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• Friday Acevedo

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BIOMATEMATICAS

Matemáticas y biología

Matemáticas

Biomatemáticas

Ciencias de la vida

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Biomatemáticas o Biología Matemática es un campo interdisciplinario de estudio que se concentra en la modelación de procesos biológicos utilizando técnicas matemáticas .tiene grandes aplicaciones teóricas y prácticas en búsquedas biológicas. Matemáticas: Proviene del griego “mánthano”, que significa aprender. “Máthema” significa conocimiento, y de éste término nace el adjetivo “mathematikós“. En latín el término utilizado era “mathematicus“. Por lo tanto, el significado de la palabra matemáticas sería entonces aquello que se puede pensar y aprender.

son muchos los ejemplos de la aplicación matemática en las diversas áreas de la biología tales con en salud, ecología, fisiología, bioquímica, genética, morfología, entre otras.

Modelos matemáticos Es un tipo de modelo científico que emplea tipo de formulismos matemáticos para expresar relaciones, variables de las operaciones para estudiar comportamientos de sistemas complejos ante situaciones difíciles de observar en la realidad Algunos ejemplos de modelos matemáticos en biología  

el modelo de Fibonacci. lo utilizo para describir el crecimiento de una población de conejos el modelo Malthusiano .- se usó para modelara el crecimiento de algunas especie considerando condiciones iniciales: Malthus quería explicar la razón de la pobreza existente en aquellos tiempos, y formuló una teoría que puede ser resumida de forma simplificada con la siguiente frase: “Cuando no lo impide ningún obstáculo, la población va doblando cada 25 años, creciendo de período en período, en una progresión geométrica. Los medios de subsistencia, en las circunstancias más favorables, no se aumentan sino en una progresión aritmética.” Su visión se basaba en que las mejoras tecnológicas agrícolas y en la producción de alimentos solo conllevaban mejoras temporales ya que serían consumidas por el excesivo aumento de la población.

Aparte de ello, fue el descubridor de la denominada sucesión de Fibonacci. Esta secuencia suele comenzar con el 0 y el 1, y para los siguientes términos se hace la suma de los dos anteriores. De esta manera, queda una secuencia así:

La historia dice que Fibonacci se fijó en esta secuencia mediante la reproducción de los conejos. El problema dice así: ¿Cuántas parejas de conejos tendremos a fin de año, si comenzamos con una pareja que produce cada mes otra pareja que procrea a su vez a los dos meses de vida? La respuesta a esta pregunta vendría a ser así:    

En primer lugar, tenemos una pareja de conejos el primer mes. El segundo mes, la pareja envejece (todavía no procrea) El tercer mes, la pareja procrea otra pareja, o sea que ya tenemos dos. El cuarto mes, la pareja más vieja vuelve a procrear, mientras que la segunda envejece. En total, tenemos 3 parejas.  El quinto mes, las dos parejas más viejas procrean de nuevo, y la tercera envejece. En total, tenemos 3+2=5  El sexto mes, las tres parejas más viejas procrean, y las dos más nuevas envejecen, de manera que tenemos 5+3 = 8. Esquemáticamente, sería algo así:

Ya os podéis imaginar cómo sigue el resto de la secuencia. Sino, aquí tenéis una tabla en la que quizá queda mejor explicado el proceso de reproducción de los conejos a lo largo del año: Mes/Generación

1ª

2ª

3ª

4ª

5ª

6ª

TOTAL

1

1

1

2

1

1

3

1

1

2

4

1

2

3

5

1

3

1

5

6

1

4

3

8

7

1

5

6

1

13

8

1

6

10

4

21

9

1

7

15

10

1

34

10

1

8

21

20

5

55

11

1

9

28

35

15

1

89

12

1

10

36

56

35

6

144

A continuación veremos unos ejemplos de Biomatemáticas Ejemplo de optimización aplicada a la solución de un problema en zootecnia Se estima que el precio de mercado de un cierto producto ganadero durante el año próximo vendrá dado por la función:

𝑝(𝑡) = −2(𝑡 + 1)(𝑡 − 13), 𝑡 ∈ [0,12] Donde la variable 𝑡 representa el tiempo medido en meses. Por otra parte, el coste de dicho producto viene dado por:

𝑐(𝑡) = 4 + ln(1 + 𝑡) , 𝑡 ∈ [0,12] Se desea calcular cual es momento óptimo para poner a la venta el producto obteniendo el máximo beneficio posible. Solución: El beneficio obtenido al poner a la venta el producto en el instante t tendrá dado por la diferencia entre el precio de la venta y el costo de producción, es decir: (ln logaritmo natural)

𝑓(𝑡) = 𝑝(𝑡) − 𝑐(𝑡) 𝑓(𝑡) = −2(𝑡 + 1)(𝑡 − 13) − 4 − 20 ln(1 + 𝑡) = −2𝑡 2 + 24𝑡 + 22 − 20ln⁡(1 + 𝑡)

 

Es preciso hallar, el máximo absoluto en esta función en el intervalo [0,12]. Los puntos a tomar son: los máximos locales los extremos del intervalo La función f está definida y es continua y derivable en el intervalo [0,12], ya que le argumento del logaritmo (1+t), es positivo en dicho intervalo. En los extremos del intervalo se tiene que:

𝑓(0) = 22⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝑓(12) = −29.29 𝑑𝑓 1 = −4𝑡 + 24 − 20 =0 𝑑𝑡 1+𝑡

= (−4t + 24)(1 + t) = 20 ↔ −4t 2 + 20t + 4 = 0 ↔ t −20 ± √400 + 64 t = t1 =≈ 5.2 = ={ } t = t 2 =≈ −0.2 −8 Como observamos solo el punto 𝑡1 pertenece al intervalo [0,12], y para él se tiene que: SI Y SOLO SI CASI IGUAL

f(t1 ) ≈ f(5.2) = 56.2 Conclusión.- se deduce que el máximo beneficio se obtiene vendiendo tras 5.3 meses

Fig.1 modelación matemática en Excel Microsoft 𝑓(𝑡) = −2𝑡 2 + 24𝑡 + 22 − 20ln⁡(1 + 𝑡)

Ejemplo 2. El número de bacterias de un determinado cultivo de laboratorio sigue la ley 𝑦=

𝑟 1 + 𝐶𝑒 −𝑡

Donde t es el tiempo medido en días, 𝑦 es el número de bacterias medidas en millones r⁡y⁡C⁡⁡⁡Son parámetros que hay que determinar a partir de los datos experimentales. Se sabe que al inicio del cultivo había 5x10⁡5 bacterias y que, cuando pasa mucho tiempo, la población de bacterias tiende a estabilizarse en el valor de 40 x10⁡6 millones. Determínese también en que instante t se alcanzara el número de 10 millones de bacterias

Solución: 1

Se tiene que 𝑦(0) = 500000 bacterias = millones de bacterias. 2

Por otro lado, el valor en el que se estabiliza la población cuando se deja pasar mucho tiempo se obtendrá tomando como límite cuando 𝑡 → +∞

lim 𝑦(𝑡) = 40

𝑡→∞

Utilizando estas dos informaciones se tiene:

𝑟 𝑟 ⁡⁡ = = ⁡𝑟 = 40 𝑡→∞ 1 + 𝐶𝑒 −𝑡 1 + 𝐶. 0

lim 𝑦(𝑡) = ⁡ lim

𝑡→∞

1 40 40 = 𝑦(0) = = ↔ 1 + 𝐶 = 80 ↔ 𝐶 = 79 2 1 + 𝐶𝑒 0 1 + 𝐶 Luego finalmente se tiene:

𝑦(𝑡) =

40 1 + 79𝑒 −𝑡

Para determinar el instante en que la población llega a los 10 millones de bacterias hay que resolver la ecuación:

40 40 3 −𝑡 −𝑡 = 10⁡ ↔ = 4 = 1 + 79𝑒 ↔ 3 = 79𝑒 ↔ = 𝑒 −𝑡 1 + 79𝑒 −𝑡 10 79 De donde, tomando logaritmos en ambos miembros, se tiene que: 3

3

⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡−𝑡 = ln ( ) ↔ 𝑡 = − ln ( ) ≈⁡3.27083556⁡≈⁡3.3 dias 79 79

40

Fig. 2 modelación matemática de la función (𝑡) = usando 1+79𝑒 −𝑡 Geogebra Ejemplo 3.- modelo de crecimiento exponencial: modelo de Mathius Para introducir este tipo de modelos, consideremos un ejemplo concreto. Supongamos que tenemos una población de bacterias que se dividen cada 20 minutos. Supongamos también que cuando iniciamos el experimento tenemos dos bacterias. Queremos analizar cómo cambia el número de bacterias con respecto al tiempo. Obsérvese que este análisis no parece muy difícil: si inicialmente (tiempo cero) hay dos bacterias, a los veinte minutos (una vez el periodo de división) habrá 4 bacterias. A los 40 minutos (dos veces el periodo de división) habrá 8 bacterias. A los 60 minutos de inicio del experimento (tres veces el periodo de división) habrá 16 bacterias y así sucesivamente. Tiempo(minutos) 0 No. De bacterias 2

20 4

40 8

60 16

80 32

100 64

120 128

140 256

Para facilitar el análisis vamos a introducir cierta notación: 1. Vamos a denotar los periodos de división de la bacteria utilizando la letra 𝑘, así ,𝑘 = 0 Representa el inicio del experimento u observación,𝑘 = 1 representa una vez el periodo de reproducción, es decir, 20 minutos,𝑘 = 2 representa dos veces el periodo de división, es decir, 40 minutos. De manera general, un valor 𝑘 dado representa que han transcurrido 𝑘 periodos de división desde que se inició el experimento, es decir 20𝑘⁡minutos. 0 𝑘 No. De 2 bacterias

1 4

2 8

3 16

4 32

5 64

6 128

7 256

2. En segundo lugar utilizaremos la letra 𝑥⁡para representar el número de bacterias. En concreto, usaremos la notación 𝑥𝑘 para designar el número de bacterias transcurridas 𝑘 periodos de división. Así,

𝑥0 = 2, ⁡⁡⁡𝑥1 = 2𝑥0 =4, 2𝑥2 = 2𝑥1 = 8⁡⁡… 𝑘 𝑥𝑘

0 2

1 4

2 8

3 16

4 32

5 64

6 128

7 256

Si fijamos valor de 𝑘 > 0 , en este ejemplo concreto, tenemos 𝑥𝑘 = 2𝑘𝑘−1 ∀𝑘 > 0, Lo que produce: 𝑥𝑘 = 2𝑥𝑘−1 = 2. 2𝑥𝑘−2 = 22 𝑥𝑘−2 = ⋯ = 2𝑘 𝑥0 Es decir, 𝑥𝑘 = 2𝑘 𝑥0 ,⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝑘 = 1,2, … Donde 𝑥0 es el número de individuos de la población de bacterias al inicio del experimento. Obsérvese que dando valores a 𝑘 obtenemos una sucesión de valores, 𝑥𝑘 ⁡ Estos valores proporcionan el número de bacterias de nuestro experimento después de cada periodo de división 𝑘 En nuestro caso particular, inicialmente había dos bacterias, es decir , 𝑥0 = ⁡2 Así, 𝑥0 = 2. 20 = 21 = 2 𝑥1 = 2. 21 = 22 = 4 𝑥2 = 2. 22 = 23 = 8 𝑥3 = 2. 23 = 24 = 16 𝑥4 = 2. 24 = 25 = 32 𝑥5 = 2. 25 = 26 = 64 Así el número de bacterias de nuestro experimento después de 𝑘 periodos de tiempo viene dado por la formula 𝑥𝑘 = 2𝑘 . 2 = 2𝑘+1 ,⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒⁡𝑘 = 1,2, … Dicha fórmula nos permite deducir el comportamiento de la población cuando el tiempo avanza Ejemplo 4. La construcción de una fábrica de celulosa en la orilla de un río ha afectado a la viabilidad de los huevos de una población de truchas, de tal manera que cada año la población desciende un 11%. Sabemos que inicialmente la población de truchas ascendía a 1000 ejemplares. 1. Escribe un modelo que describa mediante una ecuación recursiva la dinámica de la población anterior. ¿Qué le ocurre al tamaño de la población de truchas en el futuro?

2. Según el modelo, ¿cuántas truchas habrá pasados 6 años? ¿Y cuando hayan pasado 7 años y 10 meses?

3. También según el modelo, ¿en qué momento el tamaño de la población desciende de 400 ejemplares? 1. En este ejemplo los periodos vitales son anuales. Así, razonamos como antes y consideramos 𝑥𝑘 como el número de ejemplares de trucha en el año 𝑘. De los datos del problema deducimos que la constante de reproducción de las truchas es del 89%, es decir, R = 0.89⁡De esta manera el modelo es:

⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡xk = 0.89xk−1 ⁡⁡donde⁡k = 0,1,2, … Lo que nos proporciona la fórmula 𝑥𝑘 = (0.89)𝑘 𝑥0 =1000(0.89)𝑘 ⁡⁡𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒⁡𝑘 = 1,2, …

Como R=0.89