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FACULTAD DE INGENIERÍA Y CIENCIAS BÁSICAS DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS TRABAJO COLABORATIVO CÁLCULO III

PRESENTADO A Verónica Monsalve Rangel

PRESENTADO POR Mario German Moreno Cardona Código 1511023757 Jasbeidy Murillo Código 1721980490 Diana Karolina Rojas Cortes Código 1511022828

Institución Universitaria Politécnico Grancolombiano Bogotá noviembre 26 de 2018

Contenido Introducción ............................................................................................................................... 1 Objetivos .................................................................................................................................... 1 Spira Mirabilis ............................................................................................................................ 1 Ejercicio ..................................................................................................................................... 2 1.

Muestre que la magnitud de la curva. ........................................................................... 2

2.

Muestre que el vector tangente a la curva es: ............................................................... 3

3.

Muestre que la rapidez de la curva está dada por la expresión..................................... 4

4.

Teniendo en cuenta los resultados obtenidos hasta el momento, muestre que el ángulo

entre la curva y su vector tangente depende de la expresión: ..................................................... 5 5.

Si b ⟶ 0 ¿qué puede concluir acerca del ángulo, la línea radial y tangencial? ........... 6

6.

Si b ⟶ ∞ ¿qué puede concluir acerca del ángulo, la línea radial y tangencial? .......... 7

7.

De una breve reseña sobre la spira Mirabilis (10 renglones máximo). ........................ 8

Bibliografía ................................................................................................................................ 9

1

Introducción El siguiente trabajo colaborativo tiene como fin el estudio y comprensión de la espiral Spira Mirabilis por medio de la aplicación de conceptos matemáticos y de geometría vectorial. Dado que la presencia en la naturaleza de esta espiral logarítmica en particular es de especial atención por su estrecha relación con la proporción aurea, su estudio ha sido tema de interés para todas las ramas del conocimiento, no solo geométrico o matemático, también del arte, la arquitectura, la biología, meteorología y otras. En el desarrollo de este trabajo revisaremos sus propiedades geométricas por medio de la aplicación de conceptos matemáticos y de cálculo III, aprendidos en el curso. Objetivos 1. Interpreta analítica y geométricamente el concepto de espiral. 2. Identifica que mediante expresiones matemáticas es posible analizar el entorno natural. 3. Estudia las propiedades de la spira Mirabilis aplicando conceptos de cálculo III. Spira Mirabilis “Las espirales son curvas que tiene una presencia importante en la naturaleza. Así podemos encontrarlas en el caparazón de los caracoles, en trompas y las de animales, en serpientes enrolladas, en plantas y flores (particularmente en girasoles) y más aún encontrarlas en las huellas dactilares, en adornos, dibujos y esculturas.”

2 Ejercicio La espiral logarítmica, llamada la spira mirabilis o eadem mutata resugno es una curva paramétrica de la forma: 𝑐(𝑡) = (𝑎𝑒 𝑏𝑡 𝑐𝑜𝑠 (𝑡) , 𝑎𝑒 𝑏𝑡 𝑠𝑖𝑛 (𝑡) ) Donde a y b son números reales positivos.

Se quiere estudiar una propiedad geométrica de la espiral logarítmica que involucra el ángulo entre su línea radial y su línea tangencial. Efectúe los siguientes cálculos para comprobar la propiedad: 1. Muestre que la magnitud de la curva.

∥ 𝒄(𝒕) ∥ 𝒆𝒔 ∥ 𝒄(𝒕) ∥= 𝒂𝒆𝒃𝒕

∥ 𝑐(𝑡) ∥= √(𝑎𝑒 𝑏𝑡 𝑐𝑜𝑠 (𝑡)) 2 + (𝑎𝑒 𝑏𝑡 𝑠𝑖𝑛 (𝑡)) 2 ∥ 𝑐(𝑡) ∥= √(𝑎𝑒 𝑏𝑡 ) 2 ∗ 𝑐𝑜𝑠 2 (𝑡) + (𝑎𝑒 𝑏𝑡 ) 2 ∗ 𝑠𝑖𝑛2 (𝑡) Saco factor común de (𝑎𝑒 𝑏𝑡 ) 2

3 ∥ 𝑐(𝑡) ∥= √(𝑎𝑒 𝑏𝑡 ) 2 [𝑐𝑜𝑠 2 (𝑡) + 𝑠𝑖𝑛2 (𝑡)] Como 𝑐𝑜𝑠 2 (𝑡) + 𝑠𝑖𝑛2 (𝑡) = 1, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑚𝑒 𝑞𝑢𝑒𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑖𝑔𝑢𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑚𝑎𝑛𝑒𝑟𝑎: ∥ 𝑐(𝑡) ∥= √(𝑎𝑒 𝑏𝑡 ) 2 La raíz se va con el elevado al cuadrado quedando: ∥ 𝑐(𝑡) ∥= 𝑎𝑒 𝑏𝑡

2. Muestre que el vector tangente a la curva es: 𝒄′ (𝒕) = (𝒂𝒆𝒃𝒕 (𝒃 ∗ 𝒄𝒐𝒔 (𝒕) − 𝒔𝒊𝒏 (𝒕) ))𝒊 + (𝒂𝒆𝒃𝒕 (𝒃)𝒔𝒊𝒏 (𝒕) + 𝒄𝒐𝒔 (𝒕) ))𝒋

Derivamos la componente x y la componente y del vector c(t) para obtener c'(t): 𝑑 𝑑 𝑐 , (𝑡) = ( (𝑎𝑒 𝑏𝑡 cos(𝑡))) 𝑖 + ( (𝑎𝑒 𝑏𝑡 𝑠𝑒𝑛(𝑡))) 𝑗 𝑑𝑥 𝑑𝑥

Aplicamos la derivada de un producto a cada componente: 𝑐 , (𝑡) = (𝑎𝑒 𝑏𝑡 ∗

𝑑 𝑑 𝑑 𝑑 cos(𝑡) + 𝑎𝑒 𝑏𝑡∗ cos(𝑡)))𝑖 + (𝑎𝑒 𝑏𝑡∗ 𝑠𝑒𝑛(𝑡) + 𝑎𝑒 𝑏𝑡∗ 𝑠𝑒𝑛(𝑡))𝑗 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥

Hacemos las respectivas derivadas: 𝑐 , (𝑡) = (𝑎𝑒 𝑏𝑡 (−𝑠𝑒𝑛(𝑡)) + 𝑎𝑏𝑒 𝑏𝑡 cos(𝑡))𝑖 + (𝑎𝑒 𝑏𝑡∗ 𝑠𝑒𝑛(𝑡))𝑗 Se saca factor común de 𝑎𝑒 𝑏𝑡 , en juntas componentes: 𝑐 , (𝑡) = (𝑎𝑒 𝑏𝑡 (−𝑠𝑒𝑛(𝑡)) + 𝑏𝑐𝑜𝑠(𝑡)))𝑖 + (𝑎𝑒 𝑏𝑡 (cos(𝑡)) + 𝑏𝑠𝑒𝑛(𝑡)))𝑗 Cambiamos el orden 𝑐 , (𝑡) = (𝑎𝑒 𝑏𝑡 (𝑏𝑐𝑜𝑠(𝑡) − 𝑠𝑒𝑛(𝑡))) 𝑖 + (𝑎𝑒 𝑏𝑡 (𝑏𝑠𝑒𝑛(𝑡) + cos(𝑡)))𝑗

4 3. Muestre que la rapidez de la curva está dada por la expresión 𝒔(𝒕) = 𝒂𝒆𝒃𝒕 √𝒃𝟐 + 𝟏

𝑠(𝑡) = √[𝑎𝑒 𝑏𝑡 (𝑏 ∗ 𝑐𝑜𝑠 (𝑡) − 𝑠𝑖𝑛 (𝑡)) ]2 + [𝑎𝑒 𝑏𝑡 (𝑏 ∗ 𝑠𝑖𝑛 (𝑡) + 𝑐𝑜𝑠 (𝑡))) ]2 𝑠(𝑡) = √[(𝑎𝑒 𝑏𝑡 )2 (𝑏 ∗ cos(𝑡) − sin(𝑡)) 2 ] + [(𝑎𝑒 𝑏𝑡 )2 (𝑏 ∗ 𝑠𝑖𝑛 (𝑡) + 𝑐𝑜𝑠 (𝑡)) 2 ]

=√

[(𝑎𝑒 𝑏𝑡 )2 (𝑏 2∗ 𝑐𝑜𝑠 2 (𝑡) − 2𝑏𝑐𝑜𝑠(𝑡) sin(𝑡) + 𝑠𝑖𝑛2 (𝑡)) ] + [(𝑎𝑒 𝑏𝑡 )2 (𝑏 2 𝑠𝑖𝑛2 (𝑡) + 2𝑏𝑠𝑖𝑛 (𝑡) 𝑐𝑜𝑠 (𝑡) + 𝑐𝑜𝑠 2 (𝑡) )]

Saco factor común de (𝑎𝑒 𝑏𝑡 )2

=√

(𝑎𝑒 𝑏𝑡 )2 [(𝑏 2 𝑐𝑜𝑠 2 (𝑡) − 2𝑏𝑐𝑜𝑠 (𝑡)𝑠𝑖𝑛 (𝑡) + 𝑠𝑖𝑛2 (𝑡) ) + (𝑏 2 𝑠𝑖𝑛2 (𝑡) cos(𝑡) + 2𝑏𝑐𝑜𝑠(𝑡) sin(𝑡) + 𝑐𝑜𝑠 2 (𝑡)))]

[𝑏 2 𝑐𝑜𝑠 2 (𝑡) − 2𝑏𝑐𝑜𝑠 (𝑡) sin(𝑡) + 𝑠𝑖𝑛2 (𝑡) + = 𝑎𝑒 𝑏𝑡 √ 2 2 𝑏 𝑠𝑖𝑛 (𝑡) + 2𝑏𝑠𝑖𝑛 (𝑡) 𝑐𝑜𝑠 (𝑡) + 𝑐𝑜𝑠 2 (𝑡) ] = 𝑎𝑒 𝑏𝑡 √[𝑏 2 𝑐𝑜𝑠 2 (𝑡) + 𝑠𝑖𝑛2 (𝑡) + 𝑏 2 𝑠𝑖𝑛2 (𝑡) + 𝑐𝑜𝑠 2 (𝑡) ] = 𝑎𝑒 𝑏𝑡 √[𝑏 2 𝑐𝑜𝑠 2 (𝑡) + 𝑠𝑖𝑛2 (𝑡) + 𝑐𝑜𝑠 2 (𝑡) + 𝑏 2 𝑠𝑖𝑛2 (𝑡) ] 𝑐𝑜𝑚𝑜

𝑠𝑖𝑛2 (𝑡) + 𝑐𝑜𝑠 2 (𝑡) = 1, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠:

= 𝑎𝑒 𝑏𝑡 √[𝑏 2 𝑐𝑜𝑠 2 (𝑡) + 1 + 𝑏 2 𝑠𝑖𝑛2 (𝑡) ] Saco factor común de 𝑏 2 = 𝑎𝑒 𝑏𝑡 √[(𝑏 2 (𝑐𝑜𝑠 2 (𝑡) + 𝑠𝑖𝑛2 (𝑡) )) + 1] = 𝑎𝑒 𝑏𝑡 √[(𝑏 2 ∗ 1) + 1] = 𝑎𝑒 𝑏𝑡 √𝑏 2 + 1

5 4. Teniendo en cuenta los resultados obtenidos hasta el momento, muestre que el ángulo entre la curva y su vector tangente depende de la expresión: ∝= 𝒄𝒐𝒔−𝟏 (

𝒄(𝒕) ∗ 𝒄′ (𝒕) 𝒃 −𝟏 ) = 𝒄𝒐𝒔 ( ) ∥ 𝒄(𝒕) ∥∗ ∥ 𝒄′ (𝒕) ∥ √𝒃𝟐 + 𝟏

Sabemos que: ∝= 𝑐𝑜𝑠 −1 (

𝑐(𝑡) ∗ 𝑐 ′ (𝑡) ) ∥ 𝑐(𝑡) ∥∗ ∥ 𝑐 ′ (𝑡) ∥

𝑐′(𝑡) = (𝑎𝑒 𝑏𝑡 (𝑏𝑐𝑜𝑠(𝑡) − sin(𝑡)), 𝑎𝑒 𝑏𝑡 (𝑏𝑠𝑖𝑛(𝑡) + cos(𝑡))) Representa el vector tangente ‖𝑐(𝑡)‖ = 𝑎𝑒 𝑏𝑡 Representa la magnitud de la curva ‖𝑐′(𝑡)‖ = 𝑎𝑒 𝑏𝑡 √𝑏 2 + 1 Representa la rapidez de la curva

Entonces podemos formar la siguiente expresión y resolverla (𝑎𝑒 𝑏𝑡 cos(𝑡) , 𝑎𝑒 𝑏𝑡 sin(𝑡)) ∗ (𝑎𝑒 𝑏𝑡 (𝑏𝑐𝑜𝑠(𝑡) − sin(𝑡)), 𝑎𝑒 𝑏𝑡 (𝑏𝑠𝑖𝑛(𝑡) + cos(𝑡))) 𝑎𝑒 𝑏𝑡 ∗ (𝑎𝑒 𝑏𝑡 √𝑏 2 + 1) Empezamos expresando el producto escalar del numerador (𝑎𝑒 𝑏𝑡 cos(𝑡)) ∗ (𝑎𝑒 𝑏𝑡 (𝑏𝑐𝑜𝑠(𝑡) − sin(𝑡))) + (𝑎𝑒 𝑏𝑡 sin(𝑡)) ∗ (𝑎𝑒 𝑏𝑡 (𝑏𝑡𝑠𝑖𝑛(𝑡) + cos(𝑡))) Operamos el denominador 𝑎2 𝑒 2𝑏𝑡 𝑏𝑐𝑜𝑠 2 (𝑡) − 𝑎𝑒 𝑏𝑡 sin(𝑡) cos(𝑡) + 𝑎2 𝑒 2𝑏𝑡 𝑏𝑠𝑖𝑛2 (𝑡) + 𝑎𝑒 𝑏𝑡 sin(𝑡) cos(𝑡) 𝑎2 𝑒 2𝑏𝑡 𝑏𝑐𝑜𝑠 2 (𝑡) + 𝑎2 𝑒 2𝑏𝑡 𝑏𝑠𝑖𝑛2 (𝑡)

Se cancelan expresiones con signo contrario

𝑎2 𝑒 2𝑏𝑡 𝑏(𝑐𝑜𝑠 2 (𝑡) + 𝑠𝑖𝑛2 (𝑡)) Aplicamos factor común 𝑎2 𝑒 2𝑏𝑡 𝑏 ∗ 1 Aplicando identidad trigonométrica 𝑐𝑜𝑠 2 (𝑥) + 𝑠𝑖𝑛2 (𝑥) = 1

6 Ahora la expresión completa nos quedaría de la siguiente forma 𝑎2 𝑒 2𝑏𝑡 𝑏 𝑎2 𝑒 2𝑏𝑡 √𝑏 2 + 1 Cancelamos factores comunes 𝑏 √𝑏 2+1

Así logramos demostrar que: ∝= 𝑐𝑜𝑠 −1 (

𝑐(𝑡) ∗ 𝑐 ′ (𝑡) 𝑏 −1 ) = 𝑐𝑜𝑠 ( ) ∥ 𝑐(𝑡) ∥∗ ∥ 𝑐 ′ (𝑡) ∥ √𝑏 2 + 1

5. Si b ⟶ 0 ¿qué puede concluir acerca del ángulo, la línea radial y tangencial?

En geometría diferencial, la espiral puede definirse como una curva c(t) con un ángulo constante α entre el radio y el vector tangente 𝑎𝑟𝑐𝑜𝑠

〈𝑐(𝑡), 𝑐 , (𝑡)〉 =𝑎 ‖𝑐(𝑡)‖‖𝑐 , (𝑡)‖

Si α = 0 la espiral logarítmica degenera en una línea recta. ∝= 𝑐𝑜𝑠 −1 (

0 √02

+1

) = 𝑐𝑜𝑠 −1 (

0 √1

) = 𝑐𝑜𝑠 −1 (0) = 90

La curva y su vector tangente son perpendiculares ya que su Angulo ∝= 90°. La espiral logarítmica sería una circunferencia.

7 Características Una espiral logarítmica de grado 0 (b = 1) es una circunferencia; el caso límite es una espiral logarítmica de grado 90 (b = 0 o b = ∞) es una línea recta desde el origen.

6. Si b ⟶ ∞ ¿qué puede concluir acerca del ángulo, la línea radial y tangencial?

𝐥𝐢𝐦(𝒄𝒐𝒔−𝟏 ( 𝒃→∞

𝒃

𝒃 )) = 𝒄𝒐𝒔−𝟏 (𝐥𝐢𝐦 ( )) 𝒃→∞ √𝒃𝟐 + 𝟏 √𝒃𝟐 + 𝟏

Tomamos la máxima potencia tanto en el numerador como en el denominador. Como en el numerador está b2dentro de una raíz cuadrada, entonces la máxima potencia es b, por tanto:

𝑐𝑜𝑠 −1 ( lim ( 𝑏→∞

𝑏

𝑏 1 ))𝑐𝑜𝑠 −1 ( ) = 𝑐𝑜𝑠 −1 ( ) 𝑏 1 √𝑏 2 + 1

= 𝑐𝑜𝑠 −1 (1) = 0

Entonces cuando b tiende a infinito, sucede que el ángulo entre la línea radial y la tangencial tiende a 0.

Acerca de la línea radial De la pregunta 1 tenemos: ‖𝑐(𝑡)‖ = 𝑎𝑒 𝑏𝑡

8 lim (‖𝑐(𝑡)‖) = lim (𝑎𝑒 𝑏𝑡 )𝑎𝑒 ∞∗𝑡 = 𝑎𝑒 ∞∗𝑡 = 𝑎𝑒 ∞∗𝑡 = ∞

𝑏→∞

𝑏→∞

Cuando b tiende a infinito, la línea radial tiende a infinito. -Acerca de la línea Tangencial De la pregunta 3 tenemos que S (t) = 𝑎𝑒 𝑏𝑡 √𝑏 2 + 1 lim ( 𝑎𝑒 𝑏𝑡 √𝑏 2 + 1 = 𝑎𝑒 ∞∗𝑡 √∞2 + 1)

𝑏→∞

Si b tiende a infinito la línea tangencial tiende a infinito

7. De una breve reseña sobre la spira Mirabilis (10 renglones máximo). El nombre proviene de la expresión de una de sus ecuaciones. Jakob Bernoulli dedico un libro que llamo Spira Mirabilis allí dice que la espiral logarítmica puede ser utilizada como un símbolo, bien de fortaleza y constancia en la adversidad, o bien como símbolo del cuerpo humano, toda línea recta al origen corta a la espiral logarítmica con un mismo Angulo (a) se calcula en radianes como arctan el grado de la espiral posee circunferencias centradas en el origen y se calcula como arctan (In(b)). La espiral logarítmica que tiene grado 0 (b = 0) = circunferencia Limite espiral Logarítmica de grado 90 (b = 0) o (b = ∞) = línea recta desde su origen. En coordenadas (r, θ) la fórmula de la curva puede escribirse como: 𝑟 = 𝑎𝑏 𝜃 “O” 𝑟 ∅ = 𝐿𝑜𝑔𝑏 ( ) 𝑎 La espiral logarítmica se distingue de la espiral de Arquímedes por el hecho de que las distancias entre su brazo se incrementan en progresión Geométrica mientras que en una espiral de Arquímedes estas distancias son constantes.

9 Bibliografía https://es.wikipedia.org/wiki/Espiral_logar%C3%ADtmica https://matematicasiesoja.wordpress.com/la-spira-mirabilis/ Bonell, C. (1999). La divina proporción, Las formas geométricas. Pag (15-53). BarcelonaEspaña. Ediciones UPC.