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ALGEBRA LINEAL

Guía de actividades y rúbrica de evaluación – Tarea 2 Vectores, matrices y determinantes

Presentado al tutor (a): Gustavo Castro

Entregado por el estudiante: Julian Camilo Castro Barrero

Grupo: 208046_83

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CIUDAD DE BOGOTA

Julian Castro 3223625335

OBJETIVOS:

Julian Castro 3223625335

Ejercicio 1: conceptualización de matrices, vectores y determinantes. Después de haber realizado la lectura de los contenidos indicados, presentar de forma individual en el foro un Mapa mental que ilustre los siguientes conceptos: A. Expresión algebraica de un vector, norma, ángulos directores y vectores unitarios.

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Ejercicio 2: resolución de problemas básicos de vectores en R2 y R3. Dados los vectores v⃗y w⃗, calcule: 1. La suma u⃗= v⃗+ w⃗. 2. La magnitud de u⃗. 3. La dirección de u⃗. 4. El ángulo formado por v⃗y w⃗. A. v⃗= (2,−4) y w⃗= (1,5). Respuesta: 1. La suma: u⃗ =´v + w´

u⃗ =( 2,−4 ) +(1,5) ´v + w=(2+1)(−4 ´ +5) ´v + w=(3,1) ´ 2. La magnitud ´v :

√ x 2+ y 2

´v =√ ¿ ¿ ´v =√ 9+1= √ 10=3,162 3. La dirección de ´v =(3,1)

 sin θ=

1 =√ 10=0,3162 √ 10

 cos θ= 

3 =0,9486 √ 10

1 tanθ= =0,3333 3

θ=sin−1 0,3162=18,43 ° θ=cos−1 0,9486=18,43° θ=tan −1 0,3333=18,43°

´ ´v =( 2 ,−4 ) y w=(1,5) ´ 4. El Angulo formado´v + w: ´v . w= ´ |´v|.|w ´ |. cos θ cos θ=

v´ . w ´ |v´ |.|w´ |

|´v|= √22 +¿ ¿

|w´ |= √12 +52= √1+25=√ 26 Julian Castro 3223625335

cos θ=

3 =0,1315587029 √20 √ 26

θ=cos−1 . 0,1315587029 θ=82,44032692° Ejercicio 3: operaciones básicas entre vectores en R2 y R3. Determine el producto cruz de los vectores 𝑢=14𝑖+3𝑗−7𝑘 y 𝑣=5𝑖−14𝑗+8𝑘 y calcule: A. (2𝑢+𝑣)∙(13𝑢−𝑣) RESPUESTA: i j k u . v= 14 3 −7 5 −14 8

|

|

i=( 3 ) . ( 8 ) — 14 .(−7) j=−( 14 ) . ( 8 ) + ( 5 ) .(−7) k =( 14 ) . (−14 ) −( 5 ) . ( 3 ) ¿ [ ( 24 )−( 98 ) ] i−[ 112+35 ] j+ [ (−196 )− (15 ) ] ¿−74 i−147 j +211 k 

Calcule: (2𝑢+𝑣)∙(13𝑢−𝑣)

¿ ( 28 i+ 6 j−14 k ) + ( 5 i−14 j+8 k ) .

( 143 i+ j− 73 k )−(5 i−14 j+8 k )

−1 17 i−13 j+ k ) 3 3 ¿−11 i+104 j−34 k ¿ ( 33 i−8 j−6 k ) .(

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Ejercicio 4: operaciones con matrices y determinantes. Dada las matrices 3 −1 1 −2 A= 1 3 5 0 2 1 4 3

(

)

3 −1 1 1 2 5 B= 0 −3 10 2 1 −2

(

1 0 −2 3 2 −1 4 −4 C= 5 2 5 0 1 0 4 3

) (

)

calcule el determinante de la matriz A∙B y halle el resultado de: A. 𝑨𝑻∙𝑩𝑻+𝑪 RESPUESTA: 3 −1 1 3 −1 1 −2 4 −10 12 1 2 5 = 1 3 5 0 . 6 −10 66 =−4472 0 −3 10 2 1 4 3 13 −9 41 2 1 −2

)(

(

)(

)

A. AT.BT+C 3 3 −1 1 −2 τ −1 Transpuesta At= 1 3 5 0 = 1 2 1 4 3 −2

(

)

1 3 5 0

2 1 4 3

( )

3 −1 1 τ 3 1 0 2 1 2 5 = Transpuesta de Bt= −1 2 −3 1 0 −3 10 1 5 10 −2 2 1 −2

(

3 −1 1 −2

)(

1 3 5 0

2 10 3 1 0 2 1 . −5 −1 2 −3 1 = 4 2 1 5 10 −2 3 −3

( )( ( )( AT.BT=

10 −5 AT.BT+C= 2 −3 Julian Castro 3223625335

)(

) 15 17 3 10 1 −1 31 25 −1 13 30 −10

15 17 3 1 0 −2 3 11 15 15 6 10 1 −1 + 2 −1 4 −4 = −3 9 5 −5 31 25 −1 5 2 5 0 7 33 30 −1 13 30 −10 1 0 4 3 −2 13 34 −7

)(

)

)

Ejercicio 5: resolución de problemas básicos sobre matrices y determinantes. Determine si la matriz dada es invertible. En caso afirmativo, use el método de Gauss y el método de los determinantes para calcular su inversa. A.

−10 4 6 2 −2 1 −1 2 0

(

(1) . 10

)

−2 5 −6 5 8 5

−3 5 11 5 −3 5

−2 1 5 F 1 (−10 ) → F 1 2 −2 −1 2

−1 10 1 5 −1 10

(

.

−3 5 1 0

(−56 )

−1 10 0 0

. ( −2)

| |)

1

−2 5

0

1

0

8 5

0 0 1 0 0 1

−3 5 −11 6 −3 5

−2 5 F2−2. F 1 −6 0 5 −1 2

−1 10 −1 6 −1 10

−3 5 11 5 0

−1 10 1 5 0

.(1)

( | |) 1

.

0 0

F 3 −( 1 ) .

1 0 0 1

(−85 )

1

−2 5

0

1

0

0

−3 5 −11 6 7 3

( | |) ( [ ]) ( ( | |) ( | |) ( 1 0 0

1

−2 5

0

1

0

0

−1 −3 10 5 −1 −11 6 6 1 1 14

Julian Castro 3223625335

0 0

F2

1 0

( −65 ) → F

2

0 1

0

−5 6 4 7

0 0 3 7

.(

0

0

−5 6

0

0

1

11 ) 6

−2 1 −11 5 F 2− . F3→ F2 6 0 1 0 0

( )

−3 5 0 1

−1 10 −1 28 1 14

F 3−

0

3 14 4 7

0

11 14 3 7

( 85 ) . F → F 2

.

3

( 35 )

( −35 ) . F → F

F1 −

3

1

1 0 0

−

3 7 3 14 4 7

−1 14 1 0 0 −2 −1 F 1− . F2 → F1 0 1 0 5 28 0 0 1 1 14

( | |)

( )

−1 14 −10 4 6 .(−1) −1 = 2 −2 1 28 −1 2 0 1 14

(

Julian Castro 3223625335

4 7 11 14 3 7

)

3 7 3 14 4 7

4 7 11 14 3 7

( )