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• David Cairoza Bolívar

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ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN En todo el desarrollo del curso hemos aprendido a resolver ecuaciones diferenciales de primer orden, reconociendo su forma, tal como las separables, exactas, homogéneas, o como las ecuaciones de Bernoulli entre otras. En este trabajo se encontrara las soluciones generales de Ecuaciones diferenciales de orden superior bajo distintos métodos, utilizando como guía el libro Ecuaciones Diferenciales de Yu Takeuchi. OBJETIVOS GENERAL: Conocer los conceptos básicos para la solución de las Ecuaciones Diferenciales de Segundo Orden y Orden Superior, aplicando los diferentes modelos utilizados para la resolución de los problemas.

1.1 Ecuaciones diferenciales de segundo orden reducibles a primer orden.


) Si la ecuación diferencial de segundo orden no contiene , puede escribirse como sigue:  
 =  ,  (1) 


Considerando que / es la variable dependiente,  haciendo =

Se recibe:

 (2) 


    =  = (3)
   

Sustituyendo 2 y (3) en (1), se obtiene la siguiente ecuación:  =  ,  (4) 

La ecuación 4 es una ecuación diferencial de primer orden.

1

Ejercicios

.  =   − 

Con =

 

y

 =   −   

మ  మ

=

 

  =    − 

=  − =


+  2


  − +   + 
2 6

.   +  = 

Con =



 

y

 + = 0 

= − −

మ  మ

=

 

 

  = 

− +  = 

1  =  

 =   + 




) En caso de que la ecuación diferencial no contenga  puede escribirse en forma siguiente:

2


 
=  ,  (5)  

En este caso también se hace

= Entonces

 (6) 


      =  = = (7)
     

6

Sustituyendo

(7)

y

en

(5)

se

recibe

 =  ,  (8) 

la

ecuación

siguiente:

La ecuación 8 es una ecuación diferencial de primer orden en donde  es la variable independiente.

Ejercicios

.

 +

  = 

Con =  

 

y

 +
= 0 

మ   మ

=

 

 +  = 0 

 = 0 →  =   

  + = 0 → = −  

−

  = 

− +  = 

3

   = → =       =   
  + 
= 2


=   + 
.  + 

 = 

Con =

 

 

y

మ   మ

 + 2 = 0 

=

 

 + 2 = 0 

 = 0 →  =   

  + 2 = 0 →  = −2  

  = −2   = −2 + 

 = −2 +  



 =   −2 + 

1 − ln −2 +   =  2

−2 +  =   

 
−  = −2

4

 − 
 
= 2


) Una ecuacion diferencial de la forma

´´ =  , ´
 (9)

Puede resolverse por el metodo anterior ), pero con el fin de hacer el desarrollo mas facil se hace 


 =  (10) 

Derivando ambos miembros de (10) con respecto a  se recibe:  
    2 = =  
  

O bien


 1  = 
2 

Entonces la ecuación (9) toma la forma:

1  =  ,   (11) 2 

Ejercicios

.  + 

  = 

Con   =  y 


1  + 2 = 0 2 

మ   మ

 

=


1  =  −4  

 = −  4  5

 = −4 +   =   


  =    

 = 
  


  =  

1
  =   + 
2

2 = ln   + 
 =

ln   + 
 2

.  !   − !"# (  ) =  Con   =  y 


$%&  

మ   మ

 

=


1  − & = 0 2 

 & = 2  $%&

 = −2$%& + 

=



$%& 



  
  = → =

$%& 
  $%& 

 $%&  =  
 

& = 
 + 


6

 = '$& 
 + 
 


() En la ecuación

´´ =    (12)

Faltan , y . Entonces la ecuación (12) es un caso particular de las ecuaciones(5) y (9). Pero esta ecuación puede resolverse también de la siguiente manera: Multiplicando ambos miembros de (12) por 2/ se obtiene 2 Entonces

O bien


   = 2() 
 

 
   = 2()     
   = 2()  

Integrando miembro a miembro se recibe:


  = 2    +   Entonces  = ±)2    +   O bien



2 *   +  Integrando miembro a miembro se obtiene:

7

= ±





2 *   + 

= ± + 
( 13)

1.2 Ecuación diferencial lineal de segundo orden En términos generales una ecuación diferencial lineal de segundo orden, puede ser inscrita en la forma siguiente: 
 

 + +  + ,   = -  (1)  


En el caso particular en que -  = 0 la ecuación (1) recibe el nombre de Ecuación Diferencial Lineal Homogénea, o bien la Homogénea de la ecuación de la ecuación 1. En este caso la ecuación tiene la forma siguiente: 
 
+ +    + ,  (2)  

Si en general -   ≠ 0, la ecuación (1) se llama ecuación diferencial nohomogénea. Primero se considera la ecuación diferencial lineal homogénea (2).


) Sea

 = ()

Una solución de (2), entonces

´´ + +´ + , = 0 (3)

Multiplicando por C se recibe:

.´´ + +´ + ,/ = ´´ + + ´ + ,  = 0 (4)

Entonces () es también una solución de la ecuación (2).

) Además si

() Y 0()

Son dos soluciones diferentes de la ecuación (2), entonces,  ´´ + +´ + , = 0 8

(4) 0´´ + +0´ + ,0 = 0 Sumando miembro a miembro las dos ecuaciones de (4) se recibe: ´´ + 0´´ + - ´ + 0´ + ,  + 0 = 0

O bien

 + 0´´ + +  + 0´ + ,  + 0 = 0 (5)

La ecuación (5) permite afirmar que ( + 0) e stambien una solución de la ecuación (2). En forma más general: si () y 0() son dos soluciones diferentes de la ecuación diferencial (2) entonces,  () y 
0() son también dos soluciones diferentes, y     + 
0 (6)

Es también una solución de la ecuación (2). La ecuación (6) tiene dos constantes arbitrarias  , 
, entonces (6) es la solución general de la ecuación diferencial 2.




) Si una solución de la ecuación diferencial 2:  =   (7)

Es conocida, se puede hallar otra solución diferente de la ecuación 2 por el método de variación de parámetro

Sea  =    una solución, entonces  =   es también una solución de la ecuación 2. Se supone entonces que  = 1    (8)

Es una solución de la ecuación 2, (la cual quedara completamente determinada si se halla 1()). Derivando la ecuación 8, se obtiene:

´ = 1 + 1´, ´´ = 1´´ + 21´´ + 1´´ 9

Reemplazando 8 y 9 en la ecuación 2 se recibe:

1´´ + 21´´ + 1´´ + + 1´ + 1´ + , 1  = 0

O bien 9

1´´ + 21´´ + +1´  + 1 ´´ + +´ + ,) = 0

Pero () es solución de la ecuación 2, entonces: ´´ + +´ + , = 0

Por esto

1´´ + 2´ + +1´ = 0 (10)

La solución de la ecuación 10, estudiada en la sección anterior, 1´´ =   /.()/


Entonces, 1 = 2  /.()/
3 (11)

Sustituyendo (11) en (8) se obtiene la nueva solución de la ecuación 2.  =    

   (12) . /


Se estudiara a continuación la ecuación diferencial no homogénea.


() Sea () una solución de la ecuación diferencial homogénea 2 y ℎ() una solución de la ecuación diferencial no homogénea 1, ´´ + +´´ + , = 0, ℎ´´ + +ℎ´ + ,ℎ = - (13)

Sumando miembro a miembro las dos ecuaciones se obtiene

´´ + ℎ´´ + + ´ + ℎ´ + ,  + ℎ = -

O bien

 + ℎ´´ + +  + ℎ + ,  + ℎ = - (14)

Entonces  + ℎ es también una solución de la ecuación diferencial no homogénea 1.

Generalizando este resultado se puede decir que si    + 
0  es la solución de la ecuación diferencial homogénea 2 y ℎ   es solución de la ecuación diferencial no homogénea 1, entonces,  =    + 
0  + ℎ   15 10

Es una solución de 1. Además como la solución 15 de la ecuación 1 tiene dos constantes arbitrarias, 15 es la solución general de 1. 1.2.1 Ecuación diferencial lineal homogénea con coeficientes constantes La forma general de este tipo de ecuaciones diferenciales es En donde  y 4 constantes.

´´ + ´ + 4 = 0 (1)

Se toma en consideración la ecuación siguiente:  =   (2)

Y se trata de hallar para qué valores de 5 la ecuación (2) es solución de la ecuación diferencial (1). Derivando (2) y reemplazando en 1 se recibe:

  .5
+ 5 + 4/ = 0 (3)

Si 5 satisface la ecuación de segundo grado

5
+ 5 + 4 = 0 (4)

Entonces (2) es la solución de la ecuación (1). La ecuación (4) se llama “ecuación de índices”. Si las dos raíces 5 y 5
de la ecuación (4) son diferentes, entonces  భ  y  మ 

Son dos soluciones diferentes de la ecuación diferencial (1) y de acuerdo con lo expuesto en la sección anterior se puede hallar la solución general de la ecuación diferencial (1):  =   భ  + 
 మ 

Si las raíces 5 y 5
son iguales entonces se obtiene una solución de la ecuación, pero de acuerdo con la teoría general puede hallar la otra solución aplicando el método de variación, parámetro. En general en la ecuación de índices pueden presentarse tres casos, a saber

11

1) 
− 44 > 0

Es decir si las raíces 5 y 5
son reales y diferentes, caso en el cual la solución general de la ecuación diferencial (1) es:

2) 
− 44 < 0

 =   భ  + 
 మ  (5)

O bien si las dos raices son complejas, es decir  √
− 44  √44 − 
5 = − + =− +  2 2 2 2

 √
− 44  √44 − 
5
= − + =− +  2 2 2 2 En general estas raices complejas se denotaran por:

5 =  + 7 5
=  − 7

En donde  y 7 son reales. En este caso las dos soluciones diferentes de la ecuacion son:  =   =   .cos 7 +  sin 7 /


=   =   .cos 7 −  sin 7 / Pero a partir de estas dos soluciones se pueden obtener, otras dos que no contengan complejos, a saber:   cos 7

  sin 7

La solucion general de la ecuacion (1) es entonces:

 =   . cos 7 + 
sin 7 / (6)

3) 
− 44 = 0, es decir si las dos raíces son iguales: 5 = 5
= −/2

O bien

25 +  = 0 (7)

En este caso una solución de la ecuación (1)  =  భ  (8) 12

Para hallar la otra solución se aplica el método de variación de parámetro, para lo cual sea  = 1() భ Entonces ´ = (1´ + 5 1) 

´´ = 81´´ + 2 5 1´ + 5
19  Reemplazando estos valores en la ecuación 81´´ + 2 5 1´ + 5
19  +  1´ + 5 1   + 41  = 0 O bien .1´´ + 2 5 + 1´/ భ  + 5
+  5 + 4) భ  = 0 (9)

Pero como 5 es una raíz de la ecuación de índices, el último sumando de la ecuación (9) es igual a cero; por otra parte, teniendo en cuenta la ecuación (7), se recibe: 1´´ భ  = 0 Entonces

1´´ = 0

Por tanto 1´´ =  (constante), 1 =   + 
Entonces

 =  భ  .  + 
/ (10)

La ecuación (10) es la solución general de la ecuación (1) porque contiene dos constantes arbitrarias y además si  = 0 se obtiene la solución (8). El estudio hecho anteriormente para las ecuaciones diferenciales homogéneas de segundo orden con coeficientes constantes se puede generalizar para las ecuaciones diferenciales de cualquier orden. Nota. Cuando en una ecuación de orden cualquiera la ecuación de índices tiene  raíces repetidas, es decir (5 − 5 ) = 0 13

Una solución de la ecuación es  భ 

Y las otras  − 1 soluciones diferentes son:

 భ    భ  
… … … … ,

Ejercicios . ´´ − : ´ +  = 

8  9´´ − 38  9´ + 28  9 = 0

5
  − 35  + 2  = 0   ≠ 0 5
− 35 + 2 = 0

5 − 2 5 − 1 = 0

5 = 2 5 = 1  =  
 + 
 

. ´´ − ; ´ + ; = 

8  9´´ − 48  9´ + 48  9 = 0

5
  − 45  + 4  = 0   ≠ 0 5
− 45 + 4 = 0

5 − 2 5 − 2 = 0

5 = 2 5 = 2  =  
 + 



 =   + 



14

 భ    

1.3 Ecuaciones diferenciales reducibles a ecuaciones con coeficientes constantes. Las ecuaciones del tipo

 4   +   +
 = 0 1  

Pueden ser transformadas de tal manera que la ecuación resultante coeficientes constantes. Para hacer esto, sea:  =   ó < = 

Por tanto

Y

  < 1  = =  <   < 1  1   1  1 
 
 =−
+  =−
+ 
 <   <  < 
<


Con estos valores la ecuación (1) toma la forma siguiente:

1 
    4 =
− >+
+ =0
  <  < 


Multiplicando por 
se recibe:


  +  − 1  + 4 = 0 2
 

 + 4
 − 2
   →  = −  3 3 9 9

Por lo cual, la solución general es  =  
 + 
  +

4  10  −  3 9

1.6 Soluciones de ecuaciones diferenciales lineales por medio del operador D En esta secion se considera otro metodo para resolver ecuaciones diferenciales lineales, a saber: el metodo del operador diferencial. Se define el operador X en la forma siguiente:  ≡ X (1) 

Es decir que para una función cualquiera de , por ejemplo  , el resultado de aplicarle el operador es: X =

  = ´ 2  33

Si se aplica de nuevo el operador X se recibe: XX =

  
   =
= ´´ 3   

Si se define XX = X
, la expresión 3 toma la forma siguiente: n veces ← XX … . . X = X  (4)

Entonces X  =

 8=   9 


Se definen a continuación las operaciones que rigen para X:

X +  = X + 

X
+ X + 4U = X
U + X + 4 … . X  +  X   + ⋯ +   = X   +  X    + ⋯ +   (6) Con las definiciones dadas anteriormente se pueden deducir las siguientes propiedades del operador X:

1) X  + ] =

  ( + ])      ] =  =  = X   + X  ] (7)    

2) Si  es una constante, entonces X  =

 

  =  = X (8)  

      3) X X  =     =   = X   (9)    



4) Si  y 4 son constantes se recibe:

X −  X − 4 = X −  X − 4 = X
 − X4 + 4

= X
 − 4X + X + 4

= X
 −  + 4 + 4 = X − 4 X − 

Entonces el operador X goza de la propiedad conmutativa:

X −  X − 4 = X − 4 X −  (10) 34

De lo dicho anteriormente se puede concluir que al operador X se pueden aplicar las propiedades algebraicas. (Por ejemplo potenciación, factorización, etc.) Utilizando el operador D. la ecuación lineal

Toma la forma siguiente:

 
 + + 4 = 0 (11)
 

X
 + X + 4 = X
+ X + 4 = 0 (12)

O bien factorizando la expresiónX
+ X + 4, la ecuación (12) toma la forma:

X − 5  X − 5
 = 0 (13)

Ejercicios

. ^ − ;^ + : = 

_
− 4_ + 3 = 0

_ − 3 _ − 1 = 0

_ = 3 _ = 1

 =    + 
  . ^ + ;^ + ; = 

_
+ 4_ + 4 = 0

_ + 2 _ + 2 = 0

_ = −2 _ = −2

 =  
 + 

  =   + 



1.7 Solucion de ecuaciones diferenciales lineales por medio de series de potencia 35

Dada la ecuación diferencial

  −   −  = 0 1

Se supone que la expresión

 =  +   + 

+ ⋯ +    + ⋯ 2

Es una solución. Para determinar los valores de las constantes  ,  , 
…, se deriva la siguiente expresión (2)   −  + 2
 + 3 
+ ⋯ +     + ⋯

  = 2
+ 6  + ⋯ +   − 1  
+ ⋯ (3) Y se reemplaza en la ecuación diferenial (1):

.2
+ 6  + ⋯ +   − 1  
+ ⋯ / −  . + 2
+ ⋯ +     + ⋯ / − . +   + ⋯ / = 0 4

Asociando en esta expresión las potencias iguales de x se recibe:

2
−   + 6 −  −   + 12 − 2
− 

+ ⋯ + .  − 1 −  − 1
/ 
+ ⋯ . = 0 5

Esta ecuación se satisface si todos los coeficientes son iguales a cero, por esto;

2
−  = 0, 6 − 2 = 0, 12 − 3
= 0, … , …   − 1 −  − 1
= 0 (6)

Entonces 
=

  
1 ,  = ,  = =  , …. 2 3 4 2∗4 

Para obtener el coeficiente general es necesario tener en cuenta la ultima expresion de (6), y de acuerdo con esto se recibe el valor de  :  =

1   


Si en esta ultima expresion se cambia n por n-2, se recibe: 
= Tambien

1   − 2 

36

 = Entonces  =

1   − 4  

1 1 1 
=  =  =⋯  −2   − 2  − 4  

Se deduce que  =  =

1  &  & '   − 2  … 4 ∗ 2 

1  &  & _ ' 7   − 2 … 5 ∗ 3 

Sustituyendo en (2) los valores de las constantes se recibe:

=  +   + O bien  =  `1 +


     +  +  +  … 2 3 2∗4 3∗5


 
 + +⋯+ +⋯a 2 2∗4 2 ∗ 4 … 2_  
   + ⋯+ + ⋯ a 8 +  ` + + 3 3∗5 3 ∗ 5 … 2_ − 1

En donde  y  son constantes arbitrarias porque no hay condición que permita determinarlas. La ecuación (8) es la solución general de la ecuación (1).

Ejercicios

.  +  = 

 
Sustituyendo  = ∑! y ′′ = ∑! "   "
( − 1)  diferencial, tenemos

37

en la ecuación

!

 +  = c   − 1  

"


!




+ c  

!



"

!

+ c #   # = 0

= 2
+ c d + 2 d + 1#
 # #"

#"

Entonces 2
= 0

d + 2 d + 1#
+ #  = 0,

#
=

1  , d = 1,2,3 …

d + 2(d + 1) # 

Sustituyendo en la suposicion inicial tenemos

      −  +0+  + $ + 0 2∗3 3∗4 2∗3∗5∗6 3∗4∗6∗7   − % −  + 0 + ⋯ 2∗3∗5∗9∗6∗8 3 ∗ 4 ∗ 6 ∗ 7 ∗ 9 ∗ 10

 =  +   + 0 −

!

 = 1 + c

#"

−1#  # 2 ∗ 3 ∗ … ∗ 3d − 1 3d 

−1# 
=  + c  # 3 ∗ 4 ∗ … ∗ 3d + 1 3d !

#"

2.   − 2  − 2 = 0 Asumiendo  =  +   + 

+ ⋯ + #  # + #  # + #
 #
+ ⋯ Entonces

  =  + 2
 … + d#  #  + d + 1#  # + ⋯ −2  = −2  − ⋯ − 2d#  # − ⋯

−2 = −2 − 2  − ⋯ − 2#  # − ⋯

Sustituyendo en la ecuación   − 2  − 2 = 0 38

2
− 2 = 0 6 − 4 = 0

d + 2 d + 1#
− 2 d + 1# = 0 Entonces #
= Sustituyendo e = d − 2 → & =

2# d+2

2&
e

Tenemos ' =

2 2
 2 

 = = = = 8 8∗6 8∗6∗4 4∗3∗2 4∗3∗2

Y en general, para cualquier _ ≥ 2


 =

2

4
 8
  2   = = =⋯=  = 2_ 4_ _ − 1 8_ _ − 1 _ − 2 2 _! _!

Y para _ ≥ 1 
 =

2

4
— 2  = =⋯=

2_ + 1 2_ − 1 … ∗ 3 2_ + 1 2_ + 1 2_ − 1

Entonces 
 2 
  =  c +  c

2_ + 1 ∗ … 3 ∗ 1 _! !

!

"

"

39

REFERENCIA BIBLIOGRAFICA TAKEUCHI, Yu. RAMIREZ, Arturo. RUIZ, Carlos. Ecuaciones diferenciales. Limusa Editores.

40