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• Tatiana Galeas

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Física III Ing. Roy Donaldo silva

CAPACITANCIA Y CAPACITORES La capacitancia se expresa como la relación entre la carga eléctrica de cada conductor y la diferencia de potencial (es decir, tensión) entre ellos. El valor de la capacitancia de un capacitor se mide en faradios (F) Los capacitores son dispositivos que almacenan energía, disponibles en muchos tamaños y formas. Consisten en dos placas de material conductor (generalmente un metal fino) ubicado entre un aislador de cerámica, película, vidrio u otros materiales, incluso aire. El aislante también se conoce como un dieléctrico y aumenta la capacidad de carga de un capacitor. A veces, los capacitores se llaman condensadores en la industria automotriz, marina Las placas internas están conectadas a dos terminales externos, que a veces son largos y finos, y se asemejan a diminutas antenas o patas metálicas. Estos terminales se pueden conectar a un circuito. Los capacitores y las baterías almacenan energía. Mientras que las baterías liberan energía poco a poco, los capacitores la descargan rápidamente. 2

Capacitor La capacidad de un condensador es dada por la siguiente expresión C=capacidad del condensador en Faradios (F)

q capacitancia (c)  V

Comúnmente se utilizan las siguientes unidades para expresar la capacidad o intensidad de los capacitores

q=Cantidad de carga almacenada en Coulombs (C) V=Voltaje en (v)

1mF=1x10-6F 1nF=1x10-9F 1pf=1x10-12F

Capacitancia La capacitancia de un condensador de placas paralelas depende estructuralmente del área de las placas (A) en m2, de la separación de las placas (d) en m y de la permitividad del material o dieléctrico em o eo A C  em d Se puede concluir que las siguientes modificaciones dan como resultado Modificación

Resultado

Mayor em

Mayor capacitancia

o

eo

Mayor superficie A

Mayor capacitancia

Menor distancia entre las placas

Mayor capacitancia

Capacitor de Placas Paralelas V (d )  V (0)  

d

0

 Qd Ex dx  Ed  d  e0 e0 A

Qd V  V ( d )  V ( 0)  e0 A Q e0 A  C V d  C F   V  5

Ejemplo a) Ejemplo determinar la capacitancia de un capacitor de placas paralelas con las siguientes características, cuyo aislante se conforma por un plástico vinílico de una constante dieléctrica de (em=4.1) y de 18 mm de grosor b) Determina como varia la capacitancia conforme el grosor del dieléctrico aumente hasta 30 micras

d (mm) 18 20 22 24 26 28 30

C (nF)

Resultados a) Usando de (em=4.1) y de 18 mm de espesor tenemos C=

A C  em d  4.1* 8.85 x10

12

(0.25)(0.25)  125.98nF -6 18x10

1.0e-006 * 0.1260 0.1134 0.1031 0.0945 0.0872 0.0810 0.0756 130

C (mF)

18

126

20

113

22

103

24

94

26

87

28

81

30

75

120

110

Capacitancia nF

d (mm)

100

90

80

70 0.018

0.02

0.022

0.024 Grosor m

0.026

0.028

0.03

Corriente y voltaje en un capacitor El capacitor es uno de los elementos ideales de los circuitos. Pongamos un capacitor a trabajar para observar la relación entre la corriente y el voltaje. Las dos formas de la ecuación

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Explicación de corriente y voltaje • Supón que le aplicamos un pulso de corriente de 2 mA al capacitor de 1 micro F durante 3 milisegundos, y que el voltaje inicial a través del capacitor es cero.

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Conexiones en serie y en paralelo Las características de los circuitos en serie son: • Los elementos están conectados como los eslabones de una cadena (el final de uno con el principio del otro). La salida de uno a la entrada del siguiente y así sucesivamente hasta cerrar el circuito. • Todos los elementos que se conectan en serie tienen la misma intensidad, o lo que es lo mismo, la misma intensidad recorre todos los elementos conectados en serie. • La tensión total de los elementos conectados en serie es la suma de cada una de las tensiones en cada elemento • Si un elemento de los conectados en serie deja de funcionar, los demás también

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Conexión serie de los capacitores • Los capacitores también se pueden utilizar en forma serie o paralelo y un arreglo en serie puede ser sustituido por capacitor de la siguiente capacitancia: • NOTA : FAVOR CORREGIR LA FORMULA DE LA CONEXIÓN EN SERIE QUE SE REALIZO EN CLASE… POR LA QUE TENEMOS A CONTINUACION

C3 C2

C1

Ceq

Conexión paralelo de los capacitores • Los capacitores en paralelo tienen la siguiente capacitancia equivalente

C1

C2

C3 Ceq

ceq  C1  C2  C3

Ejercicio Obtener la capacitancia equivalente de tres condensadores de 10 mF, 15 mF y 35 mF a)Conectados en serie ( corregir el ejercicio de clase y utilizar la siguiente formula )

b)Conectados en paralelo

ceq  10  15  35  60mF

Ejemplo de aplicación • Calcular el valor del condensador equivalente que se obtiene al asociar los cuatro condensadores.

ceq  C1  C2  C3 14

Ejercicio Obtener la capacitancia equivalente del siguiente circuito C4=60mF C1=10mF

C5=20mF

C3=30mF

C2=15mF C6=40mF

V

Ejercicios modelos :

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17

Ejercicio de aplicación : resolver en casa

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Relación entre Voltaje y corriente Elemento del circuito

Unidades

Voltaje

Corriente

Resistencia

Ohms (W)

V  Ri

i

V R

Capacitancia

Faradios (F)

v

1 i dt  C

iC

dv dt

Circuito RC La figura ilustra un ejemplo de un circuito resistor-capacitor, o circuito RC. En la parte a del dibujo un interruptor completa el circuito en el punto A, de modo que la batería puede cargar las placas del capacitor. Cuando el interruptor esta cerrado, el capacitor no se carga de inmediato . En vez de lo anterior , la carga llega gradualmente a su valor de equilibrio de q= CVo, en donde Vo es la tensión de la batería

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Ejemplos. Carga de un capacitor en un circuito RC • 1) Un capacitor descargado y una resistencia se conectan en serie con una batería como se muestra en la figura siguiente. Si Є= 12v, C= 5 μ F y R= 8 x 10 5 Ώ, determinese la constante de tiempo del circuito, la máxima carga en el capacitor, la máxima corriente en el circuito y la carga y la corriente cono funcion del tiempo.

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Circuito RC

S1 Encontrar el comportamiento dinámico del sistema en la resistencia es decir (vR(t)) con el interruptor en las posiciones:

a) S2

Estado del interruptor S1 S2 S3

S2

vR(t)

C R

+

-

v

i

S3

Acción C inicialmente descargado C Cargando a través de

I

C descargando a través de I

Solución a)

Como se nota en la figura el voltaje en la resistencia vR es variante en el tiempo S1 Además el voltaje de la C R fuente es dividido en el v. del S2 capacitor y el v. de la resistencia

+

-

v

S3

i

v  vc  vR

Usando la relación de voltajes la ecuación diferencial que describe el comportamiento de la malla es 1 v   i dt  Ri C Si conocemos la corriente i podemos determinar directamente el voltaje VR(t)

Solución a)…Cambio al dominio de Laplace 1 v   i dt  Ri C Función

donde i es función del tiempo, R y C y v son constantes Transformada de Laplace

Resultado

v

Vs

i

Is Integración

i

dt

v

1 Is s

1 i dt  Ri  C

Vs 

Usando transformada de Laplace

Is  R Is C S

Solución Vs 

Is  R Is C S

Factorizando Is

 1  Vs  I s  R  C S 

 R C S 1 Vs  I s   C S  

Por lo que el comportamiento dinámico es dado por la siguiente la función de transferencia es Salida Entrada

Is  C S    Vs  R C S  1 

Solución determinando i Is  C S    Vs  R C S  1  Función

Como sabemos que Vs es constante podemos rescribirlo como

Transformada de Laplace

kv u (t )

Resultado

kv s

Escalón Unitario

donde el valor kv representa la magnitud en volts de la fuente, sustituyendo en la función de transferencia tenemos    kv  C S  kv   C kv    C  Is           R C S  1  S   R C S  1    R C  S  1  R C  

Para determinar i en el tiempo es necesario aplicar la inversa de Laplace a

  k Is   v  R  

 1    S  1 R C 

     

     

Solución determinando i   k Is   v  R  

 1    S  1 R C 

     

Función

Transformada inversas de Laplace

e (at)

1 sa

1 RC

Si a 

 t 

Tenemos finalmente

y

Resultado

 t   

kv  RC  kv   i (t )  e  e R R

vR  R i (t )  kv e

Usando  (tau)

 t     

vC  vs  vR  kv  kv e

 t     

 t       kv 1  e       

 R C

Cálculo de capacitancia Se obtiene el campo eléctrico por ley de Gauss (despreciando efectos de borde) Se determina la diferencia de potencial V entre cada armadura que configura el capacitor • V debe ser de la forma e Q/L, donde L es un factor, con unidades de longitud, que depende de la geometría del capacitor denominado longitud característica • C=Q/V= e L; por ejemplo, en placas paralelas, L = A/d 28

Capacitor esférico

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Capacitor esférico  Er 

Q 4e 0 r 2

  b  Qdr Q(b  a) V   E  ds  a 4e 0r 2  4e 0ab

b

b a

4e 0 ab C (b  a )

Ca  4e 0 a 30

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Calculo de la capacitancia

Capacitor Cilíndrico

32

33

1.- Con una batería se carga un capacitor de placas paralelas, retira la batería. Cuando separa las placas ¿que ocurre con la capacitancia, la carga, El campo eléctrico entre las placas, la diferencia de potencial y la energía almacenada en el capacitor? 2.- Repita la pregunta anterior, pero en esta ocasión responda los cuestionamientos para la situación en la cual la batería permanece conectada mientras ustede separa las placas 34

3.- Un material dieléctrico se desliza entre las placas de un capacitor de placas paralelas mientras permanece conectado a una batería. Describa cualitativamente lo que le sucede a la carga, a la capacitancia, a la diferencia de potencial, al campo eléctrico y a la energía almacenada. ¿Se requiere trabajo para insertar material?

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4.- Un material dieléctrico se desliza entre las placas de un capacitor de placas paralelas cargado. Describa cualitativamente lo que le sucede a la carga, a la capacitancia, a la diferencia de potencial, al campo eléctrico y a la energía almacenada. ¿Se requiere trabajo para insertar material?

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Dieléctricos polares y no polares • La suma algebraica de todas las cargas en la molécula de cualquier sustancia es igual a cero. • En distintas sustancias la disposición espacial de las cargas en la molécula puede ser diferente • Las moléculas simétricas son no polares las moléculas asimétricas son polares • Momento dipolar eléctrico molecular: p=2aq 30

10 [ Cm] 37

1.- El capacitor de la figura tiene una capacitancia de 26.0 μF e inicialmente esta descargado. La batería suministra 125 V. Después de haber cerrado el interruptor S durante un periodo largo, ¿Cuánta carga habrá pasado por la batería B?

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2.- Un capacitor de placas paralelas tienen placas circulares de 8.22 cm de radio y 1.31 cm de separación. (a) Calcule la capacitancia. (b) ¿Qué carga aparecerá en las placas si se aplica una diferencia de potencial de 120 V?

3.- Las placas de un capacitor esférico tienen radios de 38.0 mm y 40.0 mm. (a)Calcule la capacitancia. (b) ¿ Cual debe ser el área de la placa de un capacitor de placas paralelas con la misma separación entre placas y la misma capacitancia?

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4.- Como se muestra en la figura, halle la capacitancia equivalente de la combinación. Estando aplicada una diferencia de potencial de 200 V a través del par. (a) Calcule la capacitancia equivalente. (b) ¿Cuál es la carga de cada capacitor?. (c) ¿Cuál es la diferencia de potencial a través de cada capacitor? Suponga que C1 = 10.3 μF, C2 = 4.80 μF y C3 = 3.90 μF.

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Se le pide a usted construir un capacitor que tenga una capacitancia cercana a 1.0 nF y un potencial de perforación en exceso de 10 kV. Usted piensa emplear las paredes de un vaso de beber alto (de Pyrex), revestir el interior y el exterior con hoja de aluminio (despreciando el efecto de los extremos. ¿Cuáles son (a) la capacitancia y (b) el potencial de perforación?. El vaso que usted emplea tiene 15 cm de altura, un radio interno de 3.6 cm y un radio externo de 3.8 cm.

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7.- Un capacitor de placas paralelas tiene placas de 0.118 m2 de área y una separación de 1.22 cm. Una batería carga a las placas a una diferencia de potencial de 120 V y luego se desconecta. Una lámina de material dieléctrico de 4.30 mm de espesor y constante dieléctrica de 4.80 se coloca después, simétricamente entre las placas. (a) Determine la capacitancia antes de insertar la lámina. (b) ¿Cuál es la capacitancia con la lámina en su lugar?. (c) ¿Cuál es la carga libre q antes y después de haber insertado la lámina? (d) Determine el campo eléctrico en el espacio entre las placas y el dieléctrico? (f) Con la lámina en posición, ¿cuál es la diferencia de potencial entre las placas?

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BOTELLA DE LEYDEN La Electricidad en su forma de Electricidad estática, había sido conocida durante bastante tiempo, pero no fue hasta 1746 que Musschenbroeck, inventó la Botella de Leyden (toma el nombre de la Universidad donde se creó). Se trata de un condensador simple, de placas paralelas, o en otros términos de un "acumulador de carga eléctrica, que puede almacenar cantidades sustanciales de carga. Cuando la botella de Leyden se usa en combinación con alguna máquina de fricción, permite desarrollar cargas muy altas, del orden de kilovoltios. Una vez cargada al máximo, la botella puede descargarse de forma espontánea o mediante un descargador; en ambos casos, produciendo una chispa azul intenso, de características similares a un rayo. 43

GENERADOR ELECTROSTATICO Y BOTELLA DE LEYDEN DE FRASCO DE PELICULA la botella de leyden es un capacitor que tiene dos conductores, uno en la parte exterior y otro en la parte interior. Como conductores se pueden usar trozos de lámina de aluminio (la que se usa para la cocina).

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Cómo se hace Primero debes obtener un alambrito, corta un trozo de la lámina de aluminio y envuelve con este el frasco de rollo de película fotográfica. Luego debes colocar en el interior otro trozo de lámina de aluminio, si deseas puedes usar pegamento, ten cuidado de hacer secar un buen tiempo porque los gases que se quedan en el interio pueden hacer explotar el frasco. Toma la tapa, haz una perforación e introduce en esta un tornillo y asegura en la parte de abajo un trozo de alambre obtenido de un clip para papel. Este alambre debe hacer contacto con la lámina que colocaste en el interior. Toma un trozo de cable (con varios hilos) y sujetalo en la parte de arriba del tornillo, llamaremos a esta parte "cepillo de colección".

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Generador Electrostático Es generador es simplemente un tubo de pvc que se frota con un paño o un trozo de tela. El aparato se hace funcionar colocando la botella de leyden en el borde de una mesa, lugo debes hacer que el cepillo de colección toque al tubo de pvc mientras lo haces deslizar frotando en el paño o tela. El alambre que se ve que sale de la botella de leyden es simplemente una conexión a tierra, en vez de esto puedes pedir a alguien que tome el frasco sujetando por la parte que tiene la lámina de aluminio. Esta persona no recibirá una descarga si no toca la lámina y el tornillo.

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