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ECUACIONES DIFERENCIALES Actividad 1

John Edinson Alvarez Ramirez

Fundación Universitaria Compensar Febrero 2021 Bogotá

CONTEXTUALIZACIÓN Con frecuencia, para resolver las ecuaciones diferenciales se tendrá que integrar y quizá la integración requiera alguna técnica especial. Convendrá emplear algunos minutos en un repaso del texto de cálculo. Las ecuaciones diferenciales tuvieron un origen de carácter puramente matemático, debido a que nacieron con el cálculo infinitesimal. El destino inmediato de esta herramienta fue, sin embargo, la explicación de fenómenos físicos fue la estructura de la mecánica clásica y continúa siendo la base de la Física en general. Los fenómenos de mecánica de sólidos y fluidos, el calor, la luz y el electromagnetismo fueron mejor comprendidos cuando se plantearon modelos matemáticos basados en las ecuaciones diferenciales. Hoy las ecuaciones diferenciales son el soporte que permite estudiar fenómenos incluidos en otras ciencias como la Economía, Biología, Química, etc.

ACTIVIDAD Tome un recipiente plástico de forma cilíndrica y hágale un orificio en el centro de la base del mismo. Determine el área del agujero y el área de la parte superior del recipiente, posteriormente llene el recipiente de agua tapando provisionalmente el agujero y mida la altura del agua vertida en el mismo. Calcule el volumen de agua contenida en el recipiente, destape el orificio y mida el tiempo en que se desocupa el recipiente. Finalmente establezca una ecuación diferencial que modele el experimento descrito anteriormente, clasificándola según su tipo, orden y linealidad. Compare el resultado obtenido experimentalmente con el modelo teórico y establezca conclusiones a partir de ello.

Con esta actividad se busca determinar el tiempo de vaciado un recipiente plástico de forma cilíndrica lleno de agua; este tiempo de vaciado se calculará mediante una ecuación diferencial de primer orden. Planteamiento de las variables Variable independiente -

Recipiente cilíndrico

Variable dependiente -

Ecuación diferencial 𝑣 = √2𝑔ℎ 𝐴

ℎ

𝑎

Tenemos que; ℎ = 𝐴𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑖𝑝𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝐴 = 𝐴𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑙 𝑎𝑔𝑢𝑎 𝑎 = 𝐴𝑟𝑒𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎𝑙 𝑑𝑒𝑙 𝑎𝑔𝑢𝑗𝑒𝑟𝑜 𝑔 = 𝑎𝑐𝑒𝑙𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑔𝑟𝑎𝑣𝑒𝑑𝑎𝑑 𝑡 = 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 En este caso se cuenta con un recipiente con una altura de 19 cm y tiene un diámetro de 6 cm y su radio es de 3 cm; el agüero por donde saldrá el agua es de 0.5 cm de diámetro y su radio es de 0.25 cm. Determine el área del agujero y el área de la parte superior del recipiente. Tenemos que 𝐴 = 𝜋 ∗ 𝑟 2 o 𝐴 = 𝜋 ∗

𝐷2 4

Área de la superficie superior del agua es igual a: 𝐷2 𝐴=𝜋∗ 4 𝐴=𝜋∗

62 36 =𝜋∗ = 28.2744 𝑐𝑚2 4 4

Área transversal del agujero es igual a: 𝐷2 𝑎=𝜋∗ 4 0.52 0.25 𝑎 = 3.1416 ∗ = 3.1416 ∗ = 0.19475 𝑐𝑚2 4 4

Calcule el volumen de agua contenida en el recipiente. Si el área transversal del agujero es 𝑎, y la velocidad del agua que sale del recipiente es √2𝑔ℎ; el volumen del agua que sale del recipiente por segundo es 𝑎√2𝑔ℎ. Entonces 𝑣𝑡 representa el volumen del agua en el recipiente en cualquier momento 𝑡. 𝑑𝑣 = −𝑎√2𝑔ℎ 𝑑𝑡 𝑑ℎ

El volumen del agua se puede expresar como 𝑣(𝑡) = 𝐴 𝑑𝑡 , donde A es el área de la superficie del agua. 𝑑𝑣 𝑑ℎ =𝐴 𝑑𝑡 𝑑𝑡 Reemplazando esta última ecuación por la primera tendremos; 𝑑ℎ 𝑎 2ℎ =− √ 𝑑𝑡 𝐴 𝑔

𝑎=

𝜋𝐷𝑎2 4

𝐴=

𝜋𝐷𝑡 2 4

𝜋𝐷𝑡2 𝐴 4 ) = 𝑎 𝜋𝐷𝑎2 ( 4 ) (

𝐴 𝐷𝑡2 = 𝑎 𝐷𝑎2 𝐷𝑡 2ℎ ( )2 √ = 𝑡 𝐷𝑎 𝑔

Se reemplazan los datos de la ecuación

𝑡=

62 2(19) √ 0.52 9.8

𝑡=

36 38 √ = 144√3878 = 144 ∗ 19692638218 0.25 9.8

𝑡 = 28.36 𝑠𝑒𝑔 = 0.47 𝑚𝑖𝑛

Conclusiones Utilizar ecuaciones diferenciales de primer orden en nuestra vida cotidiana nos ayuda a obtener los resultados esperados; en este caso nos fue de gran ayuda para obtener el tiempo empleado en el proceso de vaciado de un cilindro. En este experimento se realizó la toma de tiempo de vaciado con un cronometro y en comparación con el resultado obtenido por medio de la ecuación diferencial vemos que el resultado vario por unas milésimas de segundo.