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Ecuaciones Diferenciales EXACTAS Identificación, Técnica de Solución y Ejemplos

Diferenciales • UNA VARIABLE • La diferencial de la función de UNA variable: • y = f (x) • Se define • df = (df/ dx) dx

• DOS VARIABLES • La diferencial de la función de DOS variables: • z = f (x, y) • Se define • df = ( f/  x) dx + ( f/  y) dy

Diferenciales • UNA VARIABLE • DOS VARIABLES • Usando el concepto • Análogamente al caso de Integral de una variable, si la INDEFINIDA expresión: sabemos que: • M (x, y) dx + N (x, y) dy •  df = f + c =0 • es una diferencial, es decir: • M (x, y) dx + N (x, y) dy = df = 0 • Entonces: • f=c

Formas de escribir a una Ecuación Diferencial • Forma de • Forma Diferencial Derivada • Una ecuación diferencial • Una ecuación de Primer Orden se diferencial de puede escribir en la Primer Orden se forma DIFERENCIAL de puede escribir en la siguiente manera: la forma de DERIVADA de la M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0 siguiente manera: • (dy/dx) = f (x, y)

Criterio para determinar si una Ecuación Diferencial es EXACTA • La ecuación diferencial • M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0 • Es EXACTA si M y N satisfacen la siguiente identidad entre Derivadas PARCIALES •  M/  y =  N/  x

EJEMPLOS • Determine cuál de las siguientes Ecuaciones Diferenciales son Exactas • 1.- (2x – 5y)dx + (-5x + 3y2)dy = 0 • 2.- x2y3dx + x3y2dy = 0 • 3.- 2xydx + (x2 – 1)dy = 0 • 4.- (e2y – y cos x y) dx + • (2xe2y – x cos x y + 2y) dy = 0 • 5.- (cos x sen x – xy2) dx + • y (1 – x2)dy = 0

METODO DE SOLUCIÓN • Como la ecuación diferencial es EXACTA, existe una función de DOS Variables • f (x, y) • Tal que su diferencial es igual al lado izquierdo de la Ecuación diferencial, es decir: • M (x, y) dx + N (x, y) dy = ( f/  x) dx + ( f/  y) dy

METODO DE SOLUCIÓN • M (x, y) dx + N (x, y) dy = ( f/  x) dx + ( f/  y) dy • Comparando, encontramos las siguientes ecuaciones diferenciales elementales PARCIALES, que se resuelven exactamente igual que la ecuación diferencial elemental ordinaria

METODO DE SOLUCIÓN • M (x, y) dx + N (x, y) dy = ( f/  x) dx + ( f/  y) dy • Es decir: •  f/  x = M (x, y) ;  f/  y = N (x, y)

• Para despejar f (x, y) integramos la primera ecuación parcialmente con respecto a x, es decir:

METODO DE SOLUCIÓN  f/  x = M (x, y) f (x, y) =  M (x, y)  x + g (y) • Donde en este caso en lugar de agregar una constante arbitraria se agrega una FUNCIÓN ARBITRARIA de la variable independiente que no aparece como variable de integración, que en este caso es la variable independiente “y”.

METODO DE SOLUCIÓN • • • •

•

Para encontrar la función arbitraria g (y): f (x, y) =  M (x, y)  x + g (y) Usamos la ecuación •  f/  y = N (x, y) Sustituyendo el valor de f en esta última expresión, encontramos: •  ( M (x, y)  x + g (y) ) /  y = N (x, y) Despejando la derivada de g (y) • g ´ (y) = N (x, y) -  ( M (x, y)  x ) /  y donde el lado derecho es una función de “y”.

METODO DE SOLUCIÓN • Entonces • N (x, y) -  ( M (x, y)  x ) /  y • La podemos renombrar y hacerla igual a una función de “y” • h (y) = N (x, y) -  ( M (x, y)  x ) /  y • Y la ecuación para encontrar a la función arbitraria es • (d g/dy) = h (y)

METODO DE SOLUCIÓN • (d g/dy) = h (y) • Cuya solución se obtiene al integrar ambos miembros de esta ecuación, es decir: • g (y) =  h (y) dy • Sustituyendo en f • f (x, y) =  M (x, y)  x + g (y)

METODO DE SOLUCIÓN • Encontramos • f (x, y) =  M (x, y)  x +  h (y) dy • Donde • h (y) = N (x, y) -  ( M (x, y)  x ) /  y • Finalmente, la solución de la ecuación Diferencial Exacta, se obtiene al integrar su expresión diferencial, es decir:

METODO DE SOLUCIÓN • M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0 • es una diferencial, es decir: • M (x, y) dx + N (x, y) dy = df = 0 • Entonces: • df = 0 • Integrando, encontramos finalmente la solución de la Ecuación Diferencial Exacta • f (x, y) = c

RESUMIENDO • Si la ecuación diferencial • M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0 • Cumple la condición •  M/  y =  N/  x • Entonces es EXACTA y su solución esta dada por: • f (x, y) = c • donde

RESUMIENDO

• f (x, y) =  M (x, y)  x +  h (y) dy • con

• h (y) = N (x, y) -  ( M (x, y)  x ) /  y

EJEMPLOS • Resuelva las siguientes Ecuaciones Diferenciales son Exactas • 1.- (2x – 5y)dx + (-5x + 3y2)dy = 0 • 2.- x2y3dx + x3y2dy = 0 • 3.- 2xydx + (x2 – 1)dy = 0 • 4.- (e2y – y cos x y) dx + • (2xe2y – x cos x y + 2y) dy = 0 • 5.- (cos x sen x – xy2) dx + • y (1 – x2)dy = 0