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• Fabricio LinLiz

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Existen expresiones algebraicas presentadas en forma de división y que son aplicadas en muchas actividades del entorno. Algunas de ellas representan leyes descubiertas por grandes científicos de la historia, por ejemplo el descubrimiento realizado por Isaac Newton sobre la Ley de Gravitación Universal:

m1m2 F G 2 r

NIVELACIÓN DE MATEMÁTICA

PRODUCTOS NOTABLES DIVISIÓN ALGEBRAICA I

EQUIPO DE CIENCIAS

ESQUEMA DE LA UNIDAD PRODUCTOS NOTABLES, DIVISIÓN ALGEBRAICA

PRODUCTOS NOTABLES: DEFINICIÓN TABLA DE IDENTIDADES CASOS ESPECIALES

DIVISIÓN ALGEBRAICA: ELEMENTOS CASOS MÉTODOS DE DIVISIÓN TEOREMA DEL RESTO

Al finalizar la sesión de aprendizaje el estudiante resuelve divisiones algebraicas utilizando el

método de Horner.

DIVISIÓN ALGEBRAICA Monomio entre monomio.- Para dividir dos monomios solo dividimos parte constante entre parte constante y parte variable entre parte variable. Ejemplo 1: Efectuar: 15x4y5  2x2y

Recuerda:

xm mn  x xn

15 x 4 y 5 15 x 4 y 5 2 4    7 , 5 x y 2 2 2x y 2 x y

Polinomio entre monomio.-Para dividir un polinomio entre un monomio se divide cada término del polinomio entre el monomio. Ejemplo 2: Efectuar

15 x 3 y 4 z 2 1   3 x y 5x 4 y 3 z 2 25 x 7 y 3  4 3 2  5 x 3 z 2 5x y z

15 x 3 y 4 z 2  25 x 7 y 3  18 x 5 z 3 5x 4 y 3 z 2 Recuerda que se divide cada término del polinomio entre el monomio.

18 x 5 z 3 18 3  4 3 2  xy z 5x y z 5 Luego,

15 x 3 y 4 z 2  25 x 7 y 3  18 x 5 z 3 18 3 1 3 2  3 x y  5 x z  xy z 4 3 2 5x y z 5

Polinomio entre Polinomio.- Para poder dividir un polinomio entre polinomio. Generalmente de una variable (División Euclidiana) se utilizan métodos prácticos como Horner, Ruffini con la finalidad que verifique la siguiente identidad. D( x)  d ( x)q( x)  r( x)

Donde: D(x):Dividendo d(x):Divisor q(x):Cociente r(x):Resíduo o Resto

Nota: r(x)=0  “División Exacta” r(x)0  “División Inexacta”

MÉTODO DE HORNER

DATOS

OBJETIVO

COEFICIENTES DIVISOR

COEFICIENTES DIVIDENDO

COEFICIENTES COCIENTE

COEFICIENTES RESTO

PROCEDIMIENTO Ejemplo 3: Hallar el cociente y el resto de dividir D(x) entre d(x) D(x)  9x 4  2x 2  6x - 8

 9x 4  0x 3  2x 2  6x - 8

d(x)  3x 2  x  2

1° Colocamos los coeficientes del dividendo y el divisor (completos y ordenados) 2 lugares porque el grado del divisor es 2 3

9 

-1

0

2

-3

6

2



6

1

-8

Nota: La cantidad de lugares que tiene el residuo es igual al grado del divisor contar de derecha a izquierda.

-2 

-3

6

3

-1

3

1

-2

x2

x

T.I

x

T.I

Por lo tanto: q(x) = 3x2 – x + 3 r(x) = x - 2

EJERCICIO EXPLICATIVO 1) Una fábrica produce 𝑃 𝑥 = 15𝑥 5 + 9𝑥 4 − 4𝑥 3 − 𝑥 2 − 𝑥 + 102 3 colchas para una empresa constituida por H ( x)  3x  2 x  1

trabajadores. Acuerdan que el sobrante de las colchas se donen a un

albergue. ¿Cuántas colchas se podrán donar para el albergue?

EJERCICIO RETO

Determinar el cociente de la siguiente división: x3  5x 2  7 x  5 x2  2x  3

NIVELACIÓN DE MATEMÁTICA DIVISIÓN ALGEBRAICA I 2. Indicar el residuo al efectuar la siguiente división:

EJERCICIOS EXPLICATIVOS 1. Efectuar: 15x4y5  2x2y

6𝑥 5 + 4𝑥 4 + 9𝑥 3 − 1 2𝑥 3 + 𝑥 − 1

2. Efectuar: 3. Dividir e indicar la diferencia entre el cociente y el residuo.

15 x 3 y 4 z 2  25 x 7 y 3  18 x 5 z 3 5x4 y3z2

2𝑥 5 − 𝑥 4 + 2𝑥 3 + 5𝑥 2 + 2 2𝑥 3 − 𝑥 2 + 5

3. Determinar el cociente y el residuo al dividir D(x) entre d(x). D(x) = 9x4 + 2x2 + 6x – 8 d(x) = 3x2 + x – 2

4. Calcular m + n + p; si la división: 8𝑥 5 + 4𝑥 3 + 𝑚𝑥 2 + 𝑛𝑥 + 𝑝 2𝑥 3 + 𝑥 2 + 3

4. Una fábrica produce 𝑃(𝑥) = 15𝑥 5 + 9𝑥 4 − 4𝑥 3 − 𝑥 2 − 𝑥 + 102

Deja como resto: 5x2 – 3x + 7

colchas para una empresa constituida por

H ( x)  3 x 3  2 x  1 trabajadores. 5. Indicar el residuo al efectuar la siguiente división:

Acuerdan que el sobrante de las colchas se donen a un albergue. ¿Cuántas colchas se

8𝑥 5 + 4𝑥 4 + 6𝑥 2 + 6𝑥 − 1 4𝑥 2 − 4𝑥 + 2

podrán donar para el albergue?

6. Indicar la suma de coeficientes del cociente de:

EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Indicar la suma de coeficientes del cociente de:

5xm n y2m 3  7 xn m y2n  7 3xm yn

15𝑥 5 − 11𝑥 4 + 21𝑥 3 − 𝑥 2 + 3 3𝑥 2 − 𝑥 + 2

7. Un empresario agrícola produce 5 x  ax  b espárragos que son empacados para su exportación en cajas que contienen 1

Nivelación de Matemática

2𝑥 7 − 3𝑥 5 − 𝑥 4 − 2𝑥 2 + 4 𝑥 3 − 2𝑥 + 3

( x  1)2 espárragos. Si no quedan espárragos, calcule el valor de a+b.

Sol. r(x) = – 19x2 + 25x – 2 8.

Una

empresa

8 x 5  4 x 3  Ux 2  Tx  P

produce

5.

son embalados en 2 x 3  x 2  3 cajas en cantidades

iguales.

Indicar el cociente al dividir:

celulares que

Si

8𝑥 5 + 4𝑥 3 + 20𝑥 2 − 9𝑥 + 16 2𝑥 3 + 𝑥 2 + 3

quedan

5 x 2  3 x  7 celulares. Halle el valor de:

Sol. q(x) = 4x2 – 2x + 3

U + T + P. 9.

Un comerciante tiene x 4  3 x 3  mx  n  3 naranjas y los empaca en x2-2x+4 cajones; si no quedan naranjas. ¿Cuál es el valor de m + n?

10. Carlos tiene “x6 + mx + n” canicas y los distribuye entre “x2 - 2x + 1” niños en partes iguales. Si no le queda canica alguna, halle el valor de “m + n”.

EJERCICIOS ADICIONALES 1.

Indicar el cociente al dividir:

10𝑥 7 − 10𝑥 6 − 6𝑥 5 − 21𝑥 4 + 2𝑥 3 + 2𝑥 − 7 5𝑥 4 − 3𝑥 2 − 𝑥 − 3 Sol. q(x) = 2x3 – 2x2 – 5 2.

Indicar el cociente al dividir: 9𝑥 8 + 12𝑥 7 + 4𝑥 6 − 15𝑥 5 − 2𝑥 2 − 𝑥 + 9 3𝑥 5 + 2𝑥 4 − 4𝑥 2 − 3 Sol. q(x) = 3x3 + 2x2 – 1

3.

Indicar el residuo al dividir: 15𝑥 7 + 6𝑥 6 − 25𝑥 5 − 9𝑥 4 + 7𝑥 2 + 4 3𝑥 4 − 5𝑥 2 + 2𝑥 − 1 Sol. r(x) = x3 – 6x2 + 6x + 1

4.

Indicar el residuo al dividir:

2

Nivelación de Matemática

PROBLEMAS RESUELTOS División algebraica.

1.

Indicar la suma de coeficientes de:

4𝑥 𝑎−𝑏 𝑦 2𝑎−3 + 7𝑥 𝑏−𝑎 𝑦 2𝑏−7 15𝑥 𝑎 𝑦 𝑏 SOLUCION Dividimos término a término:

4𝑥 𝑎−𝑏 𝑦 2𝑎−3 + 7𝑥 𝑏−𝑎 𝑦 2𝑏−7 4𝑥 𝑎−𝑏 𝑦 2𝑎−3 7𝑥 𝑏−𝑎 𝑦 2𝑏−7 = + 15𝑥 𝑎 𝑦 𝑏 15𝑥 𝑎 𝑦 𝑏 15𝑥 𝑎 𝑦 𝑏 4 𝑎−𝑏−𝑎 2𝑎−3−𝑏 7 𝑏−𝑎−𝑎 2𝑏−7−𝑏 𝑥 𝑦 + 𝑥 𝑦 15 15 4 −𝑏 2𝑎−𝑏−3 7 𝑥 𝑦 + 𝑥 𝑏−2𝑎 𝑦 𝑏−7 15 15 Los coeficientes son:

4 7 4 7 12 4 ; → + = = 15 15 15 15 15 5 La suma de coeficientes es:

1

𝟒 𝟓

NIVELACIÓN DE MATEMÁTICA PARA INGENIERÍA

Ejercicios para el Taller 5 Semana 10

Sesión 19 Productos Notables 1

1.

Reducir:

4.

M = (x + 2)2 – (2 - x)2 + (x - 4)2 – x2 - 16

R = (x + n)(x - n)(x2 + n2)(x4 + n4)(x8 + n8) + n16

Sol. 0 2.

Efectuar:

Sol. x16

Efectuar: ( x  2)( x  2)(x  4)  (x  4)( 4  x)

5.

Hallar el valor numérico de:

Sol. 0 3.

M

Efectuar: P

( a  b)2  (b  c)2  ( a  c)2 12

Si se sabe que:

( 5  1)( 5  1)  ( 3  1)( 3  1)

ab  bc  3

( 2  1)( 2  1)

Sol. Sol. 6

3 2

Productos Notables 2

6.

8.

Simplificar: A

6

( 5

6

6

6 )2  ( 5  2

6

6

6 )2

30

Si: x + y = 2 x2 + y2 = 3 ; x > y Hallar: E = x3 – y3

Sol. 2 Sol. 7.

Reducir: (x + 3)(x2 – 3x + 9) + (x2 + 3x + 9)(x - 3)

Sol. 2x

9.

7 2 2

Si: x + y = -z

3

Simplificar: Sol. 3

1

K

x3  y3  z3 xyz

10. Siendo:

xy 

3

3

100  10  1

x2  y 2  1 

3

10

Calcular el valor de: S = (x - y)4 – (x + y)4 Sol. – 88

División Algebraica 1

1.

Al efectuar la siguiente división:

4.

4x 4  13x3  28x 2  25x  12

x 4  3x3  2x 2

4x  5x  6 2

x2  x  2

Indicar su cociente Sol. x2 + 2x + 3 2.

Sol. x2 – 2x – 2

Calcular el resto de:

5.

Calcular A + B; si la división: 14x 4  Ax 3  Bx2  29x  5

(x2  5x  9)n  x2 (x  5)2  2

2x2  6x  3

x2  5x  8

Sol. 67 3.

Indicar el cociente al dividir:

Deja como resto: 2x + 1 Sol. – 15

Para que la división de: x 4  ax2  b x2  x  1

Sea exacta, señale los valores de “a” y “b” respectivamente. Sol. a = 1 ; b = 1

2