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TAREA 3 – APLICACIÓNES DE LAS INTEGRALES

FREDY ALEXANDER SOLANO AGUIRRE Cod: 74381151 MARIA HELENA PEREZ Cod: DANIEL FERNANDO GUTIERREZ Cod:1052413614 PAULA ALEJANDRA GALVIS Cod: WILLIAM STIK MONROY RODRIGUEZ Grupo: 100411_459

CALCULO INTEGRAL Tutor FABIAN BOLIVAR MARIN

Universidad Nacional Abierta y A Distancia – UNAD Escuela de Ciencias Básicas, Tecnología e Ingeniería (ECBTI) 2020

1

DANIEL FERNANDO GUTIERREZ Tipo de ejercicios 1 – Análisis de gráficas. Ejercicio A Calcular el área de la región comprendida entre las curvas 1 7 f ( x )=x− y g ( x )=2 x 2− 2 2 Interprete el resultado usando la gráfica del ejercicio generada en GeoGebra. b

A=∫ [ f ( x )−g(x ) ] dx a

Desarrollo

1 7 f ( x )=x− y g ( x )=2 x 2− 2 2

Igualamos 1 7 x− =2 x 2− 2 2

1 7 −2 x2 + x− + =0 2 2 −2 x2 + x +3=0

Por formula cuadrática x=

−b+ √ b 2−4 a . c 2. a

Sea a=−2 b=1c=3 Remplazamos −(1) ± √ 12−4 (−2 ) 3 x= 2(−2) 2

¿

−1± √ 1−(−24 ) −1 ± √ 25 = −4 −4

x 1=

−1+ 5 −1−5 , x 2= −4 −4

x 1=

4 −6 , x 2= −4 −4

x 1=−1 , x 2=

3 2

Desarrollamos las integrales 3 2

A=∫ ¿ ¿ −1 3 2

3 2

1 7 A=∫ x− dx−∫ 2 x 2− dx 2 2 −1 −1 A=

x 2 1 3 2 x3 7 3 − x − − x 2 2 2 2 3 2 −1 −1

|

|

A=¿ A=¿

( 98 − 34 −1)−( 49 − 214 − 176 ) −5 −35 A=( −( ) 8 6 ) A=

A=

125 =5.2083 24

3

Se observa que el resultado del área de la integral es correcto.

4

Tipo de ejercicios 2 – Sólidos de revolución. Ejercicio A Determine el volumen del sólido formado al girar la región acotada por la gráfica de y=x 2−6 x alrededor del eje x en el intervalo 0 ≤ x ≤ 6 Representar en GeoGebra la región a rotar y anexar un pantallazo del solido de revolución generado. b

v=∫ π f (x )2 dx a

Desarrollo y=x 2−6 x Alrededor del eje x Intervalo 0 ≤ x ≤ 6 b

V =∫ π f (x)2 dx a 6

V =∫ π ( x 2−bx)2 0

6

V =π ∫ x 4−12 x 3+ 36 x2 dx 0

x5 V =π −3 x 4 +12 x 3 ⌊ 6 ¿ ¿ 5 0

(

)

V =π (

65 4 3 05 4 3 −3 ( 6 ) +12 ( 6 ) − −3 ( 0 ) −12 ( 0 ) ) 5 5

V =π (

7776 −3888+ 2592−( 0 ) ) 5

(

)

1296 ) 5 V =814 , 3 V =π (

5

Representar en GeoGebra la región a rotar y anexar un pantallazo del solido de revolución generado. b

v=∫ π f (x )2 dx a

6

Tipo de ejercicios 3 –Aplicaciones de las integrales en las ciencias. Ejercicio A a. En un estudio económico la función demanda y oferta es como aparecen: (𝑥)=−0,004𝑥2+134 y (𝑥)=0,006𝑥2+34 calcular el excedente del productor en el punto de equilibrio. Desarrollo Igualamos las funciones −0,00 4 x2 +134=0,00 6 x 2+ 34 Igualamos a 0 −0,00 4 x2 +134−0,00 6 x 2−34=0 Operamos términos semejantes −0,01 x 2+100=0 Despejamos x x 2=

−100 −0,01

x 2=10000 Para quitar el cuadrado colocamos raíz en los dos lados x=± √ 10000 x 1=100 , x2=−100 Tomamos x 1=100=Q Ahora para hallar P remplazamos Q=100 D(x) 2

D ( x ) =−0.004 ( 100 ) +134 ¿−40+134 P=94 Punto de equilibrio está en (100,94) 7

Q

EP=Qp−∫ s ( x ) dx 0

100

¿ 100 ( 94 )−∫ 0,006 x 2 +34 dx 0

0,006 x 3 ¿ 9400−( +34 x ) ⌊ 100 ¿ ¿ 3 0 ¿ 9400−¿ ¿ 9400−5400 ¿ 4000 El excedente del producto es 4000

Interpretamos el resultado en GeoGebra

Tipo de ejercicios 4 –Aplicaciones de las integrales en general. 8

Ejercicio A a. La función de Costo Marginal de fabricar un producto es 𝐶𝑀=12𝑥2−50𝑥, donde 𝑥 representa el número de unidades fabricadas. Si se conoce que el costo total es de $150.000 cuando se fabrican 15 unidades. - obtener el valor de la constante. Derivamos el costo total con respecto a x de la función CM =

dct =12 x 2−50 x dx

Despejamos dct dct =( 12 x 2−50 x 2) dx Colocamos integrales en ambos lados

∫ dct=∫ 12 x 2 50 x dx Desarrollamos la integral ct =

1 2 x 3 50 x 2 − +c 3 2

Reducimos términos ct=4 x 3−25 x 2+ c Para hallar c. Tenemos que el valor de 15 unidades es de 150.000 ct ( 15 )=4 ¿ Desarrollamos la multiplicación 13.500−5.625+ c=150.000 Desarrollamos la resta 7.875+c=150.000 Despejamos c c=150.000−7.875 El valor de la constante es de

9

c=142.125

Ejercicios para la sustentación de la Tarea 3

Ejercicio 1 1. En una práctica de laboratorio sobre la ley de Hooke se determina que para producir un alargamiento de 1 cm en un resorte de 12 cm de longitud natural hay que aplicar una fuerza de 20 N. Calcular el trabajo necesario, expresado en J, para alargar el resorte desde: A. 12cm a 15 cm B. 15cm a 17 cm A. 12cm a 15 cm los datos que conocemos son x=12 cmLo pasamos a metros x=0.12 mt f ( x )=k . x Hallamos k 20=k .0.12 mt Despejamos k k=

20 0.12mt

k =166.6

N mt

Entonces F(x) F ( x )=166.6 x Sabemos que la función para hallar el trabajo es b

W =∫ 166.6 x dx a

´para hallar los valores a y b sea el punto a=0.12=0 Y el punto b=0.15−0.12=0.3

10

Remplazamos en la integral 0.3

W =∫ 166.6 x dx 0

Desarrollamos la integral y obtenemos W=

166.6 x 2 0.3 2 0

|

166.6 (0.3)2 166.6(0.3)2 W= − 2 2

(

)

W =7.497−0 W =7.497 J Para alargar el resorte de 12 cm a 15 cm El trabajo realizado es de 7.497 J B. 15cm a 17 cm Sabemos que para hallar el trabajo se tiene que hallar a y b ya que tenemos la misma función b

W =∫ 166.6 x dx a

Sabemos que 15 cm es igual a 0.3 mt a este lo vamos a llamar a A hora para hallar b, restamos 17 cm−12 cm=5 cm y los pasamos a metros que es igual a 0.5 mt remplazamos en la función a y b 0.5

W =∫ 166.6 x dx 0.3

Desarrollamos la integral y obtenemos W=

166.6 x 2 0.3 2 0

W=

166.6 (0.5)2 166.6(0.3)2 − 2 2

|

(

) 11

W =20.825−7.497 W =13.328 J Para alargar el resorte de 15 cm a 17 cm El trabajo realizado es de13.328

12

MARIA HELENA PEREZ DESARROLLO EJERCICIO 1 LETRA B. Determinar el área de la región limitada por las curvas (𝑥) = −3𝑥 y 𝑔(𝑥) = 𝑥 3 − 12𝑥 Interprete el resultado usando la gráfica del ejercicio generada en GeoGebra. b

A=∫ [ f ( x )−g(x ) ] dx a

SOLUCIÓN Igualo −3 x=x 3−12 x x 3−12 x+3 x=0 x 3−9 x=0 Factorizo x ( x 2−9 ) entonces x (x2 −32) Diferencia de cuadrados x ( x−3)( x+ 3) x=0 x−3=0 x+ 3=0 x=0 x=3 x=−3 Desarrollo las integrales 0

3 3

AT =∫ [ x −12 x−(13 x ) ] dx+∫ [−3 x −(x 3−12 x) ] dx 0

−3 0

3

AT =∫ [ x 3−9 x ] dx +∫ (−3 x−x 3+ 12 x ) dx 0

−3 0

3 3

AT =∫ [ x −9 x ] dx +∫ [ −x 3+ 9 x ] dx −3

0

13

x4 9 x2 AT = − 4 2

0

−x 4 9 x2 + + 4 2 −3

]

3

]

0

Realizo el teorema fundamental del cálculo 2

04 9 ( 0 ) AT = − −¿ 4 2 AT =0

−81 81 −81+162 81 −81 81 81 + = = + + = 4 2 4 4 4 2 4

AT =20.25 μ + 20.25μ 2

2

= 40.50

El análisis según el grafico nos da dos integrales, es decir 2 regiones

14

DESARROLLO PUNTO 2 LETRA B SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN. b. sea R la región limitada por g ( x )=√ 10−x , h ( x )= √9 x y la recta Y=0. Determine el volumen del solido cuando R se hace girar alrededor del eje Y. represente en GeoGebra las regiones a rotar y anexar un pantallazo. b

V =∫ π ¿ ¿ a

9 ( x )=√ 10−x h ( x )=√ 9 x y=0 y= √ 10−x y 2=¿ y 2=10−x x=10− y 2 y= √ 9 x y 2=¿ y 2=9 x x=

y2 9 2

10− y =

y2 9

Hallo los puntos de corte 90−9 y 2= y 2 90− y 2− y 2=0 90−10 y 2=0 10(9− y 2 )=0 15

10 ( 3− y )( 3+ y )=0 3− y=0 entonces y=3 3+ y =0 entonces y=−3

[ 0.3 ] 2

y=10−x y =

x2 9

Hallo el volumen teniendo en cuenta la integral b

V =∫ π ¿ ¿ a

Encuentro los límites de la integral 3

2

y2 V =π ∫ ( 10− y ) − dy 2 0 3

( )

2 2

(

2

4

0

y4 dy 81

( ))

V =π ∫ 100−20 y + y − 3

y3 y5 y5 V =π ∫ 100 y−20 + − 3 5 405 0 V =π 100 ( 3 )−20

(

( 3 )3 ( 3 ) 5 ( 3 ) 5 + − −0 3 3 405

V =π 300−180+

243 243 − 5 405

)

V =π [ 120+48 ] V =π [ 168 ] V =¿ 527.79 GRAFICAS

16

17

DASEARROLLO EJERCICIO 3 LETRA B Si una fuerza de 45 kg alarga un resorte 9 cm. - Determine el trabajo que se requiere para alargar el resorte 6 cm más. b

w=∫ f ( x ) dx a

f ( x )=kx k =constante de elasticidad Busco los datos x=9 com x=0.09 m F=45 kg F ( x )=kx Reemplazo y despejo 45 k 0.9 = 0.09 0.09 k=

45 0.09

k =500 m F=500 . x Formo la integral b

w=∫ 500 x dx a

Determino los límites 0.15

w= ∫ 500 x dx 0.09

Calculo la integral 18

500 x 2 w= 2

]

0.15

0.09

0.15

w=500 x2 ]0.09 w=250 ¿ w=5.62−0,09=5.53 joule

DESARROLLO PUNTO 4 LETRA B APLICACIONES DE LAS INTEGRALES EN GENERAL. 3 B. Un móvil se mueve sobre una línea recta y parte del punto x= con una velocidad de 2 2 2 6 m/s y aceleración variable según 4 t− m/s ¿Cuál es su posición cuando t=3 s? 3

(

)

x (t)= {dv} over {dt} =4t- {2} over {3

(

dv = 4 t−

2 dt 3

)

Separo variables

∫ dv=∫( 4 t− 22 ) dt Determino la función de velocidad V=

4 t2 2 − t +c 2 3

V 0=6

m t=0 s

6=4 ¿¿ 6=c V=

4(t 2) 2 − ( t ) +6 2 3

19

V=

dx 2 =2 t 2 − +6 dt 3 2

∫ dx=∫ 2t 2− 3 t +6 dt x=

2t 3 2t 2 − +6 t 3 6

x=

2t 2 t 2 − + 6 t+c 3 2

x=

3 2

3 =2 ¿¿ 2

c=

3 2

x=2 ¿ ¿ x=18−3+18+

3 2

x=34.5 m

20

EJERCICIO DE SUSTENTACION EJERCICIO NUMERO 2 2. El valor de reventa de una maquina industrial disminuye a una razón de cambio que depende de la edad de la máquina. Cuando la máquina tiene t años, la razón a la cual cambia su valor está dada por la expresión 500(𝑡 − 30) pesos por año. A. Exprese el valor de la máquina como una función de su edad y valor inicial B. Si la máquina costaba originalmente $5000000, ¿Cuánto valdrá después de 10 años? DESARROLLO. A: hallamos la integral dv =500 ( t−30 )=500 t−15000 dt Realizamos la integral

∫ d v=∫ ( 500 t −15000 ) dt v=2500 t 2−15000t +c Hallamos la constante con el valor inicial cuando la maquina esta nueva y valía $5000000 v 0=250 ( 0 )−15000 ( 0 ) + c v 0=c 5000000=c B: Ahora hallamos el valor cuando han pasado 10 años v(10)=2500−150000+5000000 v(10)=−147500+5000000 v(10)=4852500 Video: https://youtu.be/WtRZH5p72-Q

FREDY ALEXANDER SOLANO AGUIRRE 21

Tipo de ejercicios 1 – Análisis de gráficas. Ejercicio d Calcular el área de la región comprendida entre las curvas f ( x )=4 x 3−9 x 2−21 x+ 43 y g ( x )=3 x2 −5 x −5 interprete el resultado usando la gráfica del ejercicio generada en GeoGebra. b

A=∫ [ f ( x )−g(x ) ] dx a

SOLUCIÓN Igualo 4 x3 −9 x 2−21 x + 43=3 x 2−5 x−5 4 x3 −9 x 2−3 x2−21 x +5 x+ 43+5=0 4 x3 −12 x 2−16 x +48=0 Divido por

1 la ecuación resultante 4

1 (4 x ¿ ¿ 3−12 x 2−16 x+ 48)=x 3−3 x 2−4 x+12 ¿ 4 Factorizo x 3−3 x 2−4 x+12 ( x ¿ ¿ 3−3 x 2)+(−4 x+12)=0 ¿ x 2 ( x−3 )−4 ( x−3 )=0

( x−3 ) ( x 2−4 ) =0 ( x−3 ) ( x−2 ) ( x+2 ) =0 x=3 ; x=2 ; x=−2 Desarrollo las integrales 2

A1=∫ ( 4 x3 −9 x2 −21 x +43 )−(3 x 2−5 x−5) −2

A1=∫ 4 x 3−9 x 2−21 x+ 43−3 x 2 +5 x+5 dx 22

A1=∫ 4 x 3−12 x2 −16 x+ 48 dx A1=∫ 4 x 3 dx−∫ 12 x 2 dx−∫ 16 x dx +∫ 48 dx A1=x 4 −4 x3 −8 x 2+ 48 x 2 A1= ( x 4−4 x 3−8 x 2+ 48 x ) −¿2 24 −4∗23 −8∗22+ 48∗2−(−24−4∗(−23 ) −8∗(−22 ) +48∗−2) 16−4∗8−8∗4 +96−(16−4∗−8−8∗4−96) 16−32−32+96−(16+32−32−96) 16−32−32+96−16−32+ 32+ 96 A1=128 μ2

3

A2=∫ ( 3 x 2−5 x−5 )−( 4 x 3−9 x 2−21 x+ 43 ) dx 2

A2=∫ 3 x 2−5 x−5−4 x 3 +9 x 2+ 21 x−43 dx A2=∫ 12 x 2+ 16 x −48−4 x 3 dx A2=∫ 12 x 2 dx +∫ 16 x dx−∫ 48 dx−∫ 4 x 3 dx A2=4 x 3 +8 x 2−48 x−x 4 3 A2= ( 4 x 3 + 8 x2 −48 x−x 4 ) 2 4∗33+ 8∗32−48∗3−34 −( 4∗23 +8∗22−48∗2−24 ) 4∗27+8∗9−144−81−¿ 108+72−144−81−( 32+32−96−16 )

23

108+72−144−81−32−32+96 +16 A2=3 μ 2

AT =128 μ2 +3 μ 2 AT =128 μ2 +3 μ 2 AT =131 μ 2

Tipo de ejercicios 2 – Sólidos de revolución. 24

d. Determinar el volumen del solido en revolución que se genera al hacer girar alrededor del eje 𝑦 la región encerrada entre las curvas x=√ 5 y , x=0 , y =−1 , y =1 b

V =∫ π ¿ ¿ a

Donde a=−1 , b=1 , f ( y )=√ 5 y , g( y )=0

b

V =∫ π ¿ ¿ a

1

V =∫ π ¿ ¿ −1 1

V =∫ 5 π [ y 2 ] dy −1 1

V =5 π ∫ ( y 2 ) dy −1

y3 V =5 π 3

1

[ ]

−1

Evaluamos en los limites V =5 π V =5 π V =5 π V =5 π V=

[ [

3

13 (−1) − 3 3

3

13 (−1) − 3 3

] ]

1 1 + 3 3

[ ] [] 2 3

10 π 3

V =10.4719 25

26

Tipo de ejercicios 3 –Aplicaciones de las integrales en las ciencias. d. Dada la expresión ( y +2)2=3 x 3 Determine su longitud de x=0 a x=4 ( y +2)2=3 x 3 y +2= √ 3 x 3 y= √ 3 x 3−2 1 3 2

3

√ 3 x =( 3 x )

∂y 1 = ∗9 x 2 3 ∂ x 2 √3 x ∂y 9 x2 = ∂ x 2 √ 3 x3 b

2

√

L=∫ 1+ [ f ´ ( x) ] dx a

[ a=0 , b=4 ]

4

L=∫ 0

dy 2 9 x2 = dx 2 √ 3 x3

[

( )

√

2

9 x2 1+ dx 2 √3 x 3

[

]

2

]

2 2

(9 x ) dy 2 = 2 dx (2 √ 3 x3 )

( )

dy 81 x 4 81 x 4 27 x = = = dx 4( 3 x 3 ) 12 x 3 4 dy 27 x 4+27 x √ 4+27 x √ 4+27 x 1 = 1+ = = = = ∗√ 4+ 27 x dx 4 4 2 2 √4

√

√

27

4

1 L= ∫ √ 4 +27 x dx 20 u=4+ 27 x du=27 dx du =dx 27 SUSTITUIMOS 4 +27 ( 4 )=4+108=112 4 +27 ( 0 ) =4 +0=4 112

L=

1 du √ u∗¿ sacamosla constante ¿ ∫ 2 4 27 112

1 L= ∫ √ u du 54 4 112

L=

L=

1

1 ∫ (u)2 du 54 4 3 112 2

[]

1 u 54 3 2

4

3 112

[ ]

2 L= u2 162

[

4 3

3

2 L= (112) 2 −(4 ) 2 162

] L=

1 [ 1165,2965−8 ] 81 L=

L=

1 [ 1165,2965−8 ] 81

1 [ 1177,2965 ] 81 28

L=14,5345 Tipo de ejercicios 4 –Aplicaciones de las integrales en general. d. Una varilla de longitud 35 cm tiene una densidad lineal que varía proporcionalmente al cuadrado de su distancia a uno de los extremos.  Si la densidad en el extremo más pesado es de 4900 g/cm, halle su masa total y el centro de masa. Densidad lineal L 2

δ 1 (x)=R x m=∫ δ 1 (x )dx 0

El centro de masa está dado por: L

∫ x . δ 1( x )dx ´x =

0

L

∫ δ 1(x )dx 0

Primero se calcula la expresión cuadrática de la densidad donde x=35 cm f ( x )=4900 g /cm Procedemos a remplazar los valores en la fórmula de la densidad 4900=R ¿ 4900=R(1225) Despejamos R 4900 =R 1225 29

4=R Por lo tanto f (x)=4 x 2 Procedemos a realizar el cálculo del centro de masa donde L=35 35

∫ x(4 x 2)dx ´x =

0

35

∫ 4 x 2 dx 0

Resolver cada integral 35

∫ x (4 x 2) dx Primero hacemos el producto 0

35

∫ 4 x 3 dx Primero sacamos la constante 0

35

4 ∫ x3 dx 0

Se cancela los 4 y dividimos x4 4 4

35

[ ]

35

= [ x 4 ]0 0

Evaluamos los limites

(35)4 −( 0 )4 =1.500.625 Resolvemos la otra integral

30

35

∫ 4 x 2 dx Se saca la constante y luego se resuelve la integral 0

35

4 ∫ x2 dx 0

x3 4 3

35

[ ]

0

Evaluamos los limites 353 0 3 42875 4 − =4 −0 3 3 3

[

¿

] [

]

171500 3

Remplazamos las integrales en las formulas 35

∫ x .4 x 2

´x = 350

∫ 4 x 2 dx 0

=

1.500 .625 171.500 3

Usamos la regla de la oreja para solucionar la fracción (1.500 .625)(3) 4.501 .875 = =26.25 171.500 171.500

31

Por lo tanto ´x =26.25 cm Calcular la masa total es 35

g ∫ 4 x 2 dx = 171.500 3 0

m=57166,66 g m=57,166 kg

32

Ejercicio de Sustentación 4. Hallar el volumen del solido de revolución generado al hacer girar alrededor del eje x la región limitada por la curva y= √ 4 x 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎𝑠 x=1 , x=5. Representar en GeoGebra las regiones a rotar y anexar un pantallazo. b

V =∫ π f ¿ ¿ a

Reemplazamos a=1 ,b=5 , f ( x )=√ 4 x en la ecuacionde volumen b

V =∫ π f ¿ ¿ a 5

2

V =∫ π ( √ 4 x) dx 1 5

V =∫ π ( 4 x ) dx 1 5

V =∫ 4 π ( x ) dx 1

5

V =4 π ∫ x dx 1

x2 V =4 π 2

5

[ ] [ ] 1

5 2 12 V =4 π − 2 2 V =4 π V =4 π

[ [

25 1 − 2 2 25−1 2

] ] 33

V =4 π

24 2

[ ]

V =4 π [ 12 ] V =48 π

34

WILLIAM STIK MONROY RODRIGUEZ Tipo de ejercicios 1 – Análisis de gráficas. Determinar el área de la región limitada por las curvas f ( y ) =2+4 y y g ( y )=2 y 2+ 4 y −30 Interprete el resultado usando la gráfica del ejercicio generada en GeoGebra. Nótese que s x=f ( y )o x=g ( y ) d

A=∫ [f ( y )−g ( y)]dy c

Solución: Primero se grafica las funciones en el plano cartesiano

Segundo se encuentran los límites de integración 35

x=2+ 4 y y x=2 y 2+ 4 y −30 Se igualan las funciones para encontrar los puntos corte 2+ 4 y=2 y 2+ 4 y −30 Se pasan los términos a una sola parte de la ecuación y se iguala a cero 2 y 2+ 4 y −4 y −30−2=0 Se reducen términos 2 y 2−32=0 Se despeja la variable y 32 y 2= 2 y 2=16 y=± √ 16 y=± 4 Entonces los límites de integración son y=−4 e y=4 Ahora se escribe la integral que calcula el área 4

A=∫ [g ( y )−f ( y)]dy −4 4

A=∫ [2 y 2 + 4 y−30−(2+ 4 y )]dy −4 4

A=∫ [2 y 2 + 4 y−30−2−4 y ]dy −4 4

A=∫ [ 2 y 2−32 ] dy −4

36

4

4

A=∫ 2 y 2 dy−∫ 32 dy −4

−4 4

4 2

A=2 ∫ y dy−32 ∫ dy −4

−4

4

y3 4 A=2 −32 y|−4 3 −4

|

A=2

A=2

A=2

A=2

A=2

A=

[

(4)3 (−4)3 − −32[4−(−4 )] 3 3

]

64 −64 − −32 [4+ 4] 3 3

[ ] [ ] [ ] [ ]

64 64 + −32[8] 3 3 128 − 256 3

128 − 256 3

−512 3

−512 unidades cuadradas, su valor es negativo porque la mayoría 3 de la superficie se encuentra en los cuadrantes II y III. Respuesta: El área es de

Tipo de ejercicios 2 – Sólidos de revolución. Encontrar el volumen del solido en revolución que se genera al hacer girar alrededor del eje 𝑥 la región encerrada entre las curvas y=x −x2 y y=0.

37

Primero se grafica las funciones

Se toma el diferencial en x y el eje de rotación que en este caso es y=0

38

Utilizando el método de arandelas.

39

b

2

2

V =π ∫ [ ( R( x) ) −( r ( x) ) ] dx a

1

2

V =π ∫ [ ( x−x 2 ) − ( 0 )2 ] dx 0 1

V =π ∫ ¿ ¿ 0 1

V =π ∫ [ x 2−2 x 3 + x 4 ] dx 0 1

1

1

2

V =π ∫ [ x ] dx + π ∫ [ −2 x ] dx+ π ∫ [ x 4 ] dx 0

3

0

1

0

1 2

1 3

V =π ∫ [ x ] dx−2 π ∫ [ x ] dx +π ∫ [ x 4 ] dx 0

0

1

1

x3 x4 x5 V =π −2 π +π 3 0 4 0 5

|

V =π

[

|

0

1

|

0

(1)3 (0)3 ( 1 )4 ( 0 )4 (1)5 ( 0)5 − −2 π − +π − 3 3 4 4 5 5

] [

] [

]

1 0 1 0 1 0 − −2 π − + π − 3 3 4 4 5 5

V =π

[ ] [ ] [ ]

V =π

[] [] []

V =π

[] [] []

1 1 1 −2 π +π 3 4 5

1 1 1 −π +π 3 2 5

40

V =π

1 30

[ ]

Verificando el resultado en GeoGebra

Tipo de ejercicios 3 –Aplicaciones de las integrales en las ciencias. c. Dada la función marginal R' ( x ) =750 x−3 x 2, con R ( 0 )=0 - Determine el ingreso total para la venta de 100 unidades. Solución:

41

Primero se halla la función de ingreso total integrando la función marginal R ( x )=∫ R' ( x ) dx

R ( x )=∫ (750 x−3 x 2) dx

R ( x )=∫ (750 x)dx−∫ (3 x 2)dx R ( x )=750∫ x dx−3 ∫ x 2 dx x2 x3 ( ) R x =750 −3 +C 2 3 R ( x )=375 x2 −x3 +C Como se sabe que R ( 0 )=0 se despeja el valor de C 0=375(0)2−(0)3+ C 0=0−0+C C=0 Entonces la función del ingreso total quedaría de la siguiente manera R ( x )=375 x2 −x3 +0 R ( x )=375 x2 −x3

Ahora se puede calcular el ingreso total de vender 100 unidades R ( 100 )=375(100)2−(100)3

R ( 100 )=375(10000)−(1000000) R ( 100 )=3750000−1000000 R ( 100 )=2750000

42

Respuesta: el ingreso total de vender 100 unidades es de 2’750.000 unidades monetarias.

Comprobando con GeoGebra

Tipo de ejercicios 4 –Aplicaciones de las integrales en general. Se sabe que la función de posición de un objeto que se mueve sobre una recta de coordenadas es S ( t ) =3 t 2−6 t donde, s se mide en metros y t en segundos. - ¿Qué distancia se ha recorrido en el intervalo de tiempo [0, 14]? Solución:

43

Para encontrar la función de velocidad se deriva la función de posición V ( t ) =S ' (t ) V ( t ) =6 t−6 Ahora para calcular el recorrido se debe integral la función de velocidad e integrarla en el intervalo de tiempo de [0,14] 14

S(t )=∫ (6 t−6) dt 0

14

14

S(t )=∫ ( 6 t ) dt−¿ ∫ 6 dt ¿ 0

0

14

14

S ( t ) =6∫ tdt−6 ∫ dt 0

0

14

t2 14 S(t )=6 −6 t|0 20

|

14

14

S(t )=3 t 2|0 −6 t |0

S(t )=3(14 2−02 )−6 (14−0) S ( t ) =3 ( 196−0 )−6 ( 14−0 ) S ( t ) =3 ( 196 )−6 ( 14 ) S ( t ) =588−84 S ( t ) =50 4 Respuesta: El espacio recorrido por el objeto es de 504 metros en el intervalo de 0 a 14 segundos.

44

Comprobando con GeoGebra

45

Ejercicios para la sustentación Sea R la región limitada por g ( x )=√ ( 2 √ x + x )( 2 √ x−x ), el eje x, donde 1 ≤ 𝑥 ≤ 2. Determine el volumen del sólido cuando R se hace girar alrededor del eje x. Representar en GeoGebra las regiones a rotar y anexar un pantallazo. V =∫ π g( x )2 dx Solución: g ( x )=√ ( 2 √ x + x )( 2 √ x−x ) Rescribiendo la función 2

g ( x )= ( 2 √ x ) −( x )2

√

g ( x )=√ 4 x−x 2 Los límites de integración los da el enunciado x=1 , ⋁ , x=2 Se grafica la función

46

Se toma el diferencial en x y el eje de rotación que en este caso es el eje x

47

Ahora se calcula el volumen V =∫ π g( x )2 dx 2

V =∫ π ( √ 4 x−x 2) dx V =π ∫ 4 x−x 2 dx 2

V =π

4 x2 x3 −π 2 1 3

|

x V =2 π x | −π 22 1

2

|

1

3 2

3

|

1

V =2 π [ 22−12 ]−π

]

8 1 − 3 3

[ ] []

V =2 π [ 4−1 ] −π

V =2 π [ 3 ] −π

[

( 2 )3 ( 1 )3 − 3 3

7 3

7 V =6 π − π 3 V=

11 π 3

Respuesta el volumen del solido de revolución es de

11 π unidades cubicas. 3

Se comprueba el resultado en GeoGebra 48

49

TABLA LINKS DE VIDEOS

Nombre Estudiante

Número del ejercicio asignado

FREDY ALEXANDER SOLANO AGUIRRE

4 

MARIA HELENA PEREZ

2

WILLIAM STIK MONROY RODRIGUEZ

Daniel Fernando Gutiérrez

Link video explicativo  https://youtu.be/xeL2y7vHvOk

https://youtu.be/WtRZH5p72-Q

5

https://drive.google.com/file/d/1j_W_rT1TdSH L3ajEvpJoDaiOYJqs0ug9/view?usp=drivesdk

1

https://photos.app.goo.gl/dJGnnfaRg8oDqk om9

50