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• Juan Carlos Donis

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CAPACITANCIA 1.- ¿Qué es capacitancia? Se define como la razón entre la magnitud de la carga de cualquiera de los conductores y la magnitud de la diferencia de potencial entre ellos. La capacitancia siempre es una cantidad positiva y puesto que la diferencia de potencial aumenta a medida que la carga almacenada se incrementa, la proporción Q / V es constante para un capacitor dado. En consecuencia la capacitancia de un dispositivo es una medida de su capacidad para almacenar carga y energía potencial eléctrica. La capacitancia tiene la unidad del SI coulomb por volt. La unidad de capacitancia del SI es el farad (F), en honor a Michael Faraday. CAPACITANCIA = 1F = 1 C/1 V El farad es una unidad de capacitancia muy grande. En la práctica los dispositivos comunes tienen capacitancia que varían de microfarads a picofarads. La capacitancia de un dispositivo depende entre otras cosas del arreglo geométrico de los conductores. CALCULO DE LA CAPACITANCIA La figura 1 muestra un capacitor generalizado, que consta de dos conductores a y b de forma arbitraria. Sin importar cual sea su geometría, a estos conductores se les llama placas, y damos por hecho que se hallan totalmente aisladas de su entorno, como también que, por el momento, están en el vacío. Decimos que el capacitor está cargado si sus placas contienen cargas +q y –q iguales y opuestas, respectivamente. Notesé que q no es la carga neta en el capacitor, la cual es cero. En nuestro estudio sobre los capacitores denotamos con q el valor absoluto de la carga en cualquier placa; esto es, q representa una magnitud únicamente, y el signo de la carga de una placa dada debe especificarse. Podemos cargar un capacitor conectando las dos placas a las terminales opuestas de una batería. Puesto que las placas son conductoras, son también equipotenciales, y la diferencia de potencial de la batería aparecerá en las placas. Al cargar el capacitor, la batería transfiere a las dos placas cargas iguales y opuestas. Por conveniencia, a la magnitud de la diferencia de potencial entre las placas las representamos por V. Como lo demostraremos en la sección siguiente, existe una proporcionalidad directa entre la magnitud de la carga q en un capacitor y la diferencia de potencial V entre sus placas, Esto es, podemos escribir q = CV donde C, la constante de proporcionalidad, se llama capacitancia del capacitor. En la sección siguiente, demostraremos también que C depende de las formas y posiciones relativas de la placa, y calcularemos la dependencia real de C de dichas variables en tres casos especiales importantes. C depende también del material que llena el espacio entre las placas; sin embargo, por el momento supondremos que el espacio es vacío. La unidad de capacitancia en el SI que se infiere de la ecuación 1 es el coulomb/volt, y se le da el nombre de farad (abreviado F): 1 farad = 1 coulomb/volt. Recibe el nombre en honor de Michael Faraday quien, entre sus otras contribuciones, desarrolló el concepto de capacitancia. Los submúltiplos del farad, el microfarad (1 F = 10-6 F) y el picofarad (1 pF = 10-12), son unidades más convenientes en la práctica. La figura 2 muestra algunos capacitores en la región de los microfarad o de los picofarad que pueden encontrarse en equipos electrónicos o de computación. CALCULO DE LA CAPACITANCIA Aquí nuestra tarea es calcular la capacitancia de un capacitor una vez que conocemos su geometría. Puesto que consideramos un número de geometrías diferentes, parece acertado desarrollar un plan general para simplificar el trabajo. Resumido, nuestro plan es como sigue: (1) suponemos una carga q en las placas; (2) calculamos el campo eléctrico E entre las placas en términos de la carga, usando la Ley de Gauss; (3) conociendo E, calculamos la diferencia de potencial V entre las placas de la ecuación 15 del capítulo anterior; (4) calculamos C de C = q/V (Ec. 1). CONSTANTE DIELECTRICA La constante dieléctrica o permitividad relativa de un medio continuo es una propiedad macroscópica de un medio dieléctrico relacionado con la permitividad eléctrica del medio. El nombre proviene de los materiales dieléctricos, que son materiales aislantes o muy poco conductores por debajo de una cierta tensión eléctrica llamada tensión de rotura. El efecto de la constante dieléctrica se manifiesta en la capacidad total de un condensador eléctrico o capacitor. Cuando entre los conductores cargados o paredes que lo forman se inserta un material dieléctrico diferente del aire (cuya permitividad es prácticamente la del vacío) la capacidad de almacenamiento de la carga del condensador aumenta. De hecho la relación entre la capacidad inicial Ci y la final Cf vienen dada por la constante eléctrica:

Donde ε es la permitividad eléctrica del dieléctrico que se inserta. Además el valor de la constante dieléctrica K de un material define el grado de polarización eléctrica de la substancia cuando esta se somete a un campo eléctrico exterior. El valor de K es afectado por muchos factores, como el peso molecular, la forma de la molécula, la dirección de sus enlaces (geometría de la molécula) o el tipo de interacciones que presente. CAPACITANCIA EN SERIE Y EN PARALELO Un condensador es un dispositivo que sirve para almacenar carga y energía. Está formado por dos placas conductoras (metálicas) de forma arbitraria aisladas una de otra, que poseen carga de igual magnitud pero de signos contrarios, por lo que se produce un campo eléctrico entre las placas. El valor absoluto de la carga de cualquiera de las placas se denomina `la carga del condensador'. Así, si un condensador tiene carga Q, implica que su placa positiva tiene carga +Q y su placa negativa tiene carga -Q. Los condensadores tienen muchas aplicaciones prácticas. Por ejemplo, el `flash' de una cámara fotográfica contiene un condensador que almacena energía necesaria para causar un destello de luz. También se usan en circuitos eléctricos para convertir la corriente alterna en corriente continua. CONEXIÓN EN PARALELO Consideremos k condensadores conectados en paralelo como en la siguiente figura 1.a:

Figura 1 Conexión de capacitores en paralelo La ley de Kirchhoff de corrientes:

en conjunto con la corriente en un capacitor:

podemos escribir la siguiente igualdad:

es decir:

Tenemos que:

Define una expresión para la conexión en paralelo de varios condensadores.

CONEXIÓN EN SERIE Considere una conexión en serie de condensadores como en la Figura 2a.

Figura 2.a Conexión en Serie La Ley de Kirchhoff de voltajes

en conjunto con la fórmula tensión-corriente de un condensador

Permitamos escribir la igualdad

Que simplificando conduce a la relación:

Tenemos que:

ENERGIA DE UN CAPACITOR CARGADO El capacitor es un dispositivo que almacena energía en un campo electrostático. Una lámpara de destello o de luz relámpago, por ejemplo, requiere una breve emisión de energía eléctrica, un poco mayor de lo que generalmente puede proporcionar una batería. Podemos sacar energía con relativa lentitud (más de varios segundos) de la batería al capacitor, el cual libera rápidamente (en cuestión de milisengundos) la energía que pasa al foco. Otros capacitores mucho más grandes se emplean para proveer intensas pulsaciones de láser con el fin de inducir una fusión termonuclear en pequeñas bolitas de hidrógeno. Los capacitores se usan también para producir campos eléctricos como es el caso del dispositivo de placas paralelas que desvía los haces de partículas cargadas. Los capacitores tienen otras funciones importantes en los circuitos electrónicos, especialmente para voltajes y corrientes variables con el tiempo. La propiedad para almacenar energía eléctrica es una característica importante del dispositivo eléctrico llamado Capacitor. Se dice que un capacitor está cargado, o sea cuando el capacitor almacena energía, cuando existe carga eléctrica en sus placas o cuando existe una diferencia de potencial entre ellas. La forma más común para almacenar energía en un capacitor es cargar uno mediante una fuente de fuerza electromotriz fem; de ésta forma y después de un tiempo relativamente corto, el capacitor adquiere una carga eléctrica Qo y por lo mismo tendrá una diferencia de potencial Vo entre sus placas.

y que

............................(1) De lo anterior se tiene;

Integrando ambos lados de la ecuación:

utilizando la operación inversa al logaritmo,

Cuando el capacitor se carga completamente, se tiene de la ec.(1) dq/dt =0 entonces Qo la carga total adquirida está dada por Qo= CE. Por lo tanto la ecuación anterior resulta como:

................................................(2) La ecuación anterior expresa la carga eléctrica q que adquiere el capacitor al transcurrir el tiempo t, iniciando sin carga eléctrica (t = 0 ) y terminando con una carga Qo, ademas se tiene:

pero , entonces se tiene:

......................................(3)

Donde es el voltaje en las terminales del capacitor cuando adquiere su carga total .

Pero se sabe que , entonces derivando ec. (2):

Pero al inicio , la corriente en circuito es;

, finalmente se tiene la cual expresa la disminución de la corriente eléctrica en el circuito al transcurrir el tiempo.

Al estar el capacitor C cargado, éste tiene una carga total y una diferencia de potencial ; en estas condiciones, al cambiar el interruptor S se observa inmediatamente una disminución en la diferencia de potencial entre las terminales del capacitor, entonces se dice que el capacitor se está descargando. Este efecto de descarga es provocado por la existencia de la resistencia R que cierra el circuito. La disminución del voltaje en el capacitor C se puede analizar utilizando las leyes de Kirchoff en la rama derecha del circuito, de tal forma que se puede establecer la ecuación siguiente:

Se debe considerar que debido a que la corriente se genera al disminuir la carga eléctrica en el capacitor, de tal forma que la ecuación que representa la descarga del capacitor está dada por:

Con un procedimiento análogo al efectuando en la ec. (1), reacomodando términos e integrando ambos lados de la ecuación, es posible expresar la carga eléctrica del capacitor en función del tiempo, considerando que el capacitor tiene inicialmente una carga , se tiene:

..................................................(4)

La ecuación anterior expresa que el capacitor inicia con una carga y termina su carga eléctrica, después de un tiempo relativamente grande (depende de R). Si se considera que,

entonces se obtiene:

y como , entonces:

...............................................(5) Esta última ecuación representa la disminución de la diferencia de potencial (V) en las terminales del capacitor al transcurrir el tiempo. Se puede aprovechar la forma muy particular de la disminución de la diferencia de potencial en las terminales de un capacitor de valor conocido (C) para determinar la resistencia (R) por la cual se descarga dicho capacitor en los términos siguientes: si el tiempo t que ha transcurrido después de que se inicia la descarga de un capacitor, es igual a RC, entonces la ec. (5) resulta;

esto indica que en dicho tiempo la diferencia de potencial en las terminales del capacitor es solo un 36.78% de su valor original, es decir que su voltaje disminuyó un 63.22% de su valor original . A este tiempo se le denomina constante de tiempo del capacitor. Utilizando este concepto de constante de tiempo, se mide el tiempo que tarda el capacitor en disminuir su diferencia de potencial un 63.22% y como se conoce el valor de la capacitancia (C), entonces el valor de la resistencia es:

CORRIENTE ELECTRICA

La corriente eléctrica es el flujo de portadores de carga eléctrica, normalmente a través de un cable metálico o cualquier otro conductor eléctrico, debido a la diferencia de potencial creada por un generador de corriente. La ecuación que la describe en electromagnetismo, en donde el vector perpendicular al diferencial de superfície o

es la densidad de corriente de conducción y

es

es el vector unitario normal a la superficie y dS es el diferencial

de superficie, es Históricamente, la corriente eléctrica se definió como un flujo de cargas positivas y se fijó el sentido convencional de circulación de la corriente como un flujo de cargas desde el polo positivo al negativo. Sin embargo, posteriormente se observó, gracias al efecto Hall que en los metales los portadores de carga son negativas, estos son los electrones, los cuales fluyen en sentido contrario al convencional. Una corriente eléctrica, puesto que se trata de un movimiento de cargas, produce un campo magnético. En el Sistema Internacional de Unidades, la unidad de medida de la intensidad de corriente eléctrica es el amperio, representado con el símbolo A. El aparato utilizado para medir corrientes eléctricas pequeñas es el galvanómetro. Cuando la intensidad a medir supera el límite que los galvanómetros, que por sus características, aceptan, se utiliza el Amperímetro. INTENSIDAD DE CORRIENTE ELECTRICA Se denomina intensidad de corriente eléctrica a la carga eléctrica que pasa a través de una sección del conductor en la unidad de tiempo. En el Sistema Internacional de Unidades se expresa en C·s-1 (culombios partido por segundo), unidad que se denomina amperio. Si la intensidad es constante en el tiempo se dice que la corriente es continua; en caso contrario, se llama variable. Si no se produce almacenamiento ni disminución de carga en ningún punto del conductor, la corriente es estacionaria. Se mide con un galvanómetro que, calibrado en amperios, se llama amperímetro y en el circuito se coloca en serie con el conductor cuya intensidad se desea medir. El valor i de la intensidad instantánea será:

Si la intensidad permanece constante, en cuyo caso se denota I, utilizando incrementos finitos de tiempo se puede definir como:

Si la intensidad es variable la fórmula anterior da el valor medio de la intensidad en el intervalo de tiempo considerado. Según la ley de Ohm, la intensidad de la corriente es igual al voltaje dividido por la resistencia que oponen los cuerpos:

Haciendo referencia a la potencia, la intensidad equivale a la raíz cuadrada de la potencia dividida por la resistencia. En un circuito que contenga varios generadores y receptores, la intensidad es igual a:

donde Σε es el sumatorio de las fuerzas electromotrices del circuito, Σε' es la suma de todas la fuerzas contraelectromotrices, ΣR es la resistencia equivalente del circuito, Σr es la suma de las resistencias internas de los generadores y Σr' es el sumatorio de las resistencias internas de los receptores. LEYES Y CIRCUITOS ELECTRICOS Se denomina circuito eléctrico a una serie de elementos o componentes eléctricos, tales como resistencias, inductancias, condensadores y fuentes, o electrónicos, conectados eléctricamente entre sí con el propósito de generar, transportar o modificar señales eléctronicas Partes de un circuito A la hora de analizar un circuito es conveniente conocer la terminología de cada elemento que lo forma. A continuación se indican los comúnmente más aceptados tomando como ejemplo el circuito mostrado en la figura 1.

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Conector: hilo conductor de resistencia despreciable (idealmente cero) que une eléctricamente dos o más elementos.

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Generador o fuente: elemento que produce electricidad. En el circuito de la figura 1 hay tres fuentes, una de intensidad, I, y dos de tensión, E1 y E2.

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Red: conjunto de elementos unidos mediante conectores.

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Nudo o nodo: punto de un circuito donde concurren varios conductores distintos. En la figura 1 se observan cuatro nudos: A, B, D y E. Obsérvese que C no se ha tenido en cuenta ya que es el mismo nudo A al no existir entre ellos diferencia de potencial (VA - VC = 0).

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Rama: conjunto de todos los elementos de un circuito comprendidos entre dos nudos consecutivos. En la figura 1 se hallan siete ramas: AB por la fuente, AB por R1, AD, AE, BD, BE y DE. Obviamente, por una rama sólo puede circular una corriente.

Las leyes (o Lemas) de Kirchhoff fueron formuladas por Gustav Kirchhoff en 1845, mientras aún era estudiante. Son muy utilizadas en ingeniería eléctrica para obtener los valores de intensidad de corriente y potencial en cada punto de un circuito eléctrico. Surgen de la aplicación de la ley de conservación de la energía.En circuitos complejos, así como en aproximaciones de circuitos dinámicos, se pueden aplicar utilizando un algoritmo sistemático, sencillamente programable en sistemas de cálculo informatizado mediante matrices. Ley de los nudos o ley de corrientes de Kirchhoff [editar]

1a. Ley de circuito de Kirchhoff (KCL - Kirchhoff's Current Law - en sus siglas en inglés o LCK, ley de corriente de Kichhoff, en español) En todo nodo, donde la densidad de la carga no varíe en un instante de tiempo, la suma de corrientes entrantes es igual a la suma de corrientes salientes. Un enunciado alternativo es: en todo nodo la suma algebraica de corrientes debe ser 0.

Ley de las "mallas" o ley de tensiones de Kirchhoff [editar]

2a. Ley de circuito de Kirchhoff (KVL - Kirchhoff's Voltage Law - en sus siglas en inglés. LVK - Ley de voltaje de Kirchhoff en español) En toda malla la suma de todas las caídas de tensión es igual a la suma de todas las fuerzas electromotrices. Un enunciado alternativo es:

en toda malla la suma algebraica de las diferencias de potencial eléctrico debe ser cero.

Obtenido de "http://es.wikipedia.org/wiki/Leyes_de_Kirchhoff"