝐻(𝑥 − 𝑙) − 𝑃 (𝑥 − ) 𝐻 (𝑥 − ) + ( + ) 𝑥 𝑥 + [− 𝐸𝐼 2 𝑙 2 𝑙 3 3 2 3 𝑊 𝑃 + ( + ) (𝑥 − 𝑙)𝐻(𝑥 − 𝑙)] + 𝑦"′(0)𝑥 2 3

Para determinar la solución usamos las condiciones en el extremo derecho

1 1 𝑊 4 1 2𝑙 3 1 𝑊 2𝑃 3 1 0 = 𝑦(𝑙) = [− 𝑙 − 𝑃 ( ) + ( + ) 𝑙 ] + y'(0)𝑙 + 𝑦"′(0)𝑙 3 𝐸𝐼 24 𝑙 6 3 6 2 3 6 1 1𝑊 2 2𝑙 𝑊 2𝑃 0 = 𝑦"(𝑙) = [− 𝑙 − 𝑃 ( ) + ( + ) 𝑙] + 𝑦"′(0)𝑙 𝐸𝐼 2 𝑙 3 2 3 Despejando

Por tanto

1 1 1 4 1 1 y'(0)𝑙 + 𝑦"′(0)𝑙 3 = ( 𝑊𝑙 3 + 𝑃𝑙 3 − 𝑊𝑙 3 − 𝑃𝑙 3 ) 6 𝐸𝐼 24 81 12 9 1 1 2 W 2P y"'(0)𝑙= [ W𝑙+ P𝑙- ( + ) 𝑙] =0 ⇒ y"'(0) = 0 EI 2 3 2 3 y'(0) = −

𝑙2 1 5 ( 𝑊 + 𝑃) 𝐸𝐼 24 81

entonces

1 1 𝑊 4 1 𝑊 1 𝑙 3 𝑙 1 𝑊 2𝑃 4 (𝑥 − 𝑙) 𝐻(𝑥 − 𝑙) − 𝑃 (𝑥 − ) 𝐻 (𝑥 − ) + ( + ) 𝑥 3 𝑦(𝑥) = [− 𝑥 + 𝐸𝐼 24 𝑙 24 𝑙 6 3 3 6 2 3 2 1 𝑊 𝑃 𝑙 𝑥 1 5 + ( + ) (𝑥 − 𝑙)3 𝐻(𝑥 − 𝑙)] − ( 𝑊 + 𝑃) 6 2 3 𝐸𝐼 24 81 Simplificando

1 𝑥 4 𝑥 3 𝑙2 𝑥 5 2 𝑥3 1 𝑙 3 𝑙 𝑦(𝑥) = [−𝑊 ( − + ) − 𝑃 ( 𝑙 𝑥 − ) − 𝑃 (𝑥 − ) 𝐻 (𝑥 − ) 𝐸𝐼 24𝑙 12 24 81 9 6 3 3 1 𝑊 𝑃 1 𝑊 (𝑥 − 𝑙)4 ) 𝐻(𝑥 − 𝑙)] + ( ( + ) (𝑥 − 𝑙)3 + 6 2 3 24 𝑙 O bien

Transformada de Laplace

13-19

1 𝑥 4 𝑥 3 𝑙2 𝑥 5 𝑥3 𝑙 [−𝑊 ( − + 𝑠𝑖 0 ≤ 𝑡 < ) − 𝑃 ( 𝑙 2 𝑥 − )] 𝐸𝐼 24𝑙 12 24 81 9 3 𝑦(𝑥) = 4 3 2 3 2 3 1 𝑥 𝑥 𝑙 𝑥 19 2 𝑥 𝑙𝑥 𝑙 𝑙 [−𝑊 ( − + 𝑙 𝑥+ − − )−𝑃( )] 𝑠𝑖 ≤ 𝑡 24𝑙 12 24 162 18 6 162 3 {𝐸𝐼

13.6 Funciones de transferencia La función de transferencia de un sistema lineal invariante en el tiempo se define como la razón de la transformada de Laplace de la salida del sistema (respuesta) sobre la transformada de Laplace de la entrada del sistema (excitación o función de fuerza), cuando las condiciones iniciales son nulas (sistema inicialmente en reposo). Las funciones de transferencia se usan para estudiar la relación entrada-salida de sistemas lineales invariantes en el tiempo y son importantes en el análisis y diseño de estos sistemas. Consideremos un sistema lineal invariante en el tiempo caracterizado por la ecuación diferencial

𝑎𝑛

𝑑𝑛 𝑥 𝑑𝑛−1 𝑥 𝑑𝑛 𝑢 + 𝑎 + ⋯ + 𝑎 𝑥 = 𝑏 + ⋯ + 𝑏0 𝑢 𝑛−1 0 𝑚 𝑑𝑡 𝑛 𝑑𝑡 𝑛−1 𝑑𝑡 𝑚

donde n ≥ m, las ak y las bk son coeficientes constantes, y x(t) es la respuesta del sistema o salida correspondiente a la entrada o función de fuerza u(t) aplicado a partir del tiempo t = 0. Transformando esta ecuación:

(𝑎𝑛 𝑠 𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑠 𝑛−1 + ⋯ + 𝑎0 )𝑋(𝑠) = (𝑏𝑚 𝑠 𝑚 + ⋯ + 𝑏0 )𝑈(𝑠) Ya que todas las condiciones iniciales son nulas. La función de transferencia del sistema se define como Ec. 13-1

𝑮(𝒔) ≡

𝑿(𝒔) 𝑼(𝒔)

=

𝒃𝒎 𝒔𝒎 +⋯+𝒃𝟎 𝒂𝒏 𝒔𝒏 +𝒂𝒏−𝟏 𝒔𝒏−𝟏 +⋯+𝒂𝟎

Como vemos, para sistemas lineales invariantes con el tiempo la función de transferencia no depende de la entada ni de la salida (ya que la salida es proporcional a la entrada), es una característica del sistema.

13.6.1 Álgebra de diagramas de bloques Frecuentemente los sistemas complejos pueden considerarse como compuestos por componentes sencillos (de función de transferencia conocida), conectados en serie o en paralelo. La función de transferencia del sistema completo se obtiene por las reglas del álgebra del diagrama de bloque, ya que cuando están en serie la salida de un componente es la entrada del siguiente y cuando están en paralelo ambas entradas son iguales y las salidas se suman.

Transformada de Laplace

13-20

Figura 13-16 Reglas de álgebra de diagramas de bloque

13.6.2 Ceros y polos de la función de transferencia Si en Ec. 13-1 anotamos

𝑃(𝑠) = 𝑏𝑚 𝑠 𝑚 + ⋯ + 𝑏0 𝑄(𝑠) = 𝑎𝑛 𝑠 𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑠 𝑛−1 + ⋯ + 𝑎0 Entonces

𝐺(𝑠) =

𝑃(𝑠) 𝑄(𝑠)

donde, para que el sistema sea físicamente realizable, los grados m y n de los polinomios P(s) y Q(s) deben ser tales que n≥m, pues de lo contrario la salida del sistema ante una entrada acotada podría incluir funciones impulso, cosa que no sucede normalmente. La ecuación Q(s)=0 es llamada la ecuación característica del sistema, y su orden determina el orden del sistema y sus raíces se conocen como polos de la función de transferencia. De la misma manera, las raíces de P(s)=0 son los ceros de la función de transferencia. A pesar de que una función de transferencia caracteriza la dinámica del sistema, no proporciona información acerca de la estructura física del sistema, y de hecho sistemas que son físicamente distintos puede tener la misma función de transferencia; por ejemplo, un sistema masa-resorte-amortiguador y un circuito RLC tienen ambos la función de transferencia de la forma

𝐺(𝑠) =

𝛼𝑠 2

1 + 𝛽𝑠 + 𝛾

Para sistemas lineales invariantes en el tiempo G(s) puede escribirse como

𝐺(𝑠) =

𝑃(𝑠) 𝑏𝑚 (𝑠 − 𝑧1 )(𝑠 − 𝑧2 ) ⋯ (𝑠 − 𝑧𝑚 ) = 𝑄(𝑠) 𝑎𝑛 (𝑠 − 𝑝1 )(𝑠 − 𝑝2 ) ⋯ (𝑠 − 𝑝𝑚 )

Siendo zi y pi los ceros y los polos de la función de transferencia respectivamente. Si se conocen los polos y los ceros entonces G(s) es conocida, excepto por un factor constante. Por eso con frecuencia se usa un dibujo de los polos y los ceros de G(s) como ayuda en análisis gráfico de la función de transferencia (una convención común es marcar la posición de un cero mediante un círculo y la de un polo mediante una cruz). Como los coeficientes de los polinomios P(s) y Q(s) son reales, todas las raíces complejas son pares complejos conjugados y el diagrama polo-cero es simétrico con respecto del eje real. Ejemplo La respuesta x(t) de un sistema a una función de fuerza u(t) está dada por la ecuación diferencial

𝑑2 𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑢 9 2 + 12 + 13𝑥 = 2 + 3𝑢 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡

a) Determine la función de transferencia que caracteriza al sistema. b) Proporcione la ecuación característica del sistema. ¿Cuál es el orden del sistema? c) Determine los polos y los ceros de la función de transferencia y haga un diagrama polo-cero en el plano s.

Transformada de Laplace

13-21

Solución a) Supongamos que todas las condiciones iniciales son cero, aplicando la transformada de Laplace a toda la ecuación diferencial obtenemos

(9𝑠 2 + 12𝑠 + 13)𝑋(𝑠) = (2𝑠 + 3)𝑈(𝑠) La función de transferencia del sistema es entonces

𝑋(𝑠) 2𝑠 + 3 = 2 𝑈(𝑠) 9𝑠 + 12𝑠 + 13 b) La ecuación característica es 9𝑠 2 + 12𝑠 + 13 = 0 y el sistema es de orden 2. 𝐺(𝑠) ≡

c) Los polos de la función de transferencia son las raíces de la ecuación característica, 2

2

𝑠 = − 3 + 𝑖 𝑦 = − 3 − 𝑖 y el cero de la función de transferencia es la raíz del polinomio del numerador, 𝑠 = −

2 3

Colocando los polos y ceros en el plano s obtenemos el diagrama

Figura 13-17 Diagrama Polo-Cero

13.6.3 Estabilidad La estabilidad de un sistema es una propiedad muy importante. Un sistema estable es uno que permanece en reposo a menos que sea excitado por una fuerza externa y vuelve al estado de reposo si se quita la fuerza externa. Así un sistema estable es uno cuya respuesta cuando se anula la entrada tiende a cero cuando el tiempo tiende a infinito. Esto garantiza que cualquier entrada acotada producirá una salida acotada; esta propiedad se toma con frecuencia como la definición de un sistema lineal estable. Es claro que la estabilidad es una propiedad del propio sistema y no depende de la entrada del sistema ni de la función de fuerza. Corno un sistema puede ser caracterizado en el dominio s por su función de transferencia G(s), será posible usar la función de transferencia para especificar condiciones para que el sistema sea estable. La respuesta en el tiempo, x(t), de un sistema ante una entrada u(t) está dada por

𝑋(𝑠) = 𝐺(𝑠)𝑈(𝑠) 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝐺(𝑠) =

𝑃(𝑠) 𝑄(𝑠)

Donde ya hemos visto que el grado de P debe ser menor que el de Q. La descomposición en fracciones simples de G(s) depende de cómo son las raíces de Q(s), es decir los polos, que pueden ser de varios tipos.

13.6.3.1 Polo real simple Un polo simple en s=-α en la expansión fracciones simples de G(s) aparece como un término de la forma c/(s+α) cuya respuesta correspondiente en el dominio de t es ce- αtH(t).  Si α>0 el polo está en el lado izquierdo del plano s y la respuesta en el tiempo tenderá a cero cuando t→+∞. 

Si α0, lo que indica que un sistema estable debe tener todos los polos reales múltiples en la mitad izquierda del plano s. 13.6.3.3 Polos complejo conjugados Corresponde a un par de polos complejos conjugados en s=-α+iβ, s=-α-iβ, y en la expansión fracciones simples de G(s) aparece como un término de la forma

𝑐(𝑠 + 𝛼) + 𝑑𝛽 (𝑠 + 𝛼)2 + 𝛽 2 Cuya respuesta en el dominio de tiempo es

𝑒 −𝛼𝑡 (𝑐 ∙ 𝑐𝑜𝑠(𝛽𝑡) + 𝑑 ∙ 𝑠𝑖𝑛(𝛽𝑡)) = 𝐴 ∙ 𝑠𝑖𝑛(𝛽𝑡 + 𝛾) Nuevamente los polos en la mitad izquierda del plano s (correspondiente a α>0) tienen respuestas de tiempo decaen a cero cuando t→+∞. en la forma de sinusoide amortiguada exponencialmente. Por tanto, un sistema estable debe tener polos complejos conjugados en la mitad izquierda del plano s (deben tener parte real negativa). Si α=0, la respuesta de tiempo será una sinusoide periódica, que no decaerá cuando t→+∞. Esto corresponde a un sistema marginalmente estable y dará lugar, por ejemplo, a una respuesta no acotada cuando t→+∞ cuando la entrada es una sinusoide de la misma frecuencia β (resonancia).

13.6.4 Definición de sistema estable Un sistema lineal físicamente realizable, causal e invariante en el tiempo con función de transferencia G(s) es estable siempre que todos los polos de G(s) estén en la mitad izquierda del plano s. El requisito de que el sistema sea físicamente realizable, es que n>m en la función de transferencia G(s) para evitar términos polinómicos en el cociente P(s)/Q(s) que permitirían respuestas no acotadas con entradas acotadas.

Por ejemplo, si un sistema de este tipo tiene una entrada que es un escalón d aplicado en el tiempo respuesta será una rampa cdtH(t), que es no acotada cuando t→+∞. 8

t=0, entonces la

Transformada de Laplace

Figura 13-18

13-23

Respuestas al impulso según tipos de polos

Transformada de Laplace

13-24

13.7 Teoremas del valor inicial y final Estos teoremas nos permiten conocer el comportamiento del sistema cuando t→0 y t→+∞ sin necesidad de antitransformar a F(s).

13.7.1 Teorema del valor inicial Si f(t) y f’(t) son ambas transformables y existe

lim 𝑓(𝑡) entonces

𝑡→0+

lim 𝑓(𝑡) = lim 𝑠𝐹(𝑠)

𝑡→0+

𝑠→+∞

Demostración Como vimos en la propiedad de derivada de la función ℒ{𝑓′(𝑡)} = 𝑠𝐹(𝑠) − lim+ 𝑓(𝑡) 𝑡→0

Pero si f’(t) es transformable,

lim ℒ{𝑓′(𝑡)} = 0 ⇒ 0 = lim (𝑠𝐹(𝑠) − lim+ 𝑓(𝑡)) = lim 𝑠𝐹(𝑠) − lim+ 𝑓(𝑡) ⇒

𝑠→+∞

𝑠→+∞

𝑠→+∞

𝑡→0

𝑡→0

⇒ lim+ 𝑓(𝑡) = lim 𝑠𝐹(𝑠) 𝑠→+∞

𝑡→0

13.7.2 Teorema del valor final Si f(t) y f’(t) son ambas transformables y existe lim 𝑓(𝑡) (9) entonces 𝑡→+∞

lim 𝑓(𝑡) = lim 𝑠𝐹(𝑠)

𝑡→+∞

𝑠→0

Demostración Como vimos en la propiedad de derivada de la función ℒ{𝑓′(𝑡)} = 𝑠𝐹(𝑠) − lim+ 𝑓(𝑡) 𝑡→0

Entonces +∞

lim+ 𝑠𝐹(𝑠) − lim+ 𝑓(𝑡) = lim+ ℒ{𝑓 ′(𝑡) } = lim+ ∫

𝑠→0

𝑡→0

𝑠→0

𝑠→0

+∞

=∫

𝑓

′ (𝑡)𝑑𝑡

0

=

𝑓(𝑡)|+∞ 0

𝑓 ′ (𝑡)𝑒 −𝑠𝑡 𝑑𝑡 =

0

= lim 𝑓(𝑡) − lim+ 𝑓(𝑡) ⇒ 𝑡→+∞

𝑡→0

lim 𝑓(𝑡) = lim 𝑠𝐹(𝑠)

𝑡→+∞

𝑠→0

13.8 Aplicaciones 13.8.1 Respuesta a perturbaciones Se tiene un intercambiador de calor 1-1, de carcasa y tubos. En condiciones estables, este intercambiador calienta 224 gal/min de agua de 80°F a 185°F por dentro de tubos con vapor saturado a 150 psia en la carcasa.

Flujo de agua entrada

Temp de Vapor entrada

Salida de Agua °T

Salida de condensado

La ecuación diferencial que modela el intercambiador de calor es

9

La existencia de lim 𝑠𝐹(𝑠) no garantiza que lim 𝑓(𝑡) exista, lo cual es necesario para la validez de 𝑠→0

este teorema.

𝑡→+∞

Transformada de Laplace

𝑈𝑑0 𝐴 𝑇𝐶0 (𝑡𝑣 −

13-25

𝑡𝑒 + 𝑡𝑠 1 𝑑𝑡𝑠 ) + 𝑤𝐶𝑝 (𝑡𝑒 − 𝑡𝑠 ) = 𝑚𝐶𝑝 2 2 𝑑𝑡

Donde  Ud0: Coeficiente global de transferencia de calor (267.4897 BTU/h°Fft2) 

ATC0: Área de transferencia de calor (197.92034 ft2)



Cp: Capacidad calorífica (1 BTU/lb°F)



tv: Temperatura del vapor (°F)



te: Temperatura del agua a la entrada (80 °F)



ts: Temperatura del agua a la salida (°F)



w: Flujo de agua (lb/h)



m: Cantidad de agua dentro de tubos (131.932175 lb)

a) Obtenga la función de transferencia del cambio de la temperatura de salida del agua con respecto a un cambio en la temperatura del vapor y un cambio en el flujo de agua, suponiendo que la temperatura de entrada del agua al intercambiador se mantiene constante en 80°F. b) Determine el valor final de la temperatura de salida del agua ante un cambio tipo escalón de +20°F en la temperatura del vapor y un cambio de +10 gal/min en el flujo de agua. c) Grafique la variación de la temperatura de salida del agua con respecto al tiempo. Solución a) Función de transferencia En estado estacionario

𝑈𝑑0 𝐴 𝑇𝐶0 (𝑡̅𝑣 − Donde 

𝑡𝑒 + 𝑡̅𝑠 ̅𝐶𝑝 (𝑡𝑒 − 𝑡̅𝑠 ) = 0 )+𝑤 2

𝑡̅𝑣 : Temperatura del vapor (358 °F)



𝑡̅𝑠 : Temperatura del agua a la salida (185 °F)



𝑤 ̅ : Flujo de agua (112162.3 lb/h)

Restando esta ecuación de la anterior 1 1 𝑑𝑡𝑠 𝑈𝑑0 𝐴 𝑇𝐶0 (𝑡𝑣 − 𝑡̅𝑣 ) − 𝑈𝑑0 𝐴 𝑇𝐶0 (𝑡𝑠 − 𝑡̅𝑠 ) + (𝑤 − 𝑤 ̅)𝐶𝑝 (𝑡𝑒 − 𝑡̅𝑠 ) − 𝑤𝐶𝑝 (𝑡𝑠 − 𝑡̅𝑠 ) = 𝑚𝐶𝑝 2 2 𝑑𝑡

1 𝑈𝑑0 𝐴 𝑇𝐶0 (𝑡𝑣 − 𝑡̅𝑣 ) − 𝑈𝑑0 𝐴 𝑇𝐶0 (𝑡𝑠 − 𝑡̅𝑠 ) + (𝑤 − 𝑤 ̅)𝐶𝑝 (𝑡𝑒 − 𝑡̅𝑠 ) 2 1 𝑑𝑡𝑠 −(𝑤 − 𝑤 ̅)𝐶𝑝 (𝑡𝑠 − 𝑡̅𝑠 ) − 𝑤 ̅𝐶𝑝 (𝑡𝑠 − 𝑡̅𝑠 ) = 𝑚𝐶𝑝 2 𝑑𝑡 Utilizando variables de desviación

1 1 𝑑𝑇𝑠 𝑈𝑑0 𝐴 𝑇𝐶0 𝑇𝑣 − 𝑈𝑑0 𝐴 𝑇𝐶0 𝑇𝑠 + 𝑊𝐶𝑝 (𝑡𝑒 − 𝑡̅𝑠 ) − 𝑤 ̅𝐶𝑝 𝑇𝑠 = 𝑚𝐶𝑝 2 2 𝑑𝑡

Aplicando la transformada con Laplace

1 1 𝑈𝑑0 𝐴 𝑇𝐶0 𝑇𝑣 (𝑠) − 𝑈𝑑0 𝐴 𝑇𝐶0 𝑇𝑠 (𝑠) + 𝑊(𝑠)𝐶𝑝 (𝑡𝑒 − 𝑡̅𝑠 ) − 𝑤 ̅𝐶𝑝 𝑇𝑠 (𝑠) = 𝑚𝐶𝑝 𝑠𝑇𝑠 (𝑠) 2 2

Reordenando

1 1 𝑈𝑑0 𝐴 𝑇𝐶0 𝑇𝑣 (𝑠) − 𝑚𝐶𝑝 𝑠𝑇𝑠 (𝑠) − 𝑈𝑑0 𝐴 𝑇𝐶0 𝑇𝑠 (𝑠) − 𝑤 ̅𝐶𝑝 𝑇𝑠 (𝑠) + 𝑊(𝑠)𝐶𝑝 (𝑡𝑒 − 𝑡̅𝑠 ) = 0 2 2 1 1 𝑈𝑑0 𝐴 𝑇𝐶0 𝑇𝑣 (𝑠) − ( 𝑚𝐶𝑝 𝑠 + 𝑈𝑑0 𝐴 𝑇𝐶0 + 𝑤 ̅𝐶𝑝 ) 𝑇𝑠 (𝑠) + 𝑊(𝑠)𝐶𝑝 (𝑡𝑒 − 𝑡̅𝑠 ) = 0 2 2 Despejando Ts(s)

Transformada de Laplace

13-26

𝑇𝑠 (𝑠) = Separando 𝑇𝑠 (𝑠) = Y reordenando

O sea 𝑇𝑠 (𝑠)

𝑈𝑑0 𝐴 𝑇𝐶0 𝑇𝑣 (𝑠) + 𝑊(𝑠)𝐶𝑝 (𝑡𝑒 − 𝑡̅𝑠 ) 1 1 𝑚𝐶𝑝 𝑠 + 𝑈𝑑0 𝐴 𝑇𝐶0 + 𝑤 ̅𝐶𝑝 2 2

𝐶𝑝 (𝑡𝑒 − 𝑡̅𝑠 ) 𝑈𝑑0 𝐴 𝑇𝐶0 𝑇𝑣 (𝑠) + 𝑊(𝑠) 1 1 1 1 𝑚𝐶𝑝 𝑠 + 𝑈𝑑0 𝐴 𝑇𝐶0 + 𝑤 ̅𝐶𝑝 𝑚𝐶𝑝 𝑠 + 𝑈𝑑0 𝐴 𝑇𝐶0 + 𝑤 ̅𝐶𝑝 2 2 2 2

𝐶𝑝 (𝑡𝑒 − 𝑡̅𝑠 ) 𝑈𝑑0 𝐴 𝑇𝐶0 1 1 𝑈 𝐴 +𝑤 ̅𝐶𝑝 𝑈 𝐴 +𝑤 ̅𝐶𝑝 2 𝑑0 𝑇𝐶0 2 𝑑0 𝑇𝐶0 𝑇𝑠 (𝑠) = 𝑇𝑣 (𝑠) + 𝑊(𝑠) 1 1 𝑚𝐶 𝑚𝐶 𝑝 𝑝 2 2 𝑠+1 𝑠+1 1 1 𝑈𝑑0 𝐴 𝑇𝐶0 + 𝑤 ̅𝐶𝑝 𝑈𝑑0 𝐴 𝑇𝐶0 + 𝑤 ̅𝐶𝑝 2 2 𝐾 𝐾 = 1 𝑇𝑣 (𝑠) + 2 𝑊(𝑠) con 𝜏1 𝑠+1

𝑈𝑑0 𝐴 𝑇𝐶0

𝐾1 =

𝜏2 𝑠+1

= 0.381883131 1 ̅𝐶𝑝 2 𝑈𝑑0 𝐴 𝑇𝐶0 + 𝑤 𝐶𝑝 (𝑡𝑒 − 𝑡̅𝑠 ) ℉ 𝐾2 = = −7.573947 ∙ 10−4 1 𝑙𝑏⁄ℎ𝑟 ̅𝐶𝑝 2 𝑈𝑑0 𝐴 𝑇𝐶0 + 𝑤 1 𝑚𝐶𝑝 2 𝜏1 = 𝜏2 = = 0.00047583 ℎ𝑟 = 1.712995 𝑠𝑒𝑔 1 𝑈𝑑0 𝐴 𝑇𝐶0 + 𝑤 ̅𝐶𝑝 2

Por tanto

℉ −7.573947 ∙ 10−4 0.381883131 𝑙𝑏⁄ℎ𝑟 𝑇𝑠 (𝑠) = 𝑇 (𝑠) + 𝑊(𝑠) 1.712995 𝑠𝑒𝑔 ∙ 𝑠 + 1 𝑣 1.712995 𝑠𝑒𝑔 ∙ 𝑠 + 1 Nótese que la función de transferencia tiene dos componentes (uno para la temperatura de vapor y otro para el flujo de agua). b) Respuesta a las perturbaciones Las perturbaciones introducidas en el instante

t=0 son

𝑇𝑣 (𝑡) = 20𝐻(𝑡) ℉ 𝑊(𝑡) = 10𝐻(𝑡) 𝑔𝑝𝑚 = 5007.2455𝐻(𝑡) 𝑙𝑏⁄ℎ𝑟 Cuyas transformadas son 𝑇𝑣 (𝑠)

=

20 ℉ 𝑠

y 𝑊(𝑠)

=

5007.2455 𝑙𝑏⁄ℎ𝑟 𝑠

, por tanto

℉ −4 0.381883131 20 ℉ −7.573947 ∙ 10 𝑙𝑏⁄ℎ𝑟 5007.2455 𝑙𝑏⁄ℎ𝑟 𝑇𝑠 (𝑠) = + = 1.712995 𝑠𝑒𝑔 ∙ 𝑠 + 1 𝑠 1.712995 𝑠𝑒𝑔 ∙ 𝑠 + 1 𝑠 3.845201 ℉ = 𝑠(1.712995 𝑠𝑒𝑔 ∙ 𝑠 + 1) Sin necesidad de antitransformar, por el teorema el valor final

3.8452 ℉ = 3.8452 ℉ 𝑠→0 1.712995 𝑠𝑒𝑔 ∙ 𝑠 + 1

lim 𝑇𝑠 (𝑡) = lim 𝑠𝑇𝑠 (𝑠) = lim

𝑡→+∞

𝑠→0

c) Para graficar cómo varía la temperatura en el tiempo debemos antitransformar, para los cual primero expandimos en fracciones simples

𝑇𝑠 (𝑠) =

3.845201 ℉ 2.246078 ℉ 𝑠𝑒𝑔−1 = = 𝑠(1.712995 𝑠𝑒𝑔 ∙ 𝑠 + 1) 𝑠(𝑠 + 0.583772 𝑠𝑒𝑔−1 ) 3.845201 ℉ 3.845201 ℉ 1 1 = − = 3.845201 ℉ ( − ) −1 𝑠 𝑠 + 0.583772 𝑠𝑒𝑔 𝑠 𝑠 + 0.583772 𝑠𝑒𝑔−1

Antitransformando

Transformada de Laplace

13-27

𝑇𝑠 (𝑡) = 3.845201𝐻(𝑡)(1 − 𝑒 −0.583772 𝑠𝑒𝑔

−1

𝑡

)℉

Por tanto −1

𝑡

)] ℉

190

370 368 366 364 362 360 358 356 354 352 350

Ts (°F)

189 188 187 186

185

Tv (°F)

𝑡𝑠 (𝑡) = [185 + 3.845201𝐻(𝑡)(1 − 𝑒 −0.583772 𝑠𝑒𝑔

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Tiempo (seg) ts

tv

Figura 13-19 Respuesta a entrada escalón

13.8.2 Control automático Consideremos que en el sistema anterior queremos controlar la temperatura de salida ante perturbaciones en la temperatura del vapor mediante un sistema con un controlador PID en lazo cerrado que actuará sobre el flujo de agua.

Figura 13-20

Diagrama de bloques de control PID

Señal

Nombre

Función

r(t) e(t) c(t) u(t)

Referencia Error Control Accionamiento

estado que se desea alcanzar en el sistema. diferencia entre el estado deseado y real del sistema a controlar. señal que genera el controlador. acción que se ejerce sobre el sistema para controlarle.

Transformada de Laplace

13-28

Señal

Nombre

Función

p(t) y(t) h(t)

Perturbación Salida Realimentación

perturbación en la entrada del sistema estado real que ha alcanzado el sistema a controlar. medida del estado del sistema.

Sean 

Gc(s)

la función de transferencia del controlador



Ga(s) =1

la función de transferencia del accionador (el control es directo sobre w)



Gs(s)

la función de transferencia del sistema



H(s)=1

la función de transferencia del sensor (la medida es directa) 1

𝑑𝑒(𝑡)

La ecuación diferencial de un controlador PID es 𝑐(𝑡) = 𝐾𝑐 [𝑒(𝑡) + ∫ 𝑒(𝑡)𝑑𝑡 + 𝜏𝑑 ] 𝜏𝑖 𝑑𝑡 Donde Kc es la constante de proporcionalidad ( 10) en integración y derivación en segundos (12). Transformando sabiendo que e(0)=0

𝑙𝑏⁄ℎ𝑟 ℉

y 𝜏𝑖 y 𝜏𝑑 son los tiempos (11) de

1 1 𝐸(𝑠) + 𝜏𝑑 𝑠𝐸(𝑠)] = 𝐾𝑐 [1 + + 𝜏𝑑 𝑠] 𝐸(𝑠) 𝜏𝑖 𝑠 𝜏𝑖 𝑠 1 Entonces a función de transferencia del controlador es 𝐺𝑐 (𝑠) = 𝐾𝑐 [1 + + 𝜏𝑑 𝑠] 𝜏𝑠 𝐶(𝑠) = 𝐾𝑐 [𝐸(𝑠) +

𝑖

Como el error es la desviación de la temperatura de salida y se actúa directamente sobre el flujo de agua, entonces

𝑊(𝑠) = 𝐺𝑐 (𝑠)𝑇𝑠 (𝑠) = 𝐾𝑐 [1 +

1 + 𝜏𝑑 𝑠] 𝑇𝑠 (𝑠) 𝜏𝑖 𝑠

Pero

𝑇𝑠 (𝑠) = Entonces

𝑇𝑠 (𝑠) =

0.381883131 7.573947 ∙ 10−4 𝑇𝑣 (𝑠) − 𝑊(𝑠) 1.712995 𝑠 + 1 1.712995 𝑠 + 1

0.381883131 7.573947 ∙ 10−4 1 𝑇𝑣 (𝑠) − 𝐾𝑐 [1 + + 𝜏𝑑 𝑠] 𝑇𝑠 (𝑠) 1.712995 𝑠 + 1 1.712995 𝑠 + 1 𝜏𝑖 𝑠

Y despejando

0.381883131 1.712995 𝑠 + 1 𝑇𝑠 (𝑠) = 𝑇𝑣 (𝑠) 7.573947 ∙ 10−4 1 1+ 𝐾𝑐 [1 + + 𝜏𝑑 𝑠] 𝜏𝑖 𝑠 1.712995 𝑠 + 1 Entonces la función de transferencia global es

𝐺(𝑠) =

10

0.381883131 = 7.573947 ∙ 1 (1.712995 (1 + 𝐾 + + 𝜏𝑑 𝑠]) 𝑠 + 1) 1.712995 𝑠 + 1 𝑐 [1 𝜏𝑖 𝑠 0.381883131 = = 1 1.712995 𝑠 + 1 + 7.573947 ∙ 10−4 𝐾𝑐 [1 + 𝜏 𝑠 + 𝜏𝑑 𝑠] 𝑖 504.206𝑠 = ⇒ 1 2261.69𝑠 2 + 1320.32𝑠 + 𝐾𝑐 [𝑠 + + 𝜏𝑑 𝑠 2 ] 𝜏𝑖 504.206𝑠 𝐺(𝑠) = 𝐾 (2261.69 + 𝐾𝑐 𝜏𝑑 )𝑠 2 + (1320.32 + 𝐾𝑐 )𝑠 + 𝑐 𝜏𝑖 10−4

Debe ser positiva en este caso pues un error positivo debe provocar un aumento de w para bajar Ts Deben ser positivos para que ambos efectos tengan el mismo sentido que el proporcional. 12 De aquí en más omitiremos las unidades para simplificar las ecuaciones. 11

Transformada de Laplace

13-29

Los polos de la función de transferencia son las raíces de

( 𝐾𝑐 𝜏𝑑 + 2261.69)𝑠 2 + (𝐾𝑐 + 1320.32)𝑠 + ( 𝜏𝑑 +

𝐾𝑐 =0 𝜏𝑖

2261.69 2 1320.32 1 ) 𝑠 + (1 + )𝑠 + = 0 𝐾𝑐 𝐾𝑐 𝜏𝑖

Para que el sistema sea estable ambas raíces deben tener parte real negativa, por lo tanto, su producto debe ser positivo.

𝛼1 𝛼2 =

𝑐 1⁄𝜏𝑖 = >0 𝑎 𝜏𝑑 + 2261.69⁄𝐾𝑐

Lo cual se cumple y además la suma es negativa pues

𝛼1 + 𝛼2 =

−𝑏 −(1 + 1320.32⁄𝐾𝑐 ) =