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RI€EBRA LII{EAL PAnA ADIIINISTRAc¡ÓX y D IR[ctt,óX,. br r$PRrgAg

sanzy torres

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ALGEBR,{ LINEAL para Administración y Dirección de Empresas Emilio Prieto Sáez Catedrático de Universidad Departamento de Economía Aplicada Cuantitativa II Facultad de Ciencias Económicas y Empresariales UNED

Atberto A. Álvarez Lóp ez Profesor Titular de Universidad Departamento de Economía Aplicada Cuantitativa II Facultad de Ciencias Económicas y Empresariales UNED

sflnu ytorres

lnd¡ce Presentación

11

Espacios vectoriales

15 16

- RESUMEN INrnoruccróN 1. Definición de espacio vectorial ESQUEMA

2. 3. 4. 5. 6. 7. B. 9.

il

I7 31

Subespacios vectoriales

37

Suma de subespacios vectoriales

43

Subespacios afines

54

Sistemas de vectores

63

Vectores linealmente dependientes Vectores linealmente independientes Sistemas de generadores y bases de un espacio vectorial

65

Dimensión de un espacio vectorial

77

6B

70

10. Rango de un sistema de vectores 11. Solución de los ejercicios propuestos

BO

RncaprruLACIóN I

90

Aplicaciones

lineales

97

- RESUMEN Iurnonucclóu 1. Definición de aplicación lineal ESQUEMA

2. 3.

Propiedades de una aplicaciÓn lineal Aplicaciones lineales con conjunto de partida un espacio vectorial de dimensión finita

4. 5. 6. 7.

El espacio vectorial

L(E,F)

Isomorfismos de espacios vectoriales Formas lineales . Aplicaciones afines

B5

.98 .99 . 113 . 115 . . . . .

119 131

132 135 139

íNotce

B.

T43

Solución de los ejercicios propuestos

L15

RrcapITULACtÓN II

m Matrices L49 - RESUMEN IxrnotucctóN 1. DefiniciÓn de matrtz

150

2. 3. 1. 5. 6. 7. B. 9.

TB1

EsQu¡MA

151 17B

Matriz asociada a una aplicación lineal El esPacio vectorial Mn n(K)

189

Producto de matrices

193

Rango de una matriz

209

Transformaciones elementales de una matriz

2L2

Inversa de una matrtz cuadrada

226

TrasPuesta de una matriz

230

Solución de los ejercicios propuestos

233 237

RECNPITULACIóN III

ry

Sistemas de ecuaciones lineales

243

ESQUEMA _ RESUMEN

211

INTnODUCCION

215

1. 2. 3.

Definiciones y Propiedades Resolución de un sistema de ecuaciones lineales Aplicaciones de los sistemas de ecuaciones lineales

Sucesiones de números

277 286

293

RncapITULACróN IV

V

268

reales

295

ESQUEMA _ RESUMEN

296

IurnonucctóN 1. El conjunto de los números reales

297

2. 3. 1. 5. 6. 7.

Sucesiones de números reales

32r

Sucesiones convergentes. Límites infinitos

328

Sucesiones monÓtonas

347

Series de números reales

3s0

Solución de los ejercicios propuestos

35s

Anexo

359

RncapITULACróN V

310

363

íNotcr

A Preliminares ESQUEMA

1. 2. 3. 1. 5.

-

37L

RESUMEN

Conjuntos Aplicaciones Operaciones

Polinomios Solución de los ejercicios propuestos

B Determinantes

429

Determinantes de orden dos Determinantes de orden tres

. 430 . 43r . 432

Permutaciones

.

ESQUEMA

1. 2. 3. 1. 5. 6. 7. B. 9.

-

RESUMEN

Determinante de n vectores en una base Determinante de una matriz Desarrollo de un determinante por los términos de una fila o Aplicación aI cálculo de la inversa de una matriz Aplicación aI cálculo del rango de una matriz

Sistemas de Cneusn 10. Solución de los ejercicios propuestos

Bibliografía 46I Índice

. 372 . 373 . 391 . 402 . 1r3 . 4L9

analítico

463

437

. 11L . 445 columna 118 . 452 . 455 . 457

. 160

PRESENTACION En los capítulos que comprende este texto se exponen los instrumentos matemáticos

básicos del Álgebra Lineal, así como una introducción a las sucesiones de números reales.

A quién va dirígido este

texto

Este manual está dirigido, principalmente, a los

estudiantes de la asignatura de Matemáticas I del Grado de Administración y Dirección de Empresas en la UNED. Está escrito pensando en estudiantes a distancia, Ios cuales deben tener a mano Ia información más completa posible sobre la asignatura. Pero, precisamente por este motivo, pensamos que podría ser útil también para estudiantes presenciales que necesiten algún libro en el que consultar estos temas.

Contextualización de Ia asignatura en Ia

materia

En el plan de estudios actual, la asignatura de Matemáticas I, que es la primera de la materia de Matemáticas en eI Grad.o de ADE, se estudia en el primer cuatrimestre de primer curso. Habrá

dos asignaturas más: la siguiente -Matemáticas II- en el primer cuatrimestre de segundo curso, y la tercera y última -Matemáticas III- en eI primer cuatrimestre de tercer curso. En

lo que a contenidos

Se refiere,

la asignatura de Matemáticas

I eS una ple-

sentación de los conceptos y las técnicas básicos del Álgebra Lineal, y una introducción a las sucesiones de números reales. Las siguientes asignaturas estarán dedicadas a presentar contenidos de Análisis Matemático, con funciones de una y varias variables, incluyendo integración, y de otros temas como los Sistemas Dinámicos. Los contenidos de Matemáticas 1 son, pues, necesarios para el estudio de las restantes asignaturas de Matemáticas, aunque también encuentran aplicación directa en otras materias del Grado.

Estructura

deltexto

EI texto tiene cinco capítulos, y se completa con dos apéndi-

ces. Los cuatro primeros capítulos son los propiamente dedicados al Atgebra Lineal: espacios vectoriales, aplicaciones lineales, matrices y sistemas de ecuaciones lineales; el quinto, presenta las sucesiones de números reales. En cuanto a los apéndices,

PRESENTACIÓN

eI primero recoge varios temas de carácter preliminar: conjuntos, aplicaciones, operaciones y polinomios, de los cuales el lector debería tener un conocimiento al menos introductorio. El segundo apéndice presenta los determinantes, de los cuales no se hace uso para estudiar sistemas de ecuaciones lineales.

Requisitos previos Los contenidos de Matemáticas habituales de un Bachillerato (con orientación a ciencias, ingeniería, o ciencias sociales) son más que suficientes para poder abordar esta asignatura. También son perfectamente adecuados los contenidos de Ia asignatura de Matemáticasl del Curso de Acceso Directo a la Universidad, para Mayores de 25 Años, que imparte la propia UNED.

Cómo leer este texto Cada uno de los cinco capítulos empieza con una amplia introd.ucción. Recomendamos aI lector leerla con detalle, pues presenta, de manera menos formal que eI texto principal, los contenidos básicos del capÍtulo que introduce, a Ia vez que enfatiza lo más importante, insiste en lo más difícil, y da idea del alcance de exigencia de la materia. Tras la introducción, eI cuerpo principal del capítulo incluye todas las definiciones y resultados exigidos, acompañados unas y otros de ejemplos de distinta dificultad para ilustrar su uso y aplicación. A Io largo de este cuerpo principal, se incluyen ejercicios propuestos, cuya resolución se presenta al final del capítulo. Estos ejercicios son de dos tipos: algunos, los menos, buscan que el lector se ejercite en alguna técnica; otros, los más, proponen al lector la demostración de algún resultado adicional. Del primer tipo son menos porque ese cometido se deja a los ejercicios y problemas d.el texto corespondiente;z los segundos, por su parte, se pueden considerar, a modo de Actividades Complementarias, para ampliar formación.

Finalmente, cada capítulo termina con una recapitulación de todo lo visto en su desarrollo, tanto definiciones como resultados. Estas recapitulaciones pueden ser muy útiles como "fichas" de consulta rápida y referencia.

Los autores, los profesores Emilio Pnrsro SAnz y Alberto A. Árvar¡z Lóvrz, Ilevan trabajando muchos años en asignaturas de la materia de Matemáticas para Ia Economía y la Administración y Dirección de Empresas, con la metodología a distancia, y son autores, tanto por separado como en colaboración, de

Sobre los

autores

varios manuales sobre estos temas.

Agradecimientos

Los autores queremos dejar constancia de nuestro agradeci-

miento a los tutores y compañeros de los equipos docentes de las asignaturas del lHasta el curso 2008-2009, esta asignatura se llamaba Matemáticas Especiales 2Cf .

Problemas Resu eltos.

13

PRESENTACIÓN

Departamento de Economía Aplicada Cuantitativa II de la UNED, por sus sugerencias, así como a los alumnos, con cuyas pleguntas y comentarios a lo largo de los años hemos podido hacernos idea de sus dificultades y de aquellos aspectos en los que debemos intentar mejorar. Un reconocimiento especial merecen nuestros compañeros -y amigos- Mónica BunNrÍa CanErrÁ, Jaüer S¿,Nz PÉYsz y Tomás PRIETo RUMEAU, a los cuales nunca dejaremos de agradecer todas sus observaciones, comentarios, y conversaciones sobre Ia materia de este texto. Muchos de los aciertos que pueda tener son suyos; los errores, que quedarán va.rios, son de nuestra exclusiva responsabilidad' Los AUToRES Madrid, junio de 2010

C,q,pÍrulo I

ESPACIOS VECTORIALES

I.

r6

ESPACIOS VECTORIALES

ESQUEMA RESUMEN INrnooucclÓN

5.

17

DefiniciÓn de espacio vectorial, 17 Subespacios vectoriales, 19 Suma de subespacios vectoriales, 22 Subespacios afines, 24 Sistemas de vectores, 25 Vectores linealmente dependientes, 26 Vectores Iinealmente independientes, 27 Sistemas de generadores y bases de un espacio vectorial, 27 Dimensión de un espacio vectorial, 29 . Rango de un sistema de

2.

. de subespacios vectoriales

37 40

Intersección Ejemplos de subespacios vectoriales de R2 . 40 Ejemptos de subespacios vectoriales de R3 . 42 Ej emplos de subespacios vectoriales de

4.

36

R'

43

vectoriales 13 1. Suma de subconjuntos de un espacio vectorial . 2. Suma de subespacios vectoriales de un espacio vectorial 3. Subespacios vectoriales independientes 4. Combinaciones lineales .

7.

2. 3. Hiperplanos de R' 4. Subespacios afines Paralelos 5. Combinaciones afines.

.

Intersección de subespacios afines.

Vectores linealmente

65

independientes

65

66 6B

1. Definición. Propiedades básicas 2. Otras propiedades

6B

69

Sistemas de generadores y bases de un es-

vectorial 70 1. Sistemas de generadores 2. Bases. Coordenadas de un vector en una base . 3. Base canónica 4. Teorema de la base incompleta

pacio

un espacio vectorial 77 1. Definición de dimensión de un espacio vectorial .

70 72 7

4

75

9. DimensiÓn de

77

vectores B0 de rango de un sistema de

10.Rango de un sistema de

Suma de subespacios

Subespacios afines 54 1. Definición de subesPacio afín

63

dependientes 1. Definición. Propiedades básicas 2. Otras propiedades

B.

34

Subespacios vectoriales 37 1. Definición de subespacio vectorial

2. 3. 4. 5. 3.

34

vectores

6. Vectores linealmente

vectores, 30.

1. Definición de espacio vectorial 1. Definición de espacio vectorial 2. Componentes de un vector de K'

Sistemas de

43 45 46 53

.54 . 58 .60 . 61 .62

1. Definición vectores 2. Ejemplos de cálculo

B0

de

rangos

1l.Solución de los ejercicios

propuestos

90 REc¡,pITuLACróN I Definición de espacio vectorial,

90

83

90

85

Subespacios

Suma de subespacios vectoriales, 91 . Subespacios afines, 92 . Sistemas de vectores, 92 Vectores linealmente dependientes, 92 ' Vectores linealmente independientes, 93 Sistemas de generadores. Bases, 93 Dimensión, 94 . Rango de un sistema de

vectoriales,

vectores, 94.

INTRODUCCION

L7

INTRODUCCION

vectoriql

Deftnición de espacio

El lector se encontrará al inicio de esta sección

con la definición general de espacio vectorial sobre un cuerpo. Un ejemplo sencillo de espacio vectorial sobre un cuerpo lo constituye el conjunto R.2 de los pares ordenados

de números reales sobre el cuerpo R.. Los elementos de este conjunto son de Ia forma: (a,b), con ay b nimeros reales. Por ejemplo: (1,

-3) c R2,

(i,t)

c R2, 1 É R2.

Sobre el conjunto R2 se define una operación, La adición, de esta manera:

(xt, xz) + (yt, yz) : (x¡ (para cada

+

/t,xz

+ Vz)

(xt,x) e R2 y (yt,y) e R2). Por ejemplo: (1,3) + (-7,I12): (r + (-1),3 + (Il2)) :

(o,712).

Esta operación satisface las siguientes propiedades:

c es asociatrva, es decir, cualesquiera que sean los pares ordenados de números reales (a, b), (c,d) y (e,f), se verifica: (a,b) + l(c,d.) + (e,f)): l@,a¡ + G,d)l + @,f); o pos€€ elemento neutroi el par (0, 0), lo cual significa que la suma de cualquier par ordenado (a,b) con (0,0) da como resultado el mismo par (q.,b), esto es:

(a,b) + (0,0): (a.,b);

.

es simetrizable: cualquiera que sea

.

es conmutativai cualesquiera que sean

(a,b) e R.2, existe un elemento de R2, pre(a,b)-, que sumado cisamente (-a,-b) -del que se dice es el opuesto de (a,b) (-a, (o,b) + a da como resultado el elemento neutro: -b) : (0,0); (a,b) + (c,d)

(a,b) e

R2

y (c,d) e

R2, se tiene:

: (c,d) + (a,b).

La comprobación de estas propiedades es inmediata. Por verificarlas, se dice que la

adición articula eI conjunto R2 como grupo abelíano.l Por otra parte, también se define una operación externa sobre

R.2

para el cuerpo

R.,

de esta manera:

A.(xt,x) : (Ixr,Ix2) (para A

e

R

y (x1,xz) e

R.2).

Por ejemplo:

3(2,_.4): (3'2,3' (-4))

: (6,_r2), -r(r,J2) :

er,-2^/2).

Esta operación externa satisface Ias siguientes propiedades: lPueden consultarse más detalles sobre operaciones, y en particular sobre grupos, en eI apéndice A.

I.

18

.

es asociativa en los elementos de R: cualesquiera que sean los números reales

y

uy

el par ordenado de números reales

A(p(a,b))

. .

ESPACIOS VECTORIALES

(a,b),

:

I

se verifica:

(dp)(a,b);

es distribuüva respecto de Ia adición de números reales: para cada número real A y cada número real ¡r, y cada par ordenado de números reales (4, b), se tiene:

(A+ u)@,b) : A(a,b) + p(a,b); es disúibutíva respecto de Ia adición de vectore.s: para cada A de R, y para cada (a,b) y cada (c,d) de R2, se verifica:

A(ta.b) + (c,d))

:

A(a,b) + A(c,d);

o es neutrapara el número real l: para cada (a,b) e R2, se tiene:

7(a,b) = (a,b). También es inmediata la comprobación de estas cuatro propiedades. Afirmar que eI conjunto R2, dotado de la adición y de la operación externa recién definida, es un espacio vectorial sobre eI cuerpo R significa afirmar precisamente que, dotado de Ia adición, es un grupo abeliano, y que la operación externa satisface las cuatro propiedades anteriores. En lo sucesivo, cuando nos refiramos a R.2 estaremos pensando en el espacio vectorial sobre R.. En este contexto, a los elementos de R.2 los denominaremos vectoresi a los de R, escalares. También consideramos el conjunto R.3 de las ternas ordenadas de números reales, cuyos elementos son de la forma: (a,b,c), con cL, b y c n'úmetos reales; por ejemplo:

(1,2,0) € R3, (-2, -1 ,rü € R3, (2,_3) É R3 Asimismo, consideramos el conjunto R4 de las cuaternas ordenadas de números reales: (a, b,c,d), con a, b, c y d números reales; y el conjunto R.s de las quíntuplas; y, en general, el conjunto Ru de las n-uplas de números reales (n > 1). Observemos cómo son los elementos de R4:

(xt,xz,...nxn),

con f1, xz,

...,

x.¿nimeros reales.

> I, lo cual engloba

en particular los R.s), se define, mutatis mutandis, una adición y una operación nombrados R3, externa para el cuerpo R. como Io hemos hecho sobre R.2, y se comprueba que estas operaciones articulan Ru como espacio vectorial sobre R. A partir de ahora, siempre que tratemos el conjunto R.¿ estaremos automáticamente pensando en el espacio Sobre el conjunto R.u (para cualquier rL R4 y

r9

INTRODUCCION

vectorial sobre

R, y llamaremos vectores a sus elementos y escalares a los elementos

de R, como comentamos para el caso de R2. Queremos observar que, aunque el texto trata los espacios vectoriales en general, la experiencia nos muestra que, al menos en lo que se refiere al nivel exigible a un estudiante de ADE, el manejo prácticamente exclusivo de los Ru es más que suficiente pila comprender los conceptos y las propiedades más importantes de los espacios vectoriales.Z Además, en ningún caso manejaremos -para espacios vectoriales- un cuerpo que no sea R. Finalmente, queremos enfatizar al lector la definición de componente de un vector: si (ar, 0{2,..., ar) es unvector de R.u, diremos que su primera componente es dt; que su segunda componente es c{2, etc.; en general, diremos que su í-ésima componente es a¿ (1 < í < n). Por ejemplo, para elvector (1,-3,7,0) de Ra, la primera

componenteesigualal, lasegundaiguala-3, laterceraigual aT,ylacuartaigual a 0.3

Subespacios vectoriales Como los únicos espacios vectoriales que realmente nos interesan en este curso son los del tipo R.¿ (n > I), veamos cómo se formula el concepto de subespacio vectorial aplicado sóIo a ellos. Un subconjunto F, no vacío, de R.u es subespacio vectorial del espacio vectorial R¿ si se satisfacen dos propiedades (que en el texto se designan (SV1) y (SV2)): (SVI) la suma de vectores de F es un vector también de F; es decir, para cada vector u : (u t,u2,. . ., un) y cada vector w = (u¡ t, u2,. . ., tur") pertenecientes a F, pertenece a su vez a F eI vector siguiente:

(SV2) el producto de cualquier escalar (esto es, de cualquier número real) por un vector de F es un vector también de F; o Io que es Io mismo; para cada A e R.

y cada u

:

(ut,'u2,...,un) e F, pertenece a su vez a F el vector: A?

Es importante señalar que si

:

A(?1, .t)2,...,un)

:

(trUt,truz,... ,tru").

F es subespacio vectorial de Rn, entonces F es en sí

mismo un espacio vectorial con la adición de vectores y la multiplicación de números reales por vectores.4 2Por este motivo no se hacen preguntas, en Ias pruebas presenciales, sobre espacios vectoriales de

otro tipo. 3El motivo de enfatizar esta sencilIa definición es Ia posibilidad (que efectivamente se da con mucha

frecuencia) de que el alumno confunda componente con coordenada, concepto que surgirá más adelante. 4Técnicamente, conla restricció¡r de estas operaciones a F.

I.

ESPACIOS VECTORIALES

Podemos estudiar si un subconjunto de R.u es subespacio vectorial o no de otra forma, haciendo uso de la caracterización enunciada en la proposición I.1 (cf. p. 39). Ésta, para eI caso de Ru, tiene este aspecto: un subconjunto F de R.¿, no vacío, es subespacio vectorial de R.¿ precisamente si cualesquiera que sean los vectores u y u de F, y los escalares a y p, pertenece a F el vector:

uu+But:i::'r'l'u-r,'"^:'r**uuYr','''au;il*,, Además de la caracterización anterior, vemos otras propiedades de los subespacios vectoriales. Es de destacar que el vector O es un elemento de cualquier subespacio vectorial; recuérdese que, en el caso de los R¿, eI vector O es el vector (0,0, . . . ,0) (con n ceros). Otra propiedad muy importante es que Ia intersección de subespacios vectoriales es a su vez un subespacio vectorial. El estudio de subespacios vectoriales particulares se inicia con los de R.2. Además d" {(0,0)} y del propio R2, se muestra que es un subespacio vectorial de R.2 todo conjunto de esta forma:

R(a,b)

:

IA(a,b) I A e R.l,

donde (a,b) es un par ordenado de números reales. Por eiemplo:

R(1,3)

: {l(r,3)

IA

e m} : {t¡,3A)

|A

e R}.

que es subespacio Observemos que cada vector de este conjunto R(1,3) -conjunto vectorial de R2, como decimos- es de esta forma: (4, 3A) para algún A e R. Podemos

deci que (4,3A)

vnvector genérico del subespacio vectorial R(1,3). Nótese también que, a la vista de este vector genérico (4,3A), podemos afirmar que los vectores de este subespacio vectorial son los que satisfacen que su segunda componente es el tripledelaprimera.s Así:(2,6),(-4,-12)o (1/3,1)sonvectoresdeR.(1,3);perono lo son (1,4), (0, I) o (I12,2). Otro ejemplo: R(2,-5) : {(24,-54) lA e R.}. Un vector genérico de este otro subespacio vectorial de R2 es (24, -54), lo que puede interpretarse así: los vectores de este subespacio vectorial son aquellos cuya segunda componente es igual a la primeramultiplicadapor-512. Losparesordenados (I,-512), (-4,10) o(213,-5l3) pertenecen aI subespacio vectorial; no así los pares (1,0), (5, -"€) o (1, -1). Otra forma de presentar un subespacio vectorial de R2 es con una ecuación (una ecuación lineal, para ser más exactos). Por ejemplo, eI conjunto siguiente es un subespacio vectorial de R.2: es

F - {{xt,xz) e R2

l3xt-

x2

-

o}

sO también: son aquellos vectores cuya primera componente es igual a un tercio de la segunda.

INTRODUCCION

Sus elementos son los vectores

(xt,xz)

cuyas componentes,

xt y xz, satisfacen

- 12 :

la

ecuación 3x1 - x2: 0. Notemos que la ecuación 3xt - xz : 0 es equivalente a esta otrai xz : 3xt,Io que nos permite afirmar: Ios elementos de F son los vectores cuya segunda componente es igual al triple de la primera. Es decir, los elementos de F y los del conjunto R ( 1, 3 ) son los mismos; ambos subespacios vectoriales son iguales. En el texto comprobamos un resultado que generaliza el caso particular anterior: cuando el vector (a,b) no es eI (0, 0) (o lo que es Io mismo: ay b no son simultáneamente nulos), se tiene: 0. Verbigracia, (4, 12) es un elemento de F, pues: 3 ' 4

{(xt,xz) e R2 I axt + bx2 - 0} : R(-b,a). Otro ejemplo: {(xr,xz) e R.2 | -Sxr -2x2:0} : R(2, -5). obsérvese que si (a,b) fuera elvector nulo (es decir, si (a,b) : (0,0)), entonces R(a,b) se reduce al con-

junto {(0,0)}; en símbolos: R(0,0) : {(0,0)}.

Nota

importante señalar que la ecuación que define un subespacio vectorial de R2 debe : 0 (con a y b números reales). En particular, cualquiera de la forma ax1 -t bx2 : d, con d un número real distinto de 0, no define un subespacio vectorial. Por ejemplo, el conjunto l(xr,xz) e R2 | -xr + 2x2: -2]¡ no es un subespacio vectorial de R.2.6 a Es

ser de Ia forma ax1 + bx2

A continuación pasamos a estudiar subespacios vectoriales de R3. Los conjuntos { (0, 0, 0) } y R.3 son subespacios vectoriales de R.3, y también lo son los conjuntos de este tipo: R(a,b,c)

: IA(a,b,c)

|A

e R.l,

donde (q,b,c) es una terna de números reales. Asimismo, los conjuntos definidos por una ecuación, análogos al subconjunto F de R.2 que consideramos antes, son subespacios vectoriales de R.3; por ejemplo, es subespacio vectorial de R3 este con-

junto:

l(xt,xz,xs) e R3 I Zxt - xz + 3x3 = Ql , formado por los vectores (xt,xz,xz) de R.3 tales que 2x1 - xz-r 3x3 :0. (O bien tales que: xz : Zxt + 3x3, lo que se puede expresar con palabras así: los vectores de

R.3

tales que su segunda componente es igual al doble de la primera más el triple

de la tercera.)

La prueba de que los subconjuntos de R3 anteriores son subespacios vectoriales de R3 es, mutatis mutandis, como la del caso de R2. Sin embargo, debemos hacer

notar que no se verifica para R3 ningún resultado de igualdad entre subespacios 65í es, y Io veremos más adelante en este mismo

capítulo,urt

su.bespacio afín.

I.

ESPACIOS VECTORIALES

vectoriales definidos por una ecuación y subespacios vectoriales del tipo R (¿, b, c) , como ocurre para R2. Queremos llamar Ia atención, por ser especialmente ilustrativo, del ejemplo 10 (cf.p.12). Se trabaja con estos subespacios vectoriales de R3:

F1: {{*t, xz, xz) e R3 I xt -

2x2 * x3

-

Fz- {{xt, x2, xz) e R3 I xt - 2*=I y

o}

,

,

R(4,3,2). Note-

se demuestra que su intersección es igUal al subespacio vectorial

mos que esta intersección puede escribirse así:

\ñF2:

{(xr, xz,x) e

R3

lxr -2x2+xz:o y xr:zxz},

es decir, como un subespacio vectorial definido por dos ecuaciones.T

Finalmente, generalizamos lo visto a cualquier Rn, Enfatizamos aquí, en particular, que es subespacio vectorial de Ru cualquiera de la forma:

I(xt,xz,...,xn) e R"

I a'1x1 -t cL2x2-1

"

' + anxn = OI ,

donde a7, &2, .. ., &n son números reales. No sería subespacio vectorial este conjunto si la ecuación fuera a.1x1 * 612x2 * "' + cLnxn : d con d + O'

ril

'lll lrlt

Suma de subespacios vectoriales Comienza esta sección definiendo la suma de subconjuntos de un espacio vectorial. Si A y B son dos subconjuntos de Rn (no olüdemos que en todo momento particularizamos a Rn), st suma es el conjunto cuyos elementos son vectores obtenidos como suma de un vector de A y otro de B. Esta definición se generaliza fácilmente a más de dos conjuntos. El ejemplo 11 (cf.p.44), de suma de dos conjuntos, y eI ejemplo 12 (cf. p. 45), de suma de tres, son suficientemente ilustrativos. El resultado más importante de esta sección es que la suma de subespacios vectoriales es a suvez un subespacio vectorial. EI ejemplo 13 (cf.p.45) es importante; en éI se muestra esta igualdad de subespacios vectoriales:

R(1,0,0) + R.(0,0,1)

: I(xr,xr,x:)

e R3 I

xz:

OI

,

en la que vemos, en particular, cómo un subespacio vectorial de R.3 definido por una ecuación se puede expresar como Suma de subespacios vectoriales del tipo R(a,b,c). En general, cuand.o trabajamos con subespacios vectoriales, de lo que se trata es de 7Más adelante, tras estudiar sistemas de ecuaciones lineales en el capítulo [V, veremos cómo relacionar subespacios vectoriales definidos por ecuaciones con subespacios vectoriales del tipo R(a,b,c), y no sóIo para R3, sino para cualquier Ru.

23

INTRODUCCIÓN

relacionar subespacios determinados por una ecuación o por varias (éstos últimos son intersección de los determinados por una sola ecuación) con Ia suma de subespacios del tipo R(a1, a2, . . . , cln). Hasta el capítulo [V, cuando tratemos los sistemas de ecuaciones lineales, no tendremos herramientas suficientes para resolver completamente este problema; por ahora, nos debemos conformar con estudiar algunas situaciones particulares, como Ia del citado ejemplo 13 o las vistas en los ejercicios del manual Problemas Resueltos.

Otro concepto importante de la sección es el de independencia de subespacios vectoriales. Dos subespacios vectoriales (de R¿) son independientes si todo vector de su suma se puede obtener de forma única como suma de un vector del primero y un vector del segundo. La proposición I.4 (cf. p. 48) muestra una manera sencilla de comprobar la independencia: que dos subespacios vectoriales sean independientes es equivalente a que su intersección se reduzca al conjunto {(0,0,...,0)}. En el ejemplo 17 (cf . p. 48), para los subespacios vectoriales de R.3 siguientes:

Fr:R(0, 1,1)

y F2:{(xr,xz,xz)e

R3

lx1 =x2+x3},

se prueba tienen un único vector en común: (0, 0, 0), con Io que se está efectivamente

demostrando que son independientes. Por otra parte, en el ejemplo 18 (cf. p. 49) se comprueba que la suma Fr + F2 es igual a R3. Esto significa: todo vector de R.3 se puede escribir como suma de un vector de F1 y un vector de F2, y además esta descomposición del vector en suma de dos, uno de cada subespacio, es única. También hablamos de suma directa, que no es más que la suma de subespacios vectoriales independientes. Por ejemplo, Ia suma de los subespacios vectoriales F1 y F2 de R3 del parrafo anterior es suma directa; se denota: F1 @ F2. Y también se define eI concepto de subespacios vectoriales suplementariosi son aquellos cuya suma directa es igual a todo el espacio vectorial. Los subespacios vectoriales Fl y F2 de los que venimos hablando son suplementarios: F1 o F2

:

p3.

Termina el apartado de independencia de subespacios vectoriales con la generalizaciín (por otra parte inmediata) de Ia noción de independencia (y de suma directa) a más de dos subespacios vectoriales. Es de observar, sin embargo, que la caracterización vista de Ia independencia de dos subespacios vectoriales (intersección igual a

{(0,0,...,0)})

no admite una generalización inmediata a más de dos.

Lo último que vemos en esta sección es el importante concepto de combinación

Iineal. Afirmar que un vector u (de R.4) es igual a :una combinación lineal de Ios k vectores ttr, ttz, . .., uk (todos de R.¿) no es más que afirmar se verifica Ia igualdad u : üttrLt* 1QUz +...+ a¡au¡apara algunos números reales 41, ü2,..., at (alos que a veces nos referiremos como los coeftcientes de la combinación lineal). Dicho más técnicamente: el vector u es igual a una combinación lineal de los k vectores u1,

I.

24 LJz, . . ., LJk

si

ESPACIOS VECTORIALES

u es un elemento de Ia suma de subespacios vectoriales siguiente: Rul + Ru2

+ .+Ru¿.

Por ejemplo, el vector (2,3) de P2 es igual a una combinación lineal de los vec-

tores (1,1) V (0, 1), Pues se tiene:

(2,3)

- a(1,1) + b(0, 1)

para

Ios coeficientes de esta combinación lineal son a tir la misma idea: (2,3) e R'(1, 1) + R(0, 1).

:

a.-2yb 2yb

1;

: I' Ofra forma de transmi-

Nótese que, sean los que sean los vectores ur, u2, ..., uk de R¿, el vector nulo: (0,0,...,0), es igual a una combinación lineal de ellos; no hace falta más que tomar todos los coeficientes iguales a 0:

(0,0,...,0)

aftnes

: jut + Ouz + "'

+ ju¡r'

afínde R.2 es un subconjunto de Ru obtenido como suma de un vector y un subespacio vectorial de R.¿. Si u es un vector y F es un subespacio vectorial (ambos de R.n), el subespacio afín obtenido como suma de ellos Subespacios

rJn subespacio

se denota: u + F.8

Cuando Sum¿rmos un vector y el subespacio vectorial { (0, 0, . . . , 0) }, obtenemos el conjunto cuyo único elemento es el vector. Cuando sumamos el vector (0,0,...,0) y un subespacio vectorial, obtenemos este mismo subespacio vectorial. Estos son los ejemplos más sencillos de subespacios afines: los conjuntos formados por un solo vector y los propios subespacios vectoriales. Para Obtener máS subespacioS afines, no tenemos más que Sumal un vect6r a

cada subespacio vectorial que conocemos, y fundamentalmente hemos visto dos tipos de subespacios vectoriales: los del tipo R(ar,6lzn...,añ y los definidos por una ecuación.g En el primer caso, obtenemos

un subespacio afín de este tipo:

(1)r,1)2,...,un) + R(ar, 612,..., &n).

(at,a2,. ..,&n) es no nulo, de este subespacio afín se dice es wa recta ¿. pn.10 Por ejemplo, el conjunto (1,1) + R.(2,3) es una recta de R.2, y el conjunto (0, 1, -3) + R (2, -10,0) es una recta de R'3' Si el vector

8De suyo, la notación debería ser {u} + F, pero abreviamos quitando las llaves. gEstos tipos "básicos" son los que Iuego intersecamos o sumamos.

l0Nótesequesielvector (at,aZ,...,an)esnonulo,entonceselsubespaciovectorialW(at,a.Z,...,an)

noesigualal{(0,0,...,0)},yelsubespacioafínanteriornosereducealconjunto

{(ut',u2,""uil}'

25

INTRODUCCIÓN

En el segundo caso, obtenemos

un subespacio afín de este otro tipo:

(ur,1)2,...,'t)n) + {(xr, x2,...,xr") e Rn I atxt + a2x24

"'+ enxn:0I

Una consecuencia que se extrae del texto es que estos subespacios afines se pueden escribi de esta forma: (1)

{{xr, xz

donde d es un número real. (El número d puede ser nulo o no; en el primer caso, estaríamos ante un subespacio afín que también es subespacio vectorial; en eI segundo, ante un subespacio afín que no sería subespacio vectorial.) Cuando Ios números d-1, az, ..., cLnno son simultáneamente nulos, de todo conjunto de la forma (1) se dice es un hiperplano de R¿.i 1 Los hiperplanos de R.u son, pues, subespacios afines determinados por una ecuación de Ia forma a.1xl -l 612x2 -l ' ' ' + anxn: d con los números 6Lr, &2, ..., 6Ln no simultáneamente nulos. A modo de muestra de lo dicho, en el ejemplo 33 (cf. p. 61) se prueba que el hiperplano determinado por la ecuación xt - x3: 4, es decir:

¡: {(xux¡x)

- xz: 4I verifica: A: (4,0,0) + {(x1,xz,x) e R3 lxr -x::0}. e R3 | xr

,

El úItimo concepto que se estudia en esta sección es el de combinación afín. Afirmar que un vector u es igual auna combinación afín de los k vector:s tl'y, ü2, ' ' ', uk

significaafirmarsesatisfacelaigualdadu:a7ur*ü21t2+"'+akukpataalgunos números reales a1, otz, ..., o(k que suman 1; es decir:

- atUt *

U

üzWz

*

*

ül I)

es

un grupo abeliano con la operación + definida por:

(xt,xz,...,x) e Ru, V (yt,y2,...,!) e Rn, (xt,xz,...,xn) + (yt,yz,...,t) = (x1 + Vt,xz t Vz,...,xn + !n).

(2)

composición externa definida sobre Ru para R de la forma:

VA e

R., Y

(xt,xz,...,xn) e R2, A(xr,xz,...,xn\:

(lxr,A,xz,...,A,x)

(3)

verifica las cuatro propiedades exigidas en la definición de espacio vectorial. En definitiva, con las operaciones definidas en (2) y en (3), R.2 es espacio vectorial sobre

el cuerpo EJEMPLO

3

R..

') es un cuerpo conmutativo, se puede generalizar el resultado del ejemplo anterior al conjunto Kn: para la ley de composición interna + dada por: Si (K, +,

(o\,0 rangof : dimF

-L l2 -r l2

(t',

matriz es, como hemos dicho, la inversa de Ia matriz

1i)

C:

c-r verificar que efectivamente el producto de esta matriz por la mafriz en un orden y en el otro, es igual a la matriz identidad ft: CC-r : C-rC = Iz. El lector puede

matriz

C,

A de cualquier orden (n,m), stt traspuesta, que se denota: At, es otra matriz de orden (m,n) tal que los términos Traspuesta de una

Dada una matriz

de sus m frlas son los términos de las z¿ columnas de A, y los términos de sus m columnas son los de las n filas de A.a Veámoslo con un ejemplo. Consideremos esta matriz:

lt ¡ -r\ o: [.o z 4)'

Es de orden (2, 3), así que su traspuesta: At, es una matriz de orden (3,2). Informalmente, Io que en la matriz A son filas, en Ia matriz At son columnas, y viceversa;

más en concreto, los términos de Ia primera fila de A son los términos de la primera columna de At, y los términos de la segunda fila de A son los de la segunda columna de At. La matriz At es, pues, la que tiene como términos de su primera columna los números 1, 3 y -1, y como términos de su segunda columna los números 0,2 y 4t

At: aMás formalmente: la matriz Ar tiene por vectores fila los vectores columna de la matrtz A (en el mismo orden), y tiene por vectores columna los vectores fila de la matrtz A (también en el mismo orden).

III.

L74

MATRICES

Otro ejemplo. Consideremos estas matrices:

(r

2)

v(i)

La primera es una matriz fila, esto es, con una sola fila, que se transformará en una única columna a) traspon¿r; es decir, su traspuesta es una mafriz columna; sus términos son obüamente los mismos que los de la matriz fila original. AnáIogamente, la segunda matriz de las anteriores, que es una matriz columna, tendrá por traspuesta una matriz fila. Las traspuestas de las dos matrices son, respectivamente, Ias siguientes:

(i)v Nota bene

Si

orden.

A

(-r

1)

una matriz es cuadrada, su traspuesta es otra matriz cuadrada del mismo

En el texto figuran varias propiedades de Ia trasposición de matrices. Nos interesa

destacar aquí Ia última: eI rango de una matriz y el de su traspuesta coinciden. O dicho de otra forma (que ya apuntamos en el apartado dedicado al rango): eI rango de una matriz también es igual al rango del sistema formado por sus vectores fila. Este resultado tiene una consecuencia práctica importante: las propiedades que ya conocemos del rango de una matriz también son váIidas cambiando columnas por filas; en concreto: . el rango de una matriz no varía si sumamos a una fila una combinación lineal de las demás;s . al eliminar en una matriz una fila, eI rango no varía si tal fila es igual a una combinación lineal de las demás, y el rango disminuye en 1 si la fila no es igual a una combinación lineal de las demás. Asimismo, el procedimiento que describimos para calcular el rango de una matriz sigue siendo válido si cambiamos columnas por filas y viceversa. De acuerdo con esto, eI rango de una matriz con una sola fila es igual a 0 si todos sus términos son nulos,

y es igual a 1 si alguno es no nulo; por ejemplo: rango (0

o)

-o

v

ranso (0

)

-¿-

r) -

1.

Y el rango de una matriz de dos filas (supuesto que no todos los términos son nulos, Io que supondría rango 0) es igual a 1 si ambas filas son proporcionales, y es igual sEntendiendo estas operaciones entre filas también término a término.

,\TRODUCCION

L75

a 2 si no lo son;6 verbigracia:

ranso

lt (.r -z -1

3\

6)

:1Y

raneo

lz -3\ : ¿.? [, t)

Finalmente, para calcular el rango de una maliz con tres filas o más, podemos intentar transformar la matriz dada en otra, del mismo orden y con el mismo rango, con esta propiedad: una de sus columnas tíene nulos todos los términos excepto uno;Ia fila a Ia que este término no nulo pertenezca se puede eliminar, disminuyendo eI rango de la matriz en 1, y reduciendo de esta forma el problema al de una matriz con una fila menos. (Recuérdese que para una matriz de tres columnas o más proponíamos

intentar transformarla en otra que tuviera una fila con todos los términos nulos excepto uno, y que eliminábamos la columna a la que este término no nulo pertenece, disminuyendo eI rango en 1.) A modo de ejemplo, calculemos el rango de esta matriz de tres filas y cuatro columnas:

/2 -2

0

1\

o 1 1l \, 1 -r o)

B- f r

Buscamos, pues, transformarla en otra, del mismo orden y con el mismo rango, que tenga alguna columna con todos sus términos nulos excepto uno. Intentemos, ver-

bigracia, que tal columna sea la cuarta. Podemos dejar la primera fila como está (ya tiene no nulo su término de la cuarta columna), y sumamos a la segunda fila Ia primera multiplicada por -1; esta operación arroja una nueva segunda fila, de términos -I,2,I y 0. A continuación, eliminamos la primera fila y el rango disminuye en 1. Obtenemos:

rangoB :

/2-201\/2

rango

lt \:

o 1 1l:ransol-1 ¿ 1 -1 o) \ 3

:1 +raneo( i I

-2 2 1

0

1\

-1

0)

1 0l

1 o\- r+z-3. I 0)

-1

matriz que hemos obtenido, tras eliminar la primera fila, tiene dos filas no proporcionales, luego su rango es 2. La matriz B tiene finalmente rango igual a 3. Quizá eI lector se haya percatado, en el cálculo del rango anterior, de que la operación que hemos llevado a cabo entre las filas segunda y primera de la matriz B para "anular" el término de posición (2,4) (cuyo valor original era 1) es realmente La úItima

6La "proporcionalidad" de filas se debe entender de manera análoga a la de columnas: dos filas son proporcionales si es posible obtener una de ellas multiplicando la otra por algún número (esto es, multiplicando todos los términos de esta última por el número).

L76

III.

MATRICES

una transformación elemental por filas de tipo III; en concrefo: F2 * Fz - Ft.Ya sabemos que las transformaciones elementales por filas, y también las transformaciones elementales por columnas, no hacen variar el rango de una matriz. En la práctica, el rango de una matriz se calcula conjugando el método que acabamos de ejemplificar con la matriz B anterior (buscar una columna con todos los términos nulos salvo uno) con el método ya descrito en el apartado dedicado al rango unas páginas más atrás (buscar una fila). En definitiva, esto supone "hacer ceros" en la matriz con la a¡rda de transformaciones elementales de tipo III (tanto por filas como por columnas), buscando las filas o las columnas con todos sus términos nulos excepto uno; ya sabemos que cuando tengamos una tal fila o columna, podremos reducir eI problema aI de una matriz con una columna menos o con una fila menos. Por otra parte, si en algún momento del proceso nos encontramos con alguna fila, o con alguna coluÍlna, que sea combinación de las demás, sabemos que podremos eliminarla sin que el rango varíe; en particular, se pueden eliminar, sin variar por ello el rango, las filas o las columnas que tengan todos sus términos nulos. Veamos un último ejemplo de cálculo de un rango, el de esta matriz:

tl/L

-1 0

3\

1 2 rl l0 T:lr o 2 31.

lz _z3o) r 6 el \o

Intentemos hacer ceros en la primera columna, donde ya hay dos. Dejamos el 1 de la posición (1, 1) como está,7 y aplicamos transformaciones elementales de tipo III para anular los términos de posición (3,1) y (4, 1); con las transformaciones F: - F: - Fi Y Fs

*

Fa

-

2F1lo conseguimos:

-l i (; -l i i) F+*F+-.F.'lo F:*F:-F (" ?l

lr o z ;;;t-!; t; 3 o)

1

3 \o -z

\o -z

z

6 3

tl

y podemos ecribir:

rangoT

:

rango

l,l }l \o -z

1

-

1 + rango

(z

1

lo

3

\o

-2

2

2

1\

0l

6 3l' 3 0)

TQuizá se haya dado cuenta el lector de que al buscar una fila o una columna con todos sus términos nulos, excepto uno, resulta más cómodo que el término no nulo sea igual a 1. Detalles como este se aprenden poco a poco con la práctica.

-RODUCCION

después de eliminar Ia primera fila. Pero démonos cuenta de que ahora tenemos una columna con todos sus términos nulos: si la eliminamos, el rango no varía. Es habitual llevar a cabo estos dos últimos pasos de una vez: cuando ya tenemos una columna con todos sus términos nulos excepto uno, eliminamos la fila que corresponde al término no nulo, y también eliminamos la propia columna; este proceso hace disminuir el rango en 1, y nos lleva a una matriz con una fila menos y con una columna menos. (Lo mismo se haría Si, en vez de una columna, tuüéramos una fila

con todos sus términos nulos salvo uno.) Esquemáticamente:

(L rangoT

:

-1

121\

:

rango

1 + rango

1 2 0r 3 6 3l -2 3 o)

En esta última matriz, podemos darnos cuenta de que Ia tercera fila es proporcional a la primera, con lo que es posible decir de ella que es igual a una combinación lineal de las demás filas; eliminándola, no varía el rango: 1

rangoT :1 + rango

1

3

-2 En la

;

6 3

á'l

3l -

1 + rango

0)

[ li)

última matriz obtenida, ya tenemos una columna con todos sus términos nulos

excepto uno:

( ' ', r) rangoT:l+rrnooll t zl ol:l+t+ranoo(-j -\-/ t z\;)

"lI4 0)

La matriz final tiene rango igual a 2, pues sus dos filas no son proporcionales (tampoco son proporcionales, por supuesto, sus dos columnas). Finalmente: rangoT 4.

:

L78

III.

ilI.

1

MATRICES

DEFINICIÓTV DE MATRIZ 1. Definición de matriz Sea (K, +, .) un cuerpo y sean ny m números enteros positivos. Una matriz A con términos en K de orden (n,m) es una disposición de n ' m elementos de K en forma rectangular en n filas y rn columnas, de las que diremos son las filas y columnas de la matriz A. Del elemento de K que en una matriz A está situado en la fila í-ésima y en la columna j-ésima diremos es el término de A de posición (í,.i); se le suele denotar: a.ij . La notación habitual para la matriz A es: / att

I azr I

l':

A-lI aiL

6Ltz

a,r

j

cLLm

&zz

e2j

cLzm

6Li2

eij

6Lím

cLnZ

a"nj

cLnm

(41

i:: I

\o, r

donde los términos de Ia i-ésima fila CL;L

T, las soluciones son las matrices column a de la forma:

-L

la solución es única: X1

\,^)

t'í)

I

ei* eL*

l:¿rlil'] l"

Xt:

T

*

l:

A*_,i"T :

(,

0

-1 siendo

A1, tr*-t

elementos de K.

,

m-T

C,q,pÍrulo V

SUCESIONES DE NUMEROS REALES

V. SUCESIONES DE NÚMEROS

296

REALES

ESQUEMA _ RESUMEN INrnoouccrór.r 297

de

1.

EI conjunto de los números reales 310 1. Propiedades de los números reales ' 310 reales números 2. Intervalos de '3I4 .315 3. Valor absoluto de un número real .

4. Punto interior. juntos

Coniuntos abiertos.

cerrados

Con-

' 316

2. Sucesiones de números reales 32I 1. Definición de sucesión 2. Sucesiones acotadas 3. Subsucesiones

3. sucesiones conversentes. Límites tos 328 1. Sucesiones convergentes

2. 3.

de

El conjunto de los números reales, 297 . Sucesiones números reales, 301 . Sucesiones convergentes. Límites infinitos, 302 . Sucesiones monótonas, 306 . Series números reales, 307.

'321

..

LÍmites infinitos Punto adherente

monótonas

.334

'343

4.

Sucesiones

5.

Series de números reales 350 t. Definición de serie

347

2. Series convergentes 3. Criterios de convergencia .

.

6. Solución de los ejercicios propuestos

.3s0 . 35f . 353

355

7. Anexo 359 1. operaciones con sucesiones convergentes .3Sg .36f 2. Sobre la serie geométrica . . : . .

'323

'324

innni.328

R_ECA*rTUr-A,CIóN

V

363

l#ljJfl:fi:nffi'J::;'*:';ifi.;rl}i."1'"ffi",11

i¡finitos, 366 . Sucesiones monótonas, 368 . Series de números reales,369.

297

INTRODUCCION

INTRODUCCIÓN EI conjunto de los números reales Antes de presenta-r las sucesiones de números reales, es importante estudiar aigunos aspectos del conjunto de Ios números reales; a eIIo se dedica esta sección. Las tres primeras propiedades que se citan ya han sido utilizadas, al menos im-

plícitamente. EI conjunto de los números reales, dotado de las operaciones adición y multiplicación, tiene estructura de cuerpo conmutativo, y en él está definida la relación de orden total 3). Por ejemplo, la sucesión (n';n> 5) es una subsucesión de Ia sucesión (n2); compárese la sucesión: O,1,4,9, 16, 25, 36, ..., con la subsucesión: 25, 36, 49, '. ' Otra forma de obtener una subsucesión de una sucesión Ia sugiere este ejemplo. Sí (añ es una sucesión, y nos fijamos sóIo en sus términos de orden pari 6Ls, a2, aq, 61a,. . ., lo que acabamos de escribir es otra sucesión, que es subsucesión de Ia sucesión original (añi se denota: (az). Yerbigracia, para la sucesion ((-1)¿), su subsucesión ((-D2") es la sucesiín constante (1): 1, 1, 1,... (todos sus términos iguales a 1). De manera similar podríamos hablar también, por ejemplo, de la subsucesión de la sucesión (a.) formada por los términos de orden impar: (azn+t). Para finalizar esta sección, una cuestión de notación. Dado un número natural k, aveces escribiremos: (anin > k), sinhabernos referido antes a alguna sucesión (ar), que es posible que ni siquiera esté definida. Tal notación hace referencia a la sucesión cuyo término de orden 7L es 6Ln+k; es deci: cLk, clk+t, clk+2, ... Por ejemplo, la sucesión (Iln;n > 1) es esta: 1, Il2, I13,I14,...;ynótese que no podemos habla¡ de la sucesión (a.; con An : I ln, pues no tendría sentido su término de orden 0. El

inftnitos Empecemos con un ejemplo: la sucesión de números reales (1/n; n> l) converge al número real 0; o dicho de otra forma: el número 0 es límite de Ia sucesiín (Iln;n>7). ¿Qué significa esto? La Sucesíones convergentes. Límites

sucesión es:

,11 ', 2' 3' "''

1 "' n,

'

y sus términos son números que se hacen cada vez más pequeños; realmente, según avanzamos en el orden de Ia sucesión, los términos correspondientes se acercan al número 0 tanto como queramos. Por ejemplo, si quisiéramos, siempte con términos de la sucesión, acercarnos a 0 menos de una milésima, sólo tendríamos que seleccionar los términos de orden mayor o igual que 1001: todos ellos estarían en eI intervalo (0- 1/1000,0+ 1/1000), Io cual es lo mismo que decir que distarían de 0 menos de una milésima. Y esto lo podríamos hacer con otra medida cualquiera. Realmente, dado cualquier € positivo, existirá algún orden k (el cual dependerá, en

3()3

INTRODUCCIÓN

e,0 + e ) podemos encontral todos los términos de la sucesión que son de orden mayor o igual que k. Esto es iustamente lo que queremos decir cuando afirmamos que la sucesión (Iln;n > 1) converge al número real 0, o que eI número 0 es límite de la sucesión (I ln;n > I) ' general, de e) de forma que en el intervalo (0

-

Otro ejemplo: la sucesi'n (nl@+ 1)) converge al número 1. Alaüsta de sus primeros términos: O, 112,213,314,..., quizá no se aprecia si los términos de Ia sucesión se acercan a algún número concreto, pero si nos fijamos en términos de orden mayor, digamos, orden mayor o igual que 100:

100 101 ro2 I 01' t 02' J03'

"'

'

sí parece que nos pOdemoS acercar, tanto Como queramos' al número 1. Fuede comprobarse que esto efectivamente es así: Ia sucesión (nl@ + 1)) converge aI número 1. De una sucesión se dice es convergeinte si converge a algún número real. De las propiedades de las sucesiones convergentes que figuran en el texto, hay dos que queremos destacar aquí. La primera es que el límite es único; es decir, si una sucesión es convergente, entonces no convelge más que a un único número. Si (ar¿) es la sucesión convergente, y ¿ es su (único) Iímite, se escribe:

lí1¡an

: L, o bien lím (a) :

L.

De acuerdo con los ejemplos anteriores, podemos escribir: rim

(f,tnr

1) -

o

y

rím(#rl:1

La segunda propiedad que destacamos es que eI límite de una sucesión convergente

no depende de sus primeros términos. Formalmente, esto significa que una sucesi6n (a) converge a un número I si y sólo si cualquier subsucesión suya de Ia forma (an;n > k) converge también al número l. EI siguiente concepto que vemos en esta sección es el de límite más infinito. Intuitivamente, una Sucesi1n tiende a más infinito si, según Se avanza en el orden de la sucesión, Ios términos correspondientes se hacen tan grandes como se quiera. Por ejemplo, Ia sucesión (n2) tiende a más infinito. Fijemos un número b cualquiera; podemos encontrar algún orden k tal que todos los términos de la sucesión de orden mayor o igual que k son mayores que b. En efecto: si b es negativo, se toma k : 0, y si b es positivo, basta tomar como k eI primer número natural que supela Jb; el término de orden k, que es k2, y todos los que le siguen: (k + 1)2, (k + 2)2,. . . , son entonces mayores que b. Si una sucesión (ar) tiende a más infinito, se escribe:

IlIo": *@, obien lím(a) Se tiene entonces: límnz : +q'

= +oo'

{

l¡

\

V. SUCESICNES DE NUMEROS

304

REALES

Y una sucesión tiende a menos infinito si, según se avanza en el orden de la suce-

sión, los términos correspondientes se hacen tan grandes como se quiera en valor absoluto, pero siendo negativos. Por ejemplo, la sucesión (-n) tiende a menos infinito. Si fijamos un número b arbitrario, podemos encontrar algún orden k tal que todos los términos de orden mayor o igual que k son menores que b. Efectivamente:

:

si b es positivo, tomamos k

primer número natural que supera -b; consegrrimos así que todos los términos de orden mayor o igual que k: -k, -(k + 1), -(k+2),..., seanmenores que b. Siuna sucesión (¿")

0,y si b

es negativo, tomamos k igual al

tiende a menos infinito, escribimos:

l{go" - -oo, o bien De acuerdo con lo visto, podemos escribir:

lím

(a") : -oo.

lím(-n) :

-oo.

Los límites infinitos también cumplen las dos propiedades que destacábamos p¿üa

las sucesiones convergentes: la unicidad del límite y eI hecho de que eI lÍmite no depende de los primeros términos de la sucesión. En lo que al calculo efectivo de límites se refiere, lo primero que vemos es el cilculo del límite de sucesiones del tipo (p(n)), donde P(n) es un polinomio. Son sucesiones como (1 -na), (2n3 +n) o (1.+5n2 - 3zr). Sobre polinomios, conüene repasar el apéndice A (cf. p. 413),6 pero recordamos que el grado de un polinomio es el mayor exponente de n que figura, y que eI coeficiente de mayor grado es eI número que acompaña a esta u el grado de 1 - na es 4 y su coeficiente d.e mayor grado es -1; el grado de2n3 + 7¿ es 3 y su coeficiente de mayor grado es 2; el grado de 1 + snz - 3n es 2 y el coeficiente de mayor grado es 5 (el grado del polinomio 5 -un número reaL es un caso particular de polinomio- sería 0, y el coeficiente de mayor grado de este polinomio serÍa eI mismo número 5). Con esto en cuenta, el límite de la sucesión (P(n)), cuando P(n) es un polinomio de grado mayor o igual que 1, es igual a +oo o a -oo según sea el coeficiente de mayor grado positivo o negativo, respectivamente. Así:

lím(1- na): -*,

lím(2n3

+n) : a* y

lím

(r+Snz -3n): a*.

(Si el polinomio tiene grado 0, es decir, si se reduce a un número real, Ia sucesión (P(n))esunasucesiónconstante,ysulímite es triüal;porejemplo:lím (5) : 5.) El siguiente tipo de límites que distinguimos es el de sucesiones del fipo (I lP(n)), donde P(n) es un polinomio de grado mayor o igual que 1. En todos estos casos el

límite es igual a 0;por ejemplo:

lím.

1

l?*oc I - n.

" -0,

lím

l?-o¡

-ns +2'n4 -n+2

lím^^1 -0, o t?*Ñ Onr + Tf =-0.

6En eI apéndice citado, Ios polinomios se presentan en la indeterminada

x2 + I,o 3

- x + x3. Lo que allí se dice es válido

TLr

x; por ejemplo:lxs +J2 x+1,

aquí sin más que cambiarx por n.

305

INTRODUCCION

Notabene

Noestádefinidoelcociente

IIG-n2) cuandorr:1, asíque,propiamente,

deberÍamos escribir: lím(1/(1 -n2)in>2) :0; sin embargo, envirtud de que ellímite (sea finito o infinito) es único y no depende de los primeros términos de la sucesión, y con el fin de no recargar la notación, escribiremos simplemente lím (1/(1 -n2)) = O.

Análogo comentario podríamos hacer conlos otros límites. Engeneral, st(bnin > k) es una sucesión que admite límite, finito o infinito, no designaremos éste por lím (bn;n > k), a sino por lím (b.), aunque b, no esté definido par algún valor de n menor que k.

Y finalmente también calculamos el límite de sucesiones definidas por cocientes de polinomios, del fipoi (P(n)lQ@)), donde P(n) y Q(n) son polinomios de grado mayor o igual que 1. Debemos distinguir tres casos, según sea eI grado del polinomio del numerador mayor, igual o menor que el del denominador. En el primer caso: cuando el grado del numerador es mayor, el límite es más infinito o menos infinito, según sean iguales o distintos, respectivamente, los signos de Ios coeficientes de mayor grado de ambos polinomios. Por ejemplo:

-nz +2 rol. ilm --o 7L-o -¿n + b (Para el primero, verbigracia, el polinomio del numeradol es de grado 4 y su coeficiente de mayor grado es -1, y el polinomio del denominadol es de grado 2 y su

coeficiente de mayor grado es 5; el grado del numerador es mayor, y ambos coeficientes tienen distinto signo, así que el lÍmite del cociente es -oo.) En el segundo caso: los gtados de numerador y denominador iguales, eI límite es igual al cociente de los coeficientes de mayor gtado: I lím "L-nz 7,t-a TIL +-n - I"--1,

y

)) -2n-

Sttr + TL¿

lím ll*ñ Bn3

5

\R - Bt

2n+5

o

'l'Il

2

1

_lron+g: -10- -E

en eI tercer caso: eI grado del denominador mayor, el límite es igual a 0:

[n#-0, ¡n#*: 0, o

.)

lím

7L-

@

rt¿ 'n3

-

+5n+I

2n2 + 3n +

I -0.

En el manual Problemas Resueltos, puede encontrar eI lector límites de más tipos de sucesiones. Esta sección termina con eI concepto de punto adherente. Un punto adherente de un conjunto de números reales no vacío es un punto que es límite de alguna sucesión de puntos del conjunto. Es decir: si A es un conjunto y a es un punto' este

punto es punto adherente de A (o simplemente: es adherente a A) si existe alguna sucesión (xil con límite a y con todos sus términos puntos de A: lím (xr) : a, y vn e N, xr, € A. Nótese queunpunto delpropio conjunto es adherente al conjunto: sl a e A, la sucesión constante (a) converge obüamente al punto ¿¿ y sus términos son puntos de A. Una propiedad interesante que Se prueba en eI texto eS

{ Hl

\

V.

306

SUCESIONES DE NÚMEROS REALES

esta: de un conjunto no vacío acotado superiormente, su supremo es punto adherente; y, análogamente, de un conjunto no vacío acotado inferiormente, su ínfimo es punto adherente. De esta forma, dado eI intervalo ( 1 , 2 ), por ejemplo, son adherentes a é1, además de sus propios puntos, los puntos 1 y 2 (su ínfimo y su supremo, respectivamente); o dado el conjunto R.f -que es en definitiva el intervalo (0,+oo)- son adherentes a él todos sus puntos y el punto 0 (su ínfimo). Estos ejemplos muestran que hay conjuntos que admiten puntos adherentes que no pertenecen aI conjunto. Finalmente, se define la adherencla de un conjunto no vacío como el conjunto formado por sus puntos adherentes. Si A designa el conjunto, su adherencia se denota así: Á. Como todo punto del propio conjunto es adherente al conjunto, se tiene: A c Á. Nos interesa resaltar una propiedad: un conjunto es cerrado si y sólo si coincide con su adherencia; una consecuencia de ello es que el límite de cualquier sucesión convergente de puntos de un conjunto cerrado es un punto del propio conjunto. En lo que al aspecto del cálculo práctico se refiere, notar que, para calcular la adherencia de un intervalo, no hay más que "añadir" su supremo y su Ínfimo, caso de que alguno de ellos, o los dos, no pertenezca ya al intervalo. Así, la adherencia de los

intervalos la.,bl, (a.,bl,la.,b) y (a,b) es [a,bl; la de (¿, +-) y [a,+*) es [a, +oo); la de (-oo, b) y (-*,bl es (-oo, bl;yla de R. es el mismo R.. Sobre eI conjunto vacío, se conviene en que su adherencia es el propio conjunto vacío: A : A. Sucesiones monótonas Una sucesión creciente es una sucesión que verifica que cada término es menor o igual que el siguiente. Es decir, una sucesión (a; es creciente si verifica: Y n e N, d¿ 4 cLn+r. Una sucesión es decreciente si cada término es mayor o igual que el siguiente: Y n e N, ú1, ) 6Ln+r. Y en ambos casos se añade eI adverbio estrictamente si los términos consecutivos no son iguales, esto es: Vr¿ e N, A, I &n+\, o V n e N, a", ) an¡1. Finalmente, una sucesión es monótona. si es creciente o decreciente.

Para saber si una sucesión (ar) es creciente o decreciente, podemos calcular la diferencia entre un término y su anterior, digamos: an+t - &n, y vet si es positiva o negativa para cada n: el primer caso corresponde a sucesión creciente, y el segundo a decreciente. Por ejemplo, se puede comprobar así que la sucesión (Iln;n > 1) es decreciente, incluso estrictamente, pues:

rL- (n+I)

1

Qn+L-CLn -n+I

y -l I (@ + I)n)

rL

es negativo para cada

(n + I)n

-1

(n + L)n

n > 7 (al haberlo obtenido negativo, y no

simplemente menor o igual que 0, podemos concluir que la sucesión es estrictamente decreciente). Otra cosa que se puede hacer, al menos cuando la sucesión tiene sus términos positivos, es estudiar si el cociente anl1f an es mayor que I para

3o7

INTRODUCCION

n (creciente) o menor que 1 para cada n (decreciente). si6n (Jñ;n > I) es estrictamente creciente, pues: cada

Por eiemplo, Ia suce-

n+I "rn

CI'n

TL

y como (n + l) I n es mayor que 1 para cada n > 1, lo mismo verifica su raíz cuadrada. Otro ejemplo: la sucesión7 (2" lnl;n > 2) es estrictamente decreciente, ya que: 2n+l

an t

:

(".1X

2

n*r'

"" -T-: nl

y 2l@ + 1) es menor que

I para cadan > 2.

Un resultado impofiante sobre las sucesiones monótonas es este: dada una suceSión creCiente, si está aCOtada Superiormente, entonces eS Convelgente, y si no lO está, entonces tiende a más infinito. De la misma manera, dada una sucesión decreciente, si está aCotada inferiormente, entonces eS convelgente, y si no lo está, entonces tiende a menos infinito. Vemos así que todas las sucesiones monótonas admiten lÍmite, finito o infinito. En el texto se estudia ampliamente Ia llamada sucesión geométrica de razón q, donde 4 es un número real no nulo. Se trata de la sucesión (4n), es decir:

I, 4, cI2, 613, ... 0 < | ql < L (o lo que es lo mismo: : : la sucesión es constante: (1) 1, entonces (qn) 0; si 4 si -1 < q < I),entonces lím (ypor tanto conlímite t); si q > 1, entonceslím(qn): +oo; y si 4 < -1, entoncesla sucesión no admite límite (ni finito ni infinito). Sus propiedad.es se resumen de esta manera: si

Series de números

reales

Sea

(¿r) una sucesión de números reales. La serie

de números reales asociada ala sucesión (an), o como también se dice: Ia serie de término general e.n, es esta sucesión:

CL¡,

CLg

* A,y,

A'g

* A4 *

Cl'z,

Es decir: la serie asociada a la sucesión

sucesión (S,r) con

(an), o la serie de término general An,

eS

la

Sn: Zap. p=0

Por ejemplo, Ia serie asociada es la sucesión (S") donde:

ala sucesión (n), o la serie de término general n, *

TSobre la notacion nt, véase Ia nota al pie en p. 347.

TL

+ 1) : n(n ----. ¿

V. SUCESIONES DE NÚMEROS REALE:

308

(esta última igualdad es

fácil de comprobar.) Otro ejemplo: la serie asociada a Ia (Tr) donde:

sucesión geométrica de raz ón q (recuérdese que q + 0) es la sucesión

Tn: L+q+q2+

q'.

Esta serie se denomina serie geométrica de razón q. Se dice que una serie es convergente, y de suma el número real S, cuando, como sucesión, es convergente y su límite es .S. Es decir, Ia serie (S") asociada a Ia sucesion (a") es convergente de suma S si lím (S") : S, esto es: TL

lím t l¡-oo u

cL-Y

_

5:.

P:0

Y se dice que una serie es dívergente si no es convergente. Para estudiar el carácter de una serie, esto es, para estudiar si la serie es convergente o divergente, son útiles los llamados criterios de convergencia,los cuales no son más que condiciones suficientes de convergencia o divergencia de una serie a partir de cálculos con Ia sucesión a la que está asociada. En el texto se presentan dos: el de o'Atsl\4snnr y el de Caucny.s Para una serie de término general an, donde cada an es no nulo, el criterio de

si existe, el lÍmite de (lan+tlanl): la serle límite menor o mayor que 1, respectivamente. Por ejemplo, la serie asociada a la sucesión (2n lnl;n > 2) es convergente. D'ALEMB¡RT nos pide que calculemos,

es convergente o divergente según sea este

,;l[

porque: 2n+L

lím la"*t | t1-.ol A, I

tím - n-*

(n+U 2n

2

lÍm -:0, ?1.-@ n + I

,T

y este último número es menor que 1. Y para una serie de término general an (donde ya no exigimos que cada an sea no nulo), el criterio de Caucuy nos pide que calculemos, si existe, eI límite ¿s \[at: también acontece que la serie es convergente o divergente según sea este límite menor o mayor que 1, respectivamente. Por ejemplo. Ia serie de término general (nn l(2n + 1)") es convergente, pues:

-

lím

'11-

@

Vn

(2n + D"

-

lím

!L- tx

/

n

\r?

n

1

l,?-m 2n + I -2 \zn+r) -lím

hiota

En ambos criterios, si el límite correspondiente existe y es igual a 1, nada podemcs deducir de la convergencia o divergencia de Ia serie. Ab

8En muchos libros se denominan criterio del cociente y criterio de la raí2, respecfivamente. El motir de esta nomenclatura saltará a la vista inmediatamente.

309

INTRODUCCIÓN

Para finalizar, comentamos que en el texto se estudia con detalle la serie geomé-

trica de razón q. Su carácter (convergencia o divergencia) depende crucialmente del valor de 4. Si la razón q está comprendida entre -1 y 1, es decir, si -1 < q < I, entonces la serie geométrica es convergente y de suma 1/(1 - 4); esto se escribe así:

i

TL:O

En caso contrario, esto es, si divergente.

qn

1

I-q

4 < -1 o si q > l,

entonces Ia serie geométrica es

{ I

rl t.

V. SUCESIONES DE NUMERO-S

310

V.l

REALES

EL CONJUNTO DE LOS NUMEROS REATES 1. Propíedades de los números reales Suponemos que el lector está familiarizado, desde sus estudios de secundaria, con los números naturales, enteros ) racionales, y en alguna medida con los reales. De estos últimos, en este apartado recogemos sus propiedades más importantes. Algunas de ellas ya han sido citadas (o al menos implícitamente manejadas) en eI presente texto, como las dos primeras, Propiedad I (cuerpo conmutativo) El conjunto R de los números reales, dotado de las operaciones adición y multiplicación, tiene estructura de cuerpo conmutaftyo:e (R.,+,'). El número 0 es el elemento neutro de Ia adición; eI opuesto de un número real x es eI número -x; el número 1 es el elemento neutro de la multiplicación; y eI inverso de un número real x no nulo (x * O) es I I x. Propiedad 2 (relación de orden) La relación '' ("mayor o igual que") y '>' ("mayor que"). a

Nota

Propiedad 3 (compatibilidad entre la relación de orden y las operaciones) La relación de orden total < es compatible con la adición y la multiplicación del cuerpo conmutativo (R, +, .). Esto es, para cada terna (x, y,z) de números reales se verifica:

x 0, entonces existe un número natural positivo rn tal que s > I

lml aI ser I lm un elemento

esto establece que s no puede ser una cota inferior de A. Se tiene entonces: ínfA que, como 0 É A, este número no es el mínimo del conjunto A.

:

de A,

0. Nótese

V.

3L4

Supremos e ínftmos de conjuntos no

acotados

Si

SUCESIONES DE NÚMEROS REALES

un conjunto de números reales A

no está acotado superiormente, es decir, si verifica:

I b e R, b no es una cota superior de A, Su

premo más

oloqueeslomismo:Yb e R., lx €A, x > b,entoncesescribiremos:

infin ito

supA

:

+oo,

que leeremos: "eI supremo de A es más infinito". Y si el conjunto A no está acotado

inferiormente, mutatis mutandis, escribiremos: ínf

ínfimo más

A

:

-cn,

que leeremos: "el ínfimo de A es menos infinito".

infi n ito

2. Intewalos de números

reales

Dados dos números reales a y b, con a < b,

se definen Ios siguientes conjuntos:

(a,b) - {x e R I a 10) es:

ME

V@:VL4s' que coincide con el término de orden 2 + 10

dtz EJEMPLO 2r

-

12 de la sucesión (dn):

(I2)2 + I

(b) del ejemplo 14 (cf. p. 322): ((-I)n), su subsucesión (b"in > 10) es (bn+n). la sucesión Comobn = GI)", se tiene: bn+to: (-1)'*t0, ypor tanto Ia subsucesión (bn;n > 10) es concretamente la sucesión ((-1)"*t0). El término de orden 23 de Ia sucesión ((-1)"; n > t0) es (-l¡zs+to = -1, que coincide con el término de orden 23 + 10 = 33 Para la sucesión

1:)l-

rf

TE¡

de la sucesión

11-t)").

I

j

J

b,

Fijado un número natural k, si

Sucesión

fftnl;n

> k)

f

es una aplicación del

{m e N I m> kI en

R.,

:

lF

conjunto

Ik,k+ I,k +2, ...}

entonces la notación:

(f (n);n> k) designará la sucesión cuyo término de orden

EJEM

PLO

22

n (n e N) es el número real

Dada la aplicaciÓn

J,C

{6,7,8,. ..} TL la sucesión

fffn¡;n

R

--'+

,1' ' (n-L)(n-5)'

> 6), es decir:

(L\ (,?"-1) (n- il;n"6)' es

la sucesión cuyo término de orden n (n € N)

es:

f(n+6)- ((n+ 6) - t) (trL+ 6) - s)

1

@+-r@+D

f

(n + k) '

V. SUCESIONES DE NÚMERO;

328

V.3 que un número real

Sucesión

converge a

REALES

SUCESIONES CONVERGENTES. TIMITES INFINITOS

7, Sucesiones convergentes De una sucesión (a) de números reales diremos que converge al número real I si, cualquiera que sea el número real e > 0 que fijemos, podemos encontrar un número natural k, que dependerá (en general) de e, tal que todos los términos de la sucesiín (ail de orden mayor o igual que k pertenecen intervalo (l - e,I + e). En símbolos:

Vne

Ve >0,1ke N,

N,

n>k +

cLn

c (L-e,L+e),

a,l

(-+

r

o bien:

Ve >0, Si

Ia sucesión

(a)

lke

N,

Yn>-k,ane(L-e,L+e).

converge a algin número real l, de la sucesión

(51

(a") diremos

es

es límite de la sucesión (ant, (ar), de ésta diremos que real límite de Ia sucesión sea Si no existe ningún número

Límite una sucesión convergente, y del número real I diremos es no convergente.

Nota

Por abuso de notación, en (4) y en (5) hemos escrito: V e > 0, cuando teníamos que

haberescrito: Vee(0,+-¡;yen(5)hemosescrito: a escrito: Vne{m e N lm> k}.

Yn>k,cuandoteníamosquehaber

Definiciones equivalentes de sucesión convergente Sea (4") una sucesiÓn de números reales y sea / un número real: . La sucesión (an) converge aI número L precisamente si:

q

[¡,] I

lke

Ve >0,

N, Vn e N,

n>k> ll-a"l

(8¡

k,enlonces:13 p(n) > k,y de (8) deducimos que para cadan e N se verifica:

n>k+ a.p6¡€(L-e,L+e). Hemos probado entonces que, fijado e > 0 arbitrario, podemos encontrar un número natural k tal que los términos de la sucesión (apot) de orden mayor o igual que k pertenecen a (I

EJEMPLO 25

-

e,l + e ).

Es decir: lím

(ono¡)

: ¿.

En el ejemplo 24 vimos que lím (ll@+ 1)) : 0, y en el ejemplo 18 (cf. p. 325) vimos que (tl(2n+ 1)) es una subsucesión de la sucesión (tl@+ 1)). De acuerdo con la proposición V.6, podemos escribir:

EJEMPLO 26

c.Q.D,

/l\ tim(-*'J:o

La sucesión (an), donde:

It, clp

si n e {0,2,4,. ..},

I

- i l

ln,

sr

7¿

€

{1,3,5,...},

13Dada una aplicación p de N en N estrictamente creciente, por recurrencia es fácil demostrar que p(n) >k. verifica: Vrt € N, p(n)>n,yenconsecuenciaparacadake N setiene: n>k

-

se

V.

3. SUCESIONES

CONVERGENTES. LIMITES INFINITOS

33r

es decir:

1,

r,

1,

1, +, r, 1, 1, 35/ +,

no es convergente. En efecto, su subsucesión (azn) es esta sucesión constante:

1, 1,

1,...,1,

cuyo límite es 1 (cf. ejemplo 23,p. 328):

lím(azn)-1; y su subsucesión (azn*r ) es la sucesión 0 t fTn + 1)), esto

r' ' 111 3' 5' 7' cuyo límite es 0 (cf. ejemplo 25):

es:

1

rim(#)-o

Deducimos que la sucesión (an) no es convergente: si lo fuera, todas sus subsucesiones convergerían al mismo límite (cf. proposición V.6), pero sus dos subsucesiones escritas, aunque converg€tr, lo hacen a límites distintos.

Una sucesión (an) de números reales que admite una subsucesión convergente no es, a su vez, necesariamente convergente, como muestra el ejemplo 26. Sin embargo, si la subsucesión que es convergente es de Ia forma (adn 2 ns) para algún número

natural ??0, entonces la sucesión (a") si es convergente, y su límite es el mismo. En efecto. Sea I eI lÍmite de la subsucesiín (adn>r,o). Fijemos un número real e > 0. Entonces existe k e N tal que todos los términos de orden mayor o igual que k de la sucesión (anin > no) pertenecen a (L - e,L + e); ahora bien, el término de orden z¿ de la sucesión (anin 2 :¿o) es el término de orden ul-t vls de la sucesión (a.") . Es deci, habiendo fijado e > 0, hemos encontrado un número natural k' -precisamente k' = k -t rLo- tal que todos los términos de Ia sucesión (añ de orden mayor o igual que k'pertenecen a (L-e,J+e). En conclusión, la sucesión (a") también converge a l. Podemos escribir: lím

(anin > nü : lím (anano) : lím (a")

'

Tenemos demostrada, pues, la siguiente

Proposición V.7 Si Ia subsucesión (an;n > k) de la sucesión (a") de números reales es convergente, entonces Ia sucesión (a") también es convergente y los Iímites de ambas son iguales: lím

(

eil -

lím ( 6Ln,n > k)

,

V. SUCESIONES DE NUMEROS

332 El

límite no

depende de los primeros

REALES

Corolario

La propiedad de convergencia de una sucesion de números reales a un límite es independiente de Ios k primeros términos de la sucesión (cualquiera

queseakeN).

térm inos

Proposición V.8

Dada una sucesión lím

Demostración

Que

(ar)

de números reales, s€ verifica:

(eil - 0 €=+ lím (lanl) -

0.

la sucesión (an) converge a 0 significa:

Ve >0,

lke

N,

Yn>k,6Ln€ (-e,e)

,

y que la sucesión (la"l ) converge a 0 significa:

lk e N, Y n> k, lanl e (-e,e).

Ve > 0,

Ambos enunciados son equivalentes, pues: &n e (-e,

Proposición V.9

Dada una sucesión

(e)

e

) 0, y que la sucesión (a"

-

lke

N,

Yn>k,ane(L-e,L+e),

L) converge a 0 significa:

Ve >0,

lke

N,

Vn>k,ar-Le

yambos enunciados sonequivalentes, pues:

Corolario

Dada una sucesión

(eñ

(-e,e),

ane (L-e,I+e)

:

a.n- Le

(-e,e).

c.Q.l

de números reales, s€ verifica:

lím(en)-L b (cf. propiedad

sib > O,entonces eúste k e

arquimediana de los números reales, p. 313), y en consecuencia todos los términos de la sucesión (n ) de orden mayor o igual que k son mayores que b. EIlo establece que la sucesión (n ) tiende a más infinito. EJEMPLO 28

La sucesión

((-l)"n)

no tiende a más infinito. Si fijamos el número real b : 0, no podemos encontrar ningún número natural k tal que todos los términos de la sucesión de orden mayor o igual que k sean mayores que 0;

concretamente.i d.zk+t: eDzk+1(2k+ 1) =

EJERC|CTO I 0

-(2k+

1) < 0paratodo k e N.

DemostÍar que toda sucesión de números reales que üende a más infinito está acotada infe-

Íiormente. Una caracterización de las sucesiones que tienden a más infinito, y que será utilizada más tarde, se ve en la siguiente: CNS

de límite más infin ito

Proposición V.I2 una condición necesaria y suficiente para que una sucesión (a) de números reales tienda a más infinito es que se verifiquen simultáneamente los dos siguiente asertos: a) todos los términos de Ia sucesión, salvo quizá una cantidad finita, son positivos: 1k e N, Y n > k, cLn ) O.

D' ri'

l!) \an/

:

o.

Demostración

La condición es necesaria. Aplicando la definición de límite más infinito para b = 0, se nos asegura que todos los términos de la sucesión (a) son positivos a partir de cierto orden. Por otro lado, si fijamos e > 0, haciendo uso de la deflnición para el número 1/e, podemos afirmar existe k1 e N tal que:

Vn2kt,CIn y así: lím

(L

la-) :

0.

lanl

V. SUCESIONES DE NUMEROS

336

La condición es suficiente. Fijemos deducimos existe k e N tal que Yn

b€

R.

existekeNtalque:

sib b;stb 1.

Vn>k,en)oy

A.n

REALES

de acuerdo con el primer aserto 0, de ambos asertos deducimos

( i,;)

y por tanto:

Yn>k,0< Iuego: V El límite más infi n ito

no depende de los primeros té rm inos

n > k,

6Ln

)

1

an

1

b'

b, y en definitiva: lím (an) - *oo.

C.Q.D.

Corolario Si la subsucesión (an;n > k) d" una sucesión (a") de números reales tiende a más

infinito, entonces Ia sucesiÓn

(a)

tiende a más infinito.

Otra caracterización de las sucesiones que tienden a más infinito, y que el lector puede comprobar por sí mismo, es la siguiente: tlna condición necesaria y suficienteparu que una sucesión de Proposición V.l 3 números reales tienda a más infinito es que toda subsucesión suya no esté acotada superiormente. Sean (an) y @") dos sucesiones de números reales. Si la Proposición V.I 4 sucesión (an) tiende a más infinito t/ la sucesión (b") está acotada inferiorment e, entonces Ia sucesión (an * bn) tiende a más infinito.

Demostración

d una cota inferior de la sucesión (b"). Fijemos

Sea

sucesión (¿r) tiende a más infinito, para el número real que: V n 2 k, an > r - o\y en consecuencia:

d+bn2T-

Yn>k,6Ln*bnlry la sucesión (an Límite de una su

ma

cuando uno de los

su

Corolario

tiende a más infin ito

Sea

d+ ü:T, C.Q.l:"

(an) una sucesión de números reales que tiende a más infinito.

finito.

2)

r e R. Como Ia

d existe un número natural k tal

* bn) tiende a más infinito.

Entonces: 1) Si Ia sucesión

mandos

r-

Si Ia sucesión

(b")

(b)

es convergente, la sucesión (an +

b")

tiende a más infinito, la sucesión (an +

tiende a más

b)

tiende a más

infinito.

Demostración

Es consecuencia de que

toda sucesion que sea convergente o tienda a más B, p. 330, y ejercicio 10, p. 335). c.e,D,

infinito está acotada inferiormente (cf. ejercicio

V.

3. SUCESIOAIES

CONVERGENTES. LíMITES INFINITOS

337

5 Sean (a") y (b") dos sucesiones de números (a) üende a más infinito y la sucesión (b) verifica:

Proposición V.l sucesión

1a>0,lke

N,

reales. Sl Ia

Yn>k,b,

entonces Ia sucesión (cLrbn) tiende a más infinito.

Demostración

De acuerdo con la hipótesis, existen un número real,

a > 0 y un número

natural k1 tales que:

YnTkt,bn>a>0.

(anb):

Para ver que lím

+@, fijemos

r

e

R, y sea b

(1 3)

: máxIrla,1]'

lím(a") =

Como

¡6,

para el número real b existe un número natural k2 tal que: Y n > kz, an ) b. Si tomamos como k el número k : máx{kr, kz}, y teniendo en cuenta q¿e a y b son números positivos, con (13) podemos afirmar que, para todo n > k natural, se verifica:

a-r'

- (máx Ii't\)'a>L Es

Límite de un prod u cto

decir: rím( 6Lnbn):

Corolario

Sea

(a)

Entonces:

cuando uno de

1)

los factores tiende a más infin ito

2)

Si

la sucesión

a más

Si

1"'">bA

+

C.Q.D.

una sucesión de números reales que tiende a más infinito.

(b)

converge a un número positivo, la sucesión

(a"bn) tiende

infinito.

Ia sucesión (b) tiende a más lnfinito, Ia sucesión (a"b") tiende

a más

infinito.

Demostración sión (b)

por tanto:

(b.)

:

l, con I > 0, tomando e -- Ll2, todos los términos de la sucede orden mayor o igual que algun k € N pertenecen aI intervalo (L - Il2,L + Ll2),y Si lím

b,>r-i:Lro,

para cada n > k. EsIo es, la sucesión (br) verifica la propiedad del enunciado de la proposición V.15. Si lím(br) = +o, fijado b : 1, todos los términos de la sucesión (b") de ordenmayor o igual que algún k e N son mayores que 1, y por tanto también en este caso se verifica Ia

propiedad citada. Con la proposición V.l 5, en ambos casos se concluye: lím (a"b")

EJEMPLO

29

:

¡a'

c.Q.D.

p e Nx, la sucesión (np) tiende a más infinito. En efecto. Si p : 1, entonces (cf. ejemplo 27,p.335):lím(n): +m. Si suponemos que verifica: lím (nu-r) : +m, entonces (cf. corolario de la proposición V'l5): Si

lím(nP)

: lím(nv tn) : **.

Y así se demuestra, por recurrencia sobre p, el resultado: V

p e Nx,

lím

(nu)

: ¡*'

se

V. SUCESIONES DE NUMEROS

338

REALES

Una consecuencia de lo recién demostrado y de la proposición V.L2 es esta:

(#)-0

Yp e N*, lím

(ail y (b") son dos sucesiones de números reales tales que lím (an) - *c y lím (br) : 0, entonces no podemos asegurar nada acerca del límite (si existe o no Si

y en caso afirmativo si es finito o infinito) de la sucesión eI siguiente ejemplo.

EJEM

PLO

3

0

Se

(arb"), como se muestra

en

verifica: lím (n)

:

*@,

rr'(1) -o y

_

nm(n

+) -

lím (1)

tím(nz

il-

tím(m)-*oo.

1.

También: lím (n2)

: **,

rr,

(r) -o y

Finalmente (cf. proposición V.B, p. 3 32):

pero la sucesión

(, . (t- r )" ln);n > 1) , esto es: -I,

1, - 1,

1,

no es convergente, ni tiende a más infinito.

Sucesiones que tienden a menos Límite

inftnito

De una sucesión

(a")

de números reales

menos diremos tiende a menos infinito (-oo) si, para cualquier número real b que fijemos, existe un número natural k tal que todos los términos de la sucesiín (an) de orden

infinito

mayor o igual que k son menores

qtue

b. En símbolos:

Ybe R, lkeN, Yne

N,

n>k = ank,cLn l

apuop 'l - (t) wll

- (ut'q) u.tllÁ *

('c'u)

anb reqord (ua) was

,1,

Z

I

Ol)lfu]fl

u.tl¡anb rcqoJd

'oo* - ("a) ull

oo- - (uq) wll

:anb sa:Bl sa[ear soreül1a ap sauqarns sa.4 (h) ,4 ("q) '(uo) tVF,

5

#l

/ i v* /

i

ñJ

I

_g3J

I

w I I'.9"7J_

uees

AJ-T3 tr

#Á

ñi.',

t t Olf lf U]fl

ül

_9

3 zu O

/

53

I

n

5'

€ A "

342

V. SUCESIONES DE NUMEROS Si Q es otro polinomio, con coeficientes reales de grado 4

Q@):bo+btx + "'+ brxq, entonces, para cada rL > 1 tal que Q@) * 0, se verifica:

con

bq*0,

A¡¡ 6It &p -r cLp P(n) nP- r v,- nP - \'-/ TL --T_-.-T-...-Tt'ta-4 bo bt r__ . -br-,L---+bq Q@) r"'+

v4'nq-r

y como:

6Lg-r

lím TL- @

6Lt

nP

-

bo

Ap-I

-r ' '

nP-r

----=

bt

v4 ' nq-r

+

r-

-r ttl-

TL '_up bq-t -t bq bo

TI

se tiene:

o si p

)

4, entonces lím (na-a)

-

+m, y

lím

ap

oo,

[*

P(n)

SI

a@:1

7L* a

cl, entonces lím

(na-a)

:

lím (1)

ap

Si

t-Ñ,

. sp:

bq

>0,

I

bq

0 bq

p>q

foo

-@, lím (1)

P:CT

p

k,

cLn

entonces:lím(a") > u. En efecto: el intervalo [a, +*) es un conjunto cerrado, y los términos de la sucesión (anin > k) son puntos de I a, + o ), luego podemos escribir (cf. proposición V'2 1 . p. 345): lím (anin > k) : lím (a") e [q, +-), y lím (a") > a.

2)

Si existe un número natural k

td

V n>

3)

que:

k,

cLn

con c{ €

R,

entonces lím (a") < a. Si ex¡ste un número natural k tal que:

Yn>k,6Ln4bn, entonces lím Es

(a") < lím (b").

una consecuencia de aplicar el primer apartado a Ia sucesión (bn

real q

:

- a)

y al número

0.

Nota

Obsérvese que si todos los términos de una sucesión convergente son puntos de un conjunto abierto, entonces no se deduce necesariamente que el límite de Ia sucesión

pertenezca al conjunto abierto. Por ejemplo, para la sucesión (Il@+l);n>- 1), sus términos son puntos del conjunto abierto (0, 1), pero su límite, que es el número 0, no pertenece a este conjunto abierto. Una consecuencia de esto es que si (ar) es una sucesión convergente que verifica

lke

N,

Vn>k, &n) d, cona€

entonces no se puede inferir que lím

igual. Nota

(a")

R,

sea mayor que c{, aunque sÍ que es mayor o

a

la definición de punto adherente de un conjunto permitiéramos que éste fuera el conjunto vacío, entonces ningúnpunto x sería adherente a 0. Convendremos en que la adherencia del conjunto vacío es el conjunto vacío: Si en

6:

a,

y con esta definición siguen siendo válidas las propiedades enunciadas de la adherencia de un EJERCTCTO r 3

conjunto.

B un conjunto de números reales. Si x es un número rcal, demostrar que o bien x es un punto interior de B: x e n, o bien x es un punto adherente de B': x e ff, pero no ambas simultáneamente. A partir de este resultado, concluir: Bc c = B, donde Bc-c designa a el co4iunto (tr)'. Sea

'0
az,¡=24

alu

e

if alf ap

u9lsalns aluarlar)

:aluamSrs epef, rs

JOUaTU SA OUrrUJ9]

1a

anb

alual)ar) aluaruElJl,Ilsa sa soruallp ('u) ugtsaJns el ac

alu a LUelf

!r ¡s 3

u9!sa3ns

'T+uA>u1,'N=UA u9lsalns

sapal soJaru4u ap uglsa)ns el ac

alusDa.if

1a anb IPnSr o

:aluarnSrs JOUaTU Sa OUrrUJ9]

eppJ IS alualf,arJ sa soruaJlp

(u)

SYNG-LONOhI

S:INOISE]I]S F'A

¿vE

sv

N

o-LQ N CW S3NO/S-7]

nS'

h'

A

V. SUCESIONES DE NUMEROS

348

REALES

Sucesión Dado un número real q no nulo, de la sucesión (4') diremos es Ia sucesión geogeométrica métrica de tazón q. Propiedades de Ia sucesión

1)

Si

geométrica

q > I, la sucesión (q")

Se

verifica:

es estrictamente creciente y no está acotada supe-

riormente.

- L > 0:

Por ser q > 0, para cada rL e N se tiene que qn > 0, y como q

(q- I)qn )

o

0,

bien qn*' u qn;

(q") es estrictamente creciente. Por otro lado, si la sucesión (42) esruviese acotada superiormente, existiría el supremo del conjunto |q";n e N]; denotándolo por s, tendríamos que s > 0, de donde(considerandoqtreq>l):(sld 0, para cada rL e N se tiene que qn > 0, y como L (1 es decir, la sucesión

(q")

- q)qn )

e N].

o

0,

es-

- q> 0:

bien qn > qn*r;

es estrictamente decreciente.

Por otro lado, la sucesión (4") está acotada inferiormente por 0, Iuego existe el ínfimo del conjunto de sus términos: L : ínf lqn ; n e N), y se verifica que I > 0. Ahora bien, si fuera I > 0, como 0 < q < 1, se tendría que (Llil > l, yen consecuencia l/4 no sería una cota inferior del conjunto \q"; n e N], es decir, existiría m e N tal que:

q^ 'q'.

4

!,

o

bien q^*'

< I,

lo que contradirÍa que I es el ínfimo citado. Se verifica, pues, que ínf lq";n e N] Si q < 0,la sucesión (q") no es monótona. En efecto, para cada z¿ e N* se verifica: qzn-t at¡'n y por tanto la sucesión

y q2'>q2n*',

(q') no es creciente y no es decreciente.

:

0.

'(0sg'd 'g'A ugrJrsodo¡d 'Jt) SalualaJrp SoJalunu e uaf,el{ ol 'ua8¡anuoJ anbune 'salent SPI

:uos 'aluaurelrl¡adsa¡'(r*ur.b) I ("rb) sauolsaJnsqns sns sond 'aluaS,tatuot sa ou (ub) ugrseJns e[ se)uo]ua 'l- : b $ (r 'O: ("b) tu!l :(Z€€'d'g'¡ ugtrtsodord'¡c) > 0 aC o'O : (,lbl)*yanb arnpap as I t otuet ¡od,t'O ( lbl = l.b)*ll:ualq .0 : ("b) wyseruotue 'I > lb | > O tS ls 'I : ("b) utlseruolua 'I : b lS e 'oo + : ("b) wll saJuotua 'I < b lS (t :(ub) e4lgutoa8 ug¡sarns pl ap sapepardord sElso uauar] as 'saloualue sauolJ oruoJ nt47u,toaD uqsnns al ap sapapaño'rd sq¡,'t¡

-rsodo¡d spl ap EIJuanJasuoJ

g]sa 0l

CIu

rs CI]lulJul souaul

a]!urjl aual] ¡d'aluaLur0l,,laJul e

'oltuuul souaul e apuau saJuolua 'aJuauttoualq epeloJe glsa ou rc lsoututt?l sns ep olunfuoJ \ap ouruul Ia sa a]rury[ ns ,1, a]ua6raAuo) sa saJuolua 'aLuautlouaJq ePel -oJe ?lsa p 'aJUeDaI)ap sepal solawryu ap u?tsaJns eun epecl € z'A u9!stsodeid

peiolE

ts alu

a 6.¡

91s a

anu

o:

s3 aluatfaJfap"s

eun

aluarnSrs e1 PrJerlsoluap as stpualntu sllalnN 'a't)':)

'oo* : (ua)

ull

:er)uanJasuo) ua

.Á

'-L l'tulU > lr*4al :saruolul '4 _b lrol

- J pas

b-)+t>l#l'r"uA :anb oJalunu un alsrya '7 - b

uerqrrrvl oluel

nd

Á,

: f PJPd 'sa¡uolug 'I

> b > 1 eas '1 > ? oset Ia uT

ug

Fl ry lernleu ¡

)eJ

¡sor¡"N

3ff

'a1ua8nnp sa ua ¡etaua? ouruar?l ap erles e[ 'l < ] ls c lalua&ntuot sa ua ¡etaua7 owur?l ap euas e[ 'aluaSta,taot sa lual ¡etauaS omrm?l ep auas e¡ '¡ > .¡ ts . :eJauaL as seJuoluil

'o0.

Entonces se verifica: . si I < 1, Ia serie de término general lanl es convergente, y Ia serie de término generd an es convergente; . si L > I, la serie de término generaL an es divergente.

Demostración

En el caso

por tanto también

I < 1, sea L < q < 1. Si fijamos e: 4- l, entonces

existe un

número natural k no nulo tal que:

Yn>k, 1GJ.L+e=q, y por tanto: Y

n > k, lanl < q"i como la serie de término general 4u es convergente (cf. ejem-

plo 39, p. 351), se deduce (cf. corolario de la proposición V.25) que la serie de término ral la"l es convergente, y por tanto también la de término genera) an. Sea ahora ¿ > 1. Si fijamos e = L - l, edste k e N* tal que:

gene-

Yn>k, ttá,lrI-e:t, obien:Vn>k,lanl>I,yportantolasucesión(a)nopuedeconvergera0,yenconsecuencia (cf. ejercicio 14) la serie de término general au es 16Si

n e N*, admitiremos

denota:

b: W.

que para cadax > 0 existe

ul

divergente.

úrrico número

realb > 0 tal que bn

c.Q.D

: x. Se

'rX ) ,')

-:,1

- (,x+x>,1,+[,)

:Elsa P alualE zrlnba sa Jeqo¡d sorualanb anb ugrJe)qdtur e1 :(,rC + I > ,x + x) - (,1 > ,x ^ I > x) (€J) '(x- > l-) - (l>x) - (f - x-) + f,>(í-x-)+x) :(e)ua l-x--z soruaJeH :(x- > l-) - (l > x) (Zl) (,C

'(,1 +

rC > ,x

t x)-

{

+

,{ } I

+

,x) 5; (,[, > ,x)

(,x + I > ,x + x)

6;

^ > x)

QC

:auau as :(,rC +¿C>

Ia ua selrrJsa (q) !¡

(,[,

,x+x) -

(e) sapepardo¡d spl e erJuaraJar soruareq 'apuodsalJo)

^

:olxa] (Ote'd) apuoq L olllrrali

lh. Li'

ts,

sorsilndoud

solfrfutfr sof ilo Nolfnfos V

o aluaS¡a¡uoJ sa (up) ugrsaJns eI e Eper)ose

9'A

'a¡ua8ranrp

arras eI rs rrJnpap sourapod ou saJuolua

't: l'elkTltT :etuua^ as orJatlrJ

1a

'ruasnarv,a ep

,rerr¡de 1e rs

orreJrJJ Ia uoJ plpaJns oruoJ e

'1, IeaJ oJarunu Ia eas anb eramblenJ

ap

^HJflYJ aluaureSo¡guy EtoN

aluaS¡aluoJ sa (r < uluu I un) ugls

-aJns el e eperJose arJas e1 'ÁHf,nvJ ap orJalrJJ Ia uor opJanf,P

,U lpl

ac 'I

: l4l A' : 'tuatN'tu L4lu

:auau as

'uu - ua un

EI

e eperJosp

arJas

:apuop '(I < ulua) uorsa)ns pI ap er¡ua8¡aluoJ el 'n IpaJ oJaru4u Iap saJoIeA so1 u43as 'sourarpnlsl

t

? otd y\ll E

soJ-findoad soDDalE sol 10 NoDmos '9'A

ssE

V. SUCESIONES DE NUMEROS

356

Supongamos se verifica que y + y' < x + x'. Si no ocuffe que ces x < y, de dondet -y < -x,y en consecuencia:

(-Y < -x

YY+

Y' < x

+

x') 9

y

REALES

< x, enton-

1Y' a Y'¡;

en otras palabras, si no ocurre que./ < x, acontece entonces qtJe implicación es, pues, verdadera, y también Ia del enunciado.

y' < x'. La

Ga)@0)-(xz máx{k1, k2}, se verifica: la

Ahora bien, para cada

-

ne

anl
máx{kr, kz},

.- r"l . lb -

lrxl la

-

anl + lpl lb

- b.l,

de (20) se deduce:

lc"a+ Pb

-

(aan+

Bb;l . l"l UÉ pt + lÉl ffi

:e

En conclusión: habiendo fijado e > 0, existe k e N -nos sirve k=máx|h,kzltal que: Y n > k, laa+ pb - (oon+ Pb.) | < e. Es decir, la sucesión (own+ Fbr) converge a

2)

aa+

La sucesión

Bb.

(anb)

es convergente,

En efecto. Como la sucesión

(a)

ylím (a"b")

:

q6.

es convergente, también lo es la sucesión (l¿"1

)

(cf. corolario de la proposición V.10, p. 333), y por tanto está acotada superiormente por algún número real C > 0 (cf. ejercicio 8, p. 330): V n e N, la"l < C, y para cada r¿ e N se verifica (cf. propiedades del valor absoluto, p. 315):

lab - anbnl : lab - enb *

cLnb

- anbnl _

lb

(a - an) + a.r(b - br)

I

es decir: V

n € N, lab - anbnl

(27)

'ollaJa

uf

'oo

+

-

b .rrb a .*,,b *T*I-"I "-

t,_b uozet ap pJrJlgruoa8 ugrsaJns eI e EpelJose alJas pl sa ('¿) tS L( ) u.¡ll :saruolua'I lrsl '(b - D l(r+ub - I) - ".S:(I + b anb opueraplsuor) apuop ap

'1*ub - r : (yub +' +

Gb

+ €b .+ zb

+ rb

*b) -

(ub

+'

+b + I)b - (ub +'

:JrqrJJSa Soruapod

f,'rb +

. b-t

ffi1

+ rb +b+ I) +b+ I) +

¿b

.+ Zb + b +

I-

uS:auall

usb

-uS

aS 'olJaJa uH

=_ Lte )

:e)urJa^ as 'b ugzeJ ap eJlJ]gruoaE alJas

eI sa

(,s)

['¡

Ia (l q"u

,,i. 'g -

uqa

aJ!,tl?w¿oa6 auas Yll aÁqos 'Z

ap olullsrp IEaJ oJaru4u un sa b t5

(#) ,, I iqla e a8¡anuor (ou < u:uqlua)

'0-

'( lqup

|H-#l

uorsaJns eI ugrsnlJuoJ ua

),,,

,,i.

:arauur as (tz) ap

- uqa l) utll :olue] Jod '(pep{eaull rod) g _ qa - qu e a8¡anuoJ IenJ eI l) ugrsaJns el ap uglsaJnsqns sa (07¡ 1u:lquu - "qa l) uqtsaJns el oJad

lq"a

(s z)

-

uqal !rA z

-_ nu,_tl4'> (zt lql) lql

,-u,

rqt

(r" zx) (0x) o :(,rC + l, > ,x + x) ,x ,C > x) o i(x- >ó-) ^(,C>x) o :(,rC+í>,x+x) - (,[>tx^l>x) o :SEIJUANJASUOJ '(zl>zx) + (O x) l> xugrJelalE'I

^ > x:erunspluoJa¡qpedruorsa

',,x anb Jouaur sa 1,, :aa¡ as anb as

zC

> xapugoe8auel',,1

anb ¡en8r o Jouaruse r,, :aalas 'U ua lPlol uapJo ap UQIJEIaJ

d

'x > ,C :Elouap

> xugrJeloue'I

Eun sa ) uQpe{al Pl 'xlI:@ + x)

r

olnu ou r IpaJ oJaru4u Iap osJaAuJ '1 :ugrtetqdrlprrr €I ap oJlneu otuaruatl 'x- ix oJaru4u ¡ap o¡sandg '0 :puns eI ap oJlnau oluaruall IpaJ 'o^Ilptnuuor od¡an¡ ap eJnlJnJlsa auarl 'ugnerqd -UFIU ,{. ugnrpe sauor¡e¡ado spl ap ope}op 'saleeJ soreru4u sol ap o}unluot ¡g . 'ppeluarJo peprun eun L ua8r¡o un rrefg es plsg ua opuenJ plJal pun ap so¡und so1 L sa¡ear soJaru4u sol aJlua enr¡ra,,f.rq erluapuodsarJoJ eun elsrx![ e :salPal soJoru4u sol aP

olunluo¡ Ia puSISap u anb asaprgn)au

salwaÁ

so&a&,bsyru,s

sül aff otwyi{g..{ú3 f"ry

A NüH3Vxf}-IHdV3ffiH €st

A

NQtSVtnil{VSJA

V. SUCESIONES DE NÚMEROS

364

o

o

REALES

A está acotado superiormente y A no es vacío: existe el supremo de A: cota superior mínima de A. El supremo de A se denota: supA. En símbolos: (Vx e A, x < b) 0, existe m e N* tal

que (llm) < x. A no está acotado superiormente, se escribe: supA : *oo. Condiciónnecesariaysuficiente: Vb € R, lx eA, x > b. o Si A no está acotado inferiormente, se escribe: ínf A = -oo. Intervalo de números reales: cualquiera de los siguientes conjuntos (donde a y b son números reales tales que a < b):

o

Si

o (a,b):lreRla € 4 0 jím

rl-crc

A''

-oo, si?

O,

y > 0), así que:

vy

e R , (g

o

f)-ttg : rE

Por otro lado, la imagen de un elemento

faf

y

de Ra por la aplicación compues-

r og-1 es:

Es claro que

(9

"

f)-r : f-1 o g-r '

18

Consideremos una operación x definida sobre Ejercicio (p. a0a) dos elementos neutros e y e'. Entonces:

* e' : e * e' : e

y en consecuenciat €

:

€'

.

un conjunto, y supongamos admite

e, ya que e' es elemento neutro, €', ya que e es elemento neutro,

A.5.

425

SOLUCTON DE LOS EJERCTCTOS PROPUESTOS

Ejercicio

I9

(p.405)

El elemento neutro de la operación

x

es obüamente el número

nal a admite un simétrico Zprecisamente si:

ax a: ax a=

0. Un número racio-

0, es decir:

a+e+aa:0. Ahora bien, si A

+ -I,Ia

iguaidad anterior es equivalente

a:

a:-,e I+a' y

-a.lG+a) e Q;ysi &: -1, dichaigualdadtomalaforma: -I+d.-e:0,igualdad

que es un absurdo.

En conclusión, podemos afirmar que todo número racional ¿ distinto de - I es simetrizable, y de simétrico: -al(I + a), y que eI número -1 no admite simétrico. Finalmente, como no todos los números racionales admiten simétrico, la opera-

ción x no es simetrizable sobre Q.

Ejercicio20 Sean¿ yb dosnúmerosracionalestalesque (p. 406)

axb: -1. Sib + -l,entoncesde:

axb--a+b+ab:-I se deduce:

yportanto o= ,1 .-!:_ t; a(I+b)+b:-1, L+b es decÍ, cuando a * b : -I,si b + -1, entonces 4 : -1; y análogamente: si o # -l', entonces b : -L En definitiva, si a * b : -I, entonces necesariamente a : -1 ob:-1. Lo demostrado en el párrafo anterior nos asegura que la restricción de la operación x al conjunto a - {-1} es una operación sobre Q - {-1}: Y

(a,b) € (Q- {-1}) x

(A- {-1}), axb € Q- {-1}.

Y esta operación verifica Io siguiente:

o o o g

es asociativa (cf. ejemplo 45,p.403; allí se demostró para pero esta prueba es análoga); tiene elemento neutro: el número 0;

x definida sobre

- {-1} es simetrizable, y de simétrico ejercicio 19,p. 425): a : -al(t + a); cada elemento de Q

es conmutativa; en efecto: si

verifica:

a*b En conclusión: (Q

:

ay

b son dos elementos de Q

a + b + ab

:

b + a.+ ba

- {-1}, *) es un grupo abeliano.

:

b

N,

(cf. solución del

- {-1}, entonces se *

a.

A.

426

PRELIMINARES

2l Se verifica: a07) o La operacÍón + es asociativa: (xt,x) + l(yt,yz) + Qrzz)l: (xt,xz) + (yt + 21,/2 * 22) : (x1 + Vr -f Zt,X2-l !2-l z2),

Ejercicio @.

o o o

y el mismo resultado se consigue a partir de: [(xr, x) + (yt,yz)l + Qt,zz). Elpar (0,0) es elelementoneutro: (xt,xz) +(0,0) : (0,0) +(xt,xz) : (xt,x). El par (xt,x) es simetrizable y su simétrico (en este caso, podemos decir opuesto) es: -(x1, x) : (-xt,-xz). En efecto: (xt,x) + (-xt,-x) : (-xt,-xz) + La operación + es conmutativa. En efecto:

(xt, xz) + (yt, yz) : (x1 En conclusión: (R2, Ejercicio

22

(p.4rl\

+)

+

!t,

xz -r yz)

(xt,xz):

(0,0).

: (yt * xt, jz + x) = (yt, yz) + (x1, x2)'

es un grupo abeliano.

Supongamos que < es una ley de composición externa definida sobre Z para Q:

e.r, (q,

z)

61

4 z,

que verifica las propiedades (L1), (L2), (L3) y (L4).

SeazeZtalque: 1

20r:'' Entonces:

EI

zo(L >x2iu j:r r:1 33,3

3

3/33\

i, Zr=kuk) Z *trf k:L

- í:It j:IZ*rixz¡f (u,,r,,\*=kuk) k:l

i:r 333

(u t,

\

i:L j:1 k:1

Zx2iu i, Z*=ku

j:r

L:l

k) /

8.2. DETERMINANIES DE ORDEN IRES

435

esdecir:

f (xt,xz,rs)

3 J

J

: I Z Z"rtrrjxzpf (ui,ui,un). í=r j k=r

0)

=r

Si dos cualesquiera de los índices

efecto: si por ejemplo

i,

j

y k son iguales, entonces:

: j, como ;fl es alternada:

i

f

(ui,u

j,ur) :

0. En

f (u¡,ui,up): -f (u¡,ui,uk),

:

(u¡,u¡,up.) : 0; y análogamente se demostrarían los otros casos. En consecuencia, en (7) sólo tenemos que considerar aquellos sumandos donde los índices í, j, k son distintos dos a dos; y en este caso, si definimost SG) : í, g(2) : i y SG) : k, entonces g e P3,y por tanto:

y por tanto 2f (ui,ui,up)

0, es dectr:

f

333 í:7

j:rk:\

seP3

y de (6) y (7) se concluye:

f (xt,xz,x) : f (ut,uz,u3) Z e@)xtsrt¡xzs12¡x3s13).

(8)

gePz

Función Se define Ia función determinante en la base B = (ut,uz,uz) en de E3 en R. tal que si (x1, xz,xi e E3 y

como Ia aplicación D

determinante

una base (orden 3)

X¡

:

X¡1U1-l Xi2U2l

entonces:

D(x1,x2,x3)

: I

X6l)3,

con 1 < I < 3,

e(g)x1nq1¡xzse)x3s13').

0ePz

Determinante de Del número D(x1,x2,x3) diremos es el determinante de los vectores tres vectores en la base B, y se denota: una base D

(

x L, X z, X 3)

xt, x2

)z

x3 en

: l::: ::: :::l : I

t,, xzz xzzl o=r,

En consecuencia, si / es una forma trilineal alternada sobre E, y D es Ia función determinante en la base fijada B - (ut,uz,uz) de E, s€ verifica (cf. (B)):

f : f (ut,uz,us)D. AI estudiar el caso general (cf. sección 4, p. 44I), demostraremos que una condición necesaria y suficiente para que los vectores xt, xz 1z .r3 s€án linealmente independientes es que su determinante (en cualquier base) sea no nulo.

B. DETERMINANIES

436

4. CaIcuIo de un determinante de orden tres: regla de Snnnus

Si desarro-

llamos Ia suma de (9), se obtiene:

D(xt,xz,xz) : xnxzzx3s -

-

- X¡X22X31 -f X12X23X31 t X¡X21X32.

X12X21X33

X11X23X32

(10)

Un método para calcular Ia expresión (10) (que no se generaliza para determinantes Regla de Sarrus de más de tres vectores), denominado regla de SARRUS, es el siguiente: colocamos (sólo orden 3) "encima del determinante" su tercera fila, y "debajo" su primera fila:

XtZ XZZ

XZZ

xn xzt

Xzt

lXtz Xzz

XZZ

I I

I-'LL I

Xtz Xzz Xtt XZt

Xsz

XZt

y escribimos y sumamos todos los productos posibles de tres términos en diagonal, anteponiendo el signo + a los orientados de la forma: r, , y el signo - a los orientados de la forma: z . Es decir, se antepone el signo + a los productos: X13X21X32, X11X22X33 \

y se antepone eI signo

-

X12X23X31,

a los productos:

XtZXzrX33, XyZXZZXZt Y XttXZZXZZ.

EJEMPLO

4

R.3 Iabase B : (u1,u2,u¡), donde: u1 = (L,I,O),uz = (0, 1,1) (1,0, 1), y calculemos el determinante en la base B de los vectores: xt : (0,3,1),

Fijemos en el espacio vectorial

y uz x2

:

: (I,1,0), y 4 : (2,-I,3). Como:

Xt=lrt+2U2-U3, Xz:Uz-ltE Y xz:-U1'f

3Ug,

se tiene:

1 0

| I 0l D(xt,x2,xz):l2 l-1 -1 3l - (-1) . o . 0 + 1 . 1 . 3 + 2. (-1) . (-1) - 2 .0 . 3 - (-1) . I . (-1) - I . (-1) .0 : -11

sin más que aplicar la regla de SanRUS:

-1 -1

1 0

3

-11

2

1

1

0 -1

-1 -1

0t. 3l

4,

8.3.

437

PERMUTACIONES

8.3

PERMTJTACIONES Sea rL

un número natural mayor o igual que

1.

Permutac¡on

de {7,2,. .. , fl}

{I,2,... , z¿} será denotado pot Pn. articula el conjunto P, como grupo. Su elemento

EI conjunto de las permutaciones del conjunto

La composición de aplicaciones neutro, que denotaremos porLLn, es la permutación que verifica:

Ví e {1,2,...,h}, u"(i) : i; de un diremos es la permutación idéntica de {1, 2, taremos su permutación inversa pot g-r:

...,n}.

Para cada

g e Pn deno-

_1 _1 gog-'-g'o9:Un.

EjEMPLO

5

Las aplicaciones ?'y s de

{L,2,3,4} en sí mismo tales

r(I) : s(1) :

: 1, s(2) :

L,

r(2)

que:

: 2, r(4) :3, 3, s(3) :4, s(4):2,

4, r(3)

sonelementosdeP¿,yverifican:ros=sor:xL4,eSdecil,seSIapermutaciÓninversadela permutación r: s : r-7, y r es la inversa de s: r = s-l'

Tran s po s ició (ord en

n

n)

Consecuencias de la deftnición de

. . .

transposición

Se

verifica:

Las transposiciones t¡¡ Jt t ii son la misma. La permutación idéntica lln no es una transposiciÓn. Cualquiera que sea ]a transposición t¡¡ de {1,2, . . . ,L}, se tiene: un por tanto: tr¡' : tt¡.

: tij o tij, Y

B. DETERMINANIES

438

EJEMPLO

6

La transposición tzs de

1I,2,3,4] tzE(l)

Obsérvese que tzz o tzz

EJERCICIO

1

-

es la

permutación del conjunto 11,2,3,4] que verifica:

: I' tnQ):

:

3' t23(3) = 2' tzz@)

4'

1L4.

Probar que toda permutación elemento de Pn, con

n > 2, es igaal a una composición

de

transposiciones.

EJEMPLO

7

Con el método descrito en la solución del ejercicio 1, para la permutación (cf. p. 437) se obtendría:

r

=

tzq

" t¡¿. Obsérvese que también

se

verifica:

r

del ejemplo

r = ty o tzs.

Aplicación alternada

EJEMPLO8

SeaE:R..Laaplicación@3deR3enRdadaporót(xt,xz,xz)=(xz-xt)(xt-xt)(xz-xz) es

una aplicación alternada. En efecto. Dados x1, xz y xz de ó

R.,

para la transposición trz de {1,2, 3} se verifica:

t(xtp Í), x tt21z¡, xtr2 :¡) :

óz (xz,

xt, xz)

: (xt - xz)(xs - xz)(xz - xt) : - (xz - xt) (xt - xz) (xt - xt) = _óE(xt,xz,xt); para la transposición f13:

óz(xtn1\,

xtt31z¡,xt131r¡) = óz(xz, xz,

:

-

xz)

: -ót(xt,xz,xs);

: ót (xt, xE, xz) = (xt - xt)(xz - xt)(xz -

xz)

: -óz(xt,xz,xz).

y, finalmente, para la transposición Qt

(x tzze), x

tz3 qz¡,

x t46¡)

xt)

(xz

- xz)&t -

xz)@t

ú23:

En consecuencia, @3 es una aplicación alternada.

5

8.3.

PERMUTACIONES

439 Análogamente se demostraría que la aplicación

Qn(xt,xz,...,xn)

ó,

de Ru en R, con

: n @¡ 1-

=I o

2.

Si la permutación

e(g) = e(ll) =

-I,

y en ambos casos se verifica (12). Si, por el contrario, g " h es igual a la composición de un número impar de transposiciones, necesariamente una de las permutaciones: o bien g, o bien h, es igual a la composición de un número par y la otra igual a la composición de un número impar.

Esto es: si s(g o h)

: -I, entonces:

{e(g) , E(LL)\

y en consecuencia se verifica (L2).

-

{1,

-1},

8.4.

DETERMINANTE DE

n

VECTORES EN UNA BASE

.

44L

La signatura de una permutación coincide con Ia de su permutación inversa. Es decir, para toda permutación

g se verifica: E(g r)

Si

g e Pn,entonces g " g |

:

:

e(s).

un,Ypor tanto: e(g " g-r) e(g¡ elg-L¡ =

:

e(zr), luego:

1;

(13)

e(g r) + €@) (es decir, una toma el valor -1 y la otra el valor 1), entonces se tendrÍa que €(g) €@-r) : -1, en contradicción con (13). ahora bien, si ocurriera que

Nota

Para

n = 3 la signatura de una permutación g e

cual se definió éste en la sección 2

EJEMPLO

9

La signatura de la permutación

r

(cf.p.434).

h

coincide con el número e(g) tal

del ejemplo 5 (cf. p. 437) es igual a 1, pues

de un número par de transposiciones (cf. ejemplo

7,p.

r

es composición

438).

La permutación s del ejemplo 5 (cf. p. 437) es igual a Ia composición de un número par : T-r, y por tanto: €(s) = €(?-) : 1.

de transposiciones, pues s

EJERCICIO

2

Sean

g e Pn y g' e Pn-r, conrL > 2, dos permutaciones

tales que:

Vie{I,2 (y

8.4

pot tanto: S@)

: n)' Demostril

que E(g) = E(S')

'

DETERMINANTE DE N VECTORES EN UNA BASE En toda la sección consideramos un espacio vectorial E sobre

nula, y fijamos en E una base B :

Funcion dete rm ¡nante

en

una base (orde n

n)

Dete rm inante

de n vectores en u na base

(ut,uz,...,un).

R.

de dimensión

n no

B. DETERMINANIES

442

E : R.2 y fijamos como base B la canónica de R2, Ia función determinante D tal y como se definió esta última función en la en Ia base B coincide con Ia función

Nota

bene

Si

sección 1 (cf.

Form

^,

p.431).

al n-lineal alternada

Propiedades

.

Se

verifica:

La aplicación D es altemada. Es decir, si

t e Pn es una transposición,

entonces:

D(xte),xte),...,xt@) : - D(xt,xz'... ,xr). Se

(15)

verifica:

D(xt¡¡,xtr4,'..,xt@) : Z t@)*t¡)sÍ\x¡12¡t12¡ "' xt@)s(n\,

(16

gePn

pues si hacemos:

/¡ : xt(i),1 < i < 71, entonces: li:

XtG)tUt|-XtL)zl)z-1 "'+

XtL)nt)n,

COn

1< ¿ 4h,

y por tanto:

D(x¡¡¡,x¡12¡,

"',

D(yt'tz' "', tn) : Z t(dxr1)s1)xte\se)'

xt@)) =

'

- - xt@)s(n).

g€Pn

El producto x¡11¡s11¡x¡12¡s(z)' ' 'xt@)s@) aparece en Ia suma de (16) multiplicado por e(g), pero aparece en la suma de (14) multiplicado por la signatura de la perpor tanto: g = h " t-, entonces los productos: mutación g o ú, pues si h = I o t

-y

x¡11¡s11¡x¡12¡s(z)

"' xt@)s(n) y xrhÍ)x2h(2) "'

xnh@)

tienen los mismos factores. AsÍ, y dado que al recorrer g el coniunto P", también lo recone h: g" ú (alserf unapermutación), ycomo: e(g"t) = e(S)e(t): -E(g) (cf. consecuencias de la definición de signatura, p. a40, se tiene:

Z

e@)xrr:,se)xte)se\'''

LePn

de lo que se concluye (15).

xt@)s@\ hePn

8.4.

DETERMINANTE DE

n VECTORES EN UNA BASE

.

443

La función determinante D es una forma n-lineal alternada sobre E. La aplicación D es lineal en Ia variable

D(qxr + Fxi,xr,...,xn)

xt

manteniendo fijas las restantes:

= Z e@)(q.xtse) gePn

-r px'rrrr¡)xzs1z\. . - xns@)

: a ) e(g)x4¡¡x2se)'.. gePk +

É

e(g)xlsrt¡xzse\

I

xns@\ - - . xns@)

gePn

:

uD(xt, x2,..., xr) + pD(x'r,x2,...,x);

y análogamente D es lineal en cualquier otra variable dejando fijas las restantes, lo que prueba que es n-lineal, y en conclusión (primera propiedad) D es una forma n-lineal alternada sobre E.

. Eldeterminantedelospropiosvectoresut,uz,...,Ttnenlabase(u1,uz,...,rrn) es igual a l: D(ur,Uzt...,l)n) : SiparaCada 1
2):

A_

&t@-t)

cLn

(

l

'

..

| "'n-L)r

\

entonces se verifica: det(A)

Demostración

Se

0

\ I

.

&(n-r,rr

rn-r,

&n@-I)

cLnr

ó 6Lnn

)

Annde t(Ann) : CLnnünn.

-

tiene:

¿et(A)

:

e(g)as͡1asq2)2"'6ls@\n,

I

fii:" pues los sumandos que tienen un factor de la forma 6Ls@)n con S@) # n son nulos. Ahora bien, observemos que la aplicaciÓn que hace corresponder a la permutaci|n g e Pr, donde

g(n) = n,lapermutación g' e Pn-r tal

que:

S'G): S&), es

2). Pata cada j,

' ¡anlanj-

det(A) - erjarj+ezjazj+

Demostración

45r

(2 3)

De se &Ln

Aqr-t¡n

YL

det

(A)

Y z-

Qín

í:I

6L1t+t)n

CL'nn

y con el primer corolario

C.Q.D.

3) se dice es e

A por los términos

De

(2

de la j-ésima columna Desarrollo de un determ ¡nante por los térm¡nos de la

Corolario

Sea

A = (ai¡) una matriz cuadrada de orden n (n > 2)' Para cada í,

conl