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Tarea 2 Ecuaciones Diferenciales En todas es indispensable demostrar procedimiento que lleva a la respuesta. 1. Indicar la opción que contiene la solución a la ecuación diferencial.

Respuesta: C 4𝑦 𝑦´ = −3 𝑥 4𝑦 𝑦´ − = −3 𝑥 4 𝑓(𝑥) = − 𝑥 𝑟(𝑥) = −3 4

4

𝑦 = 𝑒 − ∫ −𝑥𝑑𝑥 (∫ 𝑒 ∫ −𝑥𝑑𝑥 (−3) 𝑑𝑥 + 𝐶) 1

1

𝑦 = 𝑒 4 ∫𝑥𝑑𝑥 (−3 ∫ 𝑒 −4 ∫𝑥𝑑𝑥 𝑑𝑥 + 𝐶) 𝑦 = 𝑒 4 ln 𝑥 (−3 ∫ 𝑒 −4 ln 𝑥 𝑑𝑥 + 𝐶) 4

𝑦 = 𝑒 ln 𝑥 (−3 ∫ 𝑒 ln 𝑥

−4

𝑑𝑥 + 𝐶)

𝑦 = 𝑥 4 (−3 ∫ 𝑥 −4 𝑑𝑥 + 𝐶) 𝑥 −3 + 𝐶) −3 𝑦 = 𝑥 4 (𝑥 −3 + 𝐶) 𝑦 = 𝑥 ∗ 𝑥 3 (𝑥 −3 + 𝐶) 𝒚 = 𝒙(𝒙 + 𝑪𝒙𝟑 )

𝑦 = 𝑥 4 (−3

RESPUESTA INCISO C) 2. Cual de las siguientes opciones contiene la solución general:

Respuesta: B −𝑦 + 𝑥𝑦´ = 𝑥 3 cos 9𝑥 𝑦 − + 𝑦´ = 𝑥 2 cos 9𝑥 𝑥 1 𝑓(𝑥) = − 𝑥 𝑟(𝑥) = 𝑥 2 cos 9𝑥 1

1

𝑦 = 𝑒 − ∫ −𝑥𝑑𝑥 (∫ 𝑒 ∫ −𝑥𝑑𝑥 𝑥 2 cos 9𝑥 𝑑𝑥 + 𝐶) 1

1

𝑦 = 𝑒 ∫𝑥𝑑𝑥 (∫ 𝑒 − ∫𝑥𝑑𝑥 𝑥 2 cos 9𝑥 𝑑𝑥 + 𝐶) 𝑦 = 𝑒 ln 𝑥 (∫ 𝑒 − ln 𝑥 𝑥 2 cos 9𝑥 𝑑𝑥 + 𝐶) −1

𝑦 = 𝑥 (∫ 𝑒 ln 𝑥 𝑥 2 cos 9𝑥 𝑑𝑥 + 𝐶) 𝑦 = 𝑥 (∫ 𝑥 −1 𝑥 2 cos 9𝑥 𝑑𝑥 + 𝐶) 𝑦 = 𝑥 (∫ 𝑥 cos 9𝑥 𝑑𝑥 + 𝐶) 𝑥sin(9𝑥) cos(9𝑥) + + С) 9 81 𝐱𝐜𝐨𝐬(𝟗𝒙) 𝒙𝟐 𝐬𝐢𝐧(𝟗𝒙) 𝒚 = 𝑪𝒙 + + 𝟖𝟏 𝟗 𝑦 = 𝑥(

RESPUESTA INCISO B)

3. El número de individuos infectados N(t) en un tiempo t debe crecer a una razón que es aproximadamente proporcional al producto N(t)(M-N(t)) donde M es el tamaño de la población. Si el tamaño de la población es de 400 individuos y si inicialmente existen 40 individuos infectados y al cabo de 1 mese existen 80 individuos infectados ¿Cuántos habrá infectados al cabo de 2 meses? 𝑑𝑁 = 𝑘𝑁(𝑀 − 𝑁) 𝑑𝑡 𝑑𝑁 = 𝑘𝑁(400 − 𝑁) 𝑑𝑡 𝑑𝑁 = 400𝑘𝑑𝑡 𝑁(400 − 𝑁) 𝑑𝑁 ∫ = ∫ 400𝑘𝑑𝑡 𝑁(400 − 𝑁) ln(|𝑁−400|) ln(|𝑁|) − + = 400𝑘𝑡 + 𝑐 400 400 1 (ln 𝑁 − ln(𝑁 − 400)) = 400𝑘𝑡 + 𝑐 400 𝑁 ln = 160000𝑘𝑡 + 𝑐1 𝑁 − 400 𝑁 = 𝑒 160000𝑘𝑡+𝑐1 𝑁 − 400 𝑁 = 𝑒 160000𝑘𝑡 𝑒 𝑐1 𝑁 − 400 𝑁 = 𝑐2𝑒 160000𝑘𝑡 𝑁 − 400 400𝑐2𝑒 160000𝑘𝑡 𝑁=− 1 − 𝑐2𝑒 160000𝑘𝑡 400𝐶𝑒 𝐾𝑡 𝑁=− 1 − 𝐶𝑒𝐾𝑡 N(0)=40 400𝐶 1−𝐶 1 𝐶=− 9

40 = −

N(1)=80

𝑁=−

1 400 (− 9) 𝑒 𝐾𝑡

1 1 − (− 9) 𝑒𝐾𝑡 400 𝐾 𝑒 80 = 9 1 1 + 9 𝑒𝐾

400 𝐾 𝑒 80 = 9 𝐾 9+𝑒 9 400𝑒 𝐾 80 = 9 + 𝑒𝐾 720 + 80𝑒 𝐾 = 400𝑒 𝐾 320𝑒 𝐾 = 720 9 𝑒𝐾 = 4 𝑒 𝐾 = 2.25 ln 𝑒 𝐾 = ln 2.25 𝐾 = ln 2.25 𝑁= 𝑁=

400𝑒 ln 2.25𝑡 9 + 𝑒 ln 2.25𝑡 𝑡 400𝑒 ln 2.25 𝑡

9 + 𝑒 ln 2.25 400(2.25𝑡 ) 𝑁= 9 + 2.25𝑡 400(2.252 ) 𝑁= 9 + 2.252 𝑵 = 𝟏𝟒𝟒 144 infectados. 4. Un tanque inicialmente tiene 260 galones de agua limpia, pero una solución de sal de concentración desconocida se vierte a un ritmo de 4 galones por minuto. Si a la vez que se vierte se extrae solución a la misma velocidad y si al cabo de 35 minutos la concentración en el tanque fue de 0.1 libras de sal por galón, determine la concentración de la solución vertida (en libras por galón). R= 0.24018 𝑉𝑜 = 260 𝑔𝑎𝑙 𝑉1 = 4𝑔𝑎𝑙/ min 𝑉2 = 4𝑔𝑎𝑙/𝑚𝑖𝑛 𝑘 = 𝑐𝑜𝑛𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑑𝑎 𝑙𝑖𝑏𝑟𝑎𝑠/𝑔𝑎𝑙ó𝑛 Ecuación de la solución de la sal en el tanque. 4 𝑦´ + 𝑦 = 4𝑘 260 + (4 − 4)𝑡 4 𝑦´ + 𝑦 = 4𝑘 260 1 𝑦´ + 𝑦 = 4𝑘 65 1 𝑓(𝑥) = 65 𝑟(𝑥) = 4𝑘

1

1

𝑦 = 𝑒 − ∫65𝑑𝑡 (∫ 𝑒 ∫65𝑑𝑡 (4𝑘) 𝑑𝑡 + 𝐶) 1

1

𝑦 = 𝑒 −65𝑡 (4𝑘 ∫ 𝑒 65𝑡 𝑑𝑡 + 𝐶) 1

1

𝑦 = 𝑒 −65𝑡 (4𝑘 ∗ 65 ∫ 𝑒 65𝑡 (1/65) 𝑑𝑡 + 𝐶) 1

1

𝑦 = 𝑒 −65𝑡 (4𝑘 ∗ 65𝑒 65𝑡 + 𝐶) 1

𝑦 = 260𝑘 + 𝐶𝑒 −65𝑡 1

(0)

𝑦(0) = 260𝑘 + 𝐶𝑒 −65 = 0 𝑦(0) = 260𝑘 + 𝐶 = 0 𝐶 = −260𝑘 1

(35)

𝑦(35) = 0.1 = 260𝑘 + 𝐶𝑒 −65 1

(35)

0.1 = 260𝑘 − 260𝑘𝑒 −65

7

0.1 = 260𝑘 − 260𝑘𝑒 −13 1 𝑘= 2600 − 7 + 2600 𝒆13 𝒌 = 𝟎. 𝟐𝟒𝟎𝟏𝟖 Concentración de la sal vertida 0.24018 libras/galón.