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• Olvin Quispe Ninasivincha

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LICEO NAVAL C. DE C. MANUEL CLAVERO

III BIM – MATEMÁTICA – 2DO. AÑO

NIVEL: SECUNDARIA

SEGUNDO AÑO

DIVISIÓN DIVISIÓNALGEBRAICA ALGEBRAICA 1. DIVISIÓN DE POLINOMIOS MÉTODO DE HORNER Para poder aplicar este método los polinomios dividendo y divisor deben ser completos y ordenados descendentemente y si faltase algún término se completará con ceros. Ejemplo: 2

Dividir: 8x + 3x + 11 entre 2 + x Ordenemos los polinomios dividendo y divisor 2

D(x) = 3x + 8x + 11

d(x) = 3x + 2

Luego: Coeficientes del Dividendo: 3, 8, 11

Sabías que

Horner invento su método en 1819

Coeficientes del Divisor: 3, 2

Ubicamos estos coeficientes en el siguiente esquema:

Coeficientes del Dividendo

÷

Con signo cambiado

•

+

Coeficientes del Cociente

+ Coeficientes del Resto

De esta manera: 3 Con signo cambiado

3

8

11

-2

Número de espacios igual al Grado del Divisor

  Las operaciones que se realizan se repiten primero se divide luego se multiplica después sumamos para nuevamente dividir y así sucesivamente.

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III BIM – MATEMÁTICA – 2DO. AÑO

Y procedemos del siguiente modo:

÷ Dividimos:

3

Multiplicamos: 3

8

11

1

=

3

3

3

8

11

÷

-2

1

2

3

3

-2

11

-2

-4

2

7

1

Coef. del Cociente



3

11

6

1

8

11

-2

-4

+

Sumamos:

3

3

-2 1

2

8

11

-2

-4

2

7

recuerda

⇒

Luego la línea punteada solo se suma. Además el cociente y resto que se obtienen están completos y

q(x) = 1 . x + 2 = x + 2 R(x) = 7

Coef. del Resto

2

8

1

=

x

8

3

-2

Luego el esquema resulta: 3

3

-2

3

-2

=

11

1

x

Multiplicamos:

8 =

-2

-2

Dividimos:

3

+

Sumamos:

2

Dividir: 4x + 4x + 1 – 3x entre x + 2x - 3 Ordenemos: 3

2

D(x) = 4x + 4x – 3x + 1 2

d(x) = 2x + x – 3

Ubicamos los coeficientes en el esquema:

2

signo cambiado

4

4

-3

-1 3 2 espacios porque el grado del divisor es 2.

Procedemos: Dividimos:

Multiplicamos:

÷

2

x

4

Sumamos: +

4

-3

2

1

-1

-1

3

3 2

1

x x

4

2

4

-3

-2

6

1

2

4

4

-3

-1

-2

6

3

2 2

1

LICEO NAVAL C. DE C. MANUEL CLAVERO

Dividimos:

III BIM – MATEMÁTICA – 2DO. AÑO

Multiplicamos:

2

4

4

-3

1

-1

÷

-2

6

2

4

-1

3

3 =

2

1

x

2

4

-3

-2 = =

6

-1 3

1

2 -1

-1

3

4

÷ 2



Dividir:

+

-3

1

-2

6

3

-1

3

2

4

2

1

+

+

+

+

-3

5

-3

4

3

-4

Si el resto de una división no es nulo (R(x) ≡ 0) entonces la división se llama inexacta.

+

+

+

4

-3

1

-2

6

1

-1

3

2

4

⇒

Q(x) = 2x + 1 R(x) = 2x + 4

x 4 − 3x + 5x2 − 3x3 + 4

⇒

x2 − 3x + 4

1 3

Si el resto de una división es nulo (R(x) ≡ 0) entonces la división se llama exacta.

-4

x 2

2

Dividir:

5

10x2 + 11x + 1 5x − 2

⇒ Q(x) = R(x) =

6x2 − 8x 6x2 − 8x + 0 Dividir: = 3x + 2 3x + 2

2

10 ÷

+

+

11

1

4 3

x

3

⇒

-2 ⇒ Q(x) = R(x) =

x

7

6 ÷ 2

+

+

-8

0 8

0

÷

Q(x) = 1 . x + 0x + 1

⇒

¡Ahora tu!

1 4

1

Q(x) = x + 1



+ 4

x

x



4

1

Resumiendo: 2

Sumamos:

0

1 ;

0 3

-4

0

0

R(x) ≡ 0

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

Dividir:

15x3 + 5 − 3x2 3x2 + 2

=

15x3 − 3x2 + 0x + 5 3x2 + 0x + 2

III BIM – MATEMÁTICA – 2DO. AÑO

3

⇒

0 -2

⇒ Q(x) = R(x) =



Dividir:

x

8x3 − 6x2 + 5x − 1

⇒ Q(x) = R(x) =

2x2 + 1 − x

15

÷

-3

0

0

-10 0

5

2

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III BIM – MATEMÁTICA – 2DO. AÑO

EJERCICIOS EJERCICIOS DE DE APLICACIÓN APLICACIÓN I. 1.

Hallar el cociente en las siguientes divisiones: 2

x + 8x + 18 x +3 a) x + 5 d) x – 2

2.

3.

4.

6.

2

e) -x + 2x + 3

7.

c) 3x - 1

5x3 + 2

2

a) 3x – 1

b) 2x + 1

d) x + 3

e) 3x - 8

2

c) 4

Indicar el término independiente del resto en la siguiente división:

− 2x + 3x2 − 1

2

2

a) 1 d) 7 12.

b) 3 e) 2

c) 4

Indicar si la siguiente división es exacta o inexacta.

3x3 + 2x2 + 9x + 6

b) 5 e) 2

b) 1 e) -8

x2 + 3 Si es inexacta indicar el resto.

c) 3

a) Es exacta d) 3

10x3 − 33x + 9x2 − 22 5x + 2

13. c) -2

c) 3

14.

16x 4 + 7 x − 25x2 + 7 − 5x2 + 4 x3

b) 3 e) 2x - 1

x5 − 2x3 + 4x2 − 5

15.

b) 2 e) -2

c) -1

Hallar “b” si la siguiente división:

es exacta: c) 3x - 1

c) 0

2x 4 + x3 − x − 2x2 2x + 1 Hallar el mayor coeficiente del cociente.

44 x2 + 21x 4 + 3x + 14

b) 2x + 4

b) 2 e) 1

Dada la siguiente división exacta:

a) 3 d) 1

c) 7x + 7

3x2 + 5

c) 2x

En la siguiente división:

a) -1 d) 3

3x2 + 2x

b) 2 e) 9

b) 1 e) 4x - 2

x3 + 4 Calcular la suma de coeficientes del cociente.

27 x3 + 9 − 12x

a) 5

b) 1 e) 7x

35x 5 + 15x3 + 7 + 16x2

c) x + 2x + 3

6x2 + x + 4 3x − 1

a) 7x d) 7

8.

2

Hallar el residuo en las siguientes divisiones:

a) 1 d) -8

2x3 + 3x − 4

6x3 − x2 + 2x + 6

b) x - 2x – 3

a) 8 d) 4

− 2x − 32x2 + 13 + 18x3

2

11.

2

a) -1 d) 6 5.

c) x + 7

x3 + 3x2 + 5x + 7 x +1

d) x - 2x – 8

e) 2x - 2

a) 4x + 3 d) 7x + 1 10.

b) x + 3 e) x - 3

16x

5

2

c) x

x2 + 5 x − 7 x −2

a) x + 2x – 3

II.

9. b) x + 1 e) x + 3

a) x – 1 d) x – 7

d) x – 1

a) 13 d) 15

x2 + 8x + b x+3 b) 12 e) 2

c) 14

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TAREA DOMICILIARIA Nº 5 I. 1.

4.

b) x + 3 e) x

b) 1 e) 5

c) x + 7

11.

b) 5 e) 1

2

e) 0

b) 7 e) -1

12.

5 − 2x3

c) -3

En la siguiente división:

b) 7 e) -1

c) 1

Indicar si la siguiente división:

a) Es exacta d) -1 13.

b) 5 e) 1

c) 2

En la siguiente división:

x5 − 2x 4 + x + 5

x4 + 1 Indicar la suma de coeficientes del cociente.

c) 0

a) -1 d) 1 c) 2x

14.

b) 0 e) 3

c) 2

En la siguiente división:

6x 4 − 3x + 2x3 + 6

2x3 − 1 Señalar el mayor coeficiente del cociente.

20x 4 − 12x2 + 7 − 15x + 25x3 4 x2 + 5x

a) 1 d) -1

c) 2x 15.

9 + x − 26x2 + 15x 4

b) 3 e) -3

c) 2

Hallar “b” en la siguiente división exacta:

x2 + 7 x + b x +3

2

b) 0 e) 2x + 1

c) x - 3

x2 + 3 Es exacta o inexacta. Si es inexacta indicar el residuo.

3x + 5x2

b) 1 e) 7

b) x + 2 e) 0

x 4 + x2 − 6

20x3 + 11x + 27 x2

b) 4 e) 0

2

− 14 x 5 + 35x2 + x + 2x3 − 8

a) 0 d) 2

c) 0

8x3 − x + 10x2 − 3 4x + 3

a) x + 1 d) x

2

x + 3x2 + 1 Indicar el término independiente del resto.

9x2 − 3x + 3 3x − 2

− 2 + 5x

b) x – 2c) 3x + 1

6x3 − x2 + 2x + 6

Hallar el residuo en las siguientes divisiones:

a) 0 d) x + 1

8.

10.

x3 + 3x2 + 3x + 2 x+2

a) 5x d) –x

7.

2

a) x – 1 d) x – 4 b) 2 e) x – 7

a) 3 d) 1

6.

c) x + 4

x2 − 12x + 42 x −5

a) 3 d) -5 5.

2x3 + 3

d) 3x – 1

a) 2 d) 3 II.

16x5 + 27 x2 − 4 x3 − 7

a) 2x – 1

x2 + 7 x + 10 x+4

a) 4x + 1 d) x + 5 3.

9.

En las siguientes divisiones hallar el cociente:

a) x – 2 d) x + 1 2.

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c) x - 1

a) 15 d) 12

b) 3 e) -7

c) 7

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