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ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN Las ecuaciones diferenciales de segundo orden son aquella que contiene derivadas de primer y segundo orden o de 2° orden únicamente. Caso 1: Si la ecuación diferencial de 2° orden no contiene la variable y, se puede escribir de la siguiente forma:

Para resolverla hacemos

con lo cual se tiene que:

Por lo tanto la ecuación I podemos escribirla de la siguiente forma:

Ejemplo 1:

Si

, entonces

Si remplazamos II en I, se tiene que:

Esta es una ecuación de variables separable, cuya solución es: Entonces integramos a ambos lados tenemos que:

Pero como

entonces:

Esta ecuación se soluciona por variables separables:

Caso 2: Si la ecuación de segundo orden no contiene x podemos expresarla por medio de la siguiente estructura:

Para solucionarla hacemos

, con lo cual

Remplazando II y III en I tenemos que: , esta es una ecuación de primer orden.

Ejemplo 2: Si

y

Remplazamos en la ecuación dada: Esta es una ecuación de primer orden , Entonces tratamos de convertirla en exacta, multiplicando por -1.

Para que la ecuación sea exacta la derivada de M, debe ser igual a la de N. Entonces:

Entonces la ecuación es exacta. En este caso hacemos:

Utilizamos cualquier de las dos ecuaciones para hallar la función .

Entonces,

Ahora;

Entonces,

;

Ahora resolvemos ecuación;

, pero como hallamos

en el proceso anterior la remplazamos en esta

; Pero se eliminan los Y tenemos que: ; Integramos

Entonces tenemos h para sumar en la función .

Entonces;

Como sabemos la solución de la ecuación exacta es igual a

con una constante C. Entonces:

Pero recordemos que

Ahora tenemos que esta ecuación es de variables separables. Resolvemos entonces:

Pero

Remplazamos en la integral tenemos que:

Pero

Donde la anterior es la solución a la ecuación dada en el principio.

ECUACIÓN LINEAL DE SEGUNDO ORDEN En términos generales una ecuación lineal de segundo orden puede ser escrita en la siguiente forma:

A diferencia de las ecuaciones lineales de primer orden, en estas no se presentan casos según la forma de la ecuación. Ahora solo resolveremos por la forma lineal. Cuando una ecuación lineal es de segundo orden no solo vamos a tener una solución, sino dos ecuaciones que satisfacen la ecuación diferencial y las llamamos:

También aparecerán dos constantes

.

Es decir, que si remplazo la ecuación ecuación .

en la ecuación dada se satisface, lo mismo para la

Aparte de estas dos soluciones, tenemos otra solución que se obtiene mediante la superposición, este es llamado el Teorema de Superposición.

Teorema de superposición Si función

, son soluciones de la ecuación diferencial también es solución de la ecuación diferencial.

Ejemplo:

Sea

Ahora necesitamos la primera derivada

Ahora la segunda derivada

, entonces la

Remplazamos I y II en la ecuación dada, y tenemos que:

Entonces

y se cumple que

Es la solución general.

Conjunto Fundamental de Soluciones El conjunto de soluciones se llama conjunto fundamental de soluciones (CFS) de la ecuación diferencial , si cualquier solución de la ecuación se puede expresar como una combinación lineal de sus soluciones con sus constantes apropiadas. Conjunto Fundamental de Soluciones,

deben ser lineal mente independientes.

Conjunto Fundamental de Soluciones típico Es el conjunto fundamental, donde las funciones que lo conforman tienen coeficiente 1. Si tenemos , y este es un conjunto fundamental de soluciones, donde linealmente independientes, entonces la solución general de la ecuación será:

son

Pero acá tenemos que las soluciones de la ecuación deben tener coeficiente 1. Entonces la solución es . Si partimos del ejemplo: Cuya solución fundamental Y la solución general:

Entonces toda ecuación lineal homogénea igual a 0 va tener de forma general

Ahora si queremos comprobar que el conjunto fundamental de la ecuación esta correcta, utilizamos el teorema de Wronskiano.

Teorema de Wronskiano El Wronskiano de n funciones se define como

De esta forma se puede comprobar que la función

son linealmente independientes.

Entonces; Si

, entonces

son linealmente independientes.

Ahora si el conjunto fundamental esta dado por

Donde

Por lo tanto

son linealmente independientes. Por lo que

son CFS.

Ejemplo: Determinar si

es un conjunto fundamental de soluciones de

Para saber si

son CFS, es necesario encontrar el Wronskiano:

Por lo tanto el conjunto de funciones

es linealmente independiente y es un CFS.

.

ECUACION DIFERENCIAL HOMOGENEA DE COEFICIENTES CONSTANTES

Esta ecuación tiene la forma

Si la ecuación es homogénea significa que esta, se encuentra igualada a cero, y los valores que acompañan a son constantes, no son funciones de x. Ahora si suponemos que la solución a la ecuación dada es , entonces

Si reemplazamos I, II y III en la ecuación dada tenemos que:

Si sacamos factor común

:

Pero por lo tanto , donde esta, es la ecuación característica. También esta es una ecuación cuadrática, donde puedo obtener dos soluciones , que van ayudar a encontrar

Entonces

Ahora se presentan varios casos dependiendo del valor del radicando, los cuales son: Caso 1: Osea, es positivo entonces,

, y además

.

Entonces de esta forma logramos demostrar si son o no linealmente independientes. Ahora,

Y el Conjunto Fundamental de Soluciones será:

Y la solución será:

Ejemplo: Si suponemos que factorizamos:

, y la ecuación característica es

Entonces

Cuya solución general será:

Caso 2: Las soluciones para este caso serán reales e iguales.

El Conjunto Fundamental de Soluciones

Y la solución general de este caso será:

y la

Ejemplo: Si

y la ecuación característica es

Entonces

, y factorizamos tenemos que

, son reales iguales.

El Conjunto Fundamental de Soluciones

Y la solución general

Caso 3: Osea, que es un número o un conjunto de números negativos. Para este caso aplicamos el siguiente teorema. Teorema: Si la ecuación diferencial , es la función compleja donde u y v son funciones de variable real, entonces son soluciones linealmente independientes de la ecuación diferencial. Entonces tenemos que:

Donde i es un número imaginario

, si pasamos a la forma polar Donde

es la parte imaginaria.

Y la solución general será:

Ejemplo: Si donde:

, la ecuación característica es

Donde

Donde CFS será:

Y la solución general será:

, esta es una ecuación cuadrática

ECUACIONES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN NO HOMOGENEAS Estas tienen la forma

Y la solución general es:

Entonces;

Y se puede solucionar por medio del método de los coeficientes indeterminados, o por variación de parámetros.

Teorema: Si como:

es solución de

entonces podrá expresarse

Donde son soluciones linealmente independientes de la correspondiente ecuación homogénea.

Método de Variación de Coeficientes Indeterminados Sirve para encontrar la solución particular de una ecuación no homogénea de coeficientes constantes, donde se restringe a 4 formas detalladas en la siguiente tabla:

Donde

Ejemplo: Donde la solución es:

Ahora la ecuación dada no es homogénea y cumple con uno de los requisitos de la tabla, la que tiene , es un polinomio de grado 2.

La solución complementaria será:

Igualamos a 0 La ecuación característica será

Factorizamos y tenemos que:

El Conjunto Fundamental Soluciones será:

La solución complementaria será:

Como en la ecuación dada

Y en la tabla tenemos que solución particular de

a un polinomio es

Entonces

Pero tenemos que evaluar la ecuación en los valores de S, entonces empezamos con:

Entonces la solución será:

Recordemos que la solución particular debe ser linealmente independiente de la solución complementaria. Entonces es linealmente independiente a la solución complementaria por tanto la solución general va tener la forma Como la solución particular va satisfacer la ecuación dada entonces la derivamos y reemplazamos en la ecuación dada:

Reemplazando en la ecuación dada tenemos que:

Si agrupamos ahora los coeficientes de la ecuación anteriormente planteada tenemos que:

Si agrupamos las constantes con coeficiente x tenemos que:

Si agrupamos las constantes con coeficiente x2 tenemos que:

Tenemos entonces 3 ecuaciones lineales con 3 incógnitas, si despajamos

, de la ecuación

anteriormente planteada tenemos que

, tenemos que:

Si reemplazamos

Y reemplazamos

Teniendo tiene la forma

en

, tenemos que:

, podemos expresar de forma correcta la ecuación particular que

Pero lo que necesitamos es la solución general que está dada por la suma de

Método de Variación de Parámetros Sirve para encontrar la solución particular

de la ecuación

conociendo el conjunto fundamental de soluciones ecuación homogénea.

, de la correspondiente

Entonces si supones que

Es la solución particular de ecuación anteriormente escrita, entonces debemos derivar

es una solución particular de a y reemplazarla en la ecuación dada.

Entonces;

Ahora pondremos unas condiciones: CONDICION 1: Si esto es cero entonces

Y

sera:

será:

Reemplazamos

en la ecuación dada: [

Por conveniencia agrupamos todos los

Pero sabemos que la ecuación tenemos que:

son soluciones de la ecuación dada, al reemplazar estos términos en

Y nos quedaría entonces una expresión más sencilla:

Donde esta es la condición 2.

CONDICION 2: Como una condición depende de la otra tendríamos, un sistema de condiciones, usaremos para tratar de hallar la solución particular:

Ahora armamos una matriz con los coeficientes del sistema, las variables y la igualdad

Ahora aplico la regla de cramer

Entonces para encontrar

integramos la anterior ecuación

Ahora aplicamos el mismo método para hallar

Entonces:

Una vez obtenidos

, y hallamos la solución particular dada la forma:

Reemplazamos y tenemos que:

Ejemplo: Encontrar la solución general de Cuya solución está dada por

1. Encontramos

e igualamos a cero

Cuya ecuación característica será:

Y el conjunto fundamental será: Donde la solución complementaria será: 2. Encontrar Cuya solución general es de la forma

Y suponemos que

Ahora;

Entoces;

Y

^

, además hallamos el Wronskiano

Entonces

, será:

Y la solución general será:

TRANSFORMADA DE LAPLACE Transformación de Laplace Si a una función dada nueva función:

, definida para todo valor positivo de , se hace corresponder una

(1) A la correspondencia se le llama “la transformación de Laplace” y a Laplace de ” y se notara por:

, “la transformada de

(2) Por ejemplo, si

Por esto, si

cuando

, entonces

entonces se tiene: (3)

Ejemplo 1: Sea

Luego, si

, entonces

entero mayor que cero se obtiene: (4)

Aplicando la relación (4) sucesivamente se tiene:

(5)

Ejemplo 2: Sea

cuando

una constante. Entonces:

Por consiguiente, cuando

se tiene:

Ejemplo 3: Se pueden comprobar fácilmente los siguientes resultados: = = La propiedad de linealidad, una de las más importantes propiedades de la transformación de Laplace, está planteada por el siguiente teorema.

Teorema 1 La transformación de Laplace es una operación lineal, es decir: (6) Donde

y

son constantes.

Demostración: Aplicando la definición de la transformada de Laplace,

Ejemplo 4: Sea

constante. Entonces

Los resultados de los ejemplos 1-4 están dados en la tabla 1, en la cual es la transformación de Laplace de , es decir, la función que corresponde a la función dada . Se puede pensar también en la correspondencia inversa, llamada “la transformación inversa de Laplace” y denotado por:

(7)

1

TABLA NO. 1 Por

ejemplo, es

en

la

tabla

1,

la

transformada

y la transformada inversa de Laplace de

es

de .

Laplace

de

la

función

Teorema 2 Sea

una función integrable, definida en [0.1] y que satisface la condición: Para todo

Donde

(7)

son algunas constantes. Entonces la transformada de Laplace de

existe para todo

Demostración: Sea:

Luego, si

la ultima expresión tiene el valor

, cuando

, por lo tanto existe el límite:

Esto completa la prueba.

Transformación de una ecuación diferencial ordinaria Teorema 3 Si

satisface la condición (7) del teorema 2, entonces se tiene: (1)

Demostración Sea:

(2) Si

entonces se tiene para

que:

Por lo tanto, de (2) se tiene que existe la trasformada de Laplace de la derivada

Aplicando (1) a la segunda derivada de ,

, esto es:

, se tiene:

(3) Así sucesivamente: (4) (5)

Ejemplo 1: Se considera la ecuación diferencial: Hallar su solución general (6) Aplicando la transformación de Laplace a ambos miembros de la ecuación (6) se tiene: o, Utilizando la fórmula 3:

Ó,

(7)

Dividiendo por (8) Aplicando la transformación inversa,

a la ecuación (8) se obtiene (9)

En la tabla no. 1 se ve que la transformada de la inversa de

es

luego se tiene: (10)

Se observa que constantes arbitrarias:

pueden tomar cualquier valor, es decir, pueden considerarse como

Entonces la solución (10) toma la forma: (11) Se ve que al aplicar la transformación de Laplace a una ecuación diferencial lineal, esta se convierte en una ecuación algebraica. Luego al resolver la ecuación algebraica obtenida se puede encontrar fácilmente “la transformada de la solución, y de esta manera obtener la solución aplicando finalmente la inversa

Teorema 4 Si

satisface la condición (7) del teorema 2, entonces: (12)

Demostración Sea

entonces

aplicando el teorema 3 se tiene:

Puesto que Nota: el teorema 4 puede expresarse de la siguiente forma:

Ejemplo 2: Sea

hallar

De la tabla no. 1 se tiene:

Entonces:

ó,

Aplicando otra vez el teorema 4 se tiene:

EJERCICIOS TRANSFORMADA DE LAPLACE TEOREMA 1. EJERCICIOS 1) a

2)

-

3)

-

-

-

TRANSFORMADA INVERSA. EJERCICIOS 1)

2) -

TEOREMA 3. EJERCICIO 1)

donde

TRABAJO SOBRE ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN

ALUMNOS: PRISYLA ACOSTA KATHERINE NAVARRO CARLOS VISBAL

PROFESOR: HERMES LAMADRID

UNIVERSIDAD DEL ATLANTICO FACULTAD INGENIERIA INGENERIA INDUSTRIAL ASIGNATURA: ECUACIONES DIFERENCIALES FECHA: 05/06/2012