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Universidad Mayor de San Sim´ on Facultad de Ciencias y Tecnolog´ıa

Hans M¨ uller Santa Cruz Departamento de Mathematicas

Correcci´ on Segundo Parcial de C´ alculo III

1, 2, 3, 4

18 de diciembre de 2006

Tabla de Respuestas 1. (25 puntos)Hallar x(ln 2), sabiendo que x es soluci´ on del problema a valor inicial  x˙ = 13x + 16y,    y˙ = −9x − 11y, x(0) = −4,    y(0) = 3. Respuesta: La matriz asociada al sistema lineal homog´eneo a coeficientes constantes es   13 16 , A= −9 −11 determinamos sus valores propios λ − 13 −16 = λ2 − 2λ − 143 + 144 = λ2 − 2λ + 1 = (λ − 1)2 . 9 λ + 11 λ = 1 es el valor propio de A, que se repite 2 veces, cuya contribuci´on a la soluci´on general es: x = c11 et + c12 tet y = c21 et + c22 tet . Remplazando las condiciones iniciales obtenemos  x(0) = c11 et = −4 → c11 = −4, y(0) = c21 et = 3

c21 = 3.

Remplazamos en la primera ecucaci´ on −4et + c12 (1 + t)et = −52e6 + 13c12 tet + 48et + 16c22 tet ⇒ c12 = 0,

c22 = 0.

Por lo tanto, x = −4et , de donde x(ln 2) = −8 .

2. (25 puntos)Utilizando m´etodos diferenciales, hallar la ecuaci´ on general de la familia de curvas cuyas tangentes son las normales de las curvas de ecuaci´ on general (2y − x3 ) dx = x dy Respuesta: Las normales son rectas ortogonales a las tangentes, por lo tanto debemos encontrar un campo ~v (x, y) ortogonal al campo de vectores tangentes ~u(x, y) de la familia de ecuaci´on general x2 − y 2 = c. Para tal efecto, derivamos y obtenemos x 2x − 2yy 0 = 0 ⇒ y 0 = , y

de donde, obtenemos el campo   y ~u(x, y) = . x Obtenemos ~v (x, y) haciendo rotar de 90◦ ~u(x, y); es decir,      0 −1 y −x ~v (x, y) = = . 1 0 x y La ecuaci´ on diferencial de la familia de curvas buscada es c y y 0 = − ⇒ y = ce− ln x = x x Por lo tanto, la familia de curvas, cuyas tangentes son las normales de las curvas de ecuaci´on general x2 − y 2 = c, tiene como ecuaci´ on general xy = c .

3. (25 puntos)Resolviendo, hallar la soluci´ on general de (2y − x3 ) dx = x dy Respuesta: Una verificaci´ on muestra que la ecuaci´on no admite primitiva; en efecto ∂2y − x3 ∂−x = 2 6= −1 = . ∂y ∂x Convertimos la ecuaci´ on a una ecuaci´on diferencial ordinaria 2 y 0 = y − x2 ⇒ y = ce2 ln x − x3 ⇒ y = cx2 − x3 . x La soluci´ on general est´ a dada por y = −x3 + cx2 .

4. (25 puntos)Resolviendo, hallar u(3, 2), sabiendo que u es soluci´ on de ∂u ∂x

+ ∂u ∂y = 0. u(x, 0) = x. Respuesta: y

Las direcciones caracter´ısticas est´ an dadas por ~c = (1, 1), que cortan la curva de condiciones iniciales (el eje x). Por consiguiente las ecuaciones caracter´ısticas y las curvas caracter´ısticas est´an dadas por:

Cc

Ci x

  x˙ = 1, y˙ = 1,  x(0) = x0 ,

  y(0) = 0.



 ⇒

x = t + x0 , y = t.

La ecuaci´ on asociada a la curva caracter´ıstica que pasa por (x0 , 0) es f 0 = 0, de donde f (t) = x0 . Se tiene t = y e x0 = x − y, de donde u(x, y) = x − y, en particular u(3, 2) = 1 .

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Hans M¨ uller Santa Cruz Departamento de Matem´ aticas

Segundo Parcial de C´ alculo III

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Nombre y Apellido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Carnet de Identidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Indicaciones: En las hojas en blanco, escriba con letra clara el desarrollo de las preguntas que est´ a respondiendo, indicando claramente a que pregunta corrresponde. En la tabla de respuestas, marque la opci´ on que considere correcta. El examen esta dise˜ nado de manera que en cada una de las preguntas, una de las opciones sea la correcta; sin embargo, por errores de transcripci´ on puede suceder que ninguna sea la correcta. Si es el caso, marcar esta opci´ on y si el desarrollo de la pregunta es correcto tendr´ a una bonificaci´ on adicional de 5 puntos por la pregunta. Importante. No olvidarse de marcar la respuesta que considere correcta en el talonario, porque solamente se corrigen las respuestas correctas del talonario. Las no respondidas se consideran incorrectas.

Tabla de Respuestas 1.

d

2.

d

3.

d

4.

d

1. (25 puntos) Hallar x(ln 2), sabiendo que x es  x˙    y˙ x(0)    y(0)

soluci´ on del problema a valor inicial = 13x + 16y, = −9x − 11y, = −4, = 3.

Respuesta: a) x(ln 2) = 0, c) x(ln x) = −e2 , e) Ninguna de las anteriores.

b) x(ln 2) = 6, d) x(ln 2) = −8,

2. (25 puntos) Utilizando m´etodos diferenciales, hallar la ecuaci´ on general de la familia de curvas cuyas tangentes son las normales de las curvas de ecuaci´ on general (2y − x3 ) dx = x dy Respuesta: a) x2 + y 2 = c, c) x2 + y 2 + cy = 1, e) Ninguna de las anteriores.

b) xy 2 = c, d) xy = c,

3. (25 puntos) Resolviendo, hallar la soluci´ on general de (2y − x3 ) dx = x dy Respuesta: a) y = x2 + cx3 , c) y = x3 + cx, e) Ninguna de las anteriores.

b) y = x4 + cx3 , d) y = −x3 + cx2 ,

4. (25 puntos) Resolviendo, hallar u(3, 2), sabiendo que u es soluci´ on de ∂u ∂x

+ ∂u ∂y = 0. u(x, 0) = x. Respuesta: a) u(3, 2) = 0, c) u(3, 2) = −1, e) Ninguna de las anteriores.

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b) u(3, 2) = e−1 , d) u(3, 2) = 1,

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Nombre y Apellido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Carnet de Identidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Indicaciones: En las hojas en blanco, escriba con letra clara el desarrollo de las preguntas que est´ a respondiendo, indicando claramente a que pregunta corrresponde. En la tabla de respuestas, marque la opci´ on que considere correcta. El examen esta dise˜ nado de manera que en cada una de las preguntas, una de las opciones sea la correcta; sin embargo, por errores de transcripci´ on puede suceder que ninguna sea la correcta. Si es el caso, marcar esta opci´ on y si el desarrollo de la pregunta es correcto tendr´ a una bonificaci´ on adicional de 5 puntos por la pregunta. Importante. No olvidarse de marcar la respuesta que considere correcta en el talonario, porque solamente se corrigen las respuestas correctas del talonario. Las no respondidas se consideran incorrectas.

Tabla de Respuestas 1.

c

2.

c

3.

c

4.

c

1. (25 puntos) Hallar x(ln 2), sabiendo que x es  x˙    y˙ x(0)    y(0)

soluci´ on del problema a valor inicial = 13x + 16y, = −9x − 11y, = −4, = 3.

Respuesta: a) x(ln 2) = 6, c) x(ln 2) = −8, e) Ninguna de las anteriores.

b) x(ln x) = −e2 , d) x(ln 2) = 0,

2. (25 puntos) Utilizando m´etodos diferenciales, hallar la ecuaci´ on general de la familia de curvas cuyas tangentes son las normales de las curvas de ecuaci´ on general (2y − x3 ) dx = x dy Respuesta: a) xy 2 = c, c) xy = c, e) Ninguna de las anteriores.

b) x2 + y 2 + cy = 1, d) x2 + y 2 = c,

3. (25 puntos) Resolviendo, hallar la soluci´ on general de (2y − x3 ) dx = x dy Respuesta: a) y = x4 + cx3 , c) y = −x3 + cx2 , e) Ninguna de las anteriores.

b) y = x3 + cx, d) y = x2 + cx3 ,

4. (25 puntos) Resolviendo, hallar u(3, 2), sabiendo que u es soluci´ on de + ∂u ∂y = 0. u(x, 0) = x. ∂u ∂x

Respuesta: a) u(3, 2) = e−1 , c) u(3, 2) = 1, e) Ninguna de las anteriores.

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b) u(3, 2) = −1, d) u(3, 2) = 0,

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Firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Indicaciones: En las hojas en blanco, escriba con letra clara el desarrollo de las preguntas que est´ a respondiendo, indicando claramente a que pregunta corrresponde. En la tabla de respuestas, marque la opci´ on que considere correcta. El examen esta dise˜ nado de manera que en cada una de las preguntas, una de las opciones sea la correcta; sin embargo, por errores de transcripci´ on puede suceder que ninguna sea la correcta. Si es el caso, marcar esta opci´ on y si el desarrollo de la pregunta es correcto tendr´ a una bonificaci´ on adicional de 5 puntos por la pregunta. Importante. No olvidarse de marcar la respuesta que considere correcta en el talonario, porque solamente se corrigen las respuestas correctas del talonario. Las no respondidas se consideran incorrectas.

Tabla de Respuestas 1.

b

2.

b

3.

b

4.

b

1. (25 puntos) Hallar x(ln 2), sabiendo que x es  x˙    y˙ x(0)    y(0)

soluci´ on del problema a valor inicial = 13x + 16y, = −9x − 11y, = −4, = 3.

Respuesta: a) x(ln x) = −e2 , c) x(ln 2) = 0, e) Ninguna de las anteriores.

b) x(ln 2) = −8, d) x(ln 2) = 6,

2. (25 puntos) Utilizando m´etodos diferenciales, hallar la ecuaci´ on general de la familia de curvas cuyas tangentes son las normales de las curvas de ecuaci´ on general (2y − x3 ) dx = x dy Respuesta: a) x2 + y 2 + cy = 1, c) x2 + y 2 = c, e) Ninguna de las anteriores.

b) xy = c, d) xy 2 = c,

3. (25 puntos) Resolviendo, hallar la soluci´ on general de (2y − x3 ) dx = x dy Respuesta: a) y = x3 + cx, c) y = x2 + cx3 , e) Ninguna de las anteriores.

b) y = −x3 + cx2 , d) y = x4 + cx3 ,

4. (25 puntos) Resolviendo, hallar u(3, 2), sabiendo que u es soluci´ on de ∂u ∂x

+ ∂u ∂y = 0. u(x, 0) = x. Respuesta: a) u(3, 2) = −1, c) u(3, 2) = 0, e) Ninguna de las anteriores.

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b) u(3, 2) = 1, d) u(3, 2) = e−1 ,

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Firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Indicaciones: En las hojas en blanco, escriba con letra clara el desarrollo de las preguntas que est´ a respondiendo, indicando claramente a que pregunta corrresponde. En la tabla de respuestas, marque la opci´ on que considere correcta. El examen esta dise˜ nado de manera que en cada una de las preguntas, una de las opciones sea la correcta; sin embargo, por errores de transcripci´ on puede suceder que ninguna sea la correcta. Si es el caso, marcar esta opci´ on y si el desarrollo de la pregunta es correcto tendr´ a una bonificaci´ on adicional de 5 puntos por la pregunta. Importante. No olvidarse de marcar la respuesta que considere correcta en el talonario, porque solamente se corrigen las respuestas correctas del talonario. Las no respondidas se consideran incorrectas.

Tabla de Respuestas 1.

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4.

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1. (25 puntos) Hallar x(ln 2), sabiendo que x es  x˙    y˙ x(0)    y(0)

soluci´ on del problema a valor inicial = 13x + 16y, = −9x − 11y, = −4, = 3.

Respuesta: a) x(ln 2) = −8, c) x(ln 2) = 6, e) Ninguna de las anteriores.

b) x(ln 2) = 0, d) x(ln x) = −e2 ,

2. (25 puntos) Utilizando m´etodos diferenciales, hallar la ecuaci´ on general de la familia de curvas cuyas tangentes son las normales de las curvas de ecuaci´ on general (2y − x3 ) dx = x dy Respuesta: a) xy = c, c) xy 2 = c, e) Ninguna de las anteriores.

b) x2 + y 2 = c, d) x2 + y 2 + cy = 1,

3. (25 puntos) Resolviendo, hallar la soluci´ on general de (2y − x3 ) dx = x dy Respuesta: a) y = −x3 + cx2 , c) y = x4 + cx3 , e) Ninguna de las anteriores.

b) y = x2 + cx3 , d) y = x3 + cx,

4. (25 puntos) Resolviendo, hallar u(3, 2), sabiendo que u es soluci´ on de ∂u ∂x

+ ∂u ∂y = 0. u(x, 0) = x. Respuesta: a) u(3, 2) = 1, c) u(3, 2) = e−1 , e) Ninguna de las anteriores.

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b) u(3, 2) = 0, d) u(3, 2) = −1,