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FACULTAD DE INGENIERÍA Y CIENCIAS BÁSICAS

TRABAJO COLABORATIVO

Institución Universitaria Politécnico Grancolombiano

FACULTAD DE INGENIERÍA Y CIENCIAS BÁSICAS DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS TRABAJO COLABORATIVO CÁLCULO III

PRESENTADO A Veronica Monsalve

PRESENTADO POR Jasbeidy Murillo Código 1721980490 Diana Cortes Rojas Codigo Mario Cardona Codigo

Bogota Noviembre 23 2018

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Spira Mirabilis.

“Las espirales son curvas que tiene una presencia importante en la naturaleza. Así podemos encontrarlas en la caparazón de los caracoles, en trompas y las de animales, en serpientes enrolladas, en plantas y flores (particularmente en girasoles) y más aún encontrarlas en las huellas dactilares, en adornos, dibujos y esculturas.”

Ejercicio La espiral logaritmica, llamada la spira mirabilis o eadem mutata resugno es una curva paramétrica de la forma:

c (t)=(a ebt cos (t) , a e bt sin (t)) Donde a y b son números reales positivos.

Se quiere estudiar una propiedad geométrica de la espiral logarítmica que involucra el ángulo entre su línea radial y su línea tangencial. Efectúe los siguientes cálculos para comprobar la propiedad: 1. Muestre que la magnitud de la curva.

∥ c (t) ∥es ∥ c( t)∥=a e bt

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∥ c (t) ∥=√ ¿¿

∥ c (t) ∥=√ ¿¿

Saco factor común de ¿

∥ c (t) ∥=√ ¿¿ Como

cos 2 (t)+sin2 (t)=1 ,entonceme queda de la siguiente manera: ∥ c (t) ∥=√ ¿¿ La raíz se va con el elevado al cuadrado quedando:

∥ c (t) ∥=a e bt 2. Muestre que el vector tangente a la curva es:

c ' (t)=(a e bt (b∗cos (t)−sin(t)))i+(a ebt ( b)sin (t)+cos (t))¿ j Derivamos la componente x y la componente y del vector c(t) para obtener c'(t):

c , ( t )=

d d (aebt cos (t ) )¿ i +( (ae bt sen ( t ))) j dx dx

Aplicamos la derivada de un producto a cada componente:

aebt∗d d , bt∗¿ cos( t ) ¿ c ( t )=( cos (t ) + ae ) i+ ¿ dx dx Hacemos las respectivas derivadas:

c , ( t )=( aebt (−sen ( t ) ) +ab e bt cos ( t ) ) i+¿

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Se saca factor común de a e bt , en juntas componentes:

c , ( t )=(ae bt ( −sen ( t ) ) +bcos ( t ) )¿ i+(aebt ( cos ( t ) ) +bsen (t))¿ j

Cambiamos el orden

c , ( t )=( aebt ( bcos ( t ) −sen ( t ) ) ) i+ ( ae bt ( bsen ( t )+ cos ( t ) ) ) j

3. Muestre que la rapidez de la curva está dada por la expresión

s(t )=a e bt √ b2 +1

s(t )=√[a e bt (b∗cos (t)−sin(t))]2 +¿ ¿2 ¿ s(t )=√[( a ebt )2 (b∗cos (t)−sin(t))2]+ ¿ ¿

¿ √¿ ¿

Saco factor común de (a e bt )2

¿ (a ebt )2 [ ( b2 cos2 ( t )−2 bcos ( t ) sin ( t )+ sin 2 ( t ) ) + ( b2 sin 2 ( t ) cos ( t ) +2 bcos ( t ) sin ( t ) +cos 2 ( t )¿ ) ]

√

=a e bt √ [b2 cos2 (t )−2 bcos(t )sin (t)+sin2 (t)+ b2 sin 2(t)+2 bsin(t)cos (t)+cos 2 (t)] =a e bt √ [b2 cos2 (t )+ sin2 (t)+b2 sin2 (t)+ cos2 (t)] =a e bt √ [b2 cos2 (t )+ sin2 (t)+cos 2( t)+b2 sin2 (t)]

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como sin2 (t)+cos 2 (t)=1, entonces : =a e bt [b2 cos2 (t )+1+ b2 sin 2 (t)]

√

Saco factor común de b 2 =a e bt [(b 2 (cos2 (t )+ sin 2 (t)))+1]

√

=a e bt [(b 2∗1)+ 1]

√

=a e bt √ b2 +1

4. Teniendo en cuenta los resultados obtenidos hasta el momento, muestre que el ángulo entre la curva y su vector tangente depende de la expresión:

∝=cos−1 (

c (t)∗c' (t ) b )=cos−1 ( 2 ) ' ∥c (t)∥∗∥ c (t) ∥ √b +1

Sabemos que:

∝=cos−1 (

c (t)∗c' (t ) ) ∥ c (t) ∥∗∥ c' (t)∥

c , ( t )=(ae bt ( bcos ( t )−sin ( t )) , ae bt ( bsin ( t ) +cos ( t ) ) ) llc ( t ) ≪¿ aebt ¿ c , ( t ) ≪¿ ae bt √ b2 +1

Entonces podemos formar la siguiente expresión y resolverla

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( ae bt cos ( t ) , ae bt sin (t ) )∗( aebt ( bcos ( t )−sin (t ) ) , ae bt ( bsin ( t )+ cos ( t )) ) aebt ∗¿ ¿ Empezamos expresando el producto escalar del numerador

ae bt cos ⁡(t) ¿∗(ae bt (bcos ( t )−sin ( t ) ))+( aebt sin ⁡(t))∗( ae bt (btsin ( t ) +cos ( t ) ))

Operamos el denominador

a 2 e 2 bt b cos2 ( t ) −ae bt sin ( t ) cos ( t ) + a2 e 2 bt b sin2 ( t ) +ae bt sin ( t ) cos ⁡(t)

a 2 e 2 bt b cos2 ( t ) +a 2 e 2 bt b sin2 (t)

Se cancelan expresiones con signo contrario 

a 2 e 2 bt b(cos 2 ( t ) +sin 2 ( t ) )  Aplicamos factor común a 2 e 2 bt b∗1 Aplicando identidad trigonométrica cos 2 ( x ) +sin 2 ( x ) =1 Ahora la expresión completa nos quedaría de la siguiente forma

a2 e2 bt b a2 e2 bt √ b2 +1 Cancelamos factores comunes 

b

√ b2+1 Así logramos demostrar que:

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∝=cos−1

(

c ( t )∗c' ( t ) =cos−1 ' ∥c ( t ) ∥∗∥ c ( t ) ∥

)

(

b √b 2+1

)

5. Si b ⟶ 0 ¿qué puede concluir acerca del ángulo, la línea radial y tangencial?

∞=cos−1

0 0 =cos−1 =cos−1 ( 0 )=90 2 √1 0 +1

( )

(√ )

La curva y su vector tangente son perpendiculares ya que su Angulo  logarítmica sería una circunferencia.

 90°.  La espiral

En geometría diferencial, la espiral puede definirse como una curva c(t) con un ángulo constante α entre el radio y el vector tangente

arcos

⟨ c ( t ) , c ,( t)⟩ =a ‖c (t )‖‖c , (t)‖

Si α = 0 la espiral logarítmica degenera en una línea recta. Si α = ± π / 2 la espiral logarítmica degenera en una circunferencia.

Características  Una espiral logarítmica de grado 0 (b = 1) es una circunferencia; el caso límite es una espiral logarítmica de grado 90 (b = 0 o b = ∞) es una línea recta desde el origen.

6. Si b ⟶ ∞ ¿qué puede concluir acerca del ángulo, la línea radial y tangencial?

lim (¿ b → ∞ cos−1 (

b 2

√ b +1

))=cos−1 ¿

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Tomamos la máxima potencia tanto en el numerador como en el denominador. Como en el numerador está b2dentro de una raíz cuadrada, entonces la máxima potencia es b, por tanto:

cos−1 ¿ ¿ cos−1 ( 1 ) =0 Entonces cuando b tiende a infinito, sucede que el ángulo entre la línea radial y la tangencial tiende a 0. Acerca de la línea radial De la pregunta 1 tenemos:

‖c(t )‖=aebt

lim (‖c ( t )‖) =lim ( ae bt ) ae ∞∗t ¿ ae ∞∗t=ae∞∗t=¿ ∞¿

b→∞

b→∞

Cuando b tiende a infinito, la línea radial tiende a infinito. -Acerca de la línea Tangencial

De la pregunta 3 tenemos que S (t) =ae bt √ b2 +1 lim ¿ b→∞

Si b tiende a infinito la línea tangencial tiende a infinito 7.

De una breve reseña sobre la spira Mirabilis (10 renglones máximo).

El nombre proviene de la expresión de una de sus ecuaciones. Jakob Bernoulli dedico un libro que llamo Spira Mirabilis  allí  dice que la espiral logarítmica puede ser utilizada como un símbolo, bien de fortaleza y constancia en la adversidad, o bien como símbolo del cuerpo humano, , toda línea recta al  origen  corta a la espiral  logarítmica con un mismo Angulo (a) se calcula en radianes como arctan

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el  grado  de la espiral  posee circunferencias centradas en el origen  y  se calcula como  arctan (In(b)). La espiral  logarítmica que tiene grado  0 (b = 0) = circunferencia Limite  espiral  Logarítmica de grado  90 (b = 0) o   (b   = ∞)= línea recta desde su  origen.  En coordenadas  (r, θ) la fórmula de la curva puede escribirse como: r =abθ “O”

r ∅=log b ( ) a La espiral logarítmica se distingue de la espiral  de Arquimedes por el hecho de que las distancias entre su brazo se incrementan en progresión Geometrica  mientras que en una espiral de Arquímedes estas distancias son constantes.

.

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Bibliografia https://es.wikipedia.org/wiki/Espiral_logar%C3%ADtmica https://matematicasiesoja.wordpress.com/la-spira-mirabilis/