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Transformada de Laplace: Definición: La Transformada de Laplace es una técnica matemática que forma parte de ciertas transformadas integrales como la transformada de Fourier, la transformada de Hilbert, y la transformada de Mellin. Estas transformadas están definidas por medio de una integral impropia y cambian una función en una variable de entrada en otra función en otra variable. La transformada de Laplace puede ser usada para resolver ecuaciones diferenciales y ecuaciones integrales. Aunque se pueden resolver algún tipo de ecuaciones diferenciales con coeficientes variables, en general se aplica a problemas con coeficientes constantes. Un requisito adicional es el conocimiento de las condiciones iniciales a la misma ecuación diferencial. Su mayor ventaja sale a relucir cuando la función en la variable independiente que aparece en la ecuación diferencial es una función seccionada. Cuando se resuelven ecuaciones diferenciales usando la técnica de la transformada, se cambia una ecuación diferencial en un problema algebraico o ecuación algebraica y viceversa. La metodología consiste en aplicar la transformada a la ecuación diferencial y posteriormente usar las propiedades de la transformada, con el objetivo de obtener una solución. La inversa de una transformada de Laplace: La transformada inversa de Laplace es aquella que se emplea con el objetivo de transformar una ecuación diferencial en una ecuación algebraica simplificándola en cierto modo, esta se puede resolver para 𝒚(𝒔) , por tanto 𝒚(𝒔) = 𝑮(𝒔) , ahora como 𝓛 𝒚(𝒕) = 𝒀(𝒔) por tanto hay que regresar para

obtener 𝒚(𝒕) que es la inversa que se está buscando, por tanto se necesita 𝓛−𝟏 𝒀(𝒔) para poder hallar 𝒚(𝒕) Entonces se define la transformación inversa: Si 𝐹(𝑠) es la transformada de Laplace de una función continua 𝒇(𝒕) es decir 𝓛 𝒇(𝒕) = 𝑭(𝒔) , Entonces la transformada inversa d Laplace de 𝑭(𝒔) que es 𝓛−𝟏 𝑭(𝒔) es 𝒇(𝒕) , es decir 𝓛−𝟏 𝑭(𝒔) = 𝒇(𝒕) . Ejemplo: Calcular 𝓛−𝟏

𝑺 𝑺𝟐 +𝟒

Solución: Según la tabla de transformadas de Laplace: 𝓛 𝐜𝐨𝐬(𝟐𝒕) =

𝑺 𝑺 = 𝑺 𝟐 + 𝟒 𝑺 𝟐 + 𝟐𝟐

Por tanto obtenemos su inversa: 𝓛−𝟏

𝑺𝟐

𝑺 = 𝐜𝐨𝐬(𝟐𝒕) + 𝟐𝟐

Teorema de combolución: Como se ha visto, la transformada de Laplace es lineal, es decir, la transformada de una suma es la suma de las transformadas, por tanto surge la incógnita de que procedimiento se ha de seguir para un producto debido a que el procedimiento a seguir de la suma obviamente no es igual al de los productos. Por tanto para los productos se como definición:

Definición de combolución: Si se tiene un par de funciones 𝒇(𝒕) y 𝒈(𝒕) la combolución va a estar dada por la siguiente integral: 𝒕

𝒇(𝝉) 𝒈(𝒕−𝝉) 𝒅𝝉 𝟎

Tomando en cuenta que las funciones han de ser continuas en un intervalo de [𝟎, +∞). Si se quiere hallar la transformada de la combolución, entonces decimos: 𝓛 𝒇 ∗ 𝒈 = 𝓛 𝒇(𝒕) 𝓛 𝒈(𝒕) = 𝑭(𝒔) . 𝑮(𝒔) Y para hallar su inversa decimos: 𝓛−𝟏 = 𝑭 𝒔 . 𝑮(𝒔) = 𝒇 ∗ 𝒈 Esto último si el producto de las dos funciones es en 𝒔 y se conoce la combolución, ya que este es el requisito para poder hallar la inversa.

¿Cómo hallar la combolución para un par de funciones? Es claramente ventajoso identificar o poseer las funciones 𝒇(𝒕) y 𝒈(𝒕) . Ejemplo: Hallar 𝒇 ∗ 𝒈 =? ; siendo 𝒇(𝒕) = 𝒆𝒕 y 𝒈(𝒕) = 𝒕 𝒕

𝒕

𝒇(𝝉) 𝒈(𝒕−𝝉) 𝒅𝝉 = 𝟎

𝒕 𝒕

𝒆 (𝒕 − 𝝉)𝒅𝝉 = 𝟎

𝒕 𝝉

𝝉

𝒕𝒆 − 𝝉𝒆 𝒅𝝉 = 𝒕 𝟎

𝒕 𝝉

𝝉𝒆𝝉 𝒅 𝝉 = ⋯

𝒆 𝒅𝝉 − 𝟎

𝟎

= 𝒕𝒆𝒕 − 𝒕𝒆𝟎 − 𝒕𝒆𝒕 − 𝒆𝒕 + 𝒆𝟎 = 𝒆𝒕 − 𝒕 − 𝟏

¿Cómo hallamos la transformada de Laplace de una combolución? Ejemplo: Si se tiene una combolución cualquiera 𝓛 identificamos a 𝒇(𝒕) = 𝒆𝝉 y 𝒈 𝒕

=

𝒕 𝝉 𝒆 . 𝐬𝐢𝐧 𝟎

𝒕 − 𝝉 𝒅𝝉

donde

𝐬𝐢𝐧 𝒕 − 𝝉 𝒅𝝉.

Hay que hallar 𝓛 𝒆𝒕 ∗ 𝐬𝐢𝐧(𝒕) = 𝓛 𝒆𝒕 . 𝓛 𝐬𝐢𝐧(𝒕) Por tanto según las tablas de transformada de laplace obtenemos: 𝓛 𝒆𝒕 ∗ 𝐬𝐢𝐧(𝒕) = 𝓛 𝒆𝒕 . 𝓛 𝐬𝐢𝐧(𝒕) =

𝟏 𝒔−𝟏

𝒔𝟐

𝟏 +𝟏

¿Cómo calculamos la transformada inversa de Laplace de una combolución? Por ejemplo: Hallar 𝓛−𝟏

𝟏 𝒔−𝟏 𝒔+𝟒

=?

Entonces sí según el teorema de la combolución decimos que: 𝓛−𝟏 𝑭(𝒔) . 𝑮(𝒔) = 𝒇 ∗ 𝒈 Hay que hallar 𝒇(𝒕) y 𝒈(𝒕) ; decimos entonces que: 𝑭𝒔 =

𝟏 = 𝒇(𝒕) = 𝒆𝒕 𝒔−𝟏

𝑮𝒔 =

𝟏 = 𝒈(𝒕) = 𝒆−𝟒𝒕 𝒔+𝟒

Después

hacemos

𝒕 𝒇 𝒈 𝒅𝝉 𝟎 (𝝉) (𝒕−𝝉) 𝒕 𝝉 −𝟒 𝒕−𝝉 𝒆 𝒆 𝟎

la

combolución

a

partir

de

su

definición

𝟏

𝒆𝒕

he integramos:

𝒅𝝉 =

𝒕 𝝉 −𝟒𝒕 𝟒𝝉 𝒆 𝒆 𝒆 𝒅𝝉 𝟎

= 𝒆−𝟒𝒕

𝒕 𝟓𝝉 𝒆 𝒅𝝉 𝟎

= 𝒆−𝟒𝒕

𝒆𝟓𝒕 𝟓

−𝟓 =

𝟓

−

𝒆−𝟒𝒕 𝟓

¿Cómo se calcula la transformada de Laplace con la tabla de transformación? No siempre es necesario el utilizar la definición de la transformada de Laplace e integrar cuando se desea calcular la transformada de una función, tomando que la definición de la transformada de Laplace dice: 𝓛 𝒇𝒕

=

∞ 𝟎

𝒆−𝒔𝒕 𝒇(𝒕) 𝒅𝒕

El problema de usar siempre esta definición está en que vamos a tener que recurrir al cálculo integral, y podríamos encontrarnos con integrales muy extensas o complicadas, pero es también gracias a esta definición que se poseen transformadas de Laplace elementales que se pueden sustituir directamente y agilizar el trabajo, son estas transformadas de Laplace elementales las que normalmente aparecen en las tablas de transformadas de Laplace existentes, teniendo esta ventajas el único problema a resolver además de encontrar tanto una transformada como una transformada inversa seria manipular, transformar o modificar la expresión de la función de tal forma que dicha función se asemeje a las encontradas en las tablas de transformación para hacer correcto uso de estas. En fin, simplemente se transforman las funciones que se poseen en términos de funciones

elementales usando cualquier artificio matemático existente u propiedad para analizar el trabajo mediante el uso de una tabla de transformación. Algunas de las transformadas más comunes y elementales más encontradas son: 𝒌

I.)

𝓛𝒌 =

II.)

𝓛 𝒕𝒏 = 𝒔𝒏+𝟏

III.)

𝓛 𝐜𝐨𝐬(𝒌𝒕) = 𝒔𝟐 +𝒌𝟐

IV.)

𝓛 𝐜𝐨𝐬(𝒉𝒌𝒕) =

V.)

𝓛 𝒆𝒂𝒕 = 𝒔−𝒂

VI.)

𝓛 𝐬𝐢𝐧(𝒌𝒕) = 𝒔𝟐 +𝒌𝟐

VII.)

𝓛 𝐬𝐢𝐧 𝒉𝒌𝒕 =

𝒔

𝒏!

𝒔

𝒔 𝒔𝟐 −𝒌𝟐

𝟏

𝒌

𝒌 𝒔𝟐 −𝒌𝟐

Ejemplo: Calcular 𝓛 𝒄𝒐𝒔𝟐 (𝒕) =? Aquí es necesario simplificar la función dada para poder proceder de una manera más sencilla y con ayuda de las tablas de transformación evitar el proceso de integración, por trigonometría se sabe que: 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝒙 =

𝐜𝐨𝐬(𝟐𝒙) + 𝟏 𝟐

Entonces sustituimos, y tomamos las constantes fuera de la transformación, aplicamos también el teorema de la linealidad para obtener: 𝓛 𝒄𝒐𝒔𝟐 (𝒕) =

𝟏 𝟏 𝓛 𝒄𝒐𝒔(𝟐𝒕) + 𝓛 𝟐 𝟐

Según las transformadas de Laplace definidas anteriormente que servirán de nuestra tabla de transformadas aplicamos la definición III y I y obtenemos:

𝓛 𝒄𝒐𝒔𝟐 (𝒕) =

𝟏 𝟏 𝒔 𝒔 𝟏 𝟐 = 𝟏 + + 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝒔 + 𝟐 𝒔 𝟐 𝒔 +𝟒 𝒔

¿Qué es una función periódica gráfica en transformada de Laplace? Función periódica: Definición: Una función periódica es aquella donde en cada intervalo se repite la misma función de manera grafica y donde se cumple que: 𝒇(𝒕) = 𝒇(𝒕−𝝉) Ejemplo: La función 𝒇(𝒙) = 𝐬𝐢𝐧(𝒙) , toma sus valores máximos entre 1 y -1 y su grafica se repite cada 𝟐𝝅, por tanto 𝟐𝝅 es el periodo de esta función y: 𝐬𝐢𝐧(𝒕) = 𝐬𝐢𝐧(𝒕 + 𝟐𝝅)

Ejemplo 2: No siempre encontraremos funciones tan sencillas como la anterior, encontraremos por ejemplo otro tipo de funciones que son de presencia más común en aplicaciones de la transformada de Laplace, como por ejemplo:

De manera grafica podemos observar que cada 2 se repute la función, entonces para funciones de este tipo se debe aplicar la ecuación o definición que dice: 𝓛 𝒇(𝒕) =

𝟏 𝟏 − 𝒆−𝒔𝒕

𝑻

𝒆−𝒔𝑻 𝒇(𝒕) 𝒅𝒕 𝟎

Donde 𝑻 es el periodo de la función por tanto 𝑻 = 𝟐, y entonces decimos: 𝒇𝒕 =

𝒕 𝟎≤𝒕