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Adición y Sustracción de Polinomios Ejercicios de Aplicación

8. De x2-5x3+6 Restar 2x2-5x3+6 9. Restar (a-b)2 De (a+b)2

I:

III. Resolver:

I. Sumar los siguientes polinomios :

1. Dado los polinomios:

1. x4-x2y2; -5x3y+6xy3;-4xy3+y4 ;-4x2y2-6 2. a5+a6+a2;a4+a3+6;3a2+5a-8;-a5-4a2-5a+6 3.

{

}

4.

3 2 1 2 2 1 1 1 x − y ; − xy + y 2 ; xy + y 2 4 2 5 6 10 3

− a − 2b + c − 2a − 2d + c + [− (d − 2c) + a − c − 2b − d − 2c]

1 5 3 1 1 3 5. a 3 − ab2 + b3; a 2 b − a b2 − 2 b3; a 3 − a 2 b − b 3 2 6 8 4 2 5 6. 6ma+1 - 7ma+2 - 5ma+3 ; 4ma+1 -7ma+2 – ma+3 ; -5ma+1 + 3ma+2 + 12ma+3 II. Restar los siguientes polinomios: 1. Restar ab-bc-6cd De 8ab+5bc+6cd 2. De y2 + 6y3 - 8 Restar 2y4 - 3y2 + 6y 3. Restar m2+7n-8c+d De m2-9n+11c+14 4. De a3 - 6ab2 + 9a Restar 15a2b-8a+ 5 5. Restar x-2y-z De 3x-2y-z 6. De a+b+c-d Restar –a+b+c-d 7. Restar a2-b2 De a2-2b2

A = –7a2 + 8a – 9 – 3a5 + 2a4 B = 10a2 - 3a + 4 + 5a4 – 8a3 C = 9a5 + 3a2 - 6 D = 2a4 + 5a3 - 4a2 Hallar: a)A+B b)C+D c)A+B+C d)C+D-B e)(D+A)-C f)(A-D)+C g)(A+B+C)-D h)(A+B)-(C-D) III. Resolver: 1. De la suma de x2 + 5 con 2x - 6 restar la suma de x -4 con -x + 6 2. De la suma de 3a - 5b + c con a -b -3c restar la suma de 7a+b con -8b -3c 3. Restar la suma de 3x2-y2 con -11xy+9y214 de la suma de x2-3xy - y2 con 9y2 - 8xy + 19x2 4. Restar de la suma de m4 - 1 ; -m3 + 8m2 6m + 5 ; -7m - m2 + 1 de la suma de m4 16 con -16m4+7m2 – 3 5. ¿Cuánto le falta a 7x3+3x-8x2+4 ; para ser igual a 4x+10x2+7x3-5? 6. Hallar el resultado de sumar 2x2-x+3 con el doble de x2+x+1 7. Indicar el resultado del cuádruple de la suma de x3+2x2+3x+1 con x3-2x2-2x-1

8. Indicar el resultado de restar la suma de x3+3x2+x+2 con x3-3x2+x-2, de la suma de 2x3+x2+x+1 con x3+x2+2x-6

9. Reducir: E = −− x− x .......  x− − x − 5nx n veces

Ejercicios y Problemas Propuestos:

a)-4nx d)-3xn 10.

1. Sumar: -x2y2; -5xy3 ; -4y4 ; 7xy3 ; -8 ; x2y2 a)2xy3-4y4-6 b)-2y2+xy2-4 3 4 c)2xy -4y -8 d)xy2-2y2-1 e)9xy3-25

b)b e)b-a

c)-b

11. ¿Cuánto hay que restar a -7x2 + 6x + 1 para obtener 6x - 7x2 - 7? a)-x2+x-2 b)2x-3 c)x-x2-5 d)x-7 e)8 12. ¿Cuánto le falta a (1 - x) para ser igual a (1 + x)? a)3x b)2x c)2 d)1 e)-2x

4. Simplificar: 5 – (3 – x) – [4 – (x – 7) ] a)2x-11 b)-x+3 c)2x-9 d)x+3 e)2x+9 5. Simplificar: (-a+5b)–[(2a+b–5)+(3a–b+2)] a)6a+5b+3 b)5a-6b+3 c)-6a+3 d)-6a+5b+3 e)-6a+5b+1 6. Reducir: 3m − {2n + [3p − 2m − (m + n )] + 2m − (n + 3p)} 7m − {3m − [4m − (5m − 2m)]} a)m+n b)5n c)4m d)4/5 e)5m 7. Simplificar: − a − 2b + c − 2a − 2d + c + [− (d − 2c) + a − c − 2b − d − 2c] a)-c b)-a c)a d)-d e)c

}

c)x3y

Reducir:

a)a+2b d)m(b+a)

3. Reste: (3a–2b+c)+(3a+b–2c) de a–b+c a)-3a+2c b)-5a+2c c)5a+2c d)3a-c e)5a-2c

8. Hallar: [ 2A - 3B ]2 Si: A = 8x3y2 – 6x2y2 + 3x2y3 B = -4y2x2 + 5x3y2 + 2x2y3 a)x6y4 b)x3y2 d)xy2 e)x9y4

c)3xn

    −  (a + a + ... + a ) − −b − b ... − b − [ ( a + 2 b ) + ...( a + 2 b ) ]           ( 2 m −1) veces  m sumandos  m sumandos

2. Hallar la suma: p+q+r;-2p–6q+3r;p+5q–8r a)4r b)-4r c)6r d)-4r+2q e)-r

{

b)4nx e)5xn

13. Calcular: A − B + C Si: A= 4x3y2 + 7x2y3 + 2x2y2 B = 2x2y3 – 5y2x3 + 6x2y2 C = 5x2y2 – 5x2y3 – 9x3y2  a)x2y2 b)x3y  d)2x4y e)2xy 14.

(

Reducir:

) (

c)xy

)

1   2 x 2 + x − 1 + 3 x 2 − x + 1 − 5 x 2 − x − 2  5   2 2 a)x +x+1 b)2x -1 c) 7x d)11 e)0 15. ¿Cuánto hay que sumarle a “M” para que sea igual a la diferencia de P y Q? M=1-4x-2x2 ; P=3x2-6x-8 ; Q=5x2+x-10 a)1-3x b)2x+3 c)5x d)2-6x e)3-2x 2 40 a − x2 3 7 3  2   1    T=6x 2 −  y +  x 2 − 4 y − 6 − a + x −  y − a    2  7   3 

16.

Si:

U=

Calcular: a)2x

3  (T + U) -  y + 6 2  b)y

d)3y

e)na

c)x

Multiplicación de Polinomios

Ejercicios de Aplicación: I Multiplicar por el Método Clásico y Coeficientes Separados:

1.

(5x + 2y) (4x - 3y)

2.

(3x2 + 5x) (2x + 3)

3.

(-5x2 + 6x + 9) (2x2 - 7)

4.

(x2 + xy + y2) (x - y)

5.

(x3 + 2x2 - x) (x2 - 2x + 5)

6.

(x2 + 1 + x) (x2 - x - 1)

7.

(x2 + 8x - 5) (3x + 11)

8.

(x2 - 3x + 1) (x + 3)

9.

(x3 - x2 + x) (x2 - 1)

10. (x4 - 2x3 + x + 6) (x2 - 2) 11. (x4 + 3x3 - 5x2 + 8) (x3 - 2x2 7)

12. (x4 - 8x2 + 3) (x4 + 6x2 - 5) 13. (6a5 - 4a2 + 6a - 2) (a4 - 2a2 + a - 7)

14. (3x4 - 4x3y - y4) (x3 - 5xy2 + 3

3y )

Ejercicios y Problemas Propuestos: 1. Si A = 3m(m2-2m+1)(m-1)(m+1) ; la suma de coeficientes de “A” es: a)2 b)3 c)4 d)6 e)0 2. Hallar el valor de (A - B) Si: A = (x2 + 5)( x2 +1) - 6 x2 - 5 B = (x2 + 2)(x2 - 3) + (x2 + 6) 2 a)-x b)0 c)x4 d)2x4 e)x4-1 3. Dado los polinomios P = 6x + 6x3 – 1 ; 1 Q=x+ ; R = 2x2 Dar como respuesta 2 el coeficiente del termino de grado cuatro a)12 b)10 c)20 d)3 e)16 4. Dados los polinomios: A = 2x3 + x + 1 ; B = -2x2+x–1 y C = 4x+3. Hallar [A – B + C] . C . Dar como respuesta el coeficiente del termino de grado dos. a)8 b)14 c)-10 d)22 e)15 5. Desarrollar (x+a)(a+b)+(a-b)(x-b)-(a+b)(a-b)-2b2 a)2ax b)ax+b c)ax-b2

d)ax+2b

e)-2ax

6. Si: A = 4x3 – x +2x2 ; B = -3x2+5x+3 Entonces: AB + 12x5 - 14x4 + 3x es: a)25x3 + 2x2 b)25x3+x2 c)5x3+x2 3 2 d)5x +2x e)na 7. Efectuar: (x + 1)2 – (x – 2)2 a)2x-1 b)x+1 c)2x d)6x-3 e)7x+3 1 1 8. Si: B =-3x2+5x+3 ; C= x4–5x2 – x3 – 1 2 2 3 6 Entonces BC+ x –19x4+23,5x3+12x2 es: 2 a)x5-x-3 b)x5-5x-3 c)x5+x-2 5 d)x -3x e)na 9. Efectuar: (a + b +c)(a – b +c) + (b – a + c)(a + b – c) a)abc b)ac c)4ab d)ac+bc e)4ac 10. Efectuar: E = (2x – 3)2 +2(2x –3)(1 –2x) + (1 – 2x)2 a)4 b)5 c)-3x d)x+1 e)3x-1 11. Calcular el término independiente en: (x+3) (x2-2x+6)(x4-2x-4) a)-36 b)5 c)72 d)-72 e)na 12. Señale el resultado de multiplicar la suma de 2x-x2+x3 con x2-x3+3 ; con el resultado de la diferencia de 3x2+x+6 con 3x2-x-1. Al resultado final restarle: 4x(x+5) a)14 b)35 c)21 d)19 e)na 1 1 13. Si: C= x4–5x2 – x3 – 1 ; D= 4 – 3x 2 2 3 5 1 4 Entonces: CD + 5x - x + 20x2 es: 2 2 3 3 a) 17x -4x b)17x +2x-4 c)7x3+x 3 d)17x +3x-4 e)na

14. Hallar: A = (3B + C) . D; Si se sabe que: B = x+1 ; C = 2x+2 y D = x2+2x-1 a) 3x3+10x2-5x+5 b) 5x3+15x2 3 2 c)5x +15x +5x-5 d)3x3+15x2-5x+5 e)na 15. Al multiplicar los polinomios: A = 2x4 - x2 + 2x – 3 B = 3x3 - 6x2 + 1 Señalar el menor coeficiente del polinomio producto: a)2 b)-21 c)-12 d)-3 e)6 16. Efectuar: (− x )(−3 x )(− x )(−3 x ).....(− x )(−3 x )     24 factores

10

a)x d)-x3

b)x8 e)na

c)2x20

17. Dados: A = (x2 + 1)(x3 + x – 1) B = (x2–1)(x3– x+1) ; C = (2x – 1)(2x2 +1) Sumar C a la cantidad que excede B a A a)2x+1 b)1-2x c)2x-1 d)-2x-1 e)x-2 18. Halle el producto de las expresiones fraccionarias siguientes: F(x) = -2x-2 ; −1 3 3   2  3  2 Q(x) = x . x ; P(x) = x     3x 3 -6 a)-2x b)x c)-2x-7 d)x-37/6 e)-2x-49/6 19. ¿Cuál es el grado de A? Si A = (1+x-1)(1+x-3)(1+x-5) a)2 b)0 d)4 e)-9

c)3

20. Calcular el grado de A = (1 - a - a 2 )(1 - a 3 - a 4 )(1 - a 5 - a 6 ) ......    10 factores

a)100 d)130

b)110 e)280

c)120

División de Polinomios Ejercicios de Aplicación:

6. (a4 - 9 a2 +3 +a) ÷ (a-3) 7. (7 a - a3 + 2 a4 - 3) ÷ (2 a+3)

I. Efectuar las Divisiones de Polinomios entre Monomios

8. (40x2 - 18x3 -51x + 15x4)÷ (3x2 + 8)

1. (x2y3 – x4y2 + x5y4) ÷ (x2y2) 2. (8xy2 – 2x2y2 + 6x3y – 4x3y4) ÷ (2xy2) 3. ( 3xy2 - 2x2y2 + 5x3y - 7x4 ) ÷ (2xy) 4. ( -4x2y + 6xy2 - 10y3 ) ÷ (-2x) 5. ( 12x3y3 - 15x2y2 + 18x ) ÷ (-3xy) 6. ( -6x3y2z4 + 9x2y3z2 - 3xy2z3 ) ÷ 7. ( -15x6y3z + 20x4y4z3 - 10x5y2z2 ) ÷ 8. ( 18x4y3z2 - 24x2y2z3 + 26x3y3z2 ) ÷ ( 6x2y2z )

9. ( z - 15z + 56 ) ÷ ( x - 8 ) ( 38x - 65x + 27 ) ÷ ( 2x - 5x + 3 ) 4

3

2

II. Resolver por el Método Clásico 1. (20x -2x -16x+6) ÷ (4x-2) 2

2

2. (9x +3x +x-1)÷ (3x-1) 3. (4x + 30 - 11x) ÷ (x - 6) 2

4. (30x - 16y + 24xy) ÷ (2y - 3x) 2

2

5. (38x -65x +27) ÷ (2x -5x+3) 4

3. (2x + x4 – 5 + 6x2) ÷ (x + 1) 4. ( x3 - 6x2 + 12x - 8 ) ÷ ( x - 2 ) 6. ( 3x - 6 - 3x3 + 6x5 ) ÷ ( x + 1 )

3

2

8. ( 3x3 + 26x - 18x2 + 10 ) ÷ ( x - 4 ) III.

2

3

2. (x2 + 2x – 3 + x3 ) ÷ (x + 2)

7. ( 2 + 2x3 - x2 ) ÷ ( x - 1 )

( -5x4y2z )

3

1. (x3 – 5x2 + 6x – 1) ÷ (x – 1)

5. ( x3 - 3x + 1 + 3x2 ) ÷ ( 1 + x )

(-3xy2z2)

10.

II. Aplica la Regla de Ruffini

Desarrollar por el Método de Horner

1. (12x4 +2x3 -3x2 +12x -9) ÷ (4x2+2x-3) 2. (4x3 + 5 + 4x2 -13 x) ÷ (2x + 5) 3. (12x4 -14x3 +15x2 -6x+4)÷ (4x2-2x+1) 4. (9x5 + 9x4-16x3-14x2 + 8x - 3) ÷ (3x3 + 2x2 + 5) 5. (6x5 + 5x4 - 26x3 + 33x2 - 22x + 6) ÷ (2x2 - 3x + 1) 6. (20x6 - 48x5 + 43x4 + 2x3- 12x2- 17) ÷ (2x3 - 3x2 + 4)

IV.

Dividir por el Método de Coeficientes Separados

1. (x5 - x4 + x2 - x) ÷ (x3 - x2 + x) 2. (x8 - 2x6 - 50x4 + 58x2 -15)÷ (x4 +6x2 -5) 3. (x7+x6-11x5+3x4-13x3+19x2-56)÷ (x3-2x2-7 4. (a6+a5b-7a4b2+12a3b3-13a2b4+7ab5-b6)

÷

(a2- 2ab + b2) 5. (10x4-29x2+2x5+51x-13x3-18)÷ (5x+x2-3) 6. (25x2+7-12x-20x4+6x5-13x3)÷ (1+3x2-x) 7. (3x4-56+x6+19x2-11x5+x7-13x3)÷ (-7+2x2-x3) V.

Calcular el Residuo sin efectuar la

Ejercicios y Problemas Propuestos: 1. Sean P(x) y Q(x) dos polinomios de grado

2. (3 – x + 2x4 – 2x3) ÷ (x + 2)

12 y 7 respectivamente. ¿Cuál será el grado de P(x)÷ Q(x)? a)3 b)6 c)5 d)4 e)1

3. (n5 + 3n4 – 2n – 2n3 + 4n2 + 2) ÷ (n + 3)

2. Sea la división: -9x6y8z15 ÷ 2x3yz. Indicar

división 1. (a3 – 3a2 + 2a – 2) ÷ (a + 1)

4. (7x8 – 3x2 + x5 – x + 4) ÷ (x – 1) 5. (12x3 – 21x + 90) ÷ (3x – 3) 6. (3x8 + x6 – 5x2 + 1) ÷ (x2 + 2) 7. (5x4 – 12x3 + 9x2 – 22x + 21) ÷ (5x – 2) 8. (3x16 + 2x12 – 3x8 + 4x4 – 2) ÷ (x4 – 2) 9. (3x15– x12 + 2x9 – 5x6 + 3x3 + 4) ÷ (x3 – 2) 10. 3)

(a32 – 6a24 + 2a16 + 3a8 + 18) ÷ (2a8 –

el grado relativo respecto a z a)9 b)8 d)14 e)13

3. Si la expresión

c)10

x 2 x n ÷ x 5 x 3n − 2 es de primer grado, indicar el valor de: n+5 a)2 b)1 c)3 d)0 e)4 3

4. Al dividir (6x4+25x3+17x2-24x-10) ÷

(2x+5) La suma de los coeficientes del cociente es: a)5 b)6 c)2 d)-1 e)8

Al dividir 2x5 -10x4-3x3+15x2-5x+29 entre x5, el cociente es Q y el residuo es R. Hallar el valor de (Q + 3x2+5)R

a)8x4 d)8x4+8

b)8x4+1 e)na

c)8x4-1

Dividiendo 11x3-2x4-16x-12x2+25 entre 4x-6; el cociente es Q y el residuo es R. Hallar el 1   valor de:  Q + x 3  ÷ R  2  2 a)2x -3 b)2x2-1 c)2x2 2 d)2x -4 e)na Sí después de efectuar la división indicada a continuación: (2x4+3x3+4x2+5x+m) ÷ (x+1); el resto es 12. Hallar “m”. a)14 b)12 c)2 d)1 e)na Al dividir los polinomios por el Método de los coeficientes separados:

Determinar el valor de “m” para que el polinomio: x4-5x2+7x+m, es divisible por (x+2) a)10 b)-10 c)2 d)1 e)na

6. Del siguiente esquema de Ruffini

Calcular: xz + y a)0 d)5

b)32 e)na

c)3

7. Del esquema de Horner siguiente: Calcular el valor de a+b+c

Hallar el valor de (x+y+z+a+b+c)2 a)7 b)14 c)9 d)-2 e)na

5. Al dividir por Ruffini ¿Cuántos ceros se obtienen en el cociente? (x5+ x4+ x2+ x3- 12 - 12x) ÷ (x + 1) a)2 b)3 c)4 d)5 e)na Al dividir por Horner: (x6+ x5- 4x4+ x2- 1) ÷ (x3 +x2- 4x - 1) ¿Cuántos ceros se obtienen en el residuo? a)1 b)2 c)3 d)4 e)5 El residuo de la división 2x4 +17x39x2+2x+13 entre 2x3- x2 + 1 es R. Hallar el valor de: R(x-2) - 2x a)x2-6 b)x2-4 c)x2-8 2 d)x -2 e)na

a)4

b)-4

c)3

d)-3

e)0

Determinar el valor de “k” para que le polinomio x4-5x3+6x2+k, sea divisible por (x3) a)36 b)24 c)72 d)12 e)na Calcular abc, si el polinomio 4 3 2 3 x +3x +ax +bx+c es divisible por x +2x2-x-2 a)1 b)2 c)3 d)-4 e)na

8. El residuo de la división (x6-4) ÷ (x+1) es R. Hallar el valor de “x” en Rx=2 a)-3 b)6 c)-3 d)2 e)na

Al dividir por Horner: (x6+ x5- 4x4+ x2- 1) ÷ (x3 +x2- 4x - 1) ¿Cuántos ceros se obtienen en el residuo? a)1 b)2 c)3 d)4 e)5

9. Del siguiente esquema de Ruffini

Calcular (ab) – (c+d) a)1 b)10 d)4 e)na

c)2

En el esquema de Horner; hallar la suma de los coeficientes del divisor:

a)5 d)-5

b)3 e)-3

c)6

Del siguiente esquema de Ruffini

Hallar el valor de a+b+c+d a)-9 b)-13 d)-16 e)0

c)-6