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• Roy Marcel Vasquez

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DIVISIÓN ALGEBRAICA 01.

Calcular: “A + B” si la división es exacta: 4

Mx 4  ( M  N ) x 3  ( M  N  P ) x 2  ( N  P ) x  ( M  N )

3

x  3 x  Ax  B x2 2x  4

02.

a) – 12

b) - 14

d) – 18

e) N.A.

Mx 2  Nx  P es exacta: c) – 16

Hallar el valor de “ab” si la división es exacta

07.

ax 4  bx 3  7 x 2  4 x  3 3x 2  x 3

03.

a) 9

b) 27

d) 16

e) 32

c) 81

04.

e) 1

08.

05.

06.

e) 3

b) 16

d) 20

e) 25

Calcular “M + N + P”

e) - 53 -194

Si la siguiente división:

c) 30 Hallar:

A 1 B

a) 4

b) – 3

d) -2

e) -4

Si la división:

c) 1

c) 3

Ax3 +Bx2 + Cx +D es exacta. x2 +H2

Calcular el valor de :

Al dividir: ax5 + bx4 + (c – a) x 3 + (a – b)x2 + (b – a) x + a entre (x – 1); el resto que se obtiene es 5. hallar la suma de coeficientes del cociente. a) 17

c) 4 d) 53 35 194

Ax 2  Bx  A

09. b) –2

b) – 53 194

da por resto: R(x) = Ax + B

Ax 4  Bx 3  x 2  x  6 es exacta x2 x2

d) 2

Calcular el valor de “A” y “B” si la siguiente división:

ABx 4  ( A  B 2 ) x 3  Bx 2  ( A  B 2 ) x  A

Calcular (A + B) si la división:

a) –1

c) 0

deja como residuo –5x + 2

Si el resto es idénticamente nulo en “x”. b) 41

e) 9

a) – 54 200

2 x 5 + 3ax 4 + a 2 x 3 +ma 3 x 2 +na 4 x +pa 5 x 3 - ax 2 + 2a 2 x - a 3

d) 14

b) 1

d) 7

3 x 5  48 x 2  Ax  B x3 2x 2 4x 8

Calcular: “m2 + n2 + p2”

a) 36

a) 3

a) 1

b) 4

d) 16

e) 25

M=

AD 2 ( BC ) c) 9

c) 15 10.

Al efectuar la división:

Nx 4  ( N N 2 1) x 3  x 2 N2 x  N2  7 x  N 1

1

Se sabe que la suma de los coeficientes del cociente y el resto es cero. Hallar el resto:

11.

a) 15

b) –3N

d) – 4

e) N.A.

El trinomio:

x x  7n2

16.

c) 4 N

Hallar: “y + b”: x 5 a + x 3 a y b + x a y 4b + y 5b x 2a + x a yb + y 2b

x  6p3

si el resto es: (0, 25)-4

es divisible entre:

a) 2

b) – 2

d) – 4

e) 8

c) 4

x – (m + n)x + mn; entonces se verifica que: c) m2 = n2 = p

a) m = 2n = 2p b) m = n = p d) m = np 12.

17.

e) N.A. 5

4

Una de las relaciones que existe entre “m” y “n” para que: (mx – 3ny)2 – (5mx – 2ny)2 sea divisible por (x + y) es:

3

Si: P(x) = x + 2(m – 2n + 1)x + (m + p)x + (7n + 2p) x2 – 3x – 18 se divide entre F(x) = x3 + 2x2 – x – 2 arroja un polinomio R(x) = ax2 + bx + c.

a) m = n

b) m = 4n

d) 6m = -5n

e) N.A.

c) n = 6m

Si R(1) = R(2) = R(3) = ........ = 0 Hallar: 18.

G=m+n+p

13.

14.

a) 6

b) 5

d) 3

e) 2

y m ( y  a ) 3 m 128 ( 3 a  y ) 2 n es exacta. y  2a

c) 4

Encontrar la relación para que el polinomio (A 2 – B2) x3 + 2B(A – B) x 2 + 4ABx + B(2B – A) sea divisible entre: [(A + B) x + B - A] a) 0

b) 1

d) 3

e) 4

c) –1

19.

b) 21

d) 19

e) 18

G

Si el resto de dividir:

a b

x + ba

b) 1/2

d) 6/7

e) N.A.

Determinar:

S  3aa3 .bb2

a) 3

b) 5

d) 2

e) 4

5

m p( 9  m )

a) 1/3

c) 2/5 20.

Hallar el resto de dividir:

entre (x + 1) es

c) 6

( x + y) 2 + ( x + y)(2 z -1) + z ( z -1) + 23 x + y + z -5 a) 44

b) 43

8( x  z ) 3 ( y  z )  8( x  z )( y  z ) 3

d) 41

e) 40

b) (y + z)2 e) N.A.

5

Calcular el resto de la división:

( x  y  2 z ) 4n  ( x  z )2  ( y  z )2 ( x  y )4 n

a) 0 d) 1

c) 20

2.

P(x) = 2mx5 + 2nx4 + (6m2 – 2p)x3 + 9mnx2 + mnpx – n2 entre Q(x) = mx2 + nx – p es exacta.

15.

a) 22

P(x) = x4 + 3x3 + 2x2 -

Si la división:

Hallar:

Calcular “m + n” si la división:

c) x2 + y2 + 2z2

21.

c) 42

Hallar el resto :

2

P(x) = x2n + 3 – x3 + 5 entre (x2 – 1) es:

22.

23.

a) 1

b) 2

d) 4

e) 5

a) – 4 d) –7

b) –5 e) –8

c) –6

c) 3 27.

sea el polinomio P(x) = x2 + px + q, de coeficientes naturales y de suma mínima que verifica las siguientes condiciones:

Si un polinomio P(x) se divide entre (x –1) 4, se obtiene como resto un polinomio de 3° grado; cuya suma de coeficientes es 3. Hallar el residuo de dividir el polinomio original entre (x – 1).

I. II. III.

a) x

b) 1

Determine P(x) – 8x – 15

d) 2x

e) 3

c) 2

P(3) es divisible por 6 P(4) es divisible por 7 P(5) es divisible por 10

a) x2 + x + 1 2

28.

c) x2

2

d) x + 1

Calcular “m2 + n2” si el resto de la siguiente división:

b) x2 + 8x + 15 e) x – x – 1

Al dividir:

320

mx  nx  3 es 2x – 3 x 2  x 1

24.

a) 36

b) 64

d) 120

e) N.A.

x 2 1 Donde n  IN Indique el término independiente del residuo.

Sea P(x) un polinomio entero; al efectuar P(x)  (3x –2) se obtiene de cociente Q(x) y residuo R, al efectuar P(x)  (3/2 x – 1) se obtuvo el cociente Q(x) y resto RI

Hallar:

25.

( x 1) 2  ( x 2 1) 3  ( x 3 .1) 4  ( x 4 1) 5 ...  ( x 2 n1 1) 2 n c) 100

G

R RI

a) 1

b) 2

d) 4

e) N.A

Calcular:

G a



2Q( x )

n

29.

QI ( x )

b 3  c 3  4 a 2  bc

a3 + 7a + 1 = 0 b3 + 7b + 1 = 0 c3 + 7c + 1 = 0 Donde: a, b, c,  IR. y

30.

Si:

a) 0 d) 3 26.

b) 1 e) 4

a  b  c.

Un polinomio presenta las siguientes características: grado (m + 1), término independiente –3, primer coeficiente 1,es divisible por (xn +1). Además P(2) = -33, según lo mencionado. Hallar “n” a) 5

b) 6

d) 8

e) 9

31.

Un polinomio de 6to grado, tiene raíz cúbica, exacta, es divisible separadamente por: (x –1) y (2x + 1) y si se le divide por: (x –2) el resto es 1, 000. Calcular su término independiente. 32.

c) 7

Al dividir un polinomio P(x) por (2x + a a) se obtiene como residuo (-1) y un cociente entero cuya suma de coeficientes es 5. Hallar el valor de “a” si al dividir P(x) por (x – 1) se obtiene un residuo de 29. a) 2 d) 1

c) 2

c) 5/2 (3n + 1) e) 4n

d) 2/3 (4 –1)

c) 3

3

b) 4/3 (4n – 1)

a) 0

b) 3 e) – 2

c) 4

sea P(x) = x5 – ax + b un polinomio con coeficientes enteros . Si P(x) es divisible por (x – c)2; entonces el valor de (a + b + c) es: a) 6

b) 7

d) 9

e) 10

c) 8

Si dos de las raíces complejas de la ecuación:

3

( 2 x  3 )4n ( x  5 ) ( x 1)( x  2 )

2x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx – 2 = 0 Son: “i” , “1 + i” Hallar: “a + b+ c + d”

33.

a) 0

b) 2

d) 6

e) 8

c) 4 38.

Calcular el valor de “n” necesaria para que el término independiente del cociente entero sea 364, al dividir:

a) 1/2

b) 3/2

d) 6/5

e) N.A.

El residuo de dividir P(x) entre el producto de: (x 2 + x + 1) (x3 – x2 + 1) es (x4 + 2x2 – 5). Hallar el residuo de dividir P(x9 entre el cociente de:

x 5  x 1 x 3  x 2 1

n

(2x 3) ( x 1)( x  2 )

34.

a) 10

b) 8

d) 4

e) 12

39.

35.

d) 34

e) –38

36.

37.

c) –28 40.

Calcular: G = 3(a + b + c) Si:

(x + 1)5 + a(x + 1) 3 + bx + c, sea divisible por: (x –1)3

a) 27

b) 38

d) 184

e) N.A

b) 3(y + 2)

d) 12y – 1

e) 4y

e) N.A.

c) –x + 7

c) 12y

Si un polinomio de grado (n + 1) se anula para: x = -1, -2, -3, .... , -n , coeficiente de grado “n” es 3(n2 + n) y con un T.I. igual a cero.

a) 6x

b) 3x

d) 4

e) N.A

c) x

Un polinomio P(x) de grado 7, es divisible entre (x2 – 3) y (x3 + 5) se anula para x = -1. calcular el resto de dividir p(x) entre (x + 2) Si además P(0) = 15, P(1) = -24

c) 81

Si un polinomio P(y) de grado (n + 1) para y = 1, 8, 27, 81, .........., n 3, siempre se anulaba, calcule el cociente que resulta al dividir P(y) por el producto (y – 1) (y – 8) (y – 27) .... (y –n 3) sabiendo que el término independiente de P(y) es cero y además el coeficiente del término en “yn” está dado por –3(n2 + n)2 a) 6y

b) –x - 7

d) x – 7

Señale el cociente que se obtiene al dividir P(x) entre: (x + 1) (x + 2)

P(x) = ax4 – 5x3 + bx2 + cx + 6 es divisible entre el producto (x – d) (x - d –1) además P(-1) = -16, proporcionar el coeficiente de “b”. b) 32

a) x + 7 c) 6

Si el polinomio:

a) –16

c9 5/2

a) 4

b) 5

d) 7

e) 8

c) 6

41.

Un polinomio P(x9 de grado (m + 3), impar, cuyo T.I. es igual a 2, es divisible separadamente entre (xm+1 – 1) y (x + 1) sabiendo que disminuido en 372 y agragado en 264 es divisible entre (x – 2) y (x + 2) respectivamente. De acuerdo a ello, calcular el valor de “m”. Rpta: ..............................

42.

Calcular el resto de dividir un polinomio entero en “x” de 7mo grado entre (x + 2). Si se anula para x = 3, x = 2, x = 1 y es divisible entre (x 2 + 1) y (x + 65); además el resto de dividirlo entre (x + 1) es 960 y su término independiente 60.

señalar el valor de “n” ,tal que el término independiente del cociente entero sea 1820 al dividir:

Rpta: .............................. 43.

Si el resto de la división de:

4

P(x)  (x – a) es “R” y el resto de dividir P(x)  (x – b) es “r”. Hallar el resto de dividir P(x)  (x – a) (x –b) Rpta: ..............................

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