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Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Segundo Orden Con Coeficientes Constantes Integrantes: -

Cholán Gálvez Silva, Oscar Mendoza Vásquez, Luis Ludeña Ludeña

Profesor:

Sevillano Castro, Rodolfo

1-7-2013

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

Indice I.

Introducción……………………………………….02

II.

Objetivos…………………………………………..03

III.

Fundamento Teórico……………………………....04

III.I Ecuaciones Diferenciales de segundo orden Homogéneas………………………………………….04 III.II Ecuaciones Diferenciales de segundo orden No Homogéneas………………………………………….10 IV. Ejercicios de aplicación……………………………19

1

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

I.

INTRODUCCIÓN

2

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Ejemplo.- Si f 1 ( x )  cos x ; f 2 ( x )  sin x entonces

II.

OBJETIVOS. Principal o Estudiar las ecuaciones diferenciales ordinarias lineales de segundo orden con coeficientes constantes homogéneo y no homogéneo. Secundario o Aprender a resolver ejercicios y problemas usando las ecuaciones diferenciales o Aprender los métodos existentes para resolver las ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden homogénea y no homogénea. o Aprender las aplicaciones de este tipo de ecuaciones diferenciales.

3

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias III.

FUNDAMENTO TEÓRICO  DEFINICIÓN: Una ecuación diferencial es una ecuación en la que intervienen derivadas de una o más funciones desconocidas. Dependiendo del número de variables independientes respecto de las que se deriva, las ecuaciones diferenciales se dividen en: o Ecuaciones diferenciales ordinarias: aquellas que contienen derivadas respecto a una sola variable independiente. o Ecuaciones en derivadas parciales: aquellas que contienen derivadas respecto a dos o más variables.

III.I ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGENEAS:

DE SEGUNDO ORDEN

Una ecuación diferencial de Segundo Orden con coeficientes constantes homogénea es de la forma: La función "y", solución general de la ecuación diferencial anterior, es de la forma ( ) . Donde "k" es una constante que da la generalidad de la solución. Entonces el objetivo ahora será hallar el valor de r. Bien, de la solución general tenemos: Reemplazando en

tenemos:

[ ] Ahora bien, k porque si no tuviéramos la solución trivial y como también , entonces . A esta expresión se la denomina Ecuación Auxiliar y es útil para hallar r. Observe que la ecuación auxiliar es una ecuación cuadrática cuyas raíces se las puede determinar empleando la formula general √

AQUÍ SE PRESENTAN TRES CASOS:  CASO I ]. Entonces y son raíces reales Discriminante positivo[ y diferentes. En este caso se dice que existen dos soluciones fundamentales ( ) ( ) La solución General estaría dada por la combinación lineal de las soluciones fundamentales ( )

4

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias  CASO II Discriminante cero [ iguales.

]. Entonces

son raíces reales e

 CASO III Discriminante negativo [ ]. Entonces son raíces complejas conjugadas Reemplazando en ( ) tenemos: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] Como y Reemplazando tenemos: [ ( ) ( ( ) [( ( ) ) ( ) Por lo tanto la solución sería [ ( )

(

)

(

y

)] ]

)]

DEPENDENCIA LINEAL. WRONSKIANO: El método usado para obtener todas las soluciones de las ecuaciones diferenciales lineales se basa en el hecho de que, al igual que los vectores ordinarios del plano o del espacio, la solución de la ecuación homogénea:

( )

( )

….. (1)

Se pueden considerar como vectores en un cierto espacio vectorial de funciones. En efecto, como los vectores del plano, las funciones se pueden sumar entre sí y multiplicar por números, reales o complejos:( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) y, en el caso particular de las soluciones de (1), tenemos las siguientes propiedades:  Proposición 1: La suma de dos soluciones de la ecuación (1) en un cierto intervalo es también solución en el mismo intervalo. Lo mismo ocurre con el producto de una solución de (1) por cualquier número, real o complejo.  Proposición 2: El conjunto de todas las soluciones de la ecuación diferencial (1) en un cierto intervalo tiene estructura de espacio vectorial. Cada solución es pues un vector de dicho espacio. 

Proposición 3: Dos soluciones de la ecuación diferencial (1) en un intervalo I son linealmente independientes en I si el wronskiano de dichas funciones es distinto de cero en un punto cualquiera de I, en cuyo caso es distinto de cero en todos los puntos de I. Esta proposición es equivalente a la siguiente:

5

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 



Proposición 4: Dos soluciones de la ecuación diferencial (1) en un intervalo I son linealmente dependientes en I si el wronskiano de dichas funciones se anula en un punto cualquiera de I, en cuyo caso se anula en todos los puntos de I. Proposición 5: Este resultado caracteriza a todas las soluciones de la ecuación diferencial lineal de segundo orden completo:

( )

( )

( )

Se puede escribir como la suma de la solución general de la ecuación homogénea (1) y de una solución particular de la completa. 

Proposición 6: Sea ( )una solución, distinta de la trivial (solución nula), de la ecuación diferencial lineal homogénea (1) en un intervalo [a,b]. ( ) Entonces existe una segunda solución ( ) ( ) ( ) ( )

∫ ( )

∫

Y las dos soluciones

( ) son linealmente independientes en [a,b]

EJEMPLOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN HOMOGÉNEAS: o Ejemplo 1:

Solución: Polinomio característico a la ecuación diferencial es: es

( )

, de donde

√

,

√

Luego el sistema de solución es: general es: √

√

√

,

y la solución

√

6

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias o Ejemplo 2:

( )

( )

Solución Ecuación auxiliar sería: ( )(

√

)

( ) √ ( )

√

Hallando las raíces tenemos: √

√ ( )

( )

En este caso

y o

, por tanto la solución general sería: ( ( )) ( ( ))]

( )

( )

[

( )

( )

[ ( ( )) ( )[ ( ) ( )]

Como y (0) Entonces:

Como ( ) Entonces: ( )

[ [

( )

[ [

( ) )

( (

)

(

( ( ))]

( )] )]

( ) ( ) ( )

( )] ( )]

Resolviendo simultáneamente:

Por lo tanto la solución sería: ( )

[

(

)

(

)]

7

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias o Ejemplo 3: Hallar la solución general de 4 y''  4 y'  17 y con las condiciones iniciales y(0) = -1 e y’(0) = 2

o Ejemplo 4: Resolver la ecuación diferencial y” +6y’ +9y =0. Con las condiciones iniciales dadas y(0) = 2 e y’(0) = 1

8

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias o Ejemplo 5: Resolver la siguiente ecuación diferencial y” + 6’ + 12y=0

o Ejemplo 6: Solucionar la siguiente ecuación diferencial y” – 5y’ =0 donde y(0) = 1 y’(0) = 2

9

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias III.II ECUACIONES DIFERENCIALES NO HOMOGENEAS DE SEGUNDO ORDEN: Tiene la siguiente forma ( ) Donde F(x) es continua en algún intervalo [a, b] y ≠0

,

,

son constantes con

Para ello será conveniente usar OPERADORES tales como: D2 D ASI D2 ;es lo mismo que: D es lo mismo que ENTONCES ( )=

D2

+ D

( D2 + D + ) = ( ) Ø(D) =F EJEMPLO La ecuación diferencial Ø(D) =F, donde F=4 Y Ø(D)= xD 2 -2D +3x2 Es una manera abreviada de escribir:

+

= ( )

-cos(x)

4 -cos(x) OPERADOR ANULADOR Del cálculo diferencial se sabe que se puede derivar varias veces un polinomio hasta que la derivada n-ésima sea cero a partir de algún entero n Sea: y= f(x), una función que tiene al menos n derivada. Si ( Dn + +…+ D1 + )f(x)=0 Entonces se dice que el operador diferencial Dn + +…+ D1 + anula a f SE DESTACAN LOS SIGUIENTES OPERADORES ANULADORES Dn anula a la funciones 1, x, x2,…,xn-1 Y=c0+ c1x+ c2x2+…+ cn-1xn-1 Ejemplo D5(x4-3x2+2x+1)=0 El operador diferencial (D-ᾳ)n anula a: , x , …, Y por lo tanto anula a cualquier combinación lineal de las mismas: Y= c0 + c1x + c2x2 +…+ cn-1xn-1 Ejemplo (D-3)e3x =0 Operador anulador asociado con polinomios característicos de raíces complejas: El operador diferencial [D2-2αD + (α2+β2)] Anula a cada una de las funciones:

10

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias cos , x cos ,x2 cos ,…., xn-1 cos 2 n-1 sen , x sen ,x sen ,…., x sen Ejemplo Encontrar el operador anulador para (sen3x-cos3x) Solución La expresión (sen3x-cos3x) se puede escribir como: sen3xcos3x) Aplicando el operador anulador a cada término se tiene: (D2-4D+13) cos3x=0 Y (D2-4D+13) sen3x=0 OBTENCION DE LA SOLUCION GENERAL DE LA ECUACION DIFERENCIAL LINEAL DE SEGUNDO ORDEN NO HOMOGENEA "+ '+ = F(x) la solución general es: Y=C1y1(x)+ C2y2(x) + yp En donde: Yc= C1y1(x)+ C2y2(x) Yc=solución complementaria YP=solución particular CÁLCULO DE LA SOLUCION PARTICULAR Seguimos el siguiente procedimiento: 1. Dividir toda la ecuación por "+

'++

=

para convertirla en:

( )

2. Hallar la solución complementaria Yc= C1y1(x)+ C2y2(x) 3. Usar el operador anulador para la función F(x), aquí es donde se aplica el método de los coeficientes indeterminados 4. Si no es posible hallar un operador anulador para F(x), entonces hallamos el wronskiano W( (x), (x)) ( ) 5. Halar '(x)= (

'(x)= Donde: ( )=

)

( ) ( ( )

)

6. Determinar (x)=∫ ( )dx y (x)=∫ ( )dx 7. La solución particular será de la forma YP= (x) (x)+

(x)

(x)

Otro concepto Una ecuación diferencial lineal de segundo no homogénea de coeficiente constante, es de la forma: y” + f(x) y’ + g(x) y = r(x), donde f(x) y g(x) son constantes (I) La diferencia con las anteriores ecuaciones estudiadas estriba en que está igualada a una función de la variable independiente x. Esto nos sugiere una relación entre: y” + f(x)y’ + g(x)y = 0 y y” + f(x)y’ + g(x)y = r(x) Llamaremos yh a la solución general de la ecuación homogénea correspondiente y yp a una solución particular de la no homogénea que podamos encontrar de alguna manera; entonces se puede establecer el siguiente teorema.

11

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Teorema. Si yh es la solución general de y” + f(x)y’ + g(x)y = 0 y yp es cualquier solución particular de (1) Y = yh + yp es la solución general de (1). Demostración: supongamos que y = yh + yp es solución de (1): y’ = yh‘ + yp ‘ y” = yh” + yp” , sustituyendo en (1): yh” + yp” + f(x)( yh‘ + yp ‘ ) + g(x)( yh + yp) = r(x) agrupando: (yh” + f(x)yh+g(x)yh´) + (yp” + f(x)yp+g(x)yp´) = r(x) Como yh es solución de la homogénea, el primer paréntesis se hace cero, y como ypes la solución de la no homogénea (1), el segundo paréntesis se convierte en r(x), 0+ r(x) = r(x) Por tanto, si satisface y = yh + yp a la ecuación (1). Como la solución yh por los métodos anteriores, el problema se reduce entonces a encontrar la solución para yp resolver las ecuaciones no homogéneas los métodos para encontrar yp son: coeficientes indeterminados y variación de parámetros. El método de variación de parámetros, llamado también método general supone el cambio de constantes c1 y c2 de la solución yp, por funciones de x. El método de coeficientes indeterminados es más sencillo y se usa para ciertos tipos de función r(x). METODO DE COEFICIENTES INDETERMINADOS PARA OBTENER yp Se usa para tres formas de r(x): r(x) = polinomio, r(x) = exponencial, r(x) = función trigonométrica o combinaciones de ella, que puede resumirse, en forma general, de la siguiente manera: r(x) = eαx [Pm(x) cosβx + Qn(x) senβx] donde λ =α±i β es raíz de la ecuación auxiliar y Pm(x) y Qn(x) son polinomios de grado m y n, respectivamente. Se busca una solución particular yp de la forma: yp = xz eαx [pk(x)cosβx + qk(x)senβx] Donde k = máx(m,n), pk(x) y qk(x) son polinomios de grado k, cuyos coeficientes están indeterminados, y z es la multiplicidad de la raízλ = α±i β de la ecuación auxiliar. La forma yp se puede resumir en el siguiente cuando

Forma de r(x)

Pm(x)

Raíces de la ecuación auxiliar α no es raíz Α es raíz repetida z veces (de orden z)

Forma de yp para k = máx(m,n) Pm(x) xnpm(x)

12

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Forma de r(x)

Pm(x)

Forma de r(x) Pm(x)cosβx + Qn(x)senβx

Forma de r(x) [Pm(x)cosβx+Qnsenβx]

Raíces de la ecuación auxiliar λt ≠ 0, i = 1, 2, … z

Forma de yp para k = máx(m,n) Pm(x) xzpm(x)

Alguna λt = 0

Raíces de la ecuación auxiliar ± iβ no son raíces ± iβ son raíces de orden z

Forma de yp para k = máx(m,n) ph((x)cosβx + qk(x)senβx) xz(pk(x)cosβx + qh(x)senβx)

Raíces de la ecuación auxiliar α± iβ no son raíces α± iβ son raíces de orden z

Forma de yp para k = máx(m,n) (ph(x)cosβx+qksenβx) z x (ph(x)cosβx+qksenβx)

 EJEMPLOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDEN NO HOMOGÉNEAS: o

Ejemplo1: Sea Solución:

DE SEGUNDO

( )

La solución general es de la forma y(t) = + yp La solución complementaria satisface la ecuación homogénea La ecuación auxiliar es

. Hallando las raíces tenemos ( )

√ √ √

√

√( ) √ √ √ √

√ √

Por tanto:

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Ecuaciones Diferenciales Ordinarias ( ) o

[

(√

)

(√

)]

Ejemplo 2:

Solución: Sea ( )

la ecuación característica donde ; luego la solución general de la ecuación diferencial homogénea o solución complementaria es: Usando el operador diferencial se tiene ( ) como se tiene ( ) . Luego la ecuación auxiliar asociada es ( ) Por lo tanto la solución general es: Solución particular de la ecuación no homogénea.

A los coeficientes se le denomine indeterminados y se procede a determinarlos en la siguiente formula: Se supone que la solución particular tiene la forma como debe ser solución de la ecuación diferencial dada, se tiene: ( ) : Resulta , y Entonces Luego la solución general viene expresado por Entonces

14

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias o

Ejemplo 3:

Solución. Sea , la ecuación característica donde luego la solución general de la ecuación diferencial homogénea o solución complementaria es:

Ahora aplicamos el operador anulador a nuestra ecuación se tiene ( ) ( ( )( ) Luego la solución general es:

)

Donde una solución particular es:

Luego reemplazando en la ecuación original para hallar la constante se tiene (

(

))

( (

))

(

(

))

De la cual obtenemos: Así

Finalmente:

15

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias o

Ejemplo 4:

Solución: Sea la ecuación característica donde luego la solución general de la ecuación diferencial homogénea a solución complementaria es: ) y para cos2x Observamos que un operador anulador para es ( ) ( es luego el operador anulador para ( ) será ( ) Ahora aplicando el operador anulador a nuestra ecuación se tiene: ( ) ( ) ( )( ) y=( )( )=0 Por lo tanto la solución general es: Donde una solución particular es: Luego reemplazando en la ecuación original para hallar las constantes de la solución particular se tiene: ( ) ( ) De donde

Así la solución particular es

Finalmente la solución general es:

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Ecuaciones Diferenciales Ordinarias o Ejemplo 5: Y” – 5y’ +6y = xe3x

o Ejemplo 6: Sea y”+4 y’+9y= x2 +3x Hallar la solución General SOLUCIÓN: la solución general de la forma y(t) = yc + yp Primero hallemos yc La solución complementaria satisface la ecuación homogénea y”c +4y’c +9yc =0 La ecuación auxiliar es r2 + 4r + 9 = 0 . Hallando las raíces tenemos. r1,r2 r1,r2

√

r1,r2 r1,r2 r1,r2

( ))

√(

√

√

√( ) √ √

√

17

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias √

r1,r2 r1 r2

√ √

√ √

r1

√

r2

√

-2x

Por tanto yc (x) = e [k1sen(√5x) + k2 cos (√5x)] Segundo, hallamos yp Como g(x)=x2 +3x (polinomio de grado 2) entonces la solución particular es de la forma yp(x)= Ax2+Bx+C (polinomio generalizado de grado 2). Luego debemos determinar los coeficientes A,B y C. La solución particular debe satisfacer a la ecuación no homogénea; es decir, yp” +4yp’+9yp = x2 + 3x Hallemos la primera y segunda derivada para yp(x)= Ax2+Bx+C yp’= 2Ax+b yp”= 2A Remplazando y agrupando 2A + 8Ax + 4b + 9Ax2 + bx + c = x2 + 3x 9Ax2 + (8A + 9b)x + (2A + 4b + 9c) = x2 + 3x + 0 Si dos polinomios son iguales sus coeficientes deben ser iguales { Resolviendo el sistema simultáneo tenemos: A

B

Por, tanto yp(x) = x2 +

-

Finalmente la solución general sería: y(x)= e-2x[k1sen(√5x) + k2 cos (√5x)] + x2 +

-

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Ecuaciones Diferenciales Ordinarias IV.

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

1. El sistema de la figura consta de una masa, dos muelles y un Amortiguador de características: m =20kg ; k =50 N /m ; k= 70 N /m ; c= 80 N s /m Determinar la Ecuación diferencial del movimiento y su solución general

RESOLUCIÓN a) La ecuación diferencial del movimiento de una vibración libre amortiguada es:

La constante equivalente de los muelles en paralelo es

Por lo que:

Simplificando queda:

Cuya ecuación característica es: r2 +4r +6=0 donde r= - 2

√

la solución general es : (√

)

19

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 2. Determine la ecuación del movimiento y la frecuencia natural de vibración del sistema masa resorte mostrado en la figura

Aplicando la segunda ley de newton ∑ Para oscilaciones verticales las fuerzas que actúan son la fuerza del resorte K( est + x) y el peso mg de la masa por tanto la ecuación del movimiento es: mx´´ =- K( est + x) +mg Donde x´´ es la segunda derivada respecto al tiempo y est es la deflexión estática debido al peso de la masa que actúa sobre el resorte entonces mg= K est y la ecuación del movimiento se conviene en: mx´´+ Kx = 0 que es la ecuación del MAS la solución mas general de esta ecuación es : x= A sen √ o

t + B cos√

x = C cos (√

+

t )

donde A, B y C son constantes que dependen de de las condiciones iniciales x(0) y x´(0) en la solución general deben aparecer dos constantes puesto que se trata de una ecuación diferencial de segundo orden para un desplazaminto inicial tenemos que A=0 Y B = X(0) y por tanto : X= X(0) cos (√

t)

Físicamente esta ecuación representa una ecuación libre sin amortiguamiento en la cual se produce un ciclo cuando √ t varía 360° por tanto: Periodo T = Donde √

√

y frecuencia natural f =1/T

=W n rad/s es la frecuencia natural angular.

20

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 3. Un manómetro utilizado en un laboratorio de mecánica de fluidos tiene una sección transversal de área A .Si la columna de líquido de longitud L y densidad se pone en movimiento como se muestra en la figura encuentre la frecuencia de movimiento resultante.

Aplicando la segunda ley de Newton: ∑ o -2AX0 =LA X´´ Dónde: X´´+ (2g/L)X=0

Wn=√

y

rad/s

Método de la energía: EC = mx’2 = (LA ) x’2 Ep= kx2 = (2A g/x) x2 = Ax2 g

y

(Ec+Ep) =LA X’X’’+ 2A gXX’=0

Dónde: X’’+ (2g/L) = 0

y

Wn=√

rad/s

21

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

4. Del siguiente sistema hallar la ecuación característica donde K=1250N/m y D=2000N-s/m; M=10Kg y F(t)=1N

√

√ √

( )

( ) ( )

(

)

(

) (

)

22

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

5. Una masa de 2lb, un resorte se estira 0.5ft en t=0, luego se suelta la masa y se estira el resorte 2/3ft debajo de la posición inicial. Hacia arriba:

(

)(

)

( )

.

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

23

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 6. Resolver e interpretar el problema de valor inicial: d²x/dt² + 16 x = 0 x(0) = 10, dx/dt = 0 t=0 Solución: Una formulación equivalente del problema es: se estira hacia abajo de un cuerpo que pende de un resorte hasta que esté 10 unidades bajo la posición de equilibrio y luego se le retiene hasta t = 0; se le suelta a continuación de manera que parta de un estado de reposo. Aplicando las condiciones iniciales a la solución: x (t) = C1 cos 4t + C2 sen 4t. Resulta x (0) = 10 = C1 . 1 + C2 . 0 de modo que C1 = 10 y por lo tanto x (t) = 10 cos 4t + C2 sen 4t. dx/dt = 40 sen 4t + 4C2 cos 4t dx/dt = 0 = 4C2 . 1 ecuación del movimiento

x (t) = 10 cos 4t + 0

está claro que la solución indica que el sistema permanece en movimiento una vez puesto en movimiento y la masa va y viene 10 unidades a cada lado de la posición de equilibrio x=o.

7. Una masa de 8 lb de peso estira 2ft un resorte. Si una fuerza de amortiguamiento numéricamente igual a 2 veces la velocidad instantánea actúa sobre el contrapeso, deduzca la ecuación del movimiento si la masa se suelta de la posición de equilibrio con una velocidad hacia arriba de 3 ft/s. Solución: De acuerdo con la ley de Hooke, 8 =K(2) da k=4 lb/ft. Entonces W=mg da m=(8/32) =1/4 slug. Entonces la ecuación diferencial del movimiento es: ( ) 2

2

La ecuación auxiliar de (17) es m +8m+16=(m+4) =0, de forma que m1=m2=4.luego el sistema es críticamente armónico y ( ) Aplicar las condiciones iniciales X(0)=0 y X’(0)=-3 veos, a su vez que c1=0 y c2=-3 así la ecuación del movimiento es ( ) Para graficar x(t). de x’(t)= ( ) tenemos que x’(t)=0 cuando t=1/4. El desplazamiento extremo correspondiente es ( ) ( ) . En la figura vemos que podemos interpretar este valor como el punto en que el contrapaso alcanza una altura máxima de 0.276ft sobre su posición de equilibrio.

24

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

8. Un objeto que pesa 16 lb se une a un resorte de 5 ft de longitud. En la posición de equilibrio, el resorte mide 8.2 ft. Si el peso se eleva y se suelta del reposo en un punto a 2ft arriba de la posición de equilibrio, determine los desplazamientos, x(t). Concidere que el medio que rodea al sistema ofrece una resistencia al movimiento numéricamente igual a la velocidad instantánea Solución:

(

⁄

)

W = mg La ecuación diferencial es: ó

, lo cual implica el sistemas subamortiguado y que: ( ) ( )

(

) ( )

( ) Entonces la ecuación de movimiento e ( )

(

)

9. Interpretar y resolver el problema de valor inicial ( )

( )

Solución:

25

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias ( )

( ) ⁄ (

Movimiento amortiguado:

)

( ) Multiplicamos por 5 la ecuación diferencial:

Resolvemos con los métodos acostumbrados Entonces Aplicamos

( )

(

( )

)

( ) De modo que

(

)

El sistema resultante de ecuaciones -6A+24B=25,

(

)

-24A-6B=0

( ) ( ) Cuando t=0 en la ecuación de arriba obtenemos:

Si diferenciamos la expresión y hacemos t=0 obtenemos: Por consiguiente, la ecuación de movimiento es: ( ) ( )

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Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Bibliografía  http://www.elprepo.com/2009/05/libro-pre-calculo-moises-villena.html  Guía UPN Cálculo

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