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FACULTAD DE INGENIERÍA Y CIENCIAS BÁSICAS

PROYECTO GRUPAL

Institución Universitaria Politécnico Grancolombiano

JULIAN ANDRES CAMARGO TINJACA JUAN CARLOS RUIZ GARCIA JAVIER GOMEZ CARLOS ALBERTO GAVIRIA FUENTES COD: 1521022719

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PROCEDIMIENTOS PUNTO 1.

La espiral logarítmica, llamada la spira mirabilis o eadem mutata resugno es una curva paramétrica de la forma:

Donde 𝑎 y 𝑏 son números reales positivos.

Fuente:

https://campusvirtual.poligran.edu.co

Se quiere estudiar una propiedad geométrica de la espiral logarítmica que involucra el ángulo entre su línea radial y su línea tangencial. Efectúe los siguientes cálculos para comprobar la propiedad: 1. Muestre que la magnitud de la curva,

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Solución: Teniendo en cuenta la anterior expresión, se realiza el calculo de ||c(t)|| elevando al cuadrado los componentes de c(t), luego de este paso, se obtiene la raíz cuadrada.

Tenemos que:

Despejando términos,

Aplicando la identidad Pitagórica:

tenemos que:

Resolviendo y operando, tenemos: Se elimina la raíz con la elevación al cuadrado y operando da como resultado: PUNTO 2 . Muestre que el vector tangente a la curva es:

En este caso para hallar el vector de la tangente de la curva, se deben derivar con respecto al tiempo cada uno de los términos de la expresión.

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Entonces, tenemos que:

Continuando con el desarrollo, se aplica la norma de la derivada del producto:

Teniendo la expresión y para obtener la respuesta del ejercicio, se factoriza el termino común de aebt:

Así, de esta forma queda demostrado el vector tangente de la curva.

PUNTO 3 Son curvas que tiene una presencia importante en la naturaleza, se puede encontrar en los caracoles, serpientes, flores incluso en las huellas dactilares. deduce que cualquier línea recta al origen cortara a la espiral logarítmica con el mismo ángulo a que puede calcularse (radianes), el grado de la espira es el ángulo (constante), que la spira posee con circunferencia centrada en el origen, se distingue por el hecho que las distancias entre sus brazos se incrementan con progresión geométrica, a diferencia de spira de Arquímedes quien dice que esta aumenta constantemente además es forma geométrica que sintetiza el pensamiento, un concepto o una idea mediante el poder de la analogía en nuestra cultura, la espiral maribilis simboliza el crecimiento cíclico los principales símbolos dinamices es un spiral equiangular, logarítmica o de crecimiento uniforme presente en el arte universal . En otros términos, la espiral logarítmica se debe a Pierre Varignon. La espiral logarítmica fue estudiada por Descartes y Torricelli, pero la persona que le dedicó un libro fue Jakob Bernoulli, que la llamó Spira mirabilis “la espiral maravillosa”. La espiral de crecimiento es una clase de curva espiral que aparece frecuentemente en la naturaleza, Por ejemplo, los brazos de las galaxias espirales son aproximadamente espirales logarítmicas. Los brazos de los ciclones tropicales, como

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los huracanes, también forman espirales logarítmicas. En biología son frecuentes las estructuras aproximadamente iguales a la espiral logarítmica. Por ejemplo, las telas de araña y las conchas de molusco. PUNTO 4 La velocidad del sonido viajando a traves del océano es una función de la temperatura, salinidad del agua y la presión. esta es modelada por la función:

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PUNTO 5 Calcule la derivada direccional de la función 𝐼(𝑇, ℎ) = 𝑒KPQRPSQTS en el punto (1,2) y en la dirección 𝑢V⃗ = XJ (𝑖 + √3𝑗)