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• Diego Sebastián C. Olivares

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PROYECTO DE FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES. MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE: ÁLGEBRA LINEAL: una propuesta metodológica de aprendizaje autónomo en página web.

CURSO DE ÁLGEBRA LINEAL PARA PÁGINA WEB UTEM AUTOR: CARLOS A. SEPÚLVEDA BUSTAMANTE ACADÉMICO DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

DEDICADO A: mi familia:

Ivonne Ximena; Carlos Leonel; Giselle Montserrat y Juan Pablo.

PÁG. M

PRÓLOGO Este texto, representa en impreso lo que está en la página web de la UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA; específicamente en la dirección http://www.utem.cl/matematicas/csepulveda . El propósito es presentar una propuesta metodológica de autoaprendizaje de la asignatura de ÁLGEBRA LINEAL (MAT-605) del Plan Común de Ingeniería de nuestra Universidad. Además, se trata de uniformar la metodología de enseñanza para las distintas secciones de dicho Plan. En el contenido, se presenta lo más fielmente posible los temas, guías de estudio, talleres de estudio, pruebas de autoevaluación, controles, pruebas de ensayo, pruebas parciales, pruebas recuperativas y exámenes; que se han hecho en los últimos años en esta institución; de tal forma que sirva de una guía para el estudiante principalmente; como también secundariamente para el académico que dicta la asignatura. El modo de uso del curso en la página web como guía de autoaprendizaje; sigue el siguiente modelo para cada SEMANA: INTERNALIZAR EL (O LOS) OBJETIVO(S) OPERACIONAL(ES) DE CADA TEMA

Æ ESTUDIAR EL TEMARIO Y REHACER LOS EJERCICIOS DESARROLLADOS CORRESPONDIENTES A CADA CONCEPTO.

Æ DESARROLLAR LOS EJERCICIOS DE LA GUÍA Y TALLER DE ESTUDIO.

Æ COMO EVALUACIÓN FORMATIVA DESARROLLAR LA PRUEBA DE AUTOEVALUACIÓN CORRESPONDIENTE.

Æ COMPARAR LAS RESPUESTAS DE LA PRUEBA DE AUTOEVALUACIÓN CON LA PAUTA PROPUESTA.

Æ COMO EVALUACIÓN FORMATIVA DESARROLLAR LOS CONTROLES CON PAUTA Y AUTOEVALUARSE SEGÚN LA PUNTUACIÓN ASIGNADA.

Æ COMO EVALUACIÓN DEL CURSO DESARROLLAR CONTROL PROPUESTO PARA SER EVALUADO POR EL PROFESOR DEL CURSO.

PÁG. MM

En cuanto a los periodos de SEMANAS DE PRUEBAS O EXÁMENES el modo de uso para cada PERIODO SE RESUME EN EL SIGUIENTE MODELO: DESARROLLAR LOS EJERCICIOS DE LA PRUEBA DE ENSAYO.

Æ COMO EVALUACIÓN FORMATIVA DESARROLLAR LAS PRUEBAS PARCIALES O EXÁMENES CON PAUTA.

Æ COMPARAR LAS RESPUESTAS DE LA PRUEBA PARCIAL O EXAMEN CON LA PAUTA PROPUESTA.

El estudiante deberá rendir DOS PRUEBAS PARCIALES para evaluar lo aprendido mediante este método. El estudiante puede reforzar el autoaprendizaje, asistiendo al curso dictado en forma tradicional y aprovechando las horas de atención de alumnos dispuestas por el académico que dicta la asignatura. La asignatura será dictada según la organización dispuesta en el texto. El procedimiento de evaluación es según lo indicado en el reglamento de los estudiantes de la UTEM, o lo que el académico disponga para este efecto.

PÁG. MMM

AGRADECIMIENTOS En primer lugar; vaya mi reconocimiento para la Institución por darle importancia a este tipo de actividad académica; pues el presente proyecto se realizó durante el año 2007 aprovechando la experiencia de lo realizado en esta asignatura, durante los años anteriores por los académicos que la han dictado bajo la coordinación del autor.

En segundo lugar, agradezco a los estudiantes por su buena disposición para señalar los errores que tenía el libro original o primera versión que dió orígen a este proyecto; como también a mis colegas que aportaron en una mejor redacción de los contenidos y/o ejercicios.

En tercer lugar, agradezco muy especialmente al estudiante SEÑOR PABLO ESPARZA SOLANO; quién por encargo de la Directora del Departamento de Matemática SEÑORA LIDIA ORTEGA SILVA; SIEMPRE TUVO LA BUENA DISPOSICIÓN para ir colocando semana a semana los temas en la PÁGINA WEB DE LA UNIVERSIDAD durante el segundo semestre de 2007; por lo cual el proyecto ya tuvo un primer piloto en dicho periodo.

En cuarto lugar, agradezco a todos los estudiantes del curso de Álgebra Lineal del Plan Común de Ingeniería o de otras facultades, que accedieron al curso por la web y que les haya aportado para su aprendizaje.

Finalmente, mi agradecimiento para el SEÑOR CARLOS ALARCÓN REYES, quién tuvo en el segundo semestre de 2007 la coordinación del curso de Álgebra Lineal (MAT-605), y siempre tuvo la buena disposición para promocionar el proyecto a los estudiantes como una ayuda más para su aprendizaje, como también mi reconocimiento para los académicos que trabajaron bajo dicha coordinación y tuvieron la misma actitud.

PÁG. MZ

INDICE CONTENIDOS

SEMANA Nº O1

PÁGINAS 1 - 53

UNIDAD I: MATRICES ñ

SEMANA N°1: CONTENIDOS Y EJEMPLOS (04 HORAS DE CÁTEDRA): TEMA 1: Definición de matriz TEMA 2: Vectores y matrices TEMA 3: Operaciones con matrices TEMA 4: Producto vectorial y multiplicación de matrices TEMA 5: Transpuesta de una matriz TEMA 6: Tipos de matrices TEMA 7: Operaciones elementales sobre las filas (o columnas) de una matriz SEMANA Nº1: EJERCICIOS PROPUESTOS (02 HORAS DE EJERCICIOS): Guía de estudio N°1 Taller N°1

ñ

ñ ñ ñ

11 21 25 29

37 40

SEMANA Nº1: PRUEBA DE AUTOEVALUACIÓN Nª1 SEMANA Nº1: CONTROLES CON PAUTA SEMANA Nº1: CONTROLES PROPUESTOS

SEMANA Nº O2 ñ

1 4 8

54

SEMANA N°2: CONTENIDOS Y EJEMPLOS (04 HORAS DE CÁTEDRA): TEMA 8: Matriz inversa TEMA 9: Matrices elementales y matrices inversas

43 45 51 -

54 59

UNIDAD II: DETERMINANTES TEMA 1: TEMA 2:

Definiciones Propiedades de los determinantes

63 69

92

PÁG. Z

ñ

ñ ñ ñ

SEMANA Nº2: EJERCICIOS PROPUESTOS (02 HORAS DE EJERCICIOS): Guía de estudio N°2 Taller N°2

75 79

SEMANA Nº2: PRUEBA DE AUTOEVALUACIÓN Nª2 SEMANA Nº2: CONTROLES CON PAUTA SEMANA Nº2: CONTROLES PROPUESTOS

82 84 90

SEMANA Nº O3 ñ

93

- 130

SEMANA N°3: CONTENIDOS Y EJEMPLOS (04 HORAS DE CÁTEDRA): TEMA 3: Determinantes, matriz adjunta e inversas de matrices

93

UNIDAD III: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

ñ

ñ ñ ñ

TEMA 1: Dos ecuaciones lineales con dos incógnitas TEMA 2: 7 ecuaciones lineales con 8 incógnitas SEMANA Nº3: EJERCICIOS PROPUESTOS (02 HORAS DE EJERCICIOS): Guía de estudio N°3 Taller N°3

98 100

SEMANA Nº3: PRUEBA DE AUTOEVALUACIÓN Nª3 SEMANA Nº3: CONTROLES CON PAUTA SEMANA Nº3: CONTROLES PROPUESTOS

116 119 128

SEMANA Nº O4 ñ

SEMANA N°4: CONTENIDOS Y EJEMPLOS (04 HORAS DE CÁTEDRA): TEMA 3: Regla de Cramer

111 114

131 - 189

131

PÁG. Z M

UNIDAD IV: ESPACIOS VECTORIALES

ñ

ñ ñ ñ

TEMA 1: Definición de espacio vectorial TEMA 2: Subespacios vectoriales SEMANA Nº4: EJERCICIOS PROPUESTOS (02 HORAS DE EJERCICIOS): Guía de estudio N°4 Taller N°4

136 160

SEMANA Nº4: PRUEBA DE AUTOEVALUACIÓN Nª4 SEMANA Nº4: CONTROLES CON PAUTA SEMANA Nº4: CONTROLES PROPUESTOS

171 177 187

SEMANA Nº O5 ñ ñ

190 - 193

SEMANA N°5: SEMANA DE PRUEBAS SEMANA Nº5: CONTROL Nª1 CON PAUTA

SEMANA Nº O6 ñ

164 168

190 194 - 234

SEMANA N°6: CONTENIDOS Y EJEMPLOS (04 HORAS DE CÁTEDRA): TEMA 3: Combnación lineal y espacio generado TEMA 4: Independencia lineal TEMA 5: Base y dimensión SEMANA Nº6: EJERCICIOS PROPUESTOS (02 HORAS DE EJERCICIOS): Guía de estudio N°5 Taller N°5

ñ

ñ ñ ñ

SEMANA Nº6: PRUEBA DE AUTOEVALUACIÓN Nª5 SEMANA Nº6: CONTROLES CON PAUTA SEMANA Nº6: CONTROLES PROPUESTOS

194 200 205

211 216 221 226 232

PÁG. Z MM

SEMANA Nº O7 ñ

235 - 288

SEMANA N°7: CONTENIDOS Y EJEMPLOS (04 HORAS DE CÁTEDRA): TEMA 6: Cambio de base

235

UNIDAD V: TRANSFORMACIONES LINEALES TEMA 1:

ñ

Definición y propiedades de transformación lineal TEMA 2: Nucleo e imagen de una transformación lineal SEMANA Nº7: EJERCICIOS PROPUESTOS (02 HORAS DE EJERCICIOS): Guía de estudio N°6 Taller N°6 SEMANA Nº7: PRUEBA DE AUTOEVALUACIÓN Nº6 y

ñ

PRUEBA DE AUTOEVALUACIÓN Nº7 264 SEMANA Nº7: PRUEBA PARCIAL Nº1 CON PAUTA 272

ñ

SEMANA Nº O8 ñ

ñ

ñ ñ ñ ñ

242 250

257 261

289 - 343

SEMANA N°8: CONTENIDOS Y EJEMPLOS (04 HORAS DE CÁTEDRA): TEMA 3: Representación matricial de una transformación lineal. TEMA 4: Isomorfismos SEMANA Nº8: EJERCICIOS PROPUESTOS (02 HORAS DE EJERCICIOS): Guía de estudio N°7 Taller N°7 SEMANA Nº8: PRUEBA DE AUTOEVALUACIÓN Nª8 SEMANA Nº8: CONTROLES CON PAUTA SEMANA Nº8: CONTROLES PROPUESTOS SEMANA Nº8: PRUEBA ENSAYO N°1 CON PAUTA

289 298

311 315 319 321 327 331

PÁG. Z MMM

SEMANA Nº O9

344 - 379

UNIDAD VI: VALORES Y VECTORES PROPIOS, DIAGONALIZACIÓN Y FORMAS CUDRÁTICAS ñ

SEMANA N°9: CONTENIDOS Y EJEMPLOS (04 HORAS DE CÁTEDRA): TEMA 1: Definiciones de valor y vector propio TEMA 2: Propiedades de los valores propios SEMANA Nº9: EJERCICIOS PROPUESTOS (02 HORAS DE EJERCICIOS): Guía de estudio N°8 Taller N°8

ñ

ñ ñ ñ

SEMANA N°10: CONTENIDOS Y EJEMPLOS (04 HORAS DE CÁTEDRA): TEMA 3: Espacio propio TEMA 4: Matrices semejantes TEMA 5: Diagonalización SEMANA Nº10: EJERCICIOS PROPUESTOS (02 HORAS DE EJERCICIOS): Guía de estudio N°9 Taller N°9

ñ

ñ ñ ñ

361 363

SEMANA Nº9: PRUEBA DE AUTOEVALUACIÓN Nª9 SEMANA Nº9: CONTROLES CON PAUTA SEMANA Nº9: CONTROLES PROPUESTOS

SEMANA Nº 10 ñ

344 359

365 371 377

380 - 423

380 386 389

395 398

SEMANA Nº10: PRUEBA DE AUTOEVALUACIÓN Nª10 401 SEMANA Nº10: CONTROLES CON PAUTA 405 SEMANA Nº10: CONTROLES PROPUESTOS 416

PÁG. M\

SEMANA Nº 11 ñ ñ

SEMANA N°11: PRUEBA ENSAYO N°2 SEMANA Nº11: PRUEBA ENSAYO N°2 CON PAUTA

SEMANA Nº 12 ñ ñ

ñ

ñ

SEMANA N°14: EXAMEN Nº1 SEMANA Nº14: EXAMEN Nº1 CON PAUTA

SEMANA Nº 15 ñ ñ

444

468 - 491

SEMANA N°13: PRUEBA RECUPERATIVA SEMANA Nº13: PRUEBA RECUPERATIVA CON PAUTA 468

SEMANA Nº 14 ñ

424

444 - 467

SEMANA N°12: PRUEBA PARCIAL Nº2 SEMANA Nº12: PRUEBA PARCIAL Nº2 CON PAUTA

SEMANA Nº 13 ñ

424 - 443

SEMANA N°15: EXAMEN Nº2 SEMANA Nº15: EXAMEN Nº2 CON PAUTA

492 - 512

492

513 - 534

513

PÁG. \

BIBLIOGRAFÍA ALARCÓN REYES, Carlos "Ejercicios Resueltos ÁLGEBRA LINEAL". Universidad Tecnológica Metropolitana. 1ª Edición. Santiago-Chile. Julio 2007. DE BURGOS, Juan. "Álgebra lineal y geometría analítica" . Editorial Mc. Graw-Hill Madrid 2000. GROSSMAN, Stanley I.. "Álgebra lineal" . Editorial Mc. Graw-Hill: México. 1996. LIPSCHUTZ, Seymour. "Álgebra lineal" . Editorial Mc. Graw-Hill: México. 1970. NAKOS-JOYNER "Álgebra lineal con aplicaciones" . Editorial Thomson. 1999. SEPÚLVEDA BUSTAMANTE, Carlos "Álgebra Lineal" Universidad Tecnológica Metropolitana. 1ª Edición. Santiago-Chile. Enero 2007. ZEGARRA, Luis A. "Álgebra lineal" . Editorial Mc. Graw-Hill: Santiago. 2001.

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SEMANA N° 01:

(04 HORAS CÁTEDRA)

UNIDAD I : MATRICES TEMA 1:

DEFINICIÓN DE MATRIZ

OBJETIVO OPERACIONAL: Construir una matriz de orden indicado, a partir de una condición para el término genérico + 34 Þ

(1.1) DEFINICIÓN: Sean +3 4 − ‘ (o ‚); 3 œ "ß #ß $ß ÞÞÞß 7 à 4 œ "ß #ß $ß ÞÞÞß 8 Se llama MATRIZ a un arreglo algebraico rectangular de números reales (o complejos); en la forma siguiente: Ô +"" Ö +#" Ö Ö ÞÞÞ EœÖ Ö +3" Ö Ö ÞÞÞ Õ +7"

+"# +## ÞÞÞ +3# ÞÞÞ +7#

ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ

+"4 +#4 ÞÞÞ +34 ÞÞÞ +74

ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ

+"8 × +#8 Ù Ù ÞÞÞ Ù Ù œ Ð+ Ñ 34 +38 Ù Ù ÞÞÞ Ù +78 Ø

(1.2) OBSERVACIÓN: a) Los números denotados horizontalmente conforman lo que llamamos FILA de la matriz; y los números denotados verticalmente conforman lo que llamamos COLUMNA de la matriz. b) De acuerdo al número de FILAS y el número de COLUMNAS se define el orden de la matriz; así la definida en (1.1) se dice que es de orden "7 :9< 8"; lo que denotamos por 7 B 8 Þ c) `7 B 8 Ð‘Ñ denota el conjunto de todas las matrices de orden 7 B 8 con números tomados del conjunto de los números reales. Análogamente; `7 B 8 Ð‚Ñ denota el conjunto de todas las matrices de orden 7 B 8 con números tomados del conjunto de los números complejos.

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(1.3) EJEMPLOS: Determine la matriz E œ Ð+34 Ñ Ð3 œ "ß #ß ÞÞÞ ß 7 à 4 œ "ß #ß ÞÞÞ ß 8Ñ del orden indicado tal que: (1.3.1)

+34 œ Ð3  #4Ñx  Š $3 4 ‹ ; $B$

SOLUCIÓN: 1º) La matriz tiene 9 términos (3 FILAS y 3 COLUMNAS), dados por:

+"" œ Ð"  #Ð"ÑÑx  Š $Ð"Ñ " ‹ œ '$ œ $

+"# œ Ð"  #Ð#ÑÑx  Š $Ð"Ñ # ‹ œ "#!  $ œ ""(

+"$ œ Ð"  #Ð$ÑÑx  Š $Ð"Ñ $ ‹ œ &!%!  " œ &!$* +#" œ Ð#  #Ð"ÑÑx  Š $Ð#Ñ " ‹ œ #%  ' œ ")

+## œ Ð#  #Ð#ÑÑx  Š $Ð#Ñ # ‹ œ (#!  "& œ (!&

+#$ œ Ð#  #Ð$ÑÑx  Š $Ð#Ñ $ ‹ œ %!$#!  #! œ %!$!! +$" œ Ð$  #Ð"ÑÑx  Š $Ð$Ñ " ‹ œ "#!  * œ """

+$# œ Ð$  #Ð#ÑÑx  Š $Ð$Ñ # ‹ œ &!%!  $' œ &!!%

+$$ œ Ð$  #Ð$ÑÑx  Š $Ð$Ñ $ ‹ œ $'#))!  )% œ $'#(*' 2º)

La matriz pedida es:

""( &!$* Ñ Î $ ") (!& %!$!! Þ Ï """ &!!% $'#(*' Ò

(1.3.2) +34 œ Ð/3#  691$ 4Ñ ; #B$ SOLUCIÓN: 1º) La matriz tiene 6 términos (2 FILAS y 3 COLUMNAS), dados por:

+"" +"# +"$ +#" +## +#$ 2º)

œ Ð/"#  691$ "Ñ œ /"  ! ¸ !Þ$') # œ Ð/"#  691$ #Ñ œ /"  691 691 $ ¸ !Þ*** œ Ð/"#  691$ $Ñ œ /"  " ¸ "Þ$') œ Ð/##  691$ "Ñ œ "  ! œ " # œ Ð/##  691$ #Ñ œ "  68 68 $ ¸ "Þ'$" œ Ð/##  691$ $Ñ œ "  " œ # La matriz pedida es:

Œ

!Þ$') "

!Þ*** "Þ'$"

"Þ$') # 

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(1.3.3)

+34 œ -9=/-Ð3  #4Ñ  -9>+8

3 4"

#

 =/- Ð3  4Ñ ; $B"

SOLUCIÓN: 1º) La matriz tiene 3 términos (3 FILAS y 1 COLUMNA), dados por: (USE SU CALCULADORA EN MODO RADIÁN)

+"" +#" +$"

2º)

#

" œ -9=/-Ð"  #Ð"ÑÑ  -9>+8 ""  =/- Ð"  "Ñ " " " œ =/8 $  >+8 !Þ&  -9= # ¸ ""Þ$# # # œ -9=/-Ð#  #Ð"ÑÑ  -9>+8 ""  =/- Ð#  "Ñ " " " œ =/8 %  >+8 "  -9= & ¸  %Þ#! # $ œ -9=/-Ð$  #Ð"ÑÑ  -9>+8 ""  =/- Ð$  "Ñ " " " œ =/8 &  >+8 "Þ&  -9= "! ¸ !Þ##

La matriz pedida es:

Î ""Þ$# Ñ  %Þ#! Ï !Þ## Ò

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TEMA 2:

VECTORES Y MATRICES

OBJETIVO OPERACIONAL: Verificar si se cumple o no se cumple la condición para que dos matrices sean iguales.

(2.1) DEFINICIÓN: Llamaremos VECTOR FILA DE 8 COMPONENTES a una 8  ?:6+ ordenada de 8 números reales o complejos que denotaremos por: ÐB" ß B# ß B$ ß ÞÞÞß B3 ß ÞÞÞß B8 Ñ; el que descrito matricialmente a B"

B#

B$

ÞÞÞ

B3

ÞÞÞ

B 8 b − ` " B 8 Ð ‘ ó ‚Ñ

(2.2) DEFINICIÓN: Análogamente; se define el VECTOR COMPONENTES, el que descrito matricialmente:

COLUMNA

DE

7

Î B" Ñ Ð B# Ó Ð Ó Ð B$ Ó Ð Ó − ` Ð ‘ ó ‚Ñ Ð ÞÞÞ Ó Ð Ó 7B" Ð B4 Ó Ð Ó ÞÞÞ ÏB Ò 7 (2.3) DEFINICIÓN: En (2.1); B3 se llama la 3  ésima componente del vector; y en (2.2) B4 se llama la 4  ésima componente del vector.

(2.4) OBSERVACIÓN: Un cambio en el orden de las componentes, genera un vector diferente al original; por esto es importante hablar de 8  ?:6+ ORDENADA.

(2.5) DEFINICIÓN: Se llama VECTOR o MATRIZ CERO o NULA; a aquel cuyas componentes son todas cero.

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(2.6) NOTACIÓN: a)

‘8 œ ˜ÐB" ß B# ß B$ ß ÞÞÞß B4 ß ÞÞÞß B8 ÑÎB4 − ‘ ™

EJEMPLOS: a.1) a.2)

8 œ " Ê ‘ ; es decir el CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES.

8 œ # Ê ‘# œ ˜ÐB" ß B# ÑÎB" ß B# − ‘ ™; es decir el CONJUNTO DE TODOS LOS PARES ORDENADOS (PLANO CARTESIANO).

a.3)

8 œ $ Ê ‘$ œ ˜ÐB" ß B# ß B$ ÑÎB" ß B# ß B$ − ‘ ™; es decir el CONJUNTO DE TODAS LAS TERNAS ORDENADAS (ESPACIO).

b)

‚8 œ ˜ÐD" ß D# ß D$ ß ÞÞÞß D4 ß ÞÞÞß D8 ÑÎD4 − ‚™

EJEMPLOS: b.1) b.2)

b.3)

c)

8 œ " Ê ‚ ; es decir el CONJUNTO DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS

8 œ # Ê ‚# œ ˜ÐD" ß D# ÑÎD" ß D# − ‚ ™; es decir el CONJUNTO DE TODOS LOS PARES ORDENADOS con componentes complejas.

8 œ $ Ê ‚$ œ ˜ÐD" ß D# ß D$ ÑÎD" ß D# ß D$ − ‚ ™; es decir el CONJUNTO DE TODAS LAS TERNAS ORDENADAS con componentes complejas.

J3 À denota la fila 3  èsima de la matriz E; y corresponde a Ð + 3 " + 3 # + 3 $ Þ Þ Þ + 3 4 Þ Þ Þ + 3 8 Ñ − ` " B 8 Ð ‘ ó ‚Ñ

EJEMPLOS: c.1)

3 œ " Ê J" À Ð+"" +"# +"$ Þ Þ Þ +" 4 Þ Þ Þ +" 8 Ñ

c.2)

3 œ # Ê J# À Ð+#" +## +#$ Þ Þ Þ +# 4 Þ Þ Þ +# 8 Ñ

c.3)

3 œ & Ê J& À Ð+&" +&# +&$ Þ Þ Þ +& 4 Þ Þ Þ +& 8 Ñ

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d)

G4 À denota la columna 4  èsima de la matriz E; y corresponde a + Î "4 Ñ Ð +# 4 Ó Ð Ó Ð +$ 4 Ó Ð Ó − ` Ð ‘ ó ‚Ñ Ð ÞÞÞ Ó Ð Ó 7B" Ð +3 4 Ó Ð Ó ÞÞÞ Ï+ Ò 74

EJEMPLOS: d.1)

d.2)

Î +" " Ñ Ð +# " Ó Ð Ó Ð +$ " Ó Ð Ó 4 œ " Ê G" À Ð Þ Þ Þ Ó 4 œ # Ê G# Ð Ó + Ð 3" Ó Ð Ó ÞÞÞ Ï +7 " Ò

e)

+34

d.3)

Î +" # Ñ Ð +# # Ó Ð Ó Ð +$ # Ó Ð Ó À Ð ÞÞÞ Ó 4 œ & Ê G& Ð Ó + Ð 3# Ó Ð Ó ÞÞÞ Ï +7 # Ò

Î +" & Ñ Ð +# & Ó Ð Ó Ð +$ & Ó Ð Ó À Ð ÞÞÞ Ó Ð Ó Ð +3 & Ó Ð Ó ÞÞÞ Ï +7 & Ò

denota el elemento genérico de la matriz, localizado en la FILA 3 y COLUMNA 4 de E Þ

EJEMPLOS: e.1)

En (1.3.1)

+34 œ Ð3  #4Ñx  Š $3 4 ‹

e.2)

En (1.3.2)

+34 œ Ð/3#  691$ 4Ñ

e.3)

En (1.3.3)

3 +34 œ -9=/-Ð3  #4Ñ  -9>+8 4"  =/- Ð3  4Ñ

#

(2.7) DEFINICIÓN: Sean E œ Ð+34 Ñ , F œ Ð,34 Ñ − `7B8 Б ó ‚Ñ Þ Diremos que la matriz E es igual a la matriz F ; cuando +34 œ ,34 para todo 3 œ "ß #ß $ß ÞÞÞß 7 4 œ "ß #ß $ß ÞÞÞß 8

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(2.8) EJEMPLOS: Determine si las matrices dadas son iguales. (2.8.1) a B  #C #B  C b con a " # b − `"# Ð‘Ñ SOLUCIÓN: 1º) a B  #C #B  C b œ a " # b Í B  #C œ " Ê B œ " à C œ ! #B  C œ # 2º)

(2.8.2)

Luego, para los valores B œ " à C œ ! las matrices son iguales. Î BCD Ñ #B  C  $D Ï B  %C Ò

con

SOLUCIÓN: Î BC D Ñ Î"Ñ #B  C  $D 1º) œ ! Í Ï B  %C Ò Ï # Ò

Î"Ñ ! Ï#Ò

− `$" БÑ

B C D œ" #B  C  $D œ ! B  %C œ# de la última ecuación B œ #  %C y reemplazando en las dos primeras, obtenemos el siguiente sistema:  $C  D œ  " Ê NO TIENE SOLUCIÓN.  *C  $D œ  %

2º)

Luego, no existen valores B à C à D para que las matrices sean iguales.

a+34 b3ß4œ" ß # con a,34 b3ß4œ" ß # − `#B # Ð‘Ñ donde +34 œ =/8 Ð3  4Ñ à ,34 œ =/8 Ð3Ñ-9=Ð4Ñ  =/8Ð4Ñ-9=Ð3Ñ SOLUCIÓN: (USE SU CALCULADORA EN MODO RADIÁN) 1º) Calcule los términos de cada matriz: +"" œ =/8 Ð#Ñ ¸ !Þ*" à +"# œ =/8 Ð$Ñ ¸ !Þ"% à +#" œ =/8 Ð$Ñ ¸ !Þ"% à +## œ =/8 Ð%Ñ ¸  !Þ(' !Þ*" !Þ"% Luego, la matriz a+34 b3ß4œ" ß # œ Œ !Þ"%  !Þ('  ,"" œ =/8 Ð"Ñ-9=Ð"Ñ  =/8Ð"Ñ-9=Ð"Ñ ¸ !Þ*" ,"# œ =/8 Ð"Ñ-9=Ð#Ñ  =/8Ð#Ñ-9=Ð"Ñ ¸ !Þ"% ,#" œ =/8 Ð#Ñ-9=Ð"Ñ  =/8Ð"Ñ-9=Ð#Ñ ¸ !Þ"% ,## œ =/8 Ð#Ñ-9=Ð#Ñ  =/8Ð#Ñ-9=Ð#Ñ ¸  !Þ(' !Þ*" !Þ"% Luego, la matriz a,34 b3ß4œ" ß # œ Œ !Þ"%  !Þ(' 

(2.8.3)

2º)

Las matrices son iguales.

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TEMA 3:

OPERACIONES CON MATRICES

OBJETIVO OPERACIONAL: Sumar (restar) matrices del mismo orden y Multiplicar una matriz por un escalar..

(3.1) SUMA DE MATRICES: Sean E œ Ð+34 Ñ , F œ Ð,34 Ñ − `7B 8 Б ó ‚Ñ Þ Se define la SUMA DE LA MATRIZ E con la MATRIZ F ; lo que denotaremos por E  F , a la matriz que se obtiene de sumar las respectivas componentes de dichas matrices; es decir:

E  F œ Ð+3 4 Ñ  Ð,3 4 Ñ œ Ð+3 4  ,3 4 Ñ − `7B 8 Б ó ‚Ñ Î +""  ,"" Ð +#"  ,#" Ð ÞÞÞ Ð œÐ Ð +3"  ,3" Ð ÞÞÞ Ï+ , 7" 7"

+"#  ,"# +##  ,## ÞÞÞ +3#  ,3# ÞÞÞ +7#  ,7#

ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ

+"4  ,"4 +#4  ,#4 ÞÞÞ +34  ,34 ÞÞÞ +74  ,74

ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ

+"8  ,"8 Ñ +#8  ,#8 Ó Ó ÞÞÞ Ó Ó +38  ,38 Ó Ó ÞÞÞ +78  ,78 Ò

(3.2) TEOREMA:

(`7B8 Б ó ‚Ñ ;  Ñ tiene estructura de Grupo Abeliano; es decir: Si E œ Ð+34 Ñ , F œ Ð,34 Ñ, G œ Ð-34 Ñ − `7B8 Б ó ‚Ñ Þ a) "  " es cerrada (PROPIEDAD DE CLAUSURA): E  F − `7B8 Б ó ‚Ñ. b) "  " es asociativa (PROPIEDAD ASOCIATIVA). E  ÐF  G Ñ œ ÐE  FÑ  G . c) EXISTENCIA Y UNICIDAD DE NEUTRO ADITIVO. b! S œ Ð!34 Ñ − `7B8 Б ó ‚Ñ tal que E  S œ S  E œ E Þ d) EXISTENCIA Y UNICIDAD DE INVERSO ADITIVO b!  E œ Ð  +34 Ñ − `7B8 Б ó ‚Ñ tal que E  Ð  EÑ œ Ð  EÑ  E œ !7B8 Þ e) "  " es conmutativa (PROPIEDAD CONMUTATIVA): E  F œ F  E.

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(3.3) OBSERVACIÓN: Notar que la DIFERENCIA O RESTA DE MATRICES està definida por: E  F œ E  Ð  FÑ œ Ð+34 Ñ  Ð  ,34 Ñ œ Ð+34  ,34 Ñ y tanto la SUMA como RESTA se pueden realizar solamente para matrices del mismo orden.

(3.4) MULTIPLICACIÓN DE UNA MATRIZ POR UN ESCALAR Sean E œ Ð+34 Ñ − `7B8 Б ó ‚Ñ y ! − ‘ ó ‚ llamado ESCALAR. Se define la MULTIPLICACIÓN DE LA MATRIZ E con el ESCALAR !; lo que denotaremos por !E , a la matriz que se obtiene de multiplicar todas las componentes de la matriz por el escalar !; es decir:

!E œ ! Ð+3 4 Ñ œ Ð! +3 4 Ñ − `7B8 Б ó ‚Ñ Î ! +"" Ð ! +#" Ð Ð ÞÞÞ !E œ Ð Ð ! +3" Ð ÞÞÞ Ï! + 7"

! +"# ! +## ÞÞÞ ! +3# ÞÞÞ ! +7#

ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ

! +"4 ! +#4 ÞÞÞ ! +34 ÞÞÞ ! +74

ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ

! +"8 Ñ ! +#8 Ó Ó ÞÞÞ Ó Ó ! +38 Ó Ó ÞÞÞ ! +78 Ò

(3.5) PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN POR ESCALAR: Sean E œ Ð+3 4 Ñ , F œ Ð,3 4 Ñ − `7B8 Б ó ‚Ñ y ! , " − ‘ ó ‚ escalares; y denotemos la multiplicación por escalar como " " . a)

La operación " " es cerrada (PROPIEDAD DE CLAUSURA). Si E − `7B8 Б ó ‚Ñ y ! − ‘ ó ‚. Entonces !E − `7B8 Б ó ‚Ñ

b)

! ÐE  FÑ œ ! E  ! F (DISTRIBUTIVIDAD DE ESCALAR)

c)

Ð!  " Ñ E œ + E  " E (DISTRIBUTIVIDAD DE MATRIZ)

d)

Ð! " Ñ E œ ! Ð" EÑ (ASOCIATIVIDAD DE ESCALAR)

e)

"E œ E

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(3.6) EJEMPLOS: (3.6.1) Dadas las matrices en `# B $ БÑÞ: " & $ # ( $ ! # " EœŒ à FœŒ à G œŒ ! # % " % & ' # % Calcule: a) ÐE  FÑ b) ÐF  #G  $EÑ SOLUCIÓN: " & $ # ( $ a) EF œŒ Œ  ! # % " % & "# &( $$ $ # ! œŒ œ !" #% %& Œ " # * b)

F  #G  $E œ Œ

$ ! # " " & $  #Œ  $Œ   & ' # % ! # % # ( $ ! % # $  "& * œŒ    " %  &  Œ  "# % ) Œ! '  "#  #!$ (  %  "& $#* " % % œŒ œŒ   "  "#  ! %  %  '  &  )  "# ""  '  #& 

(3.6.2)

# "

Calcule

( %

Î

3 #3 3 Ï  %3

"  #3 &

$3 Ñ Î "3 ! ! $ Ï  %3 (3 Ò

SOLUCIÓN: 3  $ Ñ Î $  $3  '  $3 Î " # # ! ! *3 œ  Ï % Ò Ï  &3  ( "#3  "&3 Î  "  $  $3  3  '  $3  $  * Ñ #! #  *3 !  $3 œ Ï %  "#3  &3  "&3  (  $3 Ò  '  #3  "# Ñ Î #  $3 # #  *3  $3 œ Ï %  "#3  #!3  (  $3 Ò

(3.6.3)

Calcule

Î" # Ï3

" 3 &

$Ñ Î "3 ! $ ! Ï 3Ò 3

#3  $3 &3

$ Ñ 3 3Ò

* Ñ  $3 $3 Ò

# 3Ñ $3 &3 Ò

SOLUCIÓN: NO ESTÁ DEFINIDA; ya que son de distinto orden. En efecto: Î" " $Ñ Î " 3 # 3Ñ # 3 ! − `$B$ Ð‚Ñ y $ ! $3 − `$B# Ð‚Ñ Ï3 Ò Ï Ò & 3 3 &3 FACULTAD DE CS. NATURALES, MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PROYECTO DE FACULTAD "ÁLGEBRA LINEAL: una propuesta metodológica de aprendizaje autónomo en página web"

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TEMA 4: PRODUCTO VECTORIAL Y MULTIPLICACIÓN DE MATRICES

OBJETIVO OPERACIONAL: Multiplicar los términos de una fila de una matriz con los términos de una columna de otra matriz, mediante el producto punto. OBJETIVO OPERACIONAL: Determinar cuando la multiplicación de matrices se puede realizar y el orden de la matriz resultante. OBJETIVO OPERACIONAL: Multiplicar matrices.

(4.1) DEFINICIÓN: Sean B œ Ð+3 " +3 # Þ Þ Þ +3 4 Þ Þ Þ +3 8 Ñ − `" B 8 Ð‘Ñ , Î "4 Ñ Ð ,# 4 Ó Ð Ó Ð ,$ 4 Ó Ð Ó C œ Ð ÞÞÞÓ − ` Ð‘Ñ vectores en ‘8 (ó ‚8 Ñ Ð Ó 8B" Ð ,3 4 Ó Ð Ó ÞÞÞ Ï, Ò 84 Se define el PRODUCTO ESCALARß PRODUCTO PUNTO o PRODUCTO INTERNO de B e C; lo que denotaremos por B ì C ; al siguiente escalar o número real o complejo que se obtiene por:

BìC

œ Ð+3 "

+3 # +3 $ Þ Þ Þ + 3 5

Î ," 4 Ñ Ð ,# 4 Ó Ð Ó Ð ,$ 4 Ó Ð Ó Þ Þ Þ +3 8 Ñ Ð Þ Þ Þ Ó Ð Ó Ð ,5 4 Ó Ð Ó ÞÞÞ Ï, Ò 84

œ +3 " ," 4  +3 # ,# 4  +3 $ ,$ 4  Þ Þ Þ  +3 5 ,5 4  Þ Þ Þ  +3 8 ,8 4 œ ! Ð +3 5 ,5 4 Ñ − ‘ (ó ‚). 8

5œ"

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(4.2) OBSERVACIÓN: a) Notar que el producto escalar es un número o constante. b) Matricialmente, el producto escalar lo podemos tomar como el producto de un vector fila de la forma ÐB" B# B$ ÞÞÞ B4 ÞÞÞ B8 ) Î C" Ñ Ð C# Ó Ð Ó Ð C$ Ó Ð Ó y un vector columna de la forma Ð ÞÞÞ Ó lo que está dada por: Ð Ó C Ð 4Ó Ð Ó ÞÞÞ ÏC Ò 8

ÐB" B#

Î C" Ñ Ð C# Ó Ð Ó Ð C$ Ó8 Ð Ó B$ ÞÞÞ B4 ÞÞÞ B8 ) ì Ð ÞÞÞ Ó œ ! Ð B 4 C4 Ñ Ð Ó 4œ" Ð C4 Ó Ð Ó ÞÞÞ ÏC Ò 8

c) El símbolo de producto escalar ì ; usualmente no lo destacaremos explícitamente, pero se entenderá lo que se debe realizar operacionalmente.

(4.3) TEOREMA: Si B œ ÐB" ß B# ß ÞÞÞß B4 ß ÞÞÞß B8 Ñ, C œ ÐC" ß C# ß ÞÞÞß C4 ß ÞÞÞß C8 Ñß 8 D œ ÐD" ß D# ß ÞÞÞß D4 ß ÞÞÞß D8 Ñ − ‘ y ! − ‘ escalar. Entonces: a)

Bì!œ!

b)

BìC œCìB

c)

B ì ( C  DÑ œ Ð B ì C Ñ  Ð B ì D Ñ

d)

(!B) ì C œ !ÐB ì CÑ

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(4.4) EJEMPLOS: Dadas las matrices: " & $ # EœŒ à FœŒ ! # % " Hœ3

Î

3 #3 Ï  %3

Î" J œ # Ï3

"  #3 &

" 3 &

$3 Ñ ! à (3 Ò

$Ñ ! 3Ò

( %

I œ $

Î "3 ! Kœ Ï 3

$ ! à G œŒ & ' Î "3 ! Ï  %3

#3  $3 &3

# #

" %

$ Ñ 3 3Ò

# 3Ñ $3 &3 Ò

(4.4.1) J" ÐEÑ ì G# ÐIÑ SOLUCIÓN:

Î  '  $3 Ñ *3 Ï  "&3 Ò œ Ð"ÑÐ  '  $3Ñ  Ð  &ÑÐ*3Ñ  Ð$ÑÐ  "&3Ñ œ  '  )(3 œ a"

&

$bì

(4.4.2) J# ÐKÑ ì G$ ÐFÑ SOLUCIÓN: Î $Ñ $3 b ì œ a! œ Ð!ÑÐ  $Ñ  Ð$3ÑÐ  &Ñ œ  "&3 Ï &Ò (4.4.3) J$ ÐHÑ ì G# ÐG Ñ SOLUCIÓN: œ a%

(bì

Î #Ñ

Ï # Ò œ Ð%ÑÐ  #Ñ  Ð  &3ÑÐ#Ñ  Ð  (ÑÐ ? Ñ œ NO ESTÁ DEFINIDO!!  &3

(4.4.4) J" ÐJ Ñ ì G# ÐKÑ SOLUCIÓN: Î# 3Ñ $3 œ a" " $bì Ï &3 Ò

œ Ð"ÑÐ#  3Ñ  Ð  "ÑÐ$3Ñ  Ð$ÑÐ&3Ñ œ #  ""3

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(4.5) PRODUCTO O MULTIPLICACIÓN DE MATRICES Sean E œ Ð+3 5 Ñ − `7B: Б ó ‚Ñ , F œ Ð,5 4 Ñ − `:B8 Б ó ‚Ñ con 3 œ "ß #ß $ß ÞÞÞß 7 à 5 œ "ß #ß $ß ÞÞÞß : à 4 œ "ß #ß $ß ÞÞÞß 8 Þ Esto significa que el número de columnas de la matriz E debe coincidir con el número de filas de la matriz F . Se define el PRODUCTO O MULTIPLICACIÓN de la matriz E con la matriz F , lo que denotamos por E F ; a una matriz G œ Ð-3 4 Ñ − `7B8 Б ó ‚Ñ tal que el elemento genérico de esta última se obtiene por: -3 4 œ ! + 3 5 , 5 4 :

con

3 œ "ß #ß $ß ÞÞÞß 7

4 œ "ß #ß $ß ÞÞÞß 8 Þ

5œ"

(4.6) OBSERVACIÓN: a) Notar que el elemento genérico del producto matricial -3 4 corresponde al producto punto entre el vector fila 3  /=379ß que denotamos por J3 de la matriz E ; con el vector columna 4  /=379ß que denotamos por G4 de la matriz F . En efecto: la fila 3  /=37+ß de la matriz E corresponde a:

J3 œ Ð+3 " +3 # ÞÞÞ +3 5 ÞÞÞ +3 : Ñ

y la columna 4  /=37+ß de la matriz F es:

Î ," 4 Ñ Ð ,# 4 Ó Ð Ó Ð ÞÞÞ Ó G4 œ Ð Ó Ð ,5 4 Ó Ð Ó ÞÞÞ Ï, Ò :4

Por lo tanto; el producto escalar, está dado por:

Î ," 4 Ñ Ð ,# 4 Ó Ð Ó Ð ÞÞÞ Ó J3 ñ G4 œ Ð+3 " +3 # ÞÞÞ +3 5 ÞÞÞ +3 : ÑñÐ Ó Ð ,5 4 Ó Ð Ó ÞÞÞ Ï, Ò :4

œ +3 " ," 4  +3 # ,# 4  ÞÞÞ  +3 5 ,5 4  ÞÞÞ  +3 : ,: 4 œ ! +3 5 ,5 4 œ -3 4 :

5œ"

b) Notar que el orden de la matriz producto resultante; corresponde al número de filas de la matriz E por el número de columnas de la matriz F FACULTAD DE CS. NATURALES, MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PROYECTO DE FACULTAD "ÁLGEBRA LINEAL: una propuesta metodológica de aprendizaje autónomo en página web"

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c)

EJERCICIO: Determine que propiedades de GRUPO ABELIANO verifica el producto de matrices. d)

EJERCICIO: Demuestre que el producto de matrices es distributivo respecto de la suma de matrices.

(4.7) EJEMPLOS: Dadas las matrices: # EœŒ " Î" Gœ # Ï3 (4.7.1)

( % " 3 &

Î 3 $ #3 à Fœ3 & Ï  %3 $Ñ ! 3Ò

Î " ! Hœ Ï "

"  #3 &

$3 Ñ ! à (3 Ò

#Ñ $ &Ò

EF

SOLUCIÓN: 1º) Como E − `#B$ Ð‘Ñ y F − `$B$ Ð‚Ñ ; el producto se puede realizar, ya que el número de columnas de la matriz que está premultiplicando E coincide con el número de filas de la matriz que está postmultiplicando F . El orden de la matriz resultante es #B$ Ðdonde el # corresponde al número de filas de E y el $ corresponde al número de columnas de FÑ

2º) œŒ

EF

# œŒ "

( %

3 $ Î #3 3 & Ï  %3

#Ð  "Ñ  (Ð  #Ñ  $Ð%Ñ Ð  "ÑÐ  "Ñ  %Ð  #Ñ  &Ð%Ñ EF

œŒ

 #)  #(

"%  "$3 )  #'3

"  #3 &

$3 Ñ ! (3 Ò

#Ð  3Ñ  (Ð#Ñ  $Ð  &3Ñ Ð  "ÑÐ  3Ñ  %Ð#Ñ  &Ð  &3Ñ

#Ð  $Ñ  (Ð!Ñ  $Ð  Ð  "ÑÐ  $Ñ  %Ð!Ñ  &Ð

"& $) 

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(4.7.2) HE SOLUCIÓN: 1º) Como H − `$B# Ð‘Ñ y E − `#B$ Ð‘Ñ ; el producto se puede realizar, ya que el número de columnas de la matriz que está premultiplicando H coincide con el número de filas de la matriz que está postmultiplicando E. El orden de la matriz resultante es $B$ Ðdonde el primer $ corresponde al número de filas de H y el otro $ corresponde al número de columnas de EÑ Î " #Ñ # ( $ ! $ Œ 2º) HE œ " % & Ï " Ò & Ð  "Ñ#  #Ð  "Ñ Ð  "Ñ(  Ð#Ñ% Ð  "ÑÐ  $Ñ  #Ð  &Ñ Ñ Î !Ð#Ñ  $Ð  "Ñ !Ð(Ñ  Ð$Ñ% !Ð  $Ñ  $Ð  &Ñ œ Ï Ð"Ñ#  &Ð  "Ñ Ð"Ñ(  &Ð%Ñ Ð"ÑÐ  $Ñ  &Ð  &Ñ Ò HE

Î % $ œ Ï $

" "# #(

( Ñ  "&  #) Ò

(4.7.3) HG SOLUCIÓN: Como H − `$B# Ð‘Ñ y G − `$B$ Ð‘Ñ ; el producto H G NO ESTÁ DEFINIDO!!, es decir NO se puede realizar, ya que el número de columnas de la matriz que está premultiplicando H es distinto al número de filas de la matriz que está postmultiplicando E.

(4.8) EJEMPLOS: (4.8.1) Dadas las matrices " & $ # ( $ EœŒ àF œ Œ à  ! # % " % & Î$ "Ñ ! # " # G œŒ à Hœ # ' # % Ï! *Ò Calcule el resultado de H ÐF  #G  $EÑ. SOLUCIÓN: ' Î$ "Ñ & Î % % % # $#  #! œ # œ Œ  Ï !  * Ò ""  '  #& Ï  ** &%

$( Ñ  %# ##& Ò

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Î

(4.8.2)

3 #3 Calcule Ï  %3

"  #3 &

Demuestre

el

$3 ÑÎ  "  3 ! ! (3 ÒÏ  %3

# 3Ñ  $3 &3 Ò

PÁG. 17

SOLUCIÓN: 3Ð#  3Ñ  Ð  "ÑÐ  $3Ñ  $3Ð&3Ñ Ñ Î 3Ð  "  3Ñ  Ð  "Ñ!  $3Ð  %3Ñ #3Ð  "  3Ñ  Ð  #3Ñ!  !Ð  %3Ñ #3Ð#  3Ñ  Ð  #3ÑÐ  $3Ñ  !Ð&3Ñ œ Ï  %3Ð  "  3Ñ  Ð  &Ñ!  (3Ð  %3Ñ  %3Ð#  3Ñ  Ð  &ÑÐ  $3Ñ  (3Ð&3Ñ Ò "  #3  $3  "& Ñ Î ""  3  "%  &3 Ñ Î  "  3  "#  #  #3 #  %3  '  #  #3  %  %3 œ œ Ï %  %3  #) Ò Ï  %  )3  "&3  $& $#  %3  $*  (3 Ò (4.8.3)

por

principio de inducción la 8 " " " 8 T Ð8Ñ À Œ œŒ à8− ! " ! "

proposición:

siguiente

DEMOSTRACIÓN: " " " " " 1º) T Ð"Ñ À Œ œŒ à ES VERDADERO.  ! " ! " # " " " " " " " # T Ð#Ñ À Œ œŒ œŒ à ES VERDADERO.  Œ  ! " ! " ! " ! " 2º) HIPÓTESIS DE INDUCCIÓN: Se supone que 5 " " " 5 T Ð5Ñ À Œ œŒ à ES VERDADERO; a 5   # ß 5 0 349Þ ! " ! " 3º)

TESIS DE INDUCCIÓN:

" " " 5" Por demostrar que T Ð5  "Ñ À Œ œŒ  ! " ! "  En efecto; se sabe que: 5 " " " 5 " " Œ ! "  œ Œ ! "  ; multiplicando por Œ ! "  5"

" Œ!

" "  Œ " ! 5

" " œŒ  " ! œŒ

" T Ð5  "Ñ À Œ !

" !

" "

5 " Œ " !

" Ð"ÑÐ"Ñ  5Ð!Ñ œŒ  " Ð!ÑÐ"Ñ  Ð"Ñ!

Ð"ÑÐ"Ñ  5Ð"Ñ Ð!ÑÐ"Ñ  Ð"ÑÐ"Ñ 

5" "  5"

œŒ

" !

5" . " 

Por lo tanto T Ð8Ñ ES VERDADERA a 8 −  FACULTAD DE CS. NATURALES, MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PROYECTO DE FACULTAD "ÁLGEBRA LINEAL: una propuesta metodológica de aprendizaje autónomo en página web"

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(4.9) DEFINICIÓN: Sean @ ß @" ß @# ß @$ ß ÞÞÞß @8 vectores en un conjunto Z Þ Diremos que el vector @ es una combinación lineal de los vectores @" ß @# ß @$ ß ÞÞÞß @8 si y solo si EXISTEN ESCALARES !" ß !# ß !$ ß ÞÞÞ ß !8 − ‘ Ð ó ‚ Ñ tal que @ œ !" @"  !# @#  !$ @$  ÞÞÞ  !8 @8 œ ! Ð !4 @ 4 Ñ 8

4œ"

OBJETIVO OPERACIONAL: un conjunto de matrices.

Escribir una matriz como combinación lineal de

(4.10) EJEMPLOS: (4.10.1)

Considere el siguiente subconjunto de `#B# Ð‘Ñ " F œ Œ "

! " ߌ  ! "

! " ߌ  ! !

! ! ߌ  " "

" ! Ÿ

" " Exprese si es posible Œ como combinación lineal del " " conjunto F . SOLUCIÓN: 1º) Será posible cuando existan escalares ! ß " ß # ß - − ‘ tal que a)

" Œ" 2º)

" " œ !Œ " "

! "  "Œ ! "

! !  -Œ " "

" !

Lo anterior determina el siguiente sistema de ecuaciones:

!"#

œ" -œ" !" - œ" # œ" 3º)

! "  #Œ ! !

Ê ! œ " ß " œ  "ß # œ  " ß - œ "

Por lo tanto, si es posible expresar

" Œ"

" como la siguiente "

combinación lineal: Ð"ÑŒ

" "

! "  Ð  "ÑŒ ! "

! "  Ð  "ÑŒ ! !

! !  Ð"ÑŒ " "

" !

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b)

Determine la solución ! ß " ß # ß - (SI EXISTE) que verifique: " ! " ! " ! ! " ! ! !Œ  "Œ  #Œ  -Œ œ " ! " ! ! " " ! Œ! !

SOLUCIÓN: " ! " 1º) !Œ  "Œ  " ! " 2º)

! !  -Œ  " "

" ! œŒ  ! !

! !

Determina el siguiente sistema de ecuaciones:

!"#

œ! -œ! !" - œ! # œ! 3º)

! "  #Œ  ! !

Ê!œ" œ#œ-œ!

Por lo tanto, ! œ " œ # œ - œ !

(4.10.2)

Considere el siguiente subconjunto de `#B# Ð‘Ñ " " " " " " " ! ™ E œ ˜” ß” à” à” • • • " " " ! ! ! ! !• + , Exprese si es posible ” como combinación lineal del conjunto E . - .•

SOLUCIÓN: 1º)

Será posible cuando existan escalares ! ß " ß # ß - − ‘ tal que + ”-

2º)

, " œ !” .• "

+ ”-

" "  #” !• !

" "  -” !• !

! !•

Lo anterior determina el siguiente sistema de ecuaciones:

!"# !"# !" ! 3º)

" "  "” "• "

œ+ œ, œœ.

Ê ! œ . ß " œ -  .ß # œ ,  - ß - œ +  ,

Por lo tanto, si es posible expresarlo como: , " œ Ð.Ñ” • . "

" "  Ð-  .Ñ” • " "

" "  Ð,  -Ñ” • ! !

" "  Ð+  ,Ñ” • ! !

! !•

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B C . D > Determine la condición algebraica que deben cumplir Bß Cß Dß > − ‘ para (4.10.3)

que

B ŒD

Dada la matriz Œ

C " œ !Œ > "

" "  "Œ " "

" "  #Œ !  !

" !

C " œ !Œ > "

" "  "Œ " "

" "  #Œ !  !

" !

SOLUCIÓN: 1º)

B ŒD

determina el sistema de ecuaciones:

!" # œB !"# œC !" œD ! œ>

Ê! œ> à " œD> à # œCD sin considerar la primera ecuación 2°) Por lo tanto, lo anterior debe verificar la primera ecuación para que el sistema tenga solución. Luego, la condición es

!  "  # œ B ; es decir:

>D>CD œB

Ê

B  C  #D  #> œ !

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TEMA 5:

TRANSPUESTA DE UNA MATRIZ

OBJETIVO OPERACIONAL: determinar su orden.

Obtener la transpuesta de una matriz y

(5.1) DEFINICIÓN: Sea E − `7 B 8 Б ó ‚ÑÞ Se llama TRANSPUESTA DE E , lo que denotaremos por E> a la matriz que se obtiene de intercambiar las respectivas filas por las respectivas columnas de la matriz E Þ Es decir; como

E œ Ð+34 Ñ − `7 B 8 Б ó ‚Ñ, se tiene: E> œ Ð+43 Ñ − `8 B 7 Б ó ‚ÑÞ (5.2) OBSERVACIÓN: Notar que si la matriz es de orden " 7 B 8 "; su transpuesta es de orden " 8 B 7 " .

(5.3) EJEMPLOS: Dadas las matrices " EœŒ !

& #

$ "3 àF œ Œ % "3

Î $  #3 3 # à Gœ #3  Ï !

" Ñ #  *3 Ò

Calcular la transpuesta e indicar el orden de esta. SOLUCIÓN: Î " & Ï $

(5.3.1)

E − `# B $ Ð‘Ñ Ê E> œ

(5.3.2)

"3 F − `# B # Ð‚Ñ Ê F > œ Œ 3

(5.3.3)

G − `$ B # Ð‚Ñ Ê G > œ Œ

$  #3 "

! Ñ # − `$ B # Ð‘Ñ Ò % "3 − `# B # Ð‚Ñ #3  # #

! − `# B $ Ð‚Ñ  *3 

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(5.4) TEOREMA: Suponiendo que las operaciones matriciales están bien definidas; se verifican las siguientes propiedades: a)

ÐQ > Ñ> œ Q

(5.4.1) EJEMPLO: " EœŒ !

& #

"3 FœŒ "3

3 "3 Ê F> œ Œ #3  3

Î $  #3 # Gœ Ï !

b)

Î " $ > Ê E œ & % Ï $

! Ñ " # Ê ÐE> Ñ> œ Œ ! %Ò

& #

"3 "3 Ê ÐF > Ñ> œ Œ #3  "3

" Ñ $  #3 # Ê G> œ Œ "  *3 Ò

# #

$ %

3 #3 

Î $  #3 ! > > # Ê ÐG Ñ œ  *3  Ï !

" Ñ #  *3 Ò

ÐQ  R Ñ> œ Q >  R >

(5.4.2) EJEMPLO: Î " & Q R œ Ï $

! Ñ Î "3 #   &  $3 Ò Ï % $  (3

Ê ÐQ  R Ñ> œ Œ Q>  R>

#3 "3

œŒ

" !

œŒ

#3 "3

& #

POR LO TANTO,

 "!  $3 (3

"3 Ñ Î #3 &3 œ  "!  $3 Ò Ï $  ""3 '  (3

'  (3  "  ""3 

$ "3 Œ  % "3  "!  $3 (3

"3 Ñ (3  "  ""3 Ò

 &  $3 &3

$  (3 $  ""3 

'  (3  "  ""3 

ÐQ  R Ñ> œ Q >  R >

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c)

>

ÐQ R Ñ œ R Q

>

(5.4.3) EJEMPLO: ÐQ R Ñ œ Œ

"3 "3

3 " Œ #3 !

Î

"3  &  $3 Ê ÐQ R Ñ œ Ï $  (3 >

Î " & R Q œ Ï $ >

>

& #

$ "3 œŒ  % "3

 &  $3 &3

$  (3 $  ""3 

"3 Ñ &3 $  ""3 Ò

! Ñ "3 # Œ 3 %Ò

Î "3 "3  &  $3 œ #3  Ï $  (3

"3 Ñ &3 $  ""3 Ò

ÐQ R Ñ> œ R > Q >

POR LO TANTO,

(5.5) EJERCICIO: OBJETIVO: Aplicar el álgebra de matrices, en el cuerpo de los Reales como en el cuerpo de los Complejos. (5.5.1Ñ

Dadas las matrices en `# B $ БÑÞ: E œ Œ

FœŒ

# "

( %

$ ! à G œŒ  & '

# #

" !

& #

$ à %

" %

ÐE  FÑ > ÐF  #G  $EÑ

Calcule: SOLUCIÓN:

1º)

$ EF œŒ "

# #

! *

2º)

F  #G  $E œ Œ

% '

3º)

% $# ÐE  FÑ ÐF  #G  $EÑ œ Ï  ** >

& ""

Ê

Î$ ÐE  FÑ œ # Ï! >

"Ñ # *Ò

%  #&  Î

'  #! &%

$( Ñ  %# ##& Ò

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(5.5.2) Calcule, simplifique y exprese en la forma +  , 3 cada uno de los términos de la matriz resultante de multiplicar:

a)

aÐ "  3Ñ#

Ð%  3ÑÐ$  #3Ñ b"B$

#3

Î "3 "%  &3 b ! Ï  %3

SOLUCIÓN: 1º)

œ a  #3

2º)

œ a ##  &%3

b)

Î

3 #3 Ï  %3

Î "3 ! Ï  %3

#3

"  #3 &

 #%  '!3 b"B# $3 Ñ ! (3 Ò

Î "3 ! Ï  %3 $B$

# 3Ñ  $3 &3 Ò$B#

# 3Ñ  $3 &3 Ò

# 3Ñ  $3 &3 Ò

$B#

SOLUCIÓN: Î  "  3  "#  #  #3 œ Ï %  %3  #)

"  #3  $3  "& Ñ Î ""  3 #  %3  '  #  #3 œ  %  )3  "&3  $& Ò Ï $#  %3

 "%  &3 Ñ  %  %3  $*  (3 Ò$B#

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TEMA 6:

TIPOS DE MATRICES

OBJETIVO OPERACIONAL: Identificar una matriz de acuerdo a alguno de los siguientes tipos: simétrica, antisimétrica, triangular inferior, triangular superior, diagonal, identidad.

(6.1) DEFINICIÓN: Sea E − `7 B 8 БÑÞ Se llama MATRIZ CUADRADA cuando el número de filas coincide con el número de columnas; es decir 7 œ 8.

(6.2) DEFINICIÓN: Sea M8 œ Ð+34 Ñ − `8 B 8 Ð‘Ñ con 3 ß 4 œ "ß #ß ÞÞÞß 8 matriz cuadrada. Se dice que M8 es la MATRIZ IDENTIDAD a la que está definida por: Ú " =3 3 œ 4 M8 œ Û Ü! =3 3 Á 4 " M# œ Œ !

(6.2.1) EJEMPLOS:

! "

Î" M$ œ ! Ï!

! " !

!Ñ ! "Ò

(6.3) DEFINICIÓN: Sea E − `8 B 8 Ð‘Ñ matriz cuadrada. a) Se dice que la matriz E es SIMÉTRICA si y solo si E œ E> (6.3.1) EJEMPLO: Las matrices M8 . Eœ

Î " # Ï 3

Î Ð Ð Ð EœÐ Ð Ð

" ! " % & Ï $

# ! "3

3 Ñ "  3 Ê E œ E> # Ò

! " # $ " "

" # & % # "

% $ % # ! "

& " # ! " !

$Ñ " Ó Ó "Ó Ê E œ E> Ó " Ó Ó ! " Ò

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(6.3.2) EJEMPLO: Demuestre que: Si Eß F − `8 B 8 son simétricas. Entonces ÐEFÑ> œ FE . DEMOSTRACIÓN: 1°)

HIPÓTESIS: E œ E> y F œ F >

2°)

Se debe DEMOSTRAR que: ÐEFÑ> œ FEÞ En efecto: ÐEFÑ> œ F > E> œ FE ; por la hipótesis

3°)

Por lo tanto ÐEFÑ> œ FE

b)

Se dice que la matriz E es ANTISIMÉTRICA si y solo si E œ  E>

(6.3.4) EJEMPLO: Î ! # Eœ Ï 3 Î Ð Ð Ð EœÐ Ð Ð

! ! " % & Ï $

# ! "3 ! ! # $ " "

3 Ñ "3 ! Ò

" # ! % # "

(6.3.5) EJEMPLO: Demuestre que: Si E − `8 B 8 Þ Entonces DEMOSTRACIÓN: 1°)

Se debe verificar que:

% $ % ! ! "

Ê

& " # ! ! !

E œ  E>

$Ñ " Ó Ó "Ó Ê E œ  E> Ó " Ó Ó ! ! Ò

" # ÐE

 E> Ñ

" # ÐE

 E> Ñ œ   "# ÐE  E> Ñ ‘

es antisimétrica.

>

2°) En efecto: > "   # ÐE  E> Ñ ‘ œ  "# E>  ÐE> Ñ> ‘ œ  "# E>  E ‘

œ  "#   ÐE  E> Ñ ‘ œ "# ÐE  E> Ñ

3°)

Por lo tanto

" # ÐE

(o

 E> Ñ œ   "# ÐE  E> Ñ ‘ Þ

" # ÐE

>

 E> Ñ

es antisimétrica)

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(6.4) DEFINICIÓN: Sea E − `8 B 8 БÑÞ a) La matriz E se dice TRIANGULAR SUPERIOR si y solo si los elementos debajo de la diagonal son todos iguales a cero; es decir +34 œ ! para todo 3  4 . 3 Ñ Î" # ! "3 (6.4.1) EJEMPLO: E œ ! Ï! ! # Ò Î" Ð ! Ð Ð ! (6.4.2) EJEMPLO: E œ Ð Ð ! Ð ! Ï!

! " ! ! ! !

" # & ! ! !

% $ % # ! !

& " # ! " !

$Ñ " Ó Ó "Ó Ó " Ó Ó ! " Ò

b) La matriz E se dice TRIANGULAR INFERIOR si y solo si los elementos arriba de la diagonal son todos iguales a cero; es decir +34 œ ! , para todo 3  4 . ! !Ñ Î ! # ! ! (6.4.3) EJEMPLO: E œ Ï 3 "3 !Ò Î Ð Ð Ð (6.4.4) EJEMPLO: E œ Ð Ð Ð

" ! " % & Ï $

! ! # $ " "

! ! # % # "

! ! ! $ ! "

! ! ! ! # !

!Ñ !Ó Ó !Ó Ó !Ó Ó ! !Ò

c) La matriz E se dice DIAGONAL si y solo si los elementos arriba y debajo de la diagonal son todos iguales a cero; es decir +34 œ ! , para todo 3Á4. Î" ! !Ñ (6.4.5) EJEMPLO: E œ ! " ! Ï! ! "Ò Î Ð Ð Ð (6.4.6) EJEMPLO: E œ Ð Ð Ð

" ! ! ! ! Ï !

! ! ! ! ! !

! ! # ! ! !

! ! ! $ ! !

! ! ! ! # !

!Ñ !Ó Ó !Ó Ó !Ó Ó ! !Ò

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(6.5) EJERCICIO:

Î! ! !Ñ # ! ! es nilpotente. Ï& $ !Ò DEFINICIÓN: E es una MATRIZ NILPOTENTE si y solo si E 8 œ ! PARA ALGÚN 8 −  . )

Determine si la matriz E œ (AYUDA:

SOLUCIÓN: Î! E œ # Ï&

! ! $

! ÑÎ ! ! # ÒÏ ! &

! ! $

!Ñ Î! ! œ ! !Ò Ï'

! ! !

!Ñ ! !Ò

Î! E œ ! Ï'

! ! !

! ÑÎ ! ! # ! ÒÏ &

! ! $

!Ñ Î! ! œ ! !Ò Ï!

! ! !

!Ñ ! !Ò

#

$

Por lo tanto, E es nilpotente, para 8 œ $ Þ

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TEMA 7:

OPERACIONES ELEMENTALES SOBRE LAS FILAS DE UNA MATRIZ

OBJETIVO OPERACIONAL: Obtener la matriz resultante de: intercambiar dos filas; multiplicar una fila por una constante 5 Á !à sumar a una fila, 5 "veces" otra fila. OBJETIVO OPERACIONAL: Calcular la matriz escalonada reducida por filas, a partir de una matriz dada. (7.1) DEFINICIÓN: Se llaman OPERACIONES ELEMENTALES POR FILAS DE UNA MATRIZ a ciertas operaciones que se aplican a las filas de la matriz. Las operaciones elementales que se consideran son tres; las cuales se detallan a continuación: (7.2) Intercambiar dos filas de la matriz; lo que denotamos por J34 ; lo cual significa que en la matriz intercambiamos la fila 3 por la fila 4 Þ 3 Ñ ! "3Ñ Î" # Î! ! "  3 J" # Ä "  # 3 (7.2.1) EJEMPLO: E œ ! Ï! Ò Ï ! # ! ! # Ò (7.2.2) EJEMPLO: % & $Ñ % & $Ñ Î" ! " Î" ! " Ð ! " # $ " " Ó Ð ! " # $ " " Ó Ð Ó Ð Ó & % # "Ó Ð ! ! ! ! " ! Ó Ð ! ! EœÐ J$ & Ä Ð Ó Ó ! # ! " Ó ! # ! " Ó Ð ! ! Ð ! ! Ð Ó Ð Ó ! ! ! ! " ! ! ! & % # " Ï! ! Ï! ! ! ! ! " Ò ! ! ! " Ò (7.3) Multiplicar (o dividir) una fila por un elemento 5 Á ! ; lo que denotamos por 5 J3 ; lo cual significa multiplicar la fila 3 por 5 Á ! (o 5" J3 ; lo cual significa dividir la fila 3 por 5 Á !). (7.3.1) EJEMPLO: # 3 Ñ # 3 Ñ Î " Î " # ! "  3 Ð  3ÑJ$ Ä # ! "3 Eœ Ï 3 Ï " "3 # Ò "3 #3 Ò (7.3.2) EJEMPLO: ! " % & $Ñ ! " % & $Ñ Î " Î " " # $ " " Ó Ð ! " # $ " " ÓÐ ! Ð ÓÐ Ó # & % # "Ó # & % #  " ÓÐ  " Ð " ÄÐ Ð Ó " Ó $ % # ! " ÓÐ "  $%  "  "# ! Ð % % Ó Ð ÓÐ Ó & " # ! " ! & " # ! " ! Ï $ Ï $ " " " ! " Ò " " " ! " Ò Ð "% ÑJ% FACULTAD DE CS. NATURALES, MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PROYECTO DE FACULTAD "ÁLGEBRA LINEAL: una propuesta metodológica de aprendizaje autónomo en página web"

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(7.4) Sumar a una fila 3 el múltiplo 5 de otra fila 4 ; lo cual denotaremos por J3  5J4 à 5 Á ! ; lo cual significa sumar a la fila 3, un múltiplo 5 de la fila 4. (7.4.1) EJEMPLO: # Î " # ! Eœ Ï 3 "3 (7.4.2) EJEMPLO: ! " Î " Ð ! " # Ð # & Ð " Ð %  $  % Ð Ð & " # Ï $ " "

3 Ñ Î" "  3 J#  #J" Ä ! Ï3 # Ò % $ % # ! "

& " # ! " !

$Ñ Î " ÓÐ ÓÐ  " ÓÐ ÄÐ Ó " ÓÐ ÓÐ ! Ï " Ò J $  J"

(7.5) EJEMPLO:

Ô' Dada la matriz E œ $ Õ$

$ ! "

% # #

$ ! "

# % "3

" ! ! " & $

3 Ñ "3 # Ò ! " # $ %

" "

" # % " # "

% $ !  #" ! "

$Ñ " Ó Ó %Ó " Ó % Ó Ó ! " Ò

& " ( ! " !

!× ! . !Ø

Determine que matrices se obtienen: (7.5.1) J#$ ß lo cual significa intercambiar la fila por lo que se obtiene: Ô' $ % $ !× $ " # " ! Õ$ ! # ! !Ø

2

con la fila

" (7.5.2) # J" , lo cual significa multiplicar la fila 1 por por lo que se obtiene: $ $ Ô$  # #  # !× $ ! # ! ! Õ$ " # " !Ø

3,

" #

,

(7.5.3) J"  #J# , lo cual significa sumar a la fila 1,  # veces la fila 2, por lo que se obtiene: Ô! $ ! $ !× $ ! # ! ! Õ$ " # " !Ø FACULTAD DE CS. NATURALES, MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PROYECTO DE FACULTAD "ÁLGEBRA LINEAL: una propuesta metodológica de aprendizaje autónomo en página web"

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(7.6) DEFINICIÓN: Se llama FORMA ESCALONADA DE UNA MATRIZ REDUCIDA POR FILAS, a aquella matriz que presenta las siguientes características: a) El primer número distinto de cero (comenzando desde la izquierda) en cada fila es igual a 1, y este recibe el nombre de PIVOTE. b) Las filas se ordenan de arriba hacia abajo de acuerdo al PIVOTE que esté más a la izquierda en la fila. c)

Para el PIVOTE de cada fila; hay cero por arriba y debajo de este.

d) Las filas que tienen todos sus elementos iguales a cero; se colocan al final de la matriz.

(7.6.1) EJEMPLO:

Eœ

Î " # Ï "

Î" ! Ï!

# % %

3 Ñ Î" "  3 J $  J# Ä ! Ï! "3Ò

Î" ! Ï!

# " !

3 Ñ Î" " "  %  % 3 J"  #J# Ä ! Ò Ï! !

# ! #

3 Ñ Î" "  3 J#  #J" Ä ! Ï3 " Ò # % !

# % "3

3 Ñ "  3 J $  J" Ä # Ò

3 Ñ "  3 Ð  "% ÑJ# Ä ! Ò ! " !

 

" # " %

 "# 3 Ñ  "% 3 Ò !

es la matriz escalonada reducida por filas que satisface las condiciones de la definición (7.6). ! " % & $Ñ Î " Ð ! " # $ " " Ó Ð Ó # & % # "Ó Ð " (7.6.2) EJEMPLO: E œ Ð Ó $ % # ! " Ó Ð % Ð Ó & " # ! " ! Ï $ " " " ! " Ò tomando como pivote el elemento +"" œ " à haremos "cero" debajo de este, mediante las siguientes operaciones elementales: J$  J" à J%  Ð  %ÑJ" à J&  Ð  &ÑJ" à J'  Ð$ÑJ" Ä

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! " % & $Ñ Î" Ð ! " # $ " " Ó Ð Ó # % ! ( %Ó Ð ! Ð Ó !  ")  #! "$ Ó Ð ! $ Ð Ó ! " (  #!  #% "& Ï! " % "$ "& )Ò tomando como pivote el elemento +## œ " à haremos "cero" debajo de este, mediante las siguientes operaciones elementales: J$  Ð  #ÑJ# à J%  Ð$ÑJ# à J&  J# à J'  Ð  "ÑJ# Ä Î" Ð ! Ð Ð ! Ð Ð ! Ð ! Ï!

% & $Ñ % & $Ñ Î" ! " $ " " Ó Ð ! " # $ " " Ó Ó Ð Ó ' * 'Ó Ð ! ! ' "' "' *Ó J$ ' Ä Ð Ó Ó  #(  #$ "' Ó '  #(  #$ "' Ó Ð ! ! Ó Ð Ó  #$  #& "' ! ! *  #$  #& "' Ï! ! "' "' *Ò ! ' * 'Ò % & $Ñ Î" ! " # $ " " Ó Ð ! " Ð ) ) $ Ó ! ! "    Ð $ $ # Ó Ð  "' ÑJ$ Ä Ð Ó Ð ! ! '  #(  #$ "' Ó Ð Ó ! ! *  #$  #& "' Ï! ! ! ' * 'Ò tomando como pivote el elemento +$$ œ " à haremos "cero" arriba y debajo de este, mediante las siguientes operaciones elementales: J"  J$ à J#  Ð  #ÑJ$ à J%  Ð  'ÑJ$ à J&  Ð  *ÑJ$ Ä ! " ! ! ! !

" # ! ' * '

% ( % (  *# Ñ  *# Ñ Î" ! ! Î" ! ! $ $ $ $ ( "$ ( "$ Ð ! " ! Ð ! " ! % Ó % Ó $ $ $ $ Ð Ó Ð Ó Ð ! ! " ) Ð ) $ Ó ) ) $ Ó J   ! ! "    %& Ð $ $ # Ó $ $ # Ó Ä ÐÐ " Ð ! ! !  "" Ó &* Ó Ð ÑJ '  ( #& " " $ Ð Ó Ð ! ! ! # Ó Ð Ð Ó &* Ó ! ! ! " " ! ! !  ""  ( #& # Ï! ! ! Ï! ! ! ' * 'Ò # $ #Ò tomando como pivote el elemento +%% œ " à haremos "cero" arriba y debajo de este, mediante las siguientes operaciones elementales: J"  Ð  %$ ÑJ% à J#  Ð  ($ ÑJ% à J$  Ð )$ ÑJ% à J&  Ð""ÑJ% à J'  Ð  #ÑJ% Ä ""  #'$ Î" ! ! ! $ ' Ñ Î" ! ! ! ! !Ñ J"  Ð  %$ ÑJ% #! $)* Ó Ð ! " ! !  Ð ! " ! ! ! !Ó $ ' Ó Ð J#  Ð  ($ ÑJ% Ð Ó Ð ! ! " !  "' %'$ Ó llegue Ð ! ! " ! ! !Ó Ð Ó ) $ ' Ä Ð Ó J$  Ð $ ÑJ% Ð '&" Ó a Ä Ð ! ! ! " ! !Ó " Ð ! ! ! " Ó # J&  Ð""ÑJ% Ð Ó Ð ! ! ! ! " !Ó ! ! ! !  ") #& J'  Ð  #ÑJ% Ï! ! ! ! ! "Ò Ï! ! ! ! &  '" Ò

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(7.6.3) EJEMPLO:

Ô " # " ! " ," × Ö # ! $ ! $ ,# Ù Ö Ù Dada la matriz E œ Ö $ " # " % ,$ Ù; realizar e indicar las Ö Ù % $ $ " & ,% Õ# $ ! " # , Ø & operaciones elementales por filas, necesarias para que la matriz E sea REDUCIDA POR FILAS a: #," ,$ ,& # % Ô" ! ! × $ $ $ Ö Ù , %, #, & " $ Ö ! " !  "*  #* Ù * Ö Ù , (, &, Ö Ù % " $ " & Ö! ! "  * Ù * * Ö Ù ! ! ! ! ! ,%  ,"  ,$ Õ! ! ! ! ! ,#  ,"  ,&  ,$ Ø SOLUCIÓN: J#  #J" : sumar a la fila 2,  # veces la fila 1 J$  $J" : sumar a la fila 3,  $ veces la fila 1 J%  %J" : sumar a la fila 4,  % veces la fila 1 J&  #J" : sumar a la fila 5,  # veces la fila 1 # " ! " ," Ô" × " ! " ,#  #," Ù Ö! % Ö Ù con lo cual se obtiene: Ö !  &  " " " ,$  $," Ùà Ö Ù !  &  " " " ,%  %," Õ !  "  # " ! ,  #, Ø & " Ð  "ÑJ& : multiplicar la fila 5 por Ð  "Ñ; y enseguida J#& : intercambiar la fila 2 con la fila 5 # " ! " ," Ô" × " #  " !  ,&  #," Ù Ö! Ö Ù " " ,$  $," Ù con lo cual se obtiene: Ö !  &  " Ö Ù ! & " " " ,%  %," Õ! % " ! " ,#  #," Ø J"  #J# : sumar a la fila 1,  # veces la fila 2 J$  &J# : sumar a la fila 3, & veces la fila 2 J%  &J# : sumar a la fila 4, & veces la fila 2 J&  %J# : sumar a la fila 5, % veces la fila 2 # "  $,"  #,& × Ô" ! $ # " !  ,&  #," Ù Ö! " Ö Ù *  % " ,$  (,"  &,& Ù con lo cual se obtiene: Ö ! ! Ö Ù ! ! *  % " ,%  ',"  &,& Õ! ! *  % " ,#  ',"  %,& Ø $J" : multiplicar la fila 1 por $ *J# : multiplicar la fila 2 por * FACULTAD DE CS. NATURALES, MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PROYECTO DE FACULTAD "ÁLGEBRA LINEAL: una propuesta metodológica de aprendizaje autónomo en página web"

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' $  *,"  ',& × Ô$ ! *  * !  *,&  ")," Ù Ö ! * ") Ö Ù *  % " ,$  (,"  &,& Ù con lo cual se obtiene: Ö ! ! Ö Ù ! ! *  % " ,%  ',"  &,& Õ! ! *  % " ,#  ',"  %,& Ø J "  J$ : sumar a la fila 1, " vez la fila 3 J#  #J$ : sumar a la fila 2,  $ veces la fila 3 J %  J$ : sumar a la fila 4,  " vez la fila 3 J &  J$ : sumar a la fila 5,  " vez la fila 3 # %  #,"  ,$  ,& × Ô$ ! ! ,&  %,"  #,$ Ù Ö! * ! " # Ö Ù " ,$  (,"  &,& Ù con lo cual se obtiene: Ö ! ! *  % Ö Ù ! ! ! ! ! ,%  ,"  ,$ Õ! ! ! ! ! ,#  ,"  ,&  ,$ Ø " Ð $ ÑJ" : dividir la fila 1 por $ Ð "* ÑJ# : dividir la fila 2 por * Ð "* ÑJ$ : dividir la fila 3 por * Por lo tanto; se obtiene lo pedido:

Ô" Ö Ö! Ö Ö! Ö Ö ! Õ!

! !

# $

" !



! " ! ! ! !

 ! !

#," ,$ ,& $ ,& %," #,$ * ,$ (," &,& *

% $ " * % *



# *

" *

× Ù Ù Ù Ù Ù Ù

, %  ,"  ,$ , #  , "  , &  ,$ Ø

! !

(7.7) OBSERVACIÓN: a) Cuando una matriz verifica que tiene cero por debajo de los PIVOTES se dice que está en FORMA ESCALONADA POR FILAS.

EJEMPLO:

Î" ! Ï!

# " !

3 Ñ   "% 3 Ò ! " %

b) Si las operaciones elementales se hicieran EXCLUSIVAMENTE POR LAS COLUMNAS, se diría FORMA ESCALONADA DE UNA MATRIZ REDUCIDA POR COLUMNAS Y FORMA ESCALONADA POR COLUMNAS; respectivamente.

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EJEMPLO:

Î" # $Ñ % & ( en triangular inferior; Ï' & %Ò indicando claramente las operaciones elementales realizadas. SOLUCIÓN: Transforme la matriz

Se deben hacer "cero" los elementos por encima de la diagonal. Para lo cual, haremos las operaciones elementales POR COLUMNAS: Î" % Ï' " "$ G#

# & & Î" Ä % Ï'

$Ñ Î" G#  #G" ( Œ Ä % G$  $G"  Ò Ï' % ! " ( "$

! Ñ & "% Ò

! "$ (

! Ñ Î" & ÐG$  &G# Ñ Ä % Ï' "% Ò

! " ( "$

! Ñ ! "%( Ò "$

c) Para efectos metodológicos, trabajaremos EXCLUSIVAMENTE POR FILAS; por una comodidad "cultural".

(7.8) NOTACIÓN: Podemos notar que en las definiciones se ha usado la notación E − `8 B 8 БÑ; para indicar que los elementos de la matriz pertenecen al cuerpo de los Números Reales. En el caso de considerar el cuerpo de los Números Complejos, usaremos la notación E − `8 B 8 ЂÑ; tanto en lo anterior como en lo que viene del curso.

(7.9) DEFINICIÒN: Sean E ß F − `7 B 8 БÑÞ Diremos que las matrices E y F son EQUIVALENTES POR FILAS si y solo si a partir de la matriz E se puede obtener la matriz F por operaciones elementales; o viceversa.

(7.9.1) EJEMPLO: 3 # 3 Ñ Î " Î" # Ñ " # ! "3 ! "  %  "% 3 Eœ y Ï " # Ï! Ò " Ò ! ! son EQUIVALENTES POR FILAS. (VER EJEMPLO (7.6.1)) FACULTAD DE CS. NATURALES, MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PROYECTO DE FACULTAD "ÁLGEBRA LINEAL: una propuesta metodológica de aprendizaje autónomo en página web"

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(7.9.2) EJEMPLO: ! " % & $Ñ Î" ! " % Î " Ð ! Ð ! " " # $ " " Ó # $ Ð Ó Ð # & % # "Ó "' Ð " Ð ! ! ' EœÐ yÐ Ó $ % # ! " Ó '  #( Ð % Ð ! ! Ð Ó Ð & " # ! " ! ! ! *  #$ Ï $ " " " ! " Ò Ï! ! ! ' son EQUIVALENTES POR FILAS. (VER EJEMPLO (7.6.2)) (7.9.3) EJEMPLO:

Ô" ," × Ö ,# Ù Ö! Ù Ö ,$ Ù y Ö Ù Ö! ,% Ö ! ,& Ø Õ! son EQUIVALENTES POR FILAS. Ô" Ö# Ö E œ Ö$ Ö % Õ#

# ! " $ $

" $ # $ !

! ! " " "

" $ % & #

!

!

# $

"

!



% $ " * % *



# *

#," ,$ ,& $ ,& %," #,$ * ,$ (," &,& *

& " "'  #$  #& *

× Ù Ù Ù Ù Ù Ù

" ! "  * ! ! ! ! ,%  ,"  ,$ ! ! ! ! ,#  ,"  ,&  ,$ Ø (VER EJEMPLO (7.6.3))

(7.10) EJERCICIO: Determine si las matrices ! Ñ # ! Ñ Î" # Î " $ %Ó "  %& Ó Ð " Ð ! EœÐ y Ð Ó Ó ! & # ! ! " Ï " $ &Ò Ï! ! ! Ò son equivalentes por filas; indicando claramente las operaciones elementales sobre las filas, realizadas a partir de la matriz E Þ SOLUCIÓN: # ! Ñ ! Ñ Î " Î" # J #  J" Ñ Î $ %Ó & %Ó Ð " Ð ! J  J" EœÐ ÄÐ Ó Ó ! & # Ï % ! & # Ò Ð  "ÑJ" Ï " Ï! " &Ò $ &Ò Î" Ð ! Ð "& ÑJ# Ä Ð ! Ï!

# " & "

" ! Ñ Î % J$  &J# &Ó Ð ! Ó Œ J J ÄÐ ! # % # Ò Ï! &

# " ! !

" # ! Î Ñ Î" # % "  & Ó #* " Ð ! Ð ! Ð "# ÑJ$ Ä Ð J%  & J $ Ä Ð Ó ! ! " ! ! #* Ò Ï! Ï ! ! !  & Por lo tanto; las matrices son equivalentes por filas.

! Ñ  %& Ó Ó # Ò  #* & ! Ñ  %& Ó Ó " ! Ò

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$Ñ " Ó Ó *Ó Ó "' Ó Ó "' 'Ò

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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA FACULTAD DE CS. NAT., MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA SEMANA N° 01: (02 HORAS EJERCICIO) GUÍA DE ESTUDIO N° 1 (LOS CÁLCULOS QUE CORRESPONDAN CON DOS DECIMALES BIEN APROXIMADOS. USE BIEN LA CALCULADORA!!) 1. Determine la matriz E œ Ð+34 Ñ Ð3 œ "ß #ß ÞÞÞ ß 7 à 4 œ "ß #ß ÞÞÞ ß 8Ñ del orden indicado tal que: $4 3

(1.1) +34 œ # 3  $4 ; #B#

(1.2) +34 œ # 3# 

(1.3) +34 œ Ð3  #4Ñx  Š $3 4 ‹ ; $B$

(1.4) +34 œ Ð/3#  691$ 4Ñ ; #B$

; $B#

(1.5) +34 œ ! 5  # Ð5  "Ñ ; $B$ 3

4

5œ"

5œ"

(1.6) +34 œ Ð=/8 3  #-9= 4Ñ #  >+8 Ð3  4Ñ ; "B$ #

3 (1.7) +34 œ -9=/-Ð3  #4Ñ  -9>+8 4"  =/- Ð3  4Ñ ; $B"

2.

Dadas las matrices en `7 B 8 БÑÞ " & $ # EœŒ à FœŒ ! # % " ! G œŒ '

# #

( %

$ à &

" %

Calcule lo indicado: (2.1) #E  $F  %G

(2.2) ÐE  FÑ  ÐF  #G Ñ

(2.3) Ð%E  #FÑ >  Ð$G Ñ >

(2,4) E F >

(2.5) ÐE  FÑ > ÐF  #G  $EÑ (2.7) ÐM $ Ñ ÐE  $G Ñ > Ð# M# Ñ

(2.6) Ð#E  FÑ Ð$ M$ Ñ (2.8) M# E G > M# F M$

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3.

Dadas las matrices en `7 B 8 ЂÑÞ "3 3 !Ñ Î " Î # E œ #  $3 "  3 % à Fœ Ï " Ï Ð  "  3Ñ# 3 !Ò Gœ

Î ! $3 Ï "

#3 " 3 %!

! 3 "

#  $3 Ñ % 3& à ! Ò

! Ñ #3 3" Ò

Calcule lo indicado: (3.1) #E  $F  %G

(3.2) ÐE  FÑ#  ÐF  #G Ñ

(3.3) Ð%E  #FÑ >  Ð$G Ñ >

(3,4) E F >

(3.5) ÐE  FÑ > ÐF  #G  $EÑ

(3.6) Ð#E  FÑ Ð$ M$ Ñ

(3.7) ÐE  $G Ñ >

(3.8) E G > F

4.

Determine el resultado de: # Ñ Î " # ! $ ! $ Œ (4.1) " ( # Ï % & Ò Î

3 #3 (4.2) Ï  %3

"  #3 &

#3 (4.3) Œ "3

! (3

(4,4) aÐ "  3Ñ#

#3

Î

3 #3 (4.5) Ï  %3

"  #3 &

% $

" %

$3 ÑÎ  "  3 ! ! (3 ÒÏ  %3

# 3Ñ  $3 &3 Ò

 $3 #3

Î "  $3 Ñ Ð 3" Ó " Ð Ó Ð # Ó  %3 Ð Ó "3 Ï "3 Ò

%3 $

Ð%  3ÑÐ$  #3Ñ b $3 Ñ Î  "  3 ! ! (3 Ò Ï  %3 >

Î "3 ! Ï  %3

# 3Ñ  $3 &3 Ò

# 3Ñ  $3 &3 Ò

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5.

DEFINICIÓN: Sea T una matriz cuadrada. Se dice que T es una MATRIZ DE PROBABILIDAD si y solo si se verifican las siguientes condiciones: i) todos sus elementos son no negativos. ii) la suma de los elementos de cada fila es uno (1). Usando la definición anterior, determine si las siguientes matrices son de probabilidad " " # " " " Î$ $ $Ñ Î' ' $Ñ (5.1) T œ Ð "% "# "% Ó (5.2) U œ Ð ! " ! Ó Ï! ! "Ò Ï "& "& $& Ò (5.3) T #

(5.4) T U

6. Demuestre las siguientes proposiciones: (6.1) Si T ß U son matrices de probabilidad del mismo tamaño; entonces T U también es una matriz de probabilidad. -9= B (6.2) Œ =/8 B 7.

8.

 =/8 B -9= Ð8BÑ œŒ  -9= B =/8 Ð8BÑ 8

 =/8 Ð8BÑ à8− -9= Ð8BÑ 

DEFINICIÓN: E es una MATRIZ NILPOTENTE si y solo si E 8 œ ! PARA ALGÚN 8 −  . Î! ! !Ñ Determine si la matriz E œ # ! ! es nilpotente. Ï& $ !Ò Determine las matrices \ œ Œ

+ -

, tal que \ # œ !. .

9.

Mediante operaciones elementales transforme la matriz dada: " " # " " " Î$ $ $Ñ Î' ' $Ñ (9.1) Ð "% "# "% Ó (9.2) Ð ! " ! Ó (9.3) ambas en diagonal Ï! ! "Ò Ï "& "& $& Ò en triangular superior. en triangular inferior. (9.4) TODAS LAS MATRICES DE ESTA GUÍA EN: a) escalonada por filas. b) escalonada reducida por filas. FACULTAD DE CS. NATURALES, MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PROYECTO DE FACULTAD "ÁLGEBRA LINEAL: una propuesta metodológica de aprendizaje autónomo en página web"

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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA FACULTAD DE CS. NAT., MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA SEMANA N° 01: (02 HORAS EJERCICIO) TALLER N° 1 1. Determine la matriz E œ Ð+34 Ñ Ð3 œ "ß #ß ÞÞÞ ß 7 à 4 œ "ß #ß ÞÞÞ ß 8Ñ del orden indicado tal que: 3" (1.1) +34 œ Ð3  4Ñx  Š 4" ‹  $ 3#  684 # ./ 9+8 Ð5  "Ñ ./ 9 F

Dadas las matrices en `7 B 8 ЂÑÞ $3 "3 #3 3 3  #3 EœŒ à F œ Œ "&  "3 à G œ Œ " "3  "  3 $  %3  3 3 Calcule: (3.1) ÐE  FÑ > ÐF  #G  $EÑ (3.2) E > G > F > 3.

4.

Determine el resultado de: Î! #Ñ # $ % Ð " "Ó (4.1) Ð Ó Œ # $ " " !  Ï% (Ò Î 3 Ð "3 (4.2) Ð #3 Ï% 3

# 3Ñ "3Ó #3 Ó $3 Œ "3  (3 Ò

$3 "3

%3  3

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5.

Determine si las siguientes matrices son de probabilidad

(5.1) T œ Œ # ! "

(5.3) T

6.

" #

"



(5.2) U œ  &% # (

#

$ & $ (



(5.4) T U

Demuestre la siguiente proposición:

(6.1) T es matriz de probabilidad Ê T # es matriz de probabilidad " (6.2) Œ ! 7.

" " œŒ  " ! 8

8 à8− "

DEFINICIÓN: Sea E una matriz cuadrada. Se dice que E es una MATRIZ IDEMPOTENTE si y solo si E # œ E Þ Î" ! !Ñ Determine si la matriz E œ ! " ! es idempotente. Ï! ! !Ò

8.

+ Determine las matrices Π-

, " que conmutan con Œ . !

" Þ "

9.

Mediante operaciones elementales transforme la matriz dada:

% Ñ Î# " Î" # $Ñ $ "  & (9.2) % & ( (9.1) (9.3) ambas en diagonal Ï& Ò Ï Ò ! " ' & % en triangular superior. en triangular inferior. (9.4) TODAS LAS MATRICES DE ESTE TALLER EN: a) escalonada por filas. b) escalonada reducida por filas.

10.

Determine si las siguiente matrices son equivalentes por filas.

Ô" (10.1) $ Õ!

" # #

# % $

#× & # Ø

y

Ô" ! Õ!

! " !

! ! "

"× " . ! Ø

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Ô' (10.2) $ Õ$

$ ! "

Ô" Ö" Ö (10.3) Ö ! Ö ! Õ#

# # ! ! %

! " ! " "

$ " ! % "!

! ! " ! "

" (10.4) Œ $

" "

! "

" !

% # #

$× ! "Ø

y

Ô" ! Õ!

+× Ô" , Ù Ö! Ù Ö - Ù y Ö! Ù Ö . ! / Ø Õ!

! " !

! !

# ! ! ! !

! " ! ! !

" ! y  " !

! "

Î" # " ! " Ð # ! $ ! $ Ð 11. Dada la matriz Ð $ " # " % Ð % $ $ " & Ï# $ ! " # Determine la matriz equivalente LAS PRIMERAS CINCO COLUMNAS.

PÁG. 42

!× " !Ø

# $

$ % ! ! !

! ! " ! ! " #



" #

+ × +, Ù Ù Ù Ù /  $+  ,  ,+. Ø " #



 $ #

" #

" #



BÑ CÓ Ó DÓ . Ó > AÒ escalonada reducida por filas EN

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PRUEBA DE AUTOEVALUACIÓN N° 1:

PROBLEMA 1:

TALLER N° 1:

(1.2) !Þ#& Œ "Þ!)

RESPUESTA:

PROBLEMA 2:

TALLER N° 1:

(2.2) Î  $$ Ð  (# Ð  *& Ï #&

)) "(* #%"  ''

RESPUESTA:

(3.1) %( Œ (  #3

"  $)3  $  '3 

TALLER N° 1:

(5.4)

RESPUESTA:

TU œ 

RESPUESTA:

PROBLEMA 3:

PROBLEMA 4:

TU

$Þ*# %Þ(& 

TALLER N° 1:

*( Ñ (# Ó Ó "((  "&% Ò

"( $& % (

$' (! $ (

à +## œ

$ (



es matriz de probabilidad, ya que: "( $&

à +"# œ

$' (!

à +#" œ

% (

3Ñ

+"" œ

33Ñ

La suma de los elementos en cada fila es

 !

".

En efecto: "( $&



$' (!

œ

% (



$ (

œ"

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PROBLEMA 5:

TALLER N° 1:

(9.2)

Î" % Ï'

RESPUESTA:

! " ( "$

! Ñ ! "%( Ò "$

PROBLEMA 6:

TALLER N° 1: RESPUESTA:

(10.2) Si son equivalentes por filas.

PROBLEMA 7:

TALLER N° 1: RESPUESTA:

11. Obtenga la siguiente matriz equivalente reducida por filas EN LAS PRIMERAS CINCO COLUMNAS:

Î" Ð ! Ð Ð Ð ! Ð ! Ï!

! " ! ! !

! ! " ! !

# $

 "*  %* ! !

% $

 " *

! !

# *

 #$ B  "$ D  "$ A Ñ  %* B  #* D  "* A Ó Ó Ó ( " & B  D  A Ó * * * Ó BD> BC D AÒ

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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA FACULTAD CS. NAT., MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA MARTES 03 DE ABRIL DE 2007: 12:45-14:05 CONTROL N° 1: ÁLGEBRA LINEAL (MAT-605) NOMBRE_______________________________SECCIÓN__11__ PROFESOR__CARLOS SEPÚLVEDA BUSTAMANTE__ (2.1)

(2.2)

TOTAL

PUNTAJE PREGUNTA 2:

Î

3 #3 (2.1) Calcule Ï  %3

 " $3 ÑÎ  "  3 #  3 Ñ  #3 ! !  $3  & (3 ÒÏ  %3 &3 Ò

(2.2) Determine si las matrices ! Ñ # ! Ñ Î"  # Î " $  %Ó Ð " Ð ! "  %& Ó EœÐ y Ð Ó Ó ! & # ! ! " Ï "  $  &Ò Ï! ! ! Ò son equivalentes por filas; indicando claramente las operaciones elementales sobre las filas, realizadas a partir de la matriz E Þ PONDERACIONES: (2.1) = 07 (2.2) = 08 PUNTOS. TIEMPO: 20 minutos.

JUSTIFIQUE DETALLADAMENTE EL DESARROLLO ANALÍTICO DE CADA UNA DE SUS RESPUESTAS!!

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PAUTA CONTROL N° 1: ÁLGEBRA LINEAL (MAT-605) SECCIÓN__11__ PREGUNTA 2: (2.1) SOLUCIÓN:  " $3 ÑÎ  "  3 #  3 Ñ Î 3 #3  #3 ! !  $3 œ Ï  %3  & (3 ÒÏ  %3 &3 Ò Î  "  3  "#  #  #3 Ï %  %3  #)

"  #3  $3  "& Ñ Î ""  3 #  %3  '  #  #3 œ  %  )3  "&3  $& Ò Ï $#  %3

 "%  &3 Ñ  %  %3  $*  (3 Ò

%

$

(se descuenta un punto por cada término incorrecto) (2.2) SOLUCIÓN: Î " Ð " EœÐ ! Ï " Î" Ð ! Ð "& ÑJ# Ä Ð ! Ï! " Î Ð ! Ð "# ÑJ$ Ä Ð ! Ï!

! Ñ Î" J#  J" Ñ Î  %Ó Ð ! J%  J" ÄÐ Ó # Ï ! Ò Ð  "ÑJ " Ï!  &Ò

# $ & $

# & & "

"

# " & " # " ! !

"

" ! Ñ Î J$  &J# Ð !  %& Ó Ó Œ J J ÄÐ ! # % # Ò Ï! & ! Ñ  %& Ó J%  Ó " Ò  #* &

" #* &

Î" Ð ! J$ Ä Ð ! Ï!

"

Por lo tanto; las matrices son equivalentes por filas.

! Ñ  %Ó Ó #  &Ò

" # " ! !

! Ñ  %& Ó Ó # Ò  #* &

" # " ! !

! Ñ  %& Ó Ó " ! Ò

" "

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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA FACULTAD CS. NAT., MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA MARTES 03 DE ABRIL DE 2007: 11:15 - 12:35 CONTROL N° 1: ÁLGEBRA LINEAL (MAT-605) NOMBRE_______________________________SECCIÓN__12__ PROFESOR__CARLOS SEPÚLVEDA BUSTAMANTE__ (2.1)

(2.2)

TOTAL

PUNTAJE PREGUNTA 2:

(2.1) Dadas las matrices E œ Œ

& $ à  #  % # ( $ ! # " FœŒ à G œŒ  " % & ' # % Calcule el resultado de ÐE  FÑ > ÐF  #G  $EÑ. " !

Î! (2.2) Determine si la matriz E œ # Ï& PONDERACIONES: (2.1) = 08

! !Ñ ! ! es nilpotente. $ !Ò (2.2) = 07 PUNTOS. TIEMPO: 20 minutos.

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PAUTA CONTROL N° 1: ÁLGEBRA LINEAL (MAT-605) SECCIÓN__12__ PREGUNTA 2: (2.1) SOLUCIÓN: >

ÐE  FÑ ÐF  #G  $EÑ

Î$ œ # Ï! Î

 "Ñ & # Œ ""  *Ò

#

% '

%  #& 

#

% ' $( Ñ $#  #!  %# œ % Ï  ** Ò &% ##& (se descuenta un punto por cada término incorrecto) (2.2) SOLUCIÓN: Î ! ! ! ÑÎ ! ! ! Ñ Î ! ! ! Ñ # ! ! œ ! ! ! E œ # ! ! Ï & $ ! ÒÏ & $ ! Ò Ï ' ! ! Ò

$

Î! ! E œ ! ! Ï' ! Por lo tanto, E

#

#

$

! ÑÎ ! ! ! Ñ Î ! ! ! Ñ ! # ! ! œ ! ! ! ÒÏ ! & $ !Ò Ï! ! !Ò es nilpotente, para 8 œ $ Þ

#

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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA FACULTAD CS. NAT., MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA JUEVES 05 DE ABRIL DE 2007: 11:15 - 12:35 CONTROL N° 1: ÁLGEBRA LINEAL (MAT-605) NOMBRE_______________________________SECCIÓN__14__ PROFESOR__CARLOS SEPÚLVEDA BUSTAMANTE__ (2.1)

(2.2)

TOTAL

PUNTAJE PREGUNTA 2: (2.1) Demuestre proposición:

por

el principio de inducción la 8 " " " 8 œŒ à8− T Ð8Ñ À Œ  ! " ! "

siguiente

Î"  #  $Ñ % & ( (2.2) Transforme la matriz en triangular inferior; Ï'  &  %Ò indicando claramente las operaciones elementales realizadas. PONDERACIONES: (2.1) = 08 (2.2) = 07 PUNTOS. TIEMPO: 20 minutos.

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PAUTA CONTROL N° 1: ÁLGEBRA LINEAL (MAT-605) SECCIÓN__14__ PREGUNTA 2: (2.1) DEMOSTRACIÓN: " " " " " 1º) T Ð"Ñ À Œ œŒ à ES VERDADERO. "  ! " ! " # " " " " " " " # T Ð#Ñ À Œ œŒ œŒ à  Œ  ! " ! " ! " ! " ES VERDADERO. " 2º) HIPÓTESIS DE INDUCCIÓN: 5 " " " 5 Se supone que T Ð5Ñ À Œ œŒ à #  ! " ! " ES VERDADERO; a 5   # ß 5 0 349Þ 3º) TESIS DE INDUCCIÓN: 5" " " " 5" Por demostrar que T Ð5  "Ñ À Œ œŒ  ! " ! "  En efecto; se sabe que: " " " " 5 " " Œ ! "  œ Œ ! "  ; multiplicando por Œ ! " 

"

" " T Ð5  "Ñ À Œ ! "

"

5

" " " " " 5 " " Œ ! "  Œ ! "  œ Œ ! " Œ ! "  5

5"

œŒ

" 5" . ! " 

Por lo tanto T Ð8Ñ ES VERDADERA

a8−

"

(2.2) SOLUCIÓN: Se deben hacer "cero" los elementos por encima de la diagonal. # ! Ñ Î "  #  $ Ñ G#  #G" Î" ! % & ( Œ  Ä % "$ & Ï '  &  % Ò G$  $G" Ï ' ( "% Ò

" "$ G#

Î" Ä % Ï'

"

! " ( "$

! Ñ Î" & ÐG$  &G# Ñ Ä % Ï' "% Ò

"

"

! " ( "$

! Ñ ! "%( Ò "$

#

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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA FACULTAD CS. NAT., MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA JUEVES 05 DE ABRIL DE 2007: 12:45 - 14:05 CONTROL N° 1: ÁLGEBRA LINEAL (MAT-605) NOMBRE_______________________________SECCIÓN__13__ PROFESOR__ERICK GONZÁLEZ GAJARDO__ (2.1)

(2.2)

TOTAL

PUNTAJE PREGUNTA 2:

(2.1) Dadas T œ Œ

" #

" #

!

"

 y Uœ

# & % (

$ & $ (

.

Determine si T U es matriz de probabilidad. Î" # " ! "Ñ Ð # ! $ ! $Ó Ð Ó (2.2) Dada Ð $ " # " % Ó . Ð Ó % $ $ " & Ï# $ ! " #Ò Determine la matriz equivalente escalonada reducida por filas; indicando claramente las operaciones elementales realizadas. PONDERACIONES: (2.1) = 08 (2.2) = 07 PUNTOS. TIEMPO: 20 minutos.

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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA FACULTAD CS. NAT., MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA MIÉRCOLES 04 DE ABRIL DE 2007: 15:45 - 17:05 CONTROL N° 1: ÁLGEBRA LINEAL (MAT-605) NOMBRE_______________________________SECCIÓN__21__ PROFESOR__RENÉ ALZAMORA ANTIQUERA__ (2.1)

(2.2)

TOTAL

PUNTAJE PREGUNTA 2: (2.1) Encuentre la matriz E œ Ð+34 Ñ Ð3 œ "ß # à 4 œ "ß #Ñ tal que +34 œ Ð3  #4Ñx  Š $3 4 ‹.

(HAGA LOS CÁLCULOS)

(2.2) Determine si las siguientes matrices #  #× Ô" " Ô" ! !  "× % & ! " ! " Eœ $ # y . Õ! Õ! ! " # $ # Ø ! Ø son equivalentes por filas; indicando claramente las operaciones elementales sobre las filas, realizadas a partir de la matriz E Þ PONDERACIONES: (2.1) = 07 (2.2) = 08 PUNTOS. TIEMPO: 20 minutos.

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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA FACULTAD CS. NAT., MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA MIÉRCOLES 04 DE ABRIL DE 2007: 14:15 - 15:35 CONTROL N° 1: ÁLGEBRA LINEAL (MAT-605) NOMBRE_______________________________SECCIÓN__22__ PROFESOR__RENÉ ALZAMORA ANTIQUERA__ (2.1)

(2.2)

TOTAL

PUNTAJE PREGUNTA 2:

+ , (2.1) Determine EL CONJUNTO DE TODAS las matrices Œ - . " " que conmutan con Œ Þ ! "  #  3Ñ Î 3 #3 $3 %3 Ð "  3  "  3Ó (2.2) Calcule Ð Ó Œ  #3 $3 "3 "3 3 Ï% 3  (3 Ò PONDERACIONES: (2.1) = 08 (2.2) = 07 PUNTOS. TIEMPO: 20 minutos.

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SEMANA N° 02:

(04 HORAS CÁTEDRA)

UNIDAD I : MATRICES TEMA 8: OBJETIVO OPERACIONAL: OBJETIVO OPERACIONAL: si es invertible. OBJETIVO OPERACIONAL:

MATRIZ INVERSA Calcular el rango de una matriz. Determinar a partir del rango de una matriz, Calcular la inversa de una matriz.

(8.1) RANGO DE UNA MATRIZ: Sea E − `7 B 8 Ð‘Ñ Þ Se llama RANGO DE LA MATRIZ E ß al número de filas distintas de cero de su matriz equivalente ESCALONADA POR FILAS. (8.1.1) EJEMPLO:

Eœ

Î " # Ï "

Î" ! Ï!

# % %

# ! #

3 Ñ Î" "  3 J#  #J" Ä ! Ï3 " Ò

3 Ñ Î" "  3 J $  J# Ä ! Ï! "3Ò

# % !

# % "3

3 Ñ "  3 J $  J" Ä # Ò

3 Ñ "  3 Ê VER KSÐEÑ œ # ! Ò

(8.1.2) EJEMPLO: Î " 3 Eœ Ï ! Î" Ä ! Ï!

3 ! "3

3 " !

! Ñ Î" " J #  3 J" Ä ! Ò Ï! "3

3 " "3

! Ñ " J$  Ð"  3ÑJ# Ò "3

!Ñ " Ê VER KSÐEÑ œ $ #Ò

(8.2)

MATRIZ INVERSA: Sea E − `8B8 Б ó ‚Ñ , es decir E es una matriz cuadrada. Diremos que F − `8B8 Б ó ‚Ñ es la MATRIZ INVERSA de la matriz E , si y solo si se verifica que: E F œ F E œ M8 FACULTAD DE CS. NATURALES, MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PROYECTO DE FACULTAD "ÁLGEBRA LINEAL: una propuesta metodológica de aprendizaje autónomo en página web"

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(8.2.1) EJEMPLO: # Ñ Î" " Î * " % & $ Eœ $ ÊFœ ' Ï! Ï $ " "Ò ya que EF œ FE œ M$

" " "

"$ Ñ  " es la inversa de E; (Ò

(8.2.2) EJEMPLO: " $ Ñ Î " Î "% " # # ! Eœ Ê F œ ' "% Ï % Ò Ï # & ( ya que EF œ FE œ M$

) & "

'Ñ ' es la inversa de Ò !

E;

(8.3) OBSERVACIÓN: a) Si la matriz admite inversa, se dice que dicha matriz es INVERTIBLE o NO SINGULAR. En caso contrario, se dice que es SINGULAR. b) Si la matriz F es la matriz inversa de la matriz E , denotamos a la matriz F por E" Þ

(8.4) PROPIEDADES: Sean E , F , G matrices invertibles. a)

ÐE" Ñ" œ E

b)

E" es ùnica.

c)

ÐE FÑ" œ F " E"

d)

ÐEF G Ñ" œ G " F " E"

e) Diremos que la matriz cuadrada E es invertible cuando al reducirla por filas, ninguna fila se hace cero. (8.4.1) EJEMPLO:

# 3 Ñ Î " # ! "3 no es invertible. Ï " # Ò " Notar que el VER KSÐEÑ œ #  VER KSÐM$ Ñ œ $. En (8.1.1) la matriz E œ

(8.4.2) EJEMPLO:

3 ! Ñ Î " 3 ! " es invertible. Ï ! Ò "3 "3 Notar que el VER KSÐEÑ œ VER KSÐM$ Ñ œ $.

En (8.1.2) la matriz E œ

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(8.5) CÁLCULO DE LA MATRIZ INVERSA: Sea M8 la matriz identidad Þ Para obtener la matriz inversa de una E − `8B8 Б ó ‚Ñ , procedemos de la siguiente forma: 1º)

Formamos la matriz aumentada por bloques:

matriz acEd

cuadrada c M8 d b

2º) Realizar operaciones elementales por filas, para obtener la siguiente matriz por bloques: a c M8 d c F d b 3º) La matriz F resultante en el bloque de la derecha corresponde a la matriz inversa de la matriz E , es decir F œ E" (8.5.1) EJEMPLO:

" $ Ñ Î " # # ! Dada la matriz E œ . Ï % & (Ò Encuentre la matriz inversa si correspondeà y verifique que E E" œ M$ Þ SOLUCIÓN: 1°)

Supongamos que E " " $ " ! Î # # ! ! " Ï % & ( ! !

es invertible: !Ñ Î" J#  Ð  #ÑJ" ! Ä ! J$  %J" Ò Ï! "

Î" J#$ Ä ! J "  J# Ï!

& % #

2°)

3°)

! " !

) & '

! ! "

"

EE

Î" œ ! Ï!

! " !

" # &

$ ' &

" Ñ Ð  "' ÑJ$ Î" " J"  Ð  )ÑJ$ Ä Ð ! ! Ò J#  Ð  &ÑJ$ Ï!

Por lo tanto; la inversa es: ( % "Ñ Î$ $ Î "% ( & " " Ð Ó E œ " œ ' "% $ ' Ï # Ï "  " !Ò $ ' Verificación: Î " " # EE œ Ï %

" ! "

) & "

$ Ñ Î "% " ! "% ' Ò Ï ( #

" # %

! " !

! ! "

( $ ( $ " $

!Ñ ! "Ò

! " !

% $ & '



'Ñ ' !Ò

) & "

'Ñ Î' " ' œ' ! Ï! !Ò

! ' !

!Ñ ! 'Ò

!Ñ ! "Ò

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" '

"Ñ "Ó !Ò

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(8.5.2) EJEMPLO:

# Ñ Î" " $ % & . Ï! Ò " " Encuentre la matriz inversa si correspondeà y verifique que E E" œ M$ Þ SOLUCIÓN: 1°) Supongamos que E es invertible: "  " # " ! !Ñ # " ! !Ñ Î Î" " $ % & ! " ! J#  Ð  $ÑJ" Ä ! ( " $ " ! Ï! Ò Ï " " ! ! " ! " " ! ! "Ò Dada la matriz E œ

2°) E"

3°)

J#$ Î" J "  J# Ä ! Ï! J$  Ð  (ÑJ#

! " !

" " '

Ð "' ÑJ$ Î" J"  Ð  "ÑJ$ Ä Ð ! Ï! J #  J$

! " !

! ! "

" ! $ $ #

 " # " #

 

Por lo tanto; la inversa es: $ "$  "' Î # ' Ñ Î * " " Ó "  $ œ Ð  "# œ ' ' ' Ï " $ Ï"  (' Ò # '

" ' " '

(8.5.3) EJEMPLO:

" Ñ " (Ò

" '

" " "

Verificación: # Ñ Î * Î" " " " % & $ EE œ $ ' Ï! " "Ò Ï $ Î" ! !Ñ " EE œ ! " ! Ï! ! "Ò Î! Dada la matriz E œ $3 Ï!

! ! "

"$ '

 

" ' ( '

Ñ Ó Ò

"$ Ñ " (Ò "$ Ñ Î' " " œ ' ! Ï! (Ò

" " "

! ' !

!Ñ ! 'Ò

#3 Ñ ! . %3 Ò

! 3  #3

"

œ 

3 '

Î # ' Ï $

a)

Verifique si la matriz

b)

Si corresponde; verifique que E E" œ M$ Þ

E

# ! !

" Ñ $ Þ ! Ò

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(8.6) EJERCICIO:

! #Ñ Î! $ " ! . Ï! # %Ò Determine su matriz inversa. SOLUCIÓN:

(8.6.1) Dada la matriz

Î! $ Ï!

1º)

Formando la matriz :a E M b œ

2º)

Realizar operaciones elementales para obtener a M

aE M b œ

Î! $ Ï!

! " #

J" Î" "  # J# Ä Ð ! " Ï! # J$ " $

# $ J$

J"  J#  #J$

3°)

Î" ÄÐ ! Ï!

" $

# ! % ! # "

" ! ! " !

! ! "

" ! !

! " !

! ! " #

!Ñ Î$ J"# ! Ä ! J Ï! " Ò #$

" $

! !

 "$ " " #

La matriz inversa es E"

! " #

# ! %

" ! !

E" b À

! % #

! ! "

! Ñ Î" " Ó "  # J "  $ J# Ä Ð ! Ï! ! Ò

! " !

" $

! !

" # !

!Ñ ! "Ò

! " !

Ñ  Ó œ aM Ò ! " '

#

" $

! !

!Ñ " !Ò

# $

# "

! ! " #

" $

! !

" '

Ñ  "# Ó ! Ò " '

(8.6.2) Demostrar que: Si E − `8 B 8 Þ Entonces ÐE> Ñ" œ ÐE" Ñ> Þ DEMOSTRACIÓN: E> ÐE> Ñ" œ ÐE> Ñ" E> œ M8 Þ

1°)

Se debe verificar que:

2°)

En efecto: > > E> ÐE> Ñ" œ E> ÐE" Ñ> œ E" ÐEÑ‘ œ M8 ‘ œ M8 > > ÐE> Ñ" E> œ ÐE" Ñ> E> œ EÐE" Ñ‘ œ M8 ‘ œ M8

3°)

Por lo tanto ÐE> Ñ" œ ÐE" Ñ> Þ

" #

Ñ Ó

 ! Ò

E" b

" #

" Î$ œÐ " Ï "

" ! !

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TEMA 9:

MATRICES ELEMENTALES Y MATRICES INVERSAS

OBJETIVO OPERACIONAL: Obtener la matriz elemental respecto de realizar una y solo una operación elemental a las filas o columnas de una matriz. OBJETIVO OPERACIONAL: Caracterizar la matriz inversa como un producto de matrices elementales.

(9.1) DEFINICIÓN: Sea I − `8 B 8 БÑÞ Diremos que I es una MATRIZ ELEMENTAL si esta se obtiene de realizar una y solo una operación elemental en la matriz identidad M8 . (9.1.1) EJEMPLO:

Sea M# œ Œ

I" œ Œ

! "

" !

! Þ Son matrices elementales las siguientes: "

" ; se obtiene de J"# o bien G"# !

I# œ Œ # !

! " " ; se obtiene de Ð # ÑJ" o bien Ð # ÑG" "

I$ œ Œ

! ; se obtiene de J#  $J" o bien G"  $G# "

"

" $

(9.1.2) EJEMPLO: Î" Sea M$ œ ! Ï!

! " !

!Ñ ! Þ Son matrices elementales las siguientes: "Ò

Î" I" œ ! Ï!

! ! "

!Ñ " ; se obtiene de J#$ o bien G#$ !Ò

Î" I# œ ! Ï!

! " !

! Ñ ! ; se obtiene de Ð  #ÑJ$ o bien Ð  #ÑG$ #Ò

I$ œ

Î " # Ï !

! " !

!Ñ ! ; se obtiene de J#  Ð  #ÑJ" o bien G"  Ð  #ÑG# "Ò

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(9.2) OBSERVACIÓN: a)

Toda matriz elemental es invertible.

b) Cuando se aplica a la matriz E − ` 7 B 8 Ð ‘Ñ una operación elemental SOBRE SUS FILAS, se obtiene una matriz equivalente F − `7 B 8 Ð‘Ñ , la cual es resultante de multiplicar por izquierda (premultiplicar) a la matriz E por la matriz elemental que se obtiene de realizar la misma operación elemental en la matriz identidad M7 ; es decir: F œ I EÞ (9.2.1) EJEMPLO: Sea E œ Œ

" %

" !

" Se considera M# œ Œ ! " Por lo tanto F œ Œ !

# " J#  %J" Ä F œ Œ  $ !

" %

! " J#  %J" Ê I œ Œ  " %

! "

" %

# " œŒ  "" %

! " Œ " %

# "" 

" !

# œIE $

c) En el caso de trabajar POR COLUMNAS, se multiplica por derecha; pero en este caso la matriz elemental se obtiene de realizar la misma operación elemental en la matriz identidad M8 Þ (9.2.2) EJEMPLO: Sea E œ Œ

" %

" !

Î" Se considera M$ œ ! Ï!

# " %G# Ä F œ Œ  $ % ! " !

!Ñ Î" ! %G# Ê I œ ! Ï! "Ò

Por lo tanto " FœŒ %

d)

% !

# " œŒ  $ %

" !

" # Î ! $ Ï !

% ! ! % !

! % !

# $ !Ñ ! "Ò

!Ñ ! œ EI "Ò

La inversa de una matriz elemental, también es una matriz elemental.

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(9.2.3) EJEMPLO:

" Sea I œ Œ %

! " Ê I " œ Œ " %

! ; se obtiene de "

J#  Ð  %ÑJ" o bien se obtiene de G"  Ð  %ÑG# en M# œ Œ (9.2.4) EJEMPLO:

Î" Sea I œ ! Ï!

! Þ "

!Ñ ! ; se obtiene de Ð "% ÑJ# ! "Ò Î" ! !Ñ o bien se obtiene de Ð "% ÑG# en M# œ ! " ! Þ Ï! ! "Ò ! % !

!Ñ Î" " ! ÊI œ ! Ï! "Ò

" !

! " %

(9.3) TEOREMA: E − `8 B 8 Ð‘Ñ es invertible si y solo si matrices elementales.

E es un producto de

# " (9.3.1) EJEMPLO: Encuentre la matriz inversa de E œ Œ y escriba " $ si corresponde; la matriz E como un producto de matrices elementales. SOLUCIÓN: 1°) # Œ"

Determinar la inversa y las respectivas matrices elementales: Č

" #

$ "

Č

" !

$ &

Ð  "& ÑJ#

Č

" !

$ "

!  "&

J"  Ð  $ÑJ#

Ä

" !

! "

$ &

" $

" !

! J "  "#

J#  Ð  #ÑJ"

2°)

La inversa de E es:

y además:

" !

! "

! "



! Ê I" œ Œ "

" " Ê I# œ Œ # # " # &



 " &

" !

# &

$ E" œ "& Œ "

" &

! "

" Ê I$ œ Œ !

!  "& 

"  Ê I% œ Œ !

$ " 

" ; # 

M# œ I% I$ I# I" E Ê E œ ÐI% I$ I# I" Ñ"

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3°)

Por lo tanto; la matriz como producto de matrices elementales es: E œ I"" I#" I$" I%" donde:

! I"" À Œ "

" !

" !

! " ÄŒ  " !

" I#" À Œ #

! "

" I$" À Œ ! " I%" À Œ ! Luego:

! "

! "

" !

" !

! " ÄŒ  " !

! "

" #

!  "&

" !

! " ÄŒ  ! "

! "

$ "

" !

! " ÄŒ  " !

! "

EœŒ

! "

" " ! Œ #

! Ê I"" œ Œ "

" !

! "

" Ê I#" œ Œ #

! "

" !

! &

" Ê I$" œ Œ !

! &

" !

$ "

" Ê I%" œ Œ !

$ "

! " " Œ !

! "  & Œ !

$ "

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UNIDAD I I : DETERMINANTES TEMA 1:

DEFINICIONES

OBJETIVO OPERACIONAL: Calcular el determinante de orden #B#. OBJETIVO OPERACIONAL: Calcular el determinante de orden $B$. OBJETIVO OPERACIONAL: Obtener el menor Q34 de una matriz. OBJETIVO OPERACIONAL: Calcular el cofactor E34 de una matriz. OBJETIVO OPERACIONAL: Calcular el determinante por expansión de cofactores; para una matriz de orden menor o igual a &B&. OBJETIVO OPERACIONAL: Calcular el determinante por aplicación de propiedades. (1.1) INTRODUCCIÓN:

Sea E − `# B # Ð‘Ñ Ðó `# B # ЂÑÑ , dada por E œ Œ

por

+"" +#"

+"# Þ +## 

DEFINICIÓN: Se define el DETERMINANTE DE LA MATRIZ E, lo que denotaremos k E k œ ./>ÐEÑ al siguiente número real (ó número complejo) k E k œ ./>ÐEÑ œ +"" +##  +#" +"#

(1.1.1) EJEMPLO:

./>Œ

" $

(1.1.2) EJEMPLO:

./>Œ

' "#

# œ Ð"ÑÐ  %Ñ  Ð$ÑÐ  #Ñ œ  %  ' œ # % # œ Ð'ÑÐ  %Ñ  Ð"#ÑÐ  #Ñ œ  #%  #% œ ! %

Î +"" +"# +"$ Ñ (1.2) Sea E − `$ B $ Ð‘Ñ Ðó `# B # ЂÑÑ, dada por E œ +#" +## +#$ Þ Ï+ +$# +$$ Ò $" DEFINICIÓN: Se define el DETERMINANTE DE LA MATRIZ E, lo que denotaremos por k E k œ ./>ÐEÑ al siguiente número real (ó número complejo) k E k œ +"" º

+## +$#

+#$ +  +"# º #" º +$$ +$"

+#$ +  +"$ º #" º +$$ +$"

+## +$# º

SE DICE QUE EL DETERMINANTE ESTÁ DESARROLLADO POR LA FILA 1. Note el signo negativo; lo cual es correspondiente a que la suma de los subíndices es impar. ( aplicando la definición anterior obtenemos: k E k œ +"" Ð+## +$$  +$# +#$ Ñ  +"# Ð+#" +$$  +$" +#$ Ñ  +"$ Ð+#" +$#  +$" +## Ñ ) FACULTAD DE CS. NATURALES, MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PROYECTO DE FACULTAD "ÁLGEBRA LINEAL: una propuesta metodológica de aprendizaje autónomo en página web"

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(1.2.1) EJEMPLO: (POR FILA 1) # $ Ñ Î " " # % # % # ./>  %  " œ Ð"Ѻ  Ð  #Ѻ  Ð$Ѻ º º % # $ # $ Ï $ % #Ò œ Ð  'Ñ  #Ð"%Ñ  $Ð  "*Ñ œ  $&

(1.2.2) EJEMPLO: (POR COLUMNA 2) # $ Ñ Î " # ./>  %  " Ï $ % #Ò % # " œ  Ð  #Ѻ  Ð  "Ѻ º $ # $ œ #Ð"%Ñ  (  %Ð"%Ñ œ  $&

$ "  Ð%Ѻ º # %

$ #º

(1.3) DEFINICIÓN: Sea E − `8 B 8 Ð‘Ñ Ðó `8 B 8 ЂÑÑ. Se llama MENOR 34 de la matriz E ; lo que denotaremos por Q3 4 − `Ð8"Ñ B Ð8"Ñ Ð‘Ñ Ðó `Ð8"Ñ B Ð8"Ñ Ð‚ÑÑ , es decir es una matriz de orden Ð8  "Ñ B Ð8  "Ñ; la cual se obtiene de eliminar la fila 3 y la columna 4 de la matriz E Þ (1.3.1) EJEMPLO:

Q#"

# $ Ñ Î " % " # Sea E œ Ï $ % #Ò # $ % œŒ à Q"$ œ Œ  % # $

" " à Q$$ œ Œ  % %

# "

(1.3.2) EJEMPLO: ! # $ Ñ Î" " Ð ! " # $ $Ó Ð Ó " ! # Ó Sea E œ Ð %  # Ð Ó " $ % & ! Ï! " " # ' Ò ! #Ñ Î" " Î" # $ Ó Ð ! " Ð % Q%& œ Ð à Q## œ Ð Ó % # " ! " Ï! Ï! " " # Ò

! " % "

# ! & #

$Ñ #Ó Ó ! 'Ò

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" % º

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(1.4) DEFINICIÓN: Sea E − `8 B 8 Ð‘Ñ Ðó `8 B 8 ЂÑÑ. Se llama COFACTOR 34 de la matriz E ; lo que denotaremos por E3 4 − ‘ Ðó ‚ Ñ , es decir es un número real (ó número complejo); el cual está dado por:

E3 4 œ Ð  "Ñ34 ./>ÐQ3 4 Ñ œ Ð  "Ñ34 k Q3 4 k

(1.4.1) EJEMPLO: Î " % Sea E œ Ï $ E#" E"$ E$$

# $ Ñ " # % #Ò # $ œ Ð  "Ñ#" ./>Œ œ  Ð  'Ñ œ ' à % # % " œ Ð  "Ñ"$ ./>Œ œ Ð  "*Ñ œ  "* à $ %  " # œ Ð  "Ñ$$ ./>Œ œ Ð  *Ñ œ  * % "

(1.4.2) EJEMPLO: Î" Ð ! Ð Sea F œ Ð % Ð " Ï!

! # $ Ñ # $ $Ó Ó " ! # Ó Ó % & ! " # ' Ò ! #Ñ Î" " # $ Ó Ð ! " F%& œ Ð  "Ñ%& ./>Ð à POR COLUMNA 1 Ó % # " ! Ï! " " # Ò # $Ñ ! #Ñ Î " Î " " !  Ð%Ñ./>  " # $ œ  ”Ð"Ñ./>  # • Ï " Ò Ï Ò " # " " # POR FILA 2 POR COLUMNA 2 # $ " $ œ  ”  Ð  #Ñ./>Œ  ./>Œ   " # " # " # " #  % Ð #./>Œ  Ð  "Ñ./>Œ Ñ  " # " $  • " " # $ "

œ  ”#Ð(Ñ  Ð  &Ñ  )Ð!Ñ  %Ð  &Ñ• œ  Ð  ""Ñ œ ""

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! # $Ñ Î" " ! #Ó Ð % F## œ Ð  "Ñ## ./>Ð à POR FILA 4 Ó " % & ! Ï! " # 'Ò ! $Ñ ! #Ñ Î" # $Ñ Î" Î" ! #  #./> % " #  './> % " ! œ Ð  "Ñ./> % Ï" Ï" % !Ò Ï" % & !Ò & Ò POR FILA 3 POR FILA 1 POR FILA 1 # $ " $ " # % " œ  ./>Œ  &./>Œ  #./>Œ  './>Œ ! # % # % ! " % " ! % "  './>Œ  "#./>Œ  % & " % œ %  &Ð  "!Ñ  #Ð)Ñ  'Ð  "(Ñ  'Ð&Ñ  "#Ð  "(Ñ œ #(%

(1.5) CÁLCULO DEL DETERMINANTE POR EXPANSIÓN DE COFACTORES El cálculo del determinante; se puede desarrollar a partir de cualquier fila o cualquier columna por expansión de cofactores: a)

Si tomamos cualquier FILA 3 , el cálculo está dado por: 8 8 k E k œ ./>ÐEÑ œ ! +3 4 E3 4 œ ! +3 4 Ð  "Ñ34 ./>ÐQ3 4 Ñ œ ! Ð  "Ñ34 +3 4 ./>ÐQ3 4 Ñ 4œ"

4œ"

8

3 es fijo .

4œ"

(1.5.1) EJEMPLO: POR FILA 4 ! # $Ñ Î" % % " ! #Ó Ð % ./>Ð œ ! +% 4 E% 4 œ ! Ð  "Ñ%4 +% 4 ./>ÐQ% 4 Ñ Ó " % & ! 4œ" 4œ" Ï! " # 'Ò ! $Ñ ! #Ñ Î" # $Ñ Î" Î" ! #  #./> % " #  './> % " ! œ  ./> % Ï" Ï" % !Ò Ï" % & !Ò & Ò POR FILA 3 POR FILA 1 POR FILA 1 # $ " $ " # % " œ  ./>Œ  &./>Œ  #./>Œ  './>Œ ! # % # % ! " % " ! % "  './>Œ  "#./>Œ  % & " % œ %  &Ð  "!Ñ  #Ð)Ñ  'Ð  "(Ñ  'Ð&Ñ  "#Ð  "(Ñ œ #(% FACULTAD DE CS. NATURALES, MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PROYECTO DE FACULTAD "ÁLGEBRA LINEAL: una propuesta metodológica de aprendizaje autónomo en página web"

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b)

Si tomamos cualquier COLUMNA 4 , el cálculo está dado por: 8 8 k E k œ ./>ÐEÑ œ ! +3 4 E3 4 œ ! +3 4 Ð  "Ñ34 ./>ÐQ3 4 Ñ œ ! Ð  "Ñ 8

3œ"

3œ"

34

3œ"

+3 4 ./>ÐQ3 4 Ñ

4 es fijo .

(1.5.2) EJEMPLO: POR COLUMNA 1 ! #Ñ Î" " % % # $ Ó Ð ! " ./>Ð œ ! +3 " E3 " œ ! Ð  "Ñ3" +3 " ./>ÐQ3 " Ñ Ó % # " ! 3œ" 3œ" Ï! " " # Ò # $Ñ ! #Ñ Î " Î " " !  Ð%Ñ./>  " # $ œ Ð"Ñ./>  # Ï " Ï " " #Ò " # Ò POR FILA 2 POR COLUMNA 2 # $ " $ " # " # œ #./>Œ  ./>Œ  )./>Œ  %./>Œ " # " # " #  " $  œ #Ð(Ñ  Ð  &Ñ  )Ð!Ñ  %Ð  &Ñ œ  ""

(1.6) OBSERVACIÓN: a) Para realizar el cálculo por expansión de cofactores, se recomienda tomar la fila o columna que tenga la mayor cantidad de ceros, si se realiza por este procedimiento. (1.6.1) EJEMPLO: Î" Ð ! ./>Ð % Ï! b)

" " # "

! # " "

#Ñ $ Ó à se recomienda POR COLUMNA 1 Ó ! # Ò

Si E − `8 B 8 БÑ. Entonces el ./> E œ ./> E> .

(1.6.2) EJEMPLO: # ./>Œ "

$ # œ ./>Œ  # "

$ # œ ./>Œ  # $ >

" œ( # 

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c) Si E − `8 B 8 БÑ; matriz cuadrada tal que es triangular superior o triangular inferior o diagonal. Entonces el ./> E es igual al producto de los elementos de la diagonal; es decir: ./> E œ # +33 8

3œ"

(1.6.3) EJEMPLO: TRIANGULAR SUPERIOR 3 Ñ Î" # ./> !  % "  3 œ Ð"ÑÐ  %ÑÐ!Ñ œ ! Ï! ! ! Ò (1.6.4) EJEMPLO: TRIANGULAR INFERIOR ! !Ñ Î " ./>  #  % ! œ Ð"ÑÐ  %ÑÐ3Ñ œ  % 3 Ï 3 "3 3Ò (1.6.5) EJEMPLO: DIAGONAL ! Î" ./> !  % Ï! !

! Ñ ! œ Ð"ÑÐ  %ÑÐ"  3Ñ œ  %  % 3 Ò "3

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TEMA 2: PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES OBJETIVO OPERACIONAL: Calcular el determinante por aplicación de operaciones elementales en la matriz y propiedades. (2.1) TEOREMA: Si E ß F − `8 B 8 БÑÞ Entonces ./>ÐE FÑ œ Ð./> EÑÐ./> FÑ Þ (2.1.1) EJEMPLO: Î " ./>–  # Ï "

$ ÑÎ ! ! #3 Ñ ! $3 3 ! —œ Ò Ï # !  #3 %3 Ò # $Ñ Î " Î! " ! —–./> $3 œ –./>  # Ï " Ï! " #Ò (2.1.2) EJEMPLO: VERIFIQUE (2.1.1) # " "

! 3  #3

#3 Ñ ! — %3 Ò

(2.2) PROPIEDADES: Sea E − `8 B 8 БÑ. a)

Si E tiene una fila o columna con solamente ceros. Entonces ./> E œ ! (2.2.1) EJEMPLO: # !Ñ Î " # $Ñ Î " " ! œ! ./>  # " ! œ ! à ./>  # Ï ! Ò Ï ! ! " " !Ò b) Si E tiene dos filas o dos columnas iguales. Entonces ./> E œ ! . (2.2.2) EJEMPLO: Î " # $Ñ Î " " $Ñ ./>  # " ! œ ! à ./>  #  # ! œ ! Ï " # $Ò Ï " " $Ò c) Si E tiene una fila que es múltiplo de otra fila; o una columna que es múltiplo de otra columna. Entonces ./> E œ ! . (2.2.3) EJEMPLO: Î " # %Ñ ./>  # " # œ ! à COLUMNA 3 ES MÚLTIPLO DE COLUMNA 2 Ï " # %Ò $ Ñ Î " " ! ./>  #  # œ ! ; FILA 3 ES MÚLTIPLO DE FILA 1 Ï $ Ò $ * FACULTAD DE CS. NATURALES, MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PROYECTO DE FACULTAD "ÁLGEBRA LINEAL: una propuesta metodológica de aprendizaje autónomo en página web"

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(2.3) Si E − `8 B 8 БÑ; tal que expresamos E en términos de sus filas o columnas de la manera siguiente: Ô J" × Ö J# Ù Ö Ù Ö ÞÞÞ Ù Ö Ù Ö J3 Ù EœÖ Ù o bien E œ c G" Ö ÞÞÞ Ù Ö Ù Ö J5 Ù Ö Ù ÞÞÞ Õ J8 Ø

G#

ÞÞÞ

G4

ÞÞÞ

G6

G 8 d;

ÞÞÞ

donde J3 Ð3 œ "ß #ß ÞÞÞ ß 8Ñ son las respectivas filas de la matriz E; y análogamente G4 Ð4 œ "ß #ß ÞÞÞ ß 8Ñ son las respectivas columnas de la matriz E . Entonces: Ô J" × Ô J" × Ö J# Ù Ö J# Ù Ö Ù Ö Ù Ö ÞÞÞ Ù Ö ÞÞÞ Ù Ö Ù Ö Ù Ö J3 Ù Ö J5 Ù a) ./> Ö Ù œ  ./> Ö Ù; Ö ÞÞÞ Ù Ö ÞÞÞ Ù Ö Ù Ö Ù Ö J5 Ù Ö J3 Ù Ö Ù Ö Ù ÞÞÞ ÞÞÞ Õ J8 Ø Õ J8 Ø es decir; Si se hace un intercambio de fila (o columna). Entonces cambia el signo del determinante.

(2.3.1) EJEMPLO: Î " ./>  # Ï " Î$ Ð ! ./>Ð % Ï!

# # "

" " # "

$Ñ Î " ! œ  ./>  # Ï " $Ò

! # " "

#Ñ Î $ Ó Ð œ  ./>Ð Ó ! Ï # Ò

" # #

$Ñ ! à $Ò

" " # "

$ ! % !

! # " "

Ð J"$ Ñ #Ñ $ Ó à Ð G"# Ñ Ó ! # Ò

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Ô J" × Ô J" × Ô J" × Ö J# Ù Ö J# Ù Ö J# Ù Ö Ù Ö Ù Ö Ù Ö ÞÞÞ Ù Ö ÞÞÞ Ù Ö ÞÞÞ Ù Ö Ù Ö Ù Ö ‡Ù Ö J3 Ù Ö - J3‡ Ù ÖJ Ù b) ./> Ö Ù œ ./> Ö Ù œ - ./> Ö 3 Ù ; con - Á ! ; Ö ÞÞÞ Ù Ö ÞÞÞ Ù Ö ÞÞÞ Ù Ö Ù Ö Ù Ö Ù Ö J5 Ù Ö J5 Ù Ö J5 Ù Ö Ù Ö Ù Ö Ù ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ Õ J8 Ø Õ J8 Ø Õ J8 Ø es decir: Si la fila 3  /=37+ (o la columna 4  /=37+) tiene un factor común - , el determinante se multiplica por la constante - y se divide la respectiva fila (o columna) por dicha constante - Þ (2.3.2) EJEMPLO: Î " ./>  # Ï "

Î$ Ð ! ./>Ð % Ï!

c)

# # "

" " # "

*Ñ ' $Ò

! # # "

* Ñ Î " # " " $ Ï " " $ Ò $ Ñ Î " # " " " œ Ð  #ÑÐ$Ñ./> Ï " " " Ò œ Ð  #Ñ./>

' Ñ Î$ ' Ó Ð ! œ Ð#Ñ./>Ð Ó ! # Ò Ï "# !

" ! ' Ñ " # ' Ó Ó " " ! "  " "# Ò " ! "Ñ Î$ # "Ó Ð ! " œ Ð#ÑÐ'Ñ./>Ð Ó # " " ! Ï! " " #Ò

J" Ô J" × Ô × Ö J# Ù Ö J# Ù Ö Ù Ö Ù ÞÞÞ Ö ÞÞÞ Ù Ö Ù Ö Ù Ö Ù Ö J3 Ù Ö J 3  ! J5 Ù ./> Ö Ù œ ./> Ö Ù; ÞÞÞ Ö ÞÞÞ Ù Ö Ù Ö Ù Ö Ù J5 Ö J5 Ù Ö Ù Ö Ù Ö Ù ÞÞÞ ÞÞÞ Õ J8 Ø Õ Ø J8

es decir: Si aplicamos la operación elemental de sumar a una fila (o sumar a una columna) ! veces otra fila (u otra columna); el resultado del determinante no cambia.

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(2.3.3) EJEMPLO: # " Ñ # " Ñ Î " Î " # ! ' ! ./>  #  # œ ./> ; J#  Ð  #ÑJ" Ï " Ò Ï Ò " $ " " $ " ! ' Ñ " # ' Ñ Î$ Î$ # ' Ó Ð ! " ! ' Ó Ð ! " ./>Ð œ ./>Ð à G$  # G# Ó Ó % # # ! % # # ! Ï! Ï! "  " "# Ò " " "# Ò J" Ô J" × Ô J" × Ô × Ô J" × Ö J# Ù Ö J# Ù Ö J# Ù Ö J# Ù Ö Ù Ö Ù Ö Ù Ö Ù ÞÞÞ Ö ÞÞÞ Ù Ö Ù Ö ÞÞÞ Ù Ö ÞÞÞ Ù Ö Ù Ö Ù Ö ‡ Ù Ö Ù Ö J3 Ù Ö J3  J3‡‡ Ù Ö J3‡ Ù Ö J3‡‡ Ù d) ./> Ö Ù; es decir; Ù œ ./> Ö Ù œ ./> Ö Ù  ./> Ö ÞÞÞ Ö ÞÞÞ Ù Ö ÞÞÞ Ù Ö Ù Ö ÞÞÞ Ù Ö Ù Ö Ù Ö Ù Ö Ù J5 Ö J5 Ù Ö J5 Ù Ö Ù Ö J5 Ù Ù Ö Ù Ö Ù Ö Ù Ö ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ Õ J8 Ø Õ J8 Ø Õ Ø Õ J8 Ø J8 si una fila (o columna) se expresa como la suma de dos filas o vectores; el determinante se expresa como una suma de dos determinantes, donde todas las restantes filas (o columnas) se mantienen iguales. (2.3.4) EJEMPLO: " Ñ " Ñ " Î " "" Î " " Î " # # ./>  # "  $ œ ./>  # "  ./>  #  $ Ï " Ï " Ï " "! $Ò " $Ò ! " ! # Ñ Î $ ! " # " Ó Ð ./>Ð œ Ó $" "# #" !' Ï ! " " " Ò " ! #Ñ " ! # Ñ Î$ Î$ # "Ó Ð ! " # " Ó Ð ! " œ ./>Ð  ./>Ð Ó Ó $ " # ! " # " ' Ï! Ï! " " "Ò " " " Ò

" Ñ # $Ò

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(2.4) EJERCICIO: (2.4.1) a) Calcule el siguiente determinante y escriba el polinomio resultante en potencias decrecientes de la variable -. â â $ ' â â #â â % ") â â â â ! -â â # SOLUCIÓN: 1º)

Desarrollar por fila 3: $ ' #œ  #./>Œ  -./>Œ  "- ) %

$ "-

œ  #Ð#%  '  '-Ñ  -Ð  #  -  -#  "#Ñ œ  -$  -#  #-  $' 2º)

Expresado en potencias decrecientes de -: :Ð-Ñ œ  -$  -#  #-  $'

b)

Encuentre el polinomio

:ÐBÑ œ ./>

factorícelo completamente. SOLUCIÓN:

Ô"B $ Õ #

" #B "

% × " y Ø "B

" % Ô"B × $ #B " ; (por columna 2) Õ # Ø " "B $ " "B % "B œ ./>”  Ð#  BÑ./>”  ./>” # " B• # " B• $

1°)

./>

% "•

œ Ð  "  $BÑ  Ð#  BÑÐB#  *Ñ  ÐB  "$Ñ :ÐBÑ œ  B$  #B#  &B  ' 2°)

Notar que B œ " es una raíz o cero de :ÐBÑ Þ Luego es divisible por B  " . En efecto: :ÐBÑ œ ÐB  "ÑÐ  B#  B  'Ñ œ  ÐB  "ÑÐB  $ÑÐB  #Ñ

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â â â â (2.4.2) Calcule el siguiente determinante: â â â â

â (â â %â â &â â !â

PÁG. 74

# " $ %

! # ! #

! " " $

SOLUCIÓN: (DOS FORMAS) a)

POR DESARROLLO DE COFACTORES O POR MENORES: (por fila 1 que tiene más ceros) â â ! (â â # ! â â # " %â â " â â œ Ð  "Ñ"" +"" ./>Q""  Ð  "Ñ"% +"% ./>Q"% ! " &â â $ â â # $ !â â % Î# " %Ñ Î" # "Ñ œ Ð  #Ñ./> !  " &  (./> $ !  " Ï# Ï% # $ !Ò $ Ò (por columna 1) (por fila 2) " & " % ‘ œ Ð  #Ñ # ./>Œ  # ./>Œ  $ ! " & # " " # ‘  (   $ ./>Œ  ./>Œ  # $ % #

œ Ð  #Ñ  $!  # ‘  (   #%  ' ‘ œ '%  #"! œ #(% O BIÉN: b) â â â â â â â â

POR APLICACIÓN DE OPERACIONES ELEMENTALES:

â â â â â ! ! (â " " %â " " %â â " â" â â â â â # " %â ! (â ! (â â # ! â! # â œ  #â â œ #â â ! " &â ! " &â $ " &â â $ â! â â â â â # $ !â " $ !â % $ !â â % â" " G# à J"# G"# J%  Ð  "ÑJ" â # â " " % â â" â â â â ! ( â # ( â â â â # â ! ! ( â â! # â â â â " & â œ #â " $ & â œ #â â œ #â $ $ " & â â! â â â â % %â $ %â â â â $ â % ! $ %  % â â (por columna 1) Ð  "ÑG# à G"# J"# â â â â $ & â $ & â â " â" # ( â â â â # ( â œ  #â !  # ( â œ  #º œ  #â ! œ #(% "& "' º â â â â  % $  % ! "& "' â â â â J$  %J" (por columna 1) # " $ %

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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA FACULTAD DE CS. NAT., MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA SEMANA N° 02: (02 HORAS EJERCICIO) GUÍA DE ESTUDIO N° 2 Dadas las matrices en `8 B 8 À  3 #3 Ñ # Î 3 Î! &3 ! E œ $3 %3 à Fœ $ Ï! Ï( ' 3 3Ò 1.

Î" Hœ " Ï!

# " "

$Ñ # ; #Ò

3 IœŒ "

"Ñ Î! & à G œ $3 Ï! !Ò

Î =/8 @ # -9= @ à J œ 3 Ï !

! 3  #3

#3 Ñ ! à %3 Ò

-9= @ !Ñ  =/8 @ ! ! "Ò

(1.1) Determine el rango en cada caso; y decida si son invertibles. (1.2) Encuentre la matriz inversa cuando corresponda. (1.3) Verifique la propiedad Q Q " œ Q " Q œ M$ 2.

Dadas las matrices en `7 B 8 À  " $3 Ñ Î 3 Î ! #3  #3 ! ! Eœ Fœ Ï  %3  & (3 Ò Ï "

# " !

"Ñ ! ! Ò

(2.1) Determine el rango en cada caso; y decida si son invertibles. (2.2) Encuentre la matriz inversa cuando corresponda. (2.3) Verifique la propiedad ÐE FÑ" œ F " E"

3.

Sean Eß Fß G matrices invertibles. Dadas las siguientes proposiciones, determine si son verdaderas o falsas: a) De ser falsas, dé un contraejemplo b) De ser verdadera, DEMUÉSTRELA. (3.1) ÐE" Ñ" œ E (3.3) ÐFG " Ñ" œ G F "

(3.2) ÐEFÑ" œ E" F " (3.4) ÐE" F > Ñ" œ ÐF > Ñ" E>

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4.

Dada la matriz E œ Œ

+ -

PÁG. 76

, Þ .

Demuestre que: Si E œ „ M# 9 Ð+ œ  . C ,- œ "  +# Ñ. Entonces E es su misma inversa.

5.

Demuestre las siguientes proposiciones:

(5.1) Si E − `8 B 8 Þ Entonces "# ÐE  E> Ñ es simétrica. Además aplique (5.1) para la matriz:

a)

Î ! " Eœ Ï !

#Ñ $ "Ò

" " #

G œŒ

b)

! "3

"3 !

(5.2) Si E − `8 B 8 Þ Entonces "# ÐE  E> Ñ es antisimétrica. Además aplique (5.2) para la matriz:

a)

Î ! " Eœ Ï !

#Ñ $ "Ò

" " #

(5.3) Demuestre que: Entonces a) b)

6.

G œŒ

b)

! "3

"3 !

Si E − `8 B 8 es simétrica. E  E> es simétrica. E> E es simétrica.

Dadas las matrices

Eœ

Î" $ Ï!

" % "

Î

3 #3 Hœ Ï  %3

# Ñ Î! & àF œ $ Ï( "Ò "  #3 &

# ! '

$3 Ñ Î! ! à I œ $3 Ï! (3 Ò

"Ñ Î! & àGœ $ Ï! !Ò ! 3  #3

! " #

# Ñ ! à Ò %

#3 Ñ ! Þ %3 Ò

Calcule si existe lo indicado: (6.1) ( E>  ÐF "  #H> Ñ

(6.2) H"  I "

(6.3) ÐG IÑ"

(6.4) E>  ÐF > H" Ñ

(6.5) ÐH" I " Ñ>

(6.6) F " G "

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7. Caracterizar si corresponde; las siguientes matrices como un producto de matrices elementales. # " "3 ! (7.1) E œ Œ à (7.2) F œ Œ à  " $ ! "3 " Ñ #3  %3 Ñ Î! ! Î ! ! $3 3 ! (7.3) G œ " " (7.4) H œ Ï! " "Ò Ï  $3 $3  )3 Ò 8.

Calcule los siguientes determinantes:

(8.1) ./> Œ

" $

# "

Î' (8.4) ./> ! Ï" "

â â! â (8.7) â $ â â!

&

! " #

â â â (8.10) â $ â â !

â â! â â, (8.13) â â! â â!

+ ! ! !

(8.2) ./> Œ

$

" '

â â" â ! (8.5) â $ â $ Ò â! & # $

" " &

â #â â !â â %â

! "#

! ! ! .

â !â â !â â -â â !â

Î8 Ð 8 Ð Ð 8 Ð (8.16) E8 œ ./>Ð ÞÞÞ Ð Ð ÞÞÞ Ð ÞÞÞ Ï8

Ñ

! "3

"3 !

>

â â # â (8.8) â % â â !

" % "

â â â# # â â â â! ! â (8.11) â â â! %-â â â" â â+ â â(8.14) â â! â â!

" # " ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ "

" " $ ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ "

" " " ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ "

, . ! !

$ ' # ! " ! # ! ! + -

â # â â & â â "â

â "â â &â â "â $ % " $

â "â â #â â &â â !â

â ! â â ! â â ,â â . â

Î$ "

#

(8.3) ./> â â! â (8.6) â $ â â(

Ï! " %

â â& â (8.9) â $ â â ( â â â â (8.12) â â â â

ÞÞÞ ÞÞÞ " Ñ ÞÞÞ ÞÞÞ " Ó Ó ÞÞÞ ÞÞÞ " Ó Ó ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ Ó Ó ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ Ó Ó ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ 8 Ò

!

# ! '

# " $ %

â â+ â â! â (8.15) â ! â â! â â!

" $ " #

! ! ! ! /

" $ " %

! , ! ! !

"

"Ò

â "â â &â â !â

# ' ! # ! #

Ñ

â " â â & â â -â

! " " $ ! ! ! . !

â (â â %â â &â â !â

â !â â !â â -â â !â â !â

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9.

Para las matrices E œ Ð+34 Ñ − `8 B 8 dadas. Determine los menores y cofactores indicados: Î$ "

(9.1) E œ

Ï! " %

" $ " #

!

" $ " %

Ñ

"Ò

ß

Q## à E"#

Î" (9.2) E œ $ Ï!

" % "

# Ñ & ß "Ò

Q$# à E##

Î! Ð , (9.3) E œ Ð ! Ï!

+ ! ! !

! ! ! .

!Ñ !Ó ß Ó !Ò

Q%$ à Q#$ à E$% à E""

! # ! #

! " " $

Î # Ð " (9.4) E œ Ð $ Ï %

10.

(Ñ %Ó ß Q%$ à Q#$ à E$% à E"" Ó & !Ò

â â" â â" Resuelva la ecuación â â$ â â$

" B B# #B  "

" B# #B  " B#  #B

â " â â B$ â âœ! $B â â $B# â

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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA FACULTAD DE CS. NAT., MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA SEMANA N° 02: (02 HORAS EJERCICIO) TALLER N° 2 (LOS CÁLCULOS QUE CORRESPONDAN CON DOS DECIMALES BIEN APROXIMADOS. USE BIEN LA CALCULADORA!!) 1.

Dadas las matrices en `8 B 8 Б ó ‚Ñ À " #Ñ Î ! Î 3 #3 $3 Ñ " " $ à 3 3 #3 à Eœ Fœ Ï ! Ò Ï # " ! 3 #3 Ò 3 ! Ñ Î " "3 !  3 ! " G œŒ à Hœ ! "3 Ï ! "3 "3Ò

(1.1) Determine el rango en cada caso; y de acuerdo a este decida si son invertibles. (1.2) Encuentre la matriz inversa cuando corresponda. (1.3) Verifique la propiedad Q Q " œ Q " Q œ M$ 2.

Dadas las matrices en `7 B 8 Ð‘Ñ À Î$ "

Eœ

Ï! " %

" $ " #

!

" $ " %

Ñ

"Ò

Î' Fœ ! Ï" "

&

" '

# $

"

!

" &

$ &

Ñ Ò

(2.1) Determine el rango en cada caso; y de acuerdo a este decida si son invertibles. (2.2) Encuentre la matriz inversa cuando corresponda. (2.3) Verifique la propiedad ÐE FÑ" œ F " E"

3.

Sean Eß Fß G matrices invertibles. Dada la siguiente proposicón, determine si es verdadera o falsa: a) De ser falsa, dé un contraejemplo b) De ser verdadera, DEMUÉSTRELA. (3.1) ÐE F G Ñ" œ G " F " E"

(3.2) ÐÐEFÑ" Ñ> œ ÐE> Ñ" ÐF > Ñ"

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M E Calcule la inversa de la matriz Œ 8 donde E − `8 B 8 БÑ, M 8 ! M8  es la matriz identidad, ! − `8 B 8 Ð‘Ñ es la matriz nula o cero. 4.

5. (5.1) Demuestre que: Toda matriz E − `8 B 8 se puede caracterizar como la suma de dos matrices F C G , donde F es simétrica y G es antisimétrica. (5.2) Aplique (5.1) Î a) Eœ Ï

para la matriz: ! " #Ñ " " $ ! # "Ò

(5.3) Demuestre que: Si Eß F − `8 B 8 son simétricas. Entonces a) ÐEFÑ> œ FE

6.

b)

G œŒ

b)

EE> es simétrica.

"3 !

Dadas las matrices # Ñ # "Ñ Î" " Î! Î! % & ! & àGœ $ Eœ $ àF œ $ Ï! Ò Ï Ï! " " ( ' !Ò  " $3 Ñ ! #3 Ñ Î 3 Î! #3  #3 ! à I œ $3 3 ! Þ Hœ Ï  %3  & (3 Ò Ï !  #3 %3 Ò

! "3

# Ñ ! à Ò %

! " #

Calcule si existe lo indicado: E"  ÐF >  #HÑI "  F "  #G >

7.

TEOREMA: E es un producto de matrices elementales si y solo si E es invertible.

Caracterizar si corresponde; las siguientes matrices como un producto de matrices elementales. (7.1) E œ Œ

$ %

% à (

(7.2) F œ

Î

" ! Ï" 3

! ! !

3 Ñ "3 " Ò

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Calcule los siguientes determinaantes: â # % Ñ â #Î $â " "# % (8.1) ./> (8.2) â â Ï " Ò % â #

PÁG. 81

8.

â â# â â! (8.3) â â$ â â%

$ # ( "

" ! " $

â %â â !â â #â â )â

Î B"  C " Ð B#  C " Ð Ð B$  C " Ð ÞÞÞ (8.5) E8 œ ./>Ð Ð ÞÞÞ Ð Ð ÞÞÞ Ï B8  C "

9.

â â â â (8.4) â â â â

B"  C # B#  C # B$  C # ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ B8  C #

B"  C $ B#  C $ B$  C $ ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ B8  C $

" $ # %

" % & !

ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ

$ "! " ' " $

â !â â !â â $â â !â

â ' â â ) â â -â

B"  C 8 Ñ B#  C 8 Ó Ó B$  C 8 Ó Ó ÞÞÞ Ó Ó ÞÞÞ Ó Ó ÞÞÞ B8  C 8 Ò

Para las matrices E œ Ð+34 Ñ − `8 B 8 dadas. Determine los menores y cofactores indicados:

Î' (9.1) ! Ï"

" '

# $

"

!

" &

$ &

Ò

Î+ Ð ! Ð (9.2)Ð ! Ð ! Ï!

! ! ! ! /

! , ! ! !

! ! ! . !

"

&

Ñ

Q$" à E#" !Ñ !Ó Ó -Ó Q#$ à Q%% à E$& à E&# Ó ! !Ò

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PRUEBA DE AUTOEVALUACIÓN N° 2:

PROBLEMA 1:

TALLER N° 2: RESPUESTA:

1. D

(1.1) VER KSÐHÑ œ $Þ Por lo tanto es de rango completo, es decir es invertible (notar que H se reduce a la matriz identidad M$ )

3 ! " ! !Ñ Î " 3 ! " ! " ! (1.2) La matriz se reduce por filas a Ï ! "  3 "  3 ! ! "Ò Î" ! ! Ð ! " ! Ï! ! "

(1.3) HH" œ M$ PROBLEMA 2:

" #

 "# 3  "#  "# 3  "#  "# 3

" #

 "# 3  "#  "# 3 " " #  #3

 "# 3 Ñ " Ó # " #

Ò

H" H œ M$ TALLER N° 2: RESPUESTA:

(3.2)

3Ñ

PREVIO: Probar que ÐE> Ñ" œ ÐE" Ñ> Þ En efecto; notar que: ÐE> ÑÐE> Ñ" œ ÐE> ÑÐE" Ñ> œ ÐE" EÑ> œ M > œ M Þ Por lo tanto: ÐE> Ñ" œ ÐE" Ñ> .

33Ñ

ÐÐEFÑ" Ñ> œ ÐF " E" Ñ> œ ÐE" Ñ> ÐÐF " Ñ> œ ÐE> Ñ" ÐF > Ñ"

PROBLEMA 3: (3.1)

3Ñ

TALLER N° 2: RESPUESTA:

(5.1)

PREVIO: Probar que "# ÐE  E> Ñ ES SIMÈTRICAÞ En efecto; notar que: Ð "# ÐE  E> Ñ Ñ> œ "# ÐE  E> Ñ > œ "# ÐE>  ÐE> Ñ> Ñ œ "# ÐE>  EÑ œ "# ÐE  E> Ñ

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CURSO DE ÁLGEBRA LINEAL PARA PÁGINA WEB UTEM. PROFESOR RESPONSABLE: CARLOS A. SEPÚLVEDA BUSTAMANTE PÁG. 83 " # ÐE

>

Probar que  E Ñ ES ANTISIMÈTRICAÞ " En efecto; notar que: Ð # ÐE  E> Ñ Ñ> œ "# ÐE  E> Ñ > œ "# ÐE>  ÐE> Ñ> Ñ œ "# ÐE>  EÑ œ  "# ÐE  E> Ñ Por lo tantoà toda matriz E se puede escribir como: E œ "# ÐE  E> Ñ  "# ÐE  E> Ñ donde el primer sumando es SIMÉTRICO y el segundo sumando es ANTISIMÉTRICO. 33Ñ

(3.2)

3Ñ

TALLER N° 2: RESPUESTA: " # ÐG

 G > Ñ œ "# Œ

#  #3 !

!  G > Ñ œ "# Œ !

33Ñ

" # ÐG

333Ñ

Por lo tanto:

PROBLEMA 4: (4.1)

PROBLEMA 5: (5.1)

(5.2)

! #  #3 

! ! G œ "# Œ

TALLER N° 2: RESPUESTA:

$ EœŒ ! (4.2)

(5.2) b)

#  #3 !

! ! " #  #3  # Œ !

! !

(7.1)

! " Œ " %

" ! Œ " !

" Œ & ! $

!

% $

"



TALLER N° 2: RESPUESTA:

(7.2) F no es matriz invertible, por lo tanto no se puede expresar como un producto de matrices elementales.

TALLER N° 2: RESPUESTA:

(8.1)

TALLER N° 2: RESPUESTA:

 -$  %-#  $-  $# (8.3)

)!

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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA FACULTAD CS. NAT., MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA MARTES 10 DE ABRIL DE 2007: 12:45-14:05 CONTROL N° 1: ÁLGEBRA LINEAL (MAT-605) NOMBRE_______________________________SECCIÓN__11__ PROFESOR__CARLOS SEPÚLVEDA BUSTAMANTE__ (3.1)

(3.2)

TOTAL

PUNTAJE PREGUNTA 3: (3.1) Demostrar que: Si E − `8 B 8 Þ Entonces ÐE> Ñ" œ ÐE" Ñ> Þ # Ñ Î"  " % & (3.2) Dada la matriz E œ $ à encuentre la matriz Ï! Ò " " inversa si correspondeà y verifique que E E" œ M$ Þ PONDERACIONES:

(3.1) = 07 (3.2) = 08 PUNTOS. TIEMPO: 20 minutos.

JUSTIFIQUE DETALLADAMENTE EL DESARROLLO ANALÍTICO DE CADA UNA DE SUS RESPUESTAS!!

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PAUTA CONTROL N° 1: ÁLGEBRA LINEAL (MAT-605) SECCIÓN__11__ PREGUNTA 3: (3.1) DEMOSTRACIÓN: 1°) Se debe verificar que: 2°)

"

En efecto:

E> ÐE> Ñ" œ ÐE> Ñ" E> œ M8 Þ

"

"

E> ÐE> Ñ" œ E> ÐE" Ñ> œ E" E‘ œ M8 ‘ œ M8 > > ÐE> Ñ" E> œ ÐE" Ñ> E> œ E E" ‘ œ M8 ‘ œ M8 >

3°)

>

2°) E

"

! " !

" " "

" !  "#

E es invertible: !Ñ # " ! Î" " ! Ä ! ( " $ " Ï! "Ò " " ! ! ! !Ñ " " ! Î" ! ! " Ä ! " " ! ! Ò Ï " ! ! ! ' $ " $  "' ! " Ñ Î" ! ! # " ! " Ä Ð ! " !  "# ' " ( Ò " "  Ï ! ! " # ' ' '

Por lo tanto; la inversa es: $ "$  "' Î # ' Ñ Î * " " " " 'Ó $ œÐ # œ ' ' Ï " " ( $ Ï  Ò #

3°)

Verificación:

EE

"

"

ÐE> Ñ" œ ÐE" Ñ> Þ

Por lo tanto

(3.2) 1°) Supongamos que # " ! Î" " $ % & ! " Ï! " " ! ! # " Î" " ! " " ! Ï! ( " $ Î" ! Ï!

#

'

Î" œ $ Ï! Î' " œ ' ! Ï!

'

" " "

" # Ñ Î * " " % & $ " ' Ò Ï " " $ " ! !Ñ Î" ! !Ñ ' ! œ ! " ! ! 'Ò Ï! ! "Ò

"$ Ñ "  (Ò "$ Ñ "  (Ò

"

!Ñ ! "Ò " Ñ " (Ò

Ñ  Ó  Ò "$ '

" ' ( '

%

#

" "

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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA FACULTAD CS. NAT., MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA MARTES 10 DE ABRIL DE 2007: 11:15 - 12:35 CONTROL N° 1: ÁLGEBRA LINEAL (MAT-605) NOMBRE_______________________________SECCIÓN__12__ PROFESOR__CARLOS SEPÚLVEDA BUSTAMANTE__ (3.1)

(3.2)

TOTAL

PUNTAJE PREGUNTA 3: (3.1) Demuestre que: Si E − `8 B 8 Þ Entonces

" # ÐE

 E> Ñ

es antisimétrica.

" $ Ñ Î " # # ! (3.2) Dada la matriz Eœ à encuentre la Ï % Ò & ( matriz inversa si correspondeà y verifique que E E" œ M$ Þ PONDERACIONES:

(3.1) = 07 (3.2) = 08 PUNTOS. TIEMPO: 20 minutos.

JUSTIFIQUE DETALLADAMENTE EL DESARROLLO ANALÍTICO DE CADA UNA DE SUS RESPUESTAS!!

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PAUTA CONTROL N° 1: ÁLGEBRA LINEAL (MAT-605) SECCIÓN__12__ PREGUNTA 3: (3.1) DEMOSTRACIÓN: Si E − `8 B 8 Þ Entonces "# ÐE  E> Ñ es antisimétrica. > 1°) Se debe verificar que: "# ÐE  E> Ñ œ   "# ÐE  E> Ñ ‘

#

En efecto: " " >   "# ÐE  E> Ñ ‘ œ  "# E>  ÐE> Ñ> ‘ œ  "# E>  E ‘

2°)

"

3°)

œ  "#   ÐE  E> Ñ ‘ œ "# ÐE  E> Ñ > Por lo tanto "# ÐE  E> Ñ œ   "# ÐE  E> Ñ ‘ Þ " (o "# ÐE  E> Ñ es antisimétrica)

(3.2) SOLUCIÓN: 1°) Supongamos que " $ " Î " # # ! ! Ï % & ( ! Î" ! Ï!

"

! " !

) & '

& % #

! ! "

E ! " !

es invertible: !Ñ $ " ! !Ñ Î" " ! Ä ! ! ' # " ! Ò Ï " ! " & % ! "Ò ( % "Ñ "Ñ Î" ! ! $ $ & " Ä Ð ! " ! ($ "Ó ' !Ò Ï! ! " "  " !Ò $ '

%

2°) E

"

Por lo tanto; la inversa es: ( % "Ñ Î$ $ Î "% " ( & Ð Ó œ " œ ' "% $ ' Ï # Ï "  " !Ò $

3°)

'

Verificación:

EE

"

Î " # œ Ï % Î' ! " œ ' ! ' Ï! !

) 'Ñ & '  " !Ò

" $ Ñ Î "% ) 'Ñ " # ! "% & ' " ' &  (Ò Ï #  " !Ò !Ñ Î" ! !Ñ ! œ ! " ! 'Ò Ï! ! "Ò

#

"

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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA FACULTAD CS. NAT., MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA JUEVES 12 DE ABRIL DE 2007: 11:15 - 12:35 CONTROL N° 1: ÁLGEBRA LINEAL (MAT-605) NOMBRE_______________________________SECCIÓN__14__ PROFESOR__CARLOS SEPÚLVEDA BUSTAMANTE__ (3.1)

(3.2)

TOTAL

PUNTAJE PREGUNTA 3:

# " E œŒ y escriba si " $ corresponde; la matriz E como un producto de matrices elementales.

(3.1) Encuentre la matriz inversa de

(3.2) Demuestre que: Si Eß F − `8 B 8 son simétricas. Entonces PONDERACIONES:

ÐEFÑ> œ FE .

(3.1) = 08 (3.2) = 07 PUNTOS. TIEMPO: 20 minutos.

JUSTIFIQUE DETALLADAMENTE EL DESARROLLO ANALÍTICO DE CADA UNA DE SUS RESPUESTAS!!

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PAUTA CONTROL N° 1: ÁLGEBRA LINEAL (MAT-605) SECCIÓN__14__ PREGUNTA 3: (3.1) SOLUCIÓN: 1°) Determinar la inversa y las respectivas matrices elementales: # " " ! " $ ! " ! " Ê I" œ Œ Œ " $ ! " J"# Ä Œ # " " !  " ! " $ ! " " ! J#  Ð  #ÑJ" Ä Œ Ê I# œ Œ  ! & " # # " " $ ! " " ! Ð  "& ÑJ# Ä Œ Ê I$ œ Œ " #  ! " & & !  "&  " J"  Ð  $ÑJ# Ä  !

! "

$ &



 " &

# &

" &



" Ê I% œ Œ !

$ " 

$ " La inversa de E es: E" œ "& Œ ; % " #  y además: M# œ I% I$ I# I" E Ê E œ ÐI% I$ I# I" Ñ" 3°) Por lo tanto; la matriz E como producto de matrices elementales es: E œ I"" I#" I$" I%" donde: ! " " ! " ! ! " ! " I"" À Œ ÄŒ Ê I"" œ Œ   " ! ! " ! " " ! " ! " ! " ! " ! " ! " ! I#" À Œ ÄŒ Ê I#" œ Œ   # " ! " ! " # " # " " ! " ! " ! " ! " ! I$" À Œ ÄŒ Ê I$" œ Œ   " ! & ! " ! " ! & ! & " $ " ! " ! " $ " $ I%" À Œ ÄŒ Ê I%" œ Œ   ! " ! " ! " ! " ! " ! " " ! " ! " $ Luego: EœŒ % Œ Œ Œ " ! # " ! & ! " 2°)

(3.2) DEMOSTRACIÓN: 1°) HIPÓTESIS: E œ E> y F œ F > 2°)

Se debe DEMOSTRAR que: ÐEFÑ> œ FEÞ En efecto:

"

# "

"

ÐEFÑ> œ F > E> œ FE ; por la hipótesis " 3°)

Por lo tanto ÐEFÑ> œ FE

"

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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA FACULTAD CS. NAT., MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA JUEVES 12 DE ABRIL DE 2007: 12:45 - 14:05 CONTROL N° 1: ÁLGEBRA LINEAL (MAT-605) NOMBRE_______________________________SECCIÓN__13__ PROFESOR__ERICK GONZÁLEZ GAJARDO__ (3.1)

(3.2)

TOTAL

PUNTAJE PREGUNTA 3:

(3.1) Dada T œ Œ # #  . ! " Encuentre la matriz inversa de T producto de matrices elementales. "

"

y escríba

(3.2) Demuestre que: Si E − `8 B 8 es simétrica. Entonces PONDERACIONES:

T " como un

E> E es simétrica.

(3.1) = 08 (3.2) = 07 PUNTOS. TIEMPO: 20 minutos.

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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA FACULTAD CS. NAT., MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA MIÉRCOLES 11 DE ABRIL DE 2007: 15:45 - 17:05 CONTROL N° 1: ÁLGEBRA LINEAL (MAT-605) NOMBRE_______________________________SECCIÓN__21__ PROFESOR__RENÉ ALZAMORA ANTIQUERA__ (3.1)

(3.2)

TOTAL

PUNTAJE PREGUNTA 3: (3.1) Sean Eß F matrices invertibles. Dada la siguiente proposicón, determine si es verdadera o falsa: ÐÐEFÑ" Ñ> œ ÐE> Ñ" ÐF > Ñ" Î" # $Ñ (3.2) Dada la matriz E œ " " # à encuentre la matriz inversa Ï! " #Ò si corresponde y verifique que E E" œ M$ Þ PONDERACIONES:

(3.1) = 07 (3.2) = 08 PUNTOS. TIEMPO: 20 minutos.

JUSTIFIQUE DETALLADAMENTE EL DESARROLLO ANALÍTICO DE CADA UNA DE SUS RESPUESTAS!!

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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA FACULTAD CS. NAT., MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA MIÉRCOLES 11 DE ABRIL DE 2007: 14:15 - 15:35 CONTROL N° 1: ÁLGEBRA LINEAL (MAT-605) NOMBRE_______________________________SECCIÓN__22__ PROFESOR__RENÉ ALZAMORA ANTIQUERA__ (3.1)

TOTAL

(3.2)

PUNTAJE PREGUNTA 3:

(3.1) Encuentre la matriz inversa de E œ Œ

% ( y escriba si " % corresponde; la matriz E como un producto de matrices elementales. (3.2) Demuestre que: Si E − `8 B 8 Þ Entonces PONDERACIONES:

" # ÐE

 E> Ñ

es simétrica.

(3.1) = 08 (3.2) = 07 PUNTOS. TIEMPO: 20 minutos.

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SEMANA N° 03:

(04 HORAS CÁTEDRA)

UNIDAD I I : DETERMINANTES TEMA 3: DETERMINANTES, MATRIZ ADJUNTA E INVERSAS DE MATRICES OBJETIVO OPERACIONAL: Calcular la matriz de los cofactores asociada a una matriz. OBJETIVO OPERACIONAL: Calcular a partir de la matriz de cofactores, la matriz adjunta asociada. OBJETIVO OPERACIONAL: Calcular la matriz inversa, a partir del determinante y la matriz adjunta.

(3.1)

INTRODUCCIÓN: En este tema se trata de relacionar el cálculo de las matrices inversas, mediante el uso de determinantes.

(3.2) TEOREMA: E − `8 B 8 es invertible si y solo si ./> E Á ! . (3.3) TEOREMA: Si E − `8 B 8 invertible. Entonces ./> ÐE" Ñ œ

" ./> E

(3.4) DEFINICIÓN: Sea E œ Ð+3 4 Ñ − `8 B 8 БÑ. Se llama MATRIZ DE LOS COFACTORES DE LA MATRIZ E a una matriz F œ ÐE3 4 Ñ − `8 B 8 БÑ; donde E3 4 es el cofactor 34 de la matriz E que está dado por: E3 4 œ Ð  "Ñ34 ./>ÐQ3 4 Ñ à 3 ß 4 œ "ß #ß $ß ÞÞÞß 8 Þ

Es decir:

Ô E"" Ö E#" Ö Ö E$" Ö FœÖ Ö ÞÞÞ ÖE Ö 3" Ö ÞÞÞ

Õ E8 "

E"# E## E$# ÞÞÞ E3 # ÞÞÞ E8 #

E"$ E#$ E$$ ÞÞÞ E3 $ ÞÞÞ E8 $

ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ

E" 4 E# 4 E$ 4 ÞÞÞ E3 4 ÞÞÞ E8 4

ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ

E" 8 × E# 8 Ù Ù E$ 8 Ù Ù ÞÞÞ Ù Ù E3 8 Ù Ù ÞÞÞ Ù

E8 8 Ø

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(3.4.1) EJEMPLO: Encuentre la matriz de cofactores de E œ SOLUCIÓN: 1°) MATRIZ DE COFACTORES Ð E34 Ñ " $ E"" œ ./> Œ œ& E"# # " " " E"$ œ ./> Œ œ # E#" ! # ! # E## œ ./> Œ œ! E#$ ! " " # E$" œ ./> Œ œ " E$# " $ ! " E$$ œ ./> Œ œ "Þ " " 2°)

" " #

#Ñ $ "Ò

donde E34 œ Ð  "Ñ34 ./> Q34 " $ œ  ./> Œ œ " ! " " # œ  ./> Œ œ $ # " ! " œ  ./> Œ œ! ! # ! # œ  ./> Œ œ# " $

Por lo tanto; la matriz de cofactores es: " #Ñ Î & $ ! ! Fœ Ï " # " Ò

(3.4.2) EJEMPLO: Encuentre la matriz de cofactores de E œ SOLUCIÓN: 1º) MATRIZ DE COFACTORES Ð E34 Ñ # ! E"" œ ./> Œ œ! E"# & ! # # E"$ œ ./> Œ œ# E#" % &  " $ E## œ ./> Œ œ "# E#$ % ! " $ E$" œ ./> Œ œ' E$# # ! " " E$$ œ ./> Œ œ !Þ # # 2°)

Î ! " Ï !

Î " # Ï %

" # &

$Ñ ! !Ò

donde E34 œ Ð  "Ñ34 ./> Q34 # ! œ  ./> Œ œ! % ! " $ œ  ./> Œ œ "& & ! " " œ  ./> Œ œ " % &  " $ œ  ./> Œ œ' # !

Por lo tanto; la matriz de cofactores es: ! # Ñ Î ! F œ "& "#  " Ï ' ' ! Ò

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(3.4.3) EJEMPLO: Encuentre la matriz de cofactores de E œ

Î % # Ï #

!Ñ $ !Ò

& # #

SOLUCIÓN: 1º) MATRIZ DE COFACTORES Ð E34 Ñ donde E34 œ Ð  "Ñ34 ./> Q34 # $ # $ E"" œ ./> Œ œ' E"# œ  ./> Œ œ'  # ! # ! # # & ! E"$ œ ./> Œ œ! E#" œ  ./> Œ œ!  # # # ! % ! % & E## œ ./> Œ œ! E#$ œ  ./> Œ œ#  # ! # # & ! % ! E$" œ ./> Œ œ "& E$# œ  ./> Œ œ "#  # $ # $ % & E$$ œ ./> Œ œ  #Þ # # 2°) Por lo tanto; la matriz de cofactores es: ' ! Ñ Î ' ! ! # Fœ Ï "& "#  # Ò

(3.5) DEFINICIÓN: Sea E œ Ð+3 4 Ñ − `8 B 8 Ð‘Ñ y F œ ÐE3 4 Ñ − `8 B 8 Ð‘Ñ definida como en (3.4). Se llama MATRIZ ADJUNTA DE LA MATRIZ E; la que denotaremos por +.4 ÐEÑ a la MATRIZ TRANSPUESTA DE LA MATRIZ F ; es decir: Ô E"" Ö E#" Ö Ö E$" Ö +.4 ÐEÑ œ F > œ Ö Ö ÞÞÞ ÖE Ö 3" Ö ÞÞÞ Õ E8 "

E"# E## E$# ÞÞÞ E3 # ÞÞÞ E8 #

E"$ E#$ E$$ ÞÞÞ E3 $ ÞÞÞ E8 $

ÞÞÞ E" 4 ÞÞÞ E# 4 ÞÞÞ E$ 4 ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ E3 4 ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ E8 4

ÞÞÞ E" 8 × ÞÞÞ E# 8 Ù Ù ÞÞÞ E$ 8 Ù Ù ÞÞÞ ÞÞÞ Ù Ù ÞÞÞ E3 8 Ù Ù ÞÞÞ ÞÞÞ Ù ÞÞÞ E8 8 Ø

Ô E"" ÖE Ö "# Ö E"$ Ö œ Ö ÞÞÞ Ö Ö E" 4 Ö ÞÞÞ ÕE "8

E#" E## E#$ ÞÞÞ E# 4 ÞÞÞ E# 8

E$" E$# E$$ ÞÞÞ E$ 4 ÞÞÞ E$ 8

ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ

ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ

E3 " E3 # E3 $ ÞÞÞ E3 4 ÞÞÞ E3 8

>

E8 " × E8 # Ù Ù E8 $ Ù Ù ÞÞÞ Ù Ù E8 4 Ù Ù ÞÞÞ E8 8 Ø

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(3.5.1) EJEMPLO: Encuentre la matriz adjunta de E œ

Î ! " Ï !

#Ñ $ "Ò

" " #

SOLUCIÓN: 1°) Por (3.4.1); la matriz de cofactores es: " #Ñ Î & $ ! ! Fœ Ï " # " Ò 2°)

MATRIZ ADJUNTA:

Î & " F œ +.4 ÐEÑ œ Ï # >

(3.5.2) EJEMPLO:

Î " # Encuentre la matriz adjunta de E œ Ï % SOLUCIÓN: 1º) Por (3.4.2); la matriz de cofactores es: ! # Ñ Î ! F œ "& "#  " Ï ' ' ! Ò 2º)

MATRIZ ADJUNTA:

Î! F œ +.4 ÐEÑ œ ! Ï# >

" # &

2º)

MATRIZ ADJUNTA:

Î' F œ +.4 ÐEÑ œ ' Ï! >

& # #

! ! #

"Ñ # " Ò

$Ñ ! !Ò

"& "# "

(3.5.3) EJEMPLO:

Î % # Encuentre la matriz adjunta de E œ Ï # SOLUCIÓN: 1º) Por (3.4.3); la matriz de cofactores es: ' ! Ñ Î ' ! ! # Fœ Ï "& "#  # Ò

$ ! !

'Ñ ' !Ò

!Ñ $ !Ò

"& Ñ "# #Ò

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(3.6) TEOREMA: Si E œ Ð+3 4 Ñ − `8 B 8 Ð‘Ñ es invertible. Entonces E" œ +.4 ÐEÑ ./>" E œ (3.6.1) EJEMPLO: Encuentre la matriz inversa de E œ SOLUCIÓN: 1°)

2°)

Î & " Por (3.5.1); +.4 ÐEÑ œ Ï # MATRIZ INVERSA:

"

E

$ ! !

+.4 ÐEÑ ./> E

Î ! " Ï !

" " #

Þ

#Ñ $ "Ò

"Ñ # y ./> ÐEÑ œ $ " Ò

"Î " œ $ Ï

&

#

$ ! !

"Ñ # " Ò

(3.6.2) EJEMPLO:

" $Ñ Î " # # ! Encuentre la matriz inversa de E œ Ï % & !Ò SOLUCIÓN: Î ! "& ' Ñ 1º) Por (3.5.2); +.4 ÐEÑ œ ! "# ' y ./> ÐEÑ œ ' Ï# " !Ò ! "& ' Ñ "Î " 2º) MATRIZ INVERSA: E œ ' ! "# ' Ï# " !Ò

(3.6.3) EJEMPLO: Encuentre la matriz inversa de E œ SOLUCIÓN: 1º)

Por (3.5.3); +.4 ÐEÑ œ

2º)

MATRIZ INVERSA:

Î' ' Ï!

"& Ñ "# #Ò ' "Î œ ' ' Ï!

! ! #

E"

Î % # Ï #

& # #

!Ñ $ !Ò

y ./> ÐEÑ œ ' ! ! #

"& Ñ "# #Ò

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UNIDAD N° 3: TEMA 1:

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

DOS ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS:

OBJETIVO OPERACIONAL: Encontrar el conjunto solución de una ecuación lineal con dos incógnitas de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.

(1.1) DEFINICIÓN: Llamaremos ECUACIÓN LINEAL CON DOS INCÓGNITAS; a un arreglo algebraico de la forma +B,C œ - à +ß ,ß - − ‘ Ðó ‚ ) tal que B e C son las incógnitas o variables, + y , son los coeficientes de las variables Ð+ Á ! o , Á !Ñ; y - es la constante.

(1.2) DEFINICIÓN: Llamaremos SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN LINEAL CON DOS INCÓGNITAS (si esta existe); a cualquier par de números reales (o complejos) que al ser sustituídos en las variables transforman a la ecuación lineal en una identidad o igualdad verdadera.

(1.3) DEFINICIÓN: Llamaremos SISTEMA DE DOS ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS; a un CONJUNTO de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas, que usualmente denotaremos por el siguiente arreglo algebraico +"" B"  +"# B# œ ," +#" B"  +## B# œ ,#

+3 4 ß , 3 − ‘ Ðó ‚ )

con 3 œ "ß # y 4 œ "ß #

tal que B4 son las incógnitas o variables, +3 4 son los coeficientes de las variables y ,3 son constantes. (1.4) DEFINICIÓN: Llamaremos SOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE DOS ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS (si esta existe); a cualquier par de números reales que al ser sustituídos en las variables transforman a cada una de las ecuaciones lineales del sistema en una identidad o igualdad verdadera. FACULTAD DE CS. NATURALES, MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PROYECTO DE FACULTAD "ÁLGEBRA LINEAL: una propuesta metodológica de aprendizaje autónomo en página web"

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(1.5) DEFINICIÓN: Se dice que dos sistemas de ecuaciones lineales EQUIVALENTES; si estos tienen el mismo conjunto solución.

son

(1.6) DEFINICIÓN: a) Se dice que un sistema es CONSISTENTE si este tiene solución. b) Se dice que un sistema es INCONSISTENTE si este no tiene solución.

(1.7) EJEMPLO: (1.7.1) Resolver

#B  C œ ! Ê C œ  #B B  #C œ " Reemplazando en la otra ecuación B  #Ð  #BÑ œ " " # Ê Bœ & à Cœ &

Luego, el conjunto solución del sistema es ˜Ð "& ß  #& Ñ™ (Notar que este sistema se trata de dos rectas que se intersectan)

(1.7.2) Resolver

#B  C œ ! Ê C œ  #B %B  #C œ ! Reemplazando en la otra ecuación %B  #Ð  #BÑ œ ! Ê !œ! Luego, el conjunto solución del sistema es

˜ÐB ß CÑ − ‘# Î C œ  #B™

(Notar que este sistema se trata de UNA SOLA ECUACIÓN, por lo cual tiene infinitas soluciones)

(1.7.3) Resolver

#B  C œ ! Ê C œ  #B %B  #C œ " Reemplazando en la otra ecuación %B  #Ð  #BÑ œ " Ê !œ" lo cual es una contradicción, es decir el sistema NO TIENE SOLUCIÓN. (Notar que este sistema se trata de dos rectas paralelas)

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TEMA 2:

7 ECUACIONES LINEALES CON 8 INCÓGNITAS: ELIMINACIÓN DE GAUSS - JORDAN Y GAUSSIANA

OBJETIVO OPERACIONAL: Encontrar el conjunto solución de una ecuación lineal con 8 incógnitasà 8 − . OBJETIVO OPERACIONAL: Encontrar el conjunto solución de un sistema de 7 ecuaciones lineales con 8 incógnitasà 7 à 8 − . OBJETIVO OPERACIONAL: Analizar el número de soluciones de un sistema de ecuaciones lineales, cuando la solución depende de un parámetro. OBJETIVO OPERACIONAL: Escribir la solución de un sistema de ecuaciones lineales como la suma del conjunto solución del sistema homogéneo y el conjunto dado por una solución particular.

(2.1) DEFINICIÓN: Llamaremos ECUACIÓN LINEAL CON 8 INCÓGNITAS; a un arreglo algebraico de la forma +3" B"  +3# B#  ÞÞÞ  +3 4 B 4  ÞÞÞ  +38 B8 œ ,3 à +3 4 ß , 3 − ‘ Ðó ‚ ) 3 es fijo à 4 œ "ß #ß ÞÞÞß 8 tal que B 4 son las incógnitas o variables, +3 4 son los coeficientes de las variables; y ,3 son constantes. (2.2) DEFINICIÓN: Llamaremos SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN LINEAL CON 8 INCÓGNITAS (si esta existe); a cualquier 8 - upla de números reales (o complejos) que al ser sustituídos respectivamente en las 8 variables transforman a la ecuación lineal en una identidad o igualdad verdadera. (2.2.1) EJEMPLO: Resolver #B  C œ ! Ê C œ  #B Luego, el conjunto solución del sistema es

˜ÐB ß CÑ − ‘# Î C œ  #B™

(Notar que este sistema se trata de UNA SOLA ECUACIÓN, por lo cual tiene infinitas soluciones)

(2.2.2) EJEMPLO: Resolver #B  C  $D œ " Ê C œ "  #B  $D Luego, el conjunto solución del sistema es

˜ÐB ß C ß DÑ − ‘$ Î C œ "  #B  $D ™

(Notar que este sistema se trata de UNA SOLA ECUACIÓN, por lo cual tiene infinitas soluciones) FACULTAD DE CS. NATURALES, MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PROYECTO DE FACULTAD "ÁLGEBRA LINEAL: una propuesta metodológica de aprendizaje autónomo en página web"

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(2.2.3) EJEMPLO: Resolver #B  C  $D  A œ  " Ê C œ  "  #B  $D  A Luego, el conjunto solución del sistema es

˜ÐB ß C ß D ß AÑ − ‘% Î C œ  "  #B  $D  A™

(Notar que este sistema se trata de UNA SOLA ECUACIÓN, por lo cual tiene infinitas soluciones)

(2.3) DEFINICIÓN: Llamaremos SISTEMA DE 7 ECUACIONES LINEALES CON 8 INCÓGNITAS; a un CONJUNTO de 7 ecuaciones lineales con 8 incógnitas, que usualmente denotaremos por el siguiente arreglo algebraico

+"" B"  +"# B#  ÞÞÞ  +" 4 B4  ÞÞÞ  +" 8 B8 œ ," +#" B"  +## B#  ÞÞÞ  +# 4 B4  ÞÞÞ  +# 8 B8 œ ,#  +3 " B"  +3 # B#  ÞÞÞ  +3 4 B4  ÞÞÞ  +3 8 B8 œ ,3  +7" B"  +7# B#  ÞÞÞ  +7$ B4  ÞÞÞ  +78 B8 œ ,7 +3 4 ß , 3 − ‘ Ðó ‚ ) con 3 œ "ß #, ... ,7 y 4 œ "ß #, ... , 8 tal que B4 son las incógnitas o variables, +3 4 son los coeficientes de las variables y ,3 son constantes. (2.4) DEFINICIÓN: Llamaremos SOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE 7 ECUACIONES LINEALES CON 8 INCÓGNITAS (si esta existe); a cualquier 8 - upla de números reales (o complejos) que al ser sustituídos en las variables transforman a cada una de las ecuaciones lineales del sistema en una identidad o igualdad verdadera.

(2.5) DEFINICIÓN: Se dice que dos sistemas de ecuaciones lineales EQUIVALENTES; si estos tienen el mismo conjunto solución.

son

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(2.6) MÉTODO DE ELIMINACIÓN DE GAUSS - JORDAN PARA RESOLVER UN SISTEMA DE 7 ECUACIONES CON 8 INCÓGNITAS: Consideremos el sistema de ecuaciones como en (2.3): 1°) Intercambiar si corresponde en el sistema una ecuación con coeficiente de la primera variable B" distinta de cero, obteniéndose un sistema equivalente; de tal manera que +"" Á !Þ 2°) Cambiamos cada una de las ecuaciones; posteriores a la primera por: I3 Ä  +3 " I"  +"" I3 à para 3 Á " , obteniéndose el siguiente sistema equivalente:

+"" B"  +"# B#  ÞÞÞ  +" 4 B4  ÞÞÞ  +" 8 B8 œ ,"‡ ‡ +## B#  ÞÞÞ  +#‡4 B4  ÞÞÞ  +#‡8 B8 œ ,#‡  +3‡# B#  ÞÞÞ  +3‡4 B4  ÞÞÞ  +3‡8 B8 œ ,3‡  ‡ ‡ ‡ +7# B#  ÞÞÞ  +7$ B4  ÞÞÞ  +78 B8 œ ,7‡ 3°) De la segunda ecuación en adelante, se elige la que tenga la variable para el menor subíndice 4 y se coloca como segunda ecuación. ‡ Supongamos que en el sistema anterior +## Á !Þ Cambiamos las filas restantes a la segunda por: I3 Ä  +3‡2 I#  + ## I3 à para 3 Á # , obteniéndose el siguiente sistema equivalente: ‡‡ +"" B" 

ÞÞÞ  +"‡‡4 B4  ÞÞÞ  +"‡‡8 B8 œ ,"‡‡ ‡‡ +## B#  ÞÞÞ  +#‡‡4 B4  ÞÞÞ  +#‡‡8 B8 œ ,#‡‡ ‡‡ + ‡‡ B$  ÞÞÞ  +$4 B4  ÞÞÞ  +$‡‡8 B8 œ ,$‡‡ $$

ÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞ +3‡‡ B$  ÞÞÞ  +3‡‡ B4  ÞÞÞ  +3‡‡ B8 œ ,3‡‡ $ 4 8 ÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞ ‡‡ ‡‡ ‡‡ +7$ B$  ÞÞÞ  +7$ B4  ÞÞÞ  +78 B8 œ ,7‡‡

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4°) Así sucesivamente; se procede en forma análoga; hasta obtener un sistema equivalente de la forma:  +"" B"

œ ,"  +## B# œ ,# ÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞ +34 B4 œ ,3 ÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞ  +78 B8 œ ,7 en el cual se observan las variables "casi" despejadas.

(2.7) OBSERVACIÓN: En la solución de un sistema de ecuaciones, se puede tener alguno de los siguientes tres casos: a) tiene solución única. b) no tiene solución. c) tiene infinitas soluciones.

(2.8) DEFINICIÓN: Se dice que el sistema de ecuaciones como en (2.3), es un SISTEMA HOMOGENEO cuando las constantes ,3 œ ! ; para todo 3 œ "ß #ß $ß ÞÞÞß 7 Þ Es decir, es de la forma:

+"" B"  +"# B#  ÞÞÞ  +" 4 B4  ÞÞÞ  +" 8 B8 œ ! +#" B"  +## B#  ÞÞÞ  +# 4 B4  ÞÞÞ  +# 8 B8 œ !  +3 " B"  +3 # B#  ÞÞÞ  +3 4 B4  ÞÞÞ  +3 8 B8 œ !  +7" B"  +7# B#  ÞÞÞ  +7$ B4  ÞÞÞ  +78 B8 œ ! (2.9) OBSERVACIÓN: La solución de un sistema homogeneo; se obtiene de manera análoga al del sistema no homogeneo de la DEFINICIÓN (2.3). Un sistema homogeneo tiene SIEMPRE solución; ya que a lo menos tiene la solución trivial, es decir la 8 - upla CERO , cuando todos los valores de las variables son iguales a !, o sea B4 œ !ß para todo 4 œ "ß #ß ÞÞÞß 7 Þ

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(2.10) REPRESENTACIÓN MATRICIAL DE UN SISTEMA:

La representación matricial del sistema de ecuaciones visto en (2.3) es: Ô +"" Ö +#" Ö Ö ÞÞÞ Ö Ö +3" Ö Ö ÞÞÞ Õ +7"

+"# +## ÞÞÞ +3# ÞÞÞ +7#

ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ

+"4 +#4 ÞÞÞ +34 ÞÞÞ +74

ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ

+"8 × B" Ô × Ô ," × +#8 Ù B Ù Ö, Ù ÙÖ Ö #Ù Ö #Ù ÞÞÞ Ù Ö Ö ÞÞÞ Ù ÙÖ ÞÞÞ Ù ÙœÖ Ù Ù +38 ÙÖ B4 Ù Ö ,3 Ù Ö Ù Ö Ù ÞÞÞ ÞÞÞ Ù ÞÞÞ +78 ØÕ B8 Ø Õ ,7 Ø

lo cual podemos simplificar denotando: E \ œ F ; y la matriz E recibe el nombre de MATRIZ DE LOS COEFICIENTESà \ se llama MATRIZ DE INCÓGNITAS y a F se le llama MATRIZ DE CONSTANTES.

(2.11) DEFINICIÓN: Se llama MATRIZ AUMENTADA asociada a un sistema de ecuaciones, a la matriz formada por la matriz de los coeficientes E aumentada en una columna por la matriz de las constantes F ; es decir la E ¸ F ‘ matriz de la forma: (2.12) OBSERVACIÓN: a) El sistema tiene solución si y solo si: VER KS E‘ œ VER KS E ¸ F ‘ b) Para la resolución de los sistemas de ecuaciones lineales; se recomienda trabajar con la matriz aumentada y llevar la parte de la matriz E a la forma escalonada reducida por filas, ya que en este caso se tienen las variables despejadas. c) La solución general del sistema de ecuaciones lineales no homogeneo E \ œ F se puede expresar como: W1 œ ˜B: ™  W! donde: B: es una solución particular de E \ œ F . W! es el conjunto solución general de E \ œ ! Þ W1 es el conjunto solución general de E \ œ F . d) En un sistema de 8 ecuaciones lineales con 8 incògnitas, expresado matricialmente en la forma E\ œ F se tiene que: si la matriz E es invertible, este tiene una única solución dada por \ œ E" F Þ FACULTAD DE CS. NATURALES, MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PROYECTO DE FACULTAD "ÁLGEBRA LINEAL: una propuesta metodológica de aprendizaje autónomo en página web"

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(2.13) EJEMPLO: (2.13.1) Considere el sistema de ecuaciones: B  &C  Aœ" #B  C  $D  #A œ  " B  #C  D  A œ ! %B  C  $D  #A œ " a) Escriba la representación matricial del sistema. SOLUCIÓN: 1°) Se debe expresar en la forma E \ œ F ; donde & ! " Ñ Î" ÎBÑ Î " $ # Ó Ð CÓ Ð Ð # EœÐ à\œÐ àFœÐ Ó Ó " # " " D Ï% " $ #Ò ÏAÒ Ï 2°)

" Ñ "Ó Ó ! " Ò

La representación matricial del sistema es: & ! " ÑÎ B Ñ Î " Ñ Î" " $ # Ó Ð # Ð CÓ Ð "Ó œÐ Ð Ó Ð Ó Ó " # " " D ! Ï %  " $  # ÒÏ A Ò Ï " Ò

b) Determine si el sistema tiene solución. SOLUCIÓN: 1°) Verificar que se cumpla VER KS E‘ œ VER KS E ¸ F ‘ ; para lo cual se debe estudiar VER KS E ¸ F ‘, ya que a la vez determinamos VER KS E‘ y la solución del sistema de corresponder. & ! " " Ñ & ! " " Ñ Î" Î" J#  Ð  #ÑJ" " $ # "Ó * $ ! $Ó Ð # Ð ! J$  Ð  "ÑJ" Ä Ð Ð Ó Ó " # " " ! ! $ " ! " J  Ð  %ÑJ" Ï% " $ # Ï !  #" $  '  $ Ò " Ò % Î" J"  Ð  &ÑJ# Ä ÐÐ ! ! J$  $J# Ï ! J%  #"J#

Ð  "* ÑJ#

2°)

"  #$ Ñ " Ó  "$ ! $ Ó Ê ! ! ! % ' % Ò Por lo tanto: VER KS E‘ œ VER KS E ¸ F ‘ œ $ ! " ! !

& $

Luego, el sistema tiene solución.

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c) Encuentre la solución general W1 (SI EXISTE). SOLUCIÓN: & "  #$ Ñ $ Î" ! " Ó Ð ! "  "$ ! $ Ó 1°) Tomando Ð de lo anterior, resta solo ! ! ! ! ! Ï! ! % ' % Ò J$% Î" Ð ! Ð  "% ÑJ$ Ä ÐÐ & J"  Ð  $ ÑJ$ ! " Ï J#  Ð $ ÑJ$ ! 2°)

! " ! !

! ! " !

 " # $ #

" Ñ ! Ó Ó "Ó ! Ò

$ #

!

De donde se obtiene el siguiente sistema equivalente: $ B  Aœ" # " C  Aœ! # $ D  Aœ " # !œ!

y la solución general está dada por:

W1 œ ˜ÐBß Cß Dß AÑ − ‘% Î B œ " 

$ #

Aß C œ 

W1 œ ˜Ð" 

$ #

Aß 

" #

$ #

Aß C œ 

Aß  " 

W1 œ ˜Ð" ß ! ß  " ß !Ñ  Ð $# ß 

" #

AßD œ " 

$ #

A ß AÑ Î A − ‘ ™

" #

ß

W1 œ ˜Ð" ß ! ß  " ß !Ñ™  ˜Ð $# ß 

" #

$ #

A™

$ #

$ #

A™

ß "Ñ A Î A − ‘ ™

ß

$ #

ß "Ñ A Î A − ‘ ™

˜Ð" ß ! ß  " ß !Ñ™ œ ˜B: ™ solución particular del sistema, y

donde: ˜Ð $# ß 

AßD œ " 

W 1 œ ˜B : ™  W ! .

d) Si corresponde; exprese c) como SOLUCIÓN: W1 œ ˜ÐBß Cß Dß AÑ − ‘% Î B œ " 

" #

" #

ß

$ #

ß "Ñ A Î A − ‘ ™ œ W! solución del sistema homogeneo.

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(2.13.2)

Considere el sistema de ecuaciones: #B  C  D  A œ " B  #C  D  %A œ # B  (C  %D  ""A œ &

a) Escriba la representación matricial del sistema. SOLUCIÓN: 1°)

Se debe expresar en la forma E \ œ F ; donde ÎBÑ " " Ñ " Î# " Ð CÓ Î Ñ # " % Eœ " à\œÐ àFœ # Ó D Ï" Ï&Ò (  % "" Ò ÏAÒ

2°)

La representación matricial del sistema es: B " " ÑÎ Ñ Î " Ñ Î# " Ð CÓ " # " % Ð œ # Ó D Ï" (  % "" ÒÏ Ò Ï & Ò A

b) Determine si el sistema tiene solución. SOLUCIÓN:

1°) Verificar que se cumpla VER KS E‘ œ VER KS E ¸ F ‘ ; para lo cual se debe estudiar VER KS E ¸ F ‘, ya que a la vez determinamos VER KS E‘ y la solución del sistema de corresponder. Î# " Ï"

" # (

" " %

Î" J $  J# Ä !  "& J# Ï!

" % "" # " !

"Ñ J"# Î" # J#  Ð  #ÑJ" Ä ! Ï! & Ò J$  Ð  "ÑJ"

"  $& !

% ( &

!

# & &

" $ $

% ( (

# Ñ $ $ Ò

#Ñ

!Ò $ &

Por lo tanto VER KS E‘ œ VER KS E ¸ F ‘ œ # 2°)

Luego, el sistema tiene solución.

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c) Encuentre la solución general W1 (SI EXISTE). SOLUCIÓN:

1°)

Î" Tomando ! Ï!

# " !

"  $& !

Î" ! J"  Ð  #ÑJ# Ä Ð ! " Ï! ! 2°)

#Ñ

%

!Ò

( &

$ &

!

" &

 $& !

' & ( &

de lo anterior, resta solo

% & $ &

!

Ñ Ó

!Ò

De donde se obtiene el siguiente sistema equivalente: B

" ' D Aœ & & $ ( C  D Aœ & & 

% & $ &

!œ! y la solución general está dada por:

W1 œ ˜ÐBß Cß Dß AÑ − ‘% Î B œ

% &

 "& D  '& A ß C œ

d) Si corresponde; exprese c) como SOLUCIÓN:

W1 œ ˜ÐBß Cß Dß AÑ − ‘% Î B œ

% &

$ &

 $& D  (& A™

W 1 œ ˜B : ™  W ! .

 "& D  '& A ß C œ

$ &

 $& D  (& A™

W1 œ ˜Ð %&  "& D  '& Aß $&  $& D  (& Aß D ß AÑ Î D à A − ‘ ™

W1 œ ˜Ð %& ß $& ß !ß !Ñ  Ð  "& ß $& ß "ß !ÑD  Ð  '& ß  (& ß !ß "ÑAÎDß A − ‘™

W1 œ ˜Ð %& ß $& ß !ß !Ñ™  ˜Ð  "& ß $& ß "ß !ÑD  Ð  '& ß  (& ß !ß "ÑAÎDß A − ‘ ™ donde:

˜Ð %& ß $& ß !ß !Ñ™ œ ˜B: ™ solución particular del sistema, y

˜Ð  "& ß $& ß "ß !ÑD  Ð  '& ß  (& ß !ß "ÑAÎDß A − ‘ ™ œ W! solución del sistema homogeneo.

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(2.13.3)

Considere el sistema homogeneo de ecuaciones: B  %C  D œ ! #B  C  &D œ ! a) Escriba la representación matricial del sistema. SOLUCIÓN: 1°)

Se debe expresar en la forma E \ œ F ; donde ÎBÑ Î!Ñ " % " C ! EœŒ à \ œ à F œ # " & ÏDÒ Ï!Ò

2°)

La representación matricial del sistema homogeneo es: B ! " % " Î Ñ Î Ñ œ ! Œ# " & C ÏD Ò Ï!Ò

b) Determine si el sistema tiene solución. SOLUCIÓN: UN SISTEMA HOMOGENEO SIEMPRE TIENE SOLUCIÓN

c) Encuentre la solución general W1 (SI EXISTE). SOLUCIÓN: 1°)



2°)

" % " " Œ # " & J#  Ð  #ÑJ" Ä Œ !

" ( J#

" % Č ! "

% "  ( $

" " ! J  Ð  %ÑJ Ä " #  ! "  $(

"* (



$ (



De donde se obtiene el siguiente sistema equivalente: B

"* Dœ! ( $ C  Dœ! ( 

y la solución general está dada por:

W1 œ ˜ÐBß Cß DÑ − ‘$ Î B œ  W1 œ ˜Ð 

"* $ ( Dß ( Dß DÑ Î D

"* ( D

ß C œ $( D ™

− ‘™ œ ˜Ð 

"* $ ( ß ( ß "Ñ DÎ D

− ‘™

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(2.13.4)

Considere el sistema homogeneo de ecuaciones: 5B  C  D œ " B  5C  D œ " B  C  5D œ "

Determine 5 − ‘ para que el sistema en B ß C ß D À i ) tenga solución única en ‘$ . ii ) no tenga solución en ‘$ Þ iii ) tenga infinitas soluciones en ‘$ . SOLUCIÓN: 1°) Formar la matriz aumentada: 5 " 5 " " "Ñ J"# Î Î" # " 5 " " J#  5J" Ð5 Á !Ñ Ä ! "  5 "  5 Ï" " 5 "Ò Ï! " 5 5 " J $  J" Î" Ð5 Á "Ñ Ä ! Ï! J#$

" "5 J#

" "5 J$

5 " "5

" " "

" Ñ "5 ! Ò

" Ñ J"  Ð  5ÑJ# Î" ! J$  Ð"  5ÑJ# Ä ! Ï! " Ò Ð5 Á  "Ñ

! " !

"5 " #5

2°) Por lo tanto: i ) tenga solución única en ‘$ : " " " 5 Á  # à " dada por W œ ˜( #5 ß #5 ß #5 Ñ™ ii ) no tenga solución en ‘$ : 5 œ  # , ya que V+819ÐEÑ Á V+819ÐE à FÑ iii ) tenga infinitas soluciones en ‘$ :

5Þ œ " dada por W œ ˜(B ß C ß DÑÎB œ "  C  D à Cß D − ‘™

W œ ˜("  C  D ß C ß DÑÎ Cß D − ‘™

W œ ˜("ß !ß !Ñ  Ð  "ß "ß !ÑC  Ð  "ß !ß "ÑDÎ Cß D − ‘™

W œ ˜("ß !ß !Ñ™  ˜Ð  "ß "ß !ÑC  Ð  "ß !ß "ÑDÎ Cß D − ‘™ donde:

˜("ß !ß !Ñ™ œ ˜B: ™ solución particular del sistema, y

˜Ð  "ß "ß !ÑC  Ð  "ß !ß "ÑDÎ Cß D − ‘™ œ W! solución del sistema homogeneo.

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"Ñ ! "Ò

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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA FACULTAD DE CS. NAT., MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA SEMANA N° 03: (02 HORAS EJERCICIO) GUÍA DE ESTUDIO N° 3 1.

Dadas

Î! Fœ $ Ï( 3 IœŒ "

las

# ! '

matrices

"Ñ Î! & à G œ $3 Ï! !Ò

Î =/8 @ # -9= @ àJ œ 3 Ï !

 3 #3 Ñ Î 3 en `8 B 8 À E œ $3 %3 &3 à Ï! 3 3Ò ! #3 Ñ Î" # $Ñ 3 ! à Hœ " " # ; Ï! " #Ò  #3 %3 Ò Î! + ! !Ñ -9= @ !Ñ Ð , ! ! !Ó  =/8 @ ! à K œ Ð Ó ! ! ! Ò ! " Ï! ! . !Ò

Î+ ! ! ! !Ñ (Ñ Ð ! ! , ! !Ó %Ó Ð Ó à M œÐ ! ! ! ! -Ó Ó & Ð Ó ! ! ! . ! !Ò Ï! / ! ! !Ò (1.1) Determine el determinante de cada matriz. (1.2) Encuentre la matriz de los cofactores para cada matriz. (1.3) Encuentre la matriz adjunta de cada matriz. (1.4) Calcule usando lo anterior y cuando corresponda la inversa de cada matriz.

Î # Ð " L œÐ $ Ï %

! # ! #

! " " $

2. Dada las siguientes ecuaciones lineales (+ß ,ß -ß . constantes): I" À #B  $C œ " I# À B  C  D œ ! I$ À #B  C  D  A œ # I% À +B  ,C œ I& À +B  ,C  -D  .A œ ! Para cada una de estas ecuaciones; determine: (2.1) dos soluciones particulares. (2.2) una 8?:6+ que NO sea solución. (2.3) TODAS las soluciones. (2.4) EL CONJUNTO SOLUCIÓN. 3. (3.1) Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones lineales para las variables ? à @ À W" À #?  @ œ  &, W# À +?  ,@ œ +#  ,# $?  #@ œ (+  %, #,?  +@ œ #,#  $+,  +# (3.2) Dado los sistemas de ecuaciones lineales (+ß ,ß -ß . constantes): W" À +B  ,C œ W# À +B  ,C œ W$ À +B  ,C œ +B  ,C œ ,B  +C œ ,B  +C œ . FACULTAD DE CS. NATURALES, MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PROYECTO DE FACULTAD "ÁLGEBRA LINEAL: una propuesta metodológica de aprendizaje autónomo en página web"

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Determine las condiciones sobre: a) + C , para que el sistema W" tenga SOLUCIÓN ÚNICA. b) + ; , y - para que el sistema W# tenga INFINITAS SOLUCIONES. c) + à , à - C . para que el sistema W$ NO TENGA SOLUCIÓN. 4. W" À

Dado los siguientes sistemas de ecuaciones lineales À #B  $C œ ( W# À $B  C œ  ' W$ À %B  #C œ & $B  C œ & #B  $C œ ( &B  $C œ  #

W% À

B"  #B#  &B$ œ  * B"  B#  $B$ œ # $B"  'B#  B$ œ #&

W& À

#B"  B#  #B$ œ  ) B"  #B#  $B$ œ * $B"  B#  %B$ œ $

W' À

B"  #B#  $B$ œ % B"  $B#  B$ œ "" #B"  &B#  %B$ œ "$ #B"  'B#  #B$ œ ##

W( À

#B"  $B#  $B$ œ ! (B"  (B#  B$ œ )  &B#  B$ œ  % %B"  B#  B$ œ  #

W) À

B  #C  $D  A œ $ $B  #C  D  A œ ( #C  %D  A œ " B C DAœ%

W* À

$B"  #B#  "'B$  &B% œ ! #B#  "!B$  )B% œ ! B"  B#  (B$  $B% œ !

W"! À #B  C  #D  $A œ " W"" À B  #C  #D  $A œ # $B  #C  D  #A œ % #B  %C  $D  %A œ & $B  $C  $D  $A œ & &B  "!C  )D  ""A œ "# Para cada uno de estos sistemas de ecuaciones; determine: (4.1) dos soluciones particulares si existen. (4.2) una 8?:6+ que NO sea solución. (4.3) TODAS las soluciones y verifíquelas. (4.4) EL CONJUNTO SOLUCIÓN. 5. W" À

Dado los siguientes sistemas: 5B  C  D œ " W# À B  #C  5D œ " B  5C  D œ " #B  5C  )D œ $ B  C  5D œ " Determine los valores de 5 − ‘ para que el sistema en B ß C ß D À (5.1) tenga solución única en ‘$ . (5.2) no tenga solución en ‘$ Þ (5.3) tenga infinitas soluciones en ‘$ . 6. Determine para qué valores de (6.1) B  #C  $D œ + (6.2) $B  C  #D œ , B  &C  )D œ -

+ß ,ß - − ‘ ; el sistema tiene solución #B  $C  D œ + B  #C  $D œ , B D œ-

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7. Resolver los siguientes problemas; planteando claramente el sistema de ecuaciones que corresponde: (7.1) Hace dos años un padre era 6 veces mayor que su hijo. Hallar sus edades actuales sabiendo que dentro de 18 años la edad del padre será el doble que la del hijo. R: 32 y 7 . (7.2) Cinco cuadernos y ocho lapiceros cuestan $ 115; tres cuadernos y cinco lapiceros cuestan $ 70. Hallar el precio de cada cuaderno y cada lapicero. R: 15 y 5. (7.3) Hallar tres números sabiendo que el primero es igual al segundo más la mitad del tercero; que la suma del segundo y el tercero es igual al primero más 1, y que si se resta el segundo de la suma del primero con el tercero el resultado es 5.

R: 4 , 2 y 3

(7.4) Considere el modelo de insumo-producto de Leontief con tres industrias: W* À "$ B"  "# B#  "' B$  /" œ B" " " " % B "  % B #  ) B $  / # œ B# " " " "# B"  $ B#  ' B$  /$ œ B$ donde las demandas externas son /" œ "! à /# œ "& à /$ œ $!Þ Encuentre la producción de cada industria tal que la oferta sea igual a la demanda. (7.5) Una inversionista le informa a su corredor de bolsa que todas sus acciones son de las compañías OPI, SAMU y ORT; además le avisa que hace dos días su valor bajó en $ 350, pero que ayer aumentó $ 600. El corredor recuerda que hace dos días el precio de las acciones de API bajó $ 1 por acción; las de SAMU bajó $ 1.50 por acción, pero el precio de las acciones de ORT subieron $ 0.50 por acción. También recuerda que ayer el precio de las acciones de API subieron $ 1.50 por acción; las de SAMU bajó $ 0.50 por acción, pero el precio de las acciones de ORT subieron $ 1 por acción. Demuestre que el corredor no tiene información suficiente para calcular el número de acciones de la inversionista en cada compañía, pero que si ella informa que tiene 200 acciones de ORT; el corredor puede calcular el número de acciones de API y SAMU que posee la inversionista. 8.

Determinar el valor de 5 − ‘ para que el sistema en B ß C ß D ß A À #B  C  D  A œ " B  #C  D  %A œ # B  (C  %D  ""A œ 5 tenga solución en ‘% .

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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA FACULTAD DE CS. NAT., MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA SEMANA N° 03: (02 HORAS EJERCICIO) TALLER N° 3

1.

Dadas

" #Ñ Î ! " " $ à las matrices en `8 B 8 Б ó ‚Ñ À E œ Ï ! # "Ò $3 Ñ 3 ! Ñ Î " "3 ! #3 à G œ Œ 3 ! " à Hœ ! "3 Ò Ï #3 ! " 3 " 3Ò $ "Ñ ! Ñ Î+ , ! % #Ó Ð - . ! ! Ó àJ œÐ Ó Ó " & ! ! + , Ï! ! $ !Ò . Ò

Î 3 #3 3 3 Fœ Ï! 3 Î# ! Ð ! " IœÐ ! ! Ï" # (1.1) Determine el determinante de cada matriz. (1.2) Encuentre la matriz de los cofactores para cada matriz. (1.3) Encuentre la matriz adjunta de cada matriz. (1.4) Calcule usando lo anterior y cuando corresponda la inversa de cada matriz. 2. Dada las siguientes ecuaciones lineales (+ß , constantes): I" À #B  $C  D œ  " I# À #B  +C  ,D  $A œ ! Para cada una de estas ecuaciones; determine: (2.1) dos soluciones particulares. (2.2) una 8?:6+ que NO sea solución. (2.3) TODAS las soluciones. (2.4) EL CONJUNTO SOLUCIÓN. 3.

Dado el sistema de ecuaciones lineales (+ß ,ß -ß .ß /ß 0 constantes): +B  ,C œ .B  /C œ 0 Determine las condiciones sobre +ß ,ß -ß .ß /ß 0 : (3.1) para que el sistema tenga SOLUCIÓN ÚNICA. (3.2) para que el sistema tenga INFINITAS SOLUCIONES. (3.3) para que el sistema NO TENGA SOLUCIÓN. 4. W" À

Dado los siguientes sistemas de ecuaciones lineales À B  C  $D œ  " W# À B œ C  #D #B  C  #D œ " #C œ B  $D  " B C D œ$ D œ #C  #B  $ B  #C  $D œ "

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W$ À

B"  B#  B$ œ #

W% À

B"  $B#  #B$ œ " $B"  &B#  $B$ œ % W& À

" B # B $ B

  

" C $ C # C

  

" D % D " D

œ& œ  "" œ '

W' À

C B $  # D œ ( $C B D %  #  # œ  C B D '  %  $ œ " # B $ B % B

  

# C " C # C

  

$ D % D ' D

PÁG. 115

'

œ! œ "" ' œ#

W( À B  #C  D  @  A œ ! W) À #B"  %B#  (B$  %B%  &B& œ ! #B  C  D  #@  $A œ ! *B"  $B#  #B$  (B%  B& œ ! $B  #C  D  @  #A œ ! &B"  #B#  $B$  B%  $B& œ ! #B  &C  D  #@  # A œ ! 'B"  &B#  %B$  $B%  #B& œ ! " (AYUDA: En W& y W' ß hacer: ? œ B à @ œ "C à A œ D" ) Para cada uno de estos sistemas de ecuaciones; determine: (4.1) dos soluciones particulares si existen. (4.2) una 8?:6+ que NO sea solución. (4.3) TODAS las soluciones. (4.4) EL CONJUNTO SOLUCIÓN. 5. W" À

Dado los siguientes sistemas: B  C  5D œ # W# À B  $D œ  $ $B  %C  #D œ 5 #B  5C  D œ  # #B  $C  D œ " B  #C  5D œ " Determine los valores de 5 − ‘ para que el sistema en B ß C ß D À (5.1) tenga solución única en ‘$ . (5.2) no tenga solución en ‘$ Þ (5.3) tenga infinitas soluciones en ‘$ . 6. Determine para qué valores de +ß ,ß - − ‘ ; el sistema tiene solución $ en ‘ . B  #C  %D œ + #B  $C  D œ , $B  C  #D œ 7. Resolver los siguientes problemas; planteando claramente el sistema de ecuaciones que corresponde: (7.1) Un comerciante liquida sus existencias de lapiceros y gomas por $ 1000; los primeros los vende a razón de $ 10 el conjunto de tres lapiceros, y las segundas a $ 2 cada una. Sabiendo que vendió solamente la mitad de los lapiceros y las dos terceras partes de las gomas; recaudando en total $ 600. Hallar las unidades que vendió de cada uno de los artículos citados. R: 120 y 300. (7.2) Hallar dos números cuya suma es 28 y su diferencia es 12. R: 20 y 8. FACULTAD DE CS. NATURALES, MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PROYECTO DE FACULTAD "ÁLGEBRA LINEAL: una propuesta metodológica de aprendizaje autónomo en página web"

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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA FACULTAD DE CS. NAT., MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PRUEBA DE AUTOEVALUACIÓN N° 3: PROBLEMA 1: (1.1)

1. D

TALLER N° 3: RESPUESTA:

Î "3 "3 "3 "3 Ð"Þ#Ñ Ï 3 "

Ð"Þ"Ñ  #

Ð"Þ$Ñ

Î "3 "3 +.4 H œ Ï "3

Ð"Þ%Ñ

Es invertible, ya que ./> H Á !Þ H

"

"3 "3 ""

Î "3 "3 œ  Ï "3

(1.2)

" #

TALLER N° 3: RESPUESTA:

"3 Ñ "3 " Ò

3 Ñ "  "Ò

"3 "3 ""

3 Ñ "  "Ò

1. F

Ð"Þ"Ñ Ð+.  ,-ÑÐ+.  ,-Ñ Ð"Þ#Ñ

Î .Ð+.  ,-Ñ Ð  ,Ð+.  ,-Ñ Ð ! Ï !

 -Ð+.  ,-Ñ ! +Ð+.  ,-Ñ ! ! .Ð+.  ,-Ñ ! ,Ð+.  ,-Ñ

Ð"Þ$Ñ

Î .Ð+.  ,-Ñ Ð  -Ð+.  ,-Ñ +.4J œ Ð ! Ï !

 ,Ð+.  ,-Ñ +Ð+.  ,-Ñ ! !

! Ñ ! Ó Ó  -Ð+.  ,-Ñ +Ð+.  ,-Ñ Ò

! ! Ñ ! ! Ó Ó .Ð+.  ,-Ñ ,Ð+.  ,-Ñ  -Ð+.  ,-Ñ +Ð+.  ,-Ñ Ò

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Ð"Þ%Ñ Si ./> J œ Ð+.  ,-ÑÐ+.  ,-Ñ œ !. Entonces J no es invertible. Si ./> J œ Ð+.  ,-ÑÐ+.  ,-Ñ Á !. Entonces J es invertible y

Î +.,Ð  +.,Ð " J œÐ ! Ï ! .

PROBLEMA 2: (2.1)

, +.,+ +.,-



! !

TALLER N° 3: RESPUESTA:

? œ #à @ œ  $à A œ ' Ð%Þ$Ñ W œ ˜Ð "# ß  "$ ß "' Ñ™

1º)

2º)

Ê

. +., +.,-

, +.,+ +.,-

Ñ Ó Ó Ó Ò

4. S5 " Sean ? œ B à @ œ C" à A œ D"

Ê

Bœ

" #

àCœ 

" $

àDœ

" '

Ð%Þ%Ñ W œ ˜Ð "# ß  "$ ß "' Ñ™

TALLER N° 3: RESPUESTA:

Î# Ð * Formar la matriz Ð & Ï'

! !

Ð%Þ#Ñ Ð!ß !ß !Ñ Â W

Ð%Þ"Ñ no existen

(2.2)

! !

% $ # &

4. S8

( # $ %

% ( " $

& " $ #

Para obtener la matriz escalonada reducida por filas "*"$& Î" ! ! ! ""##($ "#((" Ð ! " ! ! ""##($ Ð Ð ! ! " !  (%#'" ""##($ "'( Ï! ! ! "  #'"" "*"$& B" œ  ""##($ B& à B# œ  (%#'" "'( B$ œ ""##($ B& à B% œ #'"" B&

!Ñ !Ó Ó !Ó !Ò "#((" ""##($ B& à

!Ñ !Ó Ó ! !Ò

Ð%Þ"Ñ B& œ !

Ê Ð!ß !ß !ß !ß !Ñ B& œ ""##($ Ê Ð  "*"$&ß  "#(("ß (%#'"ß (")"ß ""##($Ñ Ð%Þ#Ñ Ð!ß !ß !ß !ß "Ñ Â W FACULTAD DE CS. NATURALES, MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PROYECTO DE FACULTAD "ÁLGEBRA LINEAL: una propuesta metodológica de aprendizaje autónomo en página web"

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"*"$& ˜Ð B" ß B# ß B$ ß B% ß B& Ñ − ‘ Î B" œ  ""##($ B& à "#((" (%#'" "'( B# œ  ""##($ B& à B$ œ ""##($ B& à B% œ #'"" B&

PÁG. 118

Ð%Þ$Ñ W œ

&

"*"$& B& à Ð%Þ%Ñ W œ ˜Ð B" ß B# ß B$ ß B% ß B& Ñ − ‘& Î B" œ  ""##($

B# œ 

PROBLEMA 3:

1º) 2º)

"#((" ""##($

B& à B $ œ

TALLER N° 3: RESPUESTA:

Î" " $ % Formar la matriz Ï# $

(%#'" ""##($

B& à B % œ

"'( #'""

™

B& ™

5. S1

5 #Ñ # 5 " "Ò

Para obtener la matriz escalonada reducida por filas

Î" ! Ï! Ê

! " !

 #  %5 #  $5 $5

)5Ñ 5' $5Ò

Ð&Þ"Ñ 5 Á $ Ð'  $5ß  %  #5ß  "Ñ es la solución única del sistema para un 5 0 349Þ Ð&Þ#Ñ SIEMPRE TIENE SOLUCIÓN para 5 − ‘ Þ Ð&Þ$Ñ 5 œ $ Ê W œ ˜Ð B ß C ß D Ñ − ‘$ Î B œ &  "!D à C œ  $  (D ™ PROBLEMA 4:

1º) 2º)

TALLER N° 3: RESPUESTA:

Î" # Formar la matriz Ï$

Î" Ð !

# $ "

6.

% +Ñ " , # -Ò

Ñ Ó

Para obtener la matriz escalonada reducida por filas

Ê W œ ˜Ð

Ï!

(+),"!(

PROBLEMA 5:

! " ! ß

! ! "

(+),"!( (+"!,*(

+,- Ò

(+"!,*(

TALLER N° 3: RESPUESTA:

ß +  ,  - Ñ Î +ß ,ß - − ‘™

(7.1) 120 lápices y 300 gomas.

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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA FACULTAD CS. NAT., MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA MARTES 17 DE ABRIL DE 2007: 12:45-14:05 CONTROL N° 1: ÁLGEBRA LINEAL (MAT-605) NOMBRE_______________________________SECCIÓN__11__ PROFESOR__CARLOS SEPÚLVEDA BUSTAMANTE__ (4.1)

(4.2)

TOTAL

PUNTAJE

â â â â (4.1) Calcule el siguiente determinante: â â â â

PREGUNTA 4:

(4.2) Encuentre la matriz adjunta de

PONDERACIONES:

# " $ %

! # ! # Î ! " Eœ Ï !

! " " $ " " #

â (â â %â â &â â !â  #Ñ $  "Ò

(4.1) = 08 (4.2) = 07 PUNTOS. TIEMPO: 20 minutos.

JUSTIFIQUE DETALLADAMENTE EL DESARROLLO ANALÍTICO DE CADA UNA DE SUS RESPUESTAS!!

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PAUTA CONTROL N° 1: ÁLGEBRA LINEAL (MAT-605) SECCIÓN__11__ PREGUNTA 4: (4.1) SOLUCIÓN: (DOS FORMAS) a) POR DESARROLLO DE COFACTORES O POR MENORES: (por fila 1 que tiene más ceros) â â â # ! ! (â â â #  " %â â " â â œ Ð  "Ñ"" +"" ./>Q""  Ð  "Ñ"% +"% ./>Q"% !  " &â â $ â â # $ !â â % Î#  " %Ñ Î" #  "Ñ œ Ð  #Ñ./> !  " &  (./> $ !  " % Ï# Ò Ï Ò $ ! % # $ (por columna 1) (por fila 2) " & " % ‘ œ Ð  #Ñ # ./>Œ  # ./>Œ  $ !  " & # " " # ‘  (   $ ./>Œ  ./>Œ #  # $ % # œ Ð  #Ñ  $!  # ‘  (   #%  ' ‘ œ '%  #"! œ #(% # O TAMBIÉN: b) POR APLICACIÓN DE OPERACIONES ELEMENTALES: â â â â â â # ! â " â" ! (â "  " %â " " â â â â â #  " %â ! (â ! â " â # ! â!  # â â œ  #â â œ #â !  " &â !  " &â $ " â $ â $ â! â â â â â # $ !â " $ !â % $ â % â % â" à J"# G"# â â â" â â â " " % â ! ( â â â â # â ! ! ( â â!  # â â â " & â œ #â " œ #â â œ #â $ $ " & â â! â â â %  %â â â â $ â % $ %  %â â! J%  Ð  "ÑJ" Ð  "ÑG# à â â â â $ & â $ & â â " â" â â â â # ( â œ  #â !  # ( â œ #(% œ  #â ! â â â â $  %â â % â ! "& "' â J"# J$  %J" " # G#

%

# $ $ G"#

%

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â %â â (â â &â â !â

â ( â â & â â  %â

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(4.2) SOLUCIÓN: 1º)

MATRIZ DE COFACTORES Ð E34 Ñ

E"" œ ./> Œ

" $ œ& E"# œ #  " " " E"$ œ ./> Œ œ # E#" ! # ! # E## œ ./> Œ œ! E#$ œ !  " " # E$" œ ./> Œ œ  " E$# œ "  $ ! " E$$ œ ./> Œ œ "Þ  " "

donde E34 œ Ð  "Ñ34 ./> Q34

 ./> Œ

" $ œ " !  " " # œ  ./> Œ œ $ #  " ! "  ./> Œ œ! ! # ! #  ./> Œ œ#  "  $

" Î & $ ! Por lo tanto; la matriz de cofactores es: F œ Ï " # 2º) MATRIZ ADJUNTA:  $  "Ñ Î & > " ! # F œ +.4 ÐEÑ œ Ï # ! " Ò

&

 #Ñ ! " Ò

#

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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA FACULTAD CS. NAT., MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA MARTES 17 DE ABRIL DE 2007: 11:15 - 12:35 CONTROL N° 1: ÁLGEBRA LINEAL (MAT-605) NOMBRE_______________________________SECCIÓN__12__ PROFESOR__CARLOS SEPÚLVEDA BUSTAMANTE__ (4.1)

(4.2)

TOTAL

PUNTAJE

â â( â â% (4.1) Calcule el siguiente determinante â â& â â!

PREGUNTA 4:

(4.2) Encuentre la matriz adjunta de

PONDERACIONES:

! # ! #

" $ ! "

Î " # Eœ Ï %

â  #â â " â â $ â â % â

 " $Ñ # ! Þ & !Ò

(4.1) = 08 (4.2) = 07 PUNTOS. TIEMPO: 20 minutos.

JUSTIFIQUE DETALLADAMENTE EL DESARROLLO ANALÍTICO DE CADA UNA DE SUS RESPUESTAS!!

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PAUTA CONTROL N° 1: ÁLGEBRA LINEAL (MAT-605) SECCIÓN__12__ PREGUNTA 4: (4.1) SOLUCIÓN: (DOS FORMAS) a) POR DESARROLLO DE COFACTORES O POR MENORES: (por columna 2 que tiene más ceros) â â â( !  "  #â â â $ " â â% # â â œ Ð  "Ñ## +## ./>Q##  Ð  "Ñ%# +%# ./>Q%# ! $ â â& ! â â % â â! #  " Î(  "  #Ñ Î(  "  #Ñ ! $ $ " œ #./> &  #./> % % Ï!  " Ò Ï Ò % & ! $ (por columna 1) (por fila 3) ! $ " # ‘ œ # ( ./>Œ  & ./>Œ  " % " %  " # ( " ‘  #  & ./>Œ  $ ./>Œ #  $ " % $  œ # #"  $! ‘  #  #&  (& ‘ œ "!#  #!! œ $!# # O TAMBIÉN: b) POR APLICACIÓN DE OPERACIONES ELEMENTALES: â â â â â â( !  "  #â â  " ! (  #â â " ! ( â â â â â $ " â " % " â " #& â% # â $ â ! â â œ  #â â œ  #â ! $ â ! & $ â ! & â& ! â ! â ! â â â â â % â % â " ( â! #  " â " " ! â ! " J#  $J" à J%  J"  "J" à J%  J# # G# à G"$ â â" â â! œ #â â! â â!

â â ! ( # â â â" " #&  &â â â œ #â ! ! & $ â â â â! !  $# "" â œ # Ð&&  *'Ñ œ $!#

%

#& &  $#

â  &â & $ â $ â œ #º  $# "" º â "" â

%

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â  #â â  &â â $ â â ' â

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(4.2) SOLUCIÓN: 1º)

Î " # Eœ Ï %

MATRIZ DE COFACTORES Ð E34 Ñ

E"" œ ./> Œ

 " $Ñ # ! & !Ò

# ! œ! E"# œ & ! # # E"$ œ ./> Œ œ# E#" % &  " $ E## œ ./> Œ œ "# E#$ œ  % ! " $ E$" œ ./> Œ œ' E$# œ  # ! " " E$$ œ ./> Œ œ !Þ #  #

PÁG. 124

donde E34 œ Ð  "Ñ34 ./> Q34

 ./> Œ

# ! œ!  % ! " $ œ  ./> Œ œ "& & ! " "  ./> Œ œ " % &  " $  ./> Œ œ' # !

! Î ! Por lo tanto; la matriz de cofactores es: F œ "& "# Ï ' ' 2º) MATRIZ ADJUNTA: Î ! "& ' Ñ > F œ +.4 ÐEÑ œ ! "# ' Ï#  " !Ò

&

# Ñ " ! Ò

#

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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA FACULTAD CS. NAT., MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA JUEVES 19 DE ABRIL DE 2007: 11:15 - 12:35 CONTROL N° 1: ÁLGEBRA LINEAL (MAT-605) NOMBRE_______________________________SECCIÓN__14__ PROFESOR__CARLOS SEPÚLVEDA BUSTAMANTE__ (4.1)

PUNTAJE

(4.2)

â â â â (4.1) Calcule el siguiente determinante â â â â

PREGUNTA 4:

(4.2) Encuentre la matriz adjunta de

PONDERACIONES:

TOTAL

â ! (  "â â # % $ â â ! & ! â â $ (  #â & !Ñ Î % # # $ Þ Eœ Ï #  # !Ò # $ # "

(4.1) = 08 (4.2) = 07 PUNTOS. TIEMPO: 20 minutos.

JUSTIFIQUE DETALLADAMENTE EL DESARROLLO ANALÍTICO DE CADA UNA DE SUS RESPUESTAS!!

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PAUTA CONTROL N° 1: ÁLGEBRA LINEAL (MAT-605) SECCIÓN__14__ PREGUNTA 4: (4.1) SOLUCIÓN: (DOS FORMAS) a) POR DESARROLLO DE COFACTORES O POR MENORES: (por fila 3 que tiene más ceros) â â â  # ! (  "â â â # % $ â â $ â â œ Ð  "Ñ$" +$" ./>Q$"  Ð  "Ñ$$ +$$ ./>Q$$ ! & ! â â # â â â  " $ (  #â Î! (  "Ñ Î  # !  "Ñ $ $ # $ œ #./> # %  &./> % Ï$ (  #Ò Ï  " $  #Ò (por columna 1) (por fila 1) ( " ( " ‘ œ #  # ./>Œ  $ ./>Œ  ( # % $  # $ $ # ‘  &   # ./>Œ  ./>Œ #  $ #  " $ œ # "%  (& ‘  &  #'  "" ‘ œ "()  (& œ #&$ # O TAMBIÉN: b) POR APLICACIÓN DE OPERACIONES ELEMENTALES: â â â â â â  # ! (  "â â " $ ( # â â" $ ( â â â â â # % $ â â $ # % $ â â ! "" #& â $ â âœâ âœâ ! & ! â â # ! & ! â â! ' "* â # â â â â â ! (  "â â!  '  ( â  " $ (  #â â  # Ð  "ÑJ% à J"% J#  Ð  $ÑJ" à J$  Ð  #ÑJ" à J%  #J" â â â #&  $ â â "" #& â "" â â â "*  % â œ â ' "* œâ ' â â â $ â â ! "# â ' ( G $  G# G"$ â â â "# â " "# ! â â" â â â œ  â % "* ' â œ  â !  #* â â â â $ #& "" â â !  "" J#  Ð  %ÑJ" à J$  Ð  $ÑJ"

â â â  $â â  $ #& "" â â â â  % â œ  â  % "* ' â â â â  "â â  " "# ! â Ð  "ÑG" à J"$ â ! â â ' â œ #&$ % â "" â

%

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â # â â  $â â  %â â $ â

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(4.2) SOLUCIÓN: 1º)

Î % # Eœ Ï #

MATRIZ DE COFACTORES Ð E34 Ñ

E"" œ ./> Œ

& !Ñ # $  # !Ò

# $ œ' E"# œ  # ! # # E"$ œ ./> Œ œ! E#" œ #  # % ! E## œ ./> Œ œ! E#$ œ # ! & ! E$" œ ./> Œ œ "& E$# œ  # $ % & E$$ œ ./> Œ œ  #Þ #  #

PÁG. 127

donde E34 œ Ð  "Ñ34 ./> Q34

 ./> Œ

# $ œ' # ! & !  ./> Œ œ!  # ! % &  ./> Œ œ# #  # % !  ./> Œ œ "# # $

' Î ' ! ! Por lo tanto; la matriz de cofactores es: F œ Ï "& "# 2º) MATRIZ ADJUNTA: Î ' ! "& Ñ > F œ +.4 ÐEÑ œ ' ! "# # Ï! #  #Ò

&

! Ñ #  #Ò

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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA FACULTAD CS. NAT., MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA JUEVES 19 DE ABRIL DE 2007: 12:45 - 14:05 CONTROL N° 1: ÁLGEBRA LINEAL (MAT-605) NOMBRE_______________________________SECCIÓN__13__ PROFESOR__ERICK GONZÁLEZ GAJARDO__ (4.1)

PUNTAJE

(4.2)

â â â â (4.1) Calcule el siguiente determinante â â â â

PREGUNTA 4:

(4.2) Encuentre la matriz adjunta de

PONDERACIONES:

TOTAL

â ! (  #â â ! % $ â â # & " â â # ! % â  # !Ñ Î # # # $ Þ Eœ Ï % & !Ò " $ ! "

(4.1) = 08 (4.2) = 07 PUNTOS. TIEMPO: 20 minutos.

JUSTIFIQUE DETALLADAMENTE EL DESARROLLO ANALÍTICO DE CADA UNA DE SUS RESPUESTAS!!

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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA FACULTAD CS. NAT., MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA MIÉRCOLES 18 DE ABRIL DE 2007: 15:45 - 17:05 CONTROL N° 1: ÁLGEBRA LINEAL (MAT-605) NOMBRE_______________________________SECCIÓN__21__ PROFESOR__RENÉ ALZAMORA ANTIQUERA__ (4.1)

PUNTAJE

(4.2)

â â â â (4.1) Calcule el siguiente determinante â â â â

PREGUNTA 4:

(4.2) Encuentre la matriz adjunta de

PONDERACIONES:

TOTAL

â ! (  "â â ! & ! â â " & ! â â  " (  #â &  %Ñ Î! # Eœ $ # Þ Ï!  # Ò # # " ! !

(4.1) = 08 (4.2) = 07 PUNTOS. TIEMPO: 20 minutos.

JUSTIFIQUE DETALLADAMENTE EL DESARROLLO ANALÍTICO DE CADA UNA DE SUS RESPUESTAS!!

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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA FACULTAD CS. NAT., MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA MIÉRCOLES 18 DE ABRIL DE 2007: 14:15 - 15:35 CONTROL N° 1: ÁLGEBRA LINEAL (MAT-605) NOMBRE_______________________________SECCIÓN__22__ PROFESOR__RENÉ ALZAMORA ANTIQUERA__ (4.1)

(4.2)

TOTAL

PUNTAJE

â â â â (4.1) Calcule el siguiente determinante â â â â

PREGUNTA 4:

(4.2) Encuentre la matriz adjunta de

PONDERACIONES:

! " ! #

" ! " ! Î ! # Eœ Ï #

â (  #â â & ! â â & ! â â %  #â &  %Ñ $ # Þ Ò ! #

(4.1) = 08 (4.2) = 07 PUNTOS. TIEMPO: 20 minutos.

JUSTIFIQUE DETALLADAMENTE EL DESARROLLO ANALÍTICO DE CADA UNA DE SUS RESPUESTAS!!

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SEMANA N° 04:

(04 HORAS CÁTEDRA)

UNIDAD N° 3:

TEMA 3:

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

REGLA DE CRAMER

OBJETIVO OPERACIONAL: Encontrar la solución de un sistema de ecuaciones lineales usando la Regla de Cramer. OBJETIVO OPERACIONAL: Encontrar el valor de una variable determinada del sistema usando la Regla de Cramer.

(3.1) INTRODUCCIÓN: Consiste en un método de resolución de ecuaciones lineales donde coincide el número de ecuaciones con el número de incógnitas; de la forma E\ œ Fß es decir E − `8B8 à y además se exige que la matriz E sea invertible, o sea ./> E Á ! . Recordemos que anteriormente se vió que cuando la matriz de los coeficientes E era invertible, este sistema tiene una única solución que está dada por: \ œ E" F . En este punto se da otra posibilidad de solución haciendo uso del determinante.

(3.2) TEOREMA: Si se tiene el sistema de 8 ecuaciones lineales con 8 incógnitas denotado matricialmente por E\ œ F tal que ./> E Á ! y la matriz de los coeficientes E la denotamos por:

E œ c E"

E#

E$

ÞÞÞ E4

ÞÞÞ E8 d

donde E4 Ð4 œ "ß #ß $ß ÞÞÞß 8Ñ son las columnas de la matriz E; y

Ô B" × Ö B# Ù Ö Ù Ö B$ Ù Ö Ù \ œ Ö ÞÞÞ Ù es el vector de las 8 incógnitas o variables del sistema. Ö Ù Ö B4 Ù Ö Ù ÞÞÞ ÕB Ø 8 FACULTAD DE CS. NATURALES, MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PROYECTO DE FACULTAD "ÁLGEBRA LINEAL: una propuesta metodológica de aprendizaje autónomo en página web"

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Entonces la solución única del sistema está dada por:

B4 œ

./>  E"

E#

E$

ÞÞÞ

E4" ./> E

F

E4"

ÞÞÞ

E8 ‘

:+9.9 4 œ "ß #ß $ß ÞÞÞß 8 Þ (3.3) OBSERVACIÓN: Notar que para encontrar la solución de cualesquiera de las variables del sistema; en el numerador se calcula el determinante de la matriz que se obtiene de sustituir la columna respectiva de la variable por la matriz de constantes.

(3.4) EJEMPLO: (3.4.1) Dado el siguiente sistema:

5B  C  D œ " B  5C  D œ " B  C  5D œ " Usando la REGLA DE CRAMER (NO SE PROCEDIMIENTO)Þ Encuentre el valor de la variable parámetro 5 œ  " Þ

PERMITE OTRO " C " cuando el

SOLUCIÓN: 1°)

Notar que la representación matricial del sistema es: " " ÑÎ B Ñ Î " Ñ Î " " " " C E\ œ F Í œ " Ï " ÒÏ Ò Ï"Ò " " D

2°) El sistema se puede resolver por REGLA DE CRAMER si ./> E Á ! ; y por lo tanto la solución es única.

./> E œ ./>

J#$

Î " " Ï "

" " "

Î " ! Ä  ./> Ï !

" Ñ Î " J #  J" " ! Ä ./> J $  J" Ò Ï " ! " # !

" ! #

"Ñ # !Ò

"Ñ ! œ  Ð  "ÑÐ#ÑÐ#Ñ œ % Ê ./> E Á !Þ #Ò

Por lo tanto, se puede aplicar la regla. FACULTAD DE CS. NATURALES, MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PROYECTO DE FACULTAD "ÁLGEBRA LINEAL: una propuesta metodológica de aprendizaje autónomo en página web"

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3°) Como se quiere solamente el valor de la variable C ; cuyos coeficientes en las ecuaciones del sistema corresponden a la segunda " " Ñ Î " " " " columna de la matriz E œ , se reemplaza dicha Ï " " "Ò " Ñ Î"Ñ Î " " " " " columna por la matriz F œ " à quedando la matriz . Ï"Ò Ï " " "Ò Por lo tanto:

Cœ

Î " " " Ñ " " " ./> Ï " " " Ò " Ñ Î " " " " " ./> Ï " " " Ò

œ

Î " " " Ñ J# J" ! # # Ä ./> J$ J" Ï ! # !Ò Î " " " Ñ J# J" ! ! # Ä ./> J$ J" Ï ! # !Ò

œ

% %

œ"

(3.4.2) Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando la Regla de Cramer: B "  B #  B$ œ (

#B"

 &B$ œ % $B#  B$ œ #

SOLUCIÓN: 1°) Notar que la representación matricial del sistema es: " ÑÎ B" Ñ Î ( Ñ Î" " # !  & B# E\ œ F Í œ % Ï! ÒÏ Ò Ï#Ò $ " B$ 2°) El sistema se puede resolver por REGLA DE CRAMER si ./> E Á ! ; y por lo tanto la solución es única. " Ñ " Ñ Î" " Î" " !  & J#  Ð  #ÑJ" Ä ./> ! #  ( œ "* ./> E œ ./> # Ï! Ï! $ "Ò $ "Ò Ê 3°)

./> E Á !Þ

El valor de las variables B" à B# y B$ están dados por: Ô ( " " × % ! & Õ # $ " Ø Ô " " " × ./> # ! & Õ ! $ " Ø ./>

B" œ

Por lo tanto, se puede aplicar la regla.

./>

œ

Ô ( " " × % ! & Õ # $ " Ø "*

G"# Ä ./>

œ

Ô " ( " × ! % & Õ $ # " Ø "*

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B" œ

" × Ô " ( ! % & J$ $J" Ä ./> Õ ! #$ # Ø "*

B# œ

Ô" # Õ! Ô" ./> # Õ!

( % # " ! $

" × & " Ø " × & " Ø

B$ œ

Ô" # Õ! Ô" ./> # Õ!

" ! $ " ! $

(× % #Ø " × & " Ø

./>

./>

./>

œ

./>

œ

PÁG. 134

"#$ œ  Ð  "#$ "* Ñ œ "*

Ô" ( " × # % & Õ ! # " Ø "*

Ô " " ( × # ! % Õ! $ #Ø "*

( " × Ô" ! "! ( Õ! # " Ø "*

œ #% "*

( × Ô " " ! # "! Õ! $ # Ø "*

œ $% "*

J# Ð#ÑJ" Ä ./>

œ

J# Ð#ÑJ" Ä ./>

œ

(3.4.3) Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando la Regla de Cramer: B"  B $  B% œ (

#B#  #B$  $B% œ  " %B"  B#  B$ œ!  #B"  B#  %B$ œ# SOLUCIÓN: 1°) Notar que la representación matricial del sistema es:

E\ œ F

Í

Î " Ð ! Ð % Ï #

! # " "

" # " %

" ÑÎ B" Ñ Î $Ó Ð B# Ó Ð œÐ Ó Ð Ó ! B$ ÒÏ ! B% Ò Ï

( Ñ "Ó Ó ! # Ò

2°) El sistema se puede resolver por REGLA DE CRAMER si ./> E Á ! ; y por lo tanto la solución es única. Î " Ð ! ./> E œ ./>Ð % Ï #

œ G"%

! # " "

Î " Ð $ Ä  ./>Ð ! Ï !

" # " % ! # " "

" Ñ $Ó Ó ! ! Ò " # " %

" Ñ ! Ó Ó % #Ò

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Î" Ð ! œ J#  $J" Ä  ./>Ð ! Ï! Î # œ  ./>  " Ï "

" " %

! # " "

PÁG. 135

" Ñ $ Ó Ó % #Ò

" " " %

$ Ñ Î " % œ J"$ Ä  Ð  ./>  " Ò Ï # #

Î" J #  J" œ Ä ./> ! J$  Ð  #ÑJ" Ï!

% $ *

% " "

#Ñ % Ñ Ò $

#Ñ # œ $* Ê ./> E Á !Þ ( Ò

Por lo tanto, se puede aplicar la regla. 3°)

B" œ

B$ œ

El valor de las variables B" à B# ; B$ y B% están dados por: Ô ( Ö " ./> Ö ! Õ #

Ô " Ö ! ./> Ö % Õ #

! " # # " " " % $*

! ( # " " ! " # $*

" × $ Ù Ù ! ! Ø

" × $ Ù Ù ! ! Ø

B# œ

B% œ

Ô " Ö ! ./> Ö % Õ #

Ô " Ö ! ./> Ö % Õ #

( " " # ! " # % $*

! " # # " " " % $*

" × $ Ù Ù ! ! Ø

( × " Ù Ù ! # Ø

REVISE Y TERMINE LOS CÁLCULOS !! . Encuentre la solución.

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UNIDAD N° 4:

TEMA 1:

ESPACIOS VECTORIALES

DEFINICIÓN DE ESPACIO VECTORIAL

OBJETIVO OPERACIONAL: Verificar las propiedades de espacio vectorial que se cumplen para un conjunto, un cuerpo y las correspondientes operaciones.

(1.1) DEFINICIÓN: Sean Š un cuerpo o campo y Z Á 9 operaciones:

un conjunto dotado de dos

a)

ADICIÓN O SUMA VECTORIAL: Para todo @" à @# − Z se tiene que Ð @"  @# Ñ − Z ,

b)

MULTIPLICACIÓN DE UN VECTOR POR UN ESCALAR: Para todo ! − Š ; @ − Z se tiene que ! @ − Z .

Diremos que Z tiene estructura de ESPACIO VECTORIAL SOBRE EL CUERPO Š si y solo si se satisfacen los siguientes axiomas: (AX. 1)

PROPIEDAD DE CLAUSURA PARA LA SUMA VECTORIAL: Si @" ß @# − Z Þ Entonces Ð@"  @# Ñ − Z .

(1.1.1) EJEMPLO: Considere el conjunto ‘  (reales positivos) y el cuerpo de los números reales ‘ con la suma vectorial y producto escalar definido por B Š C œ BC à !  B œ B! a! − ‘ ß a Bà C − ‘  Determine si: La operación Š está bien definida. SOLUCIÓN: 1º)

Se debe verificar que a Bà C − ‘  : B Š C − ‘ 

2º)

Como B Š C œ B C − ‘  , ya que Bà C − ‘ 

3º) Luego, la operación Š satisface la propiedad de clausura o es cerrada en ‘  . Es decir, está bien definida.

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(1.1.2) EJEMPLO: Considere el conjunto Z œ ˜ÐB ß C Ñ − ‘# ÎB  ! ß C  !™ y el cuerpo de los números reales ‘ con la suma vectorial y producto escalar definido por a! − ‘ ß a ÐBß CÑ,Ð?ß @Ñ − Z : ÐBß CÑ Š Ð?ß @Ñ œ ÐB ? ß C @Ñ à !  ÐB ß CÑ œ ÐB! ß C! Ñ Determine si: La operación Š está bien definida. SOLUCIÓN: 1º)

Se debe verificar que a ÐBß CÑ,Ð?ß @Ñ − Z : ÐBß CÑ Š Ð?ß @Ñ − Z

2º)

Como ÐBß CÑ Š Ð?ß @Ñ œ ÐB ? ß C @Ñ − Z , ya que Bà Cà ?à @  ! y por consiguiente B?  !ß C@  !

3º) Luego, la operación Š satisface la propiedad de clausura o es cerrada en Z . Es decir, está bien definida.

(1.1.3) EJEMPLO: Considere el conjunto `# B # Ð‘Ñ y el cuerpo de los números complejos ‚ ; con la suma habitual de matrices y el producto escalar + , + , definido por !Œ œŒ a!−‚.  - . - !. Determine si: La operación  está bien definida. SOLUCIÓN: 1°)

La suma habitual de matrices es a Œ + Œ-

2º)

+ aΠ-

, / Œ  . 1

+ , / ,Œ  - . 1 0 +/ ,0 œ 2 Œ- 1 . 2

Se debe verificar que: , / 0 + ,Œ − ` # B # Ð ‘Ñ À Œ   . 1 2 -

, / Œ  . 1

+ , / 0 +/ Como Œ Œ œŒ   - . 1 2 -1 + , / 0 ya que Œ , − `# B # Ð‘Ñ . - . Œ1 2 3º)

4º)

0 − `# B # Ð‘Ñ À 2

0 − ` # B # Ð ‘Ñ : 2

,0 − `# B # Ð‘Ñ , . 2

Luego, la operación  está bien definida.

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(AX. 2)

PROPIEDAD ASOCIATIVA PARA LA SUMA VECTORIAL: a @" ß @# ß @$ − Z : Ð@"  @# Ñ  @$ œ @"  Ð @#  @$ Ñ

(1.1.4) EJEMPLO: Considere el conjunto ‘  (reales positivos) y el cuerpo de los números reales ‘ con la suma vectorial y producto escalar definido por B Š C œ B C à !  B œ B! a! − ‘ ß a Bà C − ‘  Determine si: La operación Š es asociativa. SOLUCIÓN: 1º)

Se debe verificar que a Bà Cà D − ‘  : ÐB Š CÑ Š D œ B Š ÐC Š DÑ

2º)

Según la definición de la operación Š : ÐB Š CÑ Š D œ ÐB CÑ Š D œ ÐB CÑ D ; como Bà Cà D − ‘ (cuerpo) œ B ÐC DÑ œ B Š ÐC DÑ œ B Š ÐC Š DÑ

3º)

Luego, la operación Š es asociativa.

(1.1.5) EJEMPLO: Considere el conjunto Z œ ˜ÐB ß C Ñ − ‘# ÎB  ! ß C  !™ y el cuerpo de los números reales ‘ con la suma vectorial y producto escalar definido por a! − ‘ ß a ÐBß CÑ,Ð?ß @Ñ − Z : ÐBß CÑ Š Ð?ß @Ñ œ ÐB ? ß C @Ñ à !  ÐB ß CÑ œ ÐB! ß C! Ñ Determine si: La operación Š es asociativa. SOLUCIÓN: 1º)

Se debe verificar que a ÐBß CÑ,Ð?ß @Ñß ÐAß DÑ − Z : ÐBß CÑ Š Ð?ß @Ñ Š ÐAß DÑ‘ œ ÐBß CÑ Š Ð?ß @Ñ‘ Š ÐAß DÑ

2º) Según la definición de la operación Š : ÐBß CÑ Š Ð?ß @Ñ Š ÐAß DÑ‘ œ ÐBß CÑ Š Ð? Aß @ DÑ‘ œ ÐB? A‘ ß C@ D ‘Ñ œ ÐB ?‘ A ß C @‘ DÑ œ ÐB ? ß C @Ñ Š ÐA ß DÑ œ ÐBß CÑ Š Ð?ß @Ñ‘ Š ÐAß DÑ

3º)

Luego, la operación Š es asociativa.

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(1.1.6) EJEMPLO: Considere el conjunto `# B # Ð‘Ñ y el cuerpo de los números complejos ‚ ; con la suma habitual de matrices y el producto escalar + , + , definido por !Œ œ a!−‚. - . Œ- !. Determine si: La operación  es asociativa. SOLUCIÓN: 1°)

La suma habitual de matrices es a Œ + Œ-

2º)

+ aΠ-

, / Œ  . 1

, / ,Œ  . 1

+ -

0 +/ œŒ  2 -1

0 − `# B # Ð‘Ñ À 2

,0 . 2

Se debe verificar que: , / 0 4 5 ,Œ ,Œ − `# B # Ð‘Ñ À   . 1 2 6 7

+ ’Œ -

, /  . Œ1

0 4 5 + œ “Œ 2 6 7 Œ-

3º)

Según la definición de la operación  :

+ ’Œ -

, /  . Œ1

0 4 5 “Œ 2 6 7

œŒ

, /  ’Œ . 1

+/ -1

0 4 5  “ 2 Œ6 7

,0 4 5  . 2 Œ 6 7

œŒ

Ð+  /Ñ  4 Ð,  0 Ñ  5 ; Ð-  1Ñ  6 Ð.  2Ñ  7  como +ß ,ß -ß .ß /ß 0 ß 1ß 2ß 4ß 5ß 6ß 7 − ‘ (cuerpo)

œŒ 4º)

+ -

œŒ

+  Ð/  4Ñ -  Ð1  6Ñ

œŒ

+ -

,  Ð0  5Ñ .  Ð2  7Ñ 

, /4 0 5  Œ  . 1 6 2 7

, /  ’Œ  . 1

0 4 5 Œ “  2 6 7

Luego, la operación  es asociativa.

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(AX. 3)

EXISTENCIA Y UNICIDAD DE NEUTRO ADITIVO: a @ − Z ; b ! / − Z tal que @  / œ /  @ œ @

(1.1.7) EJEMPLO: Considere el conjunto ‘  (reales positivos) y el cuerpo de los números reales ‘ con la suma vectorial y producto escalar definido por B Š C œ BC à !  B œ B! a! − ‘ ß a Bà C − ‘  Determine si: Existe un único elemento neutro para la operación Š . SOLUCIÓN: 1º)

EXISTENCIA: a) Se debe verificar que b) c)

2°)

aB − ‘ , b / − ‘  : ÐB Š /Ñ œ Ð/ Š BÑ œ B B Š / œ B / œ B Ê / œ " ß ya que B − ‘ / Š B œ / B œ B Ê / œ " ß ya que B − ‘ Por lo tanto, existe elemento neutro / œ " − ‘

UNICIDAD: a) Supogamos que existe otro elemento neutro /‡ − ‘ À ÐB Š /‡ Ñ œ Ð /‡ Š BÑ œ B à aB − ‘ b) Si B œ / œ " − ‘ , por 1°). Entonces se tiene que: " Š /‡ œ Ð"Ñ/‡ œ " Ê /‡ œ " /‡ Š " œ /‡ Ð"Ñ œ " Ê /‡ œ " c) Por lo tanto /‡ œ / œ " Þ

3°) Es decir, por operación Š .

1°) y 2°)

existe un único elemento neutro para la

(1.1.8) EJEMPLO: Considere el conjunto Z œ ˜ÐB ß C Ñ − ‘# ÎB  ! ß C  !™ y el cuerpo de los números reales ‘ con la suma vectorial y producto escalar definido por a! − ‘ ß a ÐBß CÑ,Ð?ß @Ñ − Z . ÐBß CÑ Š Ð?ß @Ñ œ ÐB ? ß C @Ñ à !  ÐB ß CÑ œ ÐB! ß C! Ñ Determine si: Existe un único elemento neutro para la operación Š . SOLUCIÓN: 1º)

EXISTENCIA: a) Se debe verificar que a ÐBß CÑ − Z , b / œ Ð/" ß /# Ñ − Z : ÐBß CÑ Š Ð/" ß /# Ñ œ Ð/" ß /# Ñ Š ÐBß CÑ œ ÐBß CÑ

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b) Ê

ÐBß CÑ Š Ð/" ß /# Ñ œ ÐB /" ß C /# Ñ œ ÐBß CÑ B /" œ B Ê /" œ " à ya que B  ! C /# œ C Ê /# œ " à ya que C  ! Ð/" ß /# Ñ Š ÐBß CÑ œ Ð/" Bß /# CÑ œ ÐBß CÑ

Ê

/" B œ B /# C œ C

Ê /" œ "  ! à Ê /# œ "  ! à

Luego;

Ð/" ß /# Ñ œ Ð"ß "Ñ − Z

c)

ya que B  ! ya que C  !

Por lo tanto, existe elemento neutro / œ Ð/" ß /# Ñ œ Ð"ß "Ñ − Z

2°)

UNICIDAD:

a)

Supogamos que existe otro elemento neutro /‡ œ Ð/‡" ß /‡# Ñ − Z À ÐBß CÑ Š Ð/‡" ß /‡# Ñ œ Ð/‡" ß /‡# Ñ Š ÐBß CÑ œ ÐBß CÑ à aÐBß CÑ − Z

b)

Si ÐBß CÑ œ Ð"ß "Ñ − Z , por 1°). Entonces se tiene que: Ð"ß "Ñ Š Ð/‡" ß /‡# Ñ œ Ð" /‡" ß " /‡# Ñ œ Ð"ß "Ñ Ê /‡ œ Ð/‡" ß /‡# Ñ œ Ð"ß "Ñ œ / Ð/‡" ß /‡# Ñ Š Ð"ß "Ñ œ Ð/‡" " ß /‡# "Ñ œ Ð"ß "Ñ Ê /‡ œ Ð/‡" ß /‡# Ñ œ Ð"ß "Ñ œ /

c)

Por lo tanto /‡ œ / œ Ð"ß "Ñ Þ

3°) Es decir, por operación Š .

1°) y 2°)

existe un único elemento neutro para la

(1.1.9) EJEMPLO: Considere el conjunto `# B # Ð‘Ñ y el cuerpo de los números complejos ‚ ; con la suma habitual de matrices y el producto escalar + , + , definido por !Œ œŒ a!−‚.  - . - !. Determine si: Existe un único elemento neutro para la operación  . SOLUCIÓN: 1°)

+ La suma habitual de matrices es a Œ + Œ-

, / Œ  . 1

0 +/ œŒ  2 -1

, / ,Œ  . 1

0 − `# B # Ð‘Ñ À 2

,0 . 2

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2º)

EXISTENCIA: a) Se debe verificar que + , / 0 aE œ Œ − ` # B # Ð ‘Ñ , b I œ Œ − ` # B # Ð ‘Ñ :  - . 1 2 EI œIEœE + , / 0 + , b) EI œŒ Œ œŒ   - . 1 2 - . +/ ,0 + , Ê Œ- 1 . 2 œ Œ- . Ê +/ œ+ Ê/ œ0 œ1 œ2 œ! ,0 œ, -1 œ.2 œ. ! ! Ê IœŒ ! ! ! ! Luego; IœŒ − `# B # Ð‘Ñ Þ ! ! c)

Por lo tanto, existe elemento neutro / 0 ! ! IœŒ œŒ − `# B # Ð‘Ñ Þ  1 2 ! !

3°) a)

UNICIDAD: Supongamos que existe otro elemento neutro /‡ 0 ‡ − ` # B # Ð ‘Ñ : E  I ‡ œ I ‡  E œ E à a E − ` # B # Ð ‘ Ñ I‡ œŒ ‡ 1 2‡  ! ! b) Si E œ Œ − `# B # Ð‘Ñ , por 2°). ! ! Entonces se tiene que: ! ! /‡ 0 ‡ !  /‡ !  0 ‡ ! ! E  I‡ œ Œ Œ ‡ œ  ‡ œŒ ! ! 1 2 !  1‡ !  2 ‡  Œ ! !  /‡ 0 ‡ ! ! Ê I‡ œŒ ‡ œI ‡ œŒ 1 2 ! ! /‡ 0 ‡ ! ! /‡  ! 0 ‡  ! ! ! I‡  E œ Œ ‡ œŒ ‡ œ  ‡Œ 1 2 ! ! 1  ! 2‡  !  Œ ! !  /‡ 0 ‡ ! ! Ê I‡ œŒ ‡ œI ‡ œŒ 1 2 ! ! ! ! c) Por lo tanto I ‡ œ I œ Œ Þ ! ! 4°) Es decir, por operación  .

2°) y 3°)

existe un único elemento neutro para la

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(AX. 4)

EXISTENCIA Y UNICIDAD DE INVERSO ADITIVO: T +38?+ /8 ‘ ™

0 Ñ [' œ ˜0 Î 0 /= ./ #  $  % œ "% Á ! ß se puede usar CRAMER: Ï$ # "Ò Ê

?œ Aœ

" " Ñ Î & ./> "" $ % Ï ' # " Ò œ "% " " " Î Ñ ./> # $ % Ï $ # " Ò œ' "%

W œ ˜Ð "# ß 

" $

#à @ œ Ê

& " Ñ Î" ./> # "" % Ï $ ' " Ò "%

Bœ

" #

àCœ 

ß "' Ñ™ es la solución única.

" D

œ $à " $

àDœ

" '

(1.2)

TALLER N° 4: 1. S7 RESPUESTA: "  # "  "  " ÑÎ B Ñ Î ! Ñ Î Ð # " " # $Ó Ð CÓ Ð "Ó Ð Ó Ð Ó Ð Ó " #Ó Ð"Þ"Ñ Ð $  #  " œÐ ! Ó Ð DÓ Ð Ó Ð Ó Ð Ó # & " # # @ ! Ï" " " " " ÒÏ A Ò Ï ! Ò " " "Ñ Î" # Ð # " " # $Ó Ð Ó " #Ó Ð"Þ#Ñ ./>Ð $  #  " œ ) Á !ß Ð Ó # & " # # Ï" " " " " Ò se puede usar CRAMER:

Bœ

Î ! Ð " Ð ./>Ð ! Ð ! Ï !

# " " " Ñ " " # $ Ó Ó # " " # Ó Ó & " # # " " " " Ò àC )

œ

" " " Ñ Î" ! Ð # " " # $ Ó Ð Ó ./>Ð $ ! " " # Ó Ð Ó # ! " # # Ï" ! " " " Ò à )

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Dœ

Aœ Ê

Î" Ð # Ð ./>Ð $ Ð # Ï" Î" Ð # Ð ./>Ð $ Ð # Ï"

Bœ

# ! " " Ñ " " # $ Ó Ó # ! " # Ó Ó & ! # # Ò " ! " " à )

@œ

# " " ! Ñ " " # " Ó Ó # " " ! Ó Ó & " # ! " " " ! Ò ) & à C œ "à D œ $ )

à@œ 

W œ ˜Ð &) ß " ß  $ ß  PROBLEMA 2:

3Ñ

$" )

ß 

TALLER N° 4: RESPUESTA:

Š es cerrada: HIPÓTESIS:

Î" Ð # Ð ./>Ð $ Ð # Ï"

" #

$" )

# " ! " Ñ " " " $ Ó Ó # " ! # Ó Ó & " ! # Ò " " ! " à )

àAœ 

PÁG. 172

" #

Ñ™ es la solución única. 4.

a ?ß @ − ‘8 Ê ? Š @ − ‘8 ?? ? œ ÐB" ß B# ß B$ ß Þ Þ Þ ß B8 Ñ − ‘8 @ œ ÐC" ß C# ß C$ ß Þ Þ Þ ß C8 Ñ − ‘8 B3 à C3 − ‘ a 3 œ "ß #ß $ß Þ Þ Þ ß 8

VERIFICACIÓN: ?Š@ œ?@ œ ÐB"  C" ß B#  C# ß B$  C$ ß Þ Þ Þ ß B8  C8 Ñ − ‘8 ya que B3  C3 − ‘ a 3 œ "ß #ß $ß Þ Þ Þ ß 8 8 Luego; ?Š@ − ‘ . " Š es cerrada" SE CUMPLE.

33Ñ

Š es conmutativa: a ?ß @ − ‘8 Ê ? Š @ œ @ Š ? ?? HIPÓTESIS: ? œ ÐB" ß B# ß B$ ß Þ Þ Þ ß B8 Ñ − ‘8 @ œ ÐC" ß C# ß C$ ß Þ Þ Þ ß C8 Ñ − ‘8 B3 à C3 − ‘ a 3 œ "ß #ß $ß Þ Þ Þ ß 8 VERIFICACIÓN: ?Š@ œ?@ Á@? œ@Š? Luego; ?Š@ Á@Š?. " Š NO es conmutativa"

333Ñ

Š es asociativa: a ?ß @ß A − ‘8 Ê Ð? Š @Ñ Š A œ ? Š Ð@ Š AÑ HIPÓTESIS: ? œ ÐB" ß B# ß B$ ß Þ Þ Þ ß B8 Ñ − ‘8 @ œ ÐC" ß C# ß C$ ß Þ Þ Þ ß C8 Ñ − ‘8 A œ ÐD" ß D# ß D$ ß Þ Þ Þ ß D8 Ñ − ‘8 B3 à C3 à D3 − ‘ a 3 œ "ß #ß $ß Þ Þ Þ ß 8

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VERIFICACIÓN: Ð? Š @Ñ Š A œ Ð?  @Ñ Š A œ Ð?  @Ñ  A œ ?  @  A ? Š Ð@ Š AÑ œ ? Š Ð@  AÑ œ ?  Ð@  AÑ œ ?  @  A Luego; Ð? Š @Ñ Š A Á ? Š Ð@ Š AÑ " Š NO es asociativa"

3@Ñ

Existencia y unicidad de neutro aditivo: a @ − ‘8 ; bx / − ‘8 >+6 ;?/ @ Š / œ / Š @ œ @ ?? HIPÓTESIS: @ œ ÐB" ß B# ß B$ ß Þ Þ Þ ß B8 Ñ − ‘8 / œ Ð/" ß /# ß /$ ß Þ Þ Þ ß /8 Ñ − ‘8 B3 à /3 − ‘ a 3 œ "ß #ß $ß Þ Þ Þ ß 8 VERIFICACIÓN: @Š/ œ@/ œ@ Ê /œ! /Š@ œ/@ œ@ Ê / œ #@ Luego; "NO existe un único /"

@Ñ

Existencia y unicidad de inverso aditivo: a @ − ‘8 ; bx @‡ − ‘8 >+6 ;?/ @ Š @‡ œ @‡ Š @ œ / ?? Pero, como la propiedad anterior no se cumple; esta tampoco se cumple.

@3Ñ

Œ es cerrada: HIPÓTESIS:

a! − ‘ à a @ − ‘8 Ê ! Œ @ − ‘8 ?? @ œ ÐB" ß B# ß B$ ß Þ Þ Þ ß B8 Ñ − ‘8 ! à B3 − ‘ a 3 œ "ß #ß $ß Þ Þ Þ ß 8

VERIFICACIÓN: ! Œ @ œ  !@ œ  !ÐB" ß B# ß B$ ß Þ Þ Þ ß B8 Ñ œ Ð  ! B" ß  ! B # ß  ! B $ ß Þ Þ Þ ß  ! B 8 Ñ − ‘8 ya que  !B3 − ‘ a 3 œ "ß #ß $ß Þ Þ Þ ß 8 8 Luego; !Œ@ − ‘ . " Œ es cerrada" SE CUMPLE.

@33Ñ

Distributividad del escalar: a! − ‘ à a ?ß @ − ‘8 Ê ! Œ Ð? Š @Ñ œ Ð! Œ ?Ñ Š Ð! Œ @Ñ ?? HIPÓTESIS: ? œ ÐB" ß B# ß B$ ß Þ Þ Þ ß B8 Ñ − ‘8 @ œ ÐC" ß C# ß C$ ß Þ Þ Þ ß C8 Ñ − ‘8 ! à B3 à C3 − ‘ a 3 œ "ß #ß $ß Þ Þ Þ ß 8 VERIFICACIÓN: ! Œ Ð? Š @Ñ œ ! Œ Ð?  @Ñ œ  !Ð?  @Ñ œ  !?  !@ œ Ð! Œ ?Ñ  Ð  !@Ñ œ Ð! Œ ?Ñ  Ð! Œ @Ñ œ Ð! Œ ?Ñ Š Ð! Œ @Ñ Luego; ! Œ Ð? Š @Ñ œ Ð! Œ ?Ñ Š Ð! Œ @Ñ . "SE CUMPLE la distributividad del escalar"

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@333Ñ Distributividad del vector: a! à " − ‘ à a @ − ‘ Ê Ð!  " Ñ Œ @ œ Ð! Œ @Ñ Š Ð" Œ @Ñ ?? HIPÓTESIS: @ œ ÐB" ß B# ß B$ ß Þ Þ Þ ß B8 Ñ − ‘8 ! à " à B3 à C3 − ‘ a 3 œ "ß #ß $ß Þ Þ Þ ß 8 VERIFICACIÓN: Ð!  " Ñ Œ @ œ   Ð!  " Ñ‘@ œ Ð  !  " Ñ@ œ  !@  " @ œ Ð  !@Ñ Š Ð" @Ñ œ Ð! Œ @Ñ Š ÐÐ  " Ñ Œ @ÑÑ Á Ð! Œ @Ñ Š Ð" Œ @Ñ Luego; Ð!  " Ñ Œ @ Á Ð! Œ @Ñ Š Ð" Œ @Ñ . "NO se cumple la distributividad del vector"

3BÑ

Asociatividad del escalar: a ! à " − ‘ à a @ − ‘8 Ê Ð!" Ñ Œ @ œ ! Œ Ð" Œ @Ñ ?? HIPÓTESIS: @ œ ÐB" ß B# ß B$ ß Þ Þ Þ ß B8 Ñ − ‘8 ! à " à B3 à C3 − ‘ a 3 œ "ß #ß $ß Þ Þ Þ ß 8 VERIFICACIÓN: Ð!" Ñ Œ @ œ   Ð!" Ñ‘@ œ !Ð  " Ñ@‘ œ !Ð" Œ @Ñ œ Ð  !Ñ Œ Ð" Œ @Ñ Á ! Œ Ð" Œ @Ñ Luego; Ð!" Ñ Œ @ Á ! Œ Ð" Œ @Ñ . "NO se cumple la asociatividad del vector"

BÑ

a @ − ‘8 Ê " Œ @ œ @ ?? HIPÓTESIS: @ œ ÐB" ß B# ß B$ ß Þ Þ Þ ß B8 Ñ − ‘8 "−‘ VERIFICACIÓN: " Œ @ œ Ð  "Ñ@ œ  @ Á @ Þ Luego; "Œ@ Á@ "NO se cumpler"

PROBLEMA 3: 1º) 2º)

TALLER N° 4: 7. RESPUESTA: Se sabe que ‘$ es espacio vectorial sobre ‘ . Como Z § ‘$ à Z Á 9 à Ð!ß !ß !Ñ − Z Þ

POR DEMOSTRAR QUE Z es subespacio vectorial de ‘$ . DEM. Se debe demostrar que: aÐB" ß C" ß D" Ñ à ÐB# ß C# ß D# Ñ − Z à a ! − ‘ Ê ÐB" ß C" ß D" Ñ  !ÐB# ß C# ß D# Ñ − Z . En efecto: FACULTAD DE CS. NATURALES, MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PROYECTO DE FACULTAD "ÁLGEBRA LINEAL: una propuesta metodológica de aprendizaje autónomo en página web"

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HIPÓTESIS: ÐB" ß C" ß D" Ñ − Z Ê $B"  C" œ ! à #B"  C" œ D" ÐB# ß C# ß D# Ñ − Z Ê $B#  C# œ ! à #B#  C# œ D# !−‘ TESIS: ÐB" ß C" ß D" Ñ  !ÐB# ß C# ß D# Ñ œ ÐB"  !B# ß C"  !C# ß D"  !D# Ñ Verificar si esta terna cumple las condiciones para estar en Z : $ÐB"  !B# Ñ  ÐC"  !C# Ñ œ Ð$B"  C" Ñ  !Ð$B#  C# Ñ œ !  !! œ ! #ÐB"  !B# Ñ  ÐC"  !C# Ñ

œ Ð#B"  C" Ñ  !Ð#B#  C# Ñ œ D"  !D# Þ

Por lo tanto, ÐB"  !B# ß C"  !C# ß D"  !D# Ñ − Z ; es decir ÐB" ß C" ß D" Ñ  !ÐB# ß C# ß D# Ñ − Z Z es subespacio vectorial de ‘$ . Luego;

PROBLEMA 4: (4.1)

Z es espacio vectorial sobre ‘ .

TALLER N° 4: RESPUESTA:

(10.2)

1º)

W Á 9 à Ð!ß !ß !, . . . , !Ñ − W

2º)

NoÞ

3º)

Por lo tanto, W no es subespacio vectorial de ‘8 Þ

(4.2)

!−‘Ê

!ÐB" ß B# ß B$ ß Þ Þ Þ ß B8 Ñ Â W

TALLER N° 4: RESPUESTA:

Ð !B" Â ™ Ñ

(10.3)

1º)

W Á 9 à Ð!ß !ß !, !Ñ − W

2º)

NoÞ Ð"ß !ß #ß $Ñà Ð  #ß "ß !ß  "Ñ − W Ê Ð"ß !ß #ß $Ñ  Ð  #ß "ß !ß  "Ñ œ Ð  "ß "ß #ß #Ñ Â W

3º)

Por lo tanto, W no es subespacio vectorial de ‘% Þ

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PROBLEMA 5: (5.1)

TALLER N° 4: 12. a) RESPUESTA: Ð"#Þ"Ñ 0 À ‘ Ä ‘ definida por 0 ÐBÑ œ ! aB − ‘ 1 À ‘ Ä ‘ definida por 1ÐBÑ œ BÐB  "Ñ a B − ‘ Notar que 0 à 1 − [" ; ya que 0 Ð!Ñ œ 0 Ð"Ñ C 1Ð!Ñ œ 1Ð"Ñ Ð"#Þ#Ñ POR DEMOSTRAR QUE [" es subespacio vectorial de Z Þ DEM. Se debe demostrar que: a0 à 1 − [" à a ! − ‘ Ê Ð0  !1Ñ − [" . En efecto: HIPÓTESIS: 0 − [" Ê 0 Ð!Ñ œ 0 Ð"Ñ 1 − [" Ê 1Ð!Ñ œ 1Ð"Ñ !−‘ TESIS: Ð0  !1ÑÐ!Ñ œ 0 Ð!Ñ  ! 1Ð!Ñ œ 0 Ð"Ñ  ! 1Ð"Ñ œ Ð0  !1ÑÐ"Ñ Por lo tanto, Ð0  !1Ñ − [" Luego; [" es subespacio vectorial de Z Þ

(5.2) Ð"$Þ"Ñ Ð"$Þ#Ñ

TALLER N° 4: 13. c) RESPUESTA: ! ! " ! EœŒ àFœŒ − [$ ,  ! ! ! " ya que E# œ E ß F # œ F POR VERIFICAR QUE [$ es subespacio vectorial de `#B# БÑÞ DEM. Se debe verificar que: aE à F − [$ à a ! − ‘ Ê ÐE  !FÑ − [$ . HIPÓTESIS: E − [$ Ê E# œ E F − [$ Ê F # œ F !−‘ VERIFICACIÓN: ÐE  !FÑ# œ E#  #!EF  !# F # œ E  #!EF  !# F Á E  !F Por lo tanto, ÐE  !FÑ Â [$ . Luego; [$ NO es subespacio vectorial de `#B# БÑÞ

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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA FACULTAD CS. NAT., MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA VIERNES 27 DE ABRIL DE 2007: 11:30-12:10 CONTROL N° 1: ÁLGEBRA LINEAL (MAT-605) NOMBRE_________________________________SECCIÓN______ (5.1)

(5.2)

(5.3)

TOTAL

PUNTAJE EL DESARROLLO DE SUS RESPUESTAS PARA (5.2) Y (5.3) HÁGALO EN LAS PÁGINAS EN BLANCO DETRÁS DEL ENUNCIADO DE ESTE CONTROL; CON LÁPIZ PASTA. PREGUNTA 5: (5.1) Coloque en el

de la COLUMNA 2; el número que le

corresponde de la COLUMNA 1 COLUMNA 1

1 2 3 4 5 6

Ú"

Ð+34 Ñ − `8 B 8 Ð‘Ñ À +34 œ Û Ü!

COLUMNA 2 =3 3 œ 4 matriz antisimétrica =3 3 Á 4

Ð+34 Ñ − `8 B 8 Ð‘Ñ À +34 œ ! a 3  4

E" F " G "

E8 œ ! ß para algún 8 − 

Ð./> EÑÐE" Ñ

ÐEF G Ñ"

triangular superior

" # ÐE

triangular inferior

 E> Ñ

Si E es invertible; entonces +.4 E

matriz identidad matriz nilpotente

SE DESCUENTA UN PUNTO POR CADA INCORRECTA EN COLUMNA 2

G > F > E> matriz idempotente

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(5.2) a) Encuentre el polinomio :ÐBÑ definido por

Ô"  B $ :ÐBÑ œ ./> Õ #

b)

" #B "

% × " .Þ  "  BØ

Factorice completamente el polinomio obtenido en a).

(5.3) Dado el siguiente sistema:

5B  C  D œ " B  5C  D œ " B  C  5D œ " Deterrmine 5 − ‘ para que el sistema en B ß C ß D À i ) tenga solución única en ‘$ . ii ) no tenga solución en ‘$ Þ iii ) tenga infinitas soluciones en ‘$ . b) Usando la REGLA DE CRAMER (NO SE PERMITE OTRO PROCEDIMIENTO) ; Encuentre el valor de la variable " C " cuando el parámetro 5 œ  " Þ a)

PONDERACIONES:

(5.1) = 05 (5.2) = 05 (5.3) = 05 PUNTOS. TIEMPO: 40 minutos.

JUSTIFIQUE DETALLADAMENTE EL DESARROLLO ANALÍTICO DE CADA UNA DE SUS RESPUESTAS!!

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PAUTA CONTROL N° 1: ÁLGEBRA LINEAL (MAT-605) PREGUNTA 5: (5.1) (un punto cada respuesta correcta en COLUMNA 2) COLUMNA 1 COLUMNA 2

1 2 3 4 5 6

Ú"

Ð+34 Ñ − `8 B 8 Ð‘Ñ À +34 œ Û Ü!

=3 3 œ 4

5

=3 3 Á 4 E" F " G "

Ð+34 Ñ − `8 B 8 Ð‘Ñ À +34 œ ! a 3  4 E8 œ ! ß para algún 8 −  ÐEF G Ñ" " # ÐE

matriz antisimétrica

 E> Ñ

6 2

Ð./> EÑÐE" Ñ triangular superior

triangular inferior

Si E es invertible; entonces +.4 E

1 3

SE DESCUENTA UN PUNTO POR CADA INCORRECTA EN COLUMNA 2

matriz identidad matriz nilpotente G > F > E>

matriz idempotente

(5.2) a) SOLUCIÓN: (por columna 2) Ô"B $ ./> Õ #

œ ./>”

" #B "

% × " " BØ

$ " "B % "B  Ð#  BÑ./>”  ./>” • • # "B # "B $ # œ Ð  "  $BÑ  Ð#  BÑÐB  *Ñ  ÐB  "$Ñ œ  "  $B  #B#  ")  B$  *B  B  "$ :ÐBÑ œ  B$  #B#  &B  '

b)

$

SOLUCIÓN: Notar que B œ " es una raíz o cero de :ÐBÑ Þ Luego es divisible por B  " . En efecto:  B$  #B#  &B  ' À B  " œ  B#  B  '  B $  B#

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%  "•

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__________________ B#  &B  '  B#  B __________________ 'B  '  'B  ' __________________ ! Por lo tanto: :ÐBÑ œ ÐB  "ÑÐ  B#  B  'Ñ œ  ÐB  "ÑÐB  $ÑÐB  #Ñ (5.3) a) SOLUCIÓN: Formar la matriz aumentada:

J"# à J# 

5J"‡ Ð5

" "5 J#

Á !Ñ à J$ 

J"‡

Î" ! Ï!

" à "5 J$ Ð5 Á "Ñ à J#$

J"  Ð  5ÑJ# à J$  Ð"  5ÑJ# Ð5 Á " i ) 5 Á  # à " dada por ˜( #5 ß

Î5 " Ï"

" " "Ñ 5 " " " 5 "Ò 5 " " Ñ # "5 "5 "5 "5 5" ! Ò 5 " "Ñ Î" ! " " ! Ï! " 5 " "Ò Î" ! "  5 "Ñ " !  "Ñ ! " Ï! ! #  5 "Ò

" #5

ß

" ™ #5 Ñ

"

ii ) 5 œ  # , ya que V+819ÐEÑ Á V+819ÐE à FÑ

iii ) 5Þ œ " dada por ˜(B ß C ß DÑÎB œ "  C  D à Cß D − ‘™ b)

SOLUCIÓN:

Î " " Ï " Î " " ./> Ï " ./>

Cœ

" " " " " "

" Ñ " " Ò " Ñ " " Ò

Î " ! Ï ! Î " ! ./> Ï ! ./>

œ

" # # " ! #

#

"Ñ # !Ò "Ñ # !Ò

œ

% %

œ"

" "

#

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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA FACULTAD CS. NAT., MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA MARTES 08 DE MAYO DE 2007: 12:45-14:05 CONTROL N° 2: ÁLGEBRA LINEAL (MAT-605) NOMBRE_______________________________SECCIÓN__11__ PROFESOR__CARLOS SEPÚLVEDA BUSTAMANTE__ (1.1)

(1.2)

TOTAL

PUNTAJE PREGUNTA 1: (1.1) Considere el conjunto ‘  (reales positivos) y el cuerpo de los números reales ‘ con la suma vectorial y producto escalar definido por B Š C œ BC à !  B œ B! a! − ‘ ß a Bà C − ‘  Determine si: a) La operación Š está bien definida. b) Se cumple la distributividad del escalar. (1.2) Demostrar que [ œ ˜ÐB ß Cß DÑ − ‘$ ÎB  C œ C  D œ !™ es un subespacio vectorial de ‘$ ; con las operaciones usuales. PONDERACIONES:

(1.1) = 07 (1.2) = 08 PUNTOS. TIEMPO: 20 minutos.

JUSTIFIQUE DETALLADAMENTE EL DESARROLLO ANALÍTICO DE CADA UNA DE SUS RESPUESTAS!!

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PAUTA CONTROL N° 2: ÁLGEBRA LINEAL (MAT-605) SECCIÓN__11__ PREGUNTA 1: (1.1) a) SOLUCIÓN: 1º) Se debe verificar que a Bà C − ‘  : B Š C − ‘  1 2º) Como B Š C œ B C − ‘  , ya que Bà C − ‘  1 3º) Luego, la operación Š satisface la propiedad de clausura o es cerrada en ‘  .Es decir, está bien definida. 1 b) SOLUCIÓN: 1º) Se debe verificar que a! − ‘ , a Bà C − ‘  : !  ÐB Š CÑ œ Ð!  BÑ Š Ð!  CÑ 1 2º) !  ÐB Š CÑ œ !  ÐB CÑ œ ÐB CÑ! œ ÐB! ÑÐC ! Ñ œ Ð!  BÑÐ!  CÑ œ Ð!  BÑ Š Ð!  CÑ 2 3º) Luego, se cumple la distributividad del escalar. 1 (1.2) SOLUCIÓN: 1º) [ Á 9 , ya que Ð!ß !ß !Ñ − [ Þ 1 2º) Por demostrar que: a ÐB" ß C" ß D" Ñ , ÐB# ß C# ß D# Ñ − [ à a! − ‘ a) ÐB" ß C" ß D" Ñ  ÐB# ß C# ß D# Ñ − [ b) ! ÐB" ß C" ß D" Ñ − [ 2 DEMOSTRACIÓN: HIPÓTESIS: ÐB" ß C" ß D" Ñ − [ Ê B"  C" œ C"  D" œ ! ÐB# ß C# ß D# Ñ − [ Ê B#  C# œ C#  D# œ ! !−‘ 1 TESIS: a) ÐB" ß C" ß D" Ñ  ÐB# ß C# ß D# Ñ œ ÐB"  B# ß C"  C# ß D"  D# Ñ − [ si y solo si ÐB"  B# )  ÐC"  C# Ñ œ ÐC"  C# Ñ  ÐD"  D# Ñ œ !. En efecto: ÐB"  B# )  ÐC"  C# Ñ œ ÐB"  C" Ñ  ÐB#  C# Ñ œ !  ! œ ! ÐC"  C# Ñ  ÐD"  D# Ñ œ ÐC"  D" Ñ  ÐC#  D# Ñ œ !  ! œ ! Por lo tanto; ÐB" ß C" ß D" Ñ  ÐB# ß C# ß D# Ñ − [ 2 b) ! ÐB" ß C" ß D" Ñ œ Ð!B" ß !C" ß !D" Ñ − [ si y solo si !B"  !C" œ !C"  !D" œ ! En efecto: !B"  !C" œ !ÐB"  C" Ñ œ !Ð!Ñ œ ! !C"  !D" œ !ÐC"  D" Ñ œ !Ð!Ñ œ ! Por lo tanto; ! ÐB" ß C" ß D" Ñ − [ 2 3º) Luego, [ es subespacio vectorial de ‘$ . FACULTAD DE CS. NATURALES, MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PROYECTO DE FACULTAD "ÁLGEBRA LINEAL: una propuesta metodológica de aprendizaje autónomo en página web"

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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA FACULTAD CS. NAT., MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA MARTES 08 DE MAYO DE 2007: 11:15 - 12:35 CONTROL N° 2: ÁLGEBRA LINEAL (MAT-605) NOMBRE_______________________________SECCIÓN__12__ PROFESOR__CARLOS SEPÚLVEDA BUSTAMANTE__ (1.1)

(1.2)

TOTAL

PUNTAJE PREGUNTA 1: (1.1) Considere el conjunto ‘  (reales positivos) y el cuerpo de los números reales ‘ con la suma vectorial y producto escalar definido por B Š C œ BC à !  B œ B! a! − ‘ ß a Bà C − ‘  Determine si: a) La operación  está bien definida. b) Existe elemento neutro para la operación Š . (1.2) Demostrar que [ œ ˜ÐB ß Cß DÑ − ‘$ Î$B  C œ ! ß #B  C œ D ™ es un subespacio vectorial de ‘$ ; con las operaciones usuales. PONDERACIONES:

(1.1) = 07 (1.2) = 08 PUNTOS. TIEMPO: 20 minutos.

JUSTIFIQUE DETALLADAMENTE EL DESARROLLO ANALÍTICO DE CADA UNA DE SUS RESPUESTAS!!

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PAUTA CONTROL N° 2: ÁLGEBRA LINEAL (MAT-605) SECCIÓN__12__ PREGUNTA 1: (1.1) a) SOLUCIÓN: 1º) Se debe verificar que a! − ‘ ,a B − ‘  : !  B − ‘  1 2º) Como !  B œ B! − ‘  , ya que B − ‘  ß ! − ‘ 1 3º) Luego, la operación  está bien definida. 1 b) SOLUCIÓN: 1º) Se debe verificar que aB − ‘ , b / − ‘  : ÐB Š /Ñ œ Ð/ Š BÑ œ B 1 2º) B Š / œ B / œ B Ê / œ " ß ya que B − ‘ 1 / Š B œ / B œ B Ê / œ " ß ya que B − ‘ 1 3º) Por lo tanto, existe elemento neutro / œ " − ‘ " (1.2) SOLUCIÓN: 1º) [ Á 9 , ya que Ð!ß !ß !Ñ − [ Þ 1 2º) Por demostrar que: a ÐB" ß C" ß D" Ñ , ÐB# ß C# ß D# Ñ − [ à a! − ‘ a) ÐB" ß C" ß D" Ñ  ÐB# ß C# ß D# Ñ − [ b) ! ÐB" ß C" ß D" Ñ − [ 2 DEMOSTRACIÓN: HIPÓTESIS: ÐB" ß C" ß D" Ñ − [ Ê $B"  C" œ ! ß #B"  C" œ D" ÐB# ß C# ß D# Ñ − [ Ê $B#  C# œ ! ß #B#  C# œ D# !−‘ 1 TESIS: a) ÐB" ß C" ß D" Ñ  ÐB# ß C# ß D# Ñ œ ÐB"  B# ß C"  C# ß D"  D# Ñ − [ si y solo si $ÐB"  B# )  ÐC"  C# Ñ œ ! ß #ÐB"  B# )  ÐC"  C# Ñ œ D"  D# Þ En efecto: $ÐB"  B# )  ÐC"  C# Ñ œ Ð$B"  C" Ñ  Ð$B#  C# Ñ œ !  ! œ ! #ÐB"  B# )  ÐC"  C# Ñ œ Ð#B"  C" Ñ  Ð#B#  C# Ñ œ D"  D# Por lo tanto; ÐB" ß C" ß D" Ñ  ÐB# ß C# ß D# Ñ − [ 2 b) ! ÐB" ß C" ß D" Ñ œ Ð!B" ß !C" ß !D" Ñ − [ si y solo si $ Ð!B" Ñ  !C" œ ! à # Ð!B" Ñ  !C" œ !D" En efecto: $ Ð!B" Ñ  !C" œ !Ð$B"  C" Ñ œ !Ð!Ñ œ ! # Ð!B" Ñ  !C" œ !Ð#B"  C" Ñ œ !ÐD" Ñ œ !D" Por lo tanto; ! ÐB" ß C" ß D" Ñ − [ 2 3º) Luego, [ es subespacio vectorial de ‘$ . FACULTAD DE CS. NATURALES, MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PROYECTO DE FACULTAD "ÁLGEBRA LINEAL: una propuesta metodológica de aprendizaje autónomo en página web"

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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA FACULTAD CS. NAT., MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA JUEVES 10 DE MAYO DE 2007: 11:15 - 12:35 CONTROL N° 2: ÁLGEBRA LINEAL (MAT-605) NOMBRE_______________________________SECCIÓN__14__ PROFESOR__CARLOS SEPÚLVEDA BUSTAMANTE__ (1.1)

(1.2)

TOTAL

PUNTAJE PREGUNTA 1: (1.1) Considere el conjunto `# B # Ð‘Ñ y el cuerpo de los números complejos ‚ ; con la suma habitual de matrices y el producto + , + , escalar definido por !Œ œŒ a!−‚.  - . - !. Determine si: a) La operación  está bien definida. b) "@œ@ a @ − `# B # БÑ

(1.2) Sea Z œ ˜0 Î 0 À ‘ Ä ‘ función real de variable real™; Determine si el conjunto [ œ ˜0 Î 0 Ð!Ñ œ 0 Ð"Ñ ™ § Z es un subespacio vectorial de Z ; con las operaciones usuales. PONDERACIONES:

(1.1) = 07 (1.2) = 08 PUNTOS. TIEMPO: 20 minutos.

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PAUTA CONTROL N° 2: ÁLGEBRA LINEAL (MAT-605) SECCIÓN__14__ PREGUNTA 1: (1.1) a) SOLUCIÓN: + , 1º) Se debe verificar que a! − ‚ ,a Œ − `# B # Ð‘Ñ : - . + , !Œ − `# B # Ð‘Ñ 1 - . + , + , 2º) Como !  Œ œŒ  `# B # Ð‘Ñ ,  - . - !. ya que ! . − ‚ en general, puesto que ! − ‚ . # 3º) Luego, la operación  no está bien definida. 1 b) SOLUCIÓN: + , 1º) Se debe verificar que a Œ − `# B # Ð‘Ñ , " − ‚ : - . + , + , "Œ œŒ 1  - . - . + , + , + , œŒ œŒ 2º) "  Œ 1   - . - ". - . 3º) Por lo tanto, "  @ œ @ à a @ − `# B # Ð‘Ñ " (1.2) SOLUCIÓN: 1º) [ Á 9 , ya que !0 (la función cero) − [ Þ En efecto: !0 À ‘ Ä ‘ definida por !0 ÐBÑ œ ! a B − ‘ . Se tiene, entonces que !0 Ð!Ñ œ !0 Ð"Ñ œ ! 1 2º) Por verificar que: a 0 , 1 − [ à a! − ‘ a) Ð0  1Ñ − [ b) Ð! 0 Ñ − [ 2 HIPÓTESIS: 0 − [ Ê 0 Ð!Ñ œ 0 Ð"Ñ ß 1 − [ Ê 1Ð!Ñ œ 1Ð"Ñ !−‘ 1 TESIS: a) Ð0  1Ñ − [ si y solo si Ð0  1ÑÐ!Ñ œ Ð0  1ÑÐ"Ñ Ð0  1ÑÐ!Ñ œ 0 Ð!Ñ  1Ð!Ñ œ 0 Ð"Ñ  1Ð"Ñ œ Ð0  1ÑÐ"Ñ Por lo tanto; Ð0  1Ñ − [ 2 b) Ð! 0 Ñ − [ si y solo si Ð! 0 ÑÐ!Ñ œ Ð! 0 ÑÐ"Ñ Ð! 0 ÑÐ!Ñ œ ! Ð0 Ð!ÑÑ œ ! Ð0 Ð"ÑÑ œ Ð! 0 ÑÐ"Ñ Por lo tanto; Ð! 0 Ñ − [ 2 3º) Luego, [ es subespacio vectorial de Z . FACULTAD DE CS. NATURALES, MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PROYECTO DE FACULTAD "ÁLGEBRA LINEAL: una propuesta metodológica de aprendizaje autónomo en página web"

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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA FACULTAD CS. NAT., MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA JUEVES 10 DE MAYO DE 2007: 12:45 - 14:05 CONTROL N° 2: ÁLGEBRA LINEAL (MAT-605) NOMBRE_______________________________SECCIÓN__13__ PROFESOR__ERICK GONZÁLEZ GAJARDO__ (1.1)

(1.2)

TOTAL

PUNTAJE

PREGUNTA 1: (1.1) Considere el conjunto Z œ ˜ÐB ß C Ñ − ‘# ÎB  ! ß C  !™ y el cuerpo de los números reales ‘ con la suma vectorial y producto escalar definido por

ÐBß CÑ Š Ð?ß @Ñ œ ÐB ? ß C @Ñ à !  ÐB ß CÑ œ ÐB! ß C! Ñ a! − ‘ ß a ÐBß CÑ,Ð?ß @Ñ − Z . Determine si: a) La operación Š es asociativa. b) Se cumple la distributividad del vector. (1.2) Determine si el conjunto B C M œ ˜Œ − `# B # БÑÎ C œ B  A à D œ B  A − ‘ ™ D A es un subespacio vectorial de `# B # Ð‘Ñ ; con las operaciones usuales. PONDERACIONES:

(1.1) = 07 (1.2) = 08 PUNTOS. TIEMPO: 20 minutos.

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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA FACULTAD CS. NAT., MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA MIÉRCOLES 09 DE MAYO DE 2007: 15:45 - 17:05 CONTROL N° 2: ÁLGEBRA LINEAL (MAT-605) NOMBRE_______________________________SECCIÓN__21__ PROFESOR__RENÉ ALZAMORA ANTIQUERA__ (1.1)

(1.2)

TOTAL

PUNTAJE

PREGUNTA 1: (1.1) Considere el conjunto Z œ ˜ÐB ß C Ñ − ‘# ÎB  ! ß C  !™ y el cuerpo de los números reales ‘ con la suma vectorial y producto escalar definido por

ÐBß CÑ Š Ð?ß @Ñ œ ÐB ? ß C @Ñ à !  ÐB ß CÑ œ ÐB! ß C! Ñ a! − ‘ ß a ÐBß CÑ,Ð?ß @Ñ − Z . Determine si: a) La operación  está bien definida. b) Existe elemento inverso para la operación Š . (1.2) Determine si el conjunto W œ ˜ÐB" ß B# ß B$ ß ÞÞÞ ß B8 Ñ − ‘8 ÎB" − ™™ § ‘8 es un subespacio vectorial de ‘8 considerando el cuerpo de los números reales ‘ ; con las operaciones usuales. PONDERACIONES:

(1.1) = 07 (1.2) = 08 PUNTOS. TIEMPO: 20 minutos.

JUSTIFIQUE DETALLADAMENTE EL DESARROLLO ANALÍTICO DE CADA UNA DE SUS RESPUESTAS!!

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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA FACULTAD CS. NAT., MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA MIÉRCOLES 09 DE MAYO DE 2007: 14:15 - 15:35 CONTROL N° 2: ÁLGEBRA LINEAL (MAT-605) NOMBRE_______________________________SECCIÓN__22__ PROFESOR__RENÉ ALZAMORA ANTIQUERA__ (1.1)

(1.2)

TOTAL

PUNTAJE

PREGUNTA 1: (1.1) Considere el conjunto Z œ ˜ÐB ß C Ñ − ‘# ÎB  ! ß C  !™ y el cuerpo de los números reales ‘ con la suma vectorial y producto escalar definido por

ÐBß CÑ Š Ð?ß @Ñ œ ÐB ? ß C @Ñ à !  ÐB ß CÑ œ ÐB! ß C! Ñ a! − ‘ ß a ÐBß CÑ,Ð?ß @Ñ − Z . Determine si: a) Se cumple la asociatividad del vector. b) Existe elemento neutro para la operación Š .

(1.2) Sea Z œ ˜0 Î 0 À ‘ Ä ‘ función real de variable real™; Demostrar que el conjunto J œ ˜0 À ‘ Ä ‘ Î 0 ÐBÑ œ  0 Ð  BÑ à a B − ‘™ es subespacio vectorial de Z con las operaciones usuales. PONDERACIONES:

(1.1) = 07 (1.2) = 08 PUNTOS. TIEMPO: 20 minutos.

JUSTIFIQUE DETALLADAMENTE EL DESARROLLO ANALÍTICO DE CADA UNA DE SUS RESPUESTAS!!

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SEMANA N° 05: (SEMANA DE PRUEBAS) UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA 13102006 FACULTAD CS. NAT., MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA CONTROL N° 1: ÁLGEBRA LINEAL (MAT-605) NOMBRE_______________________________SECCIÓN_______ PROFESOR____________________________________________ PREGUNTA

1

2

3

4

NOTA

& #

$ à  %

PUNTAJE 1.

(1.1) Dadas las matrices en `# B $ БÑÞ: E œ Œ FœŒ

Calcule:

# ( " %

$ ! à G œŒ  & '

" !

# " # %

+Ñ ÐE  FÑ > ,Ñ ÐF  #G  $EÑ -Ñ ÐE  FÑ > ÐF  #G  $EÑ

(1.2) Calcule, simplifique y exprese en la forma +  , 3 cada uno de los términos de la matriz resultante de multiplicar:

aÐ "  3Ñ# 2.

#3

Î "3 ! Ð%  3ÑÐ$  #3Ñ b Ï  %3

#  3Ñ  $3 &3 Ò

Dado el siguiente sistema en las incógnitas B ß C ß D ß A À

#B  C  D  A œ " B  #C  D  %A œ # B  (C  %D  ""A œ 5 (2.1) Escriba la representación matricial del sistema E \ œ F . (2.2) Determinar el valor de la constante 5 − ‘; para que el sistema en B ß C ß D ß A À a) NO tenga solución en ‘% . b) tenga solución única en ‘% . c) tenga infinitas soluciones en ‘% . FACULTAD DE CS. NATURALES, MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PROYECTO DE FACULTAD "ÁLGEBRA LINEAL: una propuesta metodológica de aprendizaje autónomo en página web"

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(2.3) a) Escriba el conjunto solución del sistema. b) Escriba dos soluciones particulares del sistema. c) Escriba una 4-upla que no sea soluciòn del sistema. 3. (3.1) Calcule el siguiente determinante y escriba el polinomio resultante en potencias decrecientes de la variable -.

â â $ ' â â #â â % ") â â â â ! -â â # (3.2) Sea Z œ ˜0 Î 0 À ‘ Ä ‘ función real de variable real™ ; O œ ‘Þ Consideremos el siguiente subconjunto de Z À [ œ ˜0 Î 0 ÐBÑ œ 0 Ð"  BÑ ™

a! − ‘à a 0 à 1 − Z Ð0  1ÑÐBÑ œ 0 ÐBÑ  1ÐBÑ à Ð! 0 ÑÐBÑ œ ! 0 ÐBÑ con las operaciones usuales:

Verifique si [ tiene elementos. Si corresponde, determine si [ es subespacio vectorial de Z sobre el cuerpo ‘Þ

a) b)

4.

Expresar la matriz

EœŒ

# " " $

como producto de

matrices elementales, sabiendo que se hicieron las siguientes operaciones elementales sobre las filas de la matriz E À 1º) Intercambiar la fila " con la fila #. 2º) Enseguida: Sumar a la fila #; (  #) veces la fila ". 3º) 4º)

"

A continuaciòn: Multiplicar la fila # ; por (  & Ñ Finalmente: Sumar a la fila "; (  $) veces la fila #.

NO HAY CONSULTAS !! PONDERACIONES: 1. = 2. = 3. = 4. = 15 PUNTOS. NOTA = (PUNTAJE / 10) + 1 TIEMPO: 2 horas.

JUSTIFIQUE DETALLADAMENTE CADA UNA DE SUS RESPUESTAS!! FACULTAD DE CS. NATURALES, MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PROYECTO DE FACULTAD "ÁLGEBRA LINEAL: una propuesta metodológica de aprendizaje autónomo en página web"

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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA FACULTAD DE CS. NAT., MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PAUTA DE CORRECCIÓN CONTROL N° 1:

PROBLEMA 1:

Î$ # (1.1) Ï!

 "Ñ & # àŒ ""  *Ò

(1.2) a ##  &%3 PROBLEMA 2:

Î# " (2.1) Ï" (2.2) 1º)

RESPUESTA:

" # (

% '

 #%  '!3 b

Î % % $# à  #&  Ï  **

'  #! &%

$( Ñ  %# ##& Ò

RESPUESTA:

B " " ÑÎ Ñ Î " Ñ Ð CÓ " % Ð œ # Ó D Ò  % "" Ï Ò Ï 5 Ò A

Î# " Formar la matriz Ï"

" # (

" " "Ñ " % #  % "" 5 Ò

2º) y llevarla a la matriz escalonada reducida por filas en sus primeras cuatro columnas

+Ñ ,Ñ -Ñ

" ' % Î" ! Ñ & & & Ð ! " $ ( $ Ó & & & Ï! ! ! ! 5  &Ò Si 5 Á & ; ya que à " œD> à # œCD !"# œC !" œD ! œ> sin considerar la primera ecuación a)

Dada la matriz Œ

2°) Por lo tanto, lo anterior debe verificar la primera ecuación para que el sistema tenga solución. Luego, la condición es !  "  # œ B ; es decir: >D>CD œB Ê B  C  #D  #> œ ! b)

Determine si el conjunto

" F œ ˜Œ "

" " ,Œ  " "

" " ,Œ  ! !

" ™ !

genera a `#B# БÑ. SOLUCIÓN:

B C Por lo anteriorà NO TODA MATRIZ Œ − `#B# Ð‘Ñ se puede D > expresar como combinación lineal de F à sino que solamente aquellas que verifican la condición B  C  #D  #> œ !. 1°)

# # Así por ejemplo, la matriz Œ − `#B# Ð‘Ñ se puede " $ expresar como combinación lineal de Fß en efecto: # # " " " " " " œ Ð  $ÑŒ  Ð  #ÑŒ  Ð$ÑŒ Œ "    $ " " " ! ! ! " " Sin embargo, la matriz Œ " "  − `#B# Ð‘Ñ NO SE PUEDE EXPRESAR como combinación lineal de F ; ya que no satisface la condición B  C  #D  #> œ !.

2°)

3°) Por lo tanto, existen matrices en `#B# Ð‘Ñ que no se pueden expresar como combinación lineal de F Þ Esto significa que: F NO GENERA a `#B# Ð‘Ñ . FACULTAD DE CS. NATURALES, MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PROYECTO DE FACULTAD "ÁLGEBRA LINEAL: una propuesta metodológica de aprendizaje autónomo en página web"

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(3.5) DEFINICIÓN: Sea Z un espacio vectorial sobre el cuerpo O y sean @" ß @# ß Þ Þ Þ ß @8 − Z (vectores). Llamaremos ESPACIO GENERADO POR LOS 8 VECTORES @" ß @# ß Þ Þ Þ ß @8 ; lo que denotaremos por 1/8 ˜@" ß @# ß Þ Þ Þ ß @8 ™ al conjunto de todas las combinaciones lineales de los 8 vectores @" ß @# ß Þ Þ Þ ß @8 ; es decir: 1/8 ˜@" ß @# ß Þ Þ Þ ß @8 ™ œ ˜@ − Z Î@ œ ! !3 @3 ™ 8

3œ"

donde !3 − O son escalares arbitrarios. (3.6) EJEMPLOS: (3.6.1) En el EJEMPLO (3.4.1) el conjunto generado por " " " " " " " ! ™ E œ ˜” ß à à es " "• ”" !• ”! !• ”! !• " " " " " " " ! ™ 1/8 E œ 1/8 ˜” ß” à” à” œ `#B# Ð‘Ñ Þ • • • " " " ! ! ! ! !• (3.6.2) En el EJEMPLO (3.4.2) b); el conjunto generado por " " " " " " ™ F œ ˜Œ , , es " " Œ" !  Œ! ! " " " " " " ™ 1/8 F œ 1/8 ˜Œ ,Œ ,Œ   " " " ! ! ! B C 1/8 F œ ˜Œ − `#B# БÑÎb ! ß " ß # − ‘ tal que D > B C " " " " " " ™  #Œ Œ D >  œ !Œ  " "   " Œ "  ! ! ! B C 1/8 F œ ˜Œ − `#B# БÑÎB  C  #D  #> œ !™ § `#B# Ð‘Ñ D >

(3.6.3) Encuentre el conjunto generado por G œ ˜Ð" ß  "ß "Ñ™ § ‘$ Þ SOLUCIÓN: 1°) 1/8 G œ 1/8 ˜Ð" ß  "ß "Ñ™ œ ˜ÐB ß C ß DÑ − ‘$ Îb ! − ‘ tal que ÐB ß C ß DÑ œ ! Ð" ß  "ß "Ñ ™ es decir; buscando la condición que debe cumplir ÐB ß C ß DÑ − ‘$ para que pertenezca al 1/8 G œ 1/8 ˜Ð" ß  "ß "Ñ™ se tiene que: Bœ! Ê B œD • C œ D C œ ! Dœ! 2°)

Luego:

1/8 G œ ˜ÐB ß C ß DÑ − ‘$ Î B œ D à C œ  D ™ § ‘$ .

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(3.6.4) Encuentre el conjunto generado por H œ ˜" ß "  B ß "  B  B# ™ SOLUCIÓN: 1°) 1/8 H œ 1/8 ˜" ß "  B ß "  B  B# ™ § c # Ð‘Ñ Þ œ ˜+  , B  - B# − c # Ð‘Ñ Îb !ß " ß # − ‘ tal que +  , B  - B# œ ! Ð"Ñ  " Ð"  BÑ  # Ð"  B  B# Ñ™ es decir; buscando la condición que debe cumplir +  , B  - B# − c # Ð‘Ñ para que pertenezca al 1/8 H œ 1/8 ˜" ß "  B ß "  B  B# ™ se tiene que: !"# œ+ "# œ, # œPÁG. 199

2°)

Î" Ê " Ï!

" " !

Î" Ê ! Ï!

! " !

! " "

" " " " # " #

+Ñ Î" , Ê ! Ï! -Ò

+  "# , Ñ Î" " + #, Ê ! Ï! - Ò

" # ! ! " !

+ Ñ +, - Ò

" # " ! ! "

+  "# , Ñ " " # + # ,Ò " #

Luego:

+  ,B  -B# œ Ð "# +  "# ,Ñ Ð"Ñ  Ð "# +  "# ,  -Ñ Ð"  BÑ  Ð  -Ñ Ð"  B  B# Ñ lo cual significa que TODO +  , B  - B# − c # Ð‘Ñ como combinación lineal de H . 3°)

Por lo tanto; 1/8 H

se puede expresar

œ 1/8 ˜" ß "  B ß "  B  B# ™ œ c # Ð‘Ñ .

(3.7) OBSERVACIÓN: Si @" ß @# ß Þ Þ Þ ß @8 − Z son 8 vectores que generan a Z ß entonces @" ß @# ß Þ Þ Þ ß @8 , @8" − Z también generan a Z .

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TEMA 4:

INDEPENDENCIA LINEAL:

OBJETIVO OPERACIONAL: Determinar si un conjunto de vectores es linealmente independiente. OBJETIVO OPERACIONAL: Construir a partir de un conjunto de vectores linealmente dependiente, un conjunto que sea linealmente independiente.

(4.1) DEFINICIÓN: Sea Z un espacio vectorial sobre el cuerpo O Б à ‚ Ñ y @" ß @# ß Þ Þ Þ ß @ 8 − Z . Diremos que los vectores @" ß @# ß Þ Þ Þ ß @8 − Z son LINEALMENTE INDEPENDIENTES si y solo si se verifica la siguiente propiedad : ! !3 @3 œ ! Ê 8

3œ"

!3 œ ! ;

a 3 œ "ß #ß Þ Þ Þ ß 8

(4.2) EJEMPLOS: (4.2.1)Considere el siguiente subconjunto de c # БÑ. E œ ˜" ß "  B ß "  B  B # ™

Determine si el conjunto E es linealmente independiente. SOLUCIÓN: 1º)

Es linealmente independiente si se verifica la propiedad ! Ð"Ñ  " Ð"  BÑ  # Ð"  B  B# Ñ œ ! Ê

2º)

! œ ! ß " œ !ß # œ !

Lo anterior determina el siguiente sistema de ecuaciones: !"# œ! "# œ! # œ!

3º)

Ê ! œ ! ß " œ !ß # œ !

Por lo tanto, E es linealmente independiente.

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(4.2.2) Considere el siguiente subconjunto de `#B# Ð‘Ñ " F œ Œ "

! " ߌ  ! "

! " ߌ  ! !

! ! ߌ  " "

" ! Ÿ

Determine si el conjunto F es linealmente independiente. SOLUCIÓN: 1º)

Es linealmente independiente si se verifica la propiedad " ! " ! " ! ! " ! !Œ  "Œ  #Œ  -Œ œŒ     " ! " ! ! " " ! ! Ê ! œ ! ß " œ !ß # œ ! ß - œ !

! !

2º) Lo anterior determina el siguiente sistema de ecuaciones: !"# œ! Ê !œ" œ#œ-œ! -œ! !" - œ! # œ! 3º)

Por lo tanto, F es linealmente independiente.

(4.2.3) Considere el siguiente subconjunto de ‘$

G œ ˜Ð"ß  "ß "Ñß Ð"ß  "ß !Ñß Ð"ß !ß !Ñß Ð"ß !ß "Ñ™

Determine si el conjunto G es linealmente independiente. SOLUCIÓN: 1º)

Es linealmente independiente si se verifica la propiedad !Ð"ß  "ß "Ñ  " Ð"ß  "ß !Ñ  # Ð"ß !ß !Ñ  -Ð"ß !ß "Ñ œ Ð!ß !ß !Ñ Ê ! œ ! ß " œ !ß # œ ! ß - œ !

2º)

Lo anterior determina el siguiente sistema de ecuaciones: !"# - œ! Ê - œ ! à " œ ! à # œ! à ! − ‘ !" œ! ! - œ!

3º)

Por lo tanto, NO SE OBTUVO LA ÚNICA SOLUCIÓN ! œ ! ß " œ !ß # œ ! ß - œ ! . Luego; G NO es linealmente independiente.

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(4.3) OBSERVACIÓN: a) La propiedad anterior significa que: Si se forma la combinación lineal de los 8 vectores @" ß @# ß Þ Þ Þ ß @8 − Z y se iguala a cero, es decir !" @"  !# @#  Þ Þ Þ  !3 @3  Þ Þ Þ  !8 @8 œ ! . Entonces LA ÚNICA SOLUCIÓN PARA LOS ESCALARES !" ß !# ß Þ Þ Þ ß !8 está dada por !" œ !# œ Þ Þ Þ œ !8 œ !. b) De no verificarse la propiedad anterior; diremos que los vectores @" ß @# ß Þ Þ Þ ß @8 − Z son LINEALMENTE DEPENDIENTES; lo cual significa que a lo menos uno de los escalares !3 Á !; para algún 3 œ "ß #ß Þ Þ Þ ß 8 . Por lo cual; a lo menos uno de los vectores @" ß @# ß Þ Þ Þ ß @8 se puede expresar como combinación lineal del resto. c) También se dice que el conjunto de vectores ˜@" ß @# ß ÞÞÞß @8 ™ es LINEALMENTE INDEPENDIENTE o LINEALMENTE DEPENDIENTE

(4.3.1) EJEMPLO: En el EJEMPLO (4.2.3) se determinó que el conjunto G œ ˜Ð"ß  "ß "Ñß Ð"ß  "ß !Ñß Ð"ß !ß !Ñß Ð"ß !ß "Ñ™ no es linealmente independiente, es decir es LINEALMENTE DEPENDIENTE. Por lo tanto, note que: !Ð"ß  "ß "Ñ  " Ð"ß  "ß !Ñ  # Ð"ß !ß !Ñ  -Ð"ß !ß "Ñ œ Ð!ß !ß !Ñ y como son linealmente dependientes; entonces, por ejemplo: !Ð"ß  "ß "Ñ œ  " Ð"ß  "ß !Ñ  # Ð"ß !ß !Ñ  -Ð"ß !ß "Ñ à con " œ - œ  ! • #œ! # " es decir: Ð"ß  "ß "Ñ œ  ! Ð"ß  "ß !Ñ  ! Ð"ß !ß !Ñ  ! Ð"ß !ß "Ñ Ð"ß  "ß "Ñ

œ Ð"ÑÐ"ß  "ß !Ñ  Ð  "ÑÐ"ß !ß !Ñ  Ð"ÑÐ"ß !ß "Ñ

Esto significa que el vector Ð"ß  "ß "Ñ se pudo expresar como combinación lineal de los vectores ˜Ð"ß  "ß !Ñß Ð"ß !ß !Ñß Ð"ß !ß "Ñ™, o sea: 1/8 ˜Ð"ß  "ß "Ñß Ð"ß  "ß !Ñß Ð"ß !ß !Ñß Ð"ß !ß "Ñ™ es el mismo conjunto que el 1/8 ˜Ð"ß  "ß !Ñß Ð"ß !ß !Ñß Ð"ß !ß "Ñ™ .

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(4.3.2) EJEMPLO: Considere el siguiente subconjunto de ‘$ E œ ˜Ð"ß  "ß !Ñß Ð"ß !ß !Ñß Ð"ß !ß "Ñ™

Determine si el conjunto E es linealmente independiente. SOLUCIÓN: 1º)

Es linealmente independiente si se verifica la propiedad !Ð"ß  "ß !Ñ  " Ð"ß !ß !Ñ  # Ð"ß !ß "Ñ œ Ð!ß !ß !Ñ Ê ! œ ! ß " œ !ß # œ !

2º)

Lo anterior determina el siguiente sistema de ecuaciones: !"# œ! Ê !œ"œ#œ! ! œ! #œ!

3º)

Por lo tanto, el conjunto E œ ˜Ð"ß  "ß !Ñß Ð"ß !ß !Ñß Ð"ß !ß "Ñ™ es linealmente independiente.

d) El ejemplo anterior, nos da un criterio para hacer que un conjunto linealmente DEPENDIENTE, se haga LINEALMENTE INDEPENDIENTE. En efecto, el conjunto G œ ˜Ð"ß  "ß "Ñß Ð"ß  "ß !Ñß Ð"ß !ß !Ñß Ð"ß !ß "Ñ™

es linealmente dependiente; pero sacando el vector conjunto resultante

Ð"ß  "ß "Ñ ; el

E œ ˜Ð"ß  "ß !Ñß Ð"ß !ß !Ñß Ð"ß !ß "Ñ™

se hizo LINEALMENTE INDEPENDIENTE. Además que

1/8 G œ 1/8 E

(4.4) OBSERVACIÓN: a) Geométricamente dos vectores en ‘# , son linealmente dependientes si uno es múltiplo del otro, es decir están en la misma dirección o en dirección opuesta. FACULTAD DE CS. NATURALES, MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PROYECTO DE FACULTAD "ÁLGEBRA LINEAL: una propuesta metodológica de aprendizaje autónomo en página web"

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b) Geométricamente tres vectores en ‘ , son linealmente dependientes si y solo si estos son coplanares. c) ‘8 tiene a lo más 8 vectores linealmente independientes. d) Si E − `7 B 8 БÑ. Entonces el conjunto de las columnas de la matriz E dado por ˜E" ß E# , . . . , E8 ™ es linealmente independiente si y solo si el sistema E B œ ! tiene solamente la solución trivial B œ ! Þ e) Si E − `8 B 8 Ð‘Ñ Þ Entonces ./> E Á ! si y solo si las columnas (o filas) de la matriz E son linealmente independientes. f) Cualquier conjunto de 8 vectores linealmente independientes en ‘8 ; genera a ‘8 o es generador de ‘8 .

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TEMA 5:

BASE Y DIMENSIÓN:

OBJETIVO OPERACIONAL: Construir una FEWI de un espacio vectorial. OBJETIVO OPERACIONAL: Describir dos o más bases de un espacio vectorial. OBJETIVO OPERACIONAL: Construir una FEWI a partir de un conjunto de vectores que no sea una base para el espacio vectorial, ya sea quitando o agregando vectores. OBJETIVO OPERACIONAL: Determinar la dimensión de un espacio vectorial, contando los elementos en una base. (5.1) DEFINICIÓN: Sea Z un espacio vectorial sobre el cuerpo O Б à ‚ Ñ y @" ß @# ß Þ Þ Þ ß @8 − Z (vectores). Diremos que el conjunto de vectores F œ ˜@" ß @# ß Þ Þ Þ ß @8 ™ es una BASE del espacio vectorial Z si y solo si se verifica que: ˜@" ß @# ß Þ Þ Þ ß @8 ™ es linealmente independiente. 3Ñ y 33Ñ 1/8 ˜@" ß @# ß Þ Þ Þ ß @8 ™ œ Z (5.2) EJEMPLOS: (5.2.1) En el EJEMPLO (3.6.4) se determinó que el conjunto ˜" ß "  B ß "  B  B # ™ tiene la propiedad que: 1/8 ˜" ß "  B ß "  B  B# ™ œ c # Ð‘Ñ . Además, en el EJEMPLO (4.2.1) se determinó que este mismo conjunto tiene la propiedad que: ˜" ß "  B ß "  B  B# ™ es linealmente independiente. Por lo tanto; ˜" ß "  B ß "  B  B# ™ es una BASE DE c # Ð‘Ñ . (5.2.2) Determine si el conjunto " ! " E œ ” ß” • " ! " es una base de `#B# Ð‘Ñ . SOLUCIÓN: 1°) Verifiquemos si " ! " 1/8 ” ß” • " ! "

! " ß” • ! !

! " ß” • ! !

! ! ß” • " "

! ! ß” • " "

" ! •Ÿ

" œ `#B# Ð‘Ñ ! •Ÿ

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+ es decir si es posible que TODA MATRIZ ” " como combinación lineal de ” " a) + ”b)

! " ß” • ! "

PÁG. 206

, − `#B# Ð‘Ñ se exprese .• ! " ß” • ! !

! ! ß” • " "

" . ! •Ÿ

Será posible cuando existan escalares ! ß " ß # ß - − ‘ tal que , " œ !” • . "

! "  "” • ! "

! "  #” • ! !

! !  -” • " "

" !•

Lo anterior determina el siguiente sistema de ecuaciones:

!"#

œ+ -œ, !"  -œ# œ.

Ê

# œ . ß - œ,

Reemplazando, se obtiene el sistema: !" œ+. !" œ ,-

+ ”-

Ê

! œ "# Ð+  ,  -  .Ñ

c)

Por lo tanto, si es posible expresarlo como:

, œ .•

" # Ð+

 ,  -  .Ñ”

 Ð  .Ñ” d)

" !

" "

! "  "# Ð  +  ,  -  .Ñ” • ! "

! !  ,” • " "

+ Luego, toda matriz ” -

" como combinación lineal de ” " e)

Es decir

" œ "# Ð  +  ,  -  .Ñ

à

! !•

" !•

, − `#B# Ð‘Ñ se puede expresar .• ! " ß” • ! "

! " ß” • ! !

! ! ß” • " "

" ! •Ÿ

1/8 E œ `#B# Ð‘Ñ .

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2°)

Verifiquemos si

" ” "

! " ß” • ! "

! " ß” • ! !

! ! ß” • " "

" es linealmente independiente. ! •Ÿ

En el EJEMPLO (4.2.2) se determinó que E œ ”

" "

! " ß !• ” "

! " ß !• ”!

! ! ß "• ”"

" ! •Ÿ

es linealmente independiente. 3°)

Por lo tanto; " ! " ” " ! •ß ” "

! " ß” • ! !

! ! ß” • " "

" es una base de `#B# БÑ. ! •Ÿ

(5.2.3) Considerando el siguiente subespacio vectorial de ‘$ . [ œ ˜ÐB ß Cß DÑ − ‘$ ÎB  C œ C  D œ !™

Determine una base de [ . SOLUCIÓN: 1º)

De [ œ ˜ÐB ß Cß DÑ − ‘$ ÎB  C œ C  D œ !™ se tiene que B œ D à C œ  D con D − ‘ variable independiente.

2º)

Luego [ œ ˜ÐDß  Dß DÑ ÎD − ‘™ œ ˜DÐ" ß  "ß "Ñ ÎD − ‘™ [ œ 1/8˜Ð" ß  "ß "Ñ™

3º)

Por ser único vector distinto de cero, entonces el conjunto ˜Ð" ß  "ß "Ñ™ es además linealmente independiente.

4°)

Por lo tanto ˜Ð" ß  "ß "Ñ™ es una base de [ .

(5.3) OBSERVACIÓN: a) La base de un espacio vectorial NO ES ÚNICA; es decir un espacio vectorial tiene más de una base.

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(5.3.1) EJEMPLO: ˜Ð" ß !ß !Ñß Ð!ß "ß !Ñß Ð!ß !ß "Ñ™ es la base CANÓNICA y En ‘$ ; ˜Ð"ß  "ß !Ñß Ð"ß !ß !Ñß Ð"ß !ß "Ñ™ es otra base de ‘$ .

En `#B# Ð‘Ñ ; ”

" !

" ” "

! " ß” • ! !

! " ß” • ! "

" y ” "

" " ß” • " "

! ! ß” • ! !

" " à” • ! !

" ! ß” • ! "

! ! ß” • " " " " à” • ! !

! ! ß” • ! !

! es la base CANÓNICA " •Ÿ

" es otra base de `#B# Ð‘Ñ ; ! •Ÿ

! es otra base de `#B# Б) . ! •Ÿ

En c # Ð‘Ñ ; ˜" ß B ß B# ™ es la base CANÓNICA y

˜" ß "  B ß "  B  B# ™ es otra base de c # Ð‘Ñ .

b) Las distintas bases de un espacio vectorial TIENEN EL MISMO NÚMERO DE ELEMENTOS o EL MISMO NÚMERO DE VECTORES.

(5.4) DEFINICIÓN: Sea Z un espacio vectorial sobre el cuerpo O Б à ‚ Ñ Si F œ ˜@" ß @# ß Þ Þ Þ ß @8 ™ es una BASE de Z . Se llama DIMENSIÓN DE Z ; lo que denotaremos por .37 ÐZ Ñà al NÚMERO DE ELEMENTOS o al NÚMERO DE VECTORES EN LAS BASES DE Z , y se dice que Z es un espacio vectorial de dimensión finita 8 Þ

(5.5) EJEMPLO: Por el EJEMPLO (5.3.1): (5.5.1)

En ‘$ ;

.37 ‘$ œ $

(5.5.2)

En `#B# Ð‘Ñ ;

.37 `#B# Ð‘Ñ œ %

(5.5.3)

En c # Ð‘Ñ ;

.37 c # Ð‘Ñ œ $

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(5.6) OBSERVACIÓN: a) Si la base no es finita, se dice que el espacio vectorial es de dimensión infinita. b) c)

El espacio vectorial ˜!@ ™ tiene dimensión cero.

Si un espacio vectorial tiene un subespacio de dimensión infinita, Entonces el espacio vectorial es de dimensión infinita.

d)

Si un espacio vectorial tiene dimensión finita 8 , Entonces cualquier subespacio vectorial de este tiene dimensión menor que 8.

(5.7) TEOREMA: Si Z es un espacio vectorial sobre el cuerpo dimensión finita 8 Þ Entonces:

O Б à ‚Ñ

de

(5.7.1) Cualquier conjunto de 8 vectores linealmente independiente de Z , dado por ˜@" ß @# ß Þ Þ Þ ß @8 ™ es una BASE de Z . (5.7.2) Cualquier conjunto de 8 vectores generador de Z , dado por ˜@" ß @# ß Þ Þ Þ ß @8 ™ es una BASE de Z . (5.8) OBSERVACIÓN: El uso práctico de este teorema es que SI SE CONOCE LA DIMENSIÓN DEL ESPACIO VECTORIAL Z , para probar que un determinado subconjunto F de Z es base de este último; BASTA CON PROBAR UNA Y SOLO UNA DE LAS PROPIEDADES, es decir: 1/8 F œ Z ó bien F es linealmente independiente .

(5.9) EJEMPLOS: (5.9.1) Determine si F œ ˜" ß "  B ß "  B  B# ™ § c # Ð‘Ñ es una base de c # Ð‘Ñ . SOLUCIÓN: 1°) Como se sabe que .37 c # Ð‘Ñ œ $ ; y el conjunto vectores, basta SÓLO con probar por ejemplo que 1/8 ˜" ß "  B ß "  B  B# ™ œ c # БÑ

F tiene

$

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2°) 3°)

Lo anterior se probó en el EJEMPLO (3.6.4).

Por lo tanto; ˜" ß "  B ß "  B  B# ™ es una BASE DE c # Ð‘Ñ .

(5.9.2) Determine si " F œ ” "

! " ß” • ! "

! " ß” • ! !

! ! ß” • " "

" § `#B# Ð‘Ñ ! •Ÿ

es una base de `#B# Ð‘Ñ . SOLUCIÓN: 1°) Como se sabe que .37 `#B# Ð‘Ñ œ % ; y el conjunto F tiene % vectores, basta SÓLO con probar por ejemplo que " ” "

! " ß” • ! "

! " ß” • ! !

! ! ß” • " "

2°)

Lo anterior se probó en el EJEMPLO (4.2.2).

3°)

" Por lo tanto; ” "

! " ß” • ! "

" es linealmente independiente. ! •Ÿ

! " ß” • ! !

! ! ß” • " "

" ! •Ÿ

es una

BASE DE `#B# Ð‘Ñ . (5.10) PROPIEDAD: Si [" à [# son subespacios vectoriales de Z Þ Entonces .37 Ð["  [# Ñ œ .37 ["  .37 [#  .37 Ð ["  [# Ñ

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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA FACULTAD DE CS. NAT., MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA SEMANA N° 06: (02 HORAS EJERCICIO) GUÍA DE ESTUDIO N° 5 1.

Sean [" à [# subespacios vectoriales de Z Þ

(1.1) Demuestre que [ "  [ # œ ˜A − Z Î A − [ " • A − [ # ™ subespacio vectorial de Z Þ (1.2) Determine si [ "  [ # œ ˜A − Z Î A − [ " ” A − [ # ™ subespacio vectorial de Z Þ a) De serlo; demuéstrelo. b) En caso contrario, dé un contraejemplo.

es

es

2.

Dada la siguiente proposición: Sean Z un espacio vectorial sobre el cuerpo O ß y E œ 1/8 ˜?" ß ?# ß ?$ ß Þ Þ Þ ß ?7 ™ F œ 1/8 ˜A" ß A# ß A$ ß Þ Þ Þ ß A8 ™ subespacios vectoriales de Z Þ EœF Í A4 − E a 4 œ " ß # ß $ ß Þ Þ Þ ß 8 Þ • ?3 − F a 3 œ " ß # ß $ ß Þ Þ Þ ß 7 Þ Aplicando la proposición anterior; determine si son o no iguales los siguientes conjuntos: (2.1) 1/8˜Ð"ß #ß $Ñ ß Ð%ß &ß 'Ñ ß Ð(ß )ß *Ñ™ à 1/8˜Ð"ß  "ß "Ñ ß Ð#ß "ß $Ñ ß Ð"ß #ß #Ñ™

(2.2) 1/8˜Ð#ß !ß "ß $Ñß Ð"ß  "ß &ß #Ñ™à 1/8˜Ð&ß "ß  #ß (Ñß Ð"ß "ß %ß  "Ñß Ð$ß  "ß 'ß &Ñ™ 3. (3.1) Sea W" œ ˜Ð"ß "ß "Ñ ™. Encuentre 1/8˜W" ™Þ

(3.2) Sea W# œ ˜Ð!ß "ß  "Ñ ß Ð#ß !ß "Ñ ß Ð!ß  "ß !Ñ ™. Encuentre 1/8˜W# ™Þ

(3.3) Demuestre: W œ 1/8˜Ð"ß "Ñ ß Ð#ß &Ñ™ es subespacio vectorial de ‘# Þ

4.

Sean W œ ˜ÐBß Cß DÑ − ‘$ ÎB œ !™ ß X œ 1/8˜Ð"ß #ß !Ñß Ð$ß "ß #Ñ™ Encontrar el conjunto que genera a W  X Þ

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Sean Z œ ˜0 Î 0 À ‘ Ä ‘™ espacio vectorial sobre ‘ ; y [" œ ˜0 Î 0 Ð  BÑ œ 0 ÐBÑ™ ; FUNCIONES PARES [# œ ˜0 Î 0 Ð  BÑ œ  0 ÐBÑ™ ; FUNCIONES IMPARES

PÁG. 212

5.

(5.1) Demuestre que [" y [# son subespacios vectoriales de Z Þ (5.2) Demuestre Z œ ["  [# ( AYUDA: 0 ÐBÑ œ "# Ð0 ÐBÑ  0 Ð  BÑÑ  "# Ð0 ÐBÑ  0 Ð  BÑÑ ) (5.3) Demuestre que

6. Sean

["  [# œ !@

+ E" œ Œ -

Î + ß ,ß - − ‘Ÿà ,

E$ œ Œ

, Î +  . œ ,  - à + ß ,ß -ß . − ‘Ÿ .

+ E# œ Œ ! + -

! Î + ß , − ‘Ÿ ; ,

(6.1) Demostrar que E3 Ð3 œ "ß #ß $Ñ es subespacio vectorial de `#B# con las operaciones usuales. (6.2) Determine un generador de E3 Ð3 œ "ß #ß $Ñ 7.

Sea W el conjunto solución del sistema:

(7.1)

B  %C  D œ ! #B  C  &D œ !

(7.2)

B"  #B#  $B$  B% œ ! $B"  B#  &B$  B% œ ! #B"  B#  B% œ !

Determine un conjunto finito de vectores que genere a W Þ

8. Determinar si los siguientes conjuntos independientes o linealmente dependientes.

son

linealmente

(8.1) E œ ˜"ß B  "ß B#  #B  "ß B# ™ § c# B‘ Þ

(8.2) G œ ˜=/8# ÐBÑß -9=# ÐBÑß "™ § V +ß ,‘ ß funciones contínuas en +ß ,‘.

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9. Sea el conjunto E œ ˜Ð"ß !ß "Ñß Ð3ß "ß !Ñß Ð3ß #ß "  3Ñ™ § ‚$ Þ (9.1) Expresar de ser posible; los vectores ? œ Ð"ß #ß $Ñ C A œ Ð3ß 3ß 3Ñ como una combinación lineal de los vectores de EÞ PÁG. 213

(9.2) Determine si el conjunto E es linealmente independiente en ‚$ Ð‚Ñ Þ (9.3) Determine si el conjunto E es linealmente independiente en ‚$ Ð‘Ñ Þ 10. Determinar si los siguientes conjuntos de funciones reales en ! ß "‘ definidas por las fórmulas que se indican; son linealmente independientes o linealmente dependientes. (10.1) 0" ÐBÑ œ ÐB  "Ñ# à 0# ÐBÑ œ B#  " à 0$ ÐBÑ œ #B#  #B  $ (10.2) 0" ÐBÑ œ

" B#

à 0# ÐBÑ œ B

11. Dados los siguientes conjuntos, determine todos los posibles subconjuntos linealmente independientes. (11.1) ˜Ð"ß !ß  "Ñß Ð!ß "ß "Ñß Ð"ß "ß "Ñß Ð#ß #ß "™ § ‘$ Þ (11.2) ˜=/8# ÐBÑß -9=# ÐBÑß -9=Ð#BÑ™ § V +ß ,‘

12. Determinar el valor de - para que los tres vectores Ð$ß "ß %ß 'Ñß Ð"ß "ß %ß %Ñß Ð"ß !ß  %ß -Ñ sean linealmente dependientes.

13. Probar que los siguientes conjuntos son una base en los respectivos espacios vectoriales (13.1) E œ ˜Ð"ß  "ß "Ñß Ð  #ß  #ß #Ñß Ð  $ß  $ß "Ñ™ § ‘$ Þ

" (13.2) F œ Œ "

! " ß ! Œ "

! " ß ! Œ!

! ! ß " Œ"

" § `#B# Þ ! Ÿ

Sean [" œ ˜ÐBß Cß Dß >Ñ − ‘% Î C  $D  > œ !™ [# œ ˜ÐBß Cß Dß >Ñ − ‘% Î B  #C  D œ ! à B  C  D œ $>™ (14.1) Determine una base y la dimensión para: a) [" b) [# c) ["  [# d) ["  [# 14.

(14.2) A partir de la base de a), b), c) y d), respectivamente; complete agregando o eliminando vectores adecuados a una base de ‘% . DEMUESTRE LO CONSTRUÍDO!! FACULTAD DE CS. NATURALES, MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PROYECTO DE FACULTAD "ÁLGEBRA LINEAL: una propuesta metodológica de aprendizaje autónomo en página web"

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15.

B  (C Sea Y œ Œ  "!C

(15.1) Demostrar que operaciones usuales.

&C Î Bß C − ‘Ÿ § `#B# . B  (C 

Y es subespacio vectorial de

`#B# con las

(15.2) Determine una base y dimensión de Y Þ

16.

Sean [" œ ˜ÐBß Cß DÑ − ‘$ Î#B  $C  D œ !™ [# œ ˜ÐBß Cß DÑ − ‘$ ÎB  #C  D œ !™

(16.1) Determine una base y la dimensión para: a) [" b) [# c) ["  [# d)

["  [#

(16.2) A partir de la base encontrada para ["  [# , complete agregando o eliminando vectores adecuados a una base para: a) [" b) [# c) ["  [# d) ‘$ 17.

Demuestre que:

(17.1) El conjunto ˜Ð"ß !ß !Ñ à Ð!ß "ß !Ñ à Ð!ß !ß "Ñ™ GENERA a ‘$ . (17.2) Los vectores 3 à 4 GENERAN a ‘# . (17.3) Los vectores " à "  B à "  B  B# GENERAN a c# Ð‘Ñ (17.4) ˜” 18.

" "

" " ß” • " "

" " à” • ! !

" " à” • ! !

! ™ es generador de `# B # БÑÞ !•

Demuestre que: 1/8 ˜@" ß @# ß Þ Þ Þ ß @8 ™ es un subespacio vectorial de Z Þ

19. Demuestre que en ‘# con las operaciones usuales de suma vectorial y multiplicación por escalar: (19.1) ˜Ð! ß !Ñ™ es espacio vectorial sobre el cuerpo ‘ . (19.2) ‘# es espacio vectorial sobre el cuerpo ‘ . (19.3) Cualquier recta que pase por el origen es espacio vectorial sobre ‘. FACULTAD DE CS. NATURALES, MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PROYECTO DE FACULTAD "ÁLGEBRA LINEAL: una propuesta metodológica de aprendizaje autónomo en página web"

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Determine si el conjunto M œ ˜E − `# B # БÑÎ E 38@/3,6/ ™ es subespacio vectorial de `# B # Ð‘Ñ con las operaciones usuales. 20.

21. (21.1) Demuestre que:

F œ ˜"ß "  Bß "  B  B# ß "  B  B#  B$ ™

es base de c $ БÑÞ (21.2) Determine si el conjunto F œ ˜”

" "

" # à” • " $

" " à” • ! !

" ! à” • " "

" ™ ! •

es una base de `# B # БÑÞ 22. Determine la dimensión de los siguientes espacios vectoriales, indicando a lo menos una base de dicho espacio. (22.1) El espacio vectorial `7 B 8 БÑÞ (22.2) El espacio vectorial c 8 Ð‘Ñ Þ

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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA FACULTAD DE CS. NAT., MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA SEMANA N° 06: (02 HORAS EJERCICIO) TALLER N° 5 1.

Sean [" à [# subespacios vectoriales de Z Þ Demuestre que: ["  [# œ ˜A − Z Î A œ A"  A# tal que A" − [" • A# − [# ™ es subespacio vectorial de Z Þ

2.

Sean 0 ß 1 funciones continuas en ! ß "‘ definidas por: Ú

0 ÐBÑ œ Û Ü

" #

B

=3 ! Ÿ B  =3

" #

Ú

à 1 ÐBÑ œ Û Ü ŸBŸ"

Determine: (2.1) 1/8˜0 ™ 3.

" #

B !

(2.2) 1/8˜1™

" #

=3 ! Ÿ B  =3

" #

" #

ŸBŸ"

(2.3) 1/8˜0 ß 1™

Sea Z œ ‘$ y O œ ‘ Þ Consideremos: [" œ ˜ÐBß Cß DÑ − ‘$ ÎB  C  D œ !™ à [# œ ˜ÐBß Cß DÑ − ‘$ ÎB œ D ™ à [$ œ ˜ÐBß Cß DÑ − ‘$ ÎB œ C œ !™

(3.1) Demuestre [" ß [# ß [$ son subespacios vectoriales de ‘$ . (3.2) Determine ["  [# ß ["  [$ (3.3) Demuestre que:

, [#  [$ .

‘$ œ [ "  [ # œ [ "  [ $ œ [ #  [ $ .

Sea ˜"  > ß >#  >$ ß #  >  ># ß "  >$ ™ § c$ >‘ Þ Determine si 1/8˜"  > ß >#  >$ ß #  >  ># ß "  >$ ™ œ c$ >‘Þ ( c$ >‘ es el conjunto de los polinomios de grado menor o igual que $ )

4.

5.

Sean [" œ  ˜Ð"ß #ß $ß 'Ñß Ð%ß  "ß $ß 'Ñ ß Ð&ß "ß 'ß "#Ñ™¡ y [# œ  ˜Ð"ß  "ß "ß "Ñß Ð#ß  "ß %ß &Ñ™¡ . Determine:

(5.1) 1/8 Ð["  [# Ñ

(5.2) 1/8 Ð["  [# Ñ

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Sean W œ ˜ÐBß Cß Dß >Ñ − ‘ Î C  #D  > œ !™ X œ ˜ÐBß Cß Dß >Ñ − ‘% Î B œ > à C œ #D ™ Determine un conjunto finito de vectores que genere a:

PÁG. 217

%

6.

(6.1) W

(6.2) X

7.

[" œ 1/8˜Ð"ß "ß #ß  $Ñß Ð"ß "ß #ß !Ñß Ð$ß  "ß 'ß  'Ñ™ [# œ 1/8˜Ð"ß  "ß "ß "Ñß Ð#ß  "ß %ß &Ñ™

Sean:

(6.3) W  X

(6.4) W  X

(7.1) Demuestre que [" Á [# Ð7.2) Determine a partir de los vectores en 1/8 Ð["  [# Ñà un conjunto de vectores linealmente independientes. Ð7.3) Complete a partir de 1/8 Ð["  [# Ñà una base para ‘% . 8. Determinar si los siguientes conjuntos independientes o linealmente dependientes.

son

linealmente

(8.1) E œ ˜Ð"ß !ß "Ñß Ð"ß  "ß #Ñß Ð$ß #ß "Ñ™ § ‘$ Þ $ (8.2) F œ Œ "

% & ߌ  $ $

" ' ߌ  " "

% # ߌ  ! $

" § `#B# Þ  # Ÿ

(8.3) G œ ˜B /B ß =/8ÐBÑß /B -9=ÐBÑß "™ § V M ‘ ß funciones un intervalo M Þ

contínuas

˜Ð!ß "ß "Ñß Ð!ß #ß "Ñß Ð"ß &ß $Ñ™ 9. Demuestre que el conjunto linealmente independiente sobre ‘ y ‚ Þ

en

es

10. Determinar si el siguiente conjunto de funciones reales en ! ß "‘ definidas por las fórmulas que se indican; son linealmente independientes o linealmente dependientes. 0" ÐBÑ œ $B à 0# ÐBÑ œ B  & à 0$ ÐBÑ œ #B# ; 0% ÐBÑ œ ÐB  "Ñ# 11. Dado el siguiente conjunto, determine subconjuntos linealmente independientes. ˜"ß B  "ß B#  #B  "ß B# ™ § c# B‘ Þ

todos

los

posibles

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12.

Dado el siguiente sistema de ecuaciones en ‘ . B  D  #> œ ! C  $D  > œ ! (12.1) Encuentre el conjunto solución W del sistemaÞ (12.2) Demuestre que W es un subespacio vectorial de ‘% Þ (12.3) Determine una base y la dimensión del subespacio vectorial W Þ (12.4) A partir de la base de W ; complete agregando vectores adecuados a una base de ‘% . DEMUESTRE LO CONSTRUÍDO!! 13. Probar que el siguiente conjunto es una base en el respectivo espacio vectorial E œ ˜ "% ß #B  $ß B#  # ™ § c# B‘ Þ Sean [" œ ˜ÐBß Cß Dß >Ñ − ‘% ÎB  C  D œ ! à $B  C  > œ !™ [# œ ˜ÐBß Cß Dß >Ñ − ‘% ÎB  #D œ !™ (14.1) Determine una base y la dimensión para: a) [" b) [# c) ["  [# d) ["  [#

14.

(14.2) A partir de la base encontrada para ["  [# , complete agregando vectores adecuados a una base para: ‘% a) [" b) [# c) ["  [# d) Sean E œ ˜Ð"ß !ß !ß !Ñß Ð"ß "ß !ß !Ñß Ð!ß  "ß  "ß !Ñß Ð!ß !ß #ß #Ñ™ F œ ˜Ð"ß !ß #ß  "Ñß Ð$ß !ß %ß  #Ñ™ (15.1) Demuestre que E es base de ‘% .

15.

(15.2) Demuestre que F es linealmente independiente. (15.3) Extienda F a una base de ‘% , considerando los vectores de EÞ 16. Demuestre que: (16.1) 1/8 ˜3 ß 4 ß 5 ™ œ ‘$

(16.3) 1/8 ˜"ß Bß B# ß Þ Þ Þ ß B8 ™ œ c8 Ð‘Ñ " (16.4) 1/8˜” "

" " ß” • " "

(16.2) 1/8 ˜Ð"ß !Ñß Ð!ß "Ñ™ œ ‘#

" " ß” • ! !

" " ß” • ! !

! ™ œ ` # B # Ð ‘Ñ !•

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17. (17.1) Demuestre que las rectas que espacios vectoriales.

NO

pasan por el origen; no son

(17.2) ¿ Es ‘ espacio vectorial sobre ‚ ? (17.3) ¿ Es ‘8 espacio vectorial sobre ‚ ? (17.4) ¿ Es ‚ espacio vectorial sobre ‘ ? (17.5) ¿ Es ‚ espacio vectorial sobre ‚ ? (17.6) ¿ Es ‚8 espacio vectorial sobre ‘ ? (17.7) ¿ Es ‚8 espacio vectorial sobre ‚ ? (17.8) Sea `7 B 8 Ð‘Ñ el conjunto de las matrices de orden 7 B 8 con coeficientes en el cuerpo ‘ ; dotado de las operaciones: SUMA VECTORIAL: Ð+3 4 Ñ  Ð,3 4 Ñ œ Ð+3 4  ,3 4 Ñ MULTIPLICACIÓN POR ESCALAR: ! Ð+3 4 Ñ œ Ð! +3 4 Ñ Demuestre que el conjunto B BC Q œ ˜Œ ÎB ß C − ‘ ™ es subespacio vectorial de `# B # БÑ. BC C  (17.9) Sea Y Б , ‘Ñ el conjunto de las funciones reales de variable real y el cuerpo ‘ ; dotado de las operaciones: SUMA VECTORIAL: Si 0 à 1 − Y Б , ‘Ñ , entoncesÐ0  1ÑÐBÑ œ 0 ÐBÑ  1ÐBÑ MULTIPLICACIÓN POR ESCALAR: Si ! − ‘ ; 0 − Y Б , ‘Ñ , entonces Ð! 0 Ñ ÐBÑ œ ! Ð0 ÐBÑÑ Demuestre que el conjunto J œ ˜0 À ‘ Ä ‘ Î 0 ÐBÑ œ 0 Ð  BÑ à a B − ‘™ es subespacio vectorial de Y Б , ‘Ñ.

18. (18.1) Forme una combinación lineal en c % Ð ‘Ñ "à "  Bà "  B# à "  B$ à "  B% y los escalares respectivamente. (18.2) Determine si la matriz

" ”#

" combinación lineal de los vectores ” "

con los vectores  # à %à  "à ! y $

" se puede expresar como $• " " " " " ; ; "• ”! "• ”! !•

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19.

Demuestre que: Si Z es un espacio vectorial sobre el cuerpo O y !" ß !# ß ÞÞÞß !8 − O (escalares); @" ß @# ß Þ Þ Þ ß @8 − Z (vectores). Entonces la COMBINACIÓN LINEAL de @" ß @# ß Þ Þ Þ ß @8 − Z ; ! !3 @3 − Z 8

3œ"

(Ayuda: utilice inducción matemática)

20. (20.1) Sea `# B # Ð‘Ñ el conjunto de las matrices de orden # B # coeficientes en el cuerpo ‘ Þ Determine si el conjunto de matrices " " " " " " " ™ ˜” " à” à” à” es L . I . • • • " " " " " " " "•

con

(20.2) Sea c # Ð‘Ñ el conjunto de polinomios de grado menor o igual que # con coeficientes en el cuerpo ‘ Þ Determine si el conjunto de polinomios ˜  # à "  B  B# à "  B à B# ™ es L . I . 21.

Demuestre lo siguiente: Si Z es un espacio vectorial sobre el cuerpo O Ð ‘ à ‚ Ñ y F œ ˜@" ß @# ß Þ Þ Þ ß @8 ™ es una BASE de Z . Entonces existen únicos escalares !" ß !# ß Þ Þ Þ ß !8 − O tal que @ œ ! !3 @3 8

para todo @ − Z

se tiene que:

3œ"

22. Determine la dimensión de los siguientes espacios vectoriales, indicando a lo menos una base de dicho espacio. (22.1) El espacio vectorial ‘ sobre ‘. (22.2) El espacio vectorial ‘8 sobre ‘.

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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA FACULTAD DE CS. NAT., MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PRUEBA DE AUTOEVALUACIÓN N° 5: PROBLEMA 1:

TALLER N° 5: RESPUESTA:

2.

Ð#Þ"Ñ 1/8 ˜0 ™ œ ˜!0 Î ! − ‘™ à tal que

Ú "!

=3 ! Ÿ B 

Ð!0 ÑÐBÑ œ !0 ÐBÑ œ Û Ü !B #

" #

à ! − ‘Þ =3

Ð#Þ#Ñ 1/8 ˜1™ œ ˜!1 Î ! − ‘™ à tal que

Ú  !B  " ! # Ð!1ÑÐBÑ œ !1ÐBÑ œ Û Ü !

" #

ŸBŸ"

=3 ! Ÿ B 

" #

à ! − ‘Þ =3

" #

ŸBŸ"

Ð#Þ$Ñ 1/8 ˜0 à 1™ œ ˜!0  " 1 Î !ß " − ‘™ à tal que

Ú " Ð!  " Ñ  " B # Ð!0  " 1ÑÐBÑ œ !0 ÐBÑ  " 1ÐBÑ œ Û Ü !B !ß " − ‘ PROBLEMA 2:

Ð$Þ"Ñ [$

TALLER N° 5: RESPUESTA:

=3 ! Ÿ B  =3

" #

" #

ŸBŸ"

3.

œ ˜Ð!ß !ß DÑ − ‘$ ÎD − ‘™ œ ˜DÐ!ß !ß "Ñ − ‘$ ÎD − ‘™ œ 1/8˜Ð!ß !ß "Ñ™

(TODO CONJUNTO GENERADO ES SUBESPACIO VECTORIAL) Por lo tanto; [$ es subespacio vectorial de ‘$ .

Ð$Þ#Ñ ÐBß Cß DÑ − Ð["  [$ Ñ Í ÐBß Cß DÑ − [" • ÐBß Cß DÑ − [$

Í BCD œ! ÊBœC œD œ! BœCœ! Por lo tanto ["  [$ œ ˜Ð!ß !ß !Ñ™ FACULTAD DE CS. NATURALES, MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PROYECTO DE FACULTAD "ÁLGEBRA LINEAL: una propuesta metodológica de aprendizaje autónomo en página web"

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œ ˜ÐDß Cß DÑ − ‘ ÎC à D − ‘™ œ ˜CÐ!ß "ß !Ñ  DÐ"ß !ß "ÑÎC à D − ‘™ œ 1/8˜Ð!ß "ß !Ñ ß Ð"ß !ß "Ñ™ y además ˜Ð!ß "ß !Ñ ß Ð"ß !ß "Ñ™ es linealmente independiente. Luego ˜Ð!ß "ß !Ñ ß Ð"ß !ß "Ñ™ es base de [# y .37 [# œ # [$ œ 1/8˜Ð!ß !ß "Ñ™ y además ˜Ð!ß !ß "Ñ™ es linealmente independiente. Luego ˜Ð!ß !ß "Ñ™ es base de [$ y .37 [$ œ " PÁG. 222

Ð$Þ$Ñ 1º)

2º)

[# [# [#

.37 ‘$ œ $ y .37 Ð[#  [$ Ñ œ .37[#  .37 [$  .37 Ð[# ’ [$ Ñ œ #  "  ! œ $ œ .37 ‘$ y como Ð[#  [$ Ñ § ‘$ Ê Ð[#  [$ Ñ œ ‘$ Þ

PROBLEMA 3: 1º)

$

TALLER N° 5: RESPUESTA:

4.

1/8˜"  > ß >#  >$ ß #  >  ># ß "  >$ ™ œ c$ Í EXISTEN ESCALARES ! ß " ß # ß - − ‘ tal que todo polinomio +!  +" >  +# >#  +$ >$ − c$ se puede expresar como la siguiente combinación lineal:

+!  +" >  +# >#  +$ >$ œ œ !Ð"  >Ñ  " Ð >#  >$ Ñ  # Ð#  >  ># Ñ  -Ð"  >$ Ñ (se debe verificar si existen los escalares en términos de +! ,+" ,+# ,+$ ) 2º)

Se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones: !  ##  - œ +! Se resuelve para ! ß " ß # ß -

! " "

3º)

# #

œ +" œ +#  - œ +$

Forme la matriz

Î" Ð " Ð ! Ï!

! ! " "

# " " !

" ! ! "

+! Ñ +" Ó Ó +# +$ Ò

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Î" ! ! ! Ð ! " ! ! para obtener: Ð Ð ! ! " ! Ï! ! ! " 4º)

 +"  +#  +$ Ñ Ñ " Ó # Ð  +!  +"  $+#  +$ Ñ Ó " Ó # Ð+!  +"  +#  +$ Ñ " Ò # Ð  +!  +"  $+#  $+$ Ñ

PÁG. 223

" # Ð+!

Por lo tanto; existen escalares

! œ "# Ð+!  +"  +#  +$ Ñ " œ "# Ð  +!  +"  $+#  +$ Ñ # œ "# Ð+!  +"  +#  +$ Ñ - œ "# Ð  +!  +"  $+#  $+$ Ñ y 1/8˜"  > ß >#  >$ ß #  >  ># ß "  >$ ™ œ c$ PROBLEMA 4:

TALLER N° 5: RESPUESTA:

7.

Ð(Þ"Ñ Para que sean distintos, basta con que uno de los elementos de los generadores no pertenezca al otro generador. Verifiquemos por ejemplo si Ð" ß " ß # ß  $Ñ − [# ; es decir EXISTEN ESCALARES ! ß " − ‘ tal que: Ð"ß "ß #ß  $Ñ œ !Ð" ß  " ß " ß "Ñ  " Ð# ß  " ß % ß &ÑÞ El sistema NO TIENE SOLUCIÓN, o sea Ð" ß " ß # ß  $Ñ Â [# . Por lo tanto [" Á [# Þ Ð(Þ#Ñ 1º) ["  [# œ ˜AÎb A" − [" à A# − [# tal que A œ A"  A# ™ 2º)

A" − [" Ê b ! ß " ß # − ‘ tal que A" œ !Ð"ß "ß #ß  $Ñ  " Ð"ß "ß #ß !Ñ  # Ð$ß  "ß 'ß  'Ñ A# − [# Ê b - ß % − ‘ tal que A# œ -Ð"ß  "ß "ß "Ñ  %Ð#ß  "ß %ß &Ñ Luego:

A œ A"  A# œ !Ð"ß "ß #ß  $Ñ  " Ð"ß "ß #ß !Ñ  # Ð$ß  "ß 'ß  'Ñ  -Ð"ß  "ß "ß "Ñ  %Ð#ß  "ß %ß &Ñ 3º)

["  [# œ 1/8˜Ð"ß "ß #ß  $Ñ;Ð"ß "ß #ß !Ñ;Ð$ß  "ß 'ß  'Ñ; Ð"ß  "ß "ß "Ñ;Ð#ß  "ß %ß &Ñ™

Notar que:

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4º) Para determinar cuales de estos 5 vectores son linealmente independientes; formar la matriz " # $Ñ Î" Ð " " # ! Ó Ð Ó $  " '  'Ó y reducirla (se recomienda NO CAMBIAR FILAS) a: Ð Ð Ó " " " " Ï# " % & Ò Î" " # $Ñ " Ó Ð ! ! ! Ð Ó ; Ð ! ! "  &# Ó Ð Ó ! # " % Ï! ! ! ! Ò para obtener que los vectores linealmente independientes son:

˜Ð"ß "ß #ß  $Ñ;Ð"ß "ß #ß !Ñ;Ð$ß  "ß 'ß  'Ñ; Ð"ß  "ß "ß "Ñ™

Ð(Þ$Ñ 1º) ["  [# œ ˜AÎ A − [" • A − [# ™ 2º)

A − [" Ê b ! ß " ß # − ‘ tal que A œ !Ð"ß "ß #ß  $Ñ  " Ð"ß "ß #ß !Ñ  # Ð$ß  "ß 'ß  'Ñ A − [# Ê b - ß % − ‘ tal que A œ -Ð"ß  "ß "ß "Ñ  %Ð#ß  "ß %ß &Ñ Luego:

A 3º)

œ !Ð"ß "ß #ß  $Ñ  " Ð"ß "ß #ß !Ñ  # Ð$ß  "ß 'ß  'Ñ œ -Ð"ß  "ß "ß "Ñ  %Ð#ß  "ß %ß &Ñ

Formando

el

sistema

homogéneo

para

las

variables

!ß " ß # ß - ß % − ‘ À !  "  $#  -  #% œ ! !"#-% œ! #!  #"  '#  -  %% œ !  !  '#  -  &% œ ! 4º) Î Ð Ð Ï

Para obtener la solución, forme la matriz " " # "

" " # !

$ " ' '

" " " "

#Ñ " Ó y redúzcala a Ó % &Ò

Î" ! ! ! Ð ! " ! ! Ð Ð ! ! " ! Ï! ! ! "

"* #  $( % 

%$!

Ñ Ó Ó Ó Ò

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es decir:

!œ 

"* # %

à "œ

$( % %

à #œ

$ %%

à - œ !Þ

Por lo tanto:

A œ !Ð"ß "ß #ß  $Ñ  " Ð"ß "ß #ß !Ñ  # Ð$ß  "ß 'ß  'Ñ œ -Ð"ß  "ß "ß "Ñ  %Ð#ß  "ß %ß &Ñ œ %Ð#ß  "ß %ß &Ñ

["  [# œ ˜%Ð#ß  "ß %ß &Ñ Î % − ‘™ œ 1/8˜Ð#ß  "ß %ß &Ñ™ Luego:

COMPLETACIÓN DE UNA BASE PARA ‘% À Como .37‘% œ % y se tiene un vector linealmente independiente en ˜Ð#ß  "ß %ß &Ñ™; se deben agregar 3 vectores linealmente 5º)

independientes al conjunto ˜Ð#ß  "ß %ß &Ñ™ para obtener una base de ‘% Por ejemplo

˜Ð#ß  "ß %ß &Ñà Ð!ß "ß !ß !Ñà Ð!ß !ß "ß !Ñà Ð!ß !ß !ß "Ñ™

es obviamente L.I; y por lo tanto base de ‘% .

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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA FACULTAD CS. NAT., MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA MARTES 15 DE MAYO DE 2007: 12:45-14:05 CONTROL N° 2: ÁLGEBRA LINEAL (MAT-605) NOMBRE_______________________________SECCIÓN__11__ PROFESOR__CARLOS SEPÚLVEDA BUSTAMANTE__ (2.1)

(2.2)

TOTAL

PUNTAJE PREGUNTA 2: (2.1) Considere el siguiente subconjunto de `#B# Ð‘Ñ " ! " ! " ! ! " F œ Œ ߌ ߌ ߌ    " ! " ! ! " " ! Ÿ

" " Exprese si es posible el vector Œ como combinación " " lineal del conjunto F . b) Determine si el conjunto F es linealmente independiente. a)

(2.2) Considerando el siguiente subespacio vectorial de ‘$ . [ œ ˜ÐB ß Cß DÑ − ‘$ ÎB  C œ C  D œ !™ Determine una base y la dimensión de [ . PONDERACIONES:

(2.1) = 08 (2.2) = 07 PUNTOS. TIEMPO: 20 minutos.

JUSTIFIQUE DETALLADAMENTE EL DESARROLLO ANALÍTICO DE CADA UNA DE SUS RESPUESTAS!!

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PAUTA CONTROL N° 2: ÁLGEBRA LINEAL (MAT-605) SECCIÓN__11__ PREGUNTA 2: (2.1) a) SOLUCIÓN: 1º) Será posible cuando existan escalares ! ß " ß # ß - − ‘ tal que " Œ"

" " œ !Œ  " "

! "  "Œ  ! "

! "  #Œ  ! !

! !  -Œ  " "

" !

1

2º) Lo anterior determina el siguiente sistema de ecuaciones: !"# œ " Ê ! œ " ß " œ  "ß # œ  " ß - œ " 2 -œ" !" - œ" # œ" 3º) Por lo tanto, si es posible expresarlo como: 1 " ! " ! " ! ! " Ð"ÑŒ  Ð  "ÑŒ  Ð  "ÑŒ  Ð"ÑŒ    " ! " ! ! " " ! b) SOLUCIÓN: 1º) Es linealmente independiente si se verifica la propiedad " ! " ! " ! ! " ! !  "Œ  #Œ  -Œ œŒ !Œ     " ! " ! ! " " ! ! ! Ê ! œ ! ß " œ !ß # œ ! ß - œ ! 1 2º) Lo anterior determina el siguiente sistema de ecuaciones: !"# œ! Ê!œ" œ#œ-œ! 2 -œ! !" - œ! # œ! 3º) Por lo tanto, F es linealmente independiente. 1 (2.2) SOLUCIÓN: 1º) De [ œ ˜ÐB ß Cß DÑ − ‘$ ÎB  C œ C  D œ !™ se tiene que B œ D à C œ  D con D − ‘ variable independiente. 2 2º) Luego

[ œ ˜ÐD ß  Dß DÑ ÎD − ‘™ œ ˜DÐ" ß  "ß "Ñ ÎD − ‘™ [ œ 1/8˜Ð" ß  "ß "Ñ™ 2

Por ser único vector distinto de cero, entonces el conjunto ˜Ð" ß  "ß "Ñ™ es base de [ 2 y .37 [ œ " Þ 1

3º)

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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA FACULTAD CS. NAT., MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA MARTES 15 DE MAYO DE 2007: 11:15 - 12:35 CONTROL N° 2: ÁLGEBRA LINEAL (MAT-605) NOMBRE_______________________________SECCIÓN__12__ PROFESOR__CARLOS SEPÚLVEDA BUSTAMANTE__ (2.1)

(2.2)

TOTAL

PUNTAJE PREGUNTA 2: (2.1) Considere el siguiente subconjunto de `#B# Ð‘Ñ " " " " " " " ! ™ E œ ˜” ß” à” à” • • • " " " ! ! ! ! !• + , a) Exprese si es posible el vector ” como combinación - .• lineal del conjunto E . b) Determine si el conjunto E es generador de `# B # БÑÞ (2.2) Considerando el siguiente subespacio vectorial de ‘$ . [ œ ˜ÐB ß Cß DÑ − ‘$ Î$B  C œ ! ß #B  C œ D ™ Determine una base y la dimensión de [ . PONDERACIONES:

(2.1) = 08 (2.2) = 07 PUNTOS. TIEMPO: 20 minutos.

JUSTIFIQUE DETALLADAMENTE EL DESARROLLO ANALÍTICO DE CADA UNA DE SUS RESPUESTAS!!

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PAUTA CONTROL N° 2: ÁLGEBRA LINEAL (MAT-605) SECCIÓN__12__ PREGUNTA 2: (2.1) a) SOLUCIÓN: 1º) Será posible cuando existan escalares ! ß " ß # ß - − ‘ tal que + , " " " " " " " ! 1 ” - . • œ !” " " •  " ” " ! •  # ” ! ! •  - ” ! ! • 2º) Lo anterior determina el siguiente sistema de ecuaciones: !"# - œ+ !"# œ, !" œ! œ. Ê ! œ . ß " œ -  .ß # œ ,  - ß - œ +  , 2 3º) Por lo tanto, si es posible expresarlo como: 1 " " " " " " " !  Ð-  .Ñ”  Ð,  -Ñ”  Ð+  ,Ñ” Ð.Ñ” • • • " " " ! ! ! ! !• b) SOLUCIÓN: + , 1º) Es generador si todo vector ” − `# B # Ð‘Ñ se puede - .• expresar como combinación lineal de E, es decir existen escalares ! ß " ß # ß - − ‘ tal que + , " " " " " " " ! ” - . • œ !” " " •  " ” " ! •  # ” ! ! •  - ” ! ! • 2 2º) Lo cual se determinó en el punto a) anterior, y lo cual significa que E es generador de `# B # Ð‘Ñ o Ð1/8 E œ `# B # Ð‘Ñ Ñ 2 (2.2) SOLUCIÓN: 1º) De [ œ ˜ÐB ß Cß DÑ − ‘$ Î$B  C œ ! ß #B  C œ D ™ se tiene que resolviendo el siguiente sistema de ecuaciones: $B  C œ ! Ê $B  C œ! Ê #B  C œ D #B  C  D œ ! D œ  B à C œ $B con B − ‘ variable independiente. 2 2º) Luego, [ œ ˜ÐB ß $Bß  BÑÎB − ‘™ œ ˜BÐ" ß $ß  "ÑÎB − ‘™ [ œ 1/8˜Ð" ß $ß  "Ñ™ 2 3º) Por ser único vector distinto de cero, entonces el conjunto ˜Ð" ß $ß  "Ñ™ es base de [ 2 y .37 [ œ " Þ 1 FACULTAD DE CS. NATURALES, MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PROYECTO DE FACULTAD "ÁLGEBRA LINEAL: una propuesta metodológica de aprendizaje autónomo en página web"

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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA FACULTAD CS. NAT., MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA JUEVES 17 DE MAYO DE 2007: 11:15 - 12:35 CONTROL N° 2: ÁLGEBRA LINEAL (MAT-605) NOMBRE_______________________________SECCIÓN__14__ PROFESOR__CARLOS SEPÚLVEDA BUSTAMANTE__ (2.1)

(2.2)

TOTAL

PUNTAJE PREGUNTA 2: (2.1) Considere el siguiente subconjunto de c # БÑ. F œ ˜" ß "  B ß "  B  B# ™ a) Exprese si es posible el vector #  $B  B# como combinación lineal del conjunto F . b) Determine si el conjunto F es linealmente independiente. (2.2) Sea W el conjunto solución del sistema: B  %C  D œ ! #B  C  &D œ ! Determine una base y la dimensión de W Þ PONDERACIONES:

(2.1) = 08 (2.2) = 07 PUNTOS. TIEMPO: 20 minutos.

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PAUTA CONTROL N° 2: ÁLGEBRA LINEAL (MAT-605) SECCIÓN__14__ PREGUNTA 2: (2.1) a) SOLUCIÓN: 1º) Será posible cuando existan escalares ! ß " ß # − ‘ tal que #  $B  B# œ ! Ð"Ñ  " Ð"  BÑ  # Ð"  B  B# Ñ 1 2º) Lo anterior determina el siguiente sistema de ecuaciones: !"# œ# Ê ! œ  " ß " œ %ß # œ  " 2 "# œ $ # œ" 3º)

1

Por lo tanto, si es posible expresarlo como:

Ð  "Ñ Ð"Ñ  Ð%Ñ Ð"  BÑ  Ð  "Ñ Ð"  B  B# Ñ b) 1º)

SOLUCIÓN: Es linealmente independiente si se verifica la propiedad ! Ð"Ñ  " Ð"  BÑ  # Ð"  B  B# Ñ œ !

Ê ! œ ! ß " œ !ß # œ !

1

2º) Lo anterior determina el siguiente sistema de ecuaciones: !"# œ! Ê ! œ ! ß " œ !ß # œ ! 2 "# œ! # œ! 3º)

1

Por lo tanto, F es linealmente independiente.

(2.2) SOLUCIÓN: 1º) Resolviendo el sistema de ecuaciones: " ! " % " " % " Œ# " & Ä Œ!  ( $ Ä  ! "

Bœ 

"* ( D

"* (



$ (



à C œ $( D con D − ‘ variable independiente.

2

2º) Luego, [ œ ˜Ð 

[ œ

"* $ "* $ ™ ˜ ™ ( D ß ( D ß DÑÎD − ‘ œ D Ð  ( ß ( ß "ÑÎB − ‘ $ ™ ˜ ™ 2 1/8˜Ð  "* ( ß ( ß "Ñ œ 1/8 Ð"* ß  $ß  (Ñ

3º) Por ser único vector distinto de cero, entonces el conjunto ˜Ð"* ß  $ß  (Ñ™ es base de [ 2 y .37 [ œ "

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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA FACULTAD CS. NAT., MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA JUEVES 17 DE MAYO DE 2007: 12:45 - 14:05 CONTROL N° 2: ÁLGEBRA LINEAL (MAT-605) NOMBRE_______________________________SECCIÓN__13__ PROFESOR__ERICK GONZÁLEZ GAJARDO__ (2.1)

(2.2)

TOTAL

PUNTAJE PREGUNTA 2: (2.1) Considere el siguiente subconjunto de c # БÑ. F œ ˜" ß "  B ß "  B  B# ™ a) Exprese si es posible el vector +  , B  - B# combinación lineal del conjunto F . b) Determine si el conjunto F es generador de c $ БÑÞ B  (C (2.2) Sea Y œ Œ  "!C

&C Î Bß C − ‘Ÿ § `#B# БÑ. B  (C 

Determine una base y la dimensión para PONDERACIONES:

como

Y.

(2.1) = 08 (2.2) = 07 PUNTOS. TIEMPO: 20 minutos.

JUSTIFIQUE DETALLADAMENTE EL DESARROLLO ANALÍTICO DE CADA UNA DE SUS RESPUESTAS!!

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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA FACULTAD CS. NAT., MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA MIÉRCOLES 16 DE MAYO DE 2007: 15:45 - 17:05 CONTROL N° 2: ÁLGEBRA LINEAL (MAT-605) NOMBRE_______________________________SECCIÓN__21__ PROFESOR__RENÉ ALZAMORA ANTIQUERA__ (2.1)

(2.2)

TOTAL

PUNTAJE PREGUNTA 2: (2.1) Considere el siguiente subconjunto de ‘$ . F œ ˜Ð"ß !ß !Ñ ß Ð"ß  "ß !Ñ ß Ð"ß  "ß  "Ñ ™ a) Exprese si es posible el vector Ð#ß  $ß "Ñ como combinación lineal del conjunto F . b) Determine si el conjunto F es linealmente independiente. (2.2) Sea E œ Œ

+ -

Î + ß ,ß - − ‘Ÿ § `#B# БÑ. ,

Determine una base y la dimensión de E Þ PONDERACIONES:

(2.1) = 08 (2.2) = 07 PUNTOS. TIEMPO: 20 minutos.

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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA FACULTAD CS. NAT., MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA MIÉRCOLES 16 DE MAYO DE 2007: 14:15 - 15:35 CONTROL N° 2: ÁLGEBRA LINEAL (MAT-605) NOMBRE_______________________________SECCIÓN__22__ PROFESOR__RENÉ ALZAMORA ANTIQUERA__ (2.1)

(2.2)

TOTAL

PUNTAJE PREGUNTA 2: (2.1) Considere el siguiente subconjunto de ‘$ . F œ ˜Ð"ß "ß "Ñ ß Ð"ß "ß !Ñ ß Ð"ß !ß !Ñ ™ a) Exprese si es posible el vector ÐBß Cß DÑ como combinación lineal del conjunto F . b) Determine si el conjunto F es generador de ‘$ . (2.2) Sea W el conjunto solución del sistema: B  #C  D œ ! BCD œ! Determine una base y la dimensión de W Þ PONDERACIONES: (2.1) = 08 (2.2) = 07 PUNTOS. TIEMPO: 20 minutos.

JUSTIFIQUE DETALLADAMENTE EL DESARROLLO ANALÍTICO DE CADA UNA DE SUS RESPUESTAS!!

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SEMANA N° 07: UNIDAD N° 4: TEMA 6:

(04 HORAS CÁTEDRA) ESPACIOS VECTORIALES

CAMBIO DE BASE

OBJETIVO OPERACIONAL: Escribir un vector como combinación lineal de dos bases distintas de un espacio vectorial. OBJETIVO OPERACIONAL: Encontrar las G SSVHIR EHEW de un vector respecto de dos bases de un espacio vectorial. OBJETIVO OPERACIONAL: Encontrar la Q EX VM ^ HI X VER WM G M SR S HI G EQ FM S HI FEWI. (6.1) INTRODUCCIÓN: Sean Z espacio vectorial sobre el cuerpo O ; de dimensión 8 ; y F" œ ˜?" ß ?# ß ?$ ß Þ Þ Þ ß ?8 ™ y F# œ ˜@" ß @# ß @$ ß Þ Þ Þ ß @8 ™ bases de Z Þ Si @ − Z . Entonces podemos escribirlo como combinación lineal de ambas bases F" y F# . En efecto: @ œ !" ?"  !# ?#  !$ ?$  Þ Þ Þ  !8 ?8 y @ œ "" @"  "# @#  "$ @$  Þ Þ Þ  "8 @8 con !3 ; "3 − O para todo 3 œ "ß #ß $ß Þ Þ Þ ß 8 Þ (6.2) EJEMPLOS: (6.2.1) En ‘$ ; F" œ ˜Ð" ß !ß !Ñß Ð!ß "ß !Ñß Ð!ß !ß "Ñ™ es la base CANÓNICA y F# œ ˜Ð"ß  "ß !Ñß Ð"ß !ß !Ñß Ð"ß !ß "Ñ™ es otra base de ‘$ . Escriba el vector Ð"ß #ß $Ñ como combinación lineal de ambas basesÞ SOLUCIÓN: 1°) Como F" es la base canónica, se tiene directamente que: Ð"ß #ß $Ñ œ Ð"Ñ Ð" ß !ß !Ñ  Ð#Ñ Ð!ß "ß !Ñ  Ð$Ñ Ð!ß !ß "Ñ

2°) Como F# œ ˜Ð"ß  "ß !Ñß Ð"ß !ß !Ñß Ð"ß !ß "Ñ™; se trata de encontrar ! à " à # − ‘ tal que Ð"ß #ß $Ñ œ ! Ð"ß  "ß !Ñ  " Ð"ß !ß !Ñ  # Ð"ß !ß "Ñ resolviendo el siguiente sistema: !"# œ" Ê ! œ # à # œ$ à " œ! ! œ# #œ$ Por lo tanto: Ð"ß #ß $Ñ œ Ð  #Ñ Ð"ß  "ß !Ñ  Ð!Ñ Ð"ß !ß !Ñ  Ð$Ñ Ð"ß !ß "Ñ

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" (6.2.2) En `#B# Ð‘Ñ ; F" œ ” "

" y F# œ ” "

" " ß” • " "

" Escriba el vector ” " SOLUCIÓN: 1°)

" " à” • ! !

! " ß !• ” " " " à” • ! !

! " ß” • ! "

resolviendo el siguiente sistema: !"# œ" Ê !œ - œ " !" - œ " # œ!

Como

" ! •Ÿ

! son bases de `#B# Б) . ! •Ÿ

! " ß” • ! !

encontrar ! à " à # à - − ‘ tal que " " " ! " œ !”  "” ” " • • ! " ! "

2°)

! ! ß "• ”"

" como combinación lineal de ambas basesÞ ! •

" Como F" œ ” "

Por lo tanto: " " " œ Ð "# Ñ” ” " ! • "

! " ß !• ”!

" #

" " ß” • " "

! "  #” • ! !

à "œ 

! "  Ð  "# Ñ” !• "

" F# œ ” "

! ! ß” • " "

! !  -” • " "

" , !•

à # œ! à - œ "

! "  Ð!Ñ” !• !

" " à” • ! !

encontrar ! à " à # à - − ‘ tal que " " " " " œ !”  "” ” " • • ! " " "

" #

" ; se trata de ! •Ÿ

" " à” • ! !

" "  #” • ! !

! !  Ð  "Ñ” "• " ! ; se ! •Ÿ

" "  -” • ! !

trata

de

! , !•

Resolviendo el siguiente sistema: !"#- œ" Ê ! œ! à " œ " à # œ! à - œ# !"# œ " !" œ " ! œ! " ” "

Por lo tanto: " " œ Ð!Ñ” • ! "

" "  Ð  "Ñ” • " "

" "  Ð!Ñ” • ! !

" "  Ð#Ñ” • ! !

! !•

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" !•

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(6.2.3) En c # Ð‘Ñ ; F" œ ˜" ß B ß B ™ es la base CANÓNICA y F# œ ˜" ß "  B ß "  B  B# ™ es otra base de c # Ð‘Ñ . Escriba el vector "  #B  $B# como combinación lineal de ambas basesÞ SOLUCIÓN: PÁG. 237

#

1°)

Como F" es la base canónica, se tiene directamente que: "  #B  $B# œ Ð"Ñ Ð"Ñ  Ð#Ñ ÐBÑ  Ð$Ñ ÐB# Ñ

2°) Como F# œ ˜" ß "  B ß "  B  B# ™; se trata de encontrar ! à " à # − ‘ tal que "  #B  $B# œ ! Ð"Ñ  " Ð"  BÑ  # Ð"  B  B# Ñ Resolviendo el siguiente sistema: !"# œ" Ê ! œ$ à " œ" à # œ $ "# œ# # œ$ Por lo tanto: "  #B  $B# œ Ð$Ñ Ð"Ñ  Ð"Ñ Ð"  BÑ  Ð  $Ñ Ð"  B  B# Ñ

(6.3) DEFINICIÓN Y NOTACIÓN: Denotamos las COORDENADAS DEL VECTOR @ − Z respecto de la base F" por Ò@Ó F y respecto de la base F# por Ò@Ó F ; que están "

definidas por: Ô !" × Ö !# Ù Ö Ù Ò@Ó F œ Ö !$ Ù Ö Ù " ÞÞÞ Õ! Ø 8

#

y

Ò@Ó F

#

Ô "" × Ö "# Ù Ö Ù œ Ö "$ Ù Ö Ù ÞÞÞ Õ" Ø 8

respectivamente.

(6.4) EJEMPLOS: Para cada uno de los ejemplos de (6.2); determine las COORDENADAS DEL VECTOR dado con respecto a las respectivas bases. SOLUCIÓN: (6.4.1) En ‘$ ; F" œ ˜Ð" ß !ß !Ñß Ð!ß "ß !Ñß Ð!ß !ß "Ñ™ es la base CANÓNICA y F# œ ˜Ð"ß  "ß !Ñß Ð"ß !ß !Ñß Ð"ß !ß "Ñ™ es otra base de ‘$ . Se obtuvo que: Ð"ß #ß $Ñ œ Ð"Ñ Ð" ß !ß !Ñ  Ð#Ñ Ð!ß "ß !Ñ  Ð$Ñ Ð!ß !ß "Ñ respecto de F" . Ð"ß #ß $Ñ œ Ð  #Ñ Ð"ß  "ß !Ñ  Ð!Ñ Ð"ß !ß !Ñ  Ð$Ñ Ð"ß !ß "Ñ respecto de F# . Por lo tanto: Ô"× Ô #× ! ÒÐ"ß #ß $ÑÓ F œ # y ÒÐ"ß #ß $ÑÓ F œ " # Õ$Ø Õ $ Ø FACULTAD DE CS. NATURALES, MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PROYECTO DE FACULTAD "ÁLGEBRA LINEAL: una propuesta metodológica de aprendizaje autónomo en página web"

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" (6.4.2) En `#B# Ð‘Ñ ; F" œ ” "

" y F# œ ” "

" " ß” • " "

" " à” • ! !

! " ß !• ” " " " à” • ! !

! "  Ð  "# Ñ” !• "

" ” "

" "  Ð  "Ñ” • " "

Por lo tanto:

Ô # × Ö "Ù # Ù œÖ Ö ! Ù Õ "Ø

! "  Ð!Ñ” !• !

" "  Ð!Ñ” • ! !

"

" Ò” "

" Ó ! • F"

y

! ! ß "• ”"

" ! •Ÿ

! son bases de `#B# Б) . ! •Ÿ

Se obtuvo que: " " " œ Ð "# Ñ” ” " ! • " " " œ Ð!Ñ” • ! "

! " ß !• ”!

" Ò” "

! !  Ð  "Ñ” "• " respecto de F"

" " !  Ð#Ñ” • ! ! !• respecto de F2

Ô " Ö ÓF œ Ö • ! # Õ

! × "Ù Ù ! # Ø

(6.4.3) En c # Ð‘Ñ ; F" œ ˜" ß B ß B# ™ es la base CANÓNICA y

F# œ ˜" ß "  B ß "  B  B# ™ es otra base de c # Ð‘Ñ .

Se obtuvo que: "  #B  $B# œ Ð"Ñ Ð"Ñ  Ð#Ñ ÐBÑ  Ð$Ñ ÐB# Ñ respecto de F" Þ "  #B  $B# œ Ð$Ñ Ð"Ñ  Ð"Ñ Ð"  BÑ  Ð  $Ñ Ð"  B  B# Ñ respecto de F# Þ Por lo tanto: Ò"  #B  $B# Ó F œ "

Ô"× # Õ$Ø

y

Ò"  #B  $B# Ó F œ #

Ô $ × " Õ $Ø

(6.5) OBSERVACIÓN: Notemos que estas representaciones son únicas, por el hecho de trabajar con Bases; lo cual significa que perfectamente podemos distinguir cualquier vector por sus coordenadas o viceversa.

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" !•

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(6.6) DEFINICIÓN: Se llama MATRIZ DE TRANSICIÓN O DE CAMBIO DE BASE de la F# base F" a la base F# ; lo que denotaremos por ÒEÓ y que está dada F"

por:

ÒEÓ F œ ˆ Ò?" ÓF# F# "

Ò?# ÓF#

Ò?$ ÓF#

ÞÞÞ

Ò?8 ÓF# ‰

donde Ò?4 ÓF# es la columna 4  /=37+ de la matriz de transición o matriz de cambio de base. Note que Ò?4 ÓF# son las coordenadas del vector ?4 − F" con respecto a la base F# . (6.7) EJEMPLOS: (6.7.1) Encuentre la MATRIZ DE TRANSICIÓN O DE CAMBIO DE BASE de la base F" a la base F# ; para F" œ ˜Ð" ß !ß !Ñß Ð!ß "ß !Ñß Ð!ß !ß "Ñ™ y F# œ ˜Ð"ß  "ß !Ñß Ð"ß !ß !Ñß Ð"ß !ß "Ñ™ bases de ‘$ . SOLUCIÓN: 1°) Se debe expresar cada vector de F" œ ˜Ð" ß !ß !Ñß Ð!ß "ß !Ñß Ð!ß !ß "Ñ™ como combinación lineal de F# œ ˜Ð"ß  "ß !Ñß Ð"ß !ß !Ñß Ð"ß !ß "Ñ™ . 2°)

3°)

Sea ÐB ß C ß DÑ − F" tal que: ÐB ß C ß DÑ œ ! Ð"ß  "ß !Ñ  " Ð"ß !ß !Ñ  # Ð"ß !ß "Ñ resolviendo el siguiente sistema: !"# œB Ê ! œ C à " œBCD à # œD ! œC #œD

Si ÐB ß C ß DÑ œ Ð" ß !ß !Ñ

Si ÐB ß C ß DÑ œ Ð!ß "ß !Ñ

Si ÐB ß C ß DÑ œ Ð!ß !ß "Ñ

4°)

Ê

Ê

Ê

ÒÐ" ß !ß !ÑÓF# ÒÐ!ß "ß !ÑÓF# ÒÐ!ß !ß "ÑÓF#

Ô!× œ " Õ!Ø

Ô "× " œ Õ ! Ø

Ô ! × œ " Õ " Ø

Luego, la MATRIZ DE TRANSICIÓN O DE CAMBIO DE BASE es: ! Ñ Î! " F# " " ÒEÓ F œ " " Ï! ! " Ò

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(6.7.2) Encuentre la MATRIZ DE TRANSICIÓN O DE CAMBIO DE BASE de la base F" a la base F# ; para " F" œ ” "

" F# œ ” "

! " ß” • ! " " " ß” • " "

! " ß” • ! !

" " à” • ! !

! ! ß” • " "

" " à” • ! !

" y ! •Ÿ

! bases de `#B# Ð‘Ñ . ! •Ÿ

SOLUCIÓN: 1°)

Se debe expresar cada vector de F" como combinación lineal de F# .

B C Sea ” − F" tal que: D >• B C " " " " " " " ! ” D > • œ !” " " •  " ” " ! •  # ” ! ! •  - ” ! ! • , resolviendo el siguiente sistema: !"#- œB Ê ! œ> à " œD> à # œCD à - œBC !"# œC !" œD œ> !

2°)

3°)

B Si ” D

C " œ > • ”"

B Si ” D

C " œ” • > "

B Si ” D

C " œ” • > !

B Si ” D 4°)

C ! œ” • > "

! !•

Ê

! Ê !•

! Ê "• " !•

Ê

Ô ! × " ! Ö " Ù Ò” Ó œÖ Ù " ! • F# " Õ " Ø Ô ! × " ! Ö " Ù Ò” ÓF # œ Ö Ù • " ! " Õ "Ø Ô "× " ! Ö " Ù Ò” ÓF # œ Ö Ù • ! " ! Õ " Ø Ò”

! "

" Ó ! • F#

Ô ! × Ö " Ù œÖ Ù ! Õ "Ø

Luego, la MATRIZ DE TRANSICIÓN O DE CAMBIO DE BASE es: ! " ! Ñ Î ! F# " " " Ó Ð " ÒEÓ F œ Ð Ó  "  " ! ! " Ï " " " "Ò

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(6.7.3) Encuentre la MATRIZ DE TRANSICIÓN O DE CAMBIO DE BASE de la base F# a la base F" ; para F" œ ˜" ß B ß B# ™ y F# œ ˜" ß "  B ß "  B  B# ™ bases de c # Ð‘Ñ . SOLUCIÓN:

1°) Se debe expresar cada vector de F# œ ˜" ß "  B ß "  B  B# ™ como combinación lineal de F" œ ˜" ß B ß B# ™ . 2°)

Sea +  , B  - B# − F# tal que: +  , B  - B# œ ! Ð"Ñ  " ÐBÑ  # ÐB# Ñ resolviendo el siguiente sistema: ! œ+ Ê !œ+ à "œ, à #œ" œ, #œ-

3°)

Si +  , B  - B# œ "

Ê

#

Si +  , B  - B œ "  B

#

Si +  , B  - B œ "  B  B

4°)

Ê

#

Ê

Ò"ÓF" œ

Ô"× ! Õ!Ø

Ò"  B ÓF "

Ô " × œ " Õ ! Ø #

Ò"  B  B ÓF"

Ô " × œ " Õ "Ø

Luego, la MATRIZ DE TRANSICIÓN O DE CAMBIO DE BASE es: " " Ñ Î" F" ÒEÓ F œ !  "  " # Ï! ! "Ò

(6.8) TEOREMA: Sean F" y F# bases de un espacio vectorial Z . F#

(6.8.1) Si ÒEÓ F es la matriz de transición o de cambio de base. "

F#

Entonces para todo @ − Z se tiene que Ò@Ó F œ ÒEÓ F Ò@Ó F #

F#

(6.8.2) Si ÒEÓ F

"

"

"

es la matriz de transición de F" a F# . F#

Entonces ( ÒEÓ F ) " es la matriz de transición de F# a F" . "

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UNIDAD N° 5:

TRANSFORMACIONES LINEALES

TEMA 1: DEFINICIÓN Y PROPIEDADES DE TRANSFORMACIÓN LINEAL OBJETIVO OPERACIONAL: Determinar si una función es una TRANSFORMACIÓN LINEAL. OBJETIVO OPERACIONAL: Construir una transformación lineal, dadas ciertas condiciones particulares. (1.1) DEFINICIÓN: Sean Z y [ espacios vectoriales sobre el cuerpo Š; y sea X una función tal que: X À Z Ä[ ; @ È X Ð@Ñ œ A Þ Diremos que X es una TRANSFORMACIÓN LINEAL DE Z en [ si se verifican las siguientes propiedades: 3)

X Ð@"  @# Ñ œ X Ð@" Ñ  X Ð@# Ñ

; para todo @" , @# − Z Þ

3 3)

X Ð! @Ñ œ ! X Ð@Ñ

; para todo ! − Š , @ − Z .

(1.2) OBSERVACIÓN: a) En lugar de 3 ) y 3 3) de la definición, resumimos en la siguiente: X Ð@"  ! @# Ñ œ X Ð@" Ñ  ! X Ð@# Ñ ; para todo ! − Š; @" ,@# − Z Þ b) A las transformaciones lineales; también se les llama OPERADORES LINEALES.

(1.3) TIPOS DE TRANSFORMACIONES LINEALES: a) La transformación lineal cero está definida por: X À Z Ä [ tal que X Ð@Ñ œ ![ à para todo @ − Z Þ DEMOSTRACIÓN: USANDO (1.1): 1°)

Sean @" , @# − Z ; verifiquemos que X Ð@"  @# Ñ œ X Ð@" Ñ  X Ð@# Ñ. En efecto: X Ð@"  @# Ñ œ ![ œ ![  ![ œ X Ð@" Ñ  X Ð@# Ñ Þ

2°)

Sean ! − Š ß @ − Z ; verifiquemos que X Ð! @Ñ œ ! X Ð@ÑÞ En efecto: X Ð! @Ñ œ ![ œ ! ![ œ ! X Ð@Ñ Þ

3°)

Luego; por 1°) y 2°) X es transformación lineal.

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b)

La transformación lineal identidad está definida por: X À Z Ä Z tal que X Ð@Ñ œ @ à para todo @ − Z Þ DEMOSTRACIÓN: USANDO (1.1): 1°) Sean @" , @# − Z ; verifiquemos que X Ð@"  @# Ñ œ X Ð@" Ñ  X Ð@# Ñ. En efecto: X Ð@"  @# Ñ œ @"  @# œ X Ð@" Ñ  X Ð@# Ñ Þ 2°)

Sean ! − Š ß @ − Z ; verifiquemos que X Ð! @Ñ œ ! X Ð@ÑÞ En efecto: X Ð! @Ñ œ ! @ œ ! X Ð@Ñ Þ

3°)

Luego; por 1°) y 2°) X es transformación lineal.

c)

La transformación lineal de reflexión está definida por: X À ‘# Ä ‘# tal que X ÐBß CÑ œ Ð  Bß CÑ DEMOSTRACIÓN: USANDO (1.2) a) : 1°) Sean ! − ‘ ; ÐB" ß C" Ñ , ÐB# ß C# Ñ − ‘# ; verifiquemos que X ÐÐB" ß C" Ñ  ! ÐB# ß C# ÑÑ œ X ÐB" ß C" Ñ  ! X ÐB# ß C# Ñ. En efecto: X ÐÐB" ß C" Ñ  ! ÐB# ß C# ÑÑ œ X ÐB"  ! B# ß C"  ! C# Ñ œ Ð  B"  ! B# ß C "  ! C # Ñ œ Ð  B " ß C " Ñ  Ð  ! B# ß ! C # Ñ œ X ÐB" ß C" Ñ  !Ð  B# ß C# Ñ œ X ÐB" ß C" Ñ  ! X ÐB# ß C# Ñ 2°)

Luego; X es transformación lineal.

d) La transformación lineal de rotación en un ángulo ) en sentido contrario a las manecillas del reloj; está definida por: X À ‘# Ä ‘# tal que X Ð< -9= ! ß < =/8 !Ñ œ Ð< -9= Ð)  !Ñ ß < =/8 Ð)  !ÑÑ DEMOSTRACIÓN: USANDO (1.2) a) : 1°) Sean ! − ‘ ; ÐÑ œ !Ð"ß !ß !ß !Ñ  " Ð"ß "ß !ß !Ñ  # Ð!ß  "ß  "ß !Ñ  -Ð!ß !ß #ß #Ñ 2º) Se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones: !" œB "# œC  #  #- œ D #- œ > cuya solución es À ! œ B  C  D  > à " œ C  D  > à # œ >  D à - œ "# > lo cual significa que 1/8 E œ ‘% ya que TODO ÐBß Cß Dß >Ñ − ‘% SE PUEDE EXPRESAR COMO COMBINACIÓN LINEAL DE EÞ En efecto: ÐBß Cß Dß >Ñ œ œ ÐB  C  D  >Ñ Ð"ß !ß !ß !Ñ  ÐC  D  >Ñ Ð"ß "ß !ß !Ñ   Ð>  DÑ Ð!ß  "ß  "ß !Ñ  Ð "# >Ñ Ð!ß !ß #ß #Ñ 3º) ˜Ð"ß !ß !ß !Ñß Ð"ß "ß !ß !Ñß Ð!ß  "ß  "ß !Ñß Ð!ß !ß #ß #Ñ™ es base de ‘%

(15.2) 1º) F /= PÞM Í !Ð"ß !ß #ß  "Ñ  " Ð$ß !ß %ß  #Ñ œ Ð!ß !ß !ß !Ñ Ê ! œ " œ ! En efecto: !Ð"ß !ß #ß  "Ñ  " Ð$ß !ß %ß  #Ñ œ Ð!ß !ß !ß !Ñ 2º)

Se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones: !  $" œ ! cuya única solución es ! œ " œ ! #!  %" œ !  !  #" œ !

3º)

Luego; el conjunto F /= PÞM Þ

(NOTAR QUE es inmediato que F /= PÞM . ; ya que como tiene dos vectores, estos no son múltiplos entre sí) FACULTAD DE CS. NATURALES, MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PROYECTO DE FACULTAD "ÁLGEBRA LINEAL: una propuesta metodológica de aprendizaje autónomo en página web"

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(15.3) F œ ˜Ð"ß !ß #ß  "Ñß Ð$ß !ß %ß  #Ñß Ð!ß  "ß  "ß !Ñß Ð"ß "ß !ß !Ñ™ /= PÞM Þ ; y como son 4 vectores y .37 ‘% œ % à se tiene que

PÁG. 267

˜Ð"ß !ß #ß  "Ñß Ð$ß !ß %ß  #Ñß Ð!ß  "ß  "ß !Ñß Ð"ß "ß !ß !Ñ™

es una base de ‘% .

PROBLEMA 4: Ð%Þ"Ñ

TALLER N° 5: RESPUESTA:

(18.2) NO, ya que NO EXISTEN ESCALARES !ß " ß # − ‘ tal que " " " " " " " " Œ #  $  œ !Œ " "   " Œ ! "   # Œ ! !  TALLER N° 5: 21. RESPUESTA:

Ð%Þ#Ñ

DEM. 1º) Se sabe que: 2º)

Z espacio vectorial sobre el cuerpo O F base de Z F base de Z Ê 1/8 F œ Z Ê b !" ß !# ß ÞÞÞß !8 − O tal @ œ ! !3 @ 3 8

que

a @ − Z se tiene que

3œ"

3º)

UNICIDAD: Supongamos

"" ß "# ß ÞÞÞß "8 − O tal que

que

existen

a @ − Z se tiene que

@ œ ! !3 @ 3 œ ! "3 @ 3 8

Luego se tiene que:

Ê

otros escalares 8 @ œ ! "3 @ 3 . 3œ"

8

! !3 @ 3  ! "3 @ 3 œ ! Ê ! Ð!3  "3 Ñ@ 3 œ ! , como F L.I. 8

8

8

3œ"

3œ"

3œ"

3œ"

3œ"

Ê Ð!3  "3 Ñ œ ! Ê !3 œ "3 à Por lo tanto, los escalares son ÚNICOS.

PROBLEMA 5: Ð&Þ"Ñ

TALLER N° 6:

a 3 œ "ß #ß $ß ÞÞÞß 8

1.

Ô & × Ö #Ù Ù c :ÐBÑ dF œ Ö Ö %Ù Õ #& Ø "$

RESPUESTA:

Se deben determinar escalares !ß " ß # ß - − ‘ tal que :ÐBÑ œ ! Ð"Ñ  " ÐBÑ  # Ð $# B#  "# Ñ  - Ð &# B$  $# Ñ !œ

"$ &

" œ #

# œ %

-œ

# &

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Ð&Þ#Ñ

TALLER N° 6:

(3.1)

RESPUESTA: cEdF" F#

Î" Ð ! œÐ ! Ï!

" RESPUESTA: ”Œ %

(3.2)

cEdF" c@dF" F#

(3.3)

3.

Î" Ð ! œÐ ! Ï!

" # ! #

! ! " !

F"

F#

$  & •F#

! ! " !

Î" Ð ! œ ÐÐ ! Ï!

Î" Ð ! œ ÐÐ ! Ï!

" #

! " #



" #

! ! " !

" #

! " #



" Ñ #Ó Ó " ! Ò

Î &Ñ Ð * Ó œÐ Ó ( Ï % Ò

" " ÑÎ  # Ñ Î Ð # Ó #Ó Ð Ð Ó œÐ Ó " Ó Ð " # ! ÒÏ  "$ Ò Ï #

RESPUESTA: cEdF#

Ð cEdF" Ñ"

" # ! #

" #

! ! " !

&Ñ * Ó Ó ( % Ò ! Ñ " Ó # Ó " Ó #



" #

Ò

! Ñ " Ó # Ó " Ó #



" #

Ò

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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA FACULTAD DE CS. NAT., MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

PRUEBA DE AUTOEVALUACIÓN N° 7:

PROBLEMA 1: (1.1)

TALLER N° 6:

1.

Ô & × Ö #Ù Ù c :ÐBÑ dF œ Ö Ö %Ù Õ #& Ø "$

RESPUESTA:

Se deben determinar escalares !ß " ß # ß - − ‘ tal que :ÐBÑ œ ! Ð"Ñ  " ÐBÑ  # Ð $# B#  "# Ñ  - Ð &# B$  $# Ñ !œ

"$ &

(1.2)

" œ #

# œ %

-œ

# &

TALLER N° 6: (4.1) RESPUESTA: Se debe verificar que: a ÐB" ß C" Ñß ÐB# ß C# Ñ − ‘# à a ! − ‘ Ê

X ÐÐB" ß C" Ñ  ! ÐB# ß C# ÑÑ œ X ÐB" ß C" Ñ  ! X ÐB# ß C# Ñ

VERIFICACIÓN: X ÐÐB" ß C" Ñ  ! ÐB# ß C# ÑÑ œ X ÐB"  !B# ß C"  !C# Ñ œ ÐB"  !B# ß ÐB"  !B# Ñ  DÑ œ ÐB" ß B"  DÑ  Ð!B# ß !B# Ñ œ ÐB" ß B" Ñ  !ÐB# ß B# Ñ à =3 D œ !Þ œ X ÐB" ß C" Ñ  !X ÐB# ß C# Ñ Þ Por lo tanto: Si D œ !à X /= >Œ œ "#   #3 %3 ! %3  $3 3 ! #3 E"$ œ ./> Œ œ' E#" œ  ./> Œ œ%  !  #3  #3 %3  ! #3 ! ! E## œ ./> Œ œ! E#$ œ  ./> Œ œ!  ! %3 !  #3  ! #3 ! #3 E$" œ ./> Œ œ# E$# œ  ./> Œ œ '  3 ! $3 !  ! ! E$$ œ ./> Œ œ !Þ $3 3  Î  % "# ' Ñ % ! ! Por lo tanto; la matriz de cofactores es: F œ Ï #  ' !Ò FACULTAD DE CS. NATURALES, MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PROYECTO DE FACULTAD "ÁLGEBRA LINEAL: una propuesta metodológica de aprendizaje autónomo en página web"

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MATRIZ ADJUNTA:

# Ñ Î % % "# !  ' F œ +.4 ÐEÑ œ Ï ' ! ! Ò (se descuenta un punto por cada término incorrecto) 2°) Por fila 1: ! #3 Ñ Î! $3 3 3 ! ./> $3 œ Ð#3Ñ ./>Œ œ "#3 !  #3  Ï !  #3 %3 Ò (2.2) # Ñ # Ñ Î % % Î % % +.4 E " 3 "# !  ' œ  "# "# !  ' ./> E œ "# 3 Ï ' Ï ' ! ! Ò ! ! Ò >

PREGUNTA 3: (3.1) SOLUCIÓN: & ! " Î" " $ # Ð # Ð " # " " Ï%  " $  # Î" Ð ! ÄÐ ! Ï!

Bœ" (3.2) NOß

! " ! ! $ #

& $

" $

 ! %

A

" Ñ Î"  " ÓÐ ! ÄÐ Ó ! ! Ò Ï " ! " ! ! '

& * $  #"  #$ Ñ Î" ! " ÓÐ ! " $ Ó Ä ÐÐ ! ! ! Ò Ï! ! %

Cœ  ya que

" #

A

! $ " $ ! ! " !

" ! ! '  $# " # $ #

!

D œ "

! " œ ! Œ " #

$ #

A

Ð! ß ! ß ! ß !Ñ Â W .

PREGUNTA 4: (4.1) SOLUCIÓN: Se deben determinar escalares ! , " , # − ‘ tal que

# Œ "

" Ñ  $Ó Ó "  $Ò " Ñ ! Ó Ó  "Ó ! Ò

" "  " Œ" "

" "  # Œ! ! 

" !

determinándose el sistema de ecuaciones: FACULTAD DE CS. NATURALES, MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PROYECTO DE FACULTAD "ÁLGEBRA LINEAL: una propuesta metodológica de aprendizaje autónomo en página web"

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!" # œ# !"# œ! !" œ " ! œ#

Ê!œ# à " œ" à # œ "

Ô # × # ! " Por lo tanto, ”Œ  " # • œ Õ  "Ø E (4.2) SOLUCIÓN:

B ŒD B ŒD

C − 1/8 E Í b ! , " , # − ‘ tal que >

C " " " " " " œ !Œ  "Œ  #Œ    > " " " ! ! ! determinándose el sistema de ecuaciones: !" # œB Ê ! œ > à " œ D > à # œ CD !"# œC !" œD ! œ> Por lo tanto, la condición es !  "  # œ B ; es decir:

>  D  >  C  D œ B Ê B  C  #D  #> œ ! (4.3) Como .37 `# B # Ð‘Ñ œ % y E tiene 3 vectores linealmente independientes, completando se tiene una base de `# B # Ð‘Ñ À " " ˜Œ " ߌ  " " "

" " " " ! ™ ߌ ,Œ   ! ! ! ! !

PREGUNTA 5: SOLUCIÓN: Sea ÐB ß C ß DÑ − F" . Determinemos escalares ! , " , # − ‘ tal que ÐB ß C ß DÑ œ !Ð!ß !ß  "Ñ  " Ð!ß "ß  "Ñ  # Ð  "ß "ß  "Ñ determinándose el sistema de ecuaciones:

# œB "# œC !"# œD Ê ! œ C D ß " œ BCß # œ B FACULTAD DE CS. NATURALES, MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PROYECTO DE FACULTAD "ÁLGEBRA LINEAL: una propuesta metodológica de aprendizaje autónomo en página web"

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Luego: Ð"ß  "ß "Ñ œ !Ð!ß !ß  "Ñ  !Ð!ß "ß  "Ñ  Ð  "ÑÐ  "ß "ß  "Ñ Ð"ß  "ß !Ñ œ "Ð!ß !ß  "Ñ  !Ð!ß "ß  "Ñ  Ð  "ÑÐ  "ß "ß  "Ñ Ð"ß !ß !Ñ œ !Ð!ß !ß  "Ñ  "Ð!ß "ß  "Ñ  Ð  "ÑÐ  "ß "ß  "Ñ Por lo tanto, la matriz de transición

’E“

F# F"

œ

Î !

Ï "

!

" ! "

! Ñ "  "Ò

PREGUNTA 6: (6.1) SOLUCIÓN:

O/< ÐX Ñ œ œŒ

+ , + , − `# B # БÑÎX Œ œ !  - . - . Ê Ð+  .Ñ  Ð-  ,Ñ B œ ! Ê +  . œ ! -, œ! Ê + œ  . ß , œ - Þ Por lo tanto: . O/< ÐX Ñ œ œŒ − `# B # Ð‘Ñ Î - ß . − ‘ . ! " " ! O/< ÐX Ñ œ œ- Œ  .Œ Î - ß . − ‘  " ! ! " ! " " ! O/< ÐX Ñ œ 1/8œŒ ߌ  " ! ! "  como además es claramente linealmente independiente, entonces

! œŒ "

" " ߌ  ! !

! es base del O/< ÐX Ñ. " 

(6.2) SOLUCIÓN: Como .37 `# B # Ð‘Ñ œ .37 O/< ÐX Ñ  .37 Ð M7 X Ñ Por lo tanto

% œ #  .37 Ð M7 X Ñ .37 Ð M7 X Ñ œ #

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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA VI 17112006 FACULTAD CS. NAT., MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

PRUEBA PARCIAL N° 1: ÁLGEBRA LINEAL NOMBRE________________________________________ RUT ___________________________ SECCIÓN _______ PREGUNTA

PUNTAJE

1

2

3

4

5

NOTA

POR FAVOR: SEA ORDENADO EN EL DESARROLLO DE SUS RESPUESTAS. EL DESARROLLO VA EN LAS PÁGINAS EN BLANCO DETRÁS DE DONDE ESTÁ IMPRESA ESTA PRUEBA. (los cálculos que correspondan con DOS DECIMALES BIEN APROXIMADOS) ESCRIBA CLARAMENTE !!

LEA ESTAS INSTRUCCIONES: A) A continuación se le presentan 5 problemas, de los cuales; en algunos de estos se requiere un desarrollo para obtener su respuesta y ser registrada en lo que se ha dispuesto para este efecto. Por consiguiente, cuando corresponda, el desarrollo debe registrarlo EN LAS PÁGINAS EN BLANCO DE ESTAS HOJAS DETRÁS DE DONDE ESTÁ IMPRESA LA PRUEBA, indicando claramente a qué pregunta corresponde. B) NO SERÁN CONSIDERADAS LAS RESPUESTAS QUE NO TENGAN SU DESARROLLO, SI LO REQUIEREN !! C) No se permite otro tipo de hoja en el desarrollo de la prueba. D) ESCRIBA CLARAMENTE SU RESPUESTA !! E) LA PRUEBA DEBE PERMANECER CORCHETEADA !! F) SE PERMITE EL USO DE CALCULADORA !! (PARA QUE HAGA LOS CÁLCULOS). FACULTAD DE CS. NATURALES, MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PROYECTO DE FACULTAD "ÁLGEBRA LINEAL: una propuesta metodológica de aprendizaje autónomo en página web"

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1. Considere Z œ ‘  (reales positivos) y el cuerpo O œ ‘ con la suma vectorial ww Š ww y producto escalar ww  ww definido por

a ! − ‘ ß a Bà C − ‘  À B Š C œ BC

à

!  B œ B!

(1.1) Calcule el resultado de:

a) Ð" Š "Ñ  # œ ______

b)  Ð  "Ñ  $ ‘ Š # œ ______

c) Ð" Š !Ñ  # œ ______

d)  Ð" Š "Ñ  # ‘  Ð  Ð  "Ñ  $ ‘ Š # Ñ œ ______ SOLAMENTE ESCRIBA para este caso particular, la propiedad de: (1.2) la operación  está bien definida para que Z œ ‘  sea espacio vextorial sobre el cuerpo O œ ‘ . _______________________________________________________ (1.3) distributividad del escalar para que Z œ ‘  sea espacio vextorial sobre el cuerpo O œ ‘ . _______________________________________________________ (1.4) El NEUTRO ADITIVO / (SI EXISTE) es

2.

Dado el sistema de ecuaciones

/ œ ________

B  %C  D œ ! #B  C  &D œ !

(2.1) El conjunto solución W del sistema es

W œ _________________________________________________ (2.2) Un conjunto finito de vectores que genere a W es 1/8 W œ ______________________________________________ (2.3) Una base de W es ________________________________ (2.4) A partir de los vectores en la base de W construya $ completando si corresponde a una base de ‘ À _______________________________________________________ FACULTAD DE CS. NATURALES, MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PROYECTO DE FACULTAD "ÁLGEBRA LINEAL: una propuesta metodológica de aprendizaje autónomo en página web"

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3.

E œ ˜" ß B  " ß B#  #B  " ™ § c# Þ

PÁG. 282

Dado el siguiente conjunto

(c# : conjunto de polinomios de grado menor o igual que 2) (3.1) El valor de los escalares ! ; " ; # tal que !Ð"Ñ  " ÐB  "Ñ  # ÐB#  #B  "Ñ œ ! son ! œ ______ " œ ______ # œ ______ à y se dice entonces que E es _________________________________________ (3.2) ESCRIBA (SI ES POSIBLE) el vector "  #B  B# como una combinación lineal de los vectores del conjunto E. _____________________________________________________ (3.3) El valor de los escalares ! ; " ; # tal que

+!  +" B  +# B# œ !Ð"Ñ  " ÐB  "Ñ  # ÐB#  #B  "Ñ son ! œ ___________ " œ ___________ # œ ___________ y se dice entonces que E es _________________________ (3.4) Considerando EXCLUSIVAMENTE LOS VECTORES DEL CONJUNTO E, construya (completando o eliminando si corresponde) una base de c# . _____________________________________________________

4.

USANDO LO SIGUIENTE: Sean Z espacio vectorial sobre el cuerpo O ; de dimensión 8; F" œ ˜?" ß ?# ß Þ Þ Þ ß ?8 ™ y F# œ ˜@" ß @# ß Þ Þ Þ ß @8 ™ bases de Z Þ Si @ − Z , entonces podemos escribirlo como combinación lineal de ambas bases F" y F# : @ œ !" ?"  !# ?#  !$ ?$  Þ Þ Þ  !8 ?8 y @ œ "" @"  "# @#  "$ @$  Þ Þ Þ  "8 @8 ; RESPECTIVAMENTE con !3 ; "3 − O para todo 3 œ "ß #ß $ß Þ Þ Þ ß 8 Þ FACULTAD DE CS. NATURALES, MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PROYECTO DE FACULTAD "ÁLGEBRA LINEAL: una propuesta metodológica de aprendizaje autónomo en página web"

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Las COORDENADAS DEL VECTOR @ − Z respecto de la base F" y respecto de la base F# están definidas por: Ô !" × Ô "" × Ö !# Ù Ö "# Ù Ö Ù Ö Ù Ò@Ó F œ Ö !$ Ù y Ò@Ó F œ Ö "$ Ù respectivamente. " # Ö Ù Ö Ù ÞÞÞ ÞÞÞ Õ! Ø Õ" Ø 8 8 CONTESTE LO SIGUIENTE: Sea ‘# el espacio vectorial sobre el cuerpo ‘; dotado de las operaciones usuales; y sean

F" œ šÐ"ß "Ñà Ð"ß  "Ñ› y F# œ šÐ"ß !Ñà Ð!ß "Ñ› bases de ‘# (4.1) Calcule: a)–Ð  " ß #Ñ—

F"

Î Ð œÐ Ï

Ñ Î Ó Ð b)–Ð  " ß #Ñ— œ Ð Ó F# Ò Ï

Ñ Ó Ó Ò

(4.2) La matriz de transición o cambio de base, de F" a F# está dada por: ’E“

F# F"

(4.3) Calcule:

Î Ð œÐ

Ñ Ó Ó

Ï

’E“

F# F"

(4.4) Calcule: Ð’E“

F# F"

Ò

Î Ð œ ÐÐ

’Ð  " ß #Ñ“

Ñ Ó Ó Ó

Ï

F"

Ñ" –Ð  " ß #Ñ—

F#

Ò

Î Ð œ ÐÐ Ï

Ñ Ó Ó Ó Ò

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5.

Considere la transformación lineal X À `# B # Ð‘Ñ Ä ‘# definida por

XŒ

C œ ÐB  > ß D  CÑ > " " " " (5.1) Calcule: X Œ œ _______ ß X Œ œ _______  " " " ! " " " ! XŒ œ _______ ß X Œ œ _______  ! ! ! ! B D

(5.2) Una ,+=/ ./6 O/< ÐX Ñ es _________________________

__________________________

(5.3) La .37 Ð M7 X Ñ es

NO HAY CONSULTAS !! PONDERACIONES:

1. = 2. = 3. = 4. = 5. = 12 PUNTOS.

NOTA = (PUNTAJE / 10) + 1

TIEMPO: 2 horas.

JUSTIFIQUE DETALLADAMENTE SUS RESPUESTAS, EN LAS PÁGINAS EN BLANCO DETRÁS DE DONDE ESTÁ IMPRESA ESTA PRUEBA !!

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PAUTA DE CORRECCIÓN PRUEBA PARCIAL Nº1 ÁLGEBRA LINEAL (SEM 2-2006) 1. (1.1) a) Ð" Š "Ñ  # œ Ð"Ñ  # œ #" œ #

# b)  Ð  "Ñ  $ ‘ Š # œ  $" ‘ Š # œ  "$ ‘ Š # œ $ c) Ð" Š !Ñ  # œ no està definido, ya que !  ‘  d) Ð" Š "Ñ  #‘  ÐÐ  "Ñ  $‘ Š #Ñ œ #‘  Ð # Ñ œ Ð # Ñ# œ % $ $ * (1.2) a ! − ‘ ß a B − ‘ À !  B − ‘ (1.3)

a ! − ‘ ß a B à C − ‘  À !  ÐB Š CÑ œ Ð!  BÑ Š Ð!  CÑ (1.4) El NEUTRO ADITIVO / (SI EXISTE) cumple que a B − ‘  ß b x / − ‘  À ÐB Š /Ñ œ Ð/ Š BÑ œ B I\MWX IR G ME À ÐB Š /Ñ œ B Ê B/ œ B Ê / œ " ß B − ‘  Ð/ Š BÑ œ B Ê /B œ B Ê / œ " ß B − ‘  luego; existe / œ " − ‘  ÐY R MG MHEH À Supongamos que existe otro /‡ − ‘  À Ð/ Š /‡ Ñ œ / Ê //‡ œ / Ê /‡ œ " Þ Luego /‡ œ / Ñ 2.

(2.1) 1º) Formamos la matriz y reducimos por filas: " % " " ! " % " " % " Œ# " & Ä Œ!  ( $ Ä Œ! "  $  Ä  ! " ( 2º)

Luego:

Bœ 

"* (

D à Cœ

$ (

D

Por lo tanto W œ šÐBß Cß DÑ − ‘$ Î B œ  (2.2) W œ šÐ 

"* (

Dß $( Dß DÑ Î D − ‘› œ šDÐ 

œ 1/8šÐ 

"* $ ( ß ( ß "Ñ › .

(2.3) ,+=/ ./ W œ šÐ  (2.4) šÐ 

"* $ ( ß ( ß "Ñß

"* (

"* $ ( ß ( ß "Ñ Î D

Luego, 1/8 W œ šÐ 

"* $ ( ß ( ß "Ñ ›

$ (

D à Cœ

"* (



D›

− ‘›

"* $ ( ß ( ß "Ñ ›

.

, pues además es L.I.

Ð"ß !ß !Ñß Ð!ß "ß !Ñ› es obviamente base de ‘$ .

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$ (



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3.

!" # œ! "  ## œ ! #œ! ! œ " œ # œ !à

(3.1) Formamos el siguiente sistema:

Ê

y se dice entonces que E es LINEALMENTE INDEPENDIENTE. (3.2) 1º) "  #B  B# œ !Ð"Ñ  " ÐB  "Ñ  # ÐB#  #B  "Ñ 2º) Formamos el siguiente sistema: !" # œ"

"  ## œ  # #œ" Ê !œ % à " œ % à # œ" 3º) Luego: "  #B  B# escrito como combinación lineal: Ð  %Ñ Ð"Ñ  Ð  %Ñ ÐB  "Ñ  Ð"Ñ ÐB#  #B  "Ñ (3.3) 1º) +!  +" B  +# B# œ !Ð"Ñ  " ÐB  "Ñ  # ÐB#  #B  "Ñ 2º) Formamos el siguiente sistema: !  "  # œ +!

"  # # œ +" # œ +# 3º) Luego: ! œ +!  +"  $+# à " œ +"  #+# à # œ +# y se dice entonces que E es GENERADOR DE c# . ˜" ß B  " ß B#  #B  " ™ (3.4) base de c# : 4.

(4.1) a)

Se deben determinar escalares !" ; !# tal que:

Ð  " ß #Ñ œ !" Ð"ß "Ñ  !# Ð"ß  "Ñ determinando el siguiente sistema !"  !# œ  " !"  !# œ # Ê !" œ "# à !# œ  $# Luego:

–Ð  " ß #Ñ—

F"

b)

œ

" #



F# base canónica –Ð  " ß #Ñ—

$ #

F#



œŒ

" # 

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(4.2) 1º) Expresar cada vector de F" como combinación lineal de los vectores de F# ; es decir encontrar escalares !" à !# à "" à "# tal que Ð"ß "Ñ œ !" Ð"ß !Ñ  !# Ð!ß "Ñ Ê !" œ " à !# œ " Ð"ß  "Ñ œ "" Ð"ß !Ñ  "# Ð!ß "Ñ Ê "" œ " à "# œ  " 2º) ’E“

F"

(4.3)

’E“

F# F"

"" " œ Œ" "# 

!" œ !#

F#

" œŒ "

’Ð  " ß #Ñ“

F"

œŒ (4.4) Ð’E“

F# F"

"

Ñ

œ ’Ð  " ß #Ñ“

œ

O bien: 1º)

" Œ"

Determinar Ð’E“

F# F"

" "

2º)Ð’E“

F# F"

" !

" " #   "  $# 

" œ –Ð  " ß #Ñ— # 

–Ð  " ß #Ñ—

F"

" #



F#

" Ñ" œ "# Œ "

F#

F#

–Ð  " ß #Ñ—

; por propiedad.

$ #

! " ÄŒ  " !

œ

œ ’E“

F"

F#

Ñ" –Ð  " ß #Ñ—

"  "

" #

œ

F#

"  " " "

" ! Ä  " !

! "

" # " #

œ

" " Π# "

" " " œ #$  Œ  " # #

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" #



" #



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5.

(5.1) X Π"

"

XŒ

" !

" " œ Ð# ß !Ñ X Œ" " " " œ Ð" ß  "Ñ X Œ! !

(5.2) O/ D

C œ Ð!ß !Ñ > B >œ! CD œ!

Por lo tanto: O/< ÐX Ñ

> œ Œ D

œ D Œ

" œ Ð" ß !Ñ ! ! œ Ð" ß !Ñ !

C œ Ð!ß !ÑŸ >

Ê ÐB  > ß D  CÑ œ Ð!ß !Ñ Ê Bœ > à C œD

D Î D ß > − ‘Ÿ >

! " " !  >Œ Î D ß > − ‘Ÿ  " ! ! "

œ 1/8Œ

! " " ! ߌ (notar que son L.I.)  " ! ! " Ÿ

! " " ! ߌ Finalmente, ,+=/ ./6 O/< ÐX Ñ es Œ  " ! ! " Ÿ (5.3) M7 X œ ÐB  > ß D  CÑÎ Bß Cß D ß > − ‘Ÿ œ BÐ"ß !Ñ  CÐ!ß  "Ñ  DÐ!ß "Ñ  >Ð"ß !ÑÎ Bß Cß D ß > − ‘Ÿ œ 1/8Ð"ß !Ñà Ð!ß  "Ñà Ð!ß "Ñà Ð"ß !ÑŸ œ 1/8Ð"ß !Ñà Ð!ß "ÑŸ Por lo tanto M7 X œ ‘# Þ Finalmente, .37 Ð M7 X Ñ es

#Þ

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SEMANA N° 08: UNIDAD N° 5: TEMA 3:

(04 HORAS CÁTEDRA)

TRANSFORMACIONES LINEALES

REPRESENTACIÓN MATRICIAL DE UNA T Þ L Þ

OBJETIVO OPERACIONAL: Calcular las imágenes de ciertos vectores aplicados a la fórmula que define una transformación lineal. OBJETIVO OPERACIONAL: Escribir las imágenes como combinación lineal de una base del espacio de llegada de la transformación lineal. OBJETIVO OPERACIONAL: Determinar la representación matricial de la transformación lineal. (3.1)

DEFINICIÓN: Sean Z y [ espacios vectoriales sobre el cuerpo Š de dimensión finita 8 y 7 respectivamente; X À Z Ä [ una TRANSFORMACIÓN LINEAL DE Z en [ y FZ œ ˜@" ß @# ß @$ ß Þ Þ Þ ß @8 ™ ß F[ œ ˜A" ß A# ß A$ ß Þ Þ Þ ß A7 ™ bases respectivas de Z y [ Þ Se llama REPRESENTACIÓN MATRICIAL DE LA TRANSFORMACIÓN LINEAL X respecto de las bases FZ y F[ a la matriz que denotaremos

por X ‘F

F[ Z

œ EX y que se obtiene de la manera siguiente:

(3.1.1) Se obtienen las imágenes bajo X de cada uno de los vectores de la base FZ œ ˜@" ß @# ß @$ ß Þ Þ Þ ß @8 ™; es decir: X Ð@" Ñ à X Ð@# Ñ à Þ Þ Þ à X Ð@4 Ñ à Þ Þ Þ à X Ð@8 Ñ (3.1.2) Tales imágenes se expresan como combinación lineal de los vectores de la base F[ œ ˜A" ß A# ß A$ ß Þ Þ Þ ß A7 ™ ; es decir: X Ð@" Ñ œ +"" A"  +#" A#  ÞÞÞ  +3" A3  ÞÞÞ  +7" A7 X Ð@# Ñ œ +"# A"  +## A#  ÞÞÞ  +3# A3  ÞÞÞ  +7# A7 ÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞ X Ð@4 Ñ œ +"4 A"  +#4 A#  ÞÞÞ  +34 A3  ÞÞÞ  +74 A7 ÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞ X Ð@8 Ñ œ +"8 A"  +#8 A#  ÞÞÞ  +38 A3  ÞÞÞ  +78 A7

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(3.1.3) De donde se obtiene la representación matricial dada por: Ô +"" +"# ÞÞÞ +"4 ÞÞÞ +"8 × Ö +#" +## ÞÞÞ +#4 ÞÞÞ +#8 Ù Ö Ù F Ö ÞÞÞ Ù [ ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ Ö Ù œ Ð+ Ñ X ‘ œ E œ X 34 Ö+ Ù F Z Ö 3" +3# ÞÞÞ +34 ÞÞÞ +38 Ù Ö ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ Ù Õ +7"

(3.2) OBSERVACIÓN:

a)

Note que X Ð@4 Ñ‘F

[

+7#

ÞÞÞ

Ô +"4 × Ö +#4 Ù Ö Ù Ö ÞÞÞ Ù Ù œÖ Ö+ Ù Ö 34 Ù Ö ÞÞÞ Ù Õ +74 Ø

+74

ÞÞÞ

+78 Ø

4 œ "ß #ß $ßÞÞÞß8

son las respectivas columnas de la representación matricial X ‘F

F[ Z

œ EX .

b) Note que .37 Z œ 8 (que es el espacio de partida de la T.L.) y .37 [ œ 7 (que es el espacio de llegada de la T.L.) ; y la representación matricial de la T.L. es una matriz de orden 7 B 8 , es decir F[ X ‘ œ EX − `7 B 8 ÐOÑÞ FZ

(3.3) EJEMPLOS: (3.3.1) Considere la transformación lineal X À ‘# Ä c" Ð‘Ñ ; definida por X Ð+ , ,Ñ œ Ð+  ,)  Ð+  , Ñ B Sean las bases ORDENADAS para ‘# y para c " Ð ‘Ñ respectivamente F" œ ˜Ð  "ß #Ñ ß Ð"ß  "Ñ™ à F# œ ˜"  B ß  B™. Encuentre la representación matricial de X respecto de estas bases. SOLUCIÓN: 1º) Obtener la imágen bajo X de los elementos de la base F" : X Ð  "ß #Ñ œ  $  B X Ð"ß  "Ñ œ # 2º) Expresar cada imágen obtenida en 1º) como combinación lineal de la base F# ; es decir: X Ð  "ß #Ñ œ  $  B œ !Ð"  BÑ  " Ð  BÑ X Ð"ß  "Ñ œ # œ # Ð"  BÑ  -Ð  BÑ de donde se tiene: ! œ $ à " œ % à # œ# à - œ# 3º)

Luego, la representación matricial de X es:  X ‘ F# œ Œ ! #  œ Œ  $ #  F" " % #

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(3.3.2) Considere la transformación lineal X À ‘ Ä `# B # Ð‘Ñ ; BC BC X ÐB ß CÑ œ ” B C • Sean las bases ORDENADAS para ‘# y para ` # B # Ð ‘Ñ respectivamente F" œ ˜Ð"ß "Ñ ß Ð"ß  "Ñ™ " " " " " " " ! F# œ œ” ß ß ß . " " • ” " ! • ” ! ! • ” ! ! • Encuentre la representación matricial de X respecto de estas bases. SOLUCIÓN: 1º) Obtener la imágen bajo X de los elementos de la base F" : # ! ! # X Ð"ß "Ñ œ ” X Ð"ß  "Ñ œ ” • " " " "• 2º) Expresar cada imágen obtenida en 1º) como combinación lineal de la base F# ; es decir: # ! " " " " " " " ! ” " " • œ !" ” " " •  "" ” " ! •  #" ” ! ! •  -" ” ! ! • ! # " " " " " " " ! ” "  " • œ !# ” " " •  "# ” " ! •  ## ” ! ! •  -# ” ! ! • de donde se tiene: !" œ " à "" œ ! à #" œ  " à -" œ # !# œ  " à "# œ # à ## œ " à -# œ  # 3º)

Luego, la representación matricial de X es: "Ñ Î !" !# Ñ Î " " " ! # Ó Ð #Ó X ‘F# œ ÐÐ " œÐ Ó Ó F" " " #" ## Ï - " -# Ò Ï # #Ò

(3.3.3) Sea X À ‘% Ä ‘% definida por: X ÐBß Cß Dß >Ñ œ ÐB  C  D  > ß B  C  D ß  B  C ß  BÑ Considere la base canónica F" para el dominio de X y la base F# œ ˜Ð"ß "ß "ß "Ñß Ð"ß "ß "ß !Ñß Ð"ß "ß !ß !Ñß Ð"ß !ß !ß !Ñ™ para el espacio de llegada de X Þ Encuentre la representación matricial de X respecto de estas bases. SOLUCIÓN: 1º) La base F" œ ˜Ð"ß !ß !ß !Ñß Ð!ß "ß !ß !Ñß Ð!ß !ß "ß !Ñß Ð!ß !ß !ß "Ñ™ y las imágenes bajo X de esta son: X Ð"ß !ß !ß !Ñ œ Ð" ß " ß  " ß  "Ñ à X Ð!ß "ß !ß !Ñ œ Ð" ß " ß  " ß !Ñ X Ð!ß !ß "ß !Ñ œ Ð" ß " ß ! ß !Ñ

à X Ð!ß !ß !ß "Ñ œ Ð"ß !ß !ß !Ñ

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2º) Expresar cada imágen, como combinación lineal de F# ÐBß Cß Dß >Ñ œ !Ð"ß "ß "ß "Ñ  " Ð"ß "ß "ß !Ñ  # Ð"ß "ß !ß !Ñ  $ Ð"ß !ß !ß !Ñ ÐBß Cß Dß >Ñ œ >Ð"ß "ß "ß "Ñ  ÐD  >ÑÐ"ß "ß "ß !Ñ  ÐC  DÑÐ"ß "ß !ß !Ñ  ÐB  CÑÐ"ß !ß !ß !Ñ

Luego: Ð" ß " ß  " ß  "Ñ œ Ð  "ÑÐ"ß "ß "ß "Ñ  !Ð"ß "ß "ß !Ñ  #Ð"ß "ß !ß !Ñ  !Ð"ß !ß !ß !Ñ Ð" ß " ß  " ß !Ñ œ !Ð"ß "ß "ß "Ñ  Ð  "ÑÐ"ß "ß "ß !Ñ  #Ð"ß "ß !ß !Ñ  !Ð"ß !ß !ß !Ñ Ð" ß " ß ! ß !Ñ œ !Ð"ß "ß "ß "Ñ  !Ð"ß "ß "ß !Ñ  "Ð"ß "ß !ß !Ñ  !Ð"ß !ß !ß !Ñ Ð"ß !ß !ß !Ñ œ !Ð"ß "ß "ß "Ñ  !Ð"ß "ß "ß !Ñ  !Ð"ß "ß !ß !Ñ  "Ð"ß !ß !ß !Ñ

3º) Los escalares determinados en cada caso se colocan como las columnas de la matriz pedida: ! ! !Ñ Î " F# " ! !Ó Ð ! ÒX Ó F œ Ð Ó # # " ! " Ï ! ! ! "Ò (3.4) TEOREMA: Sean Z y [ espacios vectoriales sobre el cuerpo Š, de dimensión finita 8 y 7 respectivamente; X À Z Ä [ una TRANSFORMACIÓN LINEAL DE Z en [ .

Si FZ œ ˜@" ß @# ß Þ Þ Þ ß @8 ™ ß F[ œ ˜A" ß A# ß Þ Þ Þ ß A7 ™ respectivas de Z y [ Þ

son bases

Entonces existe una única REPRESENTACIÓN MATRICIAL DE LA TRANSFORMACIÓN LINEAL X respecto de las bases FZ y F[ que

denotamos por X ‘F

F[

X Ð@Ñ‘ @‘

F[

Z

œ EX tal que se verifica que:

œ EX @‘F , Z

o X Ð@Ñ‘F

œ X ‘F @‘F F

[

[ Z

Z

donde: son las coordenadas del vector @ − Z respecto de FZ

FZ

X Ð@Ñ‘

F

[

son las coordenadas del vector X Ð@Ñ − [ respecto de F[

EX œ X ‘F es la representación matricial de X respecto de FZ y F[ . F[ Z

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(3.5) EJEMPLOS: (3.5.1) En (3.3.1) tenemos que: 1°)

X Ð@Ñ‘

œ X Ð+ , ,Ñ‘

F[

( ya que X Ð+ , ,Ñ‘

F# œ˜"B ßB™

F# œ˜"B ßB™

œ”

+, #,•

œ Ð+  ,)  Ð+  , Ñ B‘

F# œ˜"B ßB™

y

Resolviendo lo siguiente: Ð+  ,)  Ð+  , Ñ B œ !Ð"  BÑ  " Ð  BÑ ! œ+, !" œ+,

2°)

3°)

EX œ X ‘F

F[

@‘

FZ

Z

$ F œ  X ‘ F# œ Œ % "

œ Ð+ , ,Ñ‘

( ya que Ð+ , ,Ñ‘

! œ + , à " œ #, )

Ê

F" œ˜Ð"ß#Ñ ßÐ"ß"Ñ™

F" œ˜Ð"ß#Ñ ßÐ"ß"Ñ™

œ”

# # +, #+  , •

y

Resolviendo lo siguiente: Ð+ , ,Ñ œ !Ð  "ß #Ñ  " Ð"ß  "Ñ !" œ+ #!" œ ,

4°)

! œ +  , à " œ #+  , )

Ê

Por lo tanto se verifica que: F [ X Ð@Ñ‘ œ  X ‘  @‘ F[

X Ð+ , ,Ñ‘

FZ

F# œ˜"B ßB™

+, $ ” #,• œ Œ %

FZ

œ X ‘F# Ð+ , ,Ñ‘ F

"

F" œ˜Ð"ß#Ñ ßÐ"ß"Ñ™

# +,  ” # #+  , •

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(3.5.2) En (3.3.2) tenemos que: 1°)

X Ð@Ñ‘

œ X ÐB ß CÑ‘

F[

X ÐB ß CÑ‘

( ya que

œ ”

F# œœ”

" " ß "• ”"

" "

F# œœ”

" " ß !• ”!

BC ‘ C • F

BC B

" " ß "• ”"

" "

" " ß !• ”!

" # œœ” "

Resolviendo lo siguiente: BC BC " " " œ !”  "” ” B C • " "• " !"#!"# !" !

2°)

3°)

EX œ X ‘ @‘

FZ

( ya que ÐB ß CÑ‘ FZ

! ! •

! ! •

" " ß "• ”"

" " ß !• ”!

" " ß !• ”!

" "  #” !• !

Î " Ð ! œÐ " Ï #

œ  X ‘ F# F

"

œ ÐB ß CÑ‘

" " ß !• ”!

! ! •

y

" "  -” !• !

! !•

Ê ! œ C à " œ B  C à # œ  C à - œ #C )

œBC œBC œB œC

F[

" " ß !• ”!

Ô C × ÖBCÙ œÖ Ù C Õ #C Ø

"Ñ # Ó Ó " #Ò

œ – #"

ÐB  CÑ — # ÐB  CÑ "

F" œ˜Ð"ß"Ñ ßÐ"ß"Ñ™

F" œ˜Ð"ß"Ñ ßÐ"ß"Ñ™

y

Resolviendo lo siguiente: ÐB ß CÑ œ !Ð"ß "Ñ  " Ð"ß  "Ñ !" œB Ê ! œ "# ÐB  CÑ à " œ "# ÐB  CÑ ) !" œC 4°)

Por lo tanto se verifica que: F[ X Ð@Ñ‘ œ  X ‘  @‘ F[

X ÐB ß CÑ‘

FZ

FZ

œ X ‘F# ÐB ß CÑ‘ F

F# œœ”

" "

" " ß "• ”"

" " ß !• ”!

Ô C × Î ÖBCÙ Ð Ö ÙœÐ C Õ #C Ø Ï

" " ß !• ”!

" ! " #

! ! •

"

F" œ˜Ð"ß"Ñ ßÐ"ß"Ñ™

"Ñ " # Ó # ÐB  CÑ Ó " – — " # ÐB  CÑ Ò #

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(3.5.3) En (3.3.3) tenemos que: 1°)

X Ð@Ñ‘

F[

œ X ÐBß Cß Dß >Ñ‘

X ÐBß Cß Dß >Ñ‘

( ya que

F# œ˜Ð"ß"ß"ß"ÑßÐ"ß"ß"ß!ÑßÐ"ß"ß!ß!ÑßÐ"ß!ß!ß!Ñ™

Ô Ö œÖ

B × C Ù Ù #B  #C  D Õ Ø >

F# œ˜Ð"ß"ß"ß"ÑßÐ"ß"ß"ß!ÑßÐ"ß"ß!ß!ÑßÐ"ß!ß!ß!Ñ™

œ ÐB  C  D  > ß B  C  Dß  B  Cß  BÑ‘

F#

y

Resolviendo lo siguiente: ÐB  C  D  > ß B  C  Dß  B  Cß  BÑ œ œ !Ð"ß "ß "ß "Ñ  " Ð"ß "ß "ß !Ñ  # Ð"ß "ß !ß !Ñ  - Ð"ß !ß !ß !Ñ !"#!"# !" !

œBCD> œBCD œ BC œ B

Ê

! œ  B à " œ  C à # œ #B  #C  D à - œ > )

2°)

EX œ X ‘F

3°)

4°)

F[

@‘

FZ

Z

œ  X ‘ F# F

"

œ ÐBß Cß Dß >Ñ‘

Î " Ð ! œÐ # Ï !

! " # !

! ! " !

!Ñ !Ó Ó ! "Ò

F" œ˜Ð"ß!ß!ß!ÑßÐ!ß"ß!ß!ÑßÐ!ß!ß"ß!ÑßÐ!ß!ß!ß"Ñ™

ÔB× ÖCÙ œÖ Ù D Õ>Ø

Por lo tanto se verifica que: F[ X Ð@Ñ‘ œ  X ‘  @‘ F[

X ÐBß Cß Dß >Ñ‘

FZ

F# œ˜Ð"ß"ß"ß"ÑßÐ"ß"ß"ß!ÑßÐ"ß"ß!ß!ÑßÐ"ß!ß!ß!Ñ™

B × Î C ٠РٜР#B  #C  D Õ Ø Ï > Ô Ö Ö

FZ

" ! # !

œ X ‘F# ÐBß Cß Dß >Ñ‘F

! " # !

F

"

! ! " !

"

! ÑÔ B × !Ó ÖCÙ Ö Ù Ó ! D Õ Ò " >Ø

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(3.6) TEOREMA: Sean Z y [ espacios vectoriales sobre el cuerpo Š, FZ œ ˜@" ß @# ß Þ Þ Þ ß @: ß @:" ß @:2 Þ Þ Þ ß @8 ™ base de Z ; y

X À Z Ä [ una TRANSFORMACIÓN LINEAL DE Z en [ . Si ˜@" ß @# ß Þ Þ Þ ß @: ™ es base del O/< ÐX ÑÞ

Entonces: ˜X Ð@:" Ñ ß X Ð@:# Ñ ß Þ Þ Þ ß X Ð@8 Ñ™ es base de M 7 ÐX Ñ Þ (3.7) EJEMPLOS: (3.7.1) Considere la transformación lineal X À ‘# Ä c" Ð‘Ñ ; definida por X Ð+ , ,Ñ œ Ð+  ,)  Ð+  , Ñ B ˜ Sea F" œ Ð  "ß #Ñ ß Ð"ß  "Ñ™ una base de ‘# . Encuentre aplicando el teorema anterior una base de M 7 ÐX Ñ. SOLUCIÓN: 1º) Obtener O/< ÐX Ñ œ ˜Ð+ , ,Ñ − ‘# Î X Ð+ , ,Ñ œ !c" Ð‘Ñ ™ œ ˜Ð!ß !Ñ™ 2°)

Luego ˜X Ð  "ß #Ñ ß X Ð"ß  "Ñ™ œ ˜  $  B ß #™ /= ,+=/ ./ M 7 ÐX Ñ

3º)

Notar que M 7 ÐX Ñ œ c" Ð‘Ñ Þ

(3.7.2) Considere la transformación lineal X À ‘# Ä `# B # Ð‘Ñ ; BC BC X ÐB ß CÑ œ ” B C • Sea F" œ ˜Ð"ß "Ñ ß Ð"ß  "Ñ™ una base de ‘# . Encuentre aplicando el teorema anterior una base de M 7 ÐX Ñ. SOLUCIÓN: 1º)

Obtener O/< ÐX Ñ œ ˜ÐB ß CÑ − ‘# Î X ÐB ß CÑ œ ”

2°)

# Luego ˜X Ð"ß "Ñ ß X Ð"ß  "Ñ™ œ ˜” " /= ,+=/ ./ M 7 ÐX Ñ

3º)

Notar que M 7 ÐX Ñ § `# B # Ð‘Ñ Þ

! ! ß” • " "

! !

! ™ ˜ œ Ð!ß !Ñ™ !•

# ™ "•

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(3.7.3) Considere la transformación lineal X À `# B # Ð‘Ñ Ä c" Ð‘Ñ + , XŒ œ Ð+  .Ñ  Ð-  ,Ñ B - . Encuentre aplicando el teorema anterior una base de M 7 ÐX Ñ. SOLUCIÓN: 1º)

Obtener O/< ÐX Ñ œ œŒ XŒ

+ -

, œ !c" Ð‘Ñ .

Ê +. œ! -, œ!

Ê

! "

O/< ÐX Ñ œ 1/8œŒ

, œ !c" Ð‘Ñ  .

Ð+  .Ñ  Ð-  ,Ñ B œ !

+ œ . ß , œ- Þ

− `# B # Ð‘Ñ Î - ß . − ‘ .

. -

O/< ÐX Ñ œ œ- Œ

, + − `# B # БÑÎX Œ . Ê

Por lo tanto:

O/< ÐX Ñ œ œŒ

+ -

" "  .Œ ! ! ! "

" " ß ! Œ !

! Î - ß . − ‘ " ! " 

como además es claramente linealmente independiente, entonces ! " " ! es base del O/< ÐX Ñ. œŒ " ! ß Œ ! "  2°) Completando a partir de la base del O/< ÐX Ñ; `# B # Ð‘Ñ se tiene por ejemplo: ! " " ! " ! ! " ,Œ ߌ   œŒ " ! ß Œ ! " ! ! ! ! 

3°)

! Luego como œŒ "

˜X Ð Œ " ! 4º)

a una base de

" " ! ß es base del O/< ÐX Ñ ! Œ ! "  ! ! " ™ ˜ Ñ ß X ÐŒ Ñ œ " ß  B™ /= ,+=/ ./ M 7 ÐX Ñ  ! ! !

Notar que M 7 ÐX Ñ œ c" Ð‘Ñ Þ

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TEMA 4:

ISOMORFISMOS

OBJETIVO OPERACIONAL: Determinar si una transformación lineal es M R ] IG X M Z Eß usando el núcleo. OBJETIVO OPERACIONAL: Determinar si una transformación lineal es WSFVI] IG X M Z E, usando la imagen. OBJETIVO OPERACIONAL: Determinar si una transformación lineal es FM ] IG X M Z EÞ OBJETIVO OPERACIONAL: Determinar si una función es un M WSQ SVJ M WQ SÞ OBJETIVO OPERACIONAL: Determinar la fórmula de la transformación lineal inversa. (4.1) DEFINICIÓN: Sea X À Z Ä [ una T.L. de Z en [ . Diremos que X es una transformación lineal INYECTIVA (o uno a uno); si y solo si se verifica la propiedad: X Ð@" Ñ œ X Ð@# Ñ Ê @" œ @# ß a @" à @# − Z . (4.2) TEOREMA: Sea X À Z Ä [ una T.L. de Z en [ . X es INYECTIVA Í O/< ÐX Ñ œ ˜!Z ™ (4.3) EJEMPLOS: (4.3.1) Considere la transformación lineal X À ‘# Ä ‘$ ; definida por X ÐBß CÑ œ ÐB  C ß  B  C ß !Ñ Determine si X es inyectiva. SOLUCIÓN: 1º) X es inyectiva Í O/3@+Þ M 7 ÐX Ñ œ ‚# Ð‘Ñ Í X /= =9,3@+Þ ya que es X ÞPÞ y X /= ,3C/->3@+ Í X /= 3=979 Ñ œ   "# ÐE  E> Ñ‘ DEM. > "   # ÐE  E> Ñ‘ œ  "# ÐE>  ÐE> Ñ> Ñ œ  "# ÐE>  EÑ œ "# ÐE  E> Ñ Por lo tanto; " > # ÐE  E Ñ es antisimétrica.

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(4.2) Œ

# "

" $

"

œŒ

" !

" #   " !

! 

" &

" Œ  #

5. (5.1) ˜B  B# ß "  B ß "™ (5.2) ˜  &  $B  B# ™

! ! Œ " "

" ! 

(5.3) no tiene base

(5.4) .37 Ð["  [# Ñ œ _$_ base de Ð["  [# Ñ œ ˜" ß B ß B# ™ 6. (6.1) __" ß  # ß  " ß $__ (6.2) __  " ß  " ß &__ (6.3) a) a ÐB" ß C" Ñ,ÐB# ß C# Ñ − Z Ê ÐB" ß C" Ñ Š ÐB# ß C# Ñ − Z b)

a ! − ‘ à a ÐB" ß C" Ñ,ÐB# ß C# Ñ − Z Ê !  ÐÐB" ß C" Ñ Š ÐB# ß C# ÑÑ œ Ð!  ÐB" ß C" ÑÑ Š Ð!  ÐB# ß C# ÑÑ

(6.4) a E ß F − Q à a ! − ‘ Ê ÐE  ! FÑ − Q à Q Á 9

7. "

a) V+819ÐEÑ œ _$_ ; b) _WM _ ; c) E

8.

(8.1) a) Œ

& ""

"$ b) _  &'_ c) & 

Î "3 "3 œ Ï "3 " #

"3 "3 "3

3 Ñ " Ò "

_  #_

(8.2) C œ "# Ð+  ,Ñ 9. Sean [" œ 1/8˜Ð!ß "ß "Ñ ß Ð"ß  "ß !Ñ ß Ð#ß "ß $Ñ™ y [# œ ˜ÐBß Cß DÑ − ‘$ Î #B  $C  D œ ! • B  #C  D œ !™ (9.1) ˜Ð!ß "ß "Ñ ß Ð"ß  "ß !Ñ™

(9.2) ˜Ð  &ß $ß "Ñ ™

(9.3) ˜Ð!ß !ß !Ñ™

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10. (10.1) a) a ! − ‘ à a ÐB ß CÑ − Z Ê !  ÐBß CÑ − Z b)

a ! ß " − ‘ à a ÐB ß CÑ − Z Ê Ð!  " Ñ  ÐBß CÑ œ Ð!  ÐBß CÑÑ Š Ð"  ÐBß CÑÑ

(10.2)

a)

Î " Ð # Ð $ Ï %

Ñ Ó Ó Ò

b)

Î % Ð " Ð & Ï $

Ñ Ó Ó Ò

(10.3) a +!  +" B  +# B# à ,!  ," B  ,# B# − Q à a ! − ‘ Ê Ð + !  + " B  + # B # Ñ  ! Ð , !  , " B  , # B# Ñ − Q es decir: +"  !," œ Ð+!  !,! Ñ  Ð+#  !,# Ñ +#  !,# œ Ð+!  !,! Ñ  Ð+"  !," Ñ 11. (11.1) W œ 1/8 ˜Ð  "ß #ß "ß !Ñ™

(11.3) ˜Ð  "ß #ß "ß !Ñ™

(11.2) ˜Ð  "ß #ß "ß !Ñ™

y .37 ÐWÑ œ _"_

12. (12.1) ˜Ð"ß !ß !ß !Ñà Ð!ß "ß !Þ  "Ñà Ð!ß !ß "ß $Ñ™

(12.2) ˜Ð  "ß !ß "ß !Ñà Ð#ß "ß !ß "Ñ™

(12.3) ˜Ð"ß !ß !ß !Ñà Ð!ß "ß !Þ  "Ñà Ð!ß !ß "ß $Ñà Ð  "ß !ß "ß !Ñà Ð#ß "ß !ß "Ñ™

(12.4) ˜Ð"ß !ß !ß !Ñà Ð!ß "ß !Þ  "Ñà Ð!ß !ß "ß $Ñà Ð  "ß !ß "ß !Ñ™

(12.5) ˜Ð"ß !ß !ß !Ñà Ð!ß "ß !Þ  "Ñà Ð!ß !ß "ß $Ñà Ð  "ß !ß "ß !Ñ™ (12.6) .37 Ð["  [# Ñ œ _"_ 13.

" (13.1) Œ !

! ( à "  Œ  "!

& ! (13.2) Œ  ( Ÿ !

! !Ÿ

(13.3) no tiene base FACULTAD DE CS. NATURALES, MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PROYECTO DE FACULTAD "ÁLGEBRA LINEAL: una propuesta metodológica de aprendizaje autónomo en página web"

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" (13.4) Œ !

! ! à ! Œ!

" ! à ! Œ"

! ! à ! Œ!

! " Ÿ

(13.5) __%__

14.

Î " Ð " (14.1) Ð " Ï "

! " " "

Î " Ð " (14.3) Ð ! Ï !

! ! " "

! ! ! "

! " " !

Ñ Ó Ó Ò

! ! " "

! ! ! "

Î & Ð % (14.2) Ð $ Ï " Ñ Ó Óà Ò

Ñ Î & Ó Ð % ;Ð Ó $ Ò Ï "

Î " Ð " Ð ! Ï !

! " " !

Ñ Ó Ó Ò

! ! " "

! ! ! "

Ñ Ó Ó Ò

15. (15.1) a ! − ‘ à a :ÐBÑ ß ;ÐBÑ − c8 Ð‘Ñ Ê HÐ:ÐBÑ  ! ;ÐBÑÑ œ HÐ:ÐBÑÑ  !HÐ; ÐBÑÑ (15.2) a ! − ‘ à a E" ß E# − `# B # Ð‘Ñ Ê Y ÐE"  ! E# Ñ œ Y ÐE" Ñ  !Y ÐE# Ñ 16. (16.1) ˜Ð  "ß "ß "Ñ™

(16.2) ˜Ð"ß !ß #Ñà Ð  "ß "ß  "Ñ™

(16.3) ˜Ð  "ß "ß "Ñà Ð"ß !ß #Ñà Ð  "ß "ß  "Ñ™

(16.4) R Sà ya que O/< ÐX Ñ Á ˜Ð!ß !ß !Ñ™ (16.5) R Sà ya que M 7 ÐX Ñ Á ‘$ Î # ! (16.6) Ï %

! " "

" Ñ ! # Ò

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SEMANA N° 09: UNIDAD N° 6:

TEMA 1:

(04 HORAS CÁTEDRA)

VALORES Y VECTORES PROPIOS DIAGONALIZACIÓN. FORMAS CUADRÁTICAS DEFINICIONES DE VALOR Y VECTOR PROPIO

OBJETIVO OPERACIONAL: Calcular los valores propios para una transformación lineal. OBJETIVO OPERACIONAL: Calcular los valores propios para la representación matricial de una transformación lineal. OBJETIVO OPERACIONAL: Calcular los valores propios para una matriz. OBJETIVO OPERACIONAL: Determinar el conjunto de vectores propios asociados a cada valor propio, proveniente de una transformación lineal o de una matriz. (1.1) DEFINICIÓN: Sean Z espacio vectorial sobre el cuerpo O tal que .37 Z œ 8 y X À Z Ä Z un operador lineal (es decir una transformación lineal de Z en Z )Þ Se dice que un escalar - − O ( ‘ ó ‚ ) es VALOR PROPIO DE X si y solo si existe un vector @ − Z ; @ Á !Z tal que se verifica la siguiente propiedad: X Ð@Ñ œ - @

(1.2) DEFINICIÓN: De existir el vector @ − Z ; @ Á !Z , tal que X Ð@Ñ œ - @ . Se dice que el vector @ es VECTOR PROPIO ASOCIADO AL VALOR PROPIO - .

(1.3) EJEMPLOS: (1.3.1) Sea X À ‘# Ä ‘# definida por X ÐBß CÑ œ ÐB  Cß B  CÑ Determine valores propios y vectores propios (si existen) de X Þ SOLUCIÓN: 1°) - es VALOR PROPIO DE X si y solo si existe un vector ÐBß CÑ − ‘# ; ÐBß CÑ Á Ð ! ß !Ñ tal que: X ÐBß CÑ œ - ÐBß CÑ ; es decir: ÐB  C ß B  CÑ œ - ÐBß CÑ Í BC œ -B Í Ð"  -ÑB  C œ ! BC œ -C B  Ð"  -ÑC œ ! FACULTAD DE CS. NATURALES, MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PROYECTO DE FACULTAD "ÁLGEBRA LINEAL: una propuesta metodológica de aprendizaje autónomo en página web"

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2°Ñ Este sistema de ecuaciones homogéneo tiene a lo menos la solución trivial B œ C œ ! ; pero esta no sirve; ya que debemos buscar la solución ÐBß CÑ Á Ð ! ß !Ñ para que - sea valor propio. 3°)

Para

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Obtengamos los vectores propios asociados a cada valor propio: Para - œ È # . "

Se resuelve el siguiente sistema de ecuaciones de 1º): Ð"  -ÑB  C œ ! B  Ð"  -ÑC œ ! reemplazando - por - œ È # : "  È#

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Por lo tanto; el conjunto de todos los vectores propios asociados a È -" œ # , está dado por:

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b)

Para -# œ  È # . Se resuelve el siguiente sistema de ecuaciones de 1º): Ð"  -ÑB  C œ ! B  Ð"  -ÑC œ ! reemplazando - por - œ  È # : –

"  È# "

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" B ! œ” • ” • — C !  Ð"  È #Ñ

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(es necesario precisar que a lo menos una de las filas de la matriz de coeficientes debe anularse, en caso contrario NO SERÍA VALOR PROPIO) "  È# " "  Ð"  È #Ñ Ä ” • – — ! ! "  Ð"  È #Ñ Ê B œ Ð"  È #Ñ C ; con C Á ! Þ

Por lo tanto; el conjunto de todos los vectores propios asociados a -# œ  È # , está dado por:

WÈ# œ 1/8 ˜Ð"  È # ß "Ñ ™  ˜Ð! ß !Ñ™

(1.3.2) Verifique que -# œ  È # es valor propio asociado al vector propio Ð"  È # ß "Ñ de la T.L. definida en (1.3.1) . SOLUCIÓN: Se debe verificar que: X ÐB ß CÑ œ -# ÐB ß CÑ . En efecto: X ÐB ß CÑ œ X Ð"  È # ß "Ñ œ Ð#  È # ß  È # Ñ -# ÐB ß CÑ œ  È # Ð"  È # ß "Ñ œ Ð#  È # ß  È # Ñ Por lo tanto: X ÐB ß CÑ œ -# ÐB ß CÑ ; es decir: X Ð"  È # ß "Ñ œ  È # Ð"  È # ß "Ñ . Luego; se verifica lo pedido.

(1.3.3)

Considere la transformación lineal X À `# B " Ð‚Ñ Ä `# B " Ð‚Ñ ; + +, definida por XŒ  œ Œ , +, Determine valores propios y vectores propios (si existen) de X Þ SOLUCIÓN: 1°) - es VALOR PROPIO DE X si y solo si existe un vector + + ! Œ ,  − `# B " Ð‚Ñ ; Œ ,  Á Œ !  tal que: + + XŒ  œ -Œ  ; , , es decir: +, + Í Ð"  -Ñ+ , œ! Œ+ , œ -Œ,  Í + , œ -+ +, œ -, +  Ð"  -Ñ, œ !

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2°Ñ Este sistema de ecuaciones homogéneo tiene a lo menos la solución trivial + œ , œ ! ; pero esta no sirve; ya que debemos buscar la solución + ! Œ ,  Á Œ !  para que - sea valor propio. 3°) Para que el sistema tenga solución no trivial, + ! "" ./> ” œ! Œ ,  Á Œ ! ; se debe tener que: " "-• es decir: "" ./> ” œ Ð"  -Ñ#  " œ -#  #-  # " "-• Luego: È - #  #-  # œ ! Ê - œ # „ # %) œ " „ 3 − ‚ -" œ "  3 y -# œ "  3 son los valores propios de la transformación lineal X Þ

es

decir

4°) a)

Obtengamos los vectores propios asociados a cada valor propio: Para -" œ "  3 . Se resuelve el siguiente sistema de ecuaciones de 1º): Ð"  -Ñ+ , œ! +  Ð"  -Ñ, œ ! reemplazando - por -" œ "  3 : "  Ð"  3Ñ " + ! œ” • ” •Œ  " "  Ð"  3Ñ , ! (es necesario precisar que a lo menos una de las filas de la matriz de coeficientes debe anularse, en caso contrario NO SERÍA VALOR PROPIO) 3 " " 3 Ä” Ê + œ 3 , ; con , Á ! Þ ” " 3• ! ! • Por lo tanto; el conjunto de todos los vectores propios asociados a -" œ "  3 , está dado por: 3 ! WÐ"3Ñ œ 1/8 ˜Œ ™  ˜Œ ™ " ! b)

Para -# œ "  3 . Se resuelve el siguiente sistema de ecuaciones de 1º): Ð"  -Ñ+ , œ! +  Ð"  -Ñ, œ ! reemplazando - por -# œ "  3 : "  Ð"  3Ñ " + ! œ ” " "  Ð"  3Ñ •Œ ,  ” ! •

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(es necesario precisar que a lo menos una de las filas de la matriz de coeficientes debe anularse, en caso contrario NO SERÍA VALOR PROPIO) 3 " " 3 Ä” Ê + œ  3 , ; con , Á ! Þ ”" • 3 ! !• Por lo tanto; el conjunto de todos los vectores propios asociados a -" œ "  3 , está dado por: 3 ™ ! WÐ"3Ñ œ 1/8 ˜Œ  ˜Œ ™ "  ! (1.3.4)

Verifique que -# œ "  3 es valor propio asociado al vector #3 propio Œ de la T.L. definida en (1.3.3) . #  SOLUCIÓN: Se debe verificar que:

+ + X Œ  œ -# Œ  . , ,

En efecto: + #3 #3# XŒ  œ XŒ œ , #  Œ #3# + #3  # 3Ð"  3Ñ #3# œŒ œŒ -# Œ  œ Ð"  3ÑŒ   , # #Ð"  3Ñ #3# Por lo tanto: + + X Œ  œ -# Œ  ; , , es decir: #3 #3 XŒ œ Ð"  3ÑŒ .  # #  Luego; se verifica lo pedido. Considere la transformación lineal X À ‘$ Ä ‘$ ; definida por X ÐBß Cß DÑ œ ÐB  $C  #D ß  B  #C  D ß %B  C  DÑ Determine valores propios y vectores propios (si existen) de X Þ SOLUCIÓN: (1.3.5)

1°) - es VALOR PROPIO DE X si y solo si existe un vector $ ÐBß Cß DÑ − ‘ ; ÐBß Cß DÑ Á Ð!ß !ß !Ñ tal que: X ÐBß Cß DÑ œ - ÐBß Cß DÑ ; es decir: ÐB  $C  #D ß  B  #C  D ß %B  C  DÑ œ - ÐBß Cß DÑ

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Í

B  $C  #D œ -B  B  #C  D œ -C %B  C  D œ -D

Í

Ð"  -ÑB  $C  #D œ !  B  Ð#  -ÑC  Dœ! %B  C  Ð"  -ÑD œ !

2°Ñ Este sistema de ecuaciones homogéneo tiene a lo menos la solución trivial B œ C œ D œ ! ; pero esta no sirve; ya que debemos buscar la solución ÐBß Cß DÑ Á Ð!ß !ß !Ñ para que - sea valor propio. 3°) Para que el sistema tenga solución no trivial, es decir ÐBß Cß DÑ Á Ð!ß !ß !Ñ ; se debe tener que: $ # Ô"× " #" ./> œ! Õ % "  Ð"  -Ñ Ø es decir: $ # Ô"× " #" ./> œ Ð"  -ÑÐ-  #ÑÐ-  $Ñ Õ % Ø "  Ð"  -Ñ En efecto: œ Ð"  -ÑÐ-  #ÑÐ-  "Ñ  "‘    $Ð-  "Ñ  #‘  %$  #Ð-  #Ñ‘ œ Ð"  -Ñ-#  -  "‘    $-  "‘  %#-  "Ñ‘ œ Ð"  -Ñ-#  -  "‘  &Ð-  "Ñ œ Ð"  -Ñ-#  -  '‘ œ Ð"  -ÑÐ-  #ÑÐ-  $Ñ Luego: Ð"  -ÑÐ-  #ÑÐ-  $Ñ œ ! Ê - œ # à - œ" à - œ$ son los valores propios de la transformación lineal X Þ 4°) a)

Obtengamos los vectores propios asociados a cada valor propio: Para -" œ  # . Se resuelve el siguiente sistema de ecuaciones de 1º): Ð"  -ÑB  $C  #D œ !  B  Ð#  -ÑC  Dœ! %B  C  Ð"  -ÑD œ ! reemplazando - por -" œ  # : $ # ×Î B Ñ Î ! Ñ Ô $ " % " C œ ! Õ % ØÏ Ò Ï!Ò " " D (es necesario precisar que a lo menos una de las filas de la matriz de coeficientes debe anularse, en caso contrario NO SERÍA VALOR PROPIO) " $ #× Ô" ! $ × Ô $ Ô" % "× " % " Ä ! "& & Ä Ö ! " "$ Ù Õ % Õ ! "& " "Ø & Ø Õ! ! !Ø Ê

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Por lo tanto; el conjunto de todos los vectores propios asociados a -" œ  # , está dado por: W# œ 1/8 ˜Ð  "$ ß  "$ ß "Ñ™  ˜Ð!ß !ß !Ñ™ œ 1/8˜Ð"ß "ß  $Ñ™  ˜Ð!ß !ß !Ñ™ b)

Para -# œ " . Se resuelve el siguiente sistema de ecuaciones de 1º): Ð"  -ÑB  $C  #D œ !  B  Ð#  -ÑC  Dœ! %B  C  Ð"  -ÑD œ ! reemplazando - por -# œ " : $ # ×Î B Ñ Î ! Ñ Ô ! " " " C œ ! Õ % ØÏ Ò Ï!Ò " # D (es necesario precisar que a lo menos una de las filas de la matriz de coeficientes debe anularse, en caso contrario NO SERÍA VALOR PROPIO) " $ # × Ô" !  $ × Ô ! Ô" " "× # Ù " " " $ # Ä ! Ä Ö! " $ Õ % Õ! " #Ø $ # Ø Õ! ! ! Ø

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Para -$ œ $ . Se resuelve el siguiente sistema de ecuaciones de 1º): Ð"  -ÑB  $C  #D œ !  B  Ð#  -ÑC  Dœ! %B  C  Ð"  -ÑD œ ! reemplazando - por -$ œ $ : $ # ×Î B Ñ Î ! Ñ Ô # " " " C œ ! Õ %  "  % ØÏ D Ò Ï ! Ò (es necesario precisar que a lo menos una de las filas de la matriz de coeficientes debe anularse, en caso contrario NO SERÍA VALOR PROPIO) $ # × " "× Ô # Ô" Ô" ! "× " " " & ! ! Ä ! Ä ! " Õ % Õ! & Õ! ! " %Ø ! Ø ! Ø

Ê B œ D à C œ ! ; con D Á ! Þ Por lo tanto; el conjunto de todos los vectores propios asociados a -$ œ $ , está dado por: W$ œ 1/8 ˜Ð"ß !ß "Ñ™  ˜Ð!ß !ß !Ñ™ FACULTAD DE CS. NATURALES, MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PROYECTO DE FACULTAD "ÁLGEBRA LINEAL: una propuesta metodológica de aprendizaje autónomo en página web"

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(1.3.6) Verifique que -$ œ $ es valor propio asociado al vector propio Ð  %ß !ß  %Ñ de la T.L. definida en (1.3.5) . SOLUCIÓN: Se debe verificar que: X ÐBß Cß DÑ œ -$ ÐBß Cß DÑ En efecto: X ÐBß Cß DÑ œ X Ð  %ß !ß  %Ñ œ Ð  "#ß !ß  "#Ñ -$ ÐBß Cß DÑ œ $Ð  %ß !ß  %Ñ œ Ð  "#ß !ß  "#Ñ Por lo tanto: X ÐBß Cß DÑ œ -$ ÐBß Cß DÑ ; es decir: X Ð  %ß !ß  %Ñ œ $Ð  %ß !ß  %Ñ . Luego; se verifica lo pedido.

(1.4) DEFINICIÓN: Sea E − `8 B 8 ÐOÑ Þ Se dice que un escalar - − O ( ‘ ó ‚ ) es VALOR PROPIO DE E si y solo si existe un vector \ − ‘8 ó ‚ 8 ; \ Á ! tal que se verifica la siguiente propiedad: E\ œ -\

(1.5) DEFINICIÓN: De existir el vector \ − ‘8 ó ‚ 8 ; \ Á ! , tal que E\ œ - \ , se dice que el vector \ Á ! es VECTOR PROPIO ASOCIADO AL VALOR PROPIO - . (1.6) EJEMPLOS: Sea (1.6.1) SOLUCIÓN:

Eœ”

# ! " &• Determine si - œ # es valor propio de E Þ

B ! Se debe verificar que: E\ œ -\ , para algún \ œ ” " • Á ” •Þ B# ! 2º) Lo cual es equivalente a: B" B" # ! #B" œ #B" Í B" œ $B# ”  " & •” B • œ #” B • Í # #  B"  &B# œ #B#  3º) Luego si B# Á ! se tiene un vector propio asociado al valor propio $ ! - œ # . Por ejemplo; si B# œ " , entonces ” • Á ” • es vector propio. " ! 1º)

4º)

Por lo tanto; - œ # es valor propio de la matriz E œ ”

# "

! . &•

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(1.6.2) Detemine si - œ " es valor propio de E Þ SOLUCIÓN: 1º) 2º)

3º)

Se debe verificar que: E\ œ -\ , para algún \ œ ” Lo cual es equivalente a: B" B" # ! ”  " & •” B • œ ” B • Í # #

#B" œ B"  B"  &B# œ B#

B" ! Á” • • B# !

Í

B" œ B# œ !

Luego; - œ " no es valor propio; ya que la solución es ”

B" ! œ ” •Þ • B# !

(1.6.3) Determine los valores y vectores propios de E . SOLUCIÓN: B ! 1º) Resolvamos E\ œ -\ , para algún \ œ ” " • Á ” • B# ! B" B" # ! Ð#  -Ñ B" ”  " & •” B • œ -” B • Í # #  B"  Ð&  -Ñ B# el cual tiene solución no trivial si: es decir: Ê

./> ”

#"

./> ”

#"

! œ Ð#  -ÑÐ&  -Ñ œ ! &-•

œ! œ!

! œ! &-•

- œ # à - œ & son los valores propios de E œ ”

Vectores propios asociados al valor propio - œ # . Resolvemos: B" B" # ! #B" œ #B" Í ”  " & •” B • œ #” B • Í # #  B"  &B# œ #B# Luego; el conjunto de vectores propios es: W# œ 1/8 ˜Ð$ ß "Ñ™  ˜Ð!ß !Ñ™

# "

! Þ &•

2º)

B" œ $B#

3º)

Vectores propios asociados al valor propio - œ & . Resolvemos: B" B" # ! #B" œ &B" Í B" œ ! à B# Á ! ”  " & •” B • œ &” B • Í # #  B"  &B# œ &B# Luego; el conjunto de vectores propios es: W& œ 1/8 ˜Ð! ß "Ñ™  ˜Ð!ß !Ñ™ FACULTAD DE CS. NATURALES, MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PROYECTO DE FACULTAD "ÁLGEBRA LINEAL: una propuesta metodológica de aprendizaje autónomo en página web"

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(1.7) MÉTODO PARA DETERMINAR LOS VALORES Y VECTORES PROPIOS ASOCIADOS A LA MATRIZ E − `8 B 8 ÐOÑ Þ (1.7.1)

Formamos la matriz ÐE  - M8 Ñ ; M8 es la matriz identidad .

(1.7.2)

Calculamos ./> ÐE  - M8 Ñ

(1.7.3) Resolvemos la ecuación ./> ÐE  - M8 Ñ œ ! ; para - , obteniendo así los VALORES PROPIOS DE E ; los cuales pueden repetirse. (1.7.4) Para cada valor propio, determinamos los respectivos vectores propios asociados, resolviendo el siguiente sistema de ecuaciones:

ÐE  - M8 Ñ \ œ ! (1.8) EJEMPLOS:

à \Á!

" " " "• Determine valores propios y vectores propios (si existen) de EÞ SOLUCIÓN:

(1.8.1)

Sea

Eœ”

1°) - es VALOR PROPIO DE E si y solo si ./> ÐE  - M# Ñ œ ! es decir: "" ./> ÐE  - M# Ñ œ ./> ” œ -#  # "  Ð"  -Ñ • Luego: -#  # œ ! Ê -" œ È # y -# œ  È # son los valores propios de E Þ 2°) a)

Obtengamos los vectores propios asociados a cada valor propio: Para -" œ È # . Se resuelve el siguiente sistema de ecuaciones: reemplazando - por -" œ È # : "  È# " B ! œ” • ” • – — C ! "  Ð"  È #Ñ È "  È# " Ä ” "  Ð"  #Ñ • – — ! ! "  Ð"  È #Ñ Ê B œ Ð"  È #Ñ C ; con C Á ! Þ

ÐE  - M# Ñ \ œ !

à \Á!

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Por lo tanto; el conjunto de todos los vectores propios asociados a È -" œ # , está dado por: È WÈ# œ 1/8 ˜Ð"  È # ß "Ñ ™  ˜Ð! ß !Ñ™ œ 1/8 ˜” "  # • ™  ˜” !! •™ "

b)

Para -# œ  È # . Se resuelve el siguiente sistema de ecuaciones: reemplazando - por -# œ  È # : "  È# " B ! – —” C • œ ” ! • È "  Ð"  #Ñ

ÐE  - M# Ñ \ œ !

à \Á!

"  È# – " Ê

" "  Ð"  È #Ñ Ä ” • — ! !  Ð"  È #Ñ B œ Ð"  È #Ñ C ; con C Á ! Þ

Por lo tanto; el conjunto de todos los vectores propios asociados a -# œ  È # , está dado por: È ! WÈ# œ 1/8 ˜Ð"  È # ß "Ñ ™  ˜Ð! ß !Ñ™ œ 1/8 ˜” "  # • ™  ˜” •™ ! " Verifique que -# œ  È # es valor propio asociado al vector È propio ” "  # • de la matriz E dada en (1.8.1) . " SOLUCIÓN: (1.8.2)

Se debe verificar que:

È È E” "  # • œ  È #” "  # • . " "

En efecto: È " E” "  # • œ ” " "

" "  È# œ #  È# •” • – — " "  È#

È #  È#  È #” "  # • œ – — "  È# Luego; se verifica lo pedido.

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" " " " • Determine valores propios y vectores propios (si existen) de EÞ SOLUCIÓN: 1°) - es VALOR PROPIO DE E si y solo si ./> ÐE  - M# Ñ œ ! es decir: "" ./> ÐE  - M# Ñ œ ./> ” œ - #  #-  # " "-• (1.8.3)

Sea

Eœ”

È

Luego: - œ # „ # %) œ " „ 3 − ‚ Ê son los valores propios de E Þ 2°) a)

-" œ "  3

y

-# œ "  3

Obtengamos los vectores propios asociados a cada valor propio: Para -" œ "  3 . Se resuelve el siguiente sistema de ecuaciones:

ÐE  - M# Ñ \ œ !

à \Á!

reemplazando - por -" œ "  3 : "  Ð"  3Ñ " B ! œŒ  ” •Œ  " "  Ð"  3Ñ C ! 3 " " 3 Ä” Ê B œ 3 C ; con C Á ! Þ ” " 3• ! ! • Por lo tanto; el conjunto de todos los vectores propios asociados a -" œ "  3 , está dado por: 3 ! WÐ"3Ñ œ 1/8 ˜Ð3ß "Ñ™  ˜Ð!ß !Ñ™ œ 1/8 ˜Œ ™  ˜Œ ™ " ! b)

Para -# œ "  3 . Se resuelve el siguiente sistema de ecuaciones:

ÐE  - M# Ñ \ œ !

à \Á!

reemplazando - por -# œ "  3 : "  Ð"  3Ñ " B ! œŒ  ” •Œ  " "  Ð"  3Ñ C ! 3 " " 3 Ä” Ê B œ  3 C ; con C Á ! Þ ”" 3 • ! !• Por lo tanto; el conjunto de todos los vectores propios asociados a -" œ "  3 , está dado por: 3 ™ ! WÐ"3Ñ œ 1/8 ˜Ð  3ß "Ñ™  ˜Ð!ß !Ñ™ œ 1/8 ˜Œ  ˜Œ ™  " !

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(1.8.4)

Verifique que -# œ "  3 es valor propio asociado al vector #3 propio Œ de la matriz E dada en (1.8.3) . #  SOLUCIÓN: #3 #3 Se debe verificar que: EŒ œ Ð"  3ÑŒ . #  #  En efecto: #3 " " #3 #3# EŒ œ œ #  ”" " •Œ #  Œ  # 3  #  #3  # 3Ð"  3Ñ #3# Ð"  3ÑŒ œŒ œŒ   # #Ð"  3Ñ #3# Luego; se verifica lo pedido. $ # Ñ Î "  " # " (1.8.5) Sea E œ Ï % " "Ò Determine valores propios y vectores propios (si existen) de EÞ SOLUCIÓN: 1°) - es VALOR PROPIO DE E si y solo si ./> ÐE  - M$ Ñ œ ! es decir: $ # Ô"× " #" ./>ÐE  - M$ Ñ œ ./> œ Ð"  -ÑÐ-  #ÑÐ-  $Ñ Õ % Ø "  Ð"  -Ñ Luego: Ð"  -ÑÐ-  #ÑÐ-  $Ñ œ ! Ê - œ # à - œ" à - œ$ son los valores propios de E Þ 2°) Obtengamos los vectores propios asociados a cada valor propio: a) Para -" œ  # . Se resuelve el siguiente sistema de ecuaciones:

ÐE  - M$ Ñ \ œ ! reemplazando Ô $ " Õ %

Ô $ " Õ %

$ % "

à \Á!

- por -" œ  # : $ # ×Î B Ñ Î ! Ñ % " C œ ! ØÏ Ò Ï!Ò " " D

#× Ô" " Ä ! Õ! "Ø " $

% "& "&

"× Ô" & Ä Ö! & Ø Õ!

! " !

" $ " $

× Ù

!Ø

Ê B œ C œ  D ; con D Á ! Þ Por lo tanto; el conjunto de todos los vectores propios asociados a -" œ  # , está dado por: Î " Ñ Î!Ñ ™ ˜ ! ™ " W# œ 1/8˜Ð"ß "ß  $Ñ™  ˜Ð!ß !ß !Ñ™ œ 1/8˜ Ï $Ò Ï!Ò FACULTAD DE CS. NATURALES, MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PROYECTO DE FACULTAD "ÁLGEBRA LINEAL: una propuesta metodológica de aprendizaje autónomo en página web"

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b)

Para -# œ " . Se resuelve el siguiente sistema de ecuaciones:

ÐE  - M$ Ñ \ œ ! reemplazando Ô ! " Õ %

Ô ! " Õ % Ê

$ " " Bœ

" $

à \Á!

- por -# œ " : $ # ×Î B Ñ Î ! Ñ " " C œ !  "  # ØÏ D Ò Ï ! Ò

# × Ô" " Ä ! Õ! #Ø

D à Cœ 

# $

D

" $ $

"× Ô" # Ä Ö! # Ø Õ!

! " !

; con D Á ! Þ



" $

× Ù

! Ø # $

Por lo tanto; el conjunto de todos los vectores propios asociados a -# œ " , está dado por: Î " Ñ Î!Ñ ˜ ™ ˜ ™ ˜ ™ ˜ # ! ™ W" œ 1/8 Ð"ß  #ß $Ñ  Ð!ß !ß !Ñ œ 1/8  Ï $ Ò Ï!Ò c)

Para -$ œ $ . Se resuelve el siguiente sistema de ecuaciones:

ÐE  - M$ Ñ \ œ !

à \Á!

reemplazando - por -$ œ $ : $ # ×Î B Ñ Î ! Ñ Ô # " " " C œ ! Õ % ØÏ Ò Ï!Ò " % D $ # × " "× Ô # Ô" Ô" " " " & ! Ä ! Ä ! Õ % Ø Õ Ø Õ! " % ! & ! Ê B œ D à C œ ! ; con D Á ! Þ

! " !

"× ! ! Ø

Por lo tanto; el conjunto de todos los vectores propios asociados a -$ œ $ , está dado por: Î"Ñ Î!Ñ ˜ ™ ˜ ™ ˜ ™ ˜ ! ! ™ W$ œ 1/8 Ð"ß !ß "Ñ  Ð!ß !ß !Ñ œ 1/8  Ï"Ò Ï!Ò

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(1.8.6)

Verifique que -$ œ $ es valor propio asociado al vector Î %Ñ ! propio de la matriz E dada en (1.8.5) . Ï %Ò SOLUCIÓN: Î %Ñ Î %Ñ ! ! Se debe verificar que: E œ$ Ï %Ò Ï %Ò En efecto: $ # ÑÎ  % Ñ Î  "# Ñ Î %Ñ Î " ! " # " ! ! E œ œ Ï %Ò Ï %  "  " ÒÏ  % Ò Ï  "# Ò Î  % Ñ Î  "# Ñ ! ! $ œ Ï  % Ò Ï  "# Ò Luego; se verifica lo pedido.

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TEMA 2:

PROPIEDADES DE LOS VALORES PROPIOS

OBJETIVO OPERACIONAL: Determinar el polinomio característico y factorizarlo en el cuerpo correspondienteÞ OBJETIVO OPERACIONAL: Determinar la ecuación característica y las raíces en el cuerpo correspondiente. OBJETIVO OPERACIONAL: Determinar la multiplicidad algebraica de los respectivos valores propios. (2.1) DEFINICIÓN: Sea E − `8 B 8 ÐOÑ Þ Se llama : a) POLINOMIO CARACTERÍSTICO DE E ; lo que denotamos por :Ð-Ñ al polinomio que se obtiene de: :Ð-Ñ œ ./> ÐE  - M8 Ñ (2.1.1) EJEMPLOS: 3Ñ En (1.8.1) el polinomio característico es :Ð-Ñ œ ./> ÐE  - M# Ñ œ -#  # œ Ð-  È # ÑÐ-  È # Ñ 33 Ñ

En (1.8.3)

el polinomio característico es

:Ð-Ñ œ ./> ÐE  - M# Ñ œ -#  #-  # œ Ð-  Ð"  3Ñ ÑÐ-  Ð"  3ÑÑ 333Ñ En (1.8.5) el polinomio característico es :Ð-Ñ œ ./>ÐE  - M$ Ñ œ  -$  #-#  &-  ' œ Ð"  -ÑÐ-  #ÑÐ-  $Ñ b) ECUACIÓN CARACTERÍSTICA DE E ; a la ecuación que permite obtener los valores propios de Eß es decir: :Ð-Ñ œ ./> ÐE  - M8 Ñ œ ! (2.1.2) EJEMPLOS: 3Ñ En (1.8.1) la ecuación característica es :Ð-Ñ œ -#  # œ Ð-  È # ÑÐ-  È # Ñ œ ! 33 Ñ

En (1.8.3) la ecuación característica es :Ð-Ñ œ -#  #-  # œ Ð-  Ð"  3Ñ ÑÐ-  Ð"  3ÑÑ œ !

333Ñ

En (1.8.5) la ecuación característica es :Ð-Ñ œ  -$  #-#  &-  ' œ Ð"  -ÑÐ-  #ÑÐ-  $Ñ œ !

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(2.2) TEOREMA: Sea E − `8 B 8 ÐOÑ Þ - es valor propio de E Í :Ð-Ñ œ ./> ÐE  - M8 Ñ œ ! (2.3) OBSERVACIÓN: a) El polinomio característico :Ð-Ñ œ ./> ÐE  - M8 Ñ correspondiente a una matriz E − `8 B 8 ÐOÑ es de grado 8 ; por lo cual tiene 8 raíces (no todas necesariamente distintas) reales o complejas. Por lo cual; la matriz E tiene exactamente 8 valores propios no necesariamente todos distintos. b)

La ecuación característica de E expresada en la forma:

:Ð-Ñ œ Ð-  -" Ñ ÐE  -M# Ñ œ -#  % Ecuación característica: -#  % œ Ð-  #3ÑÐ-  #3Ñ œ ! Valores propios:

- œ  #3 à - œ #3

Multiplicidad algebraica: los dos tienen multiplicidad algebraica " Þ Vectores propios: $ # W#3 œ 1/8˜Ð "$  "$ 3 ß "Ñ™  ˜Ð!ß !Ñ™ à $ # W#3 œ 1/8˜Ð "$  "$ 3 ß "Ñ™  ˜Ð!ß !Ñ™ FACULTAD DE CS. NATURALES, MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PROYECTO DE FACULTAD "ÁLGEBRA LINEAL: una propuesta metodológica de aprendizaje autónomo en página web"

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a)

b)

Ð%Þ#Ñ

VECTORES PROPIOS: PARA - œ  #3 : reemplazar en $" B ! œ Œ  y resolver Œ "$  Œ  $C ! $ # ˜ ™ ˜ W#3 œ 1/8 Ð "$  "$ 3 ß "Ñ  Ð!ß !Ñ™ PARA - œ #3 : reemplazar en $" B ! œ y resolver Œ "$  $  - Œ C  Œ !  $ #  "$ 3 ß "Ñ™  ˜Ð!ß !Ñ™ W#3 œ 1/8˜Ð "$ TALLER N° 8: 9. RESPUESTA: (9.1) ˜Ð"ß !Ñ à Ð "# Ð"  3Ñ ß "Ñ™ linealmente independiente. (9.2) ˜Ð"ß !Ñ™ linealmente independiente.

(9.1) 1°) VALORES PROPIOS: "3 ./> ÐŒ Ñ œ Ð"  -ÑÐ3  -Ñ œ ! Ê - œ " à - œ 3 ! 3- 2°) a)

VECTORES PROPIOS: PARA - œ ": reemplazar en "3 B ! œ y resolver Œ ! 3  - Œ C  Œ !  W" œ 1/8 ˜Ð"Þ!Ñ™  ˜Ð!ß !Ñ™

b)

PARA - œ 3 : reemplazar en "3 B ! œ Œ  y resolver Œ !  Œ  3C ! " ˜ ™ ˜ W3 œ 1/8 Ð # Ð"  3Ñ ß "Ñ  Ð!ß !Ñ™

(9.2) 1°) VALORES PROPIOS: "$ ./> ÐŒ Ñ œ Ð"  -Ñ# œ ! Ê - œ " ! "- con multiplicidad algebraica # 2°) VECTORES PROPIOS: PARA - œ ": reemplazar en "$ B ! œ Œ  y resolver Œ !  Œ  "C ! ˜ ™ ˜ ™ W" œ 1/8 Ð"Þ!Ñ  Ð!ß !Ñ FACULTAD DE CS. NATURALES, MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PROYECTO DE FACULTAD "ÁLGEBRA LINEAL: una propuesta metodológica de aprendizaje autónomo en página web"

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PROBLEMA 5: Ð"!Þ"Ñ DEM HIPÓTESIS: Ê TESIS:

1°)

2°)

Ð"!Þ#Ñ

TALLER N° 8: RESPUESTA:

10.

-3 à 3 œ "ß #ß ÞÞÞß 5 valores propios de EÞ E\ œ -3 \ à \ Á ! à a 3 œ "ß #ß ÞÞÞß 5 Þ Por demostrar que: !-3 à 3 œ "ß #ß ÞÞÞß 5 valores propios de !EÞ En efecto: Se sabe que: E\ œ -3 \ ; multiplicar por ! Ê !ÐE\Ñ œ !Ð-3 \Ñ Ê Ð!EÑ\ œ Ð!-3 Ñ\ à \ Á ! à a 3 œ "ß #ß ÞÞÞß 5 Þ por lo tanto !-3 es valor propio de !E à a 3 œ "ß #ß ÞÞÞß 5 Þ !-" ß !-# ß ÞÞÞß !-5 son los valores propios de !E . RESPUESTA:

DEM HIPÓTESIS: E es invertible. -3 à 3 œ "ß #ß ÞÞÞß 5 valores propios de EÞ Ê E\ œ -3 \ à \ Á ! à a 3 œ "ß #ß ÞÞÞß 5 Þ TESIS: Por demostrar que: -3" à 3 œ "ß #ß ÞÞÞß 5 valores propios de E" Þ En efecto: 1°) Se sabe que: E\ œ -3 \ ; multiplicar por E" " " Ê E ÐE\Ñ œ E Ð-3 \Ñ Ê ÐE" EÑ\ œ -3 ÐE" \Ñ Ê \ œ -3 ÐE" \Ñ Ê E" \ œ -3" \ à \ Á ! à -3 Á ! à a 3 œ "ß #ß ÞÞÞß 5 Þ por lo tanto -3" es valor propio de E" à a 3 œ "ß #ß ÞÞÞß 5 Þ 2°) -"" ß -#" ß ÞÞÞß -5" son los valores propios de E" . Ð"!Þ$Ñ

RESPUESTA: DEM HIPÓTESIS: -3 à 3 œ "ß #ß ÞÞÞß 5 valores propios de EÞ Ê E\ œ -3 \ à \ Á ! à a 3 œ "ß #ß ÞÞÞß 5 Þ TESIS: Por demostrar que: -38 à 3 œ "ß #ß ÞÞÞß 5 valores propios de E8 Þ En efecto: 1°) Se sabe que: E\ œ -3 \ ; multiplicar por E8" 8" ÊE ÐE\Ñ œ E8" Ð-3 \Ñ Ê ÐE8" EÑ\ œ -3 ÐE8" \Ñ Ê E8 \ œ -3 ÐE8" \Ñ œ -3 ÐE8# ÐE\ÑÑ œ -3 ÐE8# Ð-3 \ÑÑ œ Ð-3 Ñ# ÐE8# \Ñ œ Ð-3 Ñ# ÐE8$ ÐE\ÑÑ œ Ð-3 Ñ# ÐE8$ Ð-3 \ÑÑ œ Ð-3 Ñ$ ÐE8$ \ÑÑ œ Ð-3 Ñ8 \ Por lo tanto E8 \ œ Ð-3 Ñ8 \ ; \ Á !. 8 8 8 2°) -" ß -# ß ÞÞÞß -5 son los valores propios de E8 .

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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA FACULTAD CS. NAT., MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA MARTES 12 DE JUNIO DE 2007: 11:15 - 12:35 CONTROL N° 2: ÁLGEBRA LINEAL (MAT-605) NOMBRE_______________________________SECCIÓN__12__ PROFESOR__CARLOS SEPÚLVEDA BUSTAMANTE__ (4.1)

(4.2)

TOTAL

PUNTAJE PREGUNTA 4: (4.1) Considere la transformación lineal X À `# B " Ð‘Ñ Ä `# B " Ð‘Ñ ; + +, definida por XŒ  œ Œ , +, Encuentre SOLAMENTE los valores propios de la transformación lineal X . " ! × Ô " " # " (4.2) Considere la matriz E œ Õ # "  "Ø Determine el conjunto de todos los vectores propios asociados a cada valor propio de EÞ PONDERACIONES:

(4.1) = 07 (4.2) = 08 PUNTOS. TIEMPO: 20 minutos.

JUSTIFIQUE DETALLADAMENTE EL DESARROLLO ANALÍTICO DE CADA UNA DE SUS RESPUESTAS!!

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PAUTA CONTROL N° 2: ÁLGEBRA LINEAL (MAT-605) SECCIÓN__12__ PREGUNTA 4: (4.1) SOLUCIÓN: 1º) - es valor propio de X si y solo si + ! + + b Œ  Á Œ  tal que X Œ  œ -Œ  # , ! , , + + +, -+ 2º) X Œ  œ -Œ  Ê Œ œŒ es decir:  , , +, -,  +, œ -+ Ê Ð"  -Ñ+ , œ! Ê +, œ -, +  Ð"  - , œ ! "" + ! + ! œ Œ  con Œ  Á Œ  " Œ "  Œ  ", ! , ! 3º) Luego, para determinar los valores propios de X resolvemos la siguiente ecuación característica: "" ./> Œ œ ! Ê Ð"  -Ñ#  " œ ! "  " "È

Ê -#  # -  # œ ! Ê - œ # „ # % œ " „ 3 4º) Luego, los valores propios: -" œ "  3 à -# œ "  3 − ‚ # y X es una transformación lineal definida en `# B " БÑ, luego X no tiene valores propios en ‘. " (4.2) SOLUCIÓN: 1º) VALORES PROPIOS: a) Para determinar los valores propios de E resolvemos la siguiente ecuación característica: " ! Ô"× " #" ./> ÐE  - M$ Ñ œ ./> œ! " Õ # " "-Ø " ! Ô"× " #" b) ./> por fila 1: Õ # " "-Ø #" " " œ Ð"  -Ñ./>Œ  ./>Œ  " "# "- œ Ð"  -ÑÐ-#  -  $Ñ  Ð  -  "Ñ œ Ð"  -ÑÐ-#  -  #Ñ œ Ð"  -ÑÐ-  #ÑÐ-  "Ñ c) Los valores propios son: -" œ  " à -# œ " à -$ œ # " FACULTAD DE CS. NATURALES, MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PROYECTO DE FACULTAD "ÁLGEBRA LINEAL: una propuesta metodológica de aprendizaje autónomo en página web"

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2º) a)

VECTORES PROPIOS: Para -" œ  " ; resolvemos: Ô # " Õ #

 " !× Ô" $ " Ä ! Õ! " !Ø

$ ( (

Ô" " × # Ä Ö! # Ø Õ!

! " !

" ( # (

× Ù

!Ø

Ê B œ  "( D C œ  #( D DÁ! " Por lo tanto, el conjunto de vectores propios es: W" œ 1/8 ˜Ð  "( ß  #( ß "Ñ™  ˜Ð!ß !ß !Ñ™ œ œ 1/8 ˜Ð  "ß  #ß (Ñ™  ˜Ð!ß !ß !Ñ™ " b) Para -" œ " ; resolvemos: " ! × Ô ! Ô" " "× Ô" ! "× " " " Ä ! " ! Ä ! " ! Õ # Ø Õ! $ !Ø Õ! ! !Ø " # Ê Bœ  D Cœ! DÁ! " Por lo tanto, el conjunto de vectores propios es: W" œ 1/8 ˜Ð  "ß !ß "Ñ™  ˜Ð!ß !ß !Ñ™ " c) Para -" œ # ; resolvemos: ! × ! " × " × Ô " " Ô" Ô" ! " ! " " Ä ! " Ä ! " " Õ # Ø Õ Ø Õ! ! " $ ! " " ! Ø Ê Bœ  D CœD DÁ! " Por lo tanto, el conjunto de vectores propios es: W# œ 1/8 ˜Ð  "ß "ß "Ñ™  ˜Ð!ß !ß !Ñ™ "

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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA FACULTAD CS. NAT., MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA MARTES 12 DE JUNIO DE 2007: 11:15 - 12:35 CONTROL N° 2: ÁLGEBRA LINEAL (MAT-605) NOMBRE_______________________________SECCIÓN__12__ PROFESOR__CARLOS SEPÚLVEDA BUSTAMANTE__ (4.1)

(4.2)

TOTAL

PUNTAJE PREGUNTA 4: (4.1) Considere la transformación lineal X À `# B " Ð‚Ñ Ä `# B " Ð‚Ñ ; + +, definida por XŒ  œ Œ , +, Encuentre SOLAMENTE los valores propios de la transformación lineal X . " ! × Ô " " # " (4.2) Considere la matriz E œ Õ # "  "Ø Determine el conjunto de todos los vectores propios asociados a cada valor propio de EÞ PONDERACIONES:

(4.1) = 07 (4.2) = 08 PUNTOS. TIEMPO: 20 minutos.

JUSTIFIQUE DETALLADAMENTE EL DESARROLLO ANALÍTICO DE CADA UNA DE SUS RESPUESTAS!!

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PAUTA CONTROL N° 2: ÁLGEBRA LINEAL (MAT-605) SECCIÓN__12__ PREGUNTA 4: (4.1) SOLUCIÓN: 1º) - es valor propio de X si y solo si + ! + + b Œ  Á Œ  tal que X Œ  œ -Œ  # , ! , , + + +, -+ 2º) X Œ  œ -Œ  Ê Œ œŒ es decir:  , , +, -,  +, œ -+ Ê Ð"  -Ñ+ , œ! Ê +, œ -, +  Ð"  - , œ ! "" + ! + ! œ Œ  con Œ  Á Œ  " Œ "  Œ  ", ! , ! 3º) Luego, para determinar los valores propios de X resolvemos la siguiente ecuación característica: "" ./> Œ œ ! Ê Ð"  -Ñ#  " œ ! #  " "È

4º)

Ê -#  # -  # œ ! Ê - œ # „ # % œ " „ 3 Luego, los valores propios: -" œ "  3 à -# œ "  3 − ‚

#

(4.2) SOLUCIÓN: 1º) VALORES PROPIOS: a) Para determinar los valores propios de E resolvemos la siguiente ecuación característica: " ! Ô"× " #" ./> ÐE  - M$ Ñ œ ./> œ! " Õ # " "-Ø " ! Ô"× " #" b) ./> por fila 1: Õ # " "-Ø #" " " œ Ð"  -Ñ./>Œ  ./>Œ  " "# "- œ Ð"  -ÑÐ-#  -  $Ñ  Ð  -  "Ñ œ Ð"  -ÑÐ-#  -  #Ñ œ Ð"  -ÑÐ-  #ÑÐ-  "Ñ c) Los valores propios son: -" œ  " à -# œ " à -$ œ # " FACULTAD DE CS. NATURALES, MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PROYECTO DE FACULTAD "ÁLGEBRA LINEAL: una propuesta metodológica de aprendizaje autónomo en página web"

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2º) a)

VECTORES PROPIOS: Para -" œ  " ; resolvemos: Ô # " Õ #

 " !× Ô" $ " Ä ! Õ! " !Ø

$ ( (

Ô" " × # Ä Ö! # Ø Õ!

! " !

" ( # (

× Ù

!Ø

Ê B œ  "( D C œ  #( D DÁ! " Por lo tanto, el conjunto de vectores propios es: W" œ 1/8 ˜Ð  "( ß  #( ß "Ñ™  ˜Ð!ß !ß !Ñ™ œ œ 1/8 ˜Ð  "ß  #ß (Ñ™  ˜Ð!ß !ß !Ñ™ " b) Para -" œ " ; resolvemos: " ! × Ô ! Ô" " "× Ô" ! "× " " " Ä ! " ! Ä ! " ! Õ # Ø Õ! $ !Ø Õ! ! !Ø " # Ê Bœ  D Cœ! DÁ! " Por lo tanto, el conjunto de vectores propios es: W" œ 1/8 ˜Ð  "ß !ß "Ñ™  ˜Ð!ß !ß !Ñ™ " c) Para -" œ # ; resolvemos: ! × ! " × " × Ô " " Ô" Ô" ! " ! " " Ä ! " Ä ! " " Õ # Ø Õ Ø Õ! ! " $ ! " " ! Ø Ê Bœ  D CœD DÁ! " Por lo tanto, el conjunto de vectores propios es: W# œ 1/8 ˜Ð  "ß "ß "Ñ™  ˜Ð!ß !ß !Ñ™ "

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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA FACULTAD CS. NAT., MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA MiÉRCOLES 13 DE JUNIO DE 2007: 12:45-14:05 CONTROL N° 2: ÁLGEBRA LINEAL (MAT-605) NOMBRE_______________________________SECCIÓN__11__ PROFESOR__NELSON ARAVENA CASTILLO__ (4.1)

(4.2)

TOTAL

PUNTAJE PREGUNTA 4: (4.1) Considere la transformación lineal X À ‘# Ä ‘# ; definida por X Ð+ , ,Ñ œ Ð+  , ß +  , Ñ Encuentre SOLAMENTE los valores propios de la transformación lineal X . % × Ô" " # " (4.2) Considere la matriz E œ $ Õ# "  "Ø Determine el conjunto de todos los vectores propios asociados a cada valor propio de EÞ PONDERACIONES:

(4.1) = 07 (4.2) = 08 PUNTOS. TIEMPO: 20 minutos.

JUSTIFIQUE DETALLADAMENTE EL DESARROLLO ANALÍTICO DE CADA UNA DE SUS RESPUESTAS!!

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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA FACULTAD CS. NAT., MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA MIÉRCOLES 13 DE JUNIO DE 2007: 15:45 - 17:05 CONTROL N° 2: ÁLGEBRA LINEAL (MAT-605) NOMBRE_______________________________SECCIÓN__21__ PROFESOR__RENÉ ALZAMORA ANTIQUERA__ (4.1)

(4.2)

TOTAL

PUNTAJE PREGUNTA 4: (4.1) Considere la transformación lineal X À c" Ð‘Ñ Ä c" Ð‘Ñ ; definida por X Ð+  , BÑ œ Ð+  ,Ñ  Ð+  ,Ñ B Encuentre SOLAMENTE los valores propios de la transformación lineal X . $ # × Ô " # " (4.2) Considere la matriz E œ  " Õ %  "  "Ø Determine el conjunto de todos los vectores propios asociados a cada valor propio de EÞ PONDERACIONES: (4.1) = 07 (4.2) = 08 PUNTOS. TIEMPO: 20 minutos.

JUSTIFIQUE DETALLADAMENTE EL DESARROLLO ANALÍTICO DE CADA UNA DE SUS RESPUESTAS!!

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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA FACULTAD CS. NAT., MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA MIÉRCOLES 13 DE JUNIO DE 2007: 14:15 - 15:35 CONTROL N° 2: ÁLGEBRA LINEAL (MAT-605) NOMBRE_______________________________SECCIÓN__22__ PROFESOR__RENÉ ALZAMORA ANTIQUERA__ (4.1)

(4.2)

TOTAL

PUNTAJE PREGUNTA 4: (4.1) Considere la transformación lineal X À ‘# Ä ‘# ; definida por X Ð+ ß ,Ñ œ (  , , +  , ) Encuentre SOLAMENTE los valores propios de la transformación lineal X . "  #× Ô " " (4.2) Considere la matriz E œ  " # Õ ! "  "Ø Determine el conjunto de todos los vectores propios asociados a cada valor propio de EÞ PONDERACIONES: (4.1) = 07 (4.2) = 08 PUNTOS. TIEMPO: 20 minutos.

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SEMANA N° 10: UNIDAD N° 6:

(04 HORAS CÁTEDRA)

VALORES Y VECTORES PROPIOS DIAGONALIZACIÓN. FORMAS CUADRÁTICAS

TEMA 3:

ESPACIO PROPIO

OBJETIVO OPERACIONAL: Construir el espacio propio asociado a cada valor propio. OBJETIVO OPERACIONAL: Determinar la multiplicidad geométrica de cada espacio propio. (3.1) DEFINICIÓN: Sea E − `8 B 8 ÐOÑ Þ Se llama ESPACIO PROPIO ASOCIADO AL VALOR PROPIO - ; lo que denotaremos por I- , al conjunto: I - œ ˜\ − O 8 Î E \ œ - \ ™

(3.2) OBSERVACIÓN: Note que este conjunto contiene a todos los vectores propios de E asociados al valor propio - y además al vector !O 8 . (3.3) EJEMPLOS: (3.3.1) 3Ñ 33 Ñ

333 Ñ

En (1.8.1) se determinó que:

-" œ È #

y

-# œ  È #

WÈ# œ 1/8 ˜” " 

È#

son los valores propios de E Þ

! • ™  ˜” ! • ™ " È ! WÈ# œ 1/8 ˜” "  # • ™  ˜” •™ ! " son los respectivos conjuntos de vectores propios asociados. "  È# ™ • ™ y IÈ# œ 1/8 ˜” • " " son los respectivos espacios propios asociados a cada valor propio. Por lo tanto

IÈ# œ 1/8 ˜” " 

È#

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(3.3.2)

En (1.8.3) y

se determinó que: -# œ "  3

son los valores propios de E Þ

3Ñ

-" œ "  3

33 Ñ

3 ! WÐ"3Ñ œ 1/8 ˜Œ ™  ˜Œ ™ " !

WÐ"3Ñ œ 1/8 ˜Œ

3 ™ !  ˜Œ ™  " ! son los respectivos conjuntos de vectores propios asociados.

Por lo tanto

3 3 ™ IÐ"3Ñ œ 1/8 ˜Œ ™ IÐ"3Ñ œ 1/8 ˜Œ " "  son los respectivos espacios propios asociados a cada valor propio.

333 Ñ

(3.3.3) 3Ñ

33 Ñ

En (1.8.5)

se determinó que:

-" œ  # à -# œ " à -$ œ $

W#

œ 1/8˜

W" œ 1/8˜

son los valores propios de E Þ

Î " Ñ Î!Ñ ™ ˜ " ! ™  Ï $Ò Ï!Ò

Î " Ñ Î!Ñ ™ ˜ # ! ™  Ï $ Ò Ï!Ò

Î"Ñ Î!Ñ ! ™ ˜ ! ™ Ï"Ò Ï!Ò son los respectivos conjuntos de vectores propios asociados.

W$ œ 1/8˜

333 Ñ I#

Por lo tanto Î " Ñ Î " Ñ Î"Ñ ™ I" œ 1/8˜  # ™ I$ œ 1/8˜ ! ™ " œ 1/8˜ Ï $Ò Ï $ Ò Ï"Ò son los respectivos espacios propios asociados a cada valor propio.

(3.4) TEOREMA: El espacio propio I- es un subespacio vectorial de O 8 . FACULTAD DE CS. NATURALES, MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PROYECTO DE FACULTAD "ÁLGEBRA LINEAL: una propuesta metodológica de aprendizaje autónomo en página web"

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(3.5) OBSERVACIÓN: Los espacios propios se pueden expresar como conjuntos generados, lo cual confirma de que I- es subespacio vectorial de O 8 . En cambio; los conjuntos de todos los vectores propios que denotamos por W- no son subespacios vectoriales, ya que no contienen al vector !O 8 Þ (3.6) TEOREMA: Si E − `8 B 8 ÐOÑ , y -" à -# à -$ à Þ Þ Þ à -7 son valores propios distintos de E con \" à \# à \$ à Þ Þ Þ à \7 los respectivos vectores propios asociados. Entonces los vectores propios \" à \# à \$ à Þ Þ Þ à \7 son linealmente independientes.

(3.7) EJEMPLOS: (3.7.1) En (3.3.1) se determinó que: È È 3Ñ IÈ# œ 1/8 ˜” "  # • ™ y IÈ# œ 1/8 ˜” "  # • ™ " " son los respectivos espacios propios asociados a cada valor propio.

Como È # y  È # son valores propios distintos. È È ˜” "  # • , ” "  # • ™ Verifiquemos que es linealmente " " independiente. En efecto; como uno no es múltiplo del otro y SON DOS VECTORES; È È ˜” "  # • ,” "  # •™ es linealmente independiente. " " 33 Ñ

(3.7.2) 3Ñ

se determinó que: 3 3 ™ IÐ"3Ñ œ 1/8 ˜Œ ™ IÐ"3Ñ œ 1/8 ˜Œ " "  son los respectivos espacios propios asociados a cada valor propio. En (3.3.2)

y -# œ "  3 son los valores propios distintos. 3 3 ™ Verifiquemos que ˜Œ  ,Œ es linealmente independiente. " "  En efecto; como uno no es múltiplo del otro y SON DOS VECTORES; 3 ˜Œ  ,Œ  3 ™ es linealmente independiente. " " 33 Ñ

Como -" œ "  3

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(3.7.3) 3Ñ

En (3.3.3) se determinó que: Î " Ñ Î " Ñ Î"Ñ ™ ; I" œ 1/8˜  # ™; I$ œ 1/8˜ ! ™ " I# œ 1/8˜ Ï $Ò Ï $ Ò Ï"Ò son los respectivos espacios propios asociados a cada valor propio.

33 Ñ

Como -" œ  # à -# œ " à -$ œ $ son los valores propios distintos. Î " Ñ Î " Ñ Î"Ñ " ,  # , ! ™ es linealmente Ï $Ò Ï $ Ò Ï"Ò Î " Ñ Î " Ñ Î"Ñ " recordemos que ˜ , # , ! ™ Ï $Ò Ï $ Ò Ï"Ò

Verifiquemos que ˜ En efecto;

independiente. es linealmente

independiente si se verifica la siguiente propiedad: !

Î " Ñ Î " Ñ Î"Ñ " " # # ! Ï $Ò Ï $ Ò Ï"Ò

œ

Î!Ñ ! Ï!Ò

Î " Ñ Î " Ñ Î"Ñ " " # # ! Ï $Ò Ï $ Ò Ï"Ò

œ

Î!Ñ ! Ï!Ò

VERIFICACIÓN: !

" "Ñ Î " Î" " # ! Ä ! Ê Ï $ Ï! $ "Ò Por lo tanto !œ" Es decir, ˜

Ê

Ê

" " Ñ Î" $ " Ä ! Ï! ' % Ò œ#œ!Þ

Î " Ñ Î " Ñ Î"Ñ " , # , ! ™ Ï $Ò Ï $ Ò Ï"Ò

!œ"œ#œ!

! "# œ ! !  #" œ!  $!  $"  # œ ! ! #$ Ñ Î" ! !Ñ " Ä ! " ! " $ Ò Ï! ! "Ò ! #

es linealmente independiente.

(3.8) DEFINICIÓN: Sean E − `8 B 8 ÐOÑ y - valor propio de E Þ Se llama MULTIPLICIDAD GEOMÉTRICA DEL VALOR PROPIO - a la dimensión del espacio propio asociado al valor propio - . Es decir: 71 Ð-Ñ œ .37 ÐI- Ñ œ 8?63.+. ÐE  - M8 Ñ œ / ÐE  - M8 Ñ (3.9) EJEMPLOS: (3.9.1) En (3.3.1) se determinó que: È È 3Ñ IÈ# œ 1/8 ˜” "  # • ™ y IÈ# œ 1/8 ˜” "  # • ™ " " son los respectivos espacios propios asociados a cada valor propio. FACULTAD DE CS. NATURALES, MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PROYECTO DE FACULTAD "ÁLGEBRA LINEAL: una propuesta metodológica de aprendizaje autónomo en página web"

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33 Ñ

Como

È ˜” "  # • ™ "

È ˜” "  # • ™ son además linealmente " È ˜” "  # • ™ es base de IÈ . Luego: # " PÁG. 384

y

independientes; entonces

.37 IÈ# œ " Ê 71 ÐÈ #Ñ œ " Þ

È ˜” "  # •™ es base de I È . Luego:  # "

Análogamente;

.37 IÈ# œ " Ê 71 Ð  È #Ñ œ " Þ

3Ñ

se determinó que: 3 3 ™ IÐ"3Ñ œ 1/8 ˜Œ ™ IÐ"3Ñ œ 1/8 ˜Œ " "  son los respectivos espacios propios asociados a cada valor propio.

33 Ñ

Como

(3.9.2)

En (3.3.2)

˜Œ 3 ™ "

˜Œ  3 ™ son además linealmente "

y

3 independientes; entonces ˜Œ ™ es base de IÐ"3Ñ . Luego: " .37 IÐ"3Ñ œ " Ê 71 Ð"  3Ñ œ " Þ

Análogamente; .37 IÐ"3Ñ

(3.9.3) 3Ñ

33 Ñ

˜Œ  3 ™ es base de IÐ"3Ñ . Luego: " œ " Ê 71 Ð"  3Ñ œ " Þ

En (3.3.3) se determinó que: Î " Ñ Î " Ñ Î"Ñ ˜ ™ ˜ ™ ˜ " # ! ™ I# œ 1/8 ; I" œ 1/8 ; I$ œ 1/8 Ï $Ò Ï $ Ò Ï"Ò son los respectivos espacios propios asociados a cada valor propio.

Como

˜

Î " Ñ ™ " Ï $Ò

;

Î " Ñ ˜ # Ï $ Ò

linealmente independientes; entonces Luego: .37 I# œ "

Ê

y

Î"Ñ ˜ ! ™ son además Ï"Ò

Î " Ñ ˜ ™ es base de I# . " Ï $Ò

71 Ð  #Ñ œ " Þ

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˜

Análogamente; Luego: .37 I" œ "

Ê

Luego: .37 I$ œ "

Ê

es base de I" .

71 Ð"Ñ œ " Þ ˜

Análogamente;

Î " Ñ # ™ Ï $ Ò

PÁG. 385

Î"Ñ ! ™ Ï"Ò

es base de

I$ .

71 Ð$Ñ œ " Þ

(3.10) OBSERVACIÓN: (3.10.1) La multiplicidad geométrica de multiplicidad algebraica de - .

es menor o igual que la

(3.10.2) La matriz E − `8 B 8 ÐOÑ tiene 8 vectores propios linealmente independientes si y solo si la multiplicidad algebraica de cada valor propio es igual a la multiplicidad geométrica de dicho valor propio. (3.10.3)

Si - œ ! es valor propio de la matriz E − `8 B 8 ÐOÑ . Entonces la matriz E no es invertible.

(3.10.4) Hay tantos subespacios propios como valores propios diferentes.

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TEMA 4:

MATRICES SEMEJANTES

OBJETIVO OPERACIONAL: Determinar para dos matrices cualesquiera si estas son semejantes. (4.1) DEFINICIÓN: Se dice que las matrices E , F − `8 B 8 ÐOÑ son MATRICES SEMEJANTES si y solo si existe una matriz T − `8 B 8 ÐOÑ invertible tal que F œ T " ET o equivalentemente T F œ ET È# " ! y Fœ– • — " !  È# son matrices semejantes, ya que existe una matriz invertible È È T œ ”" # " #• " " tal que F œ T " ET Þ (4.2) EJEMPLOS:

Eœ”

(4.2.1)

" "

VERIFICACIÓN: 1º) Encontremos È "  # "  È# Œ " " " " ! #È # Ä ! "  " #È #

2º)

T " ET œ "# – œ

3º)

" #– "

"

T " À " ! " " ! Ä "  Œ  ! " !  #È # "  "  È # " "  È  "#  È"  " È# # # # " " ÊT œ #– " " "   " " —

#È # " È#  È" #

#

 È"  " " # ”" " — È#  "

# È#  " " ”  È#  " — #

 È# "

Por lo tanto T " ET œ –

matrices semejantes.

È# !

È#

È#

" "  È# •” " "

"  È # œ " #È # • #– " !

! — œ F à es decir  È#

"  È# • "

! —  #È # E y F son

" " "3 ! y Fœ” " " • ! "3• son matrices semejantes, ya que existe una matriz invertible 3 3 T œ” " " • tal que T F œ ET Þ

(4.2.2)

Eœ”

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VERIFICACIÓN: 1º) Encontremos T F À 3 3 "3 ! "3 "3 TF œ ” œ” •” • " " ! "3 "3 "3 • 2º) Encontremos ET À " " 3 3 "3 "3 ET œ ” œ” •” • " " " " "3 "3 • "3 "3 3º) Por lo tanto T F œ ” œ ET à es decir "3 "3 • son matrices semejantes.

E

y

F

$ # Ñ Î " Î # ! !Ñ " # " ! " ! y Fœ Ï % Ò Ï " " ! ! $Ò son matrices semejantes, ya que existe una matriz invertible " "Ñ Î " " # ! T œ Ï $ $ "Ò tal que F œ T " ET Þ (4.2.3)

Eœ

VERIFICACIÓN: 1º) Encontremos " " " Î " " # ! ! Ï $ $ " !

T " À ! !Ñ " " " ! !Ñ Î" " ! Ä ! $ " " " ! Ï! ! "Ò ' % $ ! "Ò " " " # # " !Ñ Î" ! ! $  $  $ Ñ $ Î" ! $ $ Ä ! " "$ "$  "$ ! Ä Ð ! " ! "'  #$  "' Ó Ï! ! # " " Ò Ï ! ! " "# # "Ò " # #  #  # Î Ñ Ê T " œ "' "  %  " Ï$ ' $ Ò 2º) $ # ÑÎ " " "Ñ Î #  #  # ÑÎ " " # " " # ! T " ET œ "' "  %  " Ï$ ' $ ÒÏ %  "  " ÒÏ  $ $ "Ò % % ÑÎ " " "Ñ Î % Î  "# ! ! Ñ " " " % " " # ! œ ' ! ' ! œ' Ï * Ï ! ") * ÒÏ  $ $ "Ò ! ") Ò Î # ! !Ñ " ! " ! T ET œ Ï ! ! $Ò FACULTAD DE CS. NATURALES, MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PROYECTO DE FACULTAD "ÁLGEBRA LINEAL: una propuesta metodológica de aprendizaje autónomo en página web"

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3º)

Por lo tanto T

"

matrices semejantes.

Î # ! ET œ Ï !

PÁG. 388

! " !

!Ñ ! œ F à es decir E $Ò

y F son

(4.3) EJERCICIO: Demuestre que las matrices semejantes tienen el mismo polinomio característico y los mismos valores propios. DEMOSTRACIÓN: 1º) Sean E y F matrices semejantes, es decir F œ T " ET Þ 2º) El polinomio característico de F está dado por: :Ð-Ñ œ ./> ÐF  - M Ñ œ ./> ÐT " ET  - M Ñ œ ./> ÐT " ET  T " Ð-M ÑT Ñ œ ./> ÐT " ÐE  -M ÑT Ñ œ ./> T " ./> ÐE  -M Ñ./> T œ ./>" T ./> ÐE  -M Ñ./> T œ ./> ÐE  -M Ñ 3º) Por lo tanto: :Ð-Ñ œ ./> ÐF  - M Ñ œ ./> ÐE  -M Ñ es decir, E y F tienen el mismo polinomio característico. 4º) Como el polinomio característico es el mismo, las raíces o ceros del polinomio son las mismas para E y F . Luego, tienen los mismos valores propios.

(4.4) DEFINICIÓN: Se llama TRANSFORMACIÓN DE SEMEJANZA a la transformación lineal X À `8 B 8 ÐOÑ Ä `8 B 8 ÐOÑ definida por X ÐEÑ œ T " ET (4.5) EJERCICIO: Demuestre que la transformación de semejanza es transformación lineal. DEMOSTRACIÓN: 1º) Sean E , F − `8 B 8 ÐOÑ ; ! − O . Por demostrar que: X ÐE  !FÑ œ X ÐEÑ  !X ÐFÑ 2º) En efecto: X ÐE  !FÑ œ T " ÐE  !FÑT œ T " ET  ! T " FT œ X ÐEÑ  !X ÐFÑ 3º) Por lo tanto X es transformación lineal.

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TEMA 5:

DIAGONALIZACIÓN

OBJETIVO OPERACIONAL: Construir para un espacio vectorial, una base cuyos elementos sean vectores propios. OBJETIVO OPERACIONAL: Determinar analíticamente si una transformación lineal es diagonalizable. OBJETIVO OPERACIONAL: Determinar analíticamente si una matriz es diagonalizable. (5.1) DEFINICIÓN: Sea X À Z Ä Z un operador lineal y Z espacio vectrorial de dimensión finita 8 Þ Diremos que la transformación lineal X es DIAGONALIZABLE si y solo si existe una base FZ del espacio vectorial Z ; tal que todos los vectores en dicha base son vectores propios de X .

(5.2) EJEMPLOS: (5.2.1) X À ‘# Ä ‘# definida por X ÐBß CÑ œ ÐB  Cß B  CÑ es diagonalizable, ya que F‘# œ ˜Ð"  È # ß "Ñ à Ð"  È # ß "Ñ ™ es base de ‘# formada por vectores propios de X . VERIFICACIÓN: 1º) Recordemos que ÐBß CÑ − ‘# es vector propio de X si se verifica que existe - − ‘ tal que X ÐBß CÑ œ - ÐBß CÑ ; ÐBß CÑ Á Ð!ß !Ñ 2º)

3º) 4º)

5º)

En efecto: X Ð"  È # ß "Ñ œ Ð#  È # ß È #Ñ - Ð"  È # ß "Ñ œ Ð-Ð"  È # ) ß -Ñ

Ê

- œ È# − ‘

Análogamente; X Ð"  È # ß "Ñ œ Ð#  È # ß  È #Ñ - Ð"  È # ß "Ñ œ Ð-Ð"  È # ) ß -Ñ

Ê

- œ  È# − ‘

Luego; Ð"  È # ß "Ñ es vector propio de X Þ

Luego; Ð"  È # ß "Ñ es vector propio de X Þ

6º) Además, obviamente ˜Ð"  È # ß "Ñ à Ð"  È # ß "Ñ ™ es linealmente independiente. Es decir, se tienen dos vectores linealmente independiente y .37 ‘# œ #Þ Por lo tanto, ˜Ð"  È # ß "Ñ à Ð"  È # ß "Ñ ™ es base de ‘# formada por vectores propios de X Þ FACULTAD DE CS. NATURALES, MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PROYECTO DE FACULTAD "ÁLGEBRA LINEAL: una propuesta metodológica de aprendizaje autónomo en página web"

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+ +, X À `# B " Ð‚Ñ Ä `# B " Ð‚Ñ ; definida por X Œ  œ Œ , +, 3 3 ™ es diagonalizable, ya que F`# B " Ð‚Ñ œ ˜Œ ;Œ es base de " "  `# B " Ð‚Ñ formada por vectores propios de X . VERIFICACIÓN: + 1º) Recordemos que Œ  − `# B " Ð‚Ñ es vector propio de X si se , + + + ! verifica que existe - − ‚ tal que XŒ  œ - Œ  ; Œ  Á Œ  , , , ! 2º) En efecto: 3 3" XŒ  œ Œ " 3" 3 -3 -Œ œŒ Ê - œ3" − ‚ " -  3 3º) Luego; Œ  es vector propio de X Þ " 4º) Análogamente; 3 3" XŒ œ "  Œ 3" 3 -3 -Œ œŒ Ê - œ 3" − ‚  " -  3 5º) Luego; Œ es vector propio de X Þ "  ˜Œ 3 ;Œ  3 ™ 6º) Además, obviamente es linealmente " " independiente. Es decir, se tienen dos vectores linealmente independiente 3 3 ™ y .37 `# B " Ð‚Ñ œ #Þ Por lo tanto, ˜Œ ;Œ es base de `# B " Ð‚Ñ " "  formada por vectores propios de X Þ (5.2.2)

X À ‘$ Ä ‘$ ; definida por X ÐBß Cß DÑ œ ÐB  $C  #D ß  B  #C  D ß %B  C  DÑ es diagonalizable, ya que F‘$ œ ˜Ð"ß "ß  $Ñ;Ð"ß  #ß $Ñ;Ð"ß !ß "Ñ™ es base

(5.2.3)

de ‘$ formada por vectores propios de X . VERIFICACIÓN: 1º) Recordemos que ÐBß Cß DÑ − ‘$ es vector propio de X si se verifica que existe - − ‘ tal que X ÐBß Cß DÑ œ - ÐBß Cß DÑ ; ÐBß Cß DÑ Á Ð!ß !ß !Ñ 2º) En efecto: X Ð"ß "ß  $Ñ œ Ð  #ß  #ß 'Ñ - Ð"ß "ß  $Ñ œ - Ð"ß "ß  $Ñ Ê - œ # − ‘ FACULTAD DE CS. NATURALES, MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PROYECTO DE FACULTAD "ÁLGEBRA LINEAL: una propuesta metodológica de aprendizaje autónomo en página web"

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3º) 4º)

Luego; Ð"ß "ß  $Ñ es vector propio de X Þ Análogamente; X Ð"ß  #ß $Ñ œ Ð"ß  #ß $Ñ - Ð"ß  #ß $Ñ œ - Ð"ß  #ß $Ñ Ê -œ"−‘ 5º) Luego; Ð"ß  #ß $Ñ es vector propio de X Þ 6º) Análogamente; X Ð"ß !ß "Ñ œ Ð$ß !ß $Ñ - Ð"ß !ß "Ñ œ - Ð"ß !ß "Ñ Ê -œ$−‘ 7º) Luego; Ð"ß !ß "Ñ es vector propio de X Þ ˜Ð"ß "ß  $Ñ;Ð"ß  #ß $Ñ;Ð"ß !ß "Ñ™ 8º) Además, es linealmente independiente (VERIFÍQUELO!!). Es decir, se tienen TRES vectores linealmente independientes y .37 ‘$ œ 3Þ Por lo tanto, ˜Ð"ß "ß  $Ñ;Ð"ß  #ß $Ñ;Ð"ß !ß "Ñ™ es base de ‘$ formada por vectores propios de X Þ

(5.3) DEFINICIÓN: Sea E − `8 B 8 ÐOÑ Þ Diremos que la matriz E es DIAGONALIZABLE si y solo si E es semejante a una matriz diagonal H Þ (5.4) OBSERVACIÓN: a) Notar que E es semejante a una matriz diagonal H si y solo si existe una matriz T invertible tal que H œ T " ET o T H œ ET . b) La matriz diagonal H tiene en su diagonal los valores propios -" à -# à -$ à Þ Þ Þ à -7 de la matriz E; no necesariamente todos distintos. c) La matriz T invertible tiene en sus columnas los vectores propios linealmente independientes asociados a los valores propios en el mismo orden que están dispuestos en la matriz diagonal H.

(5.5) EJEMPLO: (5.5.1)

En (4.2.1) se determinó que la matriz

Eœ”

" " matriz

" es "• diagonal

diagonalizable, ya que es semejante a una È# ! Hœ– — donde los elementos de la diagonal son los valores !  È# È È propios de EÞ Además existe una matriz T œ ” "  # "  # • " " invertible donde las columnas son los respectivos vectores propios asociados a los valores propios de EÞÞ Verifique si se cumple que H œ T " ET o equivalentemente T H œ ET . FACULTAD DE CS. NATURALES, MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PROYECTO DE FACULTAD "ÁLGEBRA LINEAL: una propuesta metodológica de aprendizaje autónomo en página web"

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VERIFICACIÓN: ”

1°) T " : Ä–

#È # !

"  È# " !  #È #

"  È# " " "

Por lo tanto; 2°)

T

"

ET

œ–

" # " #

" ! " ! Ä " • ” ! " !  #È # " " " !  "  È# #È # — Ä –! "  "  "  È# È T " œ –

" #È # "  È # #

# # "  È  "# # # "  "# — #È #

" •  "  È# "  È  "# # # " " — #È #

#

" "  È  "# " " #È # # # "  È# "  È# œ– •” • " " " —” " "  È # " " È # # # # " "  È# # ! "  È# "  È# œ È# ” • – " " — —œH È # " " !  È# # "

Por lo tanto; se verifica que:

T

ET œ H

3°) Verifique usted que T H œ ET ; que es la condición equivalente para decir que la matriz E es semejante a una matriz diagonal HÞ

(5.5.2)

En (4.2.2) se determinó que la matriz

Eœ”

" " matriz

" es " • diagonal

diagonalizable, ya que es semejante a una "3 ! Hœ” donde los elementos de la diagonal son los valores ! "3• 3 3 propios de EÞ Además existe una matriz T œ ” invertible donde " " • las columnas son los respectivos vectores propios asociados a los valores propios de EÞÞ Verifique si se cumple que T H œ ET o equivalentemente " H œ T ET . VERIFICACIÓN: 3 1º) TH œ ” " " ET œ ” " 2º)

3 "3 ! "3 "3 œ” •” • " ! "3 "3 "3 • " 3 3 "3 "3 œ " •” " " • ” "3 "3 •

Por lo tanto; se verifica que:

TH œ ”

"3 "3

"3 œ ET . "3 •

3º) Verifique usted que H œ T " ET ; que es la condición equivalente para decir que la matriz E es semejante a una matriz diagonal HÞ FACULTAD DE CS. NATURALES, MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PROYECTO DE FACULTAD "ÁLGEBRA LINEAL: una propuesta metodológica de aprendizaje autónomo en página web"

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(5.5.3) En $ Î " " # Eœ Ï % "

(4.2.3) se determinó que la matriz # Ñ " es diagonalizable, ya que es semejante a una Ò " Î # ! !Ñ ! " ! matriz diagonal H œ donde los elementos de la diagonal Ï ! Ò ! $ son los valores propios de EÞ Además existe una matriz " " " Î Ñ " # ! T œ invertible donde las columnas son los respectivos Ï $ Ò $ " vectores propios asociados a los valores propios de EÞÞ Verifique si se cumple que H œ T " ET o equivalentemente T H œ ET . VERIFICACIÓN: 1º) Encontremos " Î " " # Ï $ $ Î" Ä ! Ï!

Ê T "

2º)

! " !

# $ " $

T " À " " ! ! ! " " ! ! # $ " $

" $

 "$ # " # Î# # " œ ' " % Ï$ '

!Ñ " " " ! !Ñ Î" ! Ä ! $ " " " ! Ï! "Ò ' % $ ! "Ò " " " !Ñ Î" ! ! $  $  $ Ñ ! Ä Ð ! " ! "'  #$  "' Ó " Ò Ï ! ! " "# "Ò " # #Ñ " $ Ò

$ # ÑÎ " " "Ñ Î #  #  # ÑÎ " "  %  "  " # " "  # ! T ET œ Ï$ ÒÏ ÒÏ ' $ % " " $ $ "Ò % % ÑÎ " " "Ñ Î % Î  "# ! ! Ñ " " " % " " # ! œ ' ! ' ! œ' Ï * Ï ! ") * ÒÏ  $ $ "Ò ! ") Ò Î # ! !Ñ " ! " ! œH T ET œ Ï ! ! $Ò "

" '

Por lo tanto; se verifica que:

T

"

Î # ! ET œ Ï !

! " !

!Ñ ! œ H. $Ò

3°) Verifique usted que T H œ ET ; que es la condición equivalente para decir que la matriz E es semejante a una matriz diagonal HÞ FACULTAD DE CS. NATURALES, MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PROYECTO DE FACULTAD "ÁLGEBRA LINEAL: una propuesta metodológica de aprendizaje autónomo en página web"

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(5.6) OBSERVACIÓN: Sea E − `8 B 8 ÐOÑ Þ a) E con 8 valores propios distintos Ê E es DIAGONALIZABLE Þ b) Si los valores propios de E tienen multiplicidad algebraica mayor que 1 y la SUMA de las multiplicidades GEOMÉTRICAS de los valores propios asociados a E es igual a 8 ; entonces E es diagonalizable, donde la matriz H tendría en su diagonal a lo menos dos valores propios iguales y por consiguiente en la matriz T invertible se colocarían a lo menos dos vectores propios asociados, pero que sean linealmente independientes. c) Las representaciones matriciales de una transformación lineal; son matrices semejantes.

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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA FACULTAD DE CS. NAT., MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA SEMANA N° 10: (02 HORAS EJERCICIO) GUÍA DE ESTUDIO N° 9 1.

Determine el espacio propio asociado a cada valor propio de: # # × Ô " # $ # # # (1.1) E œ Œ (1.2) E œ $ #  Õ $ ' 'Ø % × Ô" " " " # " (1.3) E œ Œ (1.4) E œ $ # ! Õ# " "Ø 2.

Determine una base para cada espacio propio de: # # × Ô$ " "× Ô " " # " (2.1) E œ # % # (2.2) E œ Õ" " $Ø Õ " " % Ø 3.

Dada X À ‘# Ä ‘# definida por X ÐBß CÑ œ ÐBß  CÑ. Determine una base de vectores propios de X para ‘# .

4. Determine valores propios y vectores propios (si existen) de X y una base para cada espacio propio. (4.1) X À ‘# Ä ‘# definida por X ÐBß CÑ œ Ð$B  $Cß B  &CÑ (4.2) X À ‘# Ä ‘# definida por X ÐBß CÑ œ ÐCß BÑ (4.3) X À ‘$ Ä ‘$ definida por X ÐBß Cß DÑ œ ÐB  C  Dß #C  Dß #C  $DÑ

5.

En cada uno de los siguientes casos: $ (5.1) W œ ˜Ð  # ß #Ñ ß Ð& ß &Ñ™ y E œ Œ '

' $

! !× Ô( ! # % Õ! ' !Ø a) Determine si W es un conjunto linealmente independiente de vectores propios de EÞ b) Determine si E es diagonalizable. ¿Porqué? c) Si es posible; diagonalice E usando W Þ

(5.2) W œ ˜Ð  #ß !ß !Ñß Ð!ß  $ß $Ñß Ð!ß #ß $™ y E œ

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$

6. Determine si es posible una base de ‘ o ‘ según corresponda, formada por los vectores propios de: # # × Ô " # $ # # # (6.1) E œ Œ (6.2) E œ $ #  Õ $ ' 'Ø % × Ô" " " " # " (6.3) E œ Œ (6.4) E œ $ # ! Õ# " "Ø Ô& # $× Ô# " "× " # (6.5) E œ ! (6.6) E œ " # " Õ" Ø Õ" " #Ø # ! " #× Ô " Ô# # !× " (6.7) E œ  " # (6.8) E œ " $ " Õ ! Ø Õ" # $Ø " " ! !× Ô % Ô$ # %× ! # " (6.9) E œ (6.10) E œ # ! # Õ # Ø Õ% # $Ø " ! Además, en cada caso. determine: a)

Si E es diagonalizable. ¿Porqué?

b)

Si es posible; diagonalice E Þ

7. a) b) c) d) e) f)

Para cada una de las siguientes transformaciones lineales: definida por X ÐBß CÑ œ ÐBß  CÑ X À ‘ # Ä ‘# # # X À‘ Ä‘ definida por X ÐBß CÑ œ ÐBß !Ñ X À c# Ä c# definida por X Ð:ÐBÑÑ œ :ÐB  "Ñ X À ‘ # Ä ‘# definida por X ÐBß CÑ œ Ð$B  $Cß B  &CÑ # # X À‘ Ä‘ definida por X ÐBß CÑ œ ÐCß BÑ X À ‘$ Ä ‘$ definida por X ÐBß Cß DÑ œ ÐB  C  Dß #C  Dß #C  $DÑ

(7.1) Determine si X es diagonalizable. ¿Porqué? (7.2) Si es posible; encuentre una base que diagonalice X Þ

8.

Para los casos del ejercicio 6. y 7. ; que sean diagonalizables À Encuentre una matriz G tal que E o la representación matricial de X sea semejante a una matriz diagonal H; es decir H œ G " E G Þ Usando H œ G " E G ; calcule E"! Þ

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9. Dado W linealmente independiente de vectores propios de E y I es el conjunto de valores propios respectivo. Determine E Þ (9.1) W œ ˜Ð  " ß "Ñ ß Ð" ß "Ñ™ y I œ ˜  "! ß "#™ (9.2) W œ ˜Ð"ß !ß !Ñß Ð"ß "ß !Ñß Ð"ß "ß "™ y I œ ˜" ß # ß $™ (9.3) W œ ˜Ð!ß "ß !Ñß Ð"ß !ß "Ñß Ð  "ß !ß "™ y I œ ˜" ß " ß  "™ 10. Suponga que una matriz E de orden $B$ es triangular superior y que sus elementos de la diagonal son # ß " ß  & respectivamente. Demuestre que E es diagonalizable y encuentre la matriz diagonal H

11.

Demuestre que la matriz E no es diagonalizable, para: Î# " ! !Ñ Ô# $ &× Ð ! # " !Ó (11.1) E œ # $  & (11.2) E œ Ð Ó ! ! # " Õ# $ &Ø Ï! ! ! #Ò

12.

13. (13.1) (13.2)

Ô" ! Determine + para que Õ!

Dada E œ Œ

! ! +

!× " − `$B$ Ð‘Ñ sea diagonalizable. !Ø

) . Calcule E' à E* aplicando diagonalización. ! ! ) Deduzca una fórmula para determinar E8 si E œ Œ . # ! ! #

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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA FACULTAD DE CS. NAT., MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA SEMANA N° 10: (02 HORAS EJERCICIO) TALLER N° 9 1.

Determine el espacio propio asociado a cada valor propio de: " #× Ô " % % " (1.1) E œ Œ (1.2) E œ  " # " % Õ ! " "Ø Ô& % #× # % (1.3) E œ Œ (1.4) E œ % & # $ "$  Õ# # #Ø 2.

Ô" Determine una base para cada espacio propio de E œ ! Õ!

" " !

!× ! . "Ø

3. Determine valores propios y vectores propios (si existen) de X y una base para cada espacio propio. (3.1) X À ‘# Ä ‘# definida por X ÐBß CÑ œ ÐCß  BÑ (3.2) X À ‘$ Ä ‘$ definida por X ÐBß Cß DÑ œ ÐB  Cß #B  $C  #Dß B  C  #DÑ

4.

En cada uno de los siguientes casos: " ' (4.1) W œ ˜Ð"!ß !Ñ ß Ð' ß &Ñ™ y E œ Œ ! %

(4.2) W œ ˜Ð!ß  #ß !Ñß Ð"ß !ß #Ñß Ð"ß !ß  #™ y E œ

Ô! ! Õ%

! # !

"× ! !Ø

a) Determine si W es un conjunto linealmente independiente de vectores propios de EÞ b)

Determine si E es diagonalizable. ¿Porqué?

c)

Si es posible; diagonalice E usando W Þ

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5. Determine si es posible una base de ‘ formada por los vectores propios de: " #× Ô " % % " (5.1) E œ Œ (5.2) E œ  " # " % Õ ! " "Ø Ô& % #× # % (5.3) E œ Œ (5.4) E œ % & # $ "$  Õ# # #Ø % × Ô" " # & # " (5.5) E œ $ (5.6) E œ Œ & # Õ# Ø " " " ! # × Ô # ! & (5.7) E œ !  # (5.8) E œ Œ & # Õ! Ø & # Además, en cada caso: a) Determine si E es diagonalizable. ¿Porqué? b) Si es posible; diagonalice E Þ

6. a) b) c) d) e)

Para cada una de las siguientes transformaciones lineales: X À ‘ # Ä ‘# definida por X ÐBß CÑ œ Ð  Bß CÑ X À c " Ð ‘Ñ Ä c " Ð ‘ Ñ definida por X Ð+  ,BÑ œ +  ,B X À ‘$ Ä ‘$ definida por X ÐBß Cß DÑ œ ÐBß Cß !Ñ # # X À‘ Ä‘ definida por X ÐBß CÑ œ ÐCß  BÑ X À ‘$ Ä ‘$ definida por X ÐBß Cß DÑ œ ÐB  Cß #B  $C  #Dß B  C  #DÑ

(6.1) Determine si X es diagonalizable. ¿Porqué? (6.2) Si es posible; encuentre una base que diagonalice X Þ

7. Para los casos del ejercicio 5. y 6. ; que sean diagonalizables. (7.1) Encuentre una matriz G tal que E o la representación matricial de X sea semejante a una matriz diagonal H; es decir H œ G " E G , donde los elementos de H son los valores propios de E o de la representación matricial de X Þ (7.2) Usando H œ G " E G ; calcule E"! Þ

8. Dado W linealmente independiente de vectores propios de E y I es el conjunto de valores propios respectivo. Determine E Þ (8.1) W œ ˜Ð"ß "ß "Ñß Ð  $ß !ß "Ñß Ð  #ß "ß !™ y I œ ˜' ß ! ß !™ (8.2) W œ ˜Ð  "ß "ß !Ñß Ð"ß "ß !Ñß Ð!ß !ß "™ y I œ ˜  # ß # ß $™ FACULTAD DE CS. NATURALES, MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PROYECTO DE FACULTAD "ÁLGEBRA LINEAL: una propuesta metodológica de aprendizaje autónomo en página web"

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9.

10.

11.

Ô& ! Demuestre que Õ!

" & !

!× " no es diagonalizableÞ &Ø

Suponiendo que a lo menos uno de + ß ,, - es distinto de cero. Ô+ , -× + , - es diagonalizable Í +  ,  - Á ! Demuestre que À Õ+ , -Ø Determine el valor de

+ para que

diagonalizable. 12.

PÁG. 400

" Demuestre que Π"

" "

8"

œŒ

#8 #8

Ô" ! Õ!

! # !

!× " − `$B$ Ð‘Ñ sea +Ø

#8 à a 8 œ !ß "ß #ß ÞÞÞ #8 

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PRUEBA DE AUTOEVALUACIÓN N° 10:

PROBLEMA 1: Ð"Þ"Ñ

(1.4) I" œ 1/8 ˜Ð"ß !ß  #Ñß Ð!ß "ß  #Ñ™ à I"! œ 1/8 ˜Ð#ß #ß "Ñ™ Polinomio característico::Ð-Ñ œ ./> ÐE  -M$ Ñ œ  Ð-  "Ñ# Ð-  "!Ñ Ecuación característica:  Ð-  "Ñ# Ð-  "!Ñ œ ! Valores propios: - œ " à - œ "! Multiplicidad algebraica: multiplicidad algebraica # y " respectivamente Vectores propios: W" œ 1/8 ˜Ð"ß !ß  #Ñß Ð!ß "ß  #Ñ™  ˜Ð!ß !ß !Ñ™ W"! œ 1/8 ˜Ð#ß #ß "Ñ™  ˜Ð!ß !ß !Ñ™ ESPACIO PROPIO: I" œ 1/8 ˜Ð"ß !ß  #Ñß Ð!ß "ß  #Ñ™ à I"! œ 1/8 ˜Ð#ß #ß "Ñ™ TALLER N° 9: RESPUESTA:

TALLER N° 9: 2. RESPUESTA: ,+=/ I" œ ˜Ð"ß !ß !Ñß Ð!ß !ß "Ñ™ à Polinomio característico::Ð-Ñ œ ./> ÐE  -M$ Ñ œ Ð"  -Ñ$ Ecuación característica: Ð"  -Ñ$ œ ! Valores propios: - œ " Multiplicidad algebraica: multiplicidad algebraica $ Þ Vectores propios: W" œ 1/8 ˜Ð"ß !ß !Ñß Ð!ß !ß "Ñ™  ˜Ð!ß !ß !Ñ™ ESPACIO PROPIO: I" œ 1/8 ˜Ð"ß !ß !Ñß Ð!ß !ß "Ñ™ Ð"Þ#Ñ

TALLER N° 9: (3.2) RESPUESTA: ,+=/ I" œ ˜Ð  "ß !ß "Ñ™ à ,+=/ I# œ ˜Ð  #ß #ß "Ñ™ à ,+=/ I$ œ ˜Ð  "ß #ß "Ñ™ Polinomio característico::Ð-Ñ œ ./> ÐE  -M$ Ñ œ Ð"  -ÑÐ-  #ÑÐ-  $Ñ Ecuación característica: Ð"  -ÑÐ-  #ÑÐ-  $Ñ œ ! Valores propios: - œ " à - œ # à - œ $ Multiplicidad algebraica: todos tienen multiplicidad algebraica " Þ Vectores propios: W" œ 1/8 ˜Ð  "ß !ß "Ñ™  ˜Ð!ß !ß !Ñ™ W# œ 1/8 ˜Ð  #ß #ß "Ñ™  ˜Ð!ß !ß !Ñ™ à W$ œ 1/8 ˜Ð  "ß #ß "Ñ™  ˜Ð!ß !ß !Ñ™ ESPACIO PROPIO: I" œ 1/8 ˜Ð  "ß !ß "Ñ™à I# œ 1/8 ˜Ð  #ß #ß "Ñ™à I$ œ 1/8 ˜Ð  "ß #ß "Ñ™ PROBLEMA 2:

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PROBLEMA 3: TALLER N° 9: (4.1) a) RESPUESTA: WM " ' "! "! œ -" Œ Ê -" œ  " Œ ! % Œ !  !  " ' ' ' œ - # Œ  Ê -# œ % Œ ! % Œ &  & b)

RESPUESTA:

WM ; ya que existe base de ‘# formada por vectores propios de EÞ

Valores propios: - œ  " à - œ % Espacio propio: I" œ 1/8 ˜Ð"!ß !Ñ™à I% œ 1/8 ˜Ð'ß &Ñ™ ,+=/ I" œ ˜Ð"!ß !Ñ™ con multiplicidad geométrica œ .37 I" œ "à ,+=/ I% œ ˜Ð'ß &Ñ™ con multiplicidad geométrica œ .37 I4 œ ". F+=/ ./ ‘# œ ˜Ð"!ß !Ñà Ð'ß &Ñ™ c)

RESPUESTA: WM ; ya que existe una matriz diagonal H y una matriz T invertible tal que H œ T " ET " $  #& " ! "! ' "! " HœŒ T œ T œ Œ ! & " !  ! % &

PROBLEMA 4:

TALLER N° 9: RESPUESTA:

(5.5) ˜Ð  "ß "ß "Ñ;Ð  "ß %ß "Ñ;Ð"ß #ß "Ñ™

a) WM IW HM EKSR EPM ^ EFPI ; ya que existe una matriz diagonal H y una matriz T invertible tal que H œ T " ET b) ' Ñ Î # ! !Ñ Î " " "Ñ Î # # " " ! " ! " % #  " #  $ Hœ T œ T œ' Ï ! Ò Ï Ò Ï ! $ " " " $ ! $ Ò Polinomio característico::Ð-Ñ œ ./> ÐE  -M$ Ñ œ Ð"  -ÑÐ-  $ÑÐ-  #Ñ Ecuación característica: Ð"  -ÑÐ-  $ÑÐ-  #Ñ œ ! Valores propios: - œ  # à - œ " à - œ $ Multiplicidad algebraica: todos tienen multiplicidad algebraica " Þ Vectores propios: W# œ 1/8 ˜Ð  "ß "ß "Ñ™  ˜Ð!ß !ß !Ñ™ W" œ 1/8 ˜Ð  "ß %ß "Ñ™  ˜Ð!ß !ß !Ñ™ à W$ œ 1/8 ˜Ð"ß #ß "Ñ™  ˜Ð!ß !ß !Ñ™ ESPACIO PROPIO: I# œ 1/8 ˜Ð  "ß "ß "Ñ™à I" œ 1/8 ˜Ð  "ß %ß "Ñ™à I$ œ 1/8 ˜Ð"ß #ß "Ñ™ ,+=/ I# œ ˜Ð  "ß "ß "Ñ™à ,+=/ I" œ ˜Ð  "ß %ß "Ñ™à ,+=/ I$ œ ˜Ð"ß #ß "Ñ™

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PROBLEMA 5: Ð&Þ"Ñ (6.1)

TALLER N° 9: RESPUESTA:

6. b) WM ; ya que existe base de c" formada por vectores propios de X Þ

Valores propios: - œ  " à - œ " Espacio propio: I" œ 1/8 ˜B™à I" œ 1/8 ˜"™ ,+=/ I" œ ˜B™ con multiplicidad geométrica œ .37 I" œ "à ,+=/ I" œ ˜"™ con multiplicidad geométrica œ .37 I" œ ". (6.2) F+=/ ./ c" œ ˜" à B™

TALLER N° 9: RESPUESTA:

Ð&Þ#Ñ

(7.1) matriz diagonal Î # ! ! " Hœ Ï ! ! "!

(7.2) E

WM IW HM EKSR EPM ^ EFPI ; ya que existe una H y una matriz G invertible tal que H œ G " EG !Ñ ' Ñ Î " " "Ñ Î # # ! Gœ " % # G " œ "' " # $ Ï " Ï $ $Ò " "Ò ! $ Ò

Î " " œ Ï "

" % "

" ÑÎ  # # ! " ÒÏ !

TALLER N° 9: RESPUESTA:

Ð&Þ$Ñ

7. para (5.5)

! " !

!Ñ ! $Ò

"! " '

' Ñ Î # # " # $ Ï $ ! $ Ò G EPG Y PIÞ

7. para 6. b)

(7.1) WM IW HM EKSR EPM ^ EFPI ; ya que existe una matriz diagonal H y una matriz G invertible tal que H œ G " EG " ! La representación matricial de X es Œ considerando la base ! " canónica de c" . " ! ! " ! " HœŒ àG œŒ à G " œ Œ ! " " ! " ! (7.2)

"!

E

! œŒ "

" " Œ ! !

! !  Œ " " "!

" œ M# !

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PROBLEMA 6: Ð'Þ"Ñ

TALLER N° 9: RESPUESTA:

(8.2)

Î! Eœ # Ï!

# ! !

!Ñ ! $Ò

1°)

Î # ! W es base de ‘ ; H œ Ï !

2°)

T " œ

Ð'Þ#Ñ

TALLER N° 9: 9. RESPUESTA: R S IW HM EKSR EPM ^ EFPI ; ya que no existe base de ‘$ formada por vectores propios de EÞ

$

" #

Î " " Ï !

" " !

! # !

!Ñ Î " ! àT œ " Ò Ï $ !

" " !

!Ñ ! "Ò

!Ñ ! Ê E œ T HT " #Ò

Polinomio característico::Ð-Ñ œ ./> ÐE  -M$ Ñ œ Ð&  -Ñ$ Ecuación característica: Ð&  -Ñ$ œ ! Valores propios: - œ & con multiplicidad algebraica œ $ Espacio propio: I& œ 1/8 ˜Ð"ß !ß !Ñ™ ,+=/ I& œ ˜Ð"ß !ß !Ñ™ con multiplicidad geométrica œ .37 I& œ "à F+=/ ./ ‘$ no existe con vectores propios de EÞ

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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA FACULTAD CS. NAT., MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA JUEVES 14 DE JUNIO DE 2007: 11:15 - 12:35 CONTROL N° 2: ÁLGEBRA LINEAL (MAT-605) NOMBRE_______________________________SECCIÓN__14__ PROFESOR__CARLOS SEPÚLVEDA BUSTAMANTE__ (4.1)

(4.2)

TOTAL

PUNTAJE PREGUNTA 4: (4.1) Considere la transformación lineal X À ‘$ Ä ‘$ ; definida por X ÐBß Cß DÑ œ ÐB  $C  #D ß  B  #C  D ß %B  C  DÑ Encuentre SOLAMENTE los valores propios de la transformación lineal X . (4.2) Considere la matriz E œ Œ

$ " # % Determine una base para el espacio propio asociado a cada valor propio de EÞ PONDERACIONES:

(4.1) = 07 (4.2) = 08 PUNTOS. TIEMPO: 20 minutos.

JUSTIFIQUE DETALLADAMENTE EL DESARROLLO ANALÍTICO DE CADA UNA DE SUS RESPUESTAS!!

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PAUTA CONTROL N° 2: ÁLGEBRA LINEAL (MAT-605) SECCIÓN__14__ PREGUNTA 4: (4.1) SOLUCIÓN: 1º) - es valor propio de X si y solo si b ÐBß Cß DÑ Á Ð!ß !ß !Ñ tal que X ÐBß Cß DÑ œ -ÐBß Cß DÑ # 2º) X ÐBß Cß DÑ œ -ÐBß Cß DÑ Ê ÐB  $C  #D ß  B  #C  D ß %B  C  DÑ œ Ð- Bß - Cß - DÑ es decir: B  $C  #D œ - B Ê Ð"  -ÑB  $C  #D œ !  B  #C  D œ - C  B  Ð#  -ÑC  D œ ! %B  C  D œ - D %B  C  Ð"  -ÑD œ ! $ # Ô"×Ô B × Ô ! × ÔB× Ô!× " #" C œ ! con C Á ! " Ê Õ % ØÕ ÕD Ø Õ!Ø " "D Ø Õ!Ø 3º) Luego, para determinar los valores propios de X resolvemos la siguiente ecuación característica: $ # Ô"× " #" ./> œ ! por fila 2: Õ % " "-Ø œ ./>Œ

$ "

# " Ð#  -Ñ./>Œ "- %

# " ./>Œ "- %

$ "

œ  Ð"  $-Ñ  Ð#  -ÑÐ-#  *Ñ  Ð-  "$Ñ œ Ð#  -ÑÐ-#  *Ñ  "#  %œ Ð#  -ÑÐ-  $ÑÐ-  $Ñ  %Ð$  -Ñ œ Ð-  $ÑÐ  -#  -  #Ñ œ  Ð-  $ÑÐ-#  -  #Ñ œ  Ð-  $ÑÐ-  #ÑÐ-  "Ñ œ ! # 4º) Por lo tanto, los valores propios son -" œ  # à -# œ " à -$ œ $ # (4.2) SOLUCIÓN: 1º) VALORES PROPIOS: a) Para determinar los valores propios de E resolvemos la siguiente ecuación característica: $" ./> ÐE  - M# Ñ œ ./> Œ œ Ð$  -ÑÐ%  -Ñ  # " # %- œ -#  (-  "! œ Ð-  #ÑÐ-  &Ñ œ ! b) Luego, los valores propios son: -" œ # à -# œ & " FACULTAD DE CS. NATURALES, MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PROYECTO DE FACULTAD "ÁLGEBRA LINEAL: una propuesta metodológica de aprendizaje autónomo en página web"

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2º) a)

b)

ESPACIOS PROPIOS: Para -" œ # ; resolvemos: " " " " CÁ! " Œ# # Ä Œ! ! Ê B œ  C Por lo tanto, el conjunto de vectores propios es: W# œ 1/8 ˜Ð  "ß "Ñ™  ˜Ð!ß !Ñ™ " y el espacio propio es I# œ 1/8 ˜Ð  "ß "Ñ™ y una base es ˜Ð  "ß "Ñ™ (ya que además es L.I) " Para -" œ & ; resolvemos: # " "  "# " Ä " Œ # Œ ÊBœ #C CÁ!  " ! ! Por lo tanto, el conjunto de vectores propios es: W& œ 1/8 ˜Ð "# ß "Ñ™  ˜Ð!ß !Ñ™ œ 1/8 ˜Ð"ß #Ñ™  ˜Ð!ß !Ñ™ " y el espacio propio es I& œ 1/8 ˜Ð"ß #Ñ™ y una base es ˜Ð"ß #Ñ™ (ya que además es L.I) "

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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA MI 13122006 FACULTAD CS. NAT., MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA CONTROL N° 2: ÁLGEBRA LINEAL (MAT-605) NOMBRE_______________________________SECCIÓN 1 4 PROFESOR CARLOS SEPÚLVEDA BUSTAMANTE PREGUNTA

1

2

3

NOTA

PUNTAJE Sea X À ‘# Ä ‘# una transformación lineal definida por X ÐB ß CÑ œ Ð#B ß B  CÑÞ (1.1) Encuentre (SI EXISTEN) los valores y vectores propios de X . (1.2) Encuentre (SI EXISTE) una base de ‘# formada por vectores propios de X Þ (1.3) Es X diagonalizable. Por qué? 1.

Sea X À ‘$ Ä ‘# una transformación lineal definida por X ÐBß Cß DÑ œ ÐB  #C  D ß B  C  D Ñ. (2.1) Determine el O/< ÐX Ñ. (2.2) Determine una base del O/< ÐX Ñ. (2.3) Determine la M 7 ÐX Ñ. (2.4) Determine una base de la M 7 ÐX Ñ. (2.5) A partir de la base de O/< ÐX Ñ, construya agregando vectores adecuados a una base de ‘$ . DEMUESTRE LO CONSTRUÍDO!!

2.

Sea X À c" Ð‘Ñ Ä ‘# una transformación lineal definida por X Ð+  ,BÑ œ Ð+ ß +  ,ÑÞ (3.1) Encuentre la representación matricial de X respecto de las bases: Fc Ð‘Ñ œ ˜"  B ß "™ F # œ ˜Ð"ß "Ñ ß Ð"ß  "Ñ™

3.

‘

"

(3.2) Determine si X es una biyección. De serlo, encuentre: a) X " Ð" ß  "ÑÞ b) la fórmula que define X " .

NO HAY CONSULTAS !! PONDERACIONES:

1. = 2. = 3. = 20 PUNTOS.

NOTA = (PUNTAJE / 10) + 1

TIEMPO: 80 minutos

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PAUTA DE CORRECCIÓN CONTROL N° 2: SECCIÓN 14 PROBLEMA 1:

RESPUESTA:

(1.1) VALORES PROPIOS DE X À

X ÐBß CÑ œ -ÐBß CÑ Ê Ð#B ß B  CÑ œ Ð-Bß -CÑ à ÐBß CÑ Á Ð!ß !Ñ obteniéndose el siguiente sistema de ecuaciones: #B œ -B Ê Ð#  -ÑB œ!

B  C œ -C

B  Ð"  -ÑC œ !

Polinomio característico:

:Ð-Ñ œ ./> Œ

! œ Ð#  -ÑÐ"  -Ñ "- Ecuación característica: Ð#  -ÑÐ"  -Ñ œ ! Valores propios: - œ " à - œ # #"

a)

VECTORES PROPIOS DE E À PARA - œ ": reemplazar en

b)

PARA - œ #: reemplazar en

Œ

#! B ! œ Œ  y resolver Œ  " "C ! " ! " ! Œ" ! Ä Œ! ! Ê B œ ! à C Á ! El conjunto de vectores propios para - œ " es: W" œ 1/8 ˜Ð!ß "Ñ™  ˜Ð!ß !Ñ™ Œ

#! B ! œ Œ  y resolver Œ  " "C ! ! ! " " ÊBœC à CÁ! Œ"  " Ä Œ! !  El conjunto de vectores propios para - œ # es: W# œ 1/8 ˜Ð"ß "Ñ™  ˜Ð!ß !Ñ™

‘# dada por ˜Ð!ß "Ñà Ð"ß "Ñ™ está formada por vectores propios de X Þ (ya que son dos vectores PÞM Þ y .37 ‘# œ #) (1.2) Una base de

(1.3) Si es diagonalizable, ya que existe una base de ‘# dada por ˜Ð!ß "Ñà Ð"ß "Ñ™ formada por vectores propios de X Þ FACULTAD DE CS. NATURALES, MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PROYECTO DE FACULTAD "ÁLGEBRA LINEAL: una propuesta metodológica de aprendizaje autónomo en página web"

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PROBLEMA 2:

RESPUESTA:

(2.1) O/< ÐX Ñ œ ˜ÐBß Cß DÑ − ‘$ Î X ÐBß Cß DÑ œ Ð!ß !Ñ™

X ÐBß Cß DÑ œ Ð!ß !Ñ Ê ÐB  #C  D ß B  C  D Ñ œ Ð!ß !Ñ obteniéndose el siguiente sistema de ecuaciones:

B  #C  D œ ! BCD œ! " # " " # " " ! " ÄŒ ÄŒ Œ"   " " ! $ ! ! " ! ÊBœ D à Cœ! . O/< ÐX Ñ œ ˜Ð  Dß !ß DÑ Î D − ‘™ œ 1/8 ˜Ð  "ß !ß "Ñ™ Por lo tanto:

(2.2) F+=/ O/< ÐX Ñ œ ˜Ð  "ß !ß "Ñ™ (ya que es además PÞM Þ ) (2.3) M 7 ÐX Ñ

Por lo tanto:

œ ˜ÐB  #C  D ß B  C  D Ñ − ‘# Î Bß Cß D − ‘™ œ ˜BÐ"ß "Ñ  CÐ  #ß "Ñ  DÐ"ß "Ñ ÎBß Cß D − ‘™ œ 1/8 ˜Ð"ß "Ñà Ð  #ß "Ñà Ð"ß "Ñ™ œ 1/8 ˜Ð"ß "Ñà Ð  #ß "Ñ™ œ ‘# M 7 ÐX Ñ œ ‘#

(2.4) ˜Ð"ß "Ñà Ð  #ß "Ñ™ o bien ˜Ð"ß !Ñ ; Ð!ß "Ñ™ (ya que es además PÞM Þ )

(2.5) ˜Ð  "ß !ß "Ñà Ð"ß !ß !Ñà Ð!ß "ß !Ñ™ es base de ‘$ .

En efecto, como .37 ‘$ œ $ß verifiquemos que son PÞPÞ À

Î " " Ï !

! ! "

"Ñ Î" ! Ä ! Ï! !Ò

! " !

!Ñ ! Ê!œ"œ#œ! "Ò

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PROBLEMA 3: RESPUESTA: (3.1) 1ª) X Ð"  BÑ œ Ð"ß #Ñ à X Ð"Ñ œ Ð"ß "Ñ 2ª) Ð"ß #Ñ œ !" Ð"ß "Ñ  "" Ð"ß  "Ñ

Ð"ß "Ñ œ !# Ð"ß "Ñ  "# Ð"ß  "Ñ Luego:

! "  "" œ " Ê ! " œ ! "  "" œ #

$ #

à "" œ 

" #

! #  "# œ " Ê ! # œ " à " " œ ! ! #  "# œ " 3ª)

Por lo tanto, la representación matricial es: $ " !" !# œ #" Œ"  " ""  # !

(3.2) 1ª) O/< ÐX Ñ œ ˜+  ,B − c" Î X Ð+  ,BÑ œ Ð!ß !Ñ™

X Ð+  ,BÑ œ Ð!ß !Ñ Ê Ð+ß +  ,Ñ œ Ð!ß !Ñ

obteniéndose el siguiente sistema de ecuaciones:

+œ! Ê+œ,œ! +, œ! Por lo tanto: O/< ÐX Ñ œ ˜!c" ™ Ê 8?63.+. ÐX Ñ œ ! X es inyectiva. 2ª) .37 c" œ 8?63.+. ÐX Ñ  Ñ œ !Ð"ß !ß !ß !Ñ  " Ð"ß "ß !ß !Ñ  # Ð!ß  "ß  "ß !Ñ  -Ð!ß !ß #ß #Ñ son ! œ ____________________ " œ ____________________ # œ ____________________ - œ ____________________ à y se dice entonces que E es _________________________________________ 4.

(4.2) Como .37 ‘% œ _____ ; por (4.1) E es __________________________ (4.3) El valor de los escalares ! ; " tal que !Ð"ß !ß #ß  "Ñ  " Ð$ß !ß %ß  #Ñ œ Ð!ß !ß !ß !Ñ son ! œ _____ " œ _____ à y se dice entonces que F es _______________________________________ (4.4) ESCRIBA extendiendo F a una base de ‘% , considerando los vectores de E ___________________________________________________ 5. El valor de los escalares (SI EXISTEN) ! ; " ; # tal que " " " " " " " " ” #  $ • œ !” " " •  " ” ! " •  # ” ! ! • son ! œ ______ " œ ______ # œ ______ à y se dice entonces que la " " matriz ” _______________________________________________ # $• 6. Demuestre lo siguiente: Sea Z un espacio vectorial sobre el cuerpo O Ð ‘ à ‚ Ñ. Si F œ ˜@" ß @# ß Þ Þ Þ ß @8 ™ es una BASE de Z . Entonces existen únicos escalares !" ß !# ß Þ Þ Þ ß !8 − O tal que para todo @ − Z @ œ ! !3 @3 8

se tiene que:

3œ"

7.

Las coordenadas :ÐBÑ œ B$  'B#  #B  % con respecto a la base

Î Ð Ð F œ ˜"ß Bß $# B#  "# ß &# B$  $# ™ son: c B$  'B#  #B  % dF œ Ð Ð Ï

Ñ Ó Ó Ó Ó Ò

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8 (5.1) La matriz de transición o matriz de cambio de base; de la base " " " " " " ! ! ™ F" œ ˜” ß” ß” ß” a la base • • • " " " " ! ! " "• F# œ ˜”

" "

" " ß” • " "

(8.2) Con @ œ ”

(8.3)

F#

( ÒEÓ F ) " "

" %

" " ß” • ! !

" " ß” • ! !

F# ! ™ es ÒEÓ F • ! "

Î Ð Ð œÐ Ð Ï

F# $ , el resultado de Ò@Ó F œ ÒEÓ F Ò@Ó F • & # " "

Î Ð Ð œÐ Ð Ï

Ñ Î Ó F Ð Ó Ð " ÓÒEÓ F œ Ð Ó Ð # Ò

Ï

Ñ Ó Ó Ó Ó

Î Ð Ð œÐ Ð Ï

Ò

Ñ Ó Ó Ó Ó Ò

Ñ Ó Ó Ó Ó Ò

9. Sea X À ‘# Ä ‘# la función definida por X ÐBß CÑ œ ÐB ß B  DÑ (9.1) SOLAMENTE ESCRIBA la propiedad que debería cumplirse para que X sea una transformación lineal ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ (9.2) El valor de D œ ________ , para que X sea transformación lineal. (9.3) El valor de D Á ________ , para que X no sea transformación lineal. 10. Sea Y À ‘# Ä ‘# la función definida por Y ÐB ß CÑ œ ÐB ß -9= CÑ (10.1) SOLAMENTE ESCRIBA la propiedad que debería cumplirse para que Y sea una transformación lineal ________________________________________________________________ (10.2) El valor de Y Ð! ß !Ñ œ ________ Þ (10.3) Con el cálculo de (10.2) que puede decir de la función Y ? ________________________________________________________________ 11. Si X Ð"ß !ß !Ñ œ Ð#ß !Ñ à X Ð!ß #ß !Ñ œ Ð"ß  "Ñ à X Ð!ß !ß $Ñ œ Ð#ß  "Ñ (11.1) El valor de los escalares ! ; " ; # tal que ÐBß Cß DÑ œ !Ð"ß !ß !Ñ  " Ð!ß #ß !Ñ  # Ð!ß !ß $Ñ son ! œ ______ " œ ______ # œ ______ (11.2) La fórmula que verifica las condiciones del enunciado es X ÐBß Cß DÑ œ Ð_________________ , _________________Ñ (11.3) X Ð"ß "ß "Ñ œ Ð______ , ______Ñ FACULTAD DE CS. NATURALES, MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PROYECTO DE FACULTAD "ÁLGEBRA LINEAL: una propuesta metodológica de aprendizaje autónomo en página web"

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12. Sea X À Z Ä Z tal que X Ð@Ñ œ @ à @ − Z ; (12.1) O/< ÐX Ñ œ _____________(12.2) Base O/< ÐX Ñ œ ________________ (12.3) nulidad de X œ _________(12.4)rango de X œ __________________ 13. Sea X À ‘$ Ä ‘# tal que X ÐBß Cß DÑ œ Ð#B  $C  D ß B  %DÑ (13.1) O/< ÐX Ñ œ _____________(13.2) Base O/< ÐX Ñ œ ________________ (13.3) nulidad de X œ _________(13.4)rango de X œ __________________ 14.

Se sabe que:

X Ð"  B  B#  B$ Ñ œ ”

" " " à X Ð"  B  B# Ñ œ ” • " " ! • " " " ! X Ð"  BÑ œ ” à X Ð  "Ñ œ ” ! " • " !• (14.1) El valor de los escalares ! ; " ; # à - tal que +  ,B  -B#  .B$ œ œ !Ð"  B  B#  B$ Ñ  " Ð"  B  B# Ñ  # Ð"  BÑ  -Ð  "Ñ son ! œ ______ " œ ______ # œ ______ - œ ___________________________ (14.2) La fórmula que verifica las condiciones del enunciado es " "

X Ð+  ,B  -B#  .B$ Ñ œ Œ

________________ ________________

(14.3) O/< ÐX Ñ œ ______________ (14.5) rango de X œ __________

________________ ________________ 

(14.4) nulidad de X œ ___________ (14.6) M 7 ÐX Ñ œ _________________

15. Sea X À ‚# Ð‘Ñ Ä ‚# Ð‘Ñ definida por X ÐD" ß D# Ñ œ Ð 3 D# ß Ð"  3Ñ D" Ñ ˜Ð" ß !Ñ à Ð3ß !ÑÑ à Ð!ß "Ñ à Ð!ß 3Ñ ™ ,+=/ /=:+-39 ./ :+3.+ ˜Ð"  3 ß "  3Ñ à Ð"  3ß "ÑÑ à Ð"  3ß !Ñ à Ð"ß !Ñ ™ ,+=/ /=:+-39 ./ 66/1+.+ (15.1) SOLAMENTE ESCRIBA la propiedad que debería cumplirse para que X sea una transformación lineal ____________________________________ ________________________________________________________________ (15.2) X Ð! ß !Ñ œ ________ (15.3) X es X ÞPÞ ? _________ . JUSTIFIQUE. (15.4) X Ð"ß !Ñ œ Ð______ , ______Ñ X Ð3ß !Ñ œ Ð______ , ______Ñ X Ð!ß "Ñ œ Ð______ , ______Ñ X Ð!ß 3Ñ œ Ð______ , ______Ñ F#

(15.5) La representación matricial de X es ÒX Ó F

"

Î Ð Ð œÐ Ð Ï

Ñ Ó Ó Ó Ó Ò

Sea Y À ‘# Ä ‘# definida por Y ÐB ß CÑ œ ÐB ß -9= CÑ ˜Ð"ß !Ñß Ð!ß  "Ñ™ à ˜Ð"ß  #Ñß Ð"ß  "Ñ™ (16.1) SOLAMENTE ESCRIBA la propiedad que debería cumplirse para que Y sea una transformación lineal ________________________________________________________________ (16.2) Y Ð! ß !Ñ œ _______ (16.3) Y es X ÞPÞ ? _________ . JUSTIFIQUE. 16.

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#

17. Sea X À ‚ Ð‘Ñ Ä ‚ Ð‘Ñ definida por X ÐD" ß D# Ñ œ Ð 3 D# ß Ð"  3Ñ 2. (17.1) Como O/< ÐX Ñ œ ________ se dice de X que _________________ (17.2) Como M 7 ÐX Ñ œ ________ se dice de X que _________________ (17.3) De (17.1) y (17.2) se dice de X que __________________________ (17.4) La fórmula X " ÐD" ß D# Ñ œ Ð________________ , ________________Ñ (17.5) ESCRIBA con todos sus elementos la transformación lineal inversa. ________________________________________________________________ 18.

Se sabe que:

X Ð"  B  B#  B$ Ñ œ ”

" " " à X Ð"  B  B# Ñ œ ” • " " ! • " " " ! X Ð"  BÑ œ ” à X Ð  "Ñ œ ” ! " • " !• (18.1) La fórmula de la transformación lineal que verifica lo anterior es " "

X Ð+  ,B  -B#  .B$ Ñ œ Œ

________________ ________________ ________________ ________________  _______ _______ (18.2) X Ð"  B  B# Ñ œ Œ _______ _______ 

(18.3) Como O/< ÐX Ñ œ ________ se dice de X que _________________ (18.4) Como M 7 ÐX Ñ œ ________ se dice de X que _________________ (18.5) De (18.3) y (18.4) se dice de X que __________________________ + , (18.6) X " Œ œ ___________________________________ - . (18.7) ESCRIBA con todos sus elementos la transformación lineal inversa. ________________________________________________________________ 19.

Sea

X À `# B # Ð‘Ñ Ä c$ Ð‘Ñ la T.L. definida por: + , X Д Ñ œ Ð+  ,Ñ  Ð-  .ÑB  Ð+  .ÑB#  Ð,  -ÑB$ - .• (19.1) Como O/< ÐX Ñ œ ________ se dice de X que _________________ (19.2) Como V+819 ÐX Ñ œ ________ se dice de X que _______________ (19.3) De (19.1) o (19.2) se dice de X que __________________________ 20.

Sea

(20.1) (20.2) (20.3) (20.4)

X À c$ Ð‘Ñ Ä `# B # Ð‘Ñ la T.L. definida por: +, -. X ÐÐ+  , B  - B#  . B$ Ñ œ ” +- ,.• Como O/< ÐX Ñ œ ________ se dice de X que _________________ Como M 7 ÐX Ñ œ ________ se dice de X que _________________ De (20.1) y (20.2) se dice de X que __________________________ + , X " Œ œ _____________________________________________ - .

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CURSO DE ÁLGEBRA LINEAL PARA PÁGINA WEB UTEM. PROFESOR RESPONSABLE: CARLOS A. SEPÚLVEDA BUSTAMANTE ‡ X ‘F ; donde F # $™

PÁG. 429

(20.5) La representación matricial de X dada por F ß F ‡ ; son respectivamente: F œ ˜"  B ß # ß B  B ß B F ‡ œ ˜”

" "

" " ß” • " "

" " ß” • ! !

" " ß” • ! !

Î Ð ! ™ Ð es Ð • ! Ð Ï

y

las bases Ñ Ó Ó Ó Ó Ò

21.

% × Î " Ñ Ô" " " #  " ; entonces el (21.1) Si es vector propio de E œ $ Õ# Ï "Ò " "Ø valor propio es - œ ____ . (21.2) Valores propios de E son: ____________ (21.3) Los conjuntos de vectores propios asociados a cada valor propio: ________________________________________________________________ (21.4) ESCRIBA (si es posible) una base de ‘$ que tenga vectores propios de E ___________________________________________________ 22. Sea X À c" Ð‘Ñ Ä c" Ð‘Ñ la T.L. definida por X Ð+  ,BÑ œ +  ,B (22.1) Los valores propios de X son: _______________________________ (22.2) Los conjuntos de vectores propios asociados a cada valor propio: ________________________________________________________________ " #× Ô " " 23. Sea E œ  " # . Õ ! " "Ø (23.1) ./> ÐE  -M Ñ œ _____________________________________________ (23.2) El polinomio característico :Ð-Ñ œ _____________________________ (23.3) La ecuación característica es _________________________________ (23.4) Los valores propios de E son: _______________________________ (23.5) Las multiplicidades algebraicas respectivas son _________________ (23.6) Los conjuntos de vectores propios asociados a cada valor propio: ________________________________________________________________ Î (23.7) Al evaluar E en el polinomio característico resulta Ð Ï

Ò

" % # $ (24.1) Un polinomio para el cual la matriz es una raíz es :ÐBÑ œ __________ (24.2) Los valores propios de E son: _______________________________ (24.3) Los conjuntos de vectores propios asociados a cada valor propio: ________________________________________________________________ 24.

Dada

EœŒ

Ñ Ó

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#

(24.4) Valores propios de:a )E son __________ b) E son __________ c) E$ son ___________ d) &E son __________ # -3 œ __________ #

(24.5) ./> E œ __________

;

3œ"

! -3 œ __________ #

(24.6) >Ñ œ !Ð"ß !ß !ß !Ñ  " Ð"ß "ß !ß !Ñ  # Ð!ß  "ß  "ß !Ñ  -Ð!ß !ß #ß #Ñ son ! œ B  C  D  > " œ C  D  > # œ >  D - œ "# > à y se dice entonces que E es _____KIR IVEHSV HI ‘% _______ (4.2) Como .37 ‘% œ __%__ ; por (4.1) E es _____FEWI HI ‘% ________ (4.3) El valor de los escalares ! ; " tal que !Ð"ß !ß #ß  "Ñ  " Ð$ß !ß %ß  #Ñ œ Ð!ß !ß !ß !Ñ son ! œ __!__ " œ __!__ à y se dice entonces que F es PM R IEPQ IR X I M R HIT IR HM IR X I 4.

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(4.4) ESCRIBA extendiendo F a una base de ‘ , considerando los vectores de E _˜Ð"ß !ß #ß  "Ñß Ð$ß !ß %ß  #Ñß Ð"ß "ß !ß !Ñß Ð!ß  "ß  "ß !Ñ™__ %

5. El valor de los escalares (SI EXISTEN) ! ; " ; # tal que " " " " " " " " ” #  $ • œ !” " " •  " ” ! " •  # ” ! ! • son ! œ __R S _ " œ __R S __ # œ __R S __ à y se dice entonces que la " " " " " " " " ™ matriz ” __  1/8 ˜” ß ß __ # $• " "• ”! "• ”! !• 6. Demuestre lo siguiente: Sea Z un espacio vectorial sobre el cuerpo O Ð ‘ à ‚ Ñ. Si F œ ˜@" ß @# ß Þ Þ Þ ß @8 ™ es una BASE de Z . Entonces existen únicos escalares !" ß !# ß Þ Þ Þ ß !8 − O tal que para todo @ − Z @ œ ! !3 @3 8

se tiene que:

3œ"

7.

Las coordenadas :ÐBÑ œ B$  'B#  #B  % con respecto a la base

Î & Ð # Ð $ # " & $ $™ $ # ˜ F œ "ß Bß # B  # ß # B  # son: c B  'B  #B  % dF œ Ð Ð % Ï #& "$

Ñ Ó Ó Ó Ó Ò

8 (8.1) La matriz de transición o matriz de cambio de base; de la base " " " " " " ! ! ™ F" œ ˜” ß ß ß a la base " "• ” " " • ”! !• ” " "• " ! " Ñ Î" F " " " " " " " ! ™ Ð ! # ! #Ó # F# œ ˜” ß ß ß esÒEÓ F œ Ð Ó " "• ”" !• ”! !• ”! !• ! ! " " " Ï! # ! ! Ò (8.2) Con @ œ ”

(8.3)

F#

( ÒEÓ F ) " "

" %

F# $ , el resultado de Ò@Ó F œ ÒEÓ F Ò@Ó F • & # " "

Î " Ð Ð ! œ ÐÐ Ð ! Ï !

" #

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" #

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



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Ñ Ó Ó F" Ó œ ÒEÓ Ó Ó F#

Î & Ð * Ð œÐ Ð ( Ï %

Ñ Ó Ó Ó Ó Ò

Ò

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#

9. Sea X À ‘ Ä ‘ la función definida por X ÐBß CÑ œ ÐB ß B  DÑ (9.1) SOLAMENTE ESCRIBA la propiedad que debería cumplirse para que X sea una transformación lineal a ÐB" ß C" Ñß ÐB# ß C# Ñ − ‘# à a ! − ‘ Ê X ÐÐB" ß C" Ñ  ! ÐB# ß C# ÑÑ œ X ÐB" ß C" Ñ  ! X ÐB# ß C# Ñ_________________ (9.2) El valor de D œ __!__ , para que X sea transformación lineal. (9.3) El valor de D Á __!__ , para que X no sea transformación lineal. 10. Sea Y À ‘# Ä ‘# la función definida por Y ÐB ß CÑ œ ÐB ß -9= CÑ (10.1) SOLAMENTE ESCRIBA la propiedad que debería cumplirse para que Y sea una transformación lineal a ÐB" ß C" Ñß ÐB# ß C# Ñ − ‘# à a ! − ‘ Ê Y ÐÐB" ß C" Ñ  ! ÐB# ß C# ÑÑ œ Y ÐB" ß C" Ñ  ! Y ÐB# ß C# Ñ________________ (10.2) El valor de Y Ð! ß !Ñ œ __Ð!ß "Ñ__ Þ (10.3) Con el cálculo de (10.2) que puede decir de la función Y ? _____ Y no es transformaciön lineal, ya que Y Ð! ß !Ñ Á Ð! ß !Ñ___________ 11. Si X Ð"ß !ß !Ñ œ Ð#ß !Ñ à X Ð!ß #ß !Ñ œ Ð"ß  "Ñ à X Ð!ß !ß $Ñ œ Ð#ß  "Ñ (11.1) El valor de los escalares ! ; " ; # tal que ÐBß Cß DÑ œ !Ð"ß !ß !Ñ  " Ð!ß #ß !Ñ  # Ð!ß !ß $Ñ son ! œ __B__ " œ __ "# C__ # œ __ "$ D __ (11.2) La fórmula que verifica las condiciones del enunciado es X ÐBß Cß DÑ œ Ð#B  "# C  #$ D ,  "# C  "$ DÑ & (11.3) X Ð"ß "ß "Ñ œ Ð "* ' ,  'Ñ 12. Sea X À Z Ä Z tal que X Ð@Ñ œ @ à @ − Z ; ˜ ™ (12.1) O/< ÐX Ñ œ __ ! __ (12.2) Base O/< ÐX Ñ œ __R S X M IR I __ (12.3) nulidad de X œ __!_ (12.4)rango de X œ ___.37 Z __ 13. Sea X À ‘$ Ä ‘# tal que (13.1) O/< ÐX Ñ œ 1/8 ˜Ð  %ß $ß "Ñ™ (13.3) nulidad de X œ _"_ 14.

X ÐBß Cß DÑ œ Ð#B  $C  D ß B  %DÑ (13.2) Base O/< ÐX Ñ œ ˜Ð  %ß $ß "Ñ™ (13.4)rango de X œ __#__

Se sabe que:

X Ð"  B  B#  B$ Ñ œ ”

" " " à X Ð"  B  B# Ñ œ ” • " " ! • " " " ! X Ð"  BÑ œ ” à X Ð  "Ñ œ ” ! " • " !• (14.1) El valor de los escalares ! ; " ; # à - tal que +  ,B  -B#  .B$ œ œ !Ð"  B  B#  B$ Ñ  " Ð"  B  B# Ñ  # Ð"  BÑ  -Ð  "Ñ son ! œ __. __ " œ __.  - __ # œ __,  - __ - œ __  +  ,  #-  #. __ (14.2) La fórmula que verifica las condiciones del enunciado es " "

X Ð+  ,B  -B#  .B$ Ñ œ Œ

 +  #,  %-  %. +  ,  $-  %.

 ,  #-  #. ,-. 

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(14.3) O/< ÐX Ñ œ ˜Œ

! ! ™ (14.4) nulidad de X œ __!__ ! ! (14.5) rango de X œ __%__ (14.6) M 7 ÐX Ñ œ ___`#B# __

PÁG. 437

15. Sea X À ‚# Ð‘Ñ Ä ‚# Ð‘Ñ definida por X ÐD" ß D# Ñ œ Ð 3 D# ß Ð"  3Ñ D" Ñ ˜Ð" ß !Ñ à Ð3ß !ÑÑ à Ð!ß "Ñ à Ð!ß 3Ñ ™ ,+=/ /=:+-39 ./ :+3.+ ˜Ð"  3 ß "  3Ñ à Ð"  3ß "ÑÑ à Ð"  3ß !Ñ à Ð"ß !Ñ ™ ,+=/ /=:+-39 ./ 66/1+.+ (15.1) SOLAMENTE ESCRIBA la propiedad que debería cumplirse para que X sea una transformación lineal a ÐD" ß D# Ñß ÐD$ ß D% Ñ − ‚# à a ! − ‘ Ê X ÐÐD" ß D# Ñ  ! ÐD$ ß D% ÑÑ œ X ÐD" ß D# Ñ  ! X ÐD$ ß D% Ñ_______ (15.2) X Ð! ß !Ñ œ __Ð! ß !Ñ__ (15.3) X es X ÞPÞ ? __WM __ . JUSTIFIQUE. (15.4) X Ð"ß !Ñ œ Ð! , "  3Ñ X Ð3ß !Ñ œ Ð! ,  "  3Ñ X Ð!ß "Ñ œ Ð3 , !Ñ X Ð!ß 3Ñ œ Ð  " , !Ñ " ! ! Ñ Î " F# # ! ! Ó Ð ! (15.5) La representación matricial ÒX Ó œ Ð Ó F" " " " ! Ï ! ! " "Ò Sea Y À ‘# Ä ‘# definida por Y ÐB ß CÑ œ ÐB ß -9= CÑ ˜Ð"ß !Ñß Ð!ß  "Ñ™ à ˜Ð"ß  #Ñß Ð"ß  "Ñ™ (16.1) SOLAMENTE ESCRIBA la propiedad que debería cumplirse para que Y sea una transformación lineal a ÐB" ß C" Ñß ÐB# ß C# Ñ − ‘# à a ! − ‘ Ê Y ÐÐB" ß C" Ñ  ! ÐB# ß C# ÑÑ œ Y ÐB" ß C" Ñ  ! Y ÐB# ß C# Ñ_____ (16.2) Y Ð! ß !Ñ œ _Ð! ß "Ñ_ (16.3) Y es X ÞPÞ ? __R S __; YA QUE Y Ð! ß !Ñ Á _Ð! ß !Ñ.

16.

17. Sea X À ‚# Ð‘Ñ Ä ‚# Ð‘Ñ definida por X ÐD" ß D# Ñ œ Ð 3 D# ß Ð"  3Ñ 2. (17.1) Como O/< ÐX Ñ œ _˜Ð!ß !Ñ™_ se dice de X que _/= 38C/->3@+_ (17.2) Como M 7 ÐX Ñ œ _‚# БÑ_ se dice de X que _/= =9,3@+_ (17.3) De (17.1) y (17.2) se dice de X que _/= ,3C/->3@+_ (17.4) La fórmula X " ÐD" ß D# Ñ œ Ð "# Ð"  3Ñ D# ,  3 D" Ñ (17.5) ESCRIBA con todos sus elementos la transformación lineal inversa. X " À ‚# Ð‘Ñ Ä ‚# Ð‘Ñ definida por: X " ÐD" ß D# Ñ œ Ð "# Ð"  3ÑD# ß  3 D" Ñ 18.

Se sabe que:

X Ð"  B  B#  B$ Ñ œ ” X Ð"  BÑ œ ”

" !

" " •

" "

" " à X Ð"  B  B# Ñ œ ” " • " à X Ð  "Ñ œ ”

" "

" ! • ! !•

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(18.1) La fórmula de la transformación lineal que verifica lo anterior es  +  #,  %-  %.  ,  #-  #. X Ð+  ,B  -B#  .B$ Ñ œ Œ +  ,  $-  %. ,-.  $ " (18.2) X Ð"  B  B# Ñ œ Œ $ ! (18.3) Como O/< ÐX Ñ œ _˜!c$ ™_ se dice de X que _/= 38C/->3@+_ (18.4) Como M 7 ÐX Ñ œ _`#B# _ se dice de X que _/= =9,3@+_ (18.5) De (18.3) y (18.4) se dice de X que _/= ,3C/->3@+_ + , (18.6) X " Œ œ - . Ð  +  #,Ñ  Ð,  #.ÑB  Ð  +  ,  -  #.ÑB#  Ð  +  -  .ÑB$ (18.7) ESCRIBA con todos sus elementos la transformación lineal inversa. X " À c$ Ä `#B# definida por: + , X " ÐŒ Ñœ - . œ Ð  +  #,Ñ  Ð,  #.ÑB  Ð  +  ,  -  #.ÑB#  Ð  +  -  .ÑB$ 19.

X À `# B # Ð‘Ñ Ä c$ Ð‘Ñ la T.L. definida por: , Ñ œ Ð+  ,Ñ  Ð-  .ÑB  Ð+  .ÑB#  Ð,  -ÑB$ .• " " ™ (19.1) O/< ÐX Ñ œ 1/8˜” se dice de X _89 /= 38C/->3@+_ " "• (19.2) Como V+819 ÐX Ñ œ _$_ se dice de X que _89 /= =9,3@+_ (19.3) De (19.1) o (19.2) se dice de X que _89 /= ,3C/->3@+_ 20.

Sea

+ X Д -

Sea

X À c$ Ð‘Ñ Ä `# B # Ð‘Ñ la T.L. definida por: +, -. X ÐÐ+  , B  - B#  . B$ Ñ œ ” +- ,.• (20.1) Como O/< ÐX Ñ œ _˜!c$ ™_ se dice de X que _/= 38C/->3@+_ (20.2) Como M 7 ÐX Ñ œ `# B # Ð‘Ñ se dice de X que /= =9,3@+ (20.3) De (20.1) y (20.2) se dice de X que _ /= ,3C/->3@+_ + , (20.4) X " Œ œ "# Ð+  ,  -  .Ñ  "# Ð+  ,  -  .ÑB  - .  "# Ð+  ,  -  .ÑB#  "# Ð+  ,  -  .ÑB$ F‡ (20.5) La representación matricial de X dada por X ‘F ; donde las bases F ß F ‡ ; son respectivamente: F œ ˜"  B ß # ß B  B# ß B$ ™ y " " " " " " " ! ™ F ‡ œ ˜” ß” ß” ß” es • • • " " " ! ! ! ! !• ! " "Ñ Î " ‡ ! #  # " Ó X ‘F œ ÐÐ Ó F " # # " Ï # # ! " Ò FACULTAD DE CS. NATURALES, MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PROYECTO DE FACULTAD "ÁLGEBRA LINEAL: una propuesta metodológica de aprendizaje autónomo en página web"

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21.

% × Î " Ñ Ô" " " #  " ; entonces el es vector propio de E œ $ Õ# Ï "Ò " "Ø valor propio es - œ _  #_ . (21.2) Valores propios de E son: _  # à " à $_ (21.3) Los conjuntos de vectores propios asociados a cada valor propio: W# œ 1/8 ˜Ð"ß  "ß "Ñ™  ˜Ð!ß !ß !Ñ™à W" œ 1/8˜Ð  "ß %ß "Ñ™  ˜Ð!ß !ß !Ñ™à W$ œ 1/8 ˜Ð"ß #ß "Ñ™  ˜Ð!ß !ß !Ñ™ (21.4) ESCRIBA (si es posible) una base de ‘$ que tenga vectores propios de E ˜Ð"ß  "ß "Ñà Ð  "ß %ß "Ñà Ð"ß #ß "Ñ™ (21.1) Si

22. Sea X À c" Ð‘Ñ Ä c" Ð‘Ñ la T.L. definida por X Ð+  ,BÑ œ +  ,B (22.1) Los valores propios de X son: __  " à "__ (22.2) Los conjuntos de vectores propios asociados a cada valor propio: W" œ 1/8 ˜B™  ˜!™à W" œ 1/8˜"™  ˜!™à

" #× Ô " " # " . Õ ! Ø " " (23.1) ./> ÐE  -M Ñ œ __Ð-  "ÑÐ"  -ÑÐ-  #Ñ__ (23.2) El polinomio característico :Ð-Ñ œ __Ð-  "ÑÐ"  -ÑÐ-  #Ñ__ (23.3) La ecuación característica es __Ð-  "ÑÐ"  -ÑÐ-  #Ñ œ !__ (23.4) Los valores propios de E son: __  " à " à #__ (23.5) Las multiplicidades algebraicas respectivas son __"__ (23.6) Los conjuntos de vectores propios asociados a cada valor propio: W" œ 1/8 ˜Ð"ß !ß "Ñ™  ˜Ð!ß !ß !Ñ™à W" œ 1/8 ˜Ð$ß #ß "Ñ™  ˜Ð!ß !ß !Ñ™ à W# œ 1/8 ˜Ð"ß $ß "Ñ™  ˜Ð!ß !ß !Ñ™ Î! ! !Ñ (23.7) Al evaluar E en el polinomio característico resulta ! ! ! Ï! ! !Ò 23.

Sea E œ

" % # $ (24.1) Un polinomio para el cual la matriz es una raíz es :ÐBÑ œ B#  %B  & (24.2) Los valores propios de E son: __  " à &__ (24.3) Los conjuntos de vectores propios asociados a cada valor propio: __W" œ 1/8 ˜Ð  #ß "Ñ™  ˜Ð!ß !Ñ™à W& œ 1/8 ˜Ð"ß "Ñ™  ˜Ð!ß !Ñ™__ (24.4) Valores propios de:a )E> son _  " à &_ b) E# son _" à #&_ c) E$ son _  " à "#&_ d) &E son _  & à #&_ 24.

Dada

EœŒ

# -3 œ & #

(24.5) ./> E œ &

;

! -3 œ % #

(24.6) > ÐE  - M# Ñ œ Ð"  -ÑÐ3  -Ñ œ -#  Ð"  3Ñ-  3 (4.2) a) Los valores propios de E son: __" à 3__

#

b) Los valores propios de E> son: __" à 3__

#

c) Los valores propios de E#$ son: __" à  3__

#

(4.3) Calcule E

"!!$

Î œÐ Ï

" !

" 3

Ñ Ó Ò

(

NO HAY CONSULTAS !! PONDERACIONES:

1. = 2. = 3. = 4. = 15 PUNTOS.

NOTA = (PUNTAJE / 10) + 1

TIEMPO: 2 horas.

JUSTIFIQUE DETALLADAMENTE SUS RESPUESTAS, EN LAS PÁGINAS EN BLANCO DONDE ESTÁ IMPRESA ESTA PRUEBA !!

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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA VI 22122006 FACULTAD CS. NAT., MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

PAUTA DE CORRECCIÓN PRUEBA PARCIAL N° 2: ÁLGEBRA LINEAL 1. (1.1) ! œ __+  ,__ ; " œ __,  - __ ; # œ __- __ SOLUCIÓN:

+  ,B  -B# œ ! Ð"Ñ  " Ð"  BÑ  # Ð"  B  B# Ñ Ê # # +  ,B  -B œ Ð!  "  # Ñ  Ð"  # ÑB  Ð# ÑB Ê !" # œ + Ê ! œ +,à " œ , -à # œ "# œ, #œ(1.2) X Ð"  B  B# Ñ œ ____Ð# ß "Ñ_____ SOLUCIÓN: "  B  B# œ # Ð"Ñ  !Ð"  BÑ  Ð  "ÑÐ"  B  B# Ñ Ê # X Ð"  B  B Ñ œ X Ð# Ð"Ñ  !Ð"  BÑ  Ð  "ÑÐ"  B  B# ÑÑ como X es transformación lineal X Ð"  B  B# Ñ œ # X Ð"Ñ  X Ð"  B  B# Ñ X Ð"  B  B# Ñ œ # Ð" ß "Ñ  Ð! ß "Ñ œ Ð# ß "Ñ (1.3) X Ð+  ,B  -B# Ñ œ ___Ð+  - ß +  ,  -Ñ___ SOLUCIÓN: +  ,B  -B# œ Ð+  ,ÑÐ"Ñ  Ð,  -ÑÐ"  BÑ  -Ð"  B  B# Ñ X Ð+  ,B  -B# Ñ œ X ÐÐ+  ,ÑÐ"Ñ  Ð,  -ÑÐ"  BÑ  -Ð"  B  B# ÑÑ

como X es transformación lineal X Ð+  ,B  -B# Ñ œ Ð+  ,ÑX Ð"Ñ  Ð,  -ÑX Ð"  BÑ  -X Ð"  B  B# Ñ como X es transformación lineal

X Ð+  ,B  -B# Ñ œ Ð+  ,ÑÐ"ß "Ñ  Ð,  -ÑÐ"ß !Ñ  -Ð!ß "Ñ Por lo tanto: X Ð+  ,B  -B# Ñ œ Ð+  - ß +  ,  -Ñ FACULTAD DE CS. NATURALES, MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PROYECTO DE FACULTAD "ÁLGEBRA LINEAL: una propuesta metodológica de aprendizaje autónomo en página web"

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2.

(2.1) _______œ”

+ " " / + − ‘ œ 1/8œ” ________ • ! ! ! •

+ !

SOLUCIÓN:

X Д

+ , Ñ œ Ð!ß !ß !Ñ Ê - .• Ð +  ,  -  . ß +  ,  - ß +  , Ñ œ Ð!ß !ß !Ñ +  ,  -  . œ ! Ê + œ ,à - œ !à . œ ! +,œ! +, œ!

Ê

Luego, la solución es: œ”

+ -

œ œ”

, − `# B # Ð‘Ñ / + œ , à - œ ! à . œ ! .•

+ " " / + − ‘ œ 1/8œ” • ! ! ! • " " (2.2) ,+=/ ./6O/< ÐX Ñ œ œ” y ÐE  - M$ Ñ œ ./> , por fila 1: Õ # Ø # ## œ Ð&  -)-  (-  '‘  #!Ð-  "Ñ œ Ð&  -)Ð-  'ÑÐ-  "Ñ  #!Ð-  "Ñ œ Ð-  "ÑÐ&  -ÑÐ-  'Ñ  #!‘ œ  Ð-  "ÑÐ-#  ""-  "!Ñ œ  Ð-  "ÑÐ-  "ÑÐ-  "!Ñ œ Ð-  "Ñ# Ð"!  - Ñ 2º) Ð-  "Ñ# Ð"!  - Ñ œ ! Ê - œ " - œ "! ; valores propios FACULTAD DE CS. NATURALES, MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PROYECTO DE FACULTAD "ÁLGEBRA LINEAL: una propuesta metodológica de aprendizaje autónomo en página web"

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(3.2) I" œ 1/8 ˜Ð"ß !ß  #Ñ ß Ð!ß "ß  #Ñ™ à I"! œ 1/8 ˜Ð#ß #ß "Ñ™ SOLUCIÓN: a) Para - œ ": Ô% % #× Ô# # "× % % # Ä ! ! ! Ê D œ  #B  #C Õ# # "Ø Õ! ! !Ø I" œ 1/8 ˜Ð"ß !ß  #Ñ ß Ð!ß "ß  #Ñ™ b) Para - œ "!: % # × " % × Ô & Ô" Ô" !  #× % & # ") Ä ! * Ä ! " # Õ # Õ! Õ! ! #  )Ø *  ") Ø ! Ø Ê B œ # D à C œ #D à I"! œ 1/8 ˜Ð#ß #ß "Ñ™

(3.3) ˜Ð"ß !ß  #Ñ ß Ð!ß "ß  #Ñ ß Ð# ß # ß "Ñ™ SOLUCIÓN: Como .37 ‘$ œ $ß verificar que son linealmente independientes: Î" !  #Ñ Î" !  #Ñ Î" !  #Ñ ! " # Ä ! " # Ä ! " # Ï# # Ï! # Ï! ! " Ò & Ò * Ò ! ! Ñ ! # Ñ Î " Î " " ! Ó ! " # Ó (3.4) H œ Ð ! T œÐ Ï ! Ï # ! "! Ò # " Ò 4. (4.1) ./> ÐE  - M# Ñ œ ___Ð"  -ÑÐ3  -Ñ__ SOLUCIÓN: "3 ./> Œ œ Ð"  -ÑÐ3  -Ñ ! 3- (4.2) a) " à 3 b) " à 3 SOLUCIÓN: -#$ œ 3#$ œ Ð3% Ñ& 3# 3 œ  3

c) " à  3

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(4.3) E

"!!$

Î œÐ Ï

" !

" 3

Ñ Ó

PÁG. 461

Ò

SOLUCIÓN: 1º) - œ " à - œ 3 son los valores propios de EÞ 2º) ESPACIOS PROPIOS: ! 3 ! " a) Para - œ " : Œ! 3  " Ä Œ! ! Ê C œ ! Luego: I" œ 1/8 ˜Ð"ß !Ñ™ b) Para - œ 3 : 3 "3 3 " "3 "3 3 " "3 "  "# Ð"  3Ñ "3 ÄŒ Œ ! ÄŒ ÄŒ  ! ! ! ! ! ! ! Ê B œ "# Ð"  3Ñ CÞ Luego: I3 œ 1/8 ˜Ð "# Ð"  3Ñß "Ñ™ " ! " "# Ð"  3Ñ "  "# Ð"  3Ñ " 3º) H œ Œ T œ T œ Œ  Œ  ! 3 ! " ! "

T " À

" "# Ð"  3Ñ " ! " ! "  "# Ð"  3Ñ Œ ÄŒ  ! " ! " ! " ! " 4º) H œ T " ET Ê E œ T HT "

" Œ!

3 3

"!!$

" œ !

"!!$

"  "# Ð"  3Ñ " !  "  ! 3   ! " " "# Ð"  3Ñ " ! "  "# Ð"  3Ñ œ "  " œ Œ!  3   ! "  !  3  ! " " # Ð"

 3Ñ

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PRUEBA PARCIAL N° 2: ÁLGEBRA LINEAL NOMBRE________________________________________ RUT ___________________________ SECCIÓN _______

PREGUNTA PUNTAJE

1

2

3

4

NOTA

POR FAVOR: SEA ORDENADO EN DESARROLLO DE SUS RESPUESTAS.

EL

NO SERÁN CONSIDERADAS LAS RESPUESTAS CUYO DESARROLLO ESTÉ DESORDENADO!! (los cálculos que correspondan con DOS DECIMALES BIEN APROXIMADOS) ESCRIBA CLARAMENTE !!

LEA ESTAS INSTRUCCIONES: A) A continuación se le presentan 4 problemas, de los cuales; en algunos de estos se requiere un desarrollo para obtener su respuesta y ser registrada en lo que se ha dispuesto para este efecto. Por consiguiente, cuando corresponda, el desarrollo debe registrarlo EN LAS PÁGINAS EN BLANCO DE ESTAS HOJAS DETRÁS DE DONDE ESTÁ IMPRESA LA PRUEBA, indicando claramente a qué pregunta corresponde. B) NO SERÁN CONSIDERADAS LAS RESPUESTAS CUYO DESARROLLO ESTÉ DESORNADO!! C) No se permite otro tipo de hoja en el desarrollo de la prueba. D) ESCRIBA CLARAMENTE SU RESPUESTA !! E) LA PRUEBA DEBE PERMANECER CORCHETEADA !! F) SE PERMITE EL USO DE CALCULADORA !! (PARA QUE HAGA LOS CÁLCULOS). ________________________________________________________________ FACULTAD DE CS. NATURALES, MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PROYECTO DE FACULTAD "ÁLGEBRA LINEAL: una propuesta metodológica de aprendizaje autónomo en página web"

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1.

$

#

Sea X À ‘ Ä ‘ una transformación lineal definida por X ÐB ß C ß D Ñ œ ÐB  C  D ß  # B  # C  # D Ñ

(1.1) La dimensión del O/< ÐX Ñ es ________________________ (1.2) Una base de la M 7 ÐX Ñ es __________________________ (1.3) A partir de la base de M 7 ÐX Ñ , una base de ‘# es _____________________________________________________ (1.4) ¿ Es X inyectiva ? ( ¿ POR QUÉ ? ) _____________________________________________________ (1.5) ¿ Es X sobreyectiva ? ( ¿ POR QUÉ ? ) _____________________________________________________ 2. Sea. X À `# B # Ð‘Ñ Ä ‘% definida por:

X Д

+ -

, Ñ œ Ð+  ,  -  . ß +  ,  - ß +  , ß + Ñ .•

La representación matricial de X ORDENADA para `# B # БÑ

F" œ œ ”

" "

" " ß” • " "

" " ß” • ! !

respecto de la base

" " ß” • ! !

! ! •

y la base ORDENADA para ‘%

F# œ ˜Ð"ß "ß "ß "Ñ ß Ð"ß "ß "ß !Ñß Ð"ß "ß !ß !Ñß Ð"ß !ß !ß !Ñ™

es:

F#

ÒX Ó F

"

Î Ð Ð œÐ Ð Ï

Ñ Ó Ó Ó Ó Ò

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3.

Ô" Sea E œ $ Õ#

% × "  "Ø

" # "

PÁG. 464

(3.1) Los valores propios de E son ________________________ (3.2) Los espacios propios asociados son respectivamente:

_____________________________________________________

_____________________________________________________

_____________________________________________________ (3.3) Una base de vectores propios (SI EXISTE) para ‘$ es:

____________________________________________________ (3.4) Una matriz diagonal H y una matriz T (SI EXISTEN) tal que DIAGONALICE la matriz E son:

Î HœÐ Ï

(3.5) El cálculo de T H T

Ñ Î Ó T œÐ Ò

"

es

Î Ð Ï

Ï

Ñ Ó Ò

Ñ Ó . Ò

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4.

Y À `# B # Ð‘Ñ Ä `# B # БÑ

Sea

definida por

Y ÐEÑ œ E F #

(4.1) Calcule:

Y Д

(4.2) La fórmula

B Y Д D

C Ñœ >•

(4.3) Calcule:

Y

B Д D

" Ñœ " •

" "

_______ Π_______

Y " Д

(4.4) La fórmula "

la transformación lineal " " ; tal que F œ Œ " ! 

C Ñœ >•

" "



_______ _______ 

" Ñœ " •

_______ Π_______



_______ _______ 

NO HAY CONSULTAS !! PONDERACIONES:

1. = 2. = 3. = 4. = 15 PUNTOS.

NOTA = (PUNTAJE / 10) + 1

TIEMPO: 2 horas.

JUSTIFIQUE DETALLADAMENTE SUS RESPUESTAS, EN LAS PÁGINAS EN BLANCO DONDE ESTÁ IMPRESA ESTA PRUEBA !!

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PAUTA DE CORRECCIÓN PRUEBA PARCIAL N° 2: ÁLGEBRA LINEAL Sea X À ‘$ Ä ‘# una transformación lineal definida por X ÐB ß C ß D Ñ œ ÐB  C  D ß  # B  # C  # D Ñ

1.

(1.1) La dimensión del O/< ÐX Ñ es ________#____________ (1.2) Una base de la M 7 ÐX Ñ es ______˜Ð"ß  #Ñ™__________ (1.3) A partir de la base de M 7 ÐX Ñ , una base de ‘# es ______________˜Ð"ß  #Ñà Ð"ß !Ñ™_______________ (1.4) ¿ Es X inyectiva ? ( ¿ POR QUÉ ? ) ____NO, YA QUE O/< ÐX Ñ Á ˜Ð!ß !ß !Ñ™____ (1.5) ¿ Es X sobreyectiva ? ( ¿ POR QUÉ ? ) ____NO, YA QUE M7 ÐX Ñ Á ‘# ____ 2. Sea. X À `# B # Ð‘Ñ Ä ‘% definida por:

X Д

+ -

, Ñ œ Ð+  ,  -  . ß +  ,  - ß +  , ß + Ñ .•

La representación matricial de X ORDENADA para `# B # БÑ

" F" œ œ ” "

" " ß "• ”"

" " ß !• ”!

respecto de la base

" " ß !• ”!

! ! •

F# œ ˜Ð"ß "ß "ß "Ñ ß Ð"ß "ß "ß !Ñß Ð"ß "ß !ß !Ñß Ð"ß !ß !ß !Ñ™

y la base ORDENADA para ‘% es:

F#

ÒX Ó F

"

Î " Ð " Ð œÐ Ð " Ï "

" " " !

" " ! !

" ! ! !

Ñ Ó Ó Ó Ó Ò

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3.

Ô" Sea E œ $ Õ#

" # "

% × "  "Ø

PÁG. 467

(3.1) Los valores propios de E son ____  # à " à $______ (3.2) Los espacios propios asociados son respectivamente:

I# œ 1/8 ˜Ð  "ß "ß "Ñ™ à I" œ 1/8 ˜Ð  "ß %ß "Ñ™à I$ œ 1/8 ˜Ð"ß #ß "Ñ™

(3.3) Una base de vectores propios (SI EXISTE) para ‘$ es: ˜Ð  "ß "ß "Ñà Ð  "ß %ß "Ñà Ð"ß #ß "Ñ™ _______ (3.4) Una matriz diagonal H y una matriz T (SI EXISTEN) tal que DIAGONALICE la matriz E son:

Î # ! Hœ Ï !

!Ñ Î  "  " "Ñ ! " % # T œ Ï " $Ò " "Ò % Ñ Î"  " $ # " . (3.5) El cálculo de T H T " es Ï# "  "Ò 4.

! " !

Y À `# B # Ð‘Ñ Ä `# B # БÑ

Sea

definida por

Y ÐEÑ œ E F #

(4.1) Calcule:

Y Д

" "

(4.2) La fórmula

Y Д

B D

C C ÑœŒ • > >

(4.3) Calcule:

Y " Д

la transformación lineal " " ; tal que F œ Œ " ! 

" " ÑœŒ • " "

! !

BC D>  " "

" ! ÑœŒ • " !

"  "

(4.4) La fórmula

Y " Д

B D

C BC ÑœŒ • > D>

B D

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SEMANA N° 13: UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA VI 29062007 FACULTAD CS. NAT., MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

PRUEBA RECUPERATIVA: ÁLGEBRA LINEAL NOMBRE________________________________________ RUT ___________________________ SECCIÓN _______

PREGUNTA PUNTAJE

1

2

3

4

NOTA

POR FAVOR: SEA ORDENADO EN DESARROLLO DE SUS RESPUESTAS.

EL

NO SERÁN CONSIDERADAS LAS RESPUESTAS CUYO DESARROLLO ESTÉ DESORDENADO!! (los cálculos que correspondan con DOS DECIMALES BIEN APROXIMADOS) ESCRIBA CLARAMENTE !!

LEA ESTAS INSTRUCCIONES: A) A continuación se le presentan 4 problemas, de los cuales; en algunos de estos se requiere un desarrollo para obtener su respuesta y ser registrada en lo que se ha dispuesto para este efecto. Por consiguiente, cuando corresponda, el desarrollo debe registrarlo EN LAS PÁGINAS EN BLANCO DE ESTAS HOJAS DETRÁS DE DONDE ESTÁ IMPRESA LA PRUEBA, indicando claramente a qué pregunta corresponde. B) NO SERÁN CONSIDERADAS LAS RESPUESTAS CUYO DESARROLLO ESTÉ DESORNADO!! C) No se permite otro tipo de hoja en el desarrollo de la prueba. D) ESCRIBA CLARAMENTE SU RESPUESTA !! E) LA PRUEBA DEBE PERMANECER CORCHETEADA !! F) SE PERMITE EL USO DE CALCULADORA !! (PARA QUE HAGA LOS CÁLCULOS). FACULTAD DE CS. NATURALES, MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PROYECTO DE FACULTAD "ÁLGEBRA LINEAL: una propuesta metodológica de aprendizaje autónomo en página web"

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PROBLEMA 1: Considere Z œ ‘  (reales positivos) y el cuerpo O œ ‘ con la suma vectorial ww Š ww y producto escalar ww  ww definido por

a ! − ‘ ß a Bà C − ‘  À B Š C œ BC

à

!  B œ B!

(1.1) Calcule el resultado de:

a) Ð" Š "Ñ  # œ __#__

# b)  Ð  "Ñ  $ ‘ Š # œ __ $ __

c) Ð" Š !Ñ  # œ __R S_

% d)  Ð" Š "Ñ  # ‘  Ð  Ð  "Ñ  $ ‘ Š # Ñ œ __ * __ " -Î? SOLAMENTE ESCRIBA para este caso particular, la propiedad de:

(1.2) la operación  está bien definida para que Z œ ‘  sea espacio vextorial sobre el cuerpo O œ ‘ .

a ! − ‘ ß a B − ‘ À

$

!  B − ‘

_______________________________________________________ (1.3) distributividad del escalar para que vextorial sobre el cuerpo O œ ‘ .

Z œ ‘  sea espacio

a ! − ‘ ß a B à C − ‘  À !  ÐB Š CÑ œ Ð!  BÑ Š Ð!  CÑ

% _______________________________________________________ (1.4) El NEUTRO ADITIVO / (SI EXISTE) es

/ œ _"_

%

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PROBLEMA 2: Sea

X À c# Ä ‘# una transformación lineal que

verifica: X Ð" Ñ œ Ð" ß "Ñ à X Ð"  B Ñ œ Ð" ß !Ñ à X Ð"  B  B# Ñ œ Ð! ß "Ñ (2.1) Los escalares (SI EXISTEN) !, " , # − ‘ tal que

+  ,B  -B# œ ! Ð"Ñ  " Ð"  BÑ  # Ð"  B  B# Ñ son ! œ __+  , __ ; " œ __,  - __ ; # œ __- __

$

(2.2) El cálculo de X Ð"  B  B# Ñ es _Ð# ß

&

"Ñ_

(2.3) La fórmula que define a la transformación lineal X está dada por

X Ð+  ,B  -B# Ñ œ __Ð+  - ß +  ,  -Ñ__

(

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PROBLEMA 3: Sea

Ô! # !× Eœ # ! ! Õ! ! $Ø

(3.1) Los valores propios de E son

%

# à # à $

(3.2) Los espacios propios asociados son respectivamente:

I# œ 1/8 ˜Ð  "ß "ß !Ñ™

#

I# œ 1/8 ˜Ð"ß "ß !Ñ™

#

I$ œ 1/8 ˜Ð!ß !ß "Ñ™

#

_____________________________________________________

_____________________________________________________

_____________________________________________________

(3.3) Una matriz diagonal H y una matriz T (SI EXISTEN) tal que DIAGONALICE la matriz E determinan que:

Î # ! H œÐ Ï !

! # !

#

! Ñ Î " ! ÓÐ " T œ Ï ! $ Ò

" " !

$

! Ñ ! Ó " Ò

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PROBLEMA 4: Sean

y

[" œ ˜ÐBß Cß Dß AÑ − ‘% ÎB  #C  $D  A œ ! • $B  C  &D  A œ !™ [# œ ˜ÐBß Cß Dß AÑ − ‘% Î#B  C  A œ !™

subespacios vectoriales de ‘% .

˜Ð"ß !ß !ß  #Ñà Ð!ß "ß !ß  "Ñà Ð!ß !ß "ß !Ñ™

$

˜Ð  "ß #ß "ß !Ñ™

'

(4.1) Un conjunto finito de vectores que genere a [# es

_______________________________________________________ (4.2) Una base para ["  [# es _______________________________________________________

'

(4.3) .37 Ð["  [# Ñ œ __%__

NO HAY CONSULTAS !! PONDERACIONES:

1. = 2. = 3. = 4. = 15 PUNTOS.

NOTA = (PUNTAJE / 10) + 1

TIEMPO: 90 MINUTOS.

JUSTIFIQUE DETALLADAMENTE SUS RESPUESTAS, EN LAS PÁGINAS EN BLANCO DONDE ESTÁ IMPRESA ESTA PRUEBA !! FACULTAD DE CS. NATURALES, MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PROYECTO DE FACULTAD "ÁLGEBRA LINEAL: una propuesta metodológica de aprendizaje autónomo en página web"

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PAUTA DE CORRECCIÓN PRUEBA RECUPERATIVA ÁLGEBRA LINEAL (SEM 1-2007) PROBLEMA 1: (1.1) SOLUCIÓN: a) Ð" Š "Ñ  # œ Ð"Ñ  # œ #" œ #

# b)  Ð  "Ñ  $ ‘ Š # œ  $" ‘ Š # œ  "$ ‘ Š # œ $ c) Ð" Š !Ñ  # œ no està definido, ya que !  ‘  d) Ð" Š "Ñ  #‘  ÐÐ  "Ñ  $‘ Š #Ñ œ #‘  Ð # Ñ œ Ð # Ñ# œ % $ $ * (1.2) SOLUCIÓN:

a ! − ‘ ß a B − ‘ À

!  B − ‘

(1.3) SOLUCIÓN:

a ! − ‘ ß a B à C − ‘  À !  ÐB Š CÑ œ Ð!  BÑ Š Ð!  CÑ (1.4) SOLUCIÓN: El NEUTRO ADITIVO / (SI EXISTE) cumple que

a B − ‘  ß b x / − ‘  À ÐB Š /Ñ œ Ð/ Š BÑ œ B I\MWX IR G ME À ÐB Š /Ñ œ B Ê B/ œ B Ê / œ " ß B − ‘  Ð/ Š BÑ œ B Ê /B œ B Ê / œ " ß B − ‘  luego; existe / œ " − ‘  ÐY R MG MHEH À Supongamos que existe otro /‡ − ‘  À Ð/ Š /‡ Ñ œ / Ê //‡ œ / Ê /‡ œ " Þ Luego /‡ œ / Ñ PROBLEMA 2: (2.1) SOLUCIÓN:

+  ,B  -B# œ ! Ð"Ñ  " Ð"  BÑ  # Ð"  B  B# Ñ Ê +  ,B  -B# œ Ð!  "  # Ñ  Ð"  # ÑB  Ð# ÑB# Ê !" # œ + Ê ! œ +,à " œ , -à # œ "# œ, #œ-

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(2.2) SOLUCIÓN: "  B  B# œ # Ð"Ñ  !Ð"  BÑ  Ð  "ÑÐ"  B  B# Ñ Ê X Ð"  B  B# Ñ œ X Ð# Ð"Ñ  !Ð"  BÑ  Ð  "ÑÐ"  B  B# ÑÑ como X es transformación lineal X Ð"  B  B# Ñ œ # X Ð"Ñ  X Ð"  B  B# Ñ X Ð"  B  B# Ñ œ # Ð" ß "Ñ  Ð! ß "Ñ œ Ð# ß "Ñ (2.3) SOLUCIÓN: +  ,B  -B# œ Ð+  ,ÑÐ"Ñ  Ð,  -ÑÐ"  BÑ  -Ð"  B  B# Ñ X Ð+  ,B  -B# Ñ œ X ÐÐ+  ,ÑÐ"Ñ  Ð,  -ÑÐ"  BÑ  -Ð"  B  B# ÑÑ

como X es transformación lineal X Ð+  ,B  -B# Ñ œ Ð+  ,ÑX Ð"Ñ  Ð,  -ÑX Ð"  BÑ  -X Ð"  B  B# Ñ

X Ð+  ,B  -B# Ñ œ Ð+  ,ÑÐ"ß "Ñ  Ð,  -ÑÐ"ß !Ñ  -Ð!ß "Ñ Por lo tanto: X Ð+  ,B  -B# Ñ œ Ð+  - ß +  ,  -Ñ PROBLEMA 3: (3.1) SOLUCIÓN:

# ! × Ô!# !! ./> ÐE  - M$ Ñ œ ./> , por fila 3: Õ ! Ø ! $# œ Ð$  -)Ð-  %Ñ œ Ð$  -)Ð-  #ÑÐ-  #Ñ œ ! Ê - œ  # à - œ # à - œ $ son los valores propios de E.

(3.2) SOLUCIÓN: a) Para - œ  #: Ô# # !× Ô" " !× # # ! Ä ! ! " Ê Õ! ! &Ø Õ! ! !Ø b) Para - œ #: # !× Ô # Ô"  " # # ! Ä ! ! Õ ! Ø Õ ! " ! ! c) Para - œ $: $ # !× Ô"  # Ô $ #  $ ! Ä Ö !  &# Õ ! ! !Ø Õ! !

Ê BœCœ!à

I# œ 1/8 ˜Ð  "ß "ß !Ñ™ !× " Ê I# œ 1/8 ˜Ð"ß "ß !Ñ™ !Ø !× Ô" ! !× !Ù Ä ! " ! Õ! ! !Ø !Ø

I$ œ 1/8 ˜Ð!ß !ß "Ñ™

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(3.3) SOLUCIÓN:

Î # ! H œÐ Ï !

! # !

! Ñ Î " ! Ó " T œÐ Ï ! $ Ò

" " !

! Ñ ! Ó " Ò

4. (4.1) SOLUCIÓN:

[# [# [# [#

œ ˜ÐBß Cß Dß AÑ − ‘% Î#B  C  A œ !™ œ ˜ÐBß Cß Dß AÑ − ‘% ÎA œ  #B  C ™ œ ˜ÐBß Cß Dß  #B  CÑÎBß Cß D − ‘™ œ 1/8˜Ð"ß !ß !ß  #Ñà Ð!ß "ß !ß  "Ñà Ð!ß !ß "ß !Ñ™

(4.2) SOLUCIÓN: ["  [# œ ˜ÐBß Cß Dß AÑ − ‘% ÎÐBß Cß Dß AÑ − [" • ÐBß Cß Dß AÑ − [# ™ ÐBß Cß Dß AÑ − [" Ê B  #C  $D  A œ ! •

ÐBß Cß Dß AÑ − [#

$B  C  &D  A œ ! #B  C  A œ !

Ê Luego, se determina el siguiente sistema de ecuaciones:

B  #C  $D  A œ ! $B  C  &D  A œ ! #B  C Aœ! # $ " Ñ # $ " Ñ Î" Î" &  " Ê !  ( "% % Ê $ " Ï# Ï!  $ " ! " Ò '  "Ò " " " !Ñ Î" ! $ Ñ Î" ! " Ó ÊÐ ! " # Ê ! " # ! $ Ï! ! ! "Ò Ï! ! !  &$ Ò Ê B œ  D à C œ #D à A œ ! Por lo tanto: ["  [# œ ˜Ð  Dß #Dß Dß !ÑÎD − ‘™ ["  [# œ 1/8˜Ð  "ß #ß "ß !Ñ™ y como además ˜Ð  "ß #ß "ß !Ñ™ es linealmente independiente; ˜Ð  "ß #ß "ß !Ñ™ es base de ["  [# . FACULTAD DE CS. NATURALES, MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PROYECTO DE FACULTAD "ÁLGEBRA LINEAL: una propuesta metodológica de aprendizaje autónomo en página web"

CURSO DE ÁLGEBRA LINEAL PARA PÁGINA WEB UTEM. PROFESOR RESPONSABLE: CARLOS A. SEPÚLVEDA BUSTAMANTE PÁG. 476

(4.3) SOLUCIÓN: 1º) .37 Ð["  [# Ñ œ .37 ["  .37 [#  .37 Ð["  [# Ñ 2º) Sabemos que .37 Ð["  [# Ñ œ " y .37 [# œ $ 3º) Falta obtener .37 [" :

[" œ ˜ÐBß Cß Dß AÑ − ‘% ÎB  #C  $D  A œ ! • $B  C  &D  A œ !™

Luego, se determina el siguiente sistema de ecuaciones:

ʌ

B  #C  $D  A œ ! $B  C  &D  A œ !

" # $ " " # $ " ÊŒ  $ " & " !  ( "%  % " ! "  "( " % Ê %  Ê B œ  D  ( A à C œ #D  ( A ! " # ( Por lo tanto: .37 [" œ # ß ya que

[" œ 1/8˜Ð  "ß #ß "ß !Ñà Ð "( ß  %( ß !ß "Ñ™ y ˜Ð  "ß #ß "ß !Ñà Ð "( ß  %( ß !ß "Ñ™ es linealmente independiente. 4º)

Luego:

.37 Ð["  [# Ñ œ #  $  " œ %

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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA VI 29122006 FACULTAD CS. NAT., MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

PRUEBA Y CONTROL RECUPERATIVO: ÁLGEBRA LINEAL NOMBRE________________________________________ RUT ___________________________ SECCIÓN _______

PREGUNTA PUNTAJE

1

2

3

4

NOTA

POR FAVOR: SEA ORDENADO EN DESARROLLO DE SUS RESPUESTAS.

EL

NO SERÁN CONSIDERADAS LAS RESPUESTAS CUYO DESARROLLO ESTÉ DESORDENADO!! (los cálculos que correspondan con DOS DECIMALES BIEN APROXIMADOS) ESCRIBA CLARAMENTE !!

LEA ESTAS INSTRUCCIONES: A) A continuación se le presentan 4 problemas, de los cuales; en algunos de estos se requiere un desarrollo para obtener su respuesta y ser registrada en lo que se ha dispuesto para este efecto. Por consiguiente, cuando corresponda, el desarrollo debe registrarlo EN LAS PÁGINAS EN BLANCO DE ESTAS HOJAS DETRÁS DE DONDE ESTÁ IMPRESA LA PRUEBA, indicando claramente a qué pregunta corresponde. B) NO SERÁN CONSIDERADAS LAS RESPUESTAS CUYO DESARROLLO ESTÉ DESORDENADO!! C) No se permite otro tipo de hoja en el desarrollo de la prueba. D) ESCRIBA CLARAMENTE SU RESPUESTA !! E) LA PRUEBA DEBE PERMANECER CORCHETEADA !! F) SE PERMITE EL USO DE CALCULADORA !! (PARA QUE HAGA LOS CÁLCULOS). FACULTAD DE CS. NATURALES, MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PROYECTO DE FACULTAD "ÁLGEBRA LINEAL: una propuesta metodológica de aprendizaje autónomo en página web"

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PROBLEMA 1: Sea Z œ ˜0 Î 0 À ‘ Ä ‘ función real de variable real™ ; O œ ‘Þ Consideremos el siguiente subconjunto de Z À

[ œ ˜0 − Z Î 0 ÐBÑ œ 0 Ð"  BÑ ™

a! − ‘à a 0 à 1 − Z Ð0  1ÑÐBÑ œ 0 ÐBÑ  1ÐBÑ à Ð! 0 ÑÐBÑ œ ! 0 ÐBÑ con las operaciones usuales:

(1.1) SOLAMENTE ESCRIBA las fórmulas de DOS funciones que NO CORRESPONDAN A FUNCIONES CONSTANTES y que pertenezcan a [ .

0" ÐBÑ œ BÐ"  BÑ à 0# ÐBÑ œ =/8 BÐ"  BÑ‘ ___________ 4 __________________ 3 ___________________

(1.2) SOLAMENTE ESCRIBA PARA ESTE CASO PARTICULAR, la sea subespacio propiedad que debe cumplirse para que [ vectorial de Z :

a ! − ‘à a0 à 1 − [ Ê Ð0  !1ÑÐBÑ œ Ð0  !1ÑÐ"  BÑ ______ 4 ________________________ 4 _________________ PROBLEMA 2:

Considere la transformación lineal

B X À `# B # Ð‘Ñ Ä ‘# tal que X Œ D

C œ ÐB  > ß D  CÑ >

(2.1) El O/< ÐX Ñ es

Œ C

C " ! ! " ÎBà C − ‘Ÿ œ 1/8Œ àŒ   B ! " " ! Ÿ _____________________ 5 _______________________________ B

(2.2) Una ,+=/ ./ 6+ M7 X es ___Ð"ß !Ñà Ð!ß "ÑŸ___

5

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(2.3) La representación matricial de X respecto de las bases " F" œ Œ "

" " " " àŒ àŒ   " " ! !

" " ! àŒ  ! ! ! Ÿ

para el dominio y F# œ Ð"ß "Ñ ß Ð"ß  "ÑŸ para el conjunto de llegada está dada por (COMPLETE DONDE CORRESPONDA):

’X “

F# F"

œ

Î " Ï "

PROBLEMA 3:

y

 

" # " #

" !

 

" # " #

Ñ Ò

5

Sean

[" œ ˜ÐBß Cß Dß AÑ − ‘% ÎB  #C  $D  A œ ! • $B  C  &D  A œ !™ [# œ ˜ÐBß Cß Dß AÑ − ‘% Î#B  C  A œ !™

subespacios vectoriales de ‘% . (3.1) Un conjunto finito de vectores que genere a [# es

˜Ð"ß !ß !ß  #Ñà Ð!ß "ß !ß  "Ñà Ð!ß !ß "ß !Ñ™

5

_______________________________________________________ (3.2) Una base para ["  [# es ___˜Ð  "ß #ß "ß !Ñ™___

5

(3.3) .37 Ð["  [# Ñ œ __%__

5

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PROBLEMA 4:

Sea

Ô" Eœ $ Õ#

" # "

% × "  "Ø

PÁG. 480

(4.1) Los valores propios de E son __  # ; " à $___ 6 (4.2) Los espacios propios asociados son respectivamente: I# œ 1/8 ˜Ð  "ß "ß "Ñ™ 1 _____________________________________________________ I" œ 1/8 ˜Ð  "ß %ß "Ñ™ 1 _____________________________________________________ I$ œ 1/8 ˜Ð"ß #ß "Ñ™ 1 _____________________________________________________ (4.3) Una matriz diagonal H y una matriz T (SI EXISTEN) tal que DIAGONALICE la matriz E determinan que:

H

"

" Î# œÐ ! Ï !

! " ! 3

!Ñ Î # " " !Ó " T œ' " Ò Ï $ $

# # !

' Ñ $ $ Ò

3

NO HAY CONSULTAS !! PONDERACIONES:

1. = 2. = 3. = 4. = 15 PUNTOS.

NOTA = (PUNTAJE / 10) + 1

TIEMPO: 90 MINUTOS.

JUSTIFIQUE DETALLADAMENTE SUS RESPUESTAS, EN LAS PÁGINAS EN BLANCO DONDE ESTÁ IMPRESA ESTA PRUEBA !! FACULTAD DE CS. NATURALES, MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PROYECTO DE FACULTAD "ÁLGEBRA LINEAL: una propuesta metodológica de aprendizaje autónomo en página web"

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PAUTA DE CORRECCIÓN PRUEBA Y CONTROL RECUPERATIVO: ÁLGEBRA LINEAL PROBLEMA 1: (1.1) 0" ÐBÑ œ BÐ"  BÑ à

0# ÐBÑ œ =/8 BÐ"  BÑ‘

(1.2)

a ! − ‘à a0 à 1 − [ Ê Ð0  !1ÑÐBÑ œ Ð0  !1ÑÐ"  BÑ PROBLEMA 2: (2.1) O/< ÐX Ñ es

B Œ C

C " Î Bà C 1/8 − ‘ œ Ÿ Œ !  B

SOLUCIÓN:

B O/ D

" ! Ÿ

C œ Ð! ß !Ñ Ÿ >

B C œ Ð! ß !Ñ Ê ÐB  > ß D  CÑ œ Ð! ß !Ñ D > Ê B  > œ ! Ê > œ  B à D œ C . Luego: DC œ! B C O/ œ  B à D œ C Ÿ D > O/ − ‘Ÿ M7 X œ 1/8Ð"ß !Ñà Ð!ß  "Ñà Ð!ß "Ñà Ð"ß !ÑŸ M7 X œ 1/8Ð"ß !Ñà Ð!ß "ÑŸ œ ‘#

(2.3)

’X “

F# F"

œ

Î "



Ï "



" # " #

"



!



" # " #

Ñ Ò

SOLUCIÓN: 1º) Obtener las imágenes bajo X de F" : " " " " XŒ œ Ð#ß !Ñ XŒ œ Ð  "ß !Ñ  " " " ! " " " ! XŒ œ Ð"ß "Ñ XŒ œ Ð  "ß !Ñ  ! ! ! ! 2º) Expresar dichas imágenes bajo X como combinación lineal de F# : ÐBß CÑ œ !Ð"ß "Ñ  " Ð"ß  "Ñ Ê !  " œ B Ê ! œ "# ÐB  CÑ à " œ "# ÐB  CÑ. !" œ C Luego: Ð#ß !Ñ œ Ð"Ñ Ð"ß "Ñ  Ð"Ñ Ð"ß  "Ñ Ð  "ß !Ñ œ Ð  "# Ñ Ð"ß "Ñ  Ð  "# Ñ Ð"ß  "Ñ Ð"ß "Ñ œ Ð"Ñ Ð"ß "Ñ  Ð!Ñ Ð"ß  "Ñ Ð  "ß !Ñ œ Ð  "# Ñ Ð"ß "Ñ  Ð  "# Ñ Ð"ß  "Ñ

Por lo tanto

F#

ÒX Ó F

"

" œ "

 

" # " #

" !

 "#  "# 

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PROBLEMA 3: (3.1) Un conjunto finito de vectores que genere a [# es

˜Ð"ß !ß !ß  #Ñà Ð!ß "ß !ß  "Ñà Ð!ß !ß "ß !Ñ™

_______________________________________________________ SOLUCIÓN:

[# [# [# [#

œ ˜ÐBß Cß Dß AÑ − ‘% Î#B  C  A œ !™ œ ˜ÐBß Cß Dß AÑ − ‘% ÎA œ  #B  C ™ œ ˜ÐBß Cß Dß  #B  CÑÎBß Cß D − ‘™ œ 1/8˜Ð"ß !ß !ß  #Ñà Ð!ß "ß !ß  "Ñà Ð!ß !ß "ß !Ñ™

(3.2) Una base para ["  [# es ___˜Ð  "ß #ß "ß !Ñ™___ SOLUCIÓN: ["  [# œ ˜ÐBß Cß Dß AÑ − ‘% ÎÐBß Cß Dß AÑ − [" • ÐBß Cß Dß AÑ − [# ™ ÐBß Cß Dß AÑ − [" Ê B  #C  $D  A œ ! •

ÐBß Cß Dß AÑ − [#

$B  C  &D  A œ ! #B  C  A œ !

Ê Luego, se determina el siguiente sistema de ecuaciones:

B  #C  $D  A œ ! $B  C  &D  A œ ! #B  C Aœ! # $ " Ñ # $ Î" " &  " Ê !  ( "% Ï!  $ " ! " Ò ' " ! " " !Ñ $ Ñ Î" ! " Ó " # Ê ! " # ! $ Ï! ! ! "Ò ! ! &Ò

" Ñ Î" % Ê $ Ï#  "Ò Î" ÊÐ ! Ï! $ Ê B œ  D à C œ #D à A œ ! Por lo tanto: ["  [# œ ˜Ð  Dß #Dß Dß !ÑÎD − ‘™ ["  [# œ 1/8˜Ð  "ß #ß "ß !Ñ™ y como además ˜Ð  "ß #ß "ß !Ñ™ es linealmente independiente; ˜Ð  "ß #ß "ß !Ñ™ es base de ["  [# . FACULTAD DE CS. NATURALES, MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PROYECTO DE FACULTAD "ÁLGEBRA LINEAL: una propuesta metodológica de aprendizaje autónomo en página web"

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(3.3) .37 Ð["  [# Ñ œ __%__ SOLUCIÓN: 1º) .37 Ð["  [# Ñ œ .37 ["  .37 [#  .37 Ð["  [# Ñ 2º) Sabemos que .37 Ð["  [# Ñ œ " y .37 [# œ $ 3º) Falta obtener .37 [" :

[" œ ˜ÐBß Cß Dß AÑ − ‘% ÎB  #C  $D  A œ ! • $B  C  &D  A œ !™

Luego, se determina el siguiente sistema de ecuaciones:

ʌ

B  #C  $D  A œ ! $B  C  &D  A œ !

" # $ " " # $ " ÊŒ  $ " & " !  ( "%  % " ! "  "( " % Ê %  Ê B œ  D  ( A à C œ #D  ( A ! " # ( Por lo tanto: .37 [" œ # ß ya que

[" œ 1/8˜Ð  "ß #ß "ß !Ñà Ð "( ß  %( ß !ß "Ñ™ y ˜Ð  "ß #ß "ß !Ñà Ð "( ß  %( ß !ß "Ñ™ es linealmente independiente. 4º)

Luego:

.37 Ð["  [# Ñ œ #  $  " œ %

PROBLEMA 4: (4.1) Los valores propios de E son _- œ  # à - œ " à - œ $_ SOLUCIÓN: " % Ô"× $ #" ./> ÐE  - M$ Ñ œ ./> , por fila 1: Õ # Ø " "œ Ð"  -)-#  -  "‘  &Ð-  "Ñ œ Ð"  -)-#  -  '‘ œ  Ð-  "ÑÐ-  $ÑÐ-  #Ñ œ ! Ê - œ  # à - œ " à - œ $ son los valores propios de E. (4.2) Los espacios propios asociados son respectivamente: I# œ 1/8 ˜Ð  "ß "ß "Ñ™ ; I" œ 1/8 ˜Ð  "ß %ß "Ñ™ _____________________________________________________ I$ œ 1/8 ˜Ð"ß #ß "Ñ™ _____________________________________________________ FACULTAD DE CS. NATURALES, MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PROYECTO DE FACULTAD "ÁLGEBRA LINEAL: una propuesta metodológica de aprendizaje autónomo en página web"

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SOLUCIÓN: a) Para - œ  #: % × Ô" Ô$ " $ % " Ä Ö! Õ# " " Ø Õ!

Ê Bœ D à C œD

b)

Ô! $ Õ#

Para - œ ": " % × Ô" " " Ä Ö! "  #Ø Õ!

" × × Ô" ! Ù  Ä ! " " Õ! ! & ! Ø  &# Ø # Ê I# œ 1/8 ˜Ð  "ß "ß "Ñ™ " #

" # & #

& #

 "× Ô" ! Ù % Ä ! " Õ! ! # Ø

" #

"  "#

I" œ 1/8 ˜Ð  "ß %ß "Ñ™

Ê B œ  D à C œ %D à Para - œ $: % × Ô" Ô # " $ " " Ä Ö! Õ # "  %Ø Õ! c)

Ê B œ D à C œ #D à

(4.3) H

"

" Î# œÐ ! Ï !

! " !

" × % ! Ø

 #× Ô" ! & Ù Ä ! " # & Õ! ! ! ! Ø I$ œ 1/8 ˜Ð"ß #ß "Ñ™ " #

!Ñ Î # " " Ó ! ;T " œ ' " Ò Ï $ $

# # !

 "× # ! Ø

" Î# Î  # ! !Ñ ! " ! Ê H" œ Ð ! SOLUCIÓN: 1º) H œ Ï ! ! $Ò Ï !

' Ñ $ $ Ò

Î  "  " "Ñ Î # # " " " % # ÊT " # 2º) T œ œ ' Ï " Ò Ï " " $ ! Î  "  " " " ! !Ñ Î" "  "  " ! " % # ! " ! Ä ! $ $ " " Ï " Ò Ï " " ! ! " ! ! # " ! " % " Î" !  #  $  $ !Ñ Î" ! !  $ " " ÄÐ ! " Ä Ð ! " !  "' " !Ó $ $ " " " Ò Ï! ! Ï! ! " " ! # # #

! " !

!Ñ !Ó " Ò $

' Ñ $ $ Ò !Ñ ! "Ò  "$ " $

!

" Ñ  "# Ó " Ò

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#

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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA VI 02122005 FACULTAD CS. NAT., MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

PRUEBA Y CONTROL RECUPERATIVO: ÁLGEBRA LINEAL NOMBRE________________________________________ RUT ___________________________ SECCIÓN _______

PREGUNTA PUNTAJE

1

2

3

4

NOTA

POR FAVOR: SEA ORDENADO EN DESARROLLO DE SUS RESPUESTAS.

EL

NO SERÁN CONSIDERADAS LAS RESPUESTAS CUYO DESARROLLO ESTÉ DESORDENADO!! (los cálculos que correspondan con DOS DECIMALES BIEN APROXIMADOS) ESCRIBA CLARAMENTE !!

LEA ESTAS INSTRUCCIONES: A) A continuación se le presentan 4 problemas, de los cuales; en algunos de estos se requiere un desarrollo para obtener su respuesta y ser registrada en lo que se ha dispuesto para este efecto. Por consiguiente, cuando corresponda, el desarrollo debe registrarlo EN LAS PÁGINAS EN BLANCO DE ESTAS HOJAS DETRÁS DE DONDE ESTÁ IMPRESA LA PRUEBA, indicando claramente a qué pregunta corresponde. B) NO SERÁN CONSIDERADAS LAS RESPUESTAS CUYO DESARROLLO ESTÉ DESORDENADO!! C) No se permite otro tipo de hoja en el desarrollo de la prueba. D) ESCRIBA CLARAMENTE SU RESPUESTA !! E) LA PRUEBA DEBE PERMANECER CORCHETEADA !! F) SE PERMITE EL USO DE CALCULADORA !! (PARA QUE HAGA LOS CÁLCULOS). FACULTAD DE CS. NATURALES, MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PROYECTO DE FACULTAD "ÁLGEBRA LINEAL: una propuesta metodológica de aprendizaje autónomo en página web"

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PROBLEMA 1: $ (1.1) La factorización de B de los números racionales es

 #B#  #B  "

en el conjunto

_____________________________________________________ B$ (1.2) Considerando B$ #B# #B" ; el cuociente y el resto es -ÐBÑ œ ____________________ Ò Ï ! Ò

Dado el siguiente sistema de ecuaciones lineales

B"  #B#  $B$  B% œ ! $B"  B#  &B$  B% œ ! #B"  B#  B% œ ! (3.1) Un conjunto finito de vectores que genere al conjunto solución W del sistema es _____________________________________________________ (3.2) Una base de W es _____________________________________________________

(3.3) La dimensión de W es ___________ .

PROBLEMA 4:

Sea E œ

" ”"

" "•

(4.1) Los valores propios de E son

______________________

(4.2) Los espacios propios asociados son respectivamente:

_____________________________________________________

_____________________________________________________ FACULTAD DE CS. NATURALES, MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PROYECTO DE FACULTAD "ÁLGEBRA LINEAL: una propuesta metodológica de aprendizaje autónomo en página web"

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#

(4.3) Una base de vectores propios (SI EXISTE) para ‘

es:

____________________________________________________ (4.4) Una matriz diagonal H y una matriz T (SI EXISTEN) tal que DIAGONALICE la matriz E son:

Hœ



(4.5) El cálculo de T

 "

T œ



es



 .

NO HAY CONSULTAS !! PONDERACIONES:

1. = 2. = 3. = 4. = 15 PUNTOS.

NOTA = (PUNTAJE / 10) + 1

TIEMPO: 90 MINUTOS.

JUSTIFIQUE DETALLADAMENTE SUS RESPUESTAS, EN LAS PÁGINAS EN BLANCO DONDE ESTÁ IMPRESA ESTA PRUEBA !!

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CURSO DE ÁLGEBRA LINEAL PARA PÁGINA WEB UTEM. PROFESOR RESPONSABLE: CARLOS A. SEPÚLVEDA BUSTAMANTE PÁG. 490

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA VI 02122005 FACULTAD CS. NAT., MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

PAUTA DE CORRECCIÓN PRUEBA Y CONTROL RECUPERATIVO: ÁLGEBRA LINEAL PROBLEMA 1: $ # (1.1) La factorización de B  #B  #B  " en el conjunto de los números racionales es ___________ÐB  "ÑÐB#  B  "Ñ____________ B$ (1.2) Considerando B$ #B# #B" ; el cuociente y el resto es -ÐBÑ œ ____"___ ÐE  - M$ Ñ œ ./> Õ !

# !!

"

! × ! , por fila 3: Ø $-

œ Ð$  -)Ð-#  %Ñ œ Ð$  -)Ð-  #ÑÐ-  #Ñ œ ! Ê - œ  # à - œ # à - œ $ son los valores propios de E. (3.2) a) Ô# # Õ!

SOLUCIÓN: Para - œ  #: # !× Ô" " !× # ! Ä ! ! " ÊBœ C à D œ! Õ! ! !Ø ! &Ø Ê I# œ 1/8 ˜Ð  "ß "ß !Ñ™

Para - œ #: # !× Ô # Ô"  " !× # # ! Ä ! ! " ÊBœC à Dœ! Õ ! Ø Õ ! " ! ! !Ø Ê I# œ 1/8 ˜Ð"ß "ß !Ñ™ b)

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CURSO DE ÁLGEBRA LINEAL PARA PÁGINA WEB UTEM. PROFESOR RESPONSABLE: CARLOS A. SEPÚLVEDA BUSTAMANTE PÁG. 506

Para # Ô $ # $ Õ ! ! c)

œ $: !× Ô" ! Ä Ö! !Ø Õ!

!× Ô" ! !× Ù ! Ä ! " ! Õ! ! !Ø !Ø I$ œ 1/8 ˜Ð!ß !ß "Ñ™

Ê BœCœ!à (3.3)

Î # ! H œÐ Ï !

! # !

 $#  &# !

! Ñ Î " ! Ó " T œÐ Ï ! $ Ò

" " !

! Ñ ! Ó " Ò

PROBLEMA 4: SOLUCIÓN: 1º) Consideremos F" œ ˜@" à @# à @$ ™ base ordenada de ‘$ .

Î" " "Ñ 2º) œ " " ! es la matriz de cambio de Ï" ! !Ò la base F" a la base F# , cada vector de la base F" se expresó como combinación lineal de la base F# cuyos escalares F Como c E dF# "

respectivos están en las columnas de dicha matriz; es decir: @" œ Ð"Ñ Ð  "ß "ß !Ñ  Ð"Ñ Ð"ß "ß !Ñ  Ð"Ñ Ð!ß !ß "Ñ œ Ð!ß #ß "Ñ @# œ Ð"ÑÐ  "ß "ß !Ñ  Ð"ÑÐ"ß "ß !Ñ  Ð!ÑÐ!ß !ß "Ñ œ Ð!ß #ß !Ñ @# œ Ð"ÑÐ  "ß "ß !Ñ  Ð!ÑÐ"ß "ß !Ñ  Ð!ÑÐ!ß !ß "Ñ œ Ð  "ß "ß !Ñ 3º)

Por lo tanto la base ordenada F" œ ˜Ð!ß #ß "Ñà Ð!ß #ß !Ñà Ð  "ß "ß !Ñ™

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EXAMEN N° 1:

ÁLGEBRA LINEAL

NOMBRE________________________________________ RUT ___________________________ SECCIÓN _______

PREGUNTA PUNTAJE

1

2

3

4

NOTA

POR FAVOR: SEA ORDENADO EN DESARROLLO DE SUS RESPUESTAS.

EL

NO SERÁN CONSIDERADAS LAS RESPUESTAS CUYO DESARROLLO ESTÉ DESORDENADO!! (los cálculos que correspondan con DOS DECIMALES BIEN APROXIMADOS) ESCRIBA CLARAMENTE !!

LEA ESTAS INSTRUCCIONES: A) A continuación se le presentan 4 problemas, de los cuales; en algunos de estos se requiere un desarrollo para obtener su respuesta y ser registrada en lo que se ha dispuesto para este efecto. Por consiguiente, cuando corresponda, el desarrollo debe registrarlo EN LAS PÁGINAS EN BLANCO DE ESTAS HOJAS DETRÁS DE DONDE ESTÁ IMPRESA LA PRUEBA, indicando claramente a qué pregunta corresponde. B) NO SERÁN CONSIDERADAS LAS RESPUESTAS CUYO DESARROLLO ESTÉ DESORNADO!! C) No se permite otro tipo de hoja en el desarrollo de la prueba. D) ESCRIBA CLARAMENTE SU RESPUESTA !! E) LA PRUEBA DEBE PERMANECER CORCHETEADA !! F) SE PERMITE EL USO DE CALCULADORA !! (PARA QUE HAGA LOS CÁLCULOS).

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PROBLEMA 1:

Sean [" œ 1/8˜B  B# ß "  B ß #  B  $B# ™ y

[# œ ˜+!  +" B  +# B# − T# БÑÎ #+!  $+"  +# œ ! • +!  #+"  +# œ !™

˜B  B# ß "  B ß #  B  $B# ™ (1.1) A partir de los vectores complete si corresponde a una base de T# БÑ, que estaría dada por _____________________________________________________ (1.2) Un conjunto de vectores que es base de [# está dado por _____________________________________________________

PROBLEMA 2: Sea X À ‘$ Ä ‘# una transformación lineal definida por

X ÐBß Cß DÑ œ ÐB  %C  D ß #B  C  &D Ñ. (2.1) Una base del O/< ÐX Ñ es

_____________________________________________________

(2.2) La dimensión de M 7 ÐX Ñ es __________________________

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PROBLEMA 3: Sea X À c" Ð‘Ñ Ä ‘# una transformación lineal que verifica las siguientes condiciones:

X Ð"  BÑ œ Ð#ß "Ñ

X Ð"  BÑ œ Ð"ß "Ñ

(3.1) La fórmula SIMPLIFICADA que define la transformación lineal X ; es decir X Ð+  ,BÑ está dada por

______________________________________________________

(3.2) La representación matricial de X respecto de las bases: Fc

"

БÑ

œ ˜" ß B™

F‘# œ ˜Ð"ß !Ñ ß Ð!ß "Ñ™



es



PROBLEMA 4: Sea X À ‘# Ä ‘# definida por

X ÐBß CÑ œ Ð$B  $Cß B  &CÑ (4.1) Una base de vectores propios (si existe) de X

para ‘# es

____________________________________________________

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(4.2) Una matriz diagonal H (si existe) con valores propios de X y una matriz T invertible (si existe) tal que sus columnas son vectores propios de X son:

Hœ



 



T œ

NO HAY CONSULTAS !! PONDERACIONES:

1. = 2. = 3. = 4. = 15 PUNTOS.

NOTA = (PUNTAJE / 10) + 1

TIEMPO: 90 MINUTOS.

JUSTIFIQUE DETALLADAMENTE SUS RESPUESTAS, EN LAS PÁGINAS EN BLANCO DONDE ESTÁ IMPRESA ESTA PRUEBA !!

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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA VI 09122005 FACULTAD CS. NAT., MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

PAUTA DE CORRECCIÓN EXAMEN N° 1:

ÁLGEBRA LINEAL

PROBLEMA 1: Sean [" œ 1/8˜B  B# ß "  B ß #  B  $B# ™ y [# œ ˜+!  +" B  +# B# − T# БÑÎ #+!  $+"  +# œ ! • +!  #+"  +# œ !™ # ˜B  B ß "  B ß #  B  $B# ™ (1.1) A partir de los vectores complete si corresponde a una base de T# БÑ, que estaría dada por

˜" ß "  B ß B  B# ™ ˜  &  $B  B# ™

(1.2) Un conjunto de vectores que es base de [# está dado por

PROBLEMA 2: Sea X À ‘$ Ä ‘# una transformación lineal definida por X ÐBß Cß DÑ œ ÐB  %C  D ß #B  C  &D Ñ. (2.1) Una base del O/< ÐX Ñ es ˜Ð  "* ß $ ß (Ñ™ (2.2) La dimensión de M 7 ÐX Ñ es _______#_________ PROBLEMA 3: Sea X À c" Ð‘Ñ Ä ‘# una transformación lineal que verifica las siguientes condiciones:

X Ð"  BÑ œ Ð#ß "Ñ

X Ð"  BÑ œ Ð"ß "Ñ

(3.1) La fórmula SIMPLIFICADA que define la transformación lineal X ; es decir X Ð+  ,BÑ está dada por

X Ð+  ,BÑ œ Ð "# Ð$+  ,Ñ ß +Ñ

(3.2) La representación matricial de X respecto de las bases: Fc

"

БÑ

œ ˜" ß B™ à F‘# œ ˜Ð"ß !Ñ ß Ð!ß "Ñ™

es

Œ

$ #

" #

"

!



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PROBLEMA 4:

#

#

Sea X À ‘ Ä ‘ definida por

X ÐBß CÑ œ Ð$B  $Cß B  &CÑ ˜Ð  $ß "Ñ ß Ð"ß "Ñ™

(4.1) Una base de vectores propios (si existe) de X

para ‘# es

(4.2) Una matriz diagonal H (si existe) con valores propios de X y una matriz T invertible (si existe) tal que sus columnas son

vectores propios de X son: H œ Œ

# !

! $ T œŒ  ' "

" "

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SEMANA N° 15: UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA VI 13072007 FACULTAD CS. NAT., MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

EXAMEN N° 2:

ÁLGEBRA LINEAL

NOMBRE________________________________________ RUT ___________________________ SECCIÓN _______

PREGUNTA PUNTAJE

1

2

3

4

NOTA

POR FAVOR: SEA ORDENADO EN DESARROLLO DE SUS RESPUESTAS.

EL

NO SERÁN CONSIDERADAS LAS RESPUESTAS CUYO DESARROLLO ESTÉ DESORDENADO!! (los cálculos que correspondan con DOS DECIMALES BIEN APROXIMADOS) ESCRIBA CLARAMENTE !!

LEA ESTAS INSTRUCCIONES: A) A continuación se le presentan 4 problemas, de los cuales; en algunos de estos se requiere un desarrollo para obtener su respuesta y ser registrada en lo que se ha dispuesto para este efecto. Por consiguiente, cuando corresponda, el desarrollo debe registrarlo EN LAS PÁGINAS EN BLANCO DE ESTAS HOJAS DETRÁS DE DONDE ESTÁ IMPRESA LA PRUEBA, indicando claramente a qué pregunta corresponde. B) NO SERÁN CONSIDERADAS LAS RESPUESTAS CUYO DESARROLLO ESTÉ DESORNADO!! C) No se permite otro tipo de hoja en el desarrollo de la prueba. D) ESCRIBA CLARAMENTE SU RESPUESTA !! E) LA PRUEBA DEBE PERMANECER CORCHETEADA !! F) SE PERMITE EL USO DE CALCULADORA !! (PARA QUE HAGA LOS CÁLCULOS). FACULTAD DE CS. NATURALES, MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PROYECTO DE FACULTAD "ÁLGEBRA LINEAL: una propuesta metodológica de aprendizaje autónomo en página web"

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PROBLEMA 1: Sean [" œ 1/8˜Ð!ß "ß "Ñ ß Ð"ß  "ß !Ñ ß Ð#ß "ß $Ñ™ y

[# œ ˜ÐBß Cß DÑ − ‘$ Î#B  $C  D œ ! • B  #C  D œ !™

(1.1) A partir de los vectores ˜Ð!ß "ß "Ñ ß Ð"ß  "ß !Ñ ß Ð#ß "ß $Ñ™ complete si corresponde a una base de ‘$ , que estaría dada por

˜Ð!ß "ß "Ñ ß Ð"ß  "ß !Ñ ß Ð"ß !ß !Ñ™

&

_____________________________________________________

˜Ð!ß !ß !Ñ™

(1.2) El subespacio vectorial ["  [# está dado por

"!

_____________________________________________________

PROBLEMA 2:

Sea X À c" Ð‘Ñ Ä c" Ð‘Ñ transformación lineal definida por X Ð+  ,BÑ œ +  ,B

(2.1) Una base de la M 7 ÐX Ñ es

˜" à  B™ o ˜" à B™

(2.2) La dimensión de O/< ÐX Ñ es ___!___

$ $

(2.3) La representación matricial de X respecto a la base canónica de c" es

" Eœ !

(2.4) Calcule

" E#!!" œ  !

! "  ! " 

# #

(2.5) Si corresponde; la fórmula de la transformación lineal inversa de X está dada por

X " Ð+  ,BÑ œ ___+  , B___

&

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PROBLEMA 3: Sea

Ô! # !× Eœ # ! ! Õ! ! $Ø

(3.1) Los valores propios de E son ___  #

à # à $__

%

(3.2) Los espacios propios asociados son respectivamente: I# œ 1/8 ˜Ð  "ß "ß !Ñ™ # _____________________________________________________ I# œ 1/8 ˜Ð"ß "ß !Ñ™ # _____________________________________________________ I$ œ 1/8 ˜Ð!ß !ß "Ñ™ # _____________________________________________________

(3.3) Una matriz diagonal H y una matriz T (SI EXISTEN) tal que DIAGONALICE la matriz E determinan que:

Î # ! H œÐ Ï !

! # !

T

" " !

Î " " œÐ Ï !

! Ñ ! Ó $ Ò

! Ñ ! Ó " Ò

#

$

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PROBLEMA 4:

Sean F" y F# œ ˜Ð  "ß "ß !Ñà Ð"ß "ß !Ñà Ð!ß !ß "Ñ™ bases $

ordenadas de ‘ y cambio de la base F"

Î" " œ " " Ï" ! a la base F# .

# c E dF F"

"Ñ ! la !Ò

matriz

˜Ð!ß #ß "Ñà Ð!ß #ß !Ñà Ð  "ß "ß !Ñ™

de

La base ordenada F" es

"&

_______________________________________________________

NO HAY CONSULTAS !! PONDERACIONES:

1. = 2. = 3. = 4. = 15 PUNTOS.

NOTA = (PUNTAJE / 10) + 1

TIEMPO: 90 MINUTOS.

JUSTIFIQUE DETALLADAMENTE EL DESARROLLO ANALÍTICO DE SUS RESPUESTAS

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PAUTA DE CORRECCIÓN EXAMEN N° 2: ÁLGEBRA LINEAL PROBLEMA 1: (1.1) SOLUCIÓN: 1º) Verificar si ˜Ð!ß "ß "Ñ ß Ð"ß  "ß !Ñ ß Ð#ß "ß $Ñ™ es linealmente independiente: " "Ñ Î! Î"  " !Ñ Î"  " !Ñ " " ! Ä ! " " Ä ! " " . Luego, no Ï# Ò Ï Ò Ï " $ ! $ $ ! ! !Ò son linealmente independientes. 2º) ˜Ð!ß "ß "Ñ ß Ð"ß  "ß !Ñ™ es linealmente independiente, y como .37 ‘$ œ $à agregamos un vector de ‘$ que sea linealmente independiente con ˜Ð!ß "ß "Ñ ß Ð"ß  "ß !Ñ™ 3º) ˜Ð!ß "ß "Ñ ß Ð"ß  "ß !Ñ ß Ð"ß !ß !Ñ™. En efecto: " "Ñ ! !Ñ Î! Î" Î" ! !Ñ " " ! Ä ! " " Ä ! " " . Son L.I. Ï" Ï!  " !Ò Ï! ! "Ò ! !Ò (1.2) SOLUCIÓN: 1º) Reescribamos [" œ 1/8˜Ð!ß "ß "Ñ ß Ð"ß  "ß !Ñ ß Ð#ß "ß $Ñ™ buscando los elementos ÐBß Cß DÑ − [" : ÐBß Cß DÑ œ !Ð!ß "ß "Ñ  " Ð"ß  "ß !Ñ  # Ð#ß "ß $Ñ Luego, se determina el siguiente sistema de ecuaciones:

"  ## œ B ! "  # œC !  $# œ D " # BÑ Î! Î" Ê " " " C Ê ! Ï" Ï! ! $ DÒ D Î" ! $ Ñ B Ê ! " # Ï! ! ! B  C  DÒ

! " "

$ # #

D Ñ B CDÒ

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2º) El sistema tiene solución si y solo si B  C  D œ !. $ Luego; [" œ ˜ÐBß Cß DÑ − ‘ ÎB  C  D œ !™ 3º) ÐBß Cß DÑ − ["  [# Í ÐBß Cß DÑ − [" • ÐBß Cß DÑ − [# ÐBß Cß DÑ − [" Ê B  C  D œ ! ÐBß Cß DÑ − [# Ê #B  $C  D œ ! • B  #C  D œ ! 4º) Luego, se determina el siguiente sistema de ecuaciones:

BCD œ! Î" # Ï" 5º)

#B  $C  D œ ! B  #C  D œ !

" $ #

 "Ñ Î" "  "Ñ Î" " $ Ä ! " Ä ! Ï! " Ï!  "Ò ! Ò Ê BœCœDœ! ["  [# œ ˜Ð!ß !ß !Ñ™

Por lo tanto;

! " !

 "Ñ ! $ Ò

PROBLEMA 2: (2.1) SOLUCIÓN: M 7 ÐX Ñ œ ˜+  ,BÎ+ß , − ‘™ œ ˜+ Ð"Ñ  , Ð  BÑÎ+ß , − ‘™ M 7 ÐX Ñ œ 1/8˜" à  B™ y además ˜" à  B™ es L.I. Por lo tanto; ˜" à  B™ es base. (2.2) SOLUCIÓN:

.37 c" Ð‘Ñ œ .37 O/< ÐX Ñ  .37 M7 ÐX Ñ # œ .37 O/< ÐX Ñ  # Luego: .37 O/< ÐX Ñ œ ! (2.3) SOLUCIÓN: 1º) X Ð"Ñ œ " œ " Ð"Ñ  ! ÐBÑ

X ÐBÑ œ  B œ ! Ð"Ñ  Ð  "Ñ ÐBÑ

2º)

EœŒ

" !

!  "

(2.4) E#!!" œ  !

"

! " 

SOLUCIÓN:

"#!!" œ " à Ð  "Ñ#!!" œ  " FACULTAD DE CS. NATURALES, MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PROYECTO DE FACULTAD "ÁLGEBRA LINEAL: una propuesta metodológica de aprendizaje autónomo en página web"

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(2.5) SOLUCIÓN: Por (2.1) y (2.2) X es biyectiva, por lo tanto: X Ð+  ,BÑ œ +  ,B œ ?  @ B Î aplicar X +  ,B œ X " Ð+  ,BÑ œ X " Ð?  @ BÑ Ê ?œ+ Ê + œ ?à , œ  @ @œ , Luego:

X X

"

Ð?  @ BÑ œ ?  @B

"

Ð+  ,BÑ œ +  ,B

"

PROBLEMA 3: (3.1) SOLUCIÓN:

# ! × Ô!# !! ./> ÐE  - M$ Ñ œ ./> , por fila 3: Õ ! ! $-Ø œ Ð$  -)Ð-#  %Ñ œ Ð$  -)Ð-  #ÑÐ-  #Ñ œ ! Ê - œ  # à - œ # à - œ $ son los valores propios de E.

(3.2) a) Ô# # Õ!

SOLUCIÓN: Para - œ  #: # !× Ô" " !× # ! Ä ! ! " ÊBœ C à D œ! Õ! ! !Ø ! &Ø Ê I# œ 1/8 ˜Ð  "ß "ß !Ñ™

Para - œ #: # !× Ô # Ô"  " !× # # ! Ä ! ! " ÊBœC à Dœ! Õ ! Ø Õ ! " ! ! !Ø Ê I# œ 1/8 ˜Ð"ß "ß !Ñ™ b)

Para # Ô $ # $ Õ ! !

c)

œ $: !× Ô" ! Ä Ö! !Ø Õ!

Ê BœCœ!à

 $#  &# !

!× Ô" ! !× Ù ! Ä ! " ! Õ! ! !Ø !Ø

I$ œ 1/8 ˜Ð!ß !ß "Ñ™

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(3.3)

Î # ! H œÐ Ï !

! # !

! Ñ Î " ! Ó " T œÐ Ï ! $ Ò

" " !

! Ñ ! Ó " Ò

PROBLEMA 4: SOLUCIÓN: 1º) Consideremos F" œ ˜@" à @# à @$ ™ base ordenada de ‘$ .

Î" " "Ñ 2º) œ " " ! es la matriz de cambio de Ï" ! !Ò la base F" a la base F# , cada vector de la base F" se expresó como combinación lineal de la base F# cuyos escalares F Como c E dF# "

respectivos están en las columnas de dicha matriz; es decir: @" œ Ð"Ñ Ð  "ß "ß !Ñ  Ð"Ñ Ð"ß "ß !Ñ  Ð"Ñ Ð!ß !ß "Ñ œ Ð!ß #ß "Ñ @# œ Ð"ÑÐ  "ß "ß !Ñ  Ð"ÑÐ"ß "ß !Ñ  Ð!ÑÐ!ß !ß "Ñ œ Ð!ß #ß !Ñ @# œ Ð"ÑÐ  "ß "ß !Ñ  Ð!ÑÐ"ß "ß !Ñ  Ð!ÑÐ!ß !ß "Ñ œ Ð  "ß "ß !Ñ 3º)

Por lo tanto la base ordenada F" œ ˜Ð!ß #ß "Ñà Ð!ß #ß !Ñà Ð  "ß "ß !Ñ™

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EXAMEN N° 2:

ÁLGEBRA LINEAL

NOMBRE________________________________________ RUT ___________________________ SECCIÓN _______

PREGUNTA PUNTAJE

1

2

3

4

NOTA

POR FAVOR: SEA ORDENADO EN DESARROLLO DE SUS RESPUESTAS.

EL

NO SERÁN CONSIDERADAS LAS RESPUESTAS CUYO DESARROLLO ESTÉ DESORDENADO!! (los cálculos que correspondan con DOS DECIMALES BIEN APROXIMADOS) ESCRIBA CLARAMENTE !!

LEA ESTAS INSTRUCCIONES: A) A continuación se le presentan 4 problemas, de los cuales; en algunos de estos se requiere un desarrollo para obtener su respuesta y ser registrada en lo que se ha dispuesto para este efecto. Por consiguiente, cuando corresponda, el desarrollo debe registrarlo EN LAS PÁGINAS EN BLANCO DE ESTAS HOJAS DETRÁS DE DONDE ESTÁ IMPRESA LA PRUEBA, indicando claramente a qué pregunta corresponde. B) NO SERÁN CONSIDERADAS LAS RESPUESTAS CUYO DESARROLLO ESTÉ DESORNADO!! C) No se permite otro tipo de hoja en el desarrollo de la prueba. D) ESCRIBA CLARAMENTE SU RESPUESTA !! E) LA PRUEBA DEBE PERMANECER CORCHETEADA !! F) SE PERMITE EL USO DE CALCULADORA !! (PARA QUE HAGA LOS CÁLCULOS).

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PROBLEMA 1: Considere Z œ ‘  (reales positivos) y el cuerpo O œ ‘ con la suma vectorial ww Š ww y producto escalar ww  ww definido por

a ! − ‘ ß a Bà C − ‘  À B Š C œ BC

à

!  B œ B!

(1.1) Calcule el resultado de:

a) Ð" Š "Ñ  # œ __#__

# b)  Ð  "Ñ  $ ‘ Š # œ __ $ __

c) Ð" Š !Ñ  # œ __R S_

% d)  Ð" Š "Ñ  # ‘  Ð  Ð  "Ñ  $ ‘ Š # Ñ œ __ * __ " -Î? SOLAMENTE ESCRIBA para este caso particular, la propiedad de:

(1.2) la operación  está bien definida para que Z œ ‘  sea espacio vextorial sobre el cuerpo O œ ‘ .

a ! − ‘ ß a B − ‘ À

$

!  B − ‘

_______________________________________________________ (1.3) distributividad del escalar para que vextorial sobre el cuerpo O œ ‘ .

Z œ ‘  sea espacio

a ! − ‘ ß a B à C − ‘  À !  ÐB Š CÑ œ Ð!  BÑ Š Ð!  CÑ

% _______________________________________________________ (1.4) El NEUTRO ADITIVO / (SI EXISTE) es

/ œ _"_

%

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PROBLEMA 2: Sea

X À c# Ä ‘# una transformación lineal que

verifica: X Ð" Ñ œ Ð" ß "Ñ à X Ð"  B Ñ œ Ð" ß !Ñ à X Ð"  B  B# Ñ œ Ð! ß "Ñ (2.1) Los escalares (SI EXISTEN) !, " , # − ‘ tal que

+  ,B  -B# œ ! Ð"Ñ  " Ð"  BÑ  # Ð"  B  B# Ñ son ! œ __+  , __ ; " œ __,  - __ ; # œ __- __

$

(2.2) El cálculo de X Ð"  B  B# Ñ es _Ð# ß

&

"Ñ_

(2.3) La fórmula que define a la transformación lineal X está dada por

X Ð+  ,B  -B# Ñ œ __Ð+  - ß +  ,  -Ñ__

(

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PROBLEMA 3: Sea

Ô! # !× Eœ # ! ! Õ! ! $Ø

(3.1) Los valores propios de E son

%

# à # à $

(3.2) Los espacios propios asociados son respectivamente:

I# œ 1/8 ˜Ð  "ß "ß !Ñ™

#

I# œ 1/8 ˜Ð"ß "ß !Ñ™

#

I$ œ 1/8 ˜Ð!ß !ß "Ñ™

#

_____________________________________________________

_____________________________________________________

_____________________________________________________

(3.3) Una matriz diagonal H y una matriz T (SI EXISTEN) tal que DIAGONALICE la matriz E determinan que:

Î # ! H œÐ Ï !

! # !

#

! Ñ Î " ! ÓÐ " T œ Ï ! $ Ò

" " !

$

! Ñ ! Ó " Ò

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PROBLEMA 4: Sean

y

[" œ ˜ÐBß Cß Dß AÑ − ‘% ÎB  #C  $D  A œ ! • $B  C  &D  A œ !™ [# œ ˜ÐBß Cß Dß AÑ − ‘% Î#B  C  A œ !™

subespacios vectoriales de ‘% .

˜Ð"ß !ß !ß  #Ñà Ð!ß "ß !ß  "Ñà Ð!ß !ß "ß !Ñ™

$

˜Ð  "ß #ß "ß !Ñ™

'

(4.1) Un conjunto finito de vectores que genere a [# es

_______________________________________________________ (4.2) Una base para ["  [# es _______________________________________________________

'

(4.3) .37 Ð["  [# Ñ œ __%__

NO HAY CONSULTAS !! PONDERACIONES:

1. = 2. = 3. = 4. = 15 PUNTOS.

NOTA = (PUNTAJE / 10) + 1

TIEMPO: 90 MINUTOS.

JUSTIFIQUE DETALLADAMENTE SUS RESPUESTAS, EN LAS PÁGINAS EN BLANCO DONDE ESTÁ IMPRESA ESTA PRUEBA !! FACULTAD DE CS. NATURALES, MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PROYECTO DE FACULTAD "ÁLGEBRA LINEAL: una propuesta metodológica de aprendizaje autónomo en página web"

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PAUTA DE CORRECCIÓN EXAMEN Nº2 ÁLGEBRA LINEAL (SEM 2-2006) PROBLEMA 1: (1.1) SOLUCIÓN: a) Ð" Š "Ñ  # œ Ð"Ñ  # œ #" œ #

# b)  Ð  "Ñ  $ ‘ Š # œ  $" ‘ Š # œ  "$ ‘ Š # œ $ c) Ð" Š !Ñ  # œ no està definido, ya que !  ‘  d) Ð" Š "Ñ  #‘  ÐÐ  "Ñ  $‘ Š #Ñ œ #‘  Ð # Ñ œ Ð # Ñ# œ % $ $ * (1.2) SOLUCIÓN:

a ! − ‘ ß a B − ‘ À

!  B − ‘

(1.3) SOLUCIÓN:

a ! − ‘ ß a B à C − ‘  À !  ÐB Š CÑ œ Ð!  BÑ Š Ð!  CÑ (1.4) SOLUCIÓN: El NEUTRO ADITIVO / (SI EXISTE) cumple que

a B − ‘  ß b x / − ‘  À ÐB Š /Ñ œ Ð/ Š BÑ œ B I\MWX IR G ME À ÐB Š /Ñ œ B Ê B/ œ B Ê / œ " ß B − ‘  Ð/ Š BÑ œ B Ê /B œ B Ê / œ " ß B − ‘  luego; existe / œ " − ‘  ÐY R MG MHEH À Supongamos que existe otro /‡ − ‘  À Ð/ Š /‡ Ñ œ / Ê //‡ œ / Ê /‡ œ " Þ Luego /‡ œ / Ñ PROBLEMA 2: (2.1) SOLUCIÓN:

+  ,B  -B# œ ! Ð"Ñ  " Ð"  BÑ  # Ð"  B  B# Ñ Ê +  ,B  -B# œ Ð!  "  # Ñ  Ð"  # ÑB  Ð# ÑB# Ê !" # œ + Ê ! œ +,à " œ , -à # œ "# œ, #œ-

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(2.2) SOLUCIÓN: "  B  B# œ # Ð"Ñ  !Ð"  BÑ  Ð  "ÑÐ"  B  B# Ñ Ê X Ð"  B  B# Ñ œ X Ð# Ð"Ñ  !Ð"  BÑ  Ð  "ÑÐ"  B  B# ÑÑ como X es transformación lineal X Ð"  B  B# Ñ œ # X Ð"Ñ  X Ð"  B  B# Ñ X Ð"  B  B# Ñ œ # Ð" ß "Ñ  Ð! ß "Ñ œ Ð# ß "Ñ (2.3) SOLUCIÓN: +  ,B  -B# œ Ð+  ,ÑÐ"Ñ  Ð,  -ÑÐ"  BÑ  -Ð"  B  B# Ñ X Ð+  ,B  -B# Ñ œ X ÐÐ+  ,ÑÐ"Ñ  Ð,  -ÑÐ"  BÑ  -Ð"  B  B# ÑÑ

como X es transformación lineal X Ð+  ,B  -B# Ñ œ Ð+  ,ÑX Ð"Ñ  Ð,  -ÑX Ð"  BÑ  -X Ð"  B  B# Ñ

X Ð+  ,B  -B# Ñ œ Ð+  ,ÑÐ"ß "Ñ  Ð,  -ÑÐ"ß !Ñ  -Ð!ß "Ñ Por lo tanto: X Ð+  ,B  -B# Ñ œ Ð+  - ß +  ,  -Ñ PROBLEMA 3: (3.1) SOLUCIÓN:

# ! × Ô!# !! ./> ÐE  - M$ Ñ œ ./> , por fila 3: Õ ! Ø ! $# œ Ð$  -)Ð-  %Ñ œ Ð$  -)Ð-  #ÑÐ-  #Ñ œ ! Ê - œ  # à - œ # à - œ $ son los valores propios de E. (3.2) SOLUCIÓN: a) Para - œ  #: Ô# # !× Ô" " !× # # ! Ä ! ! " Ê I# œ 1/8 ˜Ð  "ß "ß !Ñ™ Õ! ! &Ø Õ! ! !Ø b) Para - œ #: # !× Ô # Ô"  " !× # # ! Ä ! ! " Ê I# œ 1/8 ˜Ð"ß "ß !Ñ™ Õ ! Ø Õ ! " ! ! !Ø c) Para - œ $: $ # !× Ô"  # !× Ô $ Ô" ! !× & #  $ ! Ä Ö!  # !Ù Ä ! " ! Õ ! Õ! ! !Ø ! !Ø Õ! ! !Ø

Ê BœCœ!à

I$ œ 1/8 ˜Ð!ß !ß "Ñ™

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(3.3) SOLUCIÓN:

Î # ! H œÐ Ï !

! # !

! Ñ Î " ! Ó " T œÐ Ï ! $ Ò

" " !

! Ñ ! Ó " Ò

4. (4.1) SOLUCIÓN:

[# [# [# [#

œ ˜ÐBß Cß Dß AÑ − ‘% Î#B  C  A œ !™ œ ˜ÐBß Cß Dß AÑ − ‘% ÎA œ  #B  C ™ œ ˜ÐBß Cß Dß  #B  CÑÎBß Cß D − ‘™ œ 1/8˜Ð"ß !ß !ß  #Ñà Ð!ß "ß !ß  "Ñà Ð!ß !ß "ß !Ñ™

(4.2) SOLUCIÓN: ["  [# œ ˜ÐBß Cß Dß AÑ − ‘% ÎÐBß Cß Dß AÑ − [" • ÐBß Cß Dß AÑ − [# ™ ÐBß Cß Dß AÑ − [" Ê B  #C  $D  A œ ! •

ÐBß Cß Dß AÑ − [#

$B  C  &D  A œ ! #B  C  A œ !

Ê Luego, se determina el siguiente sistema de ecuaciones:

B  #C  $D  A œ ! $B  C  &D  A œ ! #B  C Aœ! # $ " Ñ # $ " Ñ Î" Î" &  " Ê !  ( "% % Ê $ " Ï# Ï!  $ " ! " Ò '  "Ò " " " !Ñ Î" ! $ Ñ Î" ! " Ó ÊÐ ! " # Ê ! " # ! $ Ï! ! ! "Ò Ï! ! !  &$ Ò Ê B œ  D à C œ #D à A œ ! Por lo tanto: ["  [# œ ˜Ð  Dß #Dß Dß !ÑÎD − ‘™ ["  [# œ 1/8˜Ð  "ß #ß "ß !Ñ™ y como además ˜Ð  "ß #ß "ß !Ñ™ es linealmente independiente; ˜Ð  "ß #ß "ß !Ñ™ es base de ["  [# . FACULTAD DE CS. NATURALES, MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PROYECTO DE FACULTAD "ÁLGEBRA LINEAL: una propuesta metodológica de aprendizaje autónomo en página web"

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(4.3) SOLUCIÓN: 1º) .37 Ð["  [# Ñ œ .37 ["  .37 [#  .37 Ð["  [# Ñ 2º) Sabemos que .37 Ð["  [# Ñ œ " y .37 [# œ $ 3º) Falta obtener .37 [" :

[" œ ˜ÐBß Cß Dß AÑ − ‘% ÎB  #C  $D  A œ ! • $B  C  &D  A œ !™

Luego, se determina el siguiente sistema de ecuaciones:

ʌ

B  #C  $D  A œ ! $B  C  &D  A œ !

" # $ " " # $ " ÊŒ  $ " & " !  ( "%  % " ! "  "( " % Ê %  Ê B œ  D  ( A à C œ #D  ( A ! " # ( Por lo tanto: .37 [" œ # ß ya que

[" œ 1/8˜Ð  "ß #ß "ß !Ñà Ð "( ß  %( ß !ß "Ñ™ y ˜Ð  "ß #ß "ß !Ñà Ð "( ß  %( ß !ß "Ñ™ es linealmente independiente. 4º)

Luego:

.37 Ð["  [# Ñ œ #  $  " œ %

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EXAMEN N° 2:

ÁLGEBRA LINEAL

NOMBRE________________________________________ RUT ___________________________ SECCIÓN _______

PREGUNTA PUNTAJE

1

2

3

4

NOTA

POR FAVOR: SEA ORDENADO EN DESARROLLO DE SUS RESPUESTAS.

EL

NO SERÁN CONSIDERADAS LAS RESPUESTAS CUYO DESARROLLO ESTÉ DESORDENADO!! (los cálculos que correspondan con DOS DECIMALES BIEN APROXIMADOS) ESCRIBA CLARAMENTE !!

LEA ESTAS INSTRUCCIONES: A) A continuación se le presentan 4 problemas, de los cuales; en algunos de estos se requiere un desarrollo para obtener su respuesta y ser registrada en lo que se ha dispuesto para este efecto. Por consiguiente, cuando corresponda, el desarrollo debe registrarlo EN LAS PÁGINAS EN BLANCO DE ESTAS HOJAS DETRÁS DE DONDE ESTÁ IMPRESA LA PRUEBA, indicando claramente a qué pregunta corresponde. B) NO SERÁN CONSIDERADAS LAS RESPUESTAS CUYO DESARROLLO ESTÉ DESORNADO!! C) No se permite otro tipo de hoja en el desarrollo de la prueba. D) ESCRIBA CLARAMENTE SU RESPUESTA !! E) LA PRUEBA DEBE PERMANECER CORCHETEADA !! F) SE PERMITE EL USO DE CALCULADORA !! (PARA QUE HAGA LOS CÁLCULOS).

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PROBLEMA 1: (1.1) Considerando

B%  $B B#  " ;

el cuociente y el resto es

-ÐBÑ œ ____________________ •

PROBLEMA 4:

la transformación lineal " " ; tal que F œ Œ " " 

_______ _______ 

_______ Π_______

_______ _______ 

Sea X À ‘# Ä ‘# definida por

X ÐBß CÑ œ ÐB  Cß B  CÑ (4.1) Una base de vectores propios (si existe) de X

para ‘# es

____________________________________________________ (4.2) Una matriz diagonal H (si existe) con valores propios de X y una matriz T invertible (si existe) tal que sus columnas son vectores propios de X son:

Hœ

____ T œ Œ ____



____ ____ 

NO HAY CONSULTAS !! PONDERACIONES:

1. = 2. = 3. = 4. = 15 PUNTOS.

NOTA = (PUNTAJE / 10) + 1

TIEMPO: 80 MINUTOS.

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PAUTA DE CORRECCIÓN EXAMEN N° 2:

ÁLGEBRA LINEAL

PROBLEMA 1: B%  $B el cuociente y el resto es B#  " ; -ÐBÑ œ ___B#  "____ D> D B D

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PROBLEMA 4:

#

#

Sea X À ‘ Ä ‘ definida por

X ÐBß CÑ œ ÐB  Cß B  CÑ

˜Ð"  È # ß "Ñ ß Ð"  È # ß "Ñ™

(4.1) Una base de vectores propios (si existe) de X

para ‘# es

(4.2) Una matriz diagonal H (si existe) con valores propios de X y una matriz T invertible (si existe) tal que sus columnas son vectores propios de X son:

 È# Hœ !

! È# 

T œŒ

"  È# "

"  È#  "

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