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C OI I 2X 1

ÁLGEBRA

DIVISIÓN ALGEBRAICA DESARROLLO DEL TEMA I. DEFINICIÓN

completar con ceros) y por lo general ordenados en forma descendente.

Es aquella operación donde a partir de dos polinomios llamados dividendo y divisor se obtienen otros dos polinomios llamados cociente y residuo; donde éstos cuatro polinomios cumplen la identidad:

II. MÉTODOS POLINOMIOS

D(x)  d(x) . q(x) + R(x)

DIVIDIR

A. Método de Horner Se emplea para dividir polinomios de cualquier grado: Esquema básico:

Identidad fundamental de la división Donde: D(x) = Polinomio dividendo d(x) = Polinomio divisor q(x) = Polinomio cociente R(x) = Polinomio resto o residuo

© coeficiente o e f. con d signo e cambiado d(x)

A. Propiedades del grado • • •

PARA

GA[D(x)]  GA[d(x)] Máximo GA[R(x)] = GA[d(x)] – 1 GA[q(x)] = GA[D(x)] – GA[d(x)]

del D(x)

coef. del q(x) coef. de R(x)

B. Clasificación de la división

Línea de acuerdo al grado el divisor.

1. División exacta

R(x)  0



Importante: El número de columnas que presenta el resto es numéricamente igual al grado del divisor contado de derecha a izquierda.

identicamente nulo

D(x)  q(x) d(x)

B. Método de Ruffini Es una regla de práctica para obtener el cociente y el resto de la división de un polinomio P(x) entre un polinomio de la forma (x ± b).

2. División inexacta

R(x)  0

P(x) = (x ± b) . q(x)

como: D(x)  d(x) . q(x) + R(x)



D(x) R(x)  q(x) + d(x) d(x)

Esquema:

Importante: Los polinomios dividiendo, divisor cociente y residuo deberán de encontrarse completos (caso contrario

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TEMA 1

DIVISIÓN ALGEBRAICA

Exigimos más!

III.TEOREMA DEL RESTO

P(x)  Resto = P(5) ; Q(x)  Resto = Q(–7) x–5 x7

Tiene como finalidad obtener el resto de una división sin necesidad de efectuar la división:

B. Regla práctica A. Enunciado

• • •

Sea P(x) un polinomio no constante. El resto de dividir P(x) por (x – n) viene dado por P(n). Ejemplos:

problemas

(P(n ))

RESUELTOS

Problema 1 Halle el residuo de dividir:

Nivel intermedio

A. 10 B. –11

9x 4 + 2x 2 + 5x – 6 3x 2 + x – 2

C. 1 2 D. –15

• •

x–1 Resto = 2(1)6 + 10(1) + 80 = 92

Respuesta: C. 92 Nivel fácil

A. 0 B. 1

El divisor se iguala a cero: x – n = 0 Se despeja la variable: x = n Se reemplaza en el dividen do obteniéndose el resto.

Resolución Por Ruffini:

Problema 4 Hallar el resto de:

C. 2 D. 5

x 2n +1 – 7x 2n + 2x n +1 + 5x n + 6x + 4 xn + 1

Resolución

Nivel difícil

A . 4x – 5 B. 5x – 8 Luego: q(x)  2x4 – 6x3 + 3x2 – 9x + 7; R(x) = –13

Respuesta: D. –15 Problema 3 Luego: q(x) = 3x2 – x + 3; R(x)  0

6 Hallar el resto de: 2x +10x + 80 x –1

Nivel difícil

Respuesta: A. 0 Problema 2 5 3 Dividir: 2x – 15x – 20x + 8 y dar x +3

por respuesta el resto.

A. 85 B. 6 0

C. 9 2 D. 9 0

Resolución Por el Teorema del resto • x–1 =0

C. 3x – 1 D. 2x – 5

Resolución • xn + 1 = 0 • x n = –1 (se despeja con su mismo exponente) • Dando forma al dividendo: (x n )2 . x – 7(x n )2 + 2(xn )x + 5(xn) + 6x + 4 Reemplazando xn = 1 R = (–1)2 . x – 7(–1)2 + 2(–1) . x + 5(–1) + 6x + 4 R = 5x – 8

Respuesta: B. 5x – 8

problemas de clase NIVEL I

2. De la división:

2x 7 – 3x 5 – x 4 – 2x 2 + 4 x 3 – 2x + 3

1. Dividir:

8x 4 – 6x 3 + 12x – 9 4x 2 + x – 3 e indicar el residuo. A . 4x + 1 B. 4x – 3 C. 3x + 2 D. 3x – 2

da como respuesta el producto de los grados del cociente y el residuo. A. 16 B. 8 C. 2 D. 6

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3. Dividir:

8x 4 – 6x 3 – 13x 2 + 19x – 21 2x 3 + x – 3 Da como respuesta el producto de las sumas de coeficientes de Q(x) y R(x). A. 12 B. –15 C. –13 D. 1 0

TEMA 1

DIVISIÓN ALGEBRAICA

4. Hallar el coeficiente del término cuadrático del cociente, en la división:

3x 5 – 4x 4 – 7x 2 + 5x – 9 x +2 A. 5 B. –6

C. –10 D. 2 0

Exigimos más! mx4 + nx3 – 7x2 + 16x + 15 es divisible por: x2 – 3x + 5. A. 0 C. 6 B. 4 D. 2

9. Hallar "2n – 3m" si la división es exacta:

x 4 – 3x 3 + mx – 2n x 2 – 2x + 4 A. 0 C. 4 B. 5 D. 8

15. Dados los polinomios:

P  x – 1 = 3x 2 – 4x + 5

10. Calcular "a.b" si la división: 5. Efectuar la división:

x 4 – 3x 3 + x 2 + 4x – 5 x–2 Da A. B. C. D.

como respuesta el cociente. x3 – x2 – x – 2 x3 + x2 – x + 2 x3 – x2 – x + 2 x3 – x2 + x + 2

6. Sea Q(x) el cociente de: 4

3

2

3x – x + 3x – x + 6 x –1 Calcula Q(–1). A . –1 B. 5

C. 4 D. –2

6x6 + 11x5 – 10x 4 + 8x 3 + mx 2 + nx + p 3x 3 + x 2 + x + 2

Deja resto x2 + 1. A. –1 C. 3 B. –2 D. –4

NIVEL II Calcula el valor de |a – b| si la siguiente división:

x 4 + 2x 3 – 3x 2 + ax – b x 2 + 2x – 5 es exacta. A. 4 C. 6 B. 3 D. 5 8. Calcular "abc" si el polinomio: 2x4 + 3x3 + ax2 + bx + c, es divisible por x3 + 2x2 – x – 2. A. 15 C. 2 7 B. 2 4 D. 8

Calcula el resto de la siguiente division

P3  x   Q2  x – 1 x +1 A . 128 B. –126

11. Hallar el valor de "m + n + p". Sabiendo que la división:

12. Calcula el residuo en:

7.

Q  x + 2  = 2x 3 – x – 7

5x 4 – 11x 3 + 15x 2 + ax – b 5x 2 – x – 2 Deja por resto 2x – 3. A. 16 C. 2 7 B. 1 8 D. 2 4

2x 3 – 9x 2 + 8x – 16 x–4 A. 1

C. 3

B. –2

D. 0

13. Halle el resto de dividir:

(x + 3)7 + (x 2 – x – 7)8 – x – 2 x +2 A. 4 B. 2

C. 0 D. 3

14. Determinar "mn" sabiendo que el polinomio:

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3

C. –128 D. 6 4

16. El residuo que resulta de dividir

x

4



– 3x 3 + ax 2 + bx + c + 2   x – 1

3

bx + c 2 . Halla el minimo valor de J = 9a + 3b + c. A. 24 C. 2 6 B. 2 5 D. 3 0

NIVEL III 17. Si x4 + mx2 + n es divisible entre x2 + 1, calcula el valor de m – n. A. 3 C. 0 B. 4 D. 1 18. Determin a la su ma de coeficientes del cociente de la siguiente division exacta:

  x – 1 7 + Ax + B   x 2 – x – 2  



A . –93 B. –35

TEMA 1

C. –71 D. –21

