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• Jose Manuel Montenegro Soto

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Espacios vectoriales

Matemática IV

ALGEBRA LINEAL

ESPACIOS VECTORIALES DEFINICIÓN. Sea V un conjunto no vacío de objetos, llamados elementos(vectores). Y sea F un campo1, conjunto no vacío de objetos, llamados elementos(escalares). Se definen las operaciones:  : V  V  V ; adición de vectores  : F  V  V ; multiplicación de un escalar por un vector El conjunto V con las operaciones definidas se llama espacio vectorial sobre el campo F sí satisface los siguientes axiomas: Axiomas para la Adición A1. Si u y v son elementos cualesquiera en V, entonces u  v está en V (es decir, V es cerrado bajo la operación + ) A2. u  v  v  u , para u y v en V A3. u  ( v  w)  (u  v)  w , para u, v y w en V A4. Existe un elemento 0 (vector cero o nulo) en V tal que u  0  u , para toda u en V A5. Para cada u en V existe un elemento  u en V tal que u  u  0 Axiomas para la multiplicación por escalares M1. Si u es cualquier elemento en V y  es cualquier elemento en F, entonces   u está en V ( es decir V es cerrado bajo la operación  ) M2.   (u  v)    u    v , para todo  en F y toda u y v en V M3. (  )  u    u    u , para todo  y  en F y toda u en V M4.   (  u)  ()  u , para todo  y  en F y toda u en V M5. 1  u  u , para toda u en V NOTA. 1. Si el campo F es el conjunto de los números reales, obtenemos un espacio vectorial real 2. Si el campo F es el conjunto de los números complejos, obtenemos un espacio vectorial complejo. 3. En adelante consideraremos sólo espacios vectoriales reales a menos que se indique lo contrario. Ejemplos 1. Sea V  R , el conjunto de los números reales con x  y y x la adición y multiplicación ordinarios de números reales. 2. Sea V  C , el conjunto de los números complejos con x  y y x la adición de números complejos y multiplicación de un número complejo por un real. 3. Sea V  R n , el conjunto de todas las n-plas de números reales con las operaciones de adición y multiplicación escalar definidas en forma ordinaria. 4. Sea V  (x, y,0) / x, y,0  R con las operaciones: (x, y,0)  (x' , y' ,0)  (x  x' , y  y' ,0)   (x, y,0)  (x, y,0) 5. Espacios Funcionales. Los elementos en V son funciones vectoriales con: (f  g)(x)  f (x)  g(x) , suma de dos funciones 1

Conjunto no vacío de escalares, con las operaciones de adición y multiplicación , que satisfacen cinco axiomas para la adición y cinco axiomas para la multiplicación.

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(f )(x)  f (x) , multiplicación de una función por un escalara real Los siguientes conjuntos son ejemplos de espacios funcionales 6. El conjunto de todas las funciones definidas en un intervalo dado. Por ejemplo: V  C[a ,b]  f : [a , b]  R / f es continua en a, b V  I[a ,b]  f : [a , b]  R / f es int egrable en a, b

7. Sea V  Pn  conjuntode todos los polinomiosde grado  n con las operaciones de adición de polinomios y multiplicación de un polinomio por un escalar real. 8. Sea V  P  Pn / Pn es un un espacio vectorialde todos los polinomiosde grado  n con las operaciones de adición de polinomios de grado  n y multiplicación de un polinomio de grado  n por un escalar real.

SUBESPACIOS Sea V un espacio vectorial y S un subconjunto no vacío de V. Si S es un espacio vectorial con respecto de las operaciones en V, entonces S es un subespacio de V. CRITERIO DE SUBESPACIO Un subconjunto S no vacío de un espacio vectorial V es un subespacio si y solo si satisface los axiomas de clausura o cerradura. Es decir; S es un subespacio de V si y solo si se cumplen las siguientes condiciones: 1. Si u y v son vectores cualesquiera en S, entonces u  v está en S 2. Si  es cualquier número real y u es cualquier vector en S, entonces   u está en S. NOTA Cada espacio vectorial V tiene al menos dos subespacios, él mismo y el subespacio 0 que consta sólo del vector cero. Estos son llamados subespacios triviales. Ejemplos 1. Sea





C[' a ,b]  f / f : [a, b]  R, f ' sea continua   funciones continuamente diferenciables 

Determinar si C[' a ,b] es un subespacio de C[a ,b] Solución.  C[' a ,b] es un subconjunto no vacío de C[a ,b] , basta considerar la función nula. '  Sea f  C[a, b] , es decir f es diferenciable , esto implica que f es continua entonces

f  C[a,b] ' Por tanto C[a, b] es un subconjunto de C[a,b]

En seguida verificamos las condiciones del criterio de subespacio ' 1. Sean f, g  C[a, b] , es decir f y g son continuamente diferenciables, entonces ' f  g es continuamente diferenciales, es decir f  g  C[a, b] ' Por tanto C[a, b] satisface el axioma de clausura respecto de la adición

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' Sea   R y sea f  C[a, b] , entonces f es continuamente diferenciable, es

2.

' decir f  C[a, b]

' Por tanto C[a, b] satisface el axioma de clausura respecto a la multiplicación por un

escalar. En conclusión, C[' a ,b] es un subespacio de C[a ,b] En general;





C[na ,b]  f / f : [a, b]  R, f n es continua   funciones cuya n  esima derivada es continua

es un subespacio de C[ma ,b] si m  n . 2.





Determinar si el subconjunto S  (x, y)  R 2 / y  2x es un subespacio de R 2 Solución.  S es un subconjunto no vacío de R 2 , basta considerar (0,0)  S  R 2

En seguida verificamos las condiciones del criterio de subespacio 1.

Sean Entonces

(x1 , y1 )  S y (x 2 , y 2 )  S

y1  2x1 , y 2  2x 2 Sumando ambas expresiones se obtiene y1  y 2  2 (x1  x 2 ) Entonces (x1  x 2 , y1  y 2 )  S Por tanto (x1 , y1 )  (x 2 , y 2 )  S

2.

Sean Entonces

(x1 , y1 )  S y   R

multiplicando por  se obtiene

y1  2x1 y1  2  x1

Entonces (x1 , y1 )  S

Por tanto

(x1 , y1 )  S

En conclusión S es un subespacio de R 2 3.





Determinar si el subconjunto W  (x, y)  R 2 / y  x  1 es un subespacio de R 2 Solución. W es un subconjunto no vacío de R 2 , basta considerar (1,2)  W  R 2 1. Sea (x1 , y1 ) , (x 2 , y 2 )  W Entonces

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y1  x1  1 , y 2  x 2  1

sumando ambas expresiones y1  y 2  x1  x 2  2

entonces (x1  x 2 , y1  y 2 )  W

por lo tanto (x1 , y1 )  (x 2 , y 2 )  W

En consecuencia W no es subespacio de R 2 o también basta considerar el vector nulo, es decir (0,0)  W 4.

Determinar si el subconjunto subespacio de R



M  (x1 , x 2 , x 3 )  R 3 / x12  x 22  x 32  1



es un

3

Solución. M es un subconjunto no vacío de R 3 , basta considerar (1,0,0)  M  R 3 Sea (x1 , x 2 , x 3 ) , ( y1 , y 2 , y 3 )  M Entonces x12  x 22  x 32  1 , y12  y 22  y 32  1 sumando ambas expresiones x12  y12  x 22  y 22  x 32  y 32  2

entonces (x1  y1 , x 2  y 2 , x 3  y 3 )  M

Por lo tanto (x1 , x 2 , x 3 )  ( y1 , y 2 , y 3 )  M

En consecuencia M no es subespacio de R 3 o también basta considerar el vector nulo, es decir (0,0,0)  W 5.

P   P(x) / P(x) es un polinomioen x con coeficientes reales  con las operaciones: + ; Adición de polinomios en x . ; multiplicación de un polinomio por un escalar



Pn  P(x)  P / P(x)  a 0  a1x  a 2 x 2    a n x n Pn es un subespacio de P.

; a 0 , a1 , , a n  R , n  N



OPERACIONES CON SUBESPACIOS INTERSECCIÓN DE SUBESPACIOS Sea Si iI una familia de subespacios de V. S   Si resulta ser un subespacio de V. iI

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NOTA. Los subespacios S1 y S 2 se llaman disjuntos si S1  S2  0 Ejemplo Sea R 3 un espacio vectorial sobre R y

  (x , x

 0

S1  (x1 , x 2 , x 3 )  R 3 / x 3  0 S2

dos subespacios. Entonces

1

2 , x3 )R

  0, ,0 R

3

/ x1

S  S1  S2  x1 , x 2 , x 3  R 3 / x1  0 , x 3  0

S  S1  S2

3





/   R es el eje x 2

Z

Y X Ejercicio. Demostrar que la intersección de toda familia de subespacios de V, es un subespacio de V. UNION DE SUBESPACIOS Si S1 y S 2 son dos subespacios de V, entonces S1  S 2 no necesariamente es un subespacio de V. Ejemplo Sean

S1   x  (x, y) / y  2x y S2   y  (x, y) / y  4x dos subespacios. La unión S1  S 2 es el par de rectas. Si x  S1  x  S1  S 2 y  S 2  y  S1  S 2

pero

x  y  S1  S2 SUMA DE SUBESPACIOS Sean S1 y S 2 dos subespacios de V. Se define el conjunto S  S1  S2   x  V / x  x1  x 2 ; x1  S1 , x 2 S2  llamado suma de los subespacios S1 y S 2 . Ejercicios Demostrar que la suma de dos subespacios de V es un subespacio de V. SUMA DIRECTA Sean S1 y S 2 dos subespacios de V. Se define la suma directa de S1 y S 2 como: S  S1  S2  S  S1  S2 , S1  S2  0 Ejercicio Si S1 , S2 , , Sn son subespacios de V, entonces Rogelio Cerna Reyes

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n n   S   Si  x  V / x   x i ; x i  Si , i  1,2, , n  i 1 i 1   es un subespacio de V.

DEFINICIÓN. Sea S un subconjunto no vacío de un espacio vectorial V. Un elemento v en V de la forma n

v   i vi i 1

; v1 , v 2 , , v n  S , 1 ,  2 , ,  n escalares

Se denomina COMBINACIÓN LINEAL de elementos de S. Ahora; Si el conjunto

L(S)  v  V / v es combinació n lineal de elementos de S

Satisface los axiomas de clausura, es un subespacio de V. Luego, se dice que:  L(S) esta generado por S y se escribe L(S)  gen S  genv1 , v 2 , , v n   L(S) es llamada la envolvente lineal de S. NOTA 1. Si S   , entonces L(S)  0 ; conjunto que consta sólo del elemento cero 2. Conjuntos distintos pueden generar el mismo subespacio

Ejemplos 1. El espacio R 2 está generado por cada uno de los siguientes conjuntos de vectores i, j , i, j, i  j , 0, i,i, j, j, i  j 2. El espacio de todos los polinomios P( t ) de grado  n n  está generado por el





conjunto de n  1 polinomios 1, t, t 2 , , t n 3. El espacio de todos los polinomios está generado por el conjunto infinito de los polinomios 1, t, t 2 , 





4. En 2 sean v1  2t 2  t  2 , v 2  t 2  2t , v 3  5t 2  5t  2 , v 4  t 2  3t  2 vectores en S. Determinar si el vector u  t 2  t  2 pertenece a la envolvente lineal de S. Solución Si existen escalares 1 ,  2 ,  3 ,  4 tal que 1v1   2 v 2   3 v 3   4 v 4  u , entonces u pertenece a L(S)  genv1 , v 2 , v 3 , v 4  Remplazando los vectores se tiene

















1 2t 2  t  2   2 t 2  2t   3 5t 2  5t  2   4  t 2  3t  2  t 2  t  2

21   2  5 3   4 t 2  1  2 2  5 3  3 4 t  21  2 3  2 4   t 2  t  2 De donde se obtiene el sistema lineal

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21   2  5 3   4  1 1  2 2  5 3  3 4  1 21

 2 3  2 4  2

Tomando la matriz aumentada y mediante operaciones elementales llevamos a la matriz escalonada reducida 5  1 1 operaciones 2 1 1  2  5  3 1     2 0 2  2 2 elementales

1 0 1  1 0 0 1 3 1 0    0 0 0 0 1

Lo cual indica que el sistema es inconsistente, es decir que no tiene solución. Por lo tanto u  L(S) 5. Sea S  v1  (1,0,1), v 2  (0,1,1). Determinar L(S) Solución L(S)  x1 , x 2 , x 3  / x1 , x 2 , x 3   1,0,1  0,1,1 ; ,   R

x1 , x 2 , x 3   (, ,   ) De donde; x1   , x 2   , entonces x 3  x1  x 2 Finalmente, se tiene el plano de ecuación x1  x 2  x 3  0 y se escribe L(S)  genv1 , v 2   x1 , x 2 , x 3  / x 3  x1  x 2 

6. Determinar el subespacio de R 3 generado por S cuyos elementos son los vectores v1  (2,1,2) y v 2  (1,2,1) Solución L(S)  x1 , x 2 , x 3  / x1 , x 2 , x 3   2,1,2  1,2,1 ; ,   R

x1 , x 2 , x 3   (2  ,   2,2  ) (1) 2    x 1 (2)   2  x 2 (3) 2    x 3 De (1) y (3) se tiene: x1  x 3 y x 2 cualquier real Finalmente, se tiene el plano de ecuación x1  x 3  0 y se escribe L(S)  genv1 , v 2   x1 , x 2 , x 3  / x1  x 3  0 , x 2  R

7. Determinar el subespacio de M 22 generado por las matrices

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1 0  0 1  0 0  , v2   , v3   v1      0  1 0 0  1 0

Solución.

DEFINICIÓN. Los vectores v1 , v 2 , , v n en un espacio vectorial V generan a V si todo vector en V es una combinación lineal de v1 , v 2 , , v n . Además, si estos vectores son distintos y los denotamos como el conjunto S   v1 , v 2 , , v n  , entonces decimos que S genera a V. Es decir, L(S)  gen S  genv1 , v 2 , , v n  Ejemplo. Los vectores e1  i  (1,0) y e 2  j  (0,1) generan a R 2 . Pues, si u  (u1 , u 2 ) es cualquier vector en R 2 , entonces u  u1e1  u 2 e 2 Es decir,

Le1 , e 2   gene1 , e 2   R 2

INDEPENDENCIA LINEAL DEFINICIÓN. Los vectores v1 , v 2 , , v n en un espacio vectorial son linealmente dependientes si existen escalares 1 ,  2 , ,  n no todos iguales a cero, tales que 1v1   2 v 2     n v n  0

En caso contrario, se dice que v1 , v 2 , , v n son linealmente independientes. Es decir; v1 , v 2 , , v n son linealmente independientes si siempre que 1v1   2 v 2     n v n  0 , debemos tener 1   2     n  0 Si los vectores v1 , v 2 , , v n son distintos y los denotamos como el conjunto S   v1 , v 2 , , v n  , entonces decimos que el conjunto S es linealmente dependiente o linealmente independiente. Ejemplo. Determinar si los vectores v1  (1,1,0,0) y independientes. Solución De la ecuación

v 2  (2,0,1,1) son linealmente dependientes o

1  1,1,0,0   2  2,0,1,1  0

obtenemos el sistema  1  2 2  0 1  0 2  0 2  0

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Cuya única solución es 1   2  0 . Por lo tanto los vectores son linealmente independientes. Ejemplo. ¿Es el conjunto S  v1  (1,2,1), v 2  (1,2,1), v 3  (3,2,1), v 4  (2,0,0) linealmente independiente o linealmente dependiente? Solución. De la ecuación

1 1,2,1   2 1,2,1   3 (3,2,1)   4 (2,0,0)  0

Obtenemos el sistema

1   2  3 3  2 4  0 21  2 2  2 3  0  1   2   3  0 De donde, como el número de incógnitas es mayor que el número de ecuaciones el sistema tiene una solución no trivial. Por lo tanto, S es linealmente dependiente. También, se puede considerar el sistema en forma matricial Aquí dos de las muchas soluciones 1  1,  2  2,  3  1,  4  0 1  1,  2  1,  3  0,  4  1

Ejercicio. Halle el conjunto S que genera al subespacio LS  x, y, z  R3 / x  y, 2x  z  0 Solución. Para hallar el conjunto S, se debe conseguir las ecuaciones paramétricas del subespacio a partir de las ecuaciones cartesianas





 yx  z  2 y  z  2x

Entonces

x, y, z  y, y,2y  y1,1,2 Por lo tanto el conjunto S  1,1,2 genera a LS . Ejercicio. Sea S1  1,0,1, 1,1,0, entonces LS1   x, y, z  R3 / x  y  z  0 Sea S2

   1,1,1, 2,2,0, entonces LS   x, y, z   R 2



3



/x  yz  0

De donde se concluye que: Propiedad. Los subespacios vectoriales no están generados de forma única. Ejercicio. Sea LS  x, y, z  R3 / z  0 . Halle S Solución. De z  0 se tiene que:





x, y, z  x, y,0  x1,0,0  y0,1,0

Entonces

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S1  1,0,0, 0,1,0 

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Ejercicio. Si S   1,0,0, 0,1,0, 1,1,0 , halle LS Solución. Sea x, y, z   R 3 , entonces

x, y, z  1,0,0  0,1,0  1,1,0

En forma matricial; 1 0 1    x       0 1 1       y  0 0 0     z 

De donde; z  0 y     x ,     y Sea   t Por lo que

x, y, z  x  t 1,0,0  y  t 0,1,0  t1,1,0 x, y, z  x, y,0

Finalmente;





L 1,0,0, 0,1,0, 1,1,0  LS  x, y, z   R 3 / z  0

Propiedad. Si S2 se construye añadiendo vectores que sean combinación lineal de los vectores de S1 , S1  S2 , entonces LS1   LS2  NOTA 1. Si un subconjunto T de un conjunto S es linealmente dependiente, entonces S es linealmente dependiente.. Lógicamente, todo subconjunto de un conjunto linealmente independiente es linealmente independiente. 2. Si un elemento de S es el producto de otro por un escalar, S es dependiente. 3. Un vector es linealmente independiente si no es el vector cero. 4. Si 0 S , entonces S es linealmente dependiente. 5. El conjunto vacío es linealmente independiente. 6. Todo conjunto finito S contiene un subconjunto linealmente independiente que genera el subespacio L(S) RANGO DE UN CONJUNTO DE VECTORES. Se denomina rango de un conjunto de vectores al número máximo de vectores linealmente independientes. BASES Y DIMENSION DEFINICIÓN. Un conjunto finito S de elementos de un espacio vectorial V se llama base finita de V si 1. S es linealmente independiente y 2. S genera a V

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Ejemplo 1. Los vectores e1  (1,0) y e 2  (0,1) forman una base para R 2 2. Los vectores e1  (1,0,0) , e 2  (0,1,0) y e 3  (0,0,1) forman una base para R 3 3. En general, Los vectores e1  (1,0, ,0) , e 2  (0,1, ,0) , ... , e n  (0,0, ,1) forman una base para R n Cada uno de los conjuntos de vectores de los ejemplos anteriores se llama base natural o base canónica para R 2 , R 3 y R n respectivamente. Teorema. Un conjunto S  v1 , v 2 , , v n  es una base para un espacio vectorial V si y sólo si todo vector en V se puede escribir en forma única como una combinación lineal de los vectores en S. Teorema. Sea S  v1 , v 2 , , v n  un conjunto de vectores no nulos en un espacio vectorial V y W  L(S) . Entonces, algún subconjunto de S es un base para W. Ejemplo. Sea S  v1  (1,2,2,1), v 2  (3,0,4,3), v 3  (2,1,1,1), v 4  (3,3,9,6), v 5  (9,3,7,6)  un conjunto de vectores en R 4 . Determinar un subconjunto de S que sea una base para W  L(S) . Solución De la ecuación 1 (1,2,2,1)   2 (3,0,4,3)   3 (2,1,1,1)   4 (3,3,9,6)   5 (9,3,7,6)  (0,0,0,0)

obtenemos el sistema 1  3 2  2 3  3 4  9 5  0 21   3  3 4  3 5  0  21  4 2   3  9 4  7 5  0 1  3 2   3  6 4  6 5  0

llevando la matriz aumentada a la forma escalonada reducida, se tiene 1 0  0  0

0 1  1 / 2 3 / 2  5 / 2 0 0 0 0 0 0  0 0 0 0 0 0

1/ 2

3/ 2

3/ 2

luego las columnas 1 y 2 son pivote, por lo que las columnas 1 y 2 de la matriz original son una base para W  L(S) Es decir v1  (1,2,2,1), v 2  (3,0,4,3) es una base para W  L(S)

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Teorema. Si S  v1 , v 2 , , v n  es una base para un espacio vectorial V y T  w1 , w 2 , , w r  es un conjunto linealmente independiente de vectores en V, entonces rn. Corolario. Si S  v1 , v 2 , , v n  y T  w1 , w 2 , , w m  son bases para un espacio vectorial V, entonces m  n .

DEFINICIÓN. La dimensión de un espacio vectorial V no nulo es el número de vectores en una base para V. Se escribe dimV para la dimensión de V. NOTA 1. El espacio vectorial 0 tiene dimensión cero. 2. El espacio vectorial V es de dimensión finita si tiene una base finita. De otro modo V es de infinitas dimensiones 3. Si V es un espacio vectorial de dimensión finita, entonces toda base finita de V tiene el mismo número de elementos.

Ejemplos 1. El conjunto de vectores v1  (1,0, ,0), v 2  (1,1, ,0, ,0), v 3  (1,1,1,0, ,0),, v n  (1,1, ,1)

es una base de R n





2. El conjunto 1, t, t 2 , , t n es una base para



Pn  P(t ) / P(t )  a 0  a 1t  a 2 t 2    a n t n



Teorema. Sea V un espacio vectorial de dimensión n, y sea S  v1 , v 2 , , v n  un conjunto de n vectores en V. a) Si S es linealmente independiente, entonces es una base para V. b) Si S genera a V, entonces es una base para V. DEFINICIÓN. Sea S  v1 , v 2 , , v n  una base ordenada de V. Un vector v de V se puede expresar como una combinación lineal de los elementos de la base v  1v1   2 v 2   n v n

donde 1 ,  2 , ,  n reciben el nombre de coordenadas o componentes de v y la base constituye un sistema de coordenadas. Los subespacios de V generados por cada v i se denominan un eje de coordenadas. NOTA. 1. Nos referimos a v S  (1 ,  2 , ,  n ) como el vector de coordenadas de v con respecto a la base ordenada S

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2. Las entradas de v S son las coordenadas de v con respecto de S 3. 4. 5.

v S es única. v  w S  v S  w S v S  v S ,  escalar real

Ejemplo Sea

S  v1  (1,1,0,0), v 2  (2,0,1,0), v 3  (0,1,2,1), v 4  (0,1,1,0)  Si v  (1,2,6,5) calcular v S

Solución De 1 (1,1,0,0)   2 (2,0,1,0)   3 (0,1,2,1)   4 (0,1,1,0)  (1,2,6,5) Se tiene, un sistema lineal de cuya matriz aumentada se obtiene la matriz escalonada reducida 1 0 0 0 3  0 1 0 0  1    0 0 1 0  2    0 0 0 1 1  Entonces, el vector de coordenadas de v respecto de la base S es

v S  (3,1,2,1) MATRIZ DE TRANSICIÓN O MATRIZ DE CAMBIO DE BASE. Sean M  v1 , v 2 , , v n  y N  w1 , w 2 , , w n  bases para el espacio vectorial V de dimensión n. Si v es cualquier vector en V, entonces Sea v  1w1   2 w 2     n w n

de modo que

vN  (1 ,  2 ,,  n )

Entonces

v M  1w1   2 w 2  n w n M vM

 1[w1]M  2[w 2 ]M n [w n ]M

Donde n

w j   pijvi i 1

,

 M

j  1,2,, n  w j

 p1 j    p2 j   ,       p nj 

j  1,2,..., n

Luego

vM

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 p11  p12   p1n        p p p   12  1   22   2     2n   n                p n1  p n 2   p nn 

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Entonces

vM

 p11 p12  p1n   1  p   21 p 22  p 2 n   2           3     p n1 p n 2  p nn   4      P

o también

vM  PvN

La matriz P es llamada la matriz de transición o matriz de cambio de la base N a la base M. Ejemplo. Sean

M  v1  (2,0,1), v 2  (1,2,0), v 3  (1,1,1)  y N  w1  (6,3,3), w 2  (4,1,3), w 3  (5,5,2) 

bases para R 3 a) Calcular la matriz de transición P de la base N a la base M b) Verificar vM  PvN para v  (4,9,5)

Solución. a)

Se toman los vectores w j , j  1,2, , n de la base N y se calcula el vector de

coordenadas con respecto a la base M. Es decir; 1v1   2 v 2   3 v 3  w1 1v1   2 v 2   3 v 3  w 2 1v1   2 v 2   3 v 3  w 3 en donde se tiene tres sistemas de ecuaciones cada uno de tres ecuaciones con tres incógnitas. Como la matriz de los coeficientes es la misma, los resolvemos todos a la vez. Así formamos la matriz, 2 1 1 6 4 5 0 2 1 3  1 5    1 0 1 3 3 2 llevando a su forma escalonada reducida, se tiene, 1 0 0 2 2 1 0 1 0 1  1 1    0 0 1 1 1 2

luego la matriz de transición P de la base N a la base M es

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2 2 1 P  1  1 2 1 1 1 

b)

El vector v  (4,9,5) lo expresamos en términos de M v  (4,9,5)  4(2,0,1)  5(1,2,0)  1(1,1,1)  4v1  5v 2  1v 3

de modo que [v]M  (4,5,1)

El vector v  (4,9,5) lo expresamos en términos de N v  (4,9,5)  1(6,3,3)  2(4,1,3)  2(5,5,2)  1w1  2w 2  2w 3

de modo que [v] N  (1,2,2)

luego usando P se verifica [v]M  P [v] N

 4  2 2 1   1   5  1  1 2  2        1  1 1 1  2

Teorema. Sean M  v1 , v 2 , , v n  y N  w1 , w 2 , , w n  bases para el espacio vectorial V de dimensión n. Sea P la matriz de transición de la base N en la base M. Entonces P es no singular y P 1 es la matriz de transición de la base M en la base N. Ejemplos 1. Determinar una base del subespacio



S  (x1 , x 2 , x 3 )  R 3 / x 3  x1  x 2



Solucion. De (x1 , x 2 , x 3 )  S se tiene que

x1 , x 2 , x 3   x1 , x 2 , x1  x 2   x1 (1,0,1)  x 2 (0,1,1) Luego v1  (1,0,1) , v 2  (0,1,1) generan a S. Además de 1v1   2 v 2  0 1 (1,0,1)   2 (0,1,1)  0  1   2  0

se tiene que v1 , v 2 son linealmente independientes. Por consiguiente v1 , v 2  es una base para S.

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2. Determinar si las matrices 1 0 0 1 0 0 0 0 A11   , A12   , A 21   , A 22       0 0 0 0 1 0 0 1

constituyen una base de M 22 3. Determinar las coordenadas de v  (2,3) respecto de las bases S1  (1,1), (1,0) y S2  (2,3), (1,2) .

4. Sean los polinomios: P1  P1 (t )  1  2t  t 2  t 3 P2  P2 (t )  5  2t  9t 2  7t 3

P3  P3 (t )  2  t  3t 2  t 3

c) Analizar la independencia lineal d) Halar una base del espacio generado por ellos

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