EJERCICIOS RESUELTOS DE ECUACIONES DIFERENCIAlES EXACTAS En los problemas 1 a 24 determine si la ecuación dada es exacta
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EJERCICIOS RESUELTOS DE ECUACIONES DIFERENCIAlES EXACTAS En los problemas 1 a 24 determine si la ecuación dada es exacta. Si lo es, resuélvala.
l. (2x -1)dx + (3y + 7)dy = O Solución:
(2x -1)dx + (3y + 7)dy =O (1) En este caso se tiene
M(x,y) con
=
2x -1 y N(x,y)
=
3y + 7
aM = a(2x-1) =O Y aN = a(3y+7) =O ay ay ax ax
esto es
aN (2) ax De (2) se concluye que la ecuación (1) es exacta. Por!o que existe una función j(x,y) para la que aM
ay
=
a¡ = 2x -1 y a¡ = 3y + 7 (3) ax ay Integrando la primera ecuación en (3) respecto a x (manteniendo a y constante), se obtiene: j(x,y)
=
x
2
-
x+ g(y) (4),
::::}
a¡ = g'(y) (5) ay Igualamos a (5) con N(x,y) = 3y + 7 g'(y) = 3y + 7, 3 + 7y (6), g(y) = 2y2 ((6)en(4)} Por lo tanto, la solución general de la ED (1) es: 2 3 2 x -x+ y +7y=c.
2
2. (2x +y)dx- (x + 6y)dy =O Solución:
(2x +y)dx- (x + 6y)dy =O (1) En este caso se tiene
M(x,y) co n
así
=
2x +y y N(x,y)
aM =a(2x+y)= aN 1 ay ay y ax aM" aN ay ax
=
-(x + 6y)
a(-x-6y) = ax
=
_
-x -6y 1
(2)
De (2) se concluye que la ecuación (1) no es exacta.
3. (5x+4y)dx+(4x-8y 3)dy =O Solución:
(5x +4y)dx + (4x-8y3)dy =O (1) En este caso se tiene 3
M(x,y)=5x+4y y
N(x,y)=4x-8y
aM
Y aN = a(4x-8y
con
ay
=
a(5x+4y)
ay
=
3
4
ax
ax
) =
4
esto es
aN (2) ax De (2) se concluye que la ecuación (1) es exacta. Por lo que existe una función j(x,y) para la que aM
ay
=
a¡ =5x+4y y a¡ =4x-8y3 (3) ax ay Integrando la primera ecuación en (3) respecto a x (manteniendo a y constante), se obtiene: 5 f(x,y) = x2 + g(y) (4),
2
::::}
a¡ = g'(y) ay
(5)
Igualamos a (5) con N(x,y) g'(y)
::::}
=
=
4x -8y3 ,
g(y) =4xy-2y' (6), f(x,y) = 5 x 2 +4xy2y•
4x- 8y3 :
((6)en(4)}
2
Por lo tanto, la solución general de la ED (1) es:
%x2 +4xy-2y' =c.
En los problemas 25 - 30 resuelva la ecuación diferencial dada sujeta a la condición inicial que se indica: 2 dx + (2xy + x 2 -!)dy =O; y(!)= 1
25 . (x + y)
Solución: (x+y) 2 dx+ (2xy+x2 -!)dy= O y(!)
=
(1)
1 (2)
La ecuación ( 1) es de la forma M(x,y)dx + N(x,y)dy =O; con: M(x,y) = (x +y/ y N(x,y) = 2xy + x 2 -1 por lo que
aM ay
=
2(x +y)
=
2x + 2y
Y
aN = 2y+2x
ax
esto es
aM aN ( ) ay = ax 2 De (2) se concluye que la ecuación ( 1) es exacta; por!o que existe una función j(x,y) para la que = 2xy + x 2 -1 (3) = (x + y) 2 = x 2 + 2xy + y
ay
ax 2
y
Integrando la primera ecuación en (3) respecto a x (manteniendo a y constante), se obtiene: j(x,y)
=
x3 + x 2y + xy 2 + g(y) (4),
2
::::}
=
x + 2xy + g'(y) (5)
ay Igualamos a (5) con N(x,y) = 2xy + x 2 -1: x 2 + 2xy+ g'(y) ::::}
g(y) =-y
=
2xy+x 2 -1{::} g'(y)
=
-1,
(6), ((6) en (4))
Por lo tanto, la solución general de la ED ( 1) es: x3 + x2y + xy2- y= e (7) 3 Ahora, sustiuyendo (2) en (7), se obtiene:
(li + (1) 2 (1) + (1)(1) 2 -1= e {::}
+ 1+ 1-1=e {::}e = .i (8) 3 3 3 Por último, al sustituir (8) en (7) se encuentra la solución particular que contiene al par ordenado (1, 1): 3
2
x + x y + xy
2 -y=%{::} x 3 + 3x 2y + 3xy 2 - 3y = 4.
26 . (e' +y)dx + (2 + x +ye 1)dy =O; y(O) = 1 Solución:
(e'+y)dx + (2 + x +ye 1)dy =O ( 1) y(O) = 1 (2) La ecuación (1) es de la forma M(x,y)dx + N(x,y)dy =O; con: M(x,y)=e'+y y N(x,y)=2+x+ye
1
por lo que
aM aN aM aN é!Y = 1 y ax = 1 esto es é!Y = ax
(2)
De (2) se concluye que la ecuación ( 1) es exacta; por!o que existe una función j(x,y) para la que
a¡ =e'+y y ax
a¡ =2+x+ye1 (3) é!Y
Integrando la primera ecuación en (3) respecto a x (manteniendo a y constante), se obtiene:
j(x,y) =e'+ xy + g(y)
(4),
a¡= x + g'(y) (5) ay Igualamos a (5) con N(x,y)
=
2 + x + ye' :
x + g'(y) = 2 + x +ye' {::} g'(y) = 2 + ye', ::::}
g(y)
=
2y +ye' -e'
(6),
::::} j(x,y) =e'+ xy + 2y + ye' -e'
((6) en
(4)} Por lo tanto, la solución general de la ED (1) es:
e' + xy + 2y + ye 1 -e'
=
e (7)
Ahora, sustiuyendo (2) en (7), se obtiene:
e0 + (0)(1) + 2(1) + le1 -e 1 =e {::}e= 2 (8) Por último, al sustituir (8) en (7) se encuentra la solución particular que contiene al par ordenado (0, 1): e r + xy + 2y + ye' -e' = 2.
27. (4y+2x-5)dx+(6y+4x-1)dy=O; y(-1) =2
Solución:
(4y+2x-5)dx+(6y+4x-1)dy=O (1) y(-1) = 2 (2) La ecuación (1) es de la forma M(x,y)dx + N(x,y)dy =O; con: M(x,y)=4y+2x-5 y N(x,y)=6y+4x-1 por lo que aM
es aM aN y aN -= -=e (2)4 · sto ay ax ax ' De (2) se concluye que la ecuación ( 1) es exacta; por!o que existe una función j(x,y) para la que
a¡ =4y+2x-5 y a¡ =6y+4x-1 (3) ax ay Integrando la primera ecuación en (3) respecto a x (manteniendo a y constante), se obtiene: j(x,y)
=
4xy + x
2
-
5x + g(y)
(4),
::::}
a¡ = 4x + g'(y) (5) ay Igualamos a (5) con N(x,y) = 6y + 4x -1 4x + g'(y) = 6y + 4x -1{::} g'(y) = 6y -1, ::::}
g(y)
=
3y 2 -y (6),
::::} f(x,y) = 4xy + x 2 -5x + 3y 2 -y ((6)en(4)} Por lo tanto, la solución general de laED ( 1) es: 4xy+x 2 -5x+3y 2 -y=e
(7)
Ahora, sustiuyendo (2) en (7), se obtiene:
4(-1)(2) + (-1) 2 -5(-1) + 3(2i - 2 = e {::}e = 8 (8) Por último, al sustituir (8) en (7) se encuentra la solución particular que contiene al par ordenado ( -1, 2): 4xy + x
2
-
5x + 3y 2 -y= 8.
EJERCICIOS RESUELTOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS En los problemas 1 a 24 determine si la ecuaciÛn dada es exacta. Si lo es, resuÈlvala.
En los problemas 25 - 30 resuelva la ecuación diferencial dada sujeta a la condición inicial que se indica: 2 dx + (2xy + x 2 -!)dy =O; y(!)= 1
25 . (x + y)
Solución: (x+y) 2 dx+ (2xy+x2 -!)dy= O y(!)
=
(1)
1 (2)
La ecuación ( 1) es de la forma M(x,y)dx + N(x,y)dy =O; con: M(x,y) = (x +y/ y N(x,y) = 2xy + x 2 -1 por lo que
aM ay
=
2(x +y)
=
2x + 2y
Y
aN = 2y+2x
ax
esto es
aM aN ( ) ay = ax 2 De (2) se concluye que la ecuación ( 1) es exacta; por!o que existe una función j(x,y) para la que = 2xy + x 2 -1 (3) = (x + y) 2 = x 2 + 2xy + y
ay
ax 2
y
Integrando la primera ecuación en (3) respecto a x (manteniendo a y constante), se obtiene: j(x,y)
=
x3 + x 2y + xy 2 + g(y) (4),
2
::::}
=
x + 2xy + g'(y) (5)
ay Igualamos a (5) con N(x,y) = 2xy + x 2 -1: x 2 + 2xy+ g'(y) ::::}
g(y) =-y
=
2xy+x 2 -1{::} g'(y)
=
-1,
(6), ((6) en (4))
Por lo tanto, la solución general de la ED ( 1) es: x3 + x2y + xy2- y= e (7) 3 Ahora, sustiuyendo (2) en (7), se obtiene:
(li + (1) 2 (1) + (1)(1) 2 -1= e {::}
+ 1+ 1-1=e {::}e = .i (8) 3 3 3 Por último, al sustituir (8) en (7) se encuentra la solución particular que contiene al par ordenado (1, 1): 3
2
x + x y + xy
2 -y=%{::} x 3 + 3x 2y + 3xy 2 - 3y = 4.
26 . (e' +y)dx + (2 + x +ye 1)dy =O; y(O) = 1 Solución:
(e'+y)dx + (2 + x +ye 1)dy =O ( 1) y(O) = 1 (2) La ecuación (1) es de la forma M(x,y)dx + N(x,y)dy =O; con: M(x,y)=e'+y y N(x,y)=2+x+ye
1
por lo que
aM aN aM aN é!Y = 1 y ax = 1 esto es é!Y = ax
(2)
De (2) se concluye que la ecuación ( 1) es exacta; por!o que existe una función j(x,y) para la que
a¡ =e'+y y ax
a¡ =2+x+ye1 (3) é!Y
Integrando la primera ecuación en (3) respecto a x (manteniendo a y constante), se obtiene:
j(x,y) =e'+ xy + g(y)
(4),
a¡= x + g'(y) (5) ay Igualamos a (5) con N(x,y)
=
2 + x + ye' :
x + g'(y) = 2 + x +ye' {::} g'(y) = 2 + ye', ::::}
g(y)
=
2y +ye' -e'
(6),
::::} j(x,y) =e'+ xy + 2y + ye' -e'
((6) en
(4)} Por lo tanto, la solución general de la ED (1) es:
e' + xy + 2y + ye 1 -e'
=
e (7)
Ahora, sustiuyendo (2) en (7), se obtiene:
e0 + (0)(1) + 2(1) + le1 -e 1 =e {::}e= 2 (8) Por último, al sustituir (8) en (7) se encuentra la solución particular que contiene al par ordenado (0, 1): e r + xy + 2y + ye' -e' = 2.
27. (4y+2x-5)dx+(6y+4x-1)dy=O; y(-1) =2
Solución:
(4y+2x-5)dx+(6y+4x-1)dy=O (1) y(-1) = 2 (2) La ecuación (1) es de la forma M(x,y)dx + N(x,y)dy =O; con: M(x,y)=4y+2x-5 y N(x,y)=6y+4x-1 por lo que aM
es aM aN y aN -= -=e (2)4 · sto ay ax ax ' De (2) se concluye que la ecuación ( 1) es exacta; por!o que existe una función j(x,y) para la que
a¡ =4y+2x-5 y a¡ =6y+4x-1 (3) ax ay Integrando la primera ecuación en (3) respecto a x (manteniendo a y constante), se obtiene: j(x,y)
=
4xy + x
2
-
5x + g(y)
(4),
::::}
a¡ = 4x + g'(y) (5) ay Igualamos a (5) con N(x,y) = 6y + 4x -1 4x + g'(y) = 6y + 4x -1{::} g'(y) = 6y -1, ::::}
g(y)
=
3y 2 -y (6),
::::} f(x,y) = 4xy + x 2 -5x + 3y 2 -y ((6)en(4)} Por lo tanto, la solución general de laED ( 1) es: 4xy+x 2 -5x+3y 2 -y=e
(7)
Ahora, sustiuyendo (2) en (7), se obtiene:
4(-1)(2) + (-1) 2 -5(-1) + 3(2i - 2 = e {::}e = 8 (8) Por último, al sustituir (8) en (7) se encuentra la solución particular que contiene al par ordenado ( -1, 2): 4xy + x
2
-
5x + 3y 2 -y= 8.