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FACULTAD DE INGENIERÍA Y CIENCIAS BÁSICAS DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS TRABAJO COLABORATIVO CÁLCULO II Integrantes: Yenny Alexandra Arámbula Carreño  Andrés Felipe Sierra  Adrian José Rodríguez Gazabon

Ejercicio

 A continuación, se presenta un plano del primer piso de una casa en dos dimensiones: la medida del lado de cada cuadrado es de un metro, se omiten paredes internas, puertas y ventanas para facilitar los cálculos.

a.)  Se quiere embaldosinar toda la casa, por esto calcula el área de la casa

utilizando como unidad el cuadrado de la cuadrícula. Solución:

una forma para poder hallar el área debajo de la curva, seria dividiendo el área en triángulos iguales y luego sumando el área de cada uno de los rectángulos, utilizando la suma Riemann que es un método de integración numérica que nos permite calcular el valor de una integral definida fórmula para los triángulos:  A=B.A

Basándonos en el gráfico se puede decir que:    

se puede calcular el área total sumando las áreas 1+2+3+4+5+6 las áreas 1-4-5 se pueden tomar como triángulos las áreas 2-3 se pueden tomar como rectángulos el área 6 se puede dividir en aproximadamente tres rectángulos

b.)  Ahora, use rectángulos para calcular el área de la casa, para esto realice el

cálculo variando el número de rectángulos (cambie el número de rectángulos tres veces), por favor registre los datos obtenidos en la siguiente tabla. Número de intervalos

Estimado del área

Solución:

Si los rectángulos los hacemos cada vez más pequeños, el cálculo del área se hace cada vez más exacto y si hacemos los rectángulos infinitamente pequeños y tenemos infinitos rectángulos, la suma infinita de esos rectángulos sería el área exacta del área encerrada debajo de esa función y sería igual a la integral definida de esa función para un intervalo [a,b]: 

para nueve rectángulos:



para veintitrés rectángulos: se realizan los mismos procedimientos que el

punto anterior solo que tomamos diferentes puntos dependiendo del tamaño del rectángulo



para cuarenta y seis rectángulos:

Número de intervalos

Estimado del área

9 23 46

46,28 48,86 46,84

c.) Use la integral definida para calcular el área de la casa. Solución:

−   = ∫−   ℎ −   = ∫−  + 2    4 −   = ∫− 2 + 6 −    = ∫−   + 6    =  1  6  9 18   =  5  9   =  5 + 9   = 4

   = ∫−      = ∫−  + 4   2    = ∫−  + 4   + 2    = ∫− 6   =  0 6   =  0+ 6  = 6    = ∫    = ∫    = ∫

   7 sin+ 4    2 sin   + 6        = cos 2  + 6   = [cos1  12 + 6  (cos0)]   = cos1 + 6 12    = ∫    = ∫    = ∫  

       3 sin + 4  2 2   3     sin  2  + 3 + 25

  3   5       = cos  6 + 2 + 2    = [cos5  1256 + 725 + 225   cos1 61 + 32 + 52]   = cos5+ cos1 + 25 12    = ∫   5    = ∫ sin + 4  1    = ∫ sin + 5   =  cos + 5   =  cos2π+ 10π  cos5+ 25   = cos5 + 10π 26

  =  +  +  +  +    = 4 + 6  cos1 + 6 12  cos5 + cos1 + 25 12 + cos5 + 10π  26 AT = 6 12 + 25 13 + 10π  16 AT = 15 56 + 10π AT = 47,24

d.) Teniendo en cuenta el ítem b y c ¿Cuál es la mejor aproximación del área de la

casa? Justifique su respuesta. Solución:

una forma de hallar el área debajo de la curva es hacer rectángulos dentro de la figura. Si se hacen estos cada vez más pequeños, el cálculo del área se hace cada vez más exacto y si se hacen los rectángulos infinitamente pequeños y se tienen infinitos rectángulos, la suma infinita de esos rectángulos sería el área exacta del área encerrada debajo de esa función y sería igual a la integral definida de esa función para un intervalo [a,b]; de igual forma se pueden hacer rectángulos por arriba (se hace un promedio de la suma de por arriba y de por abajo). las figuras más usadas son los trapecios y los rectángulos