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UNIVERSIDAD DE CARTAGENA PROGRAMA: INGENIERIA DE SOFTWARE AÑO: 2020- 1 SEMESTRE IV ASIGNATURA: ECUACIONES DIFERENCIALES EXAMEN FINAL TUTOR: ATILANO ARRIETA VIVERO NOMBRE: ALEXANDER NIEVES ROMERO CODIGO: 7501810013

1: Obtener la ecuación diferencial asociada con la primitiva 1.1: y= ACos ∝ x +BSen ∝ x , para A y B constantes arbitrarias y ∝ fija Solución: y= ACos ∝ x +BSen ∝ x

dy A ∝ sen ∝ xB ∝ cos ∝ x dx d2 y 2 2 2 2 = A ∝ cos ∝ x−B x sen ∝ x=−∝ ( Aocs ∝ x +Bsen ∝ x ) =∝ y 2 dx d2 y 2 +∝ y=0 2 dx

1.2:

y= A e2 x + B e x +C

Solución: 2 3 dy 2x x d y 2x x d y 2x x =2 A e + B e , 2 =4 A e +B e , 3 =8 A e +B e dx dx dx 3 2 2 d y d y dy d3 y d 2 y 2x d y 2x −, =4 A e , − =2 A e y − =2 dx 3 dx 2 dx 2 dx dx 3 dx 2 d 2 y dy d3 y d2 y dy − = −3 + 2 =0 2 3 2 dx dx dx dx dx

(

)

2: Expresar mediante ecuación diferencial los siguientes principios 2.1: La población P de una ciudad es proporcional a la población y a la diferencia entre doscientos mil y la población Solución dP/dt = kP(200.000 - P) 2.2: El radio se desintegra a una velocidad proporcional a la cantidad Q del radio presente Solución sol. dQ/dt = - kQ 2.3: Para cierta sustancia la velocidad de cambio de presión de vapor P respecto a la temperatura T es proporcional a la presión de vapor e inversamente proporcional al cuadrado de la temperatura Solución dP/dT = kp/T2  AAV

3: Halla la solución de la ecuación diferencial siguientes, aplicando los métodos vistos. 3 e x Tanydx+2 Sec 2 ydy =e x Sec 2 yd Solución: 3 e x tany+2 sec 2 ( y )

dy dy =e x sec 2 ( y ) dx dx

3 e x tany+2 sec 2 ( y ) y ' =e x sec 2 ( y ) y ´ 3 e x tany+2 sec 2 ( y ) y ' −e x sec 2 ( y ) y ´ =−e x sec 2 ( y ) y ´ −e x sec 2 ( y ) y ´ ´ 3 e x tany+2 sec 2 ( y ) y ' −e x sec 2 ( y ) y ´ =0 3 e x tany+2 sec 2 ( y ) y ' −e x sec 2 ( y ) y ´ −3 e x tan ( y )=0−3 e x tan ( y ) 2 sec 2 ( y ) y ' −e x sec 2 ( y ) y ´ =−3 e x tan ( y ) 2 sec 2 ( y ) y ' −e x sec 2 ( y ) y ´ −3 e x tan ( y ) = 2−e x 2−e x sec 2 ( y ) y ´ =

−3 e x tan ( y ) 2−e x

−3 e x tan ( y ) sec 2 ( y ) y ´ 2−e x = tan ⁡( y ) tan ⁡( y) −

sec 2 ( y ) y ´ −3 e x = tan ⁡( y ) 2−e x sec 2 ( y ) −3 e x y´= tan ⁡( y) 2−e x sec 2 ( y ) −3 e x y´= :ln ⁡¿ tan ⁡( y) 2−e x sec 2 ( y ) −3 e x d y ´ = dx ∫ tan ( y ) 2−e x ¿ ¿

AAV

3 ex ∫−¿ 2−e x dx=3 ln ( 2−e x ) +c 1 ¿ sec 2 ( y ) ∫ tan ( y ) dy =ln ( tan ( y ) ) + c 2 ¿ ln ( tan ( y ) )+ c 2=3 ln ( 2−e x ) + c 1 ln ( tan ( y ) )=3 ln ( 2−e x ) +c 1 x

tan ( y ) =e 3 ln ( 2−e )+ c1 tan ( y ) =8 e c1−12 e c 1+x +6 e c 1+2 x −ec 1+3 x ar tan ( y ) =(8 e ¿ ¿ c 1−12 ec 1+ x + 6 ec 1+2 x −e c1 +3 x )+ πn ¿

Escriba aquí laecuación .

4: Aplica los métodos socializados para hallar la solución de la ecuación diferencial xydy + ydx +4 ydy+ 3 dx=8 dy +3 xdx+ 2 xdy + xydx Separable Solución: xydy + ydx +4 ydy+ 3 dx=8 dy +3 xdx+ 2 xdy + xydx dy dy dy dy xy + y +4 y + 3=8 + 3 x 2 x + xy dx dx dx dx ' ' ' ' xy y + y + 4 y y +3=8 y + 3 x +2 x y + xy y−2 ' −1+ x y= y−3 x+ 4 y−2 −1+ x y= =−5 ln ( y +3 ) + y =−5 ln ( x+ 4 )+ x +c 1 y +3 x+ 4 −x + 4 y=5 w −3 x +c 1+3 5 e5

(

)

5: Verifica en cada caso que la función es solución de la ecuación diferencial dada.

5.1:

f ( x )=

Senx x

para

x y ❑ + y =Cosx AAV

senx f ' f '∗g−g '∗f y= aplicamos x g g d ¿¿ dx cos ( x ) x−1 sen ( x) x2

()

x

5.2: f ( x )=ln ( C+e ) para

y ¿ =e x− y

NOTA: Este trabajo debe ser devuelto a más tardar a las 6pm del día 4 de Julio del año 2020 al correo origen, es decir, [email protected]

AAV