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ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS

Las ecuaciones exactas, son ecuaciones utilizadas para obtener ecuaciones generales de crecimiento de tasa de una población. Esta dada de la forma: M ( x , y ) dx + N ( x , y ) dy=0

f ( x , y ) =C

Si se cumple M ( x , y) N (x , y ) = ∂y ∂x Entonces la ecuación diferencial es exacta Para resolver la ecuación exacta se proceden los siguientes pasos.

Paso 1. Se integra la función de cualquier diferencial sea Mdx o Ndy. f ( x , y ) =∫ M ( x , y ) dx +C( y) Paso 2. Luego derivamos la función f(x, y) y se iguala a una de las diferenciales opuestas a la que se integró. df ( x , y ) =N ( x , y ) dy Paso 3. Luego de haber resuelto el paso 2. Integramos a ambos lados para conseguir C (y), una vez conseguido procedemos remplazando en la función general.

EJERCICIOS ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS

2 xydx + ( x 2−1 ) dy =0 Comprobar que es una ecuación exacta: ∂M (x, y) ∂ N ( x , y) =2 x ; =2 x ∂y ∂x

Por lo tanto esta es una ecuación diferencial exacta. dfx , y ¿ ¿ =∫ M ( x , y ) dx+ C( y ) dy dfx , y 2

x y ¿ ¿ =∫ (2 xy ) dx+ C( y )=2 +C ( y ) dy 2

df ( x , y ) 2 =x y +C( y) dy Luego se procede a derivar la función f(x, y) y se iguala diferencial correspondiente en este caso N(x, y) x 2+C ' ( y ) =x2 ´ +1 Quedando así C’ (y) = 1 Integrando

∫ C ' ( y ) dy=∫−1 dy C ( y )= y + c Y reemplazamos en la función quedando así

Solución f ( x , y ) =x2 y + y +c

ECUACIONES DIFERENCIALES DE BERNOULLI

Esta ecuación, es utilizada para calcular la cantidad de fluido que pasa en un área dada en un determinado tiempo. Esta dada de la forma y ' + p ( x )=Q( x ) y n Donde (n) denota el número real. Cuando n=1 o n=0 donde esta ecuación de Bernoulli se reduce a una ecuación lineal.

EJERCICIOS y ' +2 xy=x y 2

n=2 −1

−y

−2

−y

−2

'

Z=y

y −2 xy ( y ) =−x −2

'

'

−2

Z =− y

−1

y −2 x y =−x

μ=e∫ 2

2

y'

pxdx

− 2 xdx μ=e ∫

2

e−x Z ' −2 x e−x Z=−x e− x

2

d ( Z∗e−x )=−x e−x dx 2

x 2

−2

μ=e

2

2

μ=e−x

INTEGRAL INMEDIATA 2

−1

2

∫ e−x (−2 x )= 2 ∫ e−x (−2 x )=

−1 −x e 2

2

2

2

∫ d ' ( Z∗e−x )=∫−x e−x ( Z∗e−x ) =−1 e−x +c 2

2

2

1 −x e 2 c Z = −x + −x e e 2

2

2

1 c Z = + −x 2 e

2

1 Z = +c∗e x 2

2

TRABAJO DE ECUACIONES DIFERENCIALES Ecuaciones exactas & de Bernoulli

WILDER PALACIOS BLANDON JANLE MOSQUERA TELLO Estudiantes

YENNY MARCELA TORO ORTIZ

Docente

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DEL CHOCÓ “Diego Luis Córdoba” Programa de Ingeniería ambiental Facultad de Ingeniería Nivel VB

Quibdó- enero de 2015

INTRODUCCION

Las ecuaciones diferenciales son una parte muy importante del análisis matemático y modelan innumerables procesos de la vida real. Una ecuación diferencial es una relación, válida en cierto intervalo, entre una variable y sus derivadas sucesivas. Su resolución permite estudiar las características de los sistemas que modelan y una misma ecuación puede describir procesos correspondientes a diversas disciplinas. Las ecuaciones diferenciales tienen

numerosas aplicaciones a la ciencia y a la ingeniería, de modo que los esfuerzos de los científicos se dirigieron en un principio, a la búsqueda de métodos de resolución y de expresión de las soluciones en forma adecuada. 1

OBJETIVOS

Objetivo General Tener un concepto claro de lo que son las ecuaciones diferenciales Exactas y de Bernoulli.

1 http://live.v1.udesa.edu.ar/files/MAEEDUCACION/MICROSOFT%20WORD%20%20ABSTRACT%20MARTINS.PDF

Objetivos Específicos  Resolver ecuaciones diferenciales Exactas y de Bernoulli  Identificar cuando una ecuación es una ecuación exacta  Conocer para que sirven las ecuaciones de Bernoulli

CONCLUSIÓN

Las ecuaciones son un factor importante en nuestra vida cotidiana ya que nos ayudan a resolver problemas de cualquier índole. Además con las educación anteriores por lo que se pudo observar, se puede obtener una tasa de crecimiento de una población o ver como interactúa un fluido.

BIBLIOGRAFÍA / FUENTE

 https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/cursoslinea/EcuacionesDiferenciales/EDO-Geo/edo-cap2-geo/node5.html  http://www.ecuacionesdiferenciales.jcbmat.com/id229.htm