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ESCUELA MILITAR DE INGENIERIA ALGEBRA I Miscel´ aneas de problemas 2014 Tema: Estructuras Algebraicas.

Estructuras Algebraicas. Para cada operaci´on binaria ∗ definida en el conjunto se˜ nalado d´ıgase cu´ando ∗ dota al conjunto de una estructura de grupo. De no resultar grupo, mencione que axioma no cumple. 1. Definase ∗ en Z por a ∗ b = ab 2. Definase ∗ en Z por a ∗ b = a − b 3. Definase ∗ en R+ por a ∗ b = ab 4. Definase ∗ en Q por a ∗ b = ab 5. Definase ∗ en el conjunto de todos los n´ umeros reales distintos de cero por a ∗ b = ab 6. Definase ∗ en C por a ∗ b = a + b 7. D´ese una tabla para una operaci´on binaria en el conjunto {e, a, b} de tres elementos que cumplan los axiomas de la identidad e inverso de grupo, pero no se cumpla la asociatividad. 8. Sea G el conjunto de todos los n´ umeros reales excepto −1. Def´ınase ∗ en G por: a ∗ b = a + b + ab a) Muestre que ∗ da una operaci´on binaria. b) Muestre que hG, ∗i es un grupo. c) Encuentrese la soluci´on de la ecuaci´on 2 ∗ x ∗ 3 = 7 en G. 9. Demuestre que todo grupo G con identidad e tal que x ∗ x = e para todas las x ∈ G, es abeliano. (Sugerencia: consid´erese (ab)2 .) 10. Demuestre que un conjunto no vac´ıo G junto con una operaci´on binaria ∗ en G tal que las ecuaciones a∗x=b y∗a=b tienen soluciones en G para todas las a, b ∈ G, es un grupo.

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11. En R+ se define ∗ mediante a ∗ b = 2ab Verificar que hR+ , ∗i es grupo abeliano. 12. En el conjunto C de los n´ umeros complejos se considera ∗ definida por: a∗b=a+b−i Probar que hC, ∗i es grupo abeliano. 13. En RI = {f /f : [0, 1] → R} se define la suma de funciones por medio de: (f + g)(x) = f (x) + g(x) Demostrar que hRI , +i es grupo abeliano. 14. En el conjunto N, de los n´ umeros naturales, se define la siguiente operaci´on ∗. Dados a y b cualesquiera pertenecientes a N a ∗ b = ab + 1 a) Hallar: 1) 2) 3) 4)

(1 ∗ 2) ∗ 3 1 ∗ (2 ∗ 3) (1 ∗ 2) ∗ (3 ∗ 2) (2 ∗ 3) ∗ (2 ∗ 1)

b) Es asociativa? c) Es conmutativa? 15. Se define la ley de composici´on interna ∗ siguiente tabla: ∗ 0 0 0 1 1 2 2 3 3

en el conjunto A = {0, 1, 2, 3} mediante la 1 1 2 3 0

2 2 3 0 1

3 3 0 1 2

Si a y b son dos elementos de A, el resultado de operar a con b se halla en la intersecci´on de la fila a con la columna b. a) Hallar: 1) 2) 3) 4)

3 ∗ (2 ∗ 1) (3 ∗ 1) ∗ 2 (0 ∗ 2) ∗ (2 ∗ 3) (3 ∗ 0) ∗ (2 ∗ 2)

b) Es conmutativa?

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c) Posee elemento neutro?, si es as´ı cual es? d ) Es asociativa? e) Posee elemento inverso?, si es as´ı cual es? 16. En el conjunto Q de los n´ umeros racionales, se define la operaci´on ∗ mediante a∗b=

a+b 2

¿Qu´e propiedades cumple dicha operaci´on?. 17. En el conjunto Z, se establece la siguiente operaci´on ∗: a ∗ b = a(b + 1) + b(a + 1) ¿Qu´e propiedades cumple dicha operaci´on? 18. En el conjunto Q, se definen las leyes de composici´on interna ∗ y ◦ mediante: a∗b=

a+b 3

a ◦ b = 3ab

Investigar las distributividades de ◦ respecto de ∗. 19. En el conjunto Z, se define la ley de composici´on interna ∗ mediante: a∗b=a Probar que hZ, ∗i es grupo. 20. En el conjunto R+ , se establece la operaci´on ∗ mediante: √ a ∗ b = 3ab Determinar si hR+ , ∗i es grupo abeliano. 21. Demostrar que hR2 , +i es grupo abeliano, siendo el conjunto de pares ordenados de n´ umero reales, y la suma definida por: (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) 22. Determ´ınese cu´ales de los siguientes subconjuntos de los n´ umeros complejos son subgrupos bajo la suma de grupo C de los n´ umeros complejos bajo la suma. a) R b) Q+ c) 7Z d ) El conjunto iR de los n´ umeros imaginarios puros incluyendo 0. e) El conjunto πQ de los m´ ultiplos racionales de π

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f ) El conjunto {π n /n ∈ Z} 23. ¿Cu´ales de los siguientes grupos son c´ıclicos? Para cada grupo c´ıclico obetener todos los generadores del grupo. a) G1 = hZ, +i b) G2 = hQ, +i c) G3 = hQ+ , ·i d ) G4 = h6Z, +i e) G5 = {6n /n ∈ Z} bajo la multiplicaci´on. √ f ) G6 = {a + b 2/a, b ∈ Z} 24.

a) Por analog´ıa, compl´etese la tabla para obtener el grupo c´ıclico Z6 de 6 elementos (No es necesario probar la ley asociativa) + 0 1 2 3 4 5

0 0 1 2 3 4 5

1 1 2

2 2 3

3 3 4

4 4 5

5 5 0

b) Calcular los subgrupos h1i, h2h, h3i, h4i y h5i del grupo Z6 c) Qu´e elementos son generadores para el grupo Z6 de la parte a) 25. Sea G un grupo y a un elemento fijo de G, muestre que: Ha = {x ∈ G/xa = ax} es un subgrupo de G. 26. Sea H un subgrupo de un grupo G. Para a, b ∈ G sea a ∼ b si y s´olo si ab−1 ∈ H. Demuestre que ∼ es una relaci´on de equivalencia en G. 27. Para los conjuntos H y K def´ınase la intersecci´on H ∩ K por: H ∩ K = {x/x ∈ H ∧ x ∈ K} Demuestre que H ≤ G y K ≤ G, entonces H ∩ K ≤ G. 28. Sea A un conjunto no vacio, en el que se han definido dos operaciones, + y ◦ respectivamente. Si hA, +i es un grupo abeliano, y se define ◦ mediante a◦b=0 entonces verificar que la terna hA, +, ◦i es un anillo conmutativo.

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29. Probar que la terna hZ2 , +, ◦i es un anillo conmutativo con identidad. Siendo Z2 el conjunto de pares ordenados de n´ umeros enteros, + la suma habitual y ◦ definida por: (a, b) ◦ (c, d) = (ac, ad + bc) 30. Sea hG, ∗i un grupo. En G se define la operaci´on ◦ mediante: a◦b=b∗a Demostrar que hG, ◦i es un grupo. 31. Sea G = Q \ {−1}. Definimos la operaci´on binaria en G como a ◦ b = a + b + ab Demuestre que hG, ◦i es un grupo abeliano. 32. En Z se define la operaci´on binaria ◦ como a ◦ b = a + b + 1. Demuestre que hZ, ◦i es un grupo abeliano. a 33. Sea A = {1, 2} y P(A) el conjunto partes de A. Demuestre que hP(A), , ∩i es un anillo conmutativo con identidad. 34. Sea A un conjunto y P(A). ¿EshP(A), ∪, ∩i un anillo? 35. Considere el conjunto Z junto con las operaciones binarias ∗ y ◦ definidas por a∗b=a+b+1

a ◦ b = a + b − ab

a) Demuestre que hZ, ∗, ◦i es un anillo b) Es conmutativo este anillo? c) Es un anillo con identidad? 36. Sea n, m enteros fijos. Encuentre todos los valores de n, m para los que hZ, ∗, ◦i es un anillo con las operaciones binarias a∗b=a+b−n

a ◦ b = a + b − mab

37. Demostrar que la composici´on de dos homomorfismos de grupos es un homomorfismo. 38. Sea Aut(G) es grupo de los automorfismos del grupo hG, ∗i, con la composici´on de funciones. Demostrar que la funci´on F : G → Aut(G) definida por F (a) = fa es un morfismo. 39. El subgrupo H de G es normal, si y s´olo si uH = Hu.

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40. En A = {0, 1, 2, 3} se define la adici´on y multiplicaci´on mediante las tablas + 0 1 2 3

0 0 1 2 3

1 1 0 3 2

2 2 3 0 1

3 3 2 1 0

· 0 1 2 3

0 0 0 0 0

1 0 1 0 1

2 0 2 0 2

3 0 3 0 3

Comprobar que hA, +, ·i es un anillo no conmutativo y sin identidad.

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