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FACULTAD DE INGENIERÍA Y CIENCIAS BÁSICAS

PROYECTO GRUPAL

Institución Universitaria Politécnico Grancolombiano

Trabajo Colaborativo –Calculo II

Sarmiento Sandra Milena Cod. 15994 Herrera Aya Diego Felipe 51213 Dominguez Usma Jessica Alexandra 62562 Pantoja Betancourt Luis David 54398

Grupo ·5

Institución Universitaria Politécnico Grancolombiano Módulo de Calculo II 2018

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Ejercicio

A continuación se presenta un plano del primer piso de una casa en dos dimensiones: la medida del lado de cada cuadrado es de un metro, se omiten paredes internas, puertas y ventanas para faciliar los cálculos.

Responder: a. Se quiere enbaldosinar toda la casa, por esto calcula el área de la casa utilizando como unidad el cuadrado de la cuadrícula. b. Ahora, use rectangulos paracálcular el área de la casa, para esto realice el cálculo variando el número de rectángulos (cambie el número de rectángulos tres veces), por favor registre los datos obtenidos en la siguiente tabla.

No. de rectángulos

Base de cada rectángulo

Área de cada rectángulo

Suma de las áreas de los rectángulos

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c. Use la integral definida para calcular el área de la casa. d. Teniendo encuenta el ítem b y c ¿Cuál es la mejor aproximación del área de la casa? Justifique su respuesta. e. Por seguridad el propietario quiere colocarle cerca electrica a la casa, para esto debe conocer ¿cuántos metros lineales de cerca necesita?. Use técnicas de integración.

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Desarrollo a) R/ 46,5 unidades cuadradas

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b)

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No. de rectángulos

Base de cada rectángulo

Área de cada rectángulo

Suma de las áreas de los rectángulos

1

10

10*9=90

90

4

3

15;27;27;15

84

10

1

3;4;5;5;8;8;8;8;5;5

51

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c) Lo primero que debemos hacer es sacar las funciones que intervienen en la figura para ello usamos la formula punto pendiente y la formula general de la parábola.

𝑦2 − 𝑦1 𝑥2 − 𝑥1 2−0 𝑚= = −1 −3 + 1 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1 ) 𝑦 − 0 = −1(𝑥 + 1) 𝑦 = −𝑥 − 1 𝑚=

𝑦2 − 𝑦1 𝑥2 − 𝑥1 5−2 𝑚= =1 0+3 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1 ) 𝑦 − 5 = 1(𝑥 − 0) 𝑦=𝑥+5 𝑚=

𝑦2 − 𝑦1 𝑥2 − 𝑥1 5−0 𝑚= = −6.97 2𝜋 − 7 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1 ) 𝑦 − 0 = −6.97(𝑥 − 7) 𝑦 = −6.97𝑥 + 48.82 𝑚=

Para la parábola usamos la formula general 𝑎𝑥 2 + bx + 𝑐 = 0 comparándola con los puntos conocidos (dos puntos de corte cn el eje x y el vértice).

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𝑎(3)2 + b(3) + 𝑐 = −4 { 𝑎(1)2 + b(1) + 𝑐 = 0 𝑎(5)2 + b(5) + 𝑐 = 0 Entonces: {

9a + 3b + 𝑐 = −4 a+b+𝑐 =0 25a + 5𝑏 + 𝑐 = 0

Resolviendo este sistema de ecuaciones por el método de Guss-Jordan obtenemos que: 𝑎=1 {𝑏 = −6 𝑐=5 Lo que quiere decir que la ecuación de esta parábola es: 𝑦 = 𝑥 2 − 6x + 5

Para calcular el área de la casa usando integral definida debemos resolver la siguiente integral. 0

−1

2𝜋

7

∫(𝑥 + 5) 𝑑𝑥 − ∫ (−𝑥 − 1) 𝑑𝑥 + ∫ (cos 𝑥 + 4) 𝑑𝑥 + ∫(−6.97𝑥 + 48.82) 𝑑𝑥 −3

−3

5

0

2𝜋

− ∫(𝑥 2 − 6x + 5) 𝑑𝑥 = 1

𝑥2 𝑥2 𝑥2 7 0 −1 [sin 2𝜋 ⌈ + 5𝑥⌉ + [ + 𝑥] + 𝑥 + 4𝑥] + [−6.97 + 48.82𝑥] −3 −3 0 2𝜋 2 2 2 𝑥 3 6𝑥 2 5 −[ − + 5𝑥] = 1 3 2 9 1 9 0 − ( − 15) + ( − 1) − ( − 3) + (sin 2𝜋 + 8𝜋) − (sin 0 + 0) 2 2 2 125 + (−170.765 + 341.74) − (−137.58 + 306.74) − ( − 75 + 25) 3 1 − ( − 3 + 5) ≈ 𝟒𝟔. 𝟏𝟏𝟏 3 R:/46.11

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d) La manera más aproximada para calcular el área de la casa la tenemos en el punto C que es la de calcular la integral definida debido a que aquí hayamos las funciones que intervienen para cada figura y la suma de todas nos arroja que el área de la casa es de 46.11 en ese orden de ideas se estaría comprobando con el punto A donde nos arrojó que el área en unidades cuadradas es de 46,5. e) Para resolver este punto debemos conocer la fórmula de longitud de arco que viene 𝑏

dada por: 𝐿 = ∫𝑎 √1 + (𝑦´)2 𝑑𝑥 Para la primera curva tenemos: 𝑦 = −𝑥 − 1 luego 𝑦´ = −1. Luego: −1

−1

𝐿1 = ∫ √1 + (−1)2 𝑑𝑥 = ∫ √2 𝑑𝑥 = −√2 + 3√2 = 2√2 −3

−3

Para la segunda curva tenemos: 𝑦 = 𝑥 + 5luego𝑦´ = 1. Luego: 0

0

𝐿2 = ∫ √1 + (1)2 𝑑𝑥 = ∫ √2 𝑑𝑥 = 0 + 3√2 = 3√2 −3

−3

Para la tercera curva tenemos: 𝑦 = −6.97𝑥 + 48.82luego𝑦´ = −6.97. Luego: 7

7

𝐿3 = ∫ √1 + (−6.97)2 𝑑𝑥 = ∫ √49.58 𝑑𝑥 = 7.04(7) − 7.04(2𝜋) = 5.04 2𝜋

2𝜋

Para la cuarta curva tenemos: y = cos 𝑥 + 4luego𝑦´ = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 . luego: 2𝜋

𝐿4 = ∫ √1 + (𝑠𝑒𝑛 𝑥 )2 𝑑𝑥 = 7.64 0

Para la quinta curva tenemos 𝑦 = 𝑥 2 − 6x + 5 luego 𝑦´ = 2x − 6 5

𝐿5 = ∫ √1 + (2x − 6 )2 𝑑𝑥 = 9.29 1

Además hay dos tramos de la curva 𝑦 = 0 entre -1 y 1, y entre 5 y 7 por lo tanto 1

𝐿6 = ∫ √1 + 02 𝑑𝑥 = 1 + 1 = 2 −1 7

𝐿7 = ∫ √1 + 02 𝑑𝑥 = 7 − 5 = 2 5

Por último la cantidad de cable eléctrico que debe comprar es 7

∑ 𝐿𝑖 = 2√2 + 3√2 + 5.04 + 7.64 + 9.29 + 2 + 2 = 33.04 𝑖=1