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• Jhon Karlo

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Ecuaciones Diferenciales Exactas 

𝑆𝑒 𝑣𝑒 𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑁(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = 0; 𝑝𝑒𝑟𝑜 𝑛𝑜 𝑒𝑠 ℎ𝑜𝑚𝑜𝑔𝑒𝑛𝑒𝑎.



𝑆𝑖 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛 ∶ 𝑑𝑀 𝑑𝑁 = → 𝐿𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑒𝑥𝑎𝑐𝑡𝑎. 𝑑𝑦 𝑑𝑥

Solución de ecuaciones diferenciales exactas

1. Verificar que es ecuaciones diferenciales exactas. 2. Existe una función, tal que: 𝑑𝑓 = 𝑀(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑥 3. Integrar con respecto a x agregando como constante de integración a g(y) → función en y. 4. Derivar con respecto Y e igualar con N(x,y). 5. Despeje a

𝑑𝑔(𝑦) 𝑑𝑦

y luego integre con respecto a y.

6. Remplazar el valor de g(y) en la función de incisivo (3) y esta sería la solución. Ejemplo: (2𝑥 + 𝑦)𝑑𝑥 + (𝑥 + 6𝑦)𝑑𝑦 = 0 1. 𝑉𝑒𝑟𝑓𝑖𝑞𝑢𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑠𝑖 𝑒𝑠 𝑒𝑥𝑎𝑐𝑡𝑎. 𝑑𝑀 =1 𝑑𝑦 2.

𝑑𝑁 =1 𝑑𝑥

𝑑𝑓 = 2𝑥 + 𝑦 𝑑𝑥

3. 𝑑𝑓 = (2𝑥 + 𝑦)𝑑𝑥 ; 𝐴ℎ𝑜𝑟𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑎 𝑙𝑜𝑠 𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑑𝑎𝑑. ∫ 𝑑𝑓 = ∫(2𝑥 + 𝑦)𝑑𝑥 Programa de ingeniería civil

𝑓 = ∫ 2𝑥𝑑𝑥 + ∫ 𝑦𝑑𝑥 𝑓 = 𝑥 2 + 𝑥𝑦 + 𝑔(𝑦) 4. 𝐷𝑒𝑟𝑣𝑖𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑎 𝑓 𝑐𝑜𝑛 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑜 𝑦, 𝑒 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑙 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑛 𝑁(𝑥, 𝑦). 𝑥+ 5.

𝑑𝑔(𝑦) = 𝑥 + 6𝑦 , 𝑐𝑎𝑛𝑐𝑒𝑙𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎 𝑥 𝑑𝑦

𝑑𝑔(𝑦) = 6𝑦 𝑑𝑦

𝑑𝑔(𝑦) = 6𝑦𝑑𝑦 , 𝑎ℎ𝑜𝑟𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑎 𝑎𝑚𝑏𝑜𝑠 𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑑𝑎𝑑. ∫ 𝑑𝑔(𝑦) = ∫ 6𝑦𝑑𝑦 𝑔(𝑦) = 6 ∗

𝑦2 +𝑐 2

𝑔(𝑦) = 3𝑦 2 + 𝑐 6. 𝑓 = 𝑥 2 + 𝑥𝑦 + 3𝑦 2 + 𝑐 𝑥 2 + 𝑥𝑦 + 3𝑦 2 + 𝑐 = 0

𝑅

(𝑠𝑒𝑛𝑦 − 𝑦𝑠𝑒𝑛𝑥)𝑑𝑥 + (𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑥𝑐𝑜𝑠𝑦 − 𝑦)𝑑𝑦 = 0 1. 𝑉𝑒𝑟𝑖𝑓𝑖𝑞𝑢𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑠 𝐸. 𝐷. 𝐸𝑥𝑎𝑐𝑡𝑎. 𝑑𝑀 = 𝑐𝑜𝑠𝑦 − 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑦 2.

;

𝑑𝑁 = 𝑐𝑜𝑠𝑦 − 𝑠𝑒𝑛𝑥. 𝑑𝑥

𝑑𝑓 = 𝑠𝑒𝑛𝑦 − 𝑦𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥

𝑑𝑓 = (𝑠𝑒𝑛𝑦 − 𝑦𝑠𝑒𝑛𝑥)𝑑𝑥 3. ∫ 𝑑𝑓 = ∫(𝑠𝑒𝑛𝑦 − 𝑦𝑠𝑒𝑛𝑥)𝑑𝑥 𝑓 = ∫ 𝑠𝑒𝑛𝑦𝑑𝑥 − ∫ 𝑦𝑠𝑒𝑛𝑥𝑑𝑥 𝑓 = 𝑥𝑠𝑒𝑛𝑦 + 𝑦𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑔(𝑦) 4. 𝑥𝑐𝑜𝑠𝑦 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 5.

𝑑𝑔(𝑦) = 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑥𝑐𝑜𝑠𝑦 − 𝑦 𝑑𝑦

𝑑𝑔(𝑦) = −𝑦 𝑑𝑦

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𝑑𝑔(𝑦) = −𝑦𝑑𝑦 ∫ 𝑑𝑔(𝑦) = ∫ −𝑦𝑑𝑦 𝑔(𝑦) = −

𝑦2 +𝑐 2

𝑦2 6. 𝑓 = 𝑥𝑠𝑒𝑛𝑦 + 𝑦𝑐𝑜𝑠𝑥 − +𝑐 2 Ecuaiones diferenciales reducibles a exactas. Si la ecuación diferencial: 𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑁(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = 0 , 𝑝𝑒𝑟𝑜

𝑑𝑀 𝑑𝑁 ≠ 𝑑𝑦 𝑑𝑥

Se puede reducir a exacta multiplicando por una función llamada factor integrante u(x,y) a la ecuación. 𝑢(𝑥, 𝑦)𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑢(𝑥, 𝑦)𝑁(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = 0 𝐸𝑙 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑢(𝑥, 𝑦) 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎: 𝑀𝑦 −𝑁𝑥 𝑑𝑥 𝑁

1. 𝑢(𝑥) = 𝑒 ∫ 2. 𝑢(𝑦) = 𝑒

𝑁𝑥 −𝑀𝑦 ∫ 𝑀 𝑑𝑦

Ejemplo: 𝐻𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟 𝑙𝑎 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙: 𝑥𝑦𝑑𝑥 + (2𝑥 2 + 3𝑦 2 − 20)𝑑𝑦 = 0 𝑀 = 𝑥𝑦 → 𝑀𝑦 = 𝑥 𝑁 = 2𝑥 2 + 3𝑦 2 − 20 → 𝑁𝑥 = 4𝑥 Como vemos la ecuación diferencias no es exacta. Hallemos un factor integrante.

𝑢(𝑦) = 𝑒

𝑁𝑥 −𝑀𝑦 ∫ 𝑀 𝑑𝑦

=

4𝑥−𝑥 ∫ 𝑥𝑦 𝑒

=

3𝑥 ∫𝑥𝑦 𝑒

=

3 ∫𝑦 𝑒

3

= 𝑒 ln(𝑦) = 𝑦 3 .

𝐴ℎ𝑜𝑟𝑎 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑛𝑐𝑖𝑎𝑠 𝑝𝑜𝑟 𝑒𝑙 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑦 3 [𝑥𝑦𝑑𝑥 + (2𝑥 2 + 3𝑦 2 − 20)𝑑𝑦 = 0] 𝑥𝑦 4 𝑑𝑥 + (2𝑥 2 𝑦 3 + 3𝑦 5 − 20𝑦 3 )𝑑𝑦 = 0 Programa de ingeniería civil

𝐴ℎ𝑜𝑟𝑎 𝑒𝑛𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑠𝑢 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛. 2.

𝑑𝑓 = 𝑥𝑦 4 𝑑𝑥

3. 𝑑𝑓 = 𝑥𝑦 4 𝑑𝑥 ∫ 𝑑𝑓 = ∫ 𝑥𝑦 4 𝑑𝑥 𝑓 = 𝑦 4 ∫ 𝑥𝑑𝑥 𝑓= 4.

𝑥2𝑦4 + 𝑔(𝑦) 2

4𝑥 2 𝑦 3 𝑑𝑔(𝑦) + = 2𝑥 2 𝑦 3 + 3𝑦 5 − 20𝑦 3 2 𝑑𝑦

2𝑥 2 𝑦 3 +

𝑑𝑔(𝑦) = 2𝑥 2 𝑦 3 + 3𝑦 5 − 20𝑦 3 𝑑𝑦

𝑑𝑔(𝑦) = 3𝑦 5 − 20𝑦 3 𝑑𝑦 5. 𝑑𝑔(𝑦) = (3𝑦 5 − 20𝑦 3 )𝑑𝑦 ∫ 𝑑𝑔(𝑦) = ∫(3𝑦 5 − 20𝑦 3 )𝑑𝑦 1 𝑔(𝑦) = 𝑦 6 − 5𝑦 4 + 𝑐 2 6. 𝑓 =

𝑥2𝑦2 1 6 + 𝑦 − 5𝑦 4 + 𝑐 2 2

𝑥2𝑦2 1 6 + 𝑦 − 5𝑦 4 + 𝑐 = 0 𝑅/ 2 2

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Ecuaciones Diferenciales Lineales. 𝑇𝑖𝑒𝑛𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎:

𝑑𝑦 + 𝑃(𝑥)𝑦 = 𝑄(𝑥) 𝑑𝑥

Solución de Ecuación diferencial lineal: 1. Identificar a P(x) y Q(x) en la ecuación diferencial. 2. Hallar el factor de integración. 𝑢

= 𝑒 ∫ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥 .

3. Multiplicar toda la ecuación diferencial por u. 𝑑𝑦 + 𝑃(𝑥)𝑦 = 𝑄(𝑥)] 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑒 ∫ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥 ( + 𝑃(𝑥)𝑦) = 𝑒 ∫ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥 ∗ 𝑄(𝑥) 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝐷𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑃𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜 ← 𝑒 ∫ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥 ∗ + 𝑒 ∫ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥 ∗ 𝑃(𝑥)𝑦 = 𝑒 ∫ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥 ∗ 𝑄(𝑥) 𝑑𝑥 𝑑 (𝑦 ∗ 𝑒 ∫ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥 ) = 𝑒 ∫ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥 ∗ 𝑄(𝑥) 𝑑𝑥 𝑢[

𝑑(𝑦 ∗ 𝑒 ∫ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥 ) = 𝑒 ∫ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥 ∗ 𝑄(𝑥)𝑑𝑥 ∫ 𝑑(𝑦 ∗ 𝑒 ∫ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥 ) = ∫ 𝑒 ∫ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥 ∗ 𝑄(𝑥)𝑑𝑥 𝑦 ∗ 𝑒 ∫ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑒 ∫ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥 ∗ 𝑄(𝑥)𝑑𝑥 𝑦=

∫ 𝑒 ∫ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥 ∗ 𝑄(𝑥)𝑑𝑥 𝑒 ∫ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥

𝐸𝑠𝑡𝑜 𝑞𝑢𝑒 ℎ𝑎𝑙𝑙𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑐𝑜𝑟𝑡𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝐷𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 𝐿𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙. 𝑦=

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∫ 𝑢 ∗ 𝑄(𝑥)𝑑𝑥 𝑢

Ejemplo: Hallemos la solución: 𝑑𝑦 − 3𝑦 = 𝑥 4 𝑒 3𝑥 𝐷𝑖𝑣𝑖𝑑𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑟 𝑥 𝑡𝑜𝑑𝑎 𝑙𝑎 𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑥 ÷ [𝒙 − 3𝑦 = 𝑥 4 𝑒 3𝑥 ] 𝑑𝑥 𝑑𝑦 3 3 − 𝑦 = 𝑥 3 𝑒 3𝑥 𝐴ℎ𝑜𝑟𝑎 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑃(𝑥) = − 𝑦 𝑄(𝑥) = 𝑥 3 𝑒 3𝑥 𝑑𝑥 𝑥 𝑥 𝑥

𝐴ℎ𝑜𝑟𝑎 ℎ𝑎𝑙𝑙𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑙 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑛𝑔𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒. 3

−3

𝑢 = 𝑒 ∫ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑒 ∫ −𝑥𝑑𝑥 = 𝑒 −3𝑙𝑛𝑥 = 𝑒 (𝑙𝑛𝑥)

= 𝑥 −3

𝐴ℎ𝑜𝑟𝑎 𝑟𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑢𝑙𝑎 𝑦=

∫ 𝑢 ∗ 𝑄(𝑥)𝑑𝑥 𝑢

1 3𝑥 ∫ 𝑥 −3 𝑥 3 𝑒 3𝑥 ∫ 𝑒 3𝑥 3 𝑒 + 𝑐 1 3 3𝑥 𝑦= = −3 = = 𝑥 𝑒 + 𝐶𝑥 3 𝑥 −3 𝑥 𝒙−𝟑 3 1 𝑦 = 𝑥 3 𝑒 3𝑥 + 𝐶𝑥 3 3

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Ecuaciones Diferenciales de Bernoulli. 𝑇𝑖𝑒𝑛𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 ∶ 𝑑𝑦 + 𝑃(𝑥)𝑦 = 𝑓(𝑥)𝑦 𝑛 𝑑𝑥 𝑑𝑦 ② + 𝑃(𝑥)𝑦 = 𝑄(𝑥)𝑦 𝑛 𝑑𝑥 ①

𝐷𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑛 ≠ 0 𝑦 𝑛 ≠ 1 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑠𝑒𝑟𝑎 𝐿𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙. Solución de Ecuación Diferencial de Bernoulli. 1. Se debe utilizar una sustitución de 𝑢 = 𝑦1−𝑛 , 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎𝑛𝑑𝑜 (𝑦)𝑦 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑛𝑑𝑜. 2. 𝑆𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖𝑟 𝑜 𝑟𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑟 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙. 𝐷𝑒𝑠𝑝𝑢𝑒𝑠 𝑑𝑒 ℎ𝑎𝑐𝑒𝑟 𝑙𝑎𝑠 𝑜𝑝𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑠𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑖𝑒𝑟𝑡𝑒 𝑒𝑛 𝑢𝑛𝑎 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝐷𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 𝐿𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙. 3. 𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒𝑟 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙 𝑦 𝑟𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑟 𝑛𝑢𝑒𝑣𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑑𝑒 𝑢. Ejemplo: Resuelva la ecuación diferencial. 𝑑𝑦 + 𝑦 = 𝑥2𝑦2 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑥 ÷ [𝑥 + 𝑦 = 𝑥 2 𝑦 2] 𝑑𝑥 𝑑𝑦 + 𝑦𝑥 −1 = 𝑥𝑦 2 𝑃(𝑥) = 𝑥 −1 𝑄(𝑥) = 𝑥 2 , 𝑛 = 2 𝑑𝑥 𝑥

𝑢 = 𝑦1−2 = 𝑦 −1 , 𝑎ℎ𝑜𝑟𝑎 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎𝑚𝑜𝑠. 𝑦 = 𝑢−1 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑚𝑠 𝑐𝑜𝑛 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑜 𝑎 𝑥. 𝑑𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑢 = ∗ 𝑑𝑥 𝑑𝑢 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑢 = −𝑢−2 ∗ 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑅𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑜𝑠 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠: −𝑢−2 ∗

𝑑𝑢 𝑢−1 − = 𝑥(𝑢−1 )2 𝑑𝑥 𝑥

−𝑢−2 ∗

𝑑𝑢 𝑢−1 − = 𝑥𝑢−2 𝑑𝑥 𝑥

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𝐷𝑖𝑣𝑖𝑑𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎 𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖𝑜𝑛 𝑝𝑜𝑟 𝑢−2

−𝑢−2 ÷ [−𝑢−2 ∗

𝑑𝑢 𝑢−1 − = 𝑥𝑢−2 ] 𝑑𝑥 𝑥

𝑑𝑢 𝑢 − = −𝑥 𝐸𝑠𝑡𝑜 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙. 𝑑𝑥 𝑥 𝑑𝑢 1 − 𝑢𝑥 −1 = −𝑥 𝑃(𝑥) = − 𝑄(𝑥) = −𝑥 𝑑𝑥 𝑥 1 1 1 𝑢 = 𝑒 ∫ −𝑥𝑑𝑥 = 𝑒 −𝑙𝑛𝑥 = 𝑙𝑛𝑥 = 𝑒 𝑥 1 ∫ 𝑥 ∗ 𝑥𝑑𝑥 −𝑥 + 𝑐 𝑢= = = −𝑥 2 + 𝑥𝐶 1 1 𝑥 𝑥 𝑃𝑒𝑟𝑜 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑢 = 𝑦 −1 𝑦 −1 = −𝑥 2 + 𝐶𝑥 𝑦=

𝐸𝑙𝑒𝑣𝑎𝑚𝑜𝑠 − 1 𝑡𝑜𝑑𝑎 𝑙𝑎 𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖𝑜𝑛

1 −𝑥 2 + 𝐶𝑥

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