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ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN Una ecuación diferencial de segundo orden es de la forma Si se llama Ecuació
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ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN Una ecuación diferencial de segundo orden es de la forma
Si
se llama Ecuación homogénea, como por ejemplo
Si
se llama Ecuación no homogénea, como por ejemplo
LA SOLUCIÓN GENERAL COMO LINEALMENTE INDEPENDIENTES
COMBINACIÓN
LINEAL
DE
SOLUCIONES
Definición de independencia lineal Se dice que las funciones ecuación
Donde
son linealmente independientes si la única solución de la
. En caso contrario, las funciones son linealmente dependientes.
Ejemplos: 1) Las funciones
;
para ser linealmente independientes debe cumplir
Remplazando los valores de las funciones se obtiene
Como los únicos valores posibles de para que cumpla la igualdad es funciones ; son linealmente independientes 2) Las funciones
;
para ser linealmente independientes debe cumplir
Remplazando los valores de las funciones se obtiene
Como uno de los posibles valores de , entonces las funciones
para que cumpla la igualdad pueden ser ; son linealmente dependientes
Proceso de solución Si
son soluciones linealmente independientes de la ecuación diferencial , entonces, la solución general es
, entonces las
Donde
son las constantes
Además por ser ecuación diferencial de segundo orden se tiene soluciones de la forma
Entonces
Remplazando en
se tiene
Factorando
Como
nunca se anula,
es una solución si y solo si
Ejemplo ilustrativo Resolver la ecuación diferencial Solución: Se obtiene la ecuación característica, para lo cual se sustituye obtener una ecuación de la forma Por lo tanto la ecuación característica de
por
,
por
,e
es
Resolviendo la ecuación se tiene
Entonces
Que son las soluciones particulares de la ecuación diferencial Además, como estas dos soluciones son linealmente independientes la solución general es
por 1 para
Graficando para valores arbitrarios
se tiene
Para comprobar la respuesta, se deriva la función, para lo cual en GeoGebra a) Al escribir Derivada en Entrada se despliega algunas opciones.
b) Se escoge la opción Derivada[(Función)]
c) Escribir f(x)
d) Enter. Clic en la círculo de g(x) para que se borre la gráfica de g(x).
Para calcular la segunda derivada de f(x), se deriva g(x) y se obtiene
Para comprobar que
es la solución de
.
Reemplazando valores en
Eliminando denominadores
Eliminando paréntesis
Reducción de términos semejantes
Como se quería comprobar
ECUACIONES LINEALES HOMOGÉNEAS CON COEFICIENTES CONSTANTES Una ecuación diferencial homogénea de segundo orden con coeficientes constantes es de la forma:
La ecuación característica o auxiliar es de la forma
Como se observa la ecuación auxiliar es una ecuación cuadrática cuyas raíces se las puede determinar empleando la fórmula general
√ √
√
Por tanto es necesario recordar la solución de una ecuación cuadrática donde se pueden presentar tres casos.
1) Primer caso: raíces reales y diferentes
Discriminante positivo . Entonces son raíces reales y diferentes. En este caso se dice que existen dos soluciones particulares o fundamentales
La solución General estaría dada por la combinación lineal de las soluciones fundamentales
Ejemplo 1 Resolver la ecuación diferencial Solución: La ecuación característica o auxiliar es
Al resolver la ecuación auxiliar se tiene
Luego las soluciones particulares son
Además, como estas dos soluciones son linealmente independientes, la solución general es
Ejemplo 2 Resolver la ecuación
para
Solución La ecuación auxiliar es
Resolviendo la ecuación anterior
Luego las soluciones particulares son
Además, como estas dos soluciones son linealmente independientes, la solución general es
Remplazando la primera condición
Para remplazar la segunda condición
Remplazando
en la solución general
se deriva la solución general
Resolviendo el sistema {
{ |
|
|
|
|
|
|
|
Remplazando los valores encontrados en la solución general, se obtiene la solución particular
Graficando la solución particular se tiene
2) Segundo Caso: Soluciones reales e iguales Discriminante cero solución general es
. Entonces
son raíces reales e iguales. En este caso la
Ejemplo: Resolver la ecuación diferencial Solución: La ecuación característica o auxiliar es Al resolver la ecuación auxiliar se tiene
Luego la solución general es
3) Tercer caso: raíces complejas Discriminante negativo conjugadas.
. Entonces
Remplazando en
tenemos:
son raíces complejas
Multiplicación de igual base
Factor Común (
)
Como
y
Remplazando ( (
)
(
))
Operando (
)
Factorando ( Como
) y
(
)
Finalmente se obtiene la solución general
Ejemplo 1: Resolver la ecuación diferencial Solución: La ecuación característica o auxiliar es Resolviendo la ecuación auxiliar √ √
√
√
√
Como
La solución general es
Graficando para un valor arbitrario de
se tiene
√
Ejemplo 2
Solución: La ecuación auxiliar es Resolviendo la ecuación auxiliar √
√
√
√
√
√
Remplazando en
Remplazando la primera condición
en la solución general
Para remplazar la segunda condición [
(
[
)
(
)
] ]
]
[
[
]
[ [
se deriva la solución general
]
Remplazando en la solución general
[
]
[
] ]
ECUACIONES LINEALES NO HOMOGÉNEAS CON COEFICIENTES CONSTANTES Una ecuación diferencial de segundo orden con coeficientes constantes y término F(x) variable es de la forma
La solución general es una combinación lineal de dos tipos de soluciones, una solución complementaria y una solución particular
La solución complementaria
satisface la ecuación homogénea
Esta ecuación se la puede resolver empleando los procesos antes mencionados para la ecuación homogénea de coeficientes constantes La solución particular
satisface la ecuación no homogénea
Esta ecuación se la puede determinar empleando el llamado método de los coeficientes indeterminados. En estas condiciones, de acuerdo a la forma de , la solución particular tiene los siguientes casos 1) Si
Ejemplos: Si
, entonces,
, entonces,
Si
, entonces,
2) Si
, entonces,
Ejemplos: Si
Si
Si
3) Si
, entonces,
, entonces,
, entonces,
, entonces
Ejemplos: Si
, entonces,
Si
, entonces,
Si
, entonces,
Si
, entonces,
Ejemplos ilustrativos Ejemplo 1 Hallar la solución general de Solución: La solución general es de la forma a) Resolviendo La solución complementaria debe satisfacer la ecuación homogénea, es decir,
La ecuación auxiliar es Resolviendo la ecuación auxiliar √ √
√
√
√
√
√
√
√
√ (
√ )
√
Remplazando en (√
b) Resolviendo Como
)
(√
)
, entonces
La solución particular debe satisfacer la ecuación no homogénea, es decir,
√
Calculando la primera y segunda derivada para
Remplazando en
Eliminando paréntesis
Agrupando
Como los dos polinomios son iguales, sus coeficientes deben ser iguales, entonces { Resolviendo el sistema. Despejando de la primera ecuación
Remplazando el valor de A en la segunda ecuación
Remplazando valores en la tercera ecuación
Por lo tanto al remplazar en
se tiene
Finalmente la solución general es (√
)
(√
)
Ejemplo 2 Hallar la solución general de
Solución: La solución general es de la forma a) Resolviendo
La solución complementaria debe satisfacer la ecuación homogénea, es decir,
La ecuación auxiliar es Resolviendo la ecuación auxiliar
Luego las soluciones particulares son
Además, como estas dos soluciones son linealmente independientes, la solución general es
b) Resolviendo Como
, entonces
La solución particular debe satisfacer la ecuación no homogénea, es decir,
Calculando la primera y segunda derivada para
Remplazando en
Igualando los coeficientes se tiene
Resolviendo el sistema {
|
|
|
|
|
|
|
|
Remplazando los valores encontrados en
Finalmente la solución general es
TAREA DE INTERAPRENDIZAJE 1) Escriba 3 ejemplos de ecuaciones diferenciales homogéneas de segundo orden 2) Escriba 3 ejemplos de ecuaciones diferenciales no homogéneas de segundo orden 3) Escriba 3 ejemplos de funciones linealmente independientes 4) Escriba 3 ejemplos de funciones linealmente dependientes 5) Elabore un organizador gráfico de las ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes 6) Resuelva las siguientes ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes. Realice las comprobaciones. Grafique las soluciones empleando algún medio tecnológico.
(√
)
(√
)
6.6) Investigue en la biblioteca o en el internet y presente un ejercicio resuelto por cada uno de loo tres casos de ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes 7) Realice un organizador gráfico de las ecuaciones lineales no homogéneas con coeficientes constantes 8) Proponga un ejemplo por cada uno de los tres casos para calcular de los coeficientes indeterminados de acuerdo a la forma de ,
empleando el llamado método
9) Resuelva las siguientes ecuaciones lineales no homogéneas con coeficientes constantes. Grafique las soluciones empleando algún medio tecnológico. 9.1)
9.2)
10) Investigue en la biblioteca o en internet un ejemplo resuelto de aplicación de las ecuaciones lineales no homogéneas con coeficientes constantes