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• Yasbet Alvarez Godinez

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Algebra Lineal Instituto Tecnológico de Cd. Guzmán

26/10/2012

3.1 Definición de sistemas de ecuaciones lineales. 3.2 Clasificación de los sistemas de ecuaciones lineales y tipos de solución. 3.3 Interpretación geométrica de las soluciones. 3.4 Métodos de solución de un sistema de ecuaciones lineales: Gauss, Gauss-Jordan, inversa de una matriz y regla de Cramer. 3.5 Aplicaciones.

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3.1 Definición de sistemas de ecuaciones lineales. En matemáticas y álgebra lineal, un sistema de ecuaciones lineales, también conocido como sistema lineal de ecuaciones o simplemente sistema lineal, es un conjunto de ecuaciones lineales (es decir, un sistema de ecuaciones en donde cada ecuación es de primer grado), definidas sobre un cuerpo o un anillo conmutativo. Un ejemplo de sistema lineal de ecuaciones sería el siguiente:

El problema consiste en encontrar los valores desconocidos de las variables x1, x2 y x3 que satisfacen las tres ecuaciones. El problema de los sistemas lineales de ecuaciones es uno de los más antiguos de la matemática y tiene una infinidad de aplicaciones, como en procesamiento digital de señales, análisis estructural, estimación, predicción y más generalmente en programación lineal así como en la aproximación de problemas no lineales de análisis numérico. En general, un sistema con m ecuaciones lineales y n incógnitas puede ser escrito en forma normal como:

Donde

son las incógnitas y los números

son los coeficientes

del sistema sobre el cuerpo . Es posible rescribir el sistema separando con coeficientes con notación matricial:

Si representamos cada matriz con una única letra obtenemos: Donde A es una matriz m por n, x es un vector columna de longitud n y b es otro vector columna de longitud m. El sistema de eliminación de Gauss-Jordan se

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aplica a este tipo de sistemas, sea cual sea el cuerpo del que provengan los coeficientes. Comentario Bueno maestra este tema creo que ya lo vimos, en parte, pues ya hemos hecho problemas con matrices y determinantes, de sistemas de ecuaciones lineales y aunque esta entretenido y si se te pasa algún numerito te equivocas en todo, pues eso te agüita ya que el procedimiento es largo pero creo que le entendí muy bien a todo eso y no creo que este tema se me complique en lo mas mínimo al menos eso espero porque ya ve que luego en temas fáciles a veces no podemos.

3.2 Clasificación de los sistemas de ecuaciones lineales y tipos de solución. Inconsistente si no tiene solución alguna. Consistente si tiene al menos una solución, cuando tiene una única solución, se dice que es consistente determinado, si tiene más de una solución, se dice que es consistente indeterminado. Todo sistema homogéneo Ax = 0 /m×1 es consistente, x = 0/n×1 es solución de este e, la cual es llamada solución trivial.

Ejemplo

Es un sistema de ecuaciones lineales de dos ecuaciones y tres incógnitas, es no homogéneo, su representación matricial es:

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La matriz es y la matriz ampliada del sistema son, respectivamente:

Las matrices incógnitas y de términos independientes son, respectivamente:

Una pregunta que surge de manera inmediata es ¿como garantizar que un sistema de ecuaciones lineales es consistente o inconsistente? y en caso de que sea consistente ¿como resolver dicho sistema? Haremos uso de las matrices y las OEF para responder ambas preguntas, pero antes daremos las bases teóricas que nos permitan usar dichas herramientas. Teorema

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Condiciones que deben cumplir las ecuaciones para que el sistema tenga una, ninguna o infinitas soluciones: 

Una solución: Los coeficientes de x e y de las dos ecuaciones no son proporcionales.

Ejemplo: 

Ninguna solución: Los coeficientes de x e y de una ecuación son proporcionales a los de la otra, mientras que los términos independientes no lo son.

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Ejemplo: 

Infinitas soluciones: Los coeficientes de x e y, y el término independiente de una ecuación, son proporcionales a los de la otra.

Ejemplo: Comentario Bueno aunque no me crea leí todo esto y de la clasificación pues si lo aprendí voy a adjuntarle un archivo que descargue que es donde lo saque y viene todo no mas que muchos mas extenso pero no le entiendo muy bien a la demostración pero lo que mas se me pego fue es inconsistente si no tiene solución alguna de lo contrario es consistente fácil no??. Bueno la lucha le hice yo solito espero aprenderlo mejor en su clase =).

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3.3 Interpretación geométrica de las soluciones.

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Comentario Bueno del sistema de ecuaciones de dos incógnitas y como dice según son fáciles de resolver el problema es saber si tiene solución o no y en cuanto al de dos ecuaciones con 2 incógnitas pues no se ve tan difícil pero al igual que en el primer caso el saber cuantas soluciones tiene es algo difícil y pues como en el problema anterior tenia infinitas y pues eso como que se me complica O.o. 3.4 Métodos de solución de un sistema de ecuaciones lineales: Gauss, Gauss-Jordan, inversa de una matriz y regla de Cramer. Este método, que constituye una variación del método de eliminación de Gauss, permite resolver hasta 15 o 20 ecuaciones simultáneas, con 8 o 10 dígitos significativos en las operaciones aritméticas de la computadora. Este procedimiento se distingue del método Gaussiano en que cuando se elimina una incógnita, se elimina de todas las ecuaciones restantes, es decir, las que preceden a la ecuación pivote así como de las que la siguen: Ejemplo 1 2x1 + 4x2 + 6x3 = 18 4x1 + 5x2 + 6x3 = 24 (1) 3x1 + x2 - 2x3 = 4 Solución Buscamos tres números x1, x2 y x3 tales que las tres ecuaciones en (1) sean satisfechas. Nuestro método de solución consistirá en simplificar las

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ecuaciones de forma que las soluciones sean fácilmente identificadas. Empezamos por dividir la primera ecuación entre 2. Esto da x1 + 2x2 + 3x3 = 9 4x1 + 5x2 + 6x3 = 24 (2) 3x1 + x2 - 2x3 = 4 Sumar dos ecuaciones nos lleva a una tercera ecuación válida. Esta ecuación puede remplazar en el sistema a cualquiera de las dos ecuaciones usadas para obtenerla. Empezamos a simplificar el sistema (2) multiplicando por -4 ambos lados de la primera ecuación en (2) y sumando esta nueva ecuación a la segunda. Esto nos da - 8x2 - 21x3 = 4x1 36 4x1 + 5x2 + 6x3 = 24 - 3x2 - 6x3 = 12 La ecuación -3x2 - 6x3 = -12 es nuestra segunda nueva ecuación y ahora el sistema es x1 + 2x2 + 3x3 = 9 12 - 2x3 = 4

- 3x2 - 6x3 = 3x1 + x2

Ahora multiplicamos la primera ecuación por -3 y la sumamos a la tercera ecuación: x1 + 2x2 + 3x3 = 9 (3) 12 - 5x2 - 11x3 = 23 - 3x2 - 6x3 =

Notemos que en el sistema (3) la variable x1 ha sido eliminada de la segunda y tercera ecuaciones. Después dividimos la segunda ecuación entre -3: x1 + 2x2 + 3x3 = 9 x2 + 2x3 = 4

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- 5x2 - 11x3 =

23

Multiplicamos la segunda ecuación por -2 y la sumamos a la primera; luego se multiplica la segunda ecuación por 5 y se suma a la tercera: x1

- 3x3 = 1 x2 + 2x3 = 4 - x3 = -3

Multiplicando la tercera ecuación por -1: x1

- 3x3 = 1 x2 + 2x3 = 4 x3 = 3

Finalmente, sumamos la tercera ecuación a al primera y después se multiplica la tercera ecuación por -2 y se la suma a la segunda para obtener el siguiente sistema (el cual es equivalente al sistema (1)): x1

= 4 x2

= -2 x3 = 3

Inversa de una Matriz En matemáticas, en particular en álgebra lineal, una matriz cuadrada A de orden n se dice que es invertible, no singular, no degenerada o regular si existe otra matriz cuadrada de orden n, llamada matriz inversa de A y representada como A−1, tal que AA−1 = A−1A = In, Donde In es la matriz identidad de orden n y el producto utilizado es el producto de matrices usual. Una matriz no invertible se dice que es singular o degenerada. Una matriz es singular si y solo si su determinante es cero. La inversión de matrices es el proceso de encontrar la matriz inversa de una matriz dada.

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Matriz de dos filas

Por ejemplo la inversa de la matriz

es:

porque:

Propiedades de la matriz inversa  

La inversa de una matriz, si existe, es única. La inversa del producto de dos matrices es el producto de las inversas cambiando el orden:



Si la matriz es invertible, también lo es su transpuesta, y el inverso de su transpuesta es la transpuesta de su inversa, es decir:



Y, evidentemente:



Una matriz es invertible si y sólo si el determinante de A es distinto de cero. Además la inversa satisface la igualdad:

Donde

es el determinante de A y

es la matriz de adjuntos de A.

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La matriz inversa de A es otra matriz que representamos por A -1 y que verifica:

Solamente tienen inversa las matrices cuadradas cuyo determinante es distinto de cero. Regla de Cramer La regla de Cramer es un teorema en álgebra lineal, que da la solución de un sistema lineal de ecuaciones en términos de determinantes. Recibe este nombre en honor a Gabriel Cramer (1704 - 1752), quien publicó la regla en su Introducción à l'analyse des lignes courbes algébriques de 1750, aunque Colin Maclaurin también publicó el método en su Treatise of Geometry de 1748 (y probablemente sabía del método desde 1729). La regla de Cramer es de importancia teórica porque da una expresión explícita para la solución del sistema. Sin embargo, para sistemas de ecuaciones lineales de más de tres ecuaciones su aplicación para la resolución del mismo resulta excesivamente costosa: computacionalmente, es ineficiente para grandes matrices y por ello no es usado en aplicaciones prácticas que pueden implicar muchas ecuaciones. Sin embargo, como no es necesario pivotar matrices, es más eficiente que la eliminación gaussiana para matrices pequeñas, particularmente cuando son usadas operaciones SIMD. Si

es un sistema de ecuaciones.

es la matriz de coeficientes del

sistema, es el vector columna de las incógnitas y es el vector columna de los términos independientes. Entonces la solución al sistema se presenta así:

Donde es la matriz resultante de remplazar la j-ésima columna de por el vector columna . Hágase notar que para que el sistema sea compatible determinado, el determinante de la matriz ha de ser no nulo.

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Sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas Para la resolución de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, de la forma. Dado el sistema de ecuaciones:

Lo representamos en forma de matrices:

Entonces, e pueden ser encontradas con la regla de Cramer, con una división de determinantes, de la siguiente manera:

Sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas La regla para un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas es similar, con una división de determinantes:

Que representadas en forma de matriz es:

, ,

pueden ser encontradas como sigue:

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Demostración Sean:

Usando las propiedades de la multiplicación de matrices:

Entonces:

Por lo tanto:

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Aparte, recordando la definición de determinante, la sumatoria definida acumula la multiplicación del elemento adjunto o cofactor de la posición , con el elemento iésimo del vector (que es precisamente el elemento i-èsimo de la columna , en la matriz ). Comentario Bueno creo que es un tema bastante extenso pero como el método de gauss ya lo hemos hecho pues no lo veo tan complicado ni nada de eso, algo entretenido es todo lo que me parece de este tema solamente sobre lo de la matriz invertida y la regla de cramer pues lo veo algo complicado pero ya con su explicación espero y se me pegue mas de lo que ya habíamos visto de estos temas vale.

Aplicaciones

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No supe ni encontré que poner en este subtema pero a lo que veo es los temas anteriores ya aplicados a un problema de la vida o algo por el estilo, primero espero entenderles y hacerlos bien luego espero ya con toda esa experiencia saber hacer aplicaciones con ellos va por lo pronto así voy a dejar este subtema espero y lo comprenda y me explique bien y así saber sobre este subtema vale =).