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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ENERGÍA ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA MECÁNICA

Título de la Trabajo:

“Problemas de Transformada de Laplace y Fourier” 

Por: Figueroa Mendoza Augusto Paul  Ortiz Ortiz Carlos

Bellavista-Callao

2015 UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO Problemas de transformada de Laplace Problema 1

Problemas de transformadas de Laplace y Fourier vi

iv

ii

y +2 y + y =0 

vi

iv

ii

L{ y }+ L {2 y }+ L{ y }=0

Tomando la transformada de Laplace

S 6 Y ( s ) −S 5 y ( 0 ) −S 4 y i ( 0 )−S3 y ii ( 0 ) −S 2 y iii ( 0 ) −S 1 y iv ( 0 )− y v ( 0 ) +2 [ S 4 Y ( s )−S3 y ( 0 )−S2 y i ( 0 ) −S 1 y ii ( 0 )− y S 6 Y ( s ) −1+ 2 [ S 4 Y ( s ) ] + S2 Y ( s )=0 Y ( s )=

1 4 2 ( s +2 s + s ) 6

s (¿¿ 2+1)2 1 1 1 1 Y ( s )= 6 = 2− 2 − ¿ 4 2 ( s +2 s + s ) s s +1 

Aplicando la transformada inversa de Laplace:

s (¿¿ 2+1)2 } 1 1 1 L−1 {Y ( s ) }=L−1 { 2 }−L−1 { 2 }−L−1 { ¿ s s +1 s 2 (¿¿ 2+1) } 1 L−1 { ¿

Para hallar la

s s t

(¿¿ 2+1)( ¿¿ 2+ 1)= L{∫ senusen ( t −u ) du } 0

¿ 1 ¿ t

¿ L{∫ senu [sentcosu−costsenu]du } 0

t

sent cos 2u t 1−cosu ¿ L{ − −cost ∫ du } 2 2 0 2 0

|

¿ L{

sent cos 2u t t sen 2 u t − −cost [ − ] 2 2 0 2 4 0

|

|

P á g i n a 2 | 13

Problemas de transformadas de Laplace y Fourier

¿ L{

¿ L{−

sent cos 2u t t sen 2 u t − −cost [ − ] 2 2 0 2 4 0

|

|

sent t sen 2t ( cos 2 t−1 )−cost [ − −0+1/ 4] 2 2 4 ¿ L{

sent ( cos 2 t +sen 2 )−cost [ t ] 2 2 ¿ L{

sent t −cost } 2 2 s 2 (¿¿ 2+1) 1 ¿ ¿ L−1 ¿



Y ( t )=t−sent−

Finalmente:

sent t − cost 2 2

1) PROBLEMA 4

L { δ ( t−¿ ) } =e−sto , ¿>0

Sea

Halle las transformadas inversas de las siguientes

funciones : a)

e−sπ

b)

s e−sπ

c)

s e

d)

s 3 e−sπ

e)

s n e−sπ , n>0

f)

s e

g)

sn

2 −sπ

n −sπa

, n>0, a>0

SOLUCION a) De la definición de Delta de Dirac sabemos que

L { δ ( t−¿ ) } =e−sto Entonces :

δ ( t−¿ )=L´ {e−sto }

por lo que

L´ { e−sπ }=δ ( t−π )

P á g i n a 3 | 13

Problemas de transformadas de Laplace y Fourier

b) Sea L´{ s e

−as

}=f (t) +∞

s . e =∫ e−st . f (t ) dt −as

Entonces :

, derivando con respecto a “s” tenemos

0

+∞

e−as−a . s . e−as =∫ −te −st . f ( t ) dt=L {−t . f ( t ) } 0

Aplicando transformada inversa de Laplace a cada miembro

L´ {e−as }−a . L´ { s . e−as }=−t . f ( t )

δ ( t−a )−a . f ( t )=−t . f (t )

De la solución en a) tenemos:

L´ {s e−as }=f ( t )=

Despejando tenemos

−δ ( t−a ) t−a

L´ { s e−πs } =f ( t )= 2 −as

c) Sea L´{ s e

, para a =

π

−δ ( t−π ) t −π

}=f (t) +∞

Entonces :

2

−as

s .e

=∫ e−st . f ( t ) dt 0

, derivando con respecto a “s” tenemos

+∞ −as

2s.e

2

−as

−a . s . e

=

∫ −te−st . f ( t ) dt=L {−t . f ( t ) } 0

Aplicando inversa de Laplace miembro a miembro

2 L ´ { s . e−as } −aL ´ { . s 2 . e−as }=−t . f ( t ) De la solución en a) y en b) tenemos:

−2

δ ( t −a ) −af ( t )=−t . f (t ) t −a

Despejando :

L´ {s 2 e−as }=f ( t )=2

δ (t−a ) 2 (t−a)

para a=π L´ {s 2 e−πs }=2

δ ( t−π ) 2

(t−π)

d) De la misma forma que en a) b) y c) 3 −as

Hacemos L´{ s e

}=f (t) +∞



s 3 e−as=∫ e−st . f ( t ) dt ,derivando con respecto a s 0

P á g i n a 4 | 13

Problemas de transformadas de Laplace y Fourier +∞

3 s 2 e−as−a. s3 e−as =∫ −te−st . f ( t ) dt=L {−t . f ( t ) }



0



aplicando Inversa de Laplace

3 L´ { s2 e−as }−a . L´ { s 3 e−as }=−t . f ( t )



, de a) , b) ,y c)

δ ( t−a )



3( 2 ( t−a )2 ¿−a . f ( t )=−t . f ( t ) , despejando



f ( t )=−6

L´ { s 3 e−sπ }=−6

δ ( t−a ) π ( t−a )3 … para a=

δ ( t−π ) ( t−π )3

e) Por inducción de los resultados de a) , b) , C) y d) Entonces :

L´ { s n e−sa }= (−1 )n . n!

δ ( t−a ) ( t−a )n

L´ { s n e−sπ }=(−1 )n . n !

Para a= π

δ ( t−π ) ( t−π )n

f) De la formula obtenida por inducción en e):

L´ { s n e−sb } =(−1 )n . n!

δ (t−b ) ( t−b )n

Hacemos b= a π

L´ { s n e−saπ }=(−1 )n . n !

g) Para hallar

δ ( t −aπ ) ( t−a π )n

s n , haremos a = 0 , en la formula hallada en e) L´ { s n e−sa }= (−1 )n . n!

δ ( t−a ) ( t−a )n

Para a= 0 

L´ { s n }=(−1 )n . n !

δ (t ) ( t )n

P á g i n a 5 | 13

Problemas de transformadas de Laplace y Fourier Problema 5

 Resolver:

1 1 1 1 1 2 π −2 sπ L {Y ( t ) }= + 2 + ( π−1 ) e−sπ + 2 − 2 − e s s s s s +1 s

(

) (

)

 Solucion:  Aplicando la transformada inversa de Laplace

Y ( t )=L

−1

{1s }+ L

−1

−πs

{e

{

}

1 1 1 −1 −πs −1 −2 πs −1 −2 πs 1 −1 −2 πs 1 }+ L {e (π −1) }+ L {e }+ L e −L {2 π e } 2 2 2 s s s s +1 s

Y ( t )=1+ (t−π ) u ( t−π )+ ( π −1 ) u ( t−2 π )−sen ( 2 π −t ) u ( t−2 π )− ( t−2 ) u ( t−2 π )−2 πu( t−2 π ) Y ( t )=1+ (t−1 ) u ( t−π )−( sen ( t )−t)u ( t−2 π )

{

1; t < π Y ( t )= t ; π