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• Christopher Blake

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DIVISIÓN ALGEBRAICA I Es una operación que consiste en hallar una expresión denominada cociente dada otras dos denominadas dividendo y divisor. En el esquema:

D

d

r

q

Sabías que

Donde:

A la Identidad Fundamental de la división también se le conoce como Algoritmo de Euclides quien fue un matemático griego que vivió hace más de ¡2 mil años!

D : Dividendo d : Divisor q : Cociente r : Resto o Residuo

Siempre se cumple: D = dq + r Llamada identidad fundamental de la división.

Ejemplo: 25 7

Dividendo = 25

59 9

D = 59

21 3

Divisor = 7

54 6

d=9

4

Cociente = 3

5

q=6

Resto = 4

r=5

Según la identidad fundamental de la división:

Luego: 59 = 9 . 6 + 5

25 = 7 . 3 + 4

AHORA TU! 

17 3

D=

31 5

D=

d=

d=

q=

q=

r=

r=

Luego ¿qué se cumple?

Luego: 31=

17 =

Recordemos

LEY DE SIGNOS ()  ( ) ()

(–)  (–) ()

(–)  () (–)

()  (–) (–)

Con números ¡Es fácil! Pero con polinomios ¿cómo se opera?

Ten presente: La división de signos iguales da (+). La división de signos diferentes da (–).

Ejemplos: 24 4 6

28  7 4

20  10 2

27  3 9

35 5 7

16  8 2

64 8 8

49  7 7

Observa que:

AHORA TU! 12  3

36  6

72  8

54  6

25  5

42  7

81  9

36  3

12 3

es lo mismo

que escribir 12  3 es decir toda fracción indica una división.

LEYES DE EXPONENTES bm n

b

 bm n

Ejemplos: x5 x

2

b24 10

b

 x 5  2  x3

 b24 10  b14

x8 x

3

 x8 3  x 5

b35 17

b

 b3517  b18

Recuerda siempre que la división entre cero no esta definida por ejemplo las 5 siguientes 7 24 4 ; ; ; 0 0  0  divisiones no se0 pueden realizar:

AHORA TU! x7 x3 x10 x

8





m30 m12 b27 b18





Ahora que ya recordamos estudiemos como se dividen los polinomios.

1. DIVISIÓN ENTRE MONOMIOS Para dividir monomios: la parte constante se divide de acuerdo a la Ley de Signos y la parte variable según la Ley de Exponentes. Ejemplos:

35 x8 5x

 48x7

 7 x8 3  7 x 5

3

 24 x10 7

 6x

5 8

63x y

9x2 y3

8x 4 36x12

 4x10  7  4x3

 4x

 8x 7 y5

12x 4 y 7

5 2

 5x y

 11x13 5 y32  11x8 y1  11x8 y

AHORA TU!  80 x12



5x3

 56x10  7x

5

28x 5 y 7 7 x2 y 4

8x10 81 x15



 9x10

 35 x 7 y2



4x6y5 30 x 5 y12



Todo número diferente de cero elevado a la cero es 1. Ejemplo: 5º = 1; 4º = 1; (-2)º = 1; 0º : indefinido



 28x10 y 5



 35 x10 y 7

 5x8 4 y10  7  5x 4 y3

 7x10  7 y12 5  7x3y 7

55x13y3

25 x 5

 9x12 8  9x 4

 60 x8 y10

 7 x 5  2 y 8  3  7 x3 y 5

 56x10 y12

8

 6x7  4  6x3

 6x 4 y 6





2. DIVISIÓN DE UN POLINOMIO ENTRE UN MONOMIO Para este caso debemos utilizar la propiedad distributiva: abc a b c    m m m m

Ejemplos:

Mesopotamia, lo que actualmente es Irak se han encontrado tablillas para dividir utilizadas por los Babilonios del 2000 al 600 a.C.



284 2 8 4    2 2 2 2



3  9  12 3 9 12    3 3 3 3



12  24 12 24   6 6 6



15  25  35 15 25 35    5 5 5 5



4 x5  8x 4  12x10 2x3



4x5 2x3

Sabías que En la Región de



8x 4 2x3



12x10 2x3

 2x2  4 x  6x 7









35 x8  14 x10  49 x13 7x

35 x8



5

7x

27 x12  36x5  54 x 7  9x8 9x

24 x8  8x5  2x



4

 2x

4

24 x8 y 7  16x10 y13

 2x

14 x10 7x

9x

5

3





49 x13 7 x5

36x5 9x

3



 5x3  2x5  7 x8 54 x 7 9x

3



9x 8 9x

8x3y



16x10 y13 8x3y















27  9  3



16  4  8  4

Según el resto existen 2 clases de división: La división exacta cuando el resto es idénticamente nulo y la división inexacta cuando el resto no es nulo. Ejemplo:





14 x

10

 21 x

7x





–



 28x

18x9  27 x10  54 x11 9x 9







 20 x15 y10  30 x3y 7  40 x8 y 7 10 x 4 y3  35x5 y10z20  56x 7 y 7z14  7x2 y 4z10 64 x8 y8  32x9 y9



 

15

8

 8x 4 y5





12  6  24  6 12

 3x9  4x2  6x 4  x5

 3x5 y6  2x 7 y12

AHORA TU! 

3

 12x 4  ( 4x)  12x 4  4x

4

24 x8 y 7



8x3y

8x5





27 x12



3

24 x8

5





–



12 12 0 15 12 3

3 4

6 2

División Exacta Resto División Inexacta Resto

EJERCICIOS DE APLICACIÓN 7. 1.

Al dividir: 12x y entre 4xy n

Se obtiene: mx Hallar:

2.

a) 2

b) 1

d) 4

e) 5

Luego 2

de

n

M

m1

entre

8.

Calcular:

d) -2

e) 1

12xn y3 4 p

mx y

c) 3

5.

6x8 y 7  3x 4 y5



12x 4 y3

a) 6

b) 7

d) 3

e) 1 3

3x3y

3 2

32x8 y12



8x 7 y10 2

b) 0

c) xy

e) 1

Simplificar: 25 x 5 y 7 M

c) 9

5x 3 y 3 28x 4 y3 3

7x y



12xn y10 6x 5 y 6  x5 y8



x 4 y6

2

Luego de dividir: 16x + 8x entre 2x 2 4

Calcular la suma de coeficientes del

a) 1

cociente.

d) xy

a) 4

b) 8

d) 12

e) 24

c) 2

10.

b) 3x y 2

c) 3xy

e) xy

Reducir: G

20 x 5  15 x 7 5x 3



24 x 7  16x 9  8x 5

Calcular el cociente en: 2

32x8 y5  16x 7 y12

a) x + y

8x 4 y2

d) x

Dar por respuesta GR(x) + GR(y) de este cociente.

6.



d) 2x y 9.

 4xy2

2

Reducir:

Calcular: m + n – p

4.

e) xy

4 2

b) -4

Si:

2

c) -2x y

a) x y

a) 12

10 x5 y

2

4 x2 y 7

m npq

20x 7 y2

b) 3x y

8x6y9

n p q



5xy 4

2

-36x y z

3

15x3y5

d) –x y 3 2 4

dividir:

2

a) x y

c) 3

3x yz . Se obtiene: mx y z

3.

Simplificar:

3

a) 12

b) 7

d) 14

e) 6

Si de:

15 x8 y 7  12x10 y 5 3x3 y3

c) 3

se obtiene un

cociente. Calcular el grado. a) 7

b) 5

d) 3

e) 2

c) 4

4

4

2

b) x + x

4

e) 0

2

c) x

2